資源簡介

第31講 二元一次不等式(組) 與簡單的線性規劃問題
【練基礎】
1．已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為(　　)
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
2．點(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側，則(　　)
A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24
C．a＝－7或a＝24 D．以上都不正確
3．在平面直角坐標系中，不等式組所表示的平面區域的面積為(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
4．若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
5．若x，y滿足約束條件則z＝x－y的最小值為(　　)
A．－3 B．1 C．－2 D．2
6．若不等式組所表示的平面區域被直線l：mx－y＋m＋1＝0分為面積相等的兩部分，則m＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
7．若x，y滿足則z＝2x－y的取值范圍是(　　)
A．[0,3] B．[1,3]
C．[－3,0] D．[－3，－1]
8．設點M是表示的區域Ω1內任一點，點N是區域Ω1關于直線l：y＝x的對稱區域Ω2內的任一點，則|MN|的最大值為(　　)
A． B．2
C．4 D．5
9．不等式組表示的平面區域的面積為________．
10．設點(x，y)滿足約束條件且x∈Z，y∈Z，則這樣的點共有________個．
【練提升】
1.若實數x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最小值為(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
2．已知實數x，y滿足不等式組且z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，則a等于(　　)
A. B. C. D.
3．記不等式組的解集為D，若 (x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，6] D．(－∞，8]
4．設實數x，y滿足則u＝－的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
5．某公司生產甲、乙兩種桶裝產品．已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元．公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是________．
6．若x，y滿足約束條件則z＝log2(x＋y－1)的最大值為________．
7．已知O是坐標原點，點A(－1，1)．若點M(x，y)為平面區域上的一個動點，則·的取值范圍是________．
8．2021年春節期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學校需要安排男教師x名，女教師y名做義工，x和y需滿足條件則該校安排教師最多為________人．
9．已知約束條件若目標函數z＝x＋ay(a≥0)恰好在點(2，2)處取到最大值，則a的取值范圍為________．
10．若x，y滿足約束條件
(1)求目標函數z＝x－y＋的最值；
(2)若目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．
第31講 二元一次不等式(組) 與簡單的線性規劃問題
【練基礎】
1．已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為(　　)
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【答案】B
【解析】根據題意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，解得－72．點(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側，則(　　)
A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24
C．a＝－7或a＝24 D．以上都不正確
【答案】B
【解析】點(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側，說明將這兩點坐標代入3x－2y＋a后，符號相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－73．在平面直角坐標系中，不等式組所表示的平面區域的面積為(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】不等式組表示的平面區域是以點(0,0)，(0,2)和(1,1)為頂點的三角形區域(含邊界)，則面積為×2×1＝1.
4．若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【解析】法一：(驗證法)由約束條件可知可行域的邊界分別為直線y＝1，x＋y＝0，x－y－2＝0，
則邊界的交點分別為(－1，1)，(3，1)，(1，－1)，
分別代入z＝x－2y，
得對應的z分別為－3，1，3，
可得z的最大值為3，故選B.
法二：(數形結合法)作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示(含邊界)，
作出直線x－2y＝0并平移，
由圖可知，當直線過點(1，－1)時，z取得最大值，
即zmax＝1－2×(－1)＝3，故選B.
5．若x，y滿足約束條件則z＝x－y的最小值為(　　)
A．－3 B．1 C．－2 D．2
【答案】C
【解析】先作可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，
則直線z＝x－y過點A(0,2)時取最小值－2.
6．若不等式組所表示的平面區域被直線l：mx－y＋m＋1＝0分為面積相等的兩部分，則m＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
【答案】A
【解析】由題意可畫出可行域為△ABC及其內部所表示的平面區域，如圖所示．聯立可行域邊界所在直線方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因為直線l：y＝m(x＋1)＋1過定點A(－1，1)，直線l將△ABC分為面積相等的兩部分，所以直線l過邊BC的中點D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故選A.
