資源簡介

第34講 空間點、直線、平面之間的位置關系
【練基礎】
1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
2．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
4．給出下列命題，其中正確的兩個命題是(　　)
①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行；
②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面；
③直線m⊥平面α，直線n⊥直線m，則n∥α；
④a，b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a，b都平行且與a，b的距離相等．
A．①與② B．②與③
C．③與④ D．②與④
5．下列命題中，錯誤命題的個數為(　　)
①直線a與平面α不平行，則直線a與平面α內的所有直線都不平行；
②直線a與平面α不垂直，則直線a與平面α內的所有直線都不垂直；
③異面直線a，b不垂直，則過直線a的任何平面與直線b都不垂直；
④若直線a和b共面，直線b和c共面，則直線a和c共面．
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知P是△ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB，PC的中點，若MN＝BC＝4，PA＝4，則異面直線PA與MN所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．到空間不共面的四點距離相等的平面的個數為(　　)
A．1 B．4
C．7 D．8
8．(多選)下列推斷中，正確的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線 α，β重合
9．若平面α，β相交，在α，β內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．
【練提升】
1．若平面α，β的公共點多于兩個，則
①α，β平行；②α，β至少有三個公共點；③α，β至少有一條公共直線；④α，β至多有一條公共直線．
以上四個判斷中不成立的個數為(　　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　　 D．3
2．已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線(　　)
A．只有一條，不在平面α內
B．只有一條，且在平面α內
C．有無數條，一定在平面α內
D．有無數條，不一定在平面α內
3．如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1為異面直線且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
4.如圖，在四面體A BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四邊形EFGH滿足EF∥BC，FG∥AD，則下列結論正確的個數為(　　)
①四邊形EFGH的周長為定值；
②四邊形EFGH的面積為定值；
③四邊形EFGH為矩形；
④四邊形EFGH的面積有最大值1.
A．0 B．1
C．2 D．3
5．(多選)(2021·日照模擬)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則(　　)
A．A，M，N，B四點共面
B．平面ADM⊥平面CDD1C1
C．直線BN與B1M所成的角為60°
D．BN∥平面ADM
6.如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，現將△CDE以直線DE為軸旋轉一周后，求直線BP與動直線CE所成角的范圍．
7．如圖，在三棱錐A BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是________．
8.如圖，在四棱錐O ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．
(1)求四棱錐O ABCD的體積；
(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．
第34講 空間點、直線、平面之間的位置關系
【練基礎】
1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
【答案】D　【解析】依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面，選D.
2．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A　【解析】若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．
3．正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
【答案】A　【解析】如圖所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF 平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．
4．給出下列命題，其中正確的兩個命題是(　　)
①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行；
②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面；
③直線m⊥平面α，直線n⊥直線m，則n∥α；
④a，b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a，b都平行且與a，b的距離相等．
A．①與② B．②與③
C．③與④ D．②與④
【答案】D　【解析】直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；直線m⊥平面α，直線m⊥直線n，則直線n可能平行于平面α，也可能在平面α內，因此①③為假命題．
5．下列命題中，錯誤命題的個數為(　　)
①直線a與平面α不平行，則直線a與平面α內的所有直線都不平行；
②直線a與平面α不垂直，則直線a與平面α內的所有直線都不垂直；
③異面直線a，b不垂直，則過直線a的任何平面與直線b都不垂直；
④若直線a和b共面，直線b和c共面，則直線a和c共面．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C　【解析】對于①，若直線a在平面α內，這時直線a和平面α不平行，但是平面內存在直線和a是平行的，故①錯誤；對于②，若直線a在平面α內，這時直線a和平面α不垂直，但是平面內存在直線和直線a是垂直的，故②錯誤；對于③，根據線面垂直的定義可知，③是正確的；對于④，直線a，c有可能是異面直線，故④錯誤．綜上所述，有3個命題是錯誤命題，故選C.
6．已知P是△ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB，PC的中點，若MN＝BC＝4，PA＝4，則異面直線PA與MN所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】A　【解析】如圖，取AC的中點D，連接DN，DM，由已知條件可得DN＝2，DM＝2.在△MND中，∠DNM為異面直線PA與MN所成的角，則cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°.