7．若x，y滿足則z＝2x－y的取值范圍是(　　)
A．[0,3] B．[1,3]
C．[－3,0] D．[－3，－1]
【答案】A
【解析】作出表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，
聯立解得
即B(1，－1)，
化目標函數z＝2x－y為y＝2x－z，
由圖可知，當直線y＝2x－z過原點時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值，為2×0－0＝0；
當直線y＝2x－z過點B時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值，為2×1－(－1)＝3，
∴z＝2x－y的取值范圍是[0,3]．
8．設點M是表示的區域Ω1內任一點，點N是區域Ω1關于直線l：y＝x的對稱區域Ω2內的任一點，則|MN|的最大值為(　　)
A． B．2
C．4 D．5
【答案】D
【解析】不等式組表示的區域Ω1如圖中陰影部分所示，因為區域Ω1與區域Ω2關于直線y＝x對稱，并且M是區域Ω1內任一點，N是區域Ω2內任一點，所以當點M到直線y＝x的距離最大，并且點N為M關于直線y＝x的對稱點時，|MN|最大，最大值為點M到直線y＝x距離的2倍，因此轉化為求區域Ω1內的點到直線y＝x的距離的最大值，由圖可知點A(－4，1)到直線y＝x的距離最大，為，所以|MN|的最大值為5.
9．不等式組表示的平面區域的面積為________．
【答案】3
【解析】依據不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示．
平面區域為△ABC及其內部，其中A(2,0)，B(0,2)，C(2,3)，
所以所求面積為
×2×|AC|＝3.
10．設點(x，y)滿足約束條件且x∈Z，y∈Z，則這樣的點共有________個．
【答案】12
【解析】畫出表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，
由圖可知，滿足x∈Z，y∈Z的(x，y)為(－4，－1)，(－3，0)，(－2，1)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，共12個．
【練提升】
1.若實數x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最小值為(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
【答案】A
【解析】解法一：畫出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作出y＝x并平移，由圖可知，當動直線y＝x－z經過點A時，z取得小值，由得A1，，即zmin＝1－2×＝0，故選A．
解法二：由得此時z＝0；由得此時z＝2；由得此時z＝1.綜上所述，z最小值為0，故選A．
2．已知實數x，y滿足不等式組且z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，則a等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示：
作出直線l：y＝2x，平移直線l，由圖可知，
當直線經過點D時，直線在y軸上的截距最小，
此時z＝2x－y取得最大值，
由可得D(1,1)，
所以z＝2x－y的最大值是1；
當直線經過點B時，直線在y軸上的截距最大，
此時z＝2x－y取得最小值，
由可得B(a,2－a)，
所以z＝2x－y的最小值是3a－2，
因為z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，
所以6a－4＝1，解得a＝，故選B.
3．記不等式組的解集為D，若 (x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，6] D．(－∞，8]
【答案】C
【解析】不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，設z＝2x＋y，作出直線2x＋y＝0，并平移，由圖知目標函數z＝2x＋y取得最小值的最優解為A(1，4)，所以目標函數z＝2x＋y的最小值為6.因為 (x，y)∈D，不等式a≤2x＋y恒成立，所以a≤6，故選C．
4．設實數x，y滿足則u＝－的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，令＝t，由圖可得kBO≤t≤kOA，而≤t≤2，則u＝t－在上顯然是增函數，所以當t＝時，umin＝－；當t＝2時，umax＝，因此u＝－的取值范圍為.
5．某公司生產甲、乙兩種桶裝產品．已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元．公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是________．
【答案】2 800元
【解析】設每天生產甲種產品x桶，乙種產品y桶，則根據題意得x，y的約束條件為
設獲利z元，則z＝300x＋400y.
畫出可行域如圖．
畫直線l：300x＋400y＝0，
即3x＋4y＝0.
平移直線l，從圖中可知，
當直線過點M時，
目標函數取得最大值．
由
解得
即M的坐標為(4,4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800(元)．
6．若x，y滿足約束條件則z＝log2(x＋y－1)的最大值為________．
【答案】1
【解析】作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，
設t＝x＋y，由圖可知，t在點A處取到最大值，聯立解得A(1,2)，所以t＝x＋y的最大值為3，
由于y＝log2x在(0，＋∞)上為增函數，
故z＝log2(x＋y－1)的最大值為1.