7．到空間不共面的四點距離相等的平面的個數為(　　)
A．1 B．4
C．7 D．8
【答案】C　【解析】當空間四點不共面時，則四點構成一個三棱錐．當平面一側有一點，另一側有三點時，如圖①.令截面與三棱錐的四個面之一平行，第四個頂點到這個截面的距離與其相對的面到此截面的距離相等，這樣的平面有4個；
當平面一側有兩點，另一側有兩點時，如圖②，當平面過AB，BD，CD，AC的中點時，滿足條件．因為三棱錐的相對棱有三對，則此時滿足條件的平面有3個．所以滿足條件的平面共有7個，故選C.
8．(多選)下列推斷中，正確的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線 α，β重合
【答案】ABD　直線不在平面內時，直線上可能有一個點在平面內，即直線與平面相交，所以C錯，根據點、線、面的關系可知其余都對，故選A、B、D.
9．若平面α，β相交，在α，β內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．
【解析】如果這四點在同一平面內，那么確定1個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定1個平面，所以可確定4個．
【答案】1或4
【練提升】
1．若平面α，β的公共點多于兩個，則
①α，β平行；②α，β至少有三個公共點；③α，β至少有一條公共直線；④α，β至多有一條公共直線．
以上四個判斷中不成立的個數為(　　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　　 D．3
【答案】C　【解析】由條件知，當平面α，β的公共點多于兩個時，若所有公共點共線，則α，β相交；若公共點不共線，則α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．
2．已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線(　　)
A．只有一條，不在平面α內
B．只有一條，且在平面α內
C．有無數條，一定在平面α內
D．有無數條，不一定在平面α內
【答案】B　【解析】假設過點P且平行于l的直線有兩條分別為m與n，則m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，這與兩條直線m與n相交于點P相矛盾，故過點P且平行于l的直線只有一條．又因為點P在平面α內，所以過點P且平行于l的直線只有一條且在平面α內．故選B.
3．如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1為異面直線且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
【答案】C　【解析】CC1與B1E在同一個側面中，故不是異面直線，所以A錯誤；由題意知，上底面是一個正三角形，故AC不可能垂直于平面ABB1A1，所以B錯誤；因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，且因為△ABC為正三角形，點E為BC中點，所以AE⊥BC，又因為BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，所以C正確；因為A1C1所在的平面A1B1C1與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故A1C1∥平面AB1E不正確，所以D錯誤．故選C.
4.如圖，在四面體A BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四邊形EFGH滿足EF∥BC，FG∥AD，則下列結論正確的個數為(　　)
①四邊形EFGH的周長為定值；
②四邊形EFGH的面積為定值；
③四邊形EFGH為矩形；
④四邊形EFGH的面積有最大值1.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D　【解析】因為EF∥BC，EF 平面BCD，
所以EF∥平面BCD，
又平面EFGH∩平面BCD＝GH，
所以EF∥GH.同理FG∥EH，
所以四邊形EFGH為平行四邊形，
又AD⊥BC，所以四邊形EFGH為矩形．
所以③是正確的；
由相似三角形的性質得＝，＝，
所以＋＝＋＝1，
因為BC＝AD＝2，所以EF＋FG＝2，
所以四邊形EFGH的周長為定值4，所以①是正確的；
因為S四邊形EFGH＝EF×FG≤2＝1，
所以四邊形EFGH的面積有最大值1，所以④是正確的．故選D.
5．(多選)(2021·日照模擬)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則(　　)
A．A，M，N，B四點共面
B．平面ADM⊥平面CDD1C1
C．直線BN與B1M所成的角為60°
D．BN∥平面ADM
【答案】BC　【解析】如圖所示，對于A，直線AM，BN是異面直線，故A，M，N，B四點不共面，故A錯誤；對于B，在長方體ABCD A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正確；對于C，取CD的中點O，連接BO，ON，可知三角形BON為等邊三角形，故C正確；對于D，因為BN∥平面AA1D1D，顯然BN與平面ADM不平行，故D錯誤．故選B、C.
6.如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，現將△CDE以直線DE為軸旋轉一周后，求直線BP與動直線CE所成角的范圍．
【解析】如圖所示，將PB平移到EB1的位置，C1點在以D為圓心，半徑為1的圓上運動．
則∠B1EC1就是所求線線角，根據三角形中，大角對大邊，EB1，EC1為定值，故最值由B1C1來確定，故當C1在C處線線角最小，在C2處線線角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求線線角的取值范圍是.
7．如圖，在三棱錐A BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是________．
【解析】如圖所示，連接DN，
取線段DN的中點K，連接MK，CK.
∵M為AD的中點，∴MK∥AN，
∴∠KMC(或其補角)為異面直線AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝ ＝.
在△CKM中，由余弦定理，
得cos∠KMC＝＝，
∴異面直線AN，CM所成角的余弦值是.
【答案】
8.如圖，在四棱錐O ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．
(1)求四棱錐O ABCD的體積；
(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．
【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，
∴四棱錐O ABCD的體積V＝×4×2＝.
(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA的中點，
∴ME∥OC，
則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM為直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴異面直線OC與MD所成角的正切值為.第34講 空間點、直線、平面之間的位置關系
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.理解空間直線、平面位置關系的定義；
2.了解可以作為推理依據的公理和定理；
3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.
【備考策略】
從近三年卷情況來看，盡管空間點、線、面的位置關系是立體幾何的理論基礎，但卻很少獨立命題．預測2022年卷會有以下兩種命題方式：①以命題形式考查空間點、線、面的位置關系；②以幾何體為載體考查線、面的位置關系或求異面直線所成的角．題型為客觀題，難度一般不大，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點一 平面的基本性質
(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(注意：三點不一定能確定一個平面)．
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
知識點二 空間中兩直線的位置關系
(1)空間中兩直線的位置關系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)兩條異面直線不能確定一個平面．
(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內的兩條直線.
(2)異面直線所成的角
①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：.
(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
(4)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么 這兩個角相等或互補．
(1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．
(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個角互補．
(3)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等．　　　　　　　
知識點三 空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
(1)直線與平面的位置關系有相交、平行、在平面內三種情況．
(2)平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．
【知識必備】
1．唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
2．異面直線的兩個結論
(1)平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線．
(2)分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．
【高頻考點】
高頻考點一 平面的基本性質及應用
【例1】(多選題)(2020·全國卷Ⅱ)下列選項正確的是(　　)
A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內
B．過空間中任意三點有且僅有一個平面
C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行
D．若直線l 平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l
【方法技巧】
1.證明點或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.
2.證明點共線問題的兩種方法：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上.
3.證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.
【變式探究】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點.求證：
(1)E，C，D1，F四點共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點.
高頻考點二 判斷空間直線的位置關系
【例2】（2023·全國卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.
（1）證明：；
（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
【變式探究】(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(　　)
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【舉一反三】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關系是(　　)
A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．異面 D．平行
【方法技巧】
1.異面直線的判定方法：
(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.
(2)定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線.
2.點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系。
【變式探究】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(　　)
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
高頻考點三 異面直線所成的角
【例3】（2023·浙江卷）如圖，三棱臺DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）證明：EF⊥DB；
（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．
【變式探究】已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
【舉一反三】在正四面體A BCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
第34講 空間點、直線、平面之間的位置關系
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.理解空間直線、平面位置關系的定義；
2.了解可以作為推理依據的公理和定理；
3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.
【備考策略】
從近三年卷情況來看，盡管空間點、線、面的位置關系是立體幾何的理論基礎，但卻很少獨立命題．預測2022年卷會有以下兩種命題方式：①以命題形式考查空間點、線、面的位置關系；②以幾何體為載體考查線、面的位置關系或求異面直線所成的角．題型為客觀題，難度一般不大，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點一 平面的基本性質
(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(注意：三點不一定能確定一個平面)．
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
知識點二 空間中兩直線的位置關系
(1)空間中兩直線的位置關系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)兩條異面直線不能確定一個平面．
(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內的兩條直線.
(2)異面直線所成的角
①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：.
(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
(4)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么 這兩個角相等或互補．
(1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．
(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個角互補．
(3)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等．　　　　　　　
知識點三 空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
(1)直線與平面的位置關系有相交、平行、在平面內三種情況．
(2)平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．
【知識必備】
1．唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
2．異面直線的兩個結論
(1)平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線．
(2)分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．
【高頻考點】
高頻考點一 平面的基本性質及應用
【例1】(多選題)(2020·全國卷Ⅱ)下列選項正確的是(　　)
A．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內
B．過空間中任意三點有且僅有一個平面
C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行
D．若直線l 平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l
【答案】AD　
【解析】對于選項A，可設l1與l2相交，這兩條直線確定的平面為α；若l3與l1相交，則交點B在平面α內，同理，l3與l2的交點A也在平面α內，所以，AB α，即l3 α，選項A正確．對于選項B，若三點共線，則過這三個點的平面有無數個，選項B錯誤．對于選項C，空間中兩條直線可能相交、平行或異面，選項C錯誤．對于選項D，若直線m⊥平面α，則m垂直于平面α內所有直線．因為直線l 平面α，所以直線m⊥直線l，選項D正確．
【方法技巧】
1.證明點或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.