7．已知O是坐標原點，點A(－1，1)．若點M(x，y)為平面區域上的一個動點，則·的取值范圍是________．
【答案】[0，2]
【解析】滿足約束條件的平面區域如圖陰影部分所示．
將平面區域的三個頂點坐標分別代入平面向量數量積公式．
當x＝1，y＝1時，·＝－1×1＋1×1＝0；
當x＝1，y＝2時，·＝－1×1＋1×2＝1；
當x＝0，y＝2時，·＝－1×0＋1×2＝2.
故·的取值范圍為[0，2]．
8．2021年春節期間，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學校需要安排男教師x名，女教師y名做義工，x和y需滿足條件則該校安排教師最多為________人．
【答案】13
【解析】由于x和y需滿足約束條件畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示．
由于要求該校安排的教師人數最多，設目標函數為z＝x＋y，得y＝－x＋z，
則題意轉化為，在可行域內任意取x，y且為整數，使得目標函數的斜率為定值－1，截距最大時的直線為過的交點A(6,7)，此時z取最大值，即zmax＝6＋7＝13.
9．已知約束條件若目標函數z＝x＋ay(a≥0)恰好在點(2，2)處取到最大值，則a的取值范圍為________．
【答案】　
【解析】作出不等式組對應的平面區域，如圖陰影部分所示，
當a＝0時，z＝x，即x＝z，此時不成立．
故a≠0.由z＝x＋ay得y＝－x＋.
由解得即A(2，2)．
要使目標函數z＝x＋ay(a≥0)僅在點A(2，2)處取得最大值，則陰影部分區域在直線y＝－x＋的下方，即目標函數的斜率k＝－，滿足k＞kAC，即－＞－3.
∵a＞0，∴a＞，即a的取值范圍為.
10．若x，y滿足約束條件
(1)求目標函數z＝x－y＋的最值；
(2)若目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．
【解析】(1)作出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，
可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直線x－y＋＝0，當直線過A(3,4)時，z取最小值－2，過C(1,0)時，z取最大值1.
所以z的最大值為1，最小值為－2.
(2)直線ax＋2y＝z僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1<－<2，
解得－4故a的取值范圍是(－4,2)．第31講 二元一次不等式(組) 與簡單的線性規劃問題
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；
2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；
3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考必考內容．預測2022年的考查，主要命題方向為：在約束條件下求目標函數的最值或根據最值情況求參數，同時能用線性規劃解決實際問題．試題以客觀題形式呈現，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點一 二元一次不等式(組)表示的平面區域
不等式 表示區域
Ax＋By＋C＞0 直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區域 不包括邊界直線
Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線
不等式組 各個不等式所表示平面區域的公共部分
知識點二 點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
知識點三 簡單的線性規劃中的基本概念
名稱 意義
約束條件 由變量x，y組成的不等式(組)
線性約束條件 由變量x，y組成的一次不等式(組)
目標函數 關于x，y的函數解析式，如z＝2x＋3y等
線性目標函數 關于x，y的一次函數解析式
可行解 滿足線性約束條件的解(x，y)
可行域 所有可行解組成的集合
最優解 使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
【高頻考點】
高頻考點一 二元一次不等式(組)表示的平面區域
【例1】(2019·全國Ⅲ)記不等式組表示的平面區域為D.命題p： (x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q： (x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個命題：
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．
這四個命題中，所有真命題的編號是(　　)
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【方法技巧】
(1)平面區域的確定：直線定界，特殊點定域．
①直線定界：當不等式中帶等號時，邊界為實線；不帶等號時，邊界應畫為虛線；
②特殊點定域：常用的特殊點為(0，0)，(1，0)，(0，1)．
(2)平面區域的形狀問題主要有兩種題型：
①確定平面區域的形狀，求解時先畫滿足條件的平面區域，然后判斷其形狀；
②根據平面區域的形狀求解參數問題，求解時通常先畫滿足條件的平面區域，但要注意對參數進行必要的討論．
【變式探究】（2023·湖南長郡中學模擬）若函數y＝2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數m的最大值為(　　)
A. B．1
C. D．2高頻考點二 求線性目標函數的最值
【例2】（2023·全國卷）若滿足約束條件則的最小值為（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【變式探究】（2023·浙江卷）若實數x，y滿足約束條件，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三】(2020·全國Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋7y的最大值為________．
【舉一反三】【2019·北京卷】若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x+y的最大值為
A． 7 B．1
C．5 D．7
【方法技巧】線性目標函數的最優解一般在平面區域的頂點或邊界處取得，所以直接解出可行域的頂點，將坐標代入目標函數求出相應的數值，從而確定目標函數的最值。
【變式探究】【2019·天津卷】設變量x，y滿足約束條件，則目標函數的最大值為
A．2 B．3
C．5 D．6
高頻考點三 求非線性目標函數的最值
【例3】已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范圍．
【方法技巧】
目標函數是非線性形式的函數時，常考慮目標函數的幾何意義，常見代數式的幾何意義主要有：
(1)表示點(x，y)與原點(0,0)間的距離，表示點(x，y)與點(a，b)間的距離；
(2)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．
【變式探究】已知實數x，y滿足約束條件則的最小值為________．
高頻考點四 求參數值或取值范圍
【例4】【2020·浙江卷】若實數x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】 由目標函數的最值求參數的2種基本方法
一是把參數當成常數用，根據線性規劃問題的求解方法求出最優解，代入目標函數確定最值，通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍；二是先分離含有參數的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優解的位置，從而求出參數．
【變式探究】若且z＝2x＋4y取得最小值－12，則k等于(　　)
A．2 B．9
C．3 D．0
第31講 二元一次不等式(組) 與簡單的線性規劃問題
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；
2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；
3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考必考內容．預測2022年的考查，主要命題方向為：在約束條件下求目標函數的最值或根據最值情況求參數，同時能用線性規劃解決實際問題．試題以客觀題形式呈現，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點一 二元一次不等式(組)表示的平面區域
不等式 表示區域
Ax＋By＋C＞0 直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區域 不包括邊界直線
Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線
不等式組 各個不等式所表示平面區域的公共部分
知識點二 點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
知識點三 簡單的線性規劃中的基本概念
名稱 意義
約束條件 由變量x，y組成的不等式(組)
線性約束條件 由變量x，y組成的一次不等式(組)
目標函數 關于x，y的函數解析式，如z＝2x＋3y等
線性目標函數 關于x，y的一次函數解析式
可行解 滿足線性約束條件的解(x，y)
可行域 所有可行解組成的集合
最優解 使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
【高頻考點】
高頻考點一 二元一次不等式(組)表示的平面區域
【例1】(2019·全國Ⅲ)記不等式組表示的平面區域為D.命題p： (x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q： (x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個命題：
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．
這四個命題中，所有真命題的編號是(　　)
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】方法一　
畫出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示．
目標函數z＝2x＋y是一條平行移動的直線，且z的幾何意義是直線z＝2x＋y在y軸上的截距．
顯然，當直線過點A(2,4)時，zmin＝2×2＋4＝8，
即z＝2x＋y≥8.