2.證明點共線問題的兩種方法：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上.
3.證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.
【變式探究】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點.求證：
(1)E，C，D1，F四點共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點.
【證明】(1)如圖，連接CD1，EF，A1B，
因為E，F分別是AB和AA1的中點，
所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因為A1D1綉BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形.
所以A1B∥CD1，
所以EF∥CD1，
所以EF與CD1確定一個平面α.
所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四點共面.
(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝CD1，
所以四邊形CD1FE是梯形，
所以CE與D1F必相交.設交點為P，
則P∈CE 平面ABCD，
且P∈D1F 平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.
又因為平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點.
高頻考點二 判斷空間直線的位置關系
【例2】（2023·全國卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.
（1）證明：；
（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】（1）因為AB=AD,O為BD中點，所以AO⊥BD
因為平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因為平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連FM
因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD
所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因為FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
則為二面角E-BC-D的平面角,
因為,為正三角形,所以為直角三角形
因為,
從而EF=FM=
平面BCD,
所以
【變式探究】(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(　　)
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【答案】B
【解析】取CD的中點O，連接EO，ON.由△ECD是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD.
∴EO⊥CD，EO⊥ON.
又N為正方形ABCD的中心，
∴ON⊥CD.
以O為坐標原點，方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．
不妨設AD＝2，
則E(0,0，)，N(0,1,0)，M，B(－1,2,0)，
∴EN＝＝2，BM＝ ＝，
∴EN≠BM.
連接BD，BE，
∵點N是正方形ABCD的中心，
∴點N在BD上，且BN＝DN，
∴BM，EN是△DBE的中線，
∴BM，EN必相交．
【舉一反三】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關系是(　　)
A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．異面 D．平行
【答案】D　
【解析】如圖，連接D1E并延長，與AD交于點M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點．
連接BF并延長，交AD于點N.因為CF＝2FA，可得N為AD的中點，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
【方法技巧】
1.異面直線的判定方法：
(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.
(2)定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線.
2.點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系。
【變式探究】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(　　)
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【答案】B　
【解析】過點E作EQ⊥CD于點Q，連接BD，QN，BE，易知點N在BD上．
因為平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EQ⊥平面ABCD，所以EQ⊥QN.同理，BC⊥CE.
設CD＝2，則EN＝＝＝2，
BE＝＝＝2.
又在正方形ABCD中，BD＝＝2＝BE，所以△EBD是等腰三角形．又M為DE的中點，所以EM＝1，所以BM＝＝＝，所以BM＝>2＝EN，即BM≠EN.
又因為點M、N、B、E均在平面BED內，所以BM，EN在平面BED內．又BM與EN不平行，所以BM，EN是相交直線．故選B.
高頻考點三 異面直線所成的角
【例3】（2023·浙江卷）如圖，三棱臺DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）證明：EF⊥DB；
（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．
【答案】（I）證明見解析；（II）
【解析】
（Ⅰ）作交于，連接．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，而平面，即有．
∵，
∴．
在中，，即有，∴．
由棱臺的定義可知，，所以，，而，
∴平面，而平面，∴．
（Ⅱ）因為，所以與平面所成角即為與平面所成角．
作于，連接，由（1）可知，平面，
因為所以平面平面，而平面平面，
平面，∴平面．
即在平面內的射影為，即為所求角．
在中，設，則，，
∴．
故與平面所成角的正弦值為．
【變式探究】已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
【答案】B　
【解析】如圖，設BC的中點為D，連接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補角)．
設三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長均為1，
則AD＝，A1D＝，A1B＝.
由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝.
【舉一反三】在正四面體A BCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
【答案】B　
【解析】畫出正四面體A BCD的直觀圖，如圖所示．
設其棱長為2，取AD的中點F，連接EF，設EF的中點為O，連接CO，則EF∥BD，則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角．因為△ABC為等邊三角形，所以CE⊥AB，易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF.因為OE＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝EF＝BD＝，所以cos∠FEC＝＝＝.

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