∴2x＋y∈[8，＋∞)．
由此得命題p： (x，y)∈D,2x＋y≥9正確；
命題q： (x，y)∈D,2x＋y≤12不正確．
∴①③真，②④假．
方法二　取x＝4，y＝5，滿足不等式組且滿足2x＋y≥9，不滿足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．
【方法技巧】
(1)平面區域的確定：直線定界，特殊點定域．
①直線定界：當不等式中帶等號時，邊界為實線；不帶等號時，邊界應畫為虛線；
②特殊點定域：常用的特殊點為(0，0)，(1，0)，(0，1)．
(2)平面區域的形狀問題主要有兩種題型：
①確定平面區域的形狀，求解時先畫滿足條件的平面區域，然后判斷其形狀；
②根據平面區域的形狀求解參數問題，求解時通常先畫滿足條件的平面區域，但要注意對參數進行必要的討論．
【變式探究】（2023·湖南長郡中學模擬）若函數y＝2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數m的最大值為(　　)
A. B．1
C. D．2
【答案】B
【解析】在同一直角坐標系中作出函數y＝2x的圖象及所表示的平面區域，如圖中陰影部分所示．
由圖可知，當m≤1時，函數y＝2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1。
高頻考點二 求線性目標函數的最值
【例2】（2023·全國卷）若滿足約束條件則的最小值為（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【解析】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，
由可得點,
轉換目標函數為，
上下平移直線，數形結合可得當直線過點時,取最小值，
此時，故選C。
【變式探究】（2023·浙江卷）若實數x，y滿足約束條件，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】畫出滿足約束條件的可行域，
如下圖所示：
目標函數化為，
由，解得，設，
當直線過點時，
取得最小值為.
故選B.
【舉一反三】(2020·全國Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋7y的最大值為________．
【答案】1
【解析】畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示．
由z＝x＋7y，得y＝－x＋z.
平移直線l0：y＝－x，
可知當直線y＝－x＋z過點A時z最大．
由得即A(1,0)，
∴zmax＝1＋7×0＝1.
【舉一反三】【2019·北京卷】若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x+y的最大值為
A． 7 B．1
C．5 D．7
【答案】C
【解析】由題意，作出可行域如圖陰影部分所示.
設z＝3x＋y，y＝z－3x，當直線l0：y＝z－3x經過點C(2，－1)時，z取最大值5.故選C。
【方法技巧】線性目標函數的最優解一般在平面區域的頂點或邊界處取得，所以直接解出可行域的頂點，將坐標代入目標函數求出相應的數值，從而確定目標函數的最值。
【變式探究】【2019·天津卷】設變量x，y滿足約束條件，則目標函數的最大值為
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】D
【解析】已知不等式組表示的平面區域如圖中的陰影部分.
目標函數的幾何意義是直線在y軸上的截距，
故目標函數在點A處取得最大值.
由，得，
所以.
故選C。
高頻考點三 求非線性目標函數的最值
【例3】已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范圍．
【解析】作出可行域，如圖陰影部分所示．
通過聯立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域內點(x，y)到點M(0,5)的距離的平方．
過點M作AC的垂線，垂足為點N，
故|MN|＝＝，|MN|2＝2＝.
故z的最小值為.
(2)z＝2·表示可行域內點(x，y)與定點Q連線斜率的2倍．
因為kQA＝，kQB＝，所以z的范圍是.
【方法技巧】
目標函數是非線性形式的函數時，常考慮目標函數的幾何意義，常見代數式的幾何意義主要有：
(1)表示點(x，y)與原點(0,0)間的距離，表示點(x，y)與點(a，b)間的距離；
(2)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．
【變式探究】已知實數x，y滿足約束條件則的最小值為________．
【答案】
【解析】畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示．
則表示可行域內的點(x，y)到定點P(－1,0)的距離．
解方程組得設M(2,2)．
由圖可知，()min＝|MP|＝＝.
高頻考點四 求參數值或取值范圍
【例4】【2020·浙江卷】若實數x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，
目標函數即：，
其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，
z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，
據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最小值，
聯立直線方程：，可得點A的坐標為：，
據此可知目標函數的最小值為：
且目標函數沒有最大值.
故目標函數的取值范圍是。
【方法技巧】 由目標函數的最值求參數的2種基本方法
一是把參數當成常數用，根據線性規劃問題的求解方法求出最優解，代入目標函數確定最值，通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍；二是先分離含有參數的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優解的位置，從而求出參數．
【變式探究】若且z＝2x＋4y取得最小值－12，則k等于(　　)
A．2 B．9
C．3 D．0
【答案】A
【解析】作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，
當目標函數z＝2x＋4y過A點時取得最小值－12，
此時目標函數對應的方程為2x＋4y＋12＝0，
且點A為直線x＝2與x＋y＋k＝0的交點，
由解得∴A(2，－4)，k＝2.

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