資源簡介

第35講 直線、平面平行的判定及性質
【練基礎】
1．(多選)已知直線a，b，l，平面α，β，則下列命題中錯誤的選項為(　　)
A．若α⊥β，l⊥α，則l∥β　　 B．若a⊥l，b⊥l，則a∥b
C．若α⊥β，l α，則l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，則α∥β
2．若直線l不平行于平面α，且l α，則(　　)
A．α內的所有直線與l異面
B．α內不存在與l平行的直線
C．α與直線l至少有兩個公共點
D．α內的直線與l都相交
3．(多選)已知α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線．給出下列命題，其中正確的命題是(　　)
A．若l上兩點到α的距離相等，則l∥α
B．若l⊥α，l∥β，則α⊥β
C．若α∥β，l β，且l∥α，則l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥n
4．已知直線l，m，平面α，β，γ，則下列條件能推出l∥m的是(　　)
A．l α，m β，α∥β　　 B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C．l∥α，m α D．l α，α∩β＝m
5．m，n是平面α外的兩條直線，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是(　　)
A．若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線
B．若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β
D．若m，n在平面α內的射影互相平行，則m，n互相平行
7．若平面β截三棱錐所得的截面為平行四邊形，則該三棱錐的所有棱中與平面β平行的棱有(　　)
A．0條 B．1條
C．2條 D．1條或2條
8.如圖，已知四棱錐P ABCD的底面是平行四邊形，點F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，則λ的值為(　　)
A．1 B.
C．3 D．2
9．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，有以下四個命題：
①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.
其中真命題的序號是(　　)
A．②③ B．③④
C．①④ D．①②
5.如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，點E，F，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點．則下列敘述中正確的是(　　)
A．直線BQ∥平面EFG
B．直線A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
【練提升】
1.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：
①沒有水的部分始終呈棱柱形；
②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；
③棱A1D1始終與水面所在平面平行；
④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．
其中正確命題的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
3.如圖，在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為(　　)
A. B.
C. D.
4．如圖所示，三棱柱ABC A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．
5.如圖所示，三棱柱ABC A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．
6．設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.
其中是真命題的是________(填序號)．
7．如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________.
8．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________．
9.如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．
求證：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
10.如圖，已知四棱錐P ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點．
(1)求證：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比．
第35講 直線、平面平行的判定及性質
【練基礎】
1．(多選)已知直線a，b，l，平面α，β，則下列命題中錯誤的選項為(　　)
A．若α⊥β，l⊥α，則l∥β　　 B．若a⊥l，b⊥l，則a∥b
C．若α⊥β，l α，則l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，則α∥β
【答案】ABC　【解析】對于A，由α⊥β，l⊥α，可知l β或l∥β，故A錯誤；對于B，當a⊥l，b⊥l時，直線a與b可能平行，也可能相交，還可能異面，故B錯誤；對于C，當α⊥β，l α時，l可能與平面β平行，也可能斜交，故C錯誤；對于D，垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，故D正確．
2．若直線l不平行于平面α，且l α，則(　　)
A．α內的所有直線與l異面
B．α內不存在與l平行的直線
C．α與直線l至少有兩個公共點
D．α內的直線與l都相交
【答案】B　【解析】因為l α，直線l不平行于平面α，所以直線l只能與平面α相交，于是直線l與平面α只有一個公共點，所以平面α內不存在與l平行的直線．
3．(多選)已知α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線．給出下列命題，其中正確的命題是(　　)
A．若l上兩點到α的距離相等，則l∥α
B．若l⊥α，l∥β，則α⊥β
C．若α∥β，l β，且l∥α，則l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥n
【答案】BC　【解析】對于A，若直線l在平面α內，l上有兩點到α的距離為0，相等，此時l不與α平行，所以A錯誤；對于B，因為l∥β，所以存在直線m β使得l∥m，因為l⊥α，所以m⊥α，又m β，所以β⊥α，所以B正確；對于C，l∥α，故存在m α使得l∥m，因為α∥β，所以m∥β，因為l∥m，l β，所以l∥β，C正確；對于D，因為m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D錯誤，故選B、C.
4．已知直線l，m，平面α，β，γ，則下列條件能推出l∥m的是(　　)
A．l α，m β，α∥β　　 B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C．l∥α，m α D．l α，α∩β＝m
【答案】B　【解析】選項A中，直線l，m也可能異面；選項B中，根據面面平行的性質定理，可推出l∥m，B正確；選項C中，直線l，m也可能異面；選項D中，直線l，m也可能相交．故選B.
5．m，n是平面α外的兩條直線，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A　【解析】由已知條件m∥α，結合線面平行的性質定理可得，過直線m作一平面β交α于直線l，則m∥l，從而存在l α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，從而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或異面．所以m∥n是n∥α的充分不必要條件，故選A.
6．若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是(　　)
A．若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線
B．若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β
D．若m，n在平面α內的射影互相平行，則m，n互相平行
【答案】B　【解析】A中，m，n可為相交直線；B正確；C中，n可以平行β，也可以在β內；D中，m，n也可能異面．
7．若平面β截三棱錐所得的截面為平行四邊形，則該三棱錐的所有棱中與平面β平行的棱有(　　)
A．0條 B．1條
C．2條 D．1條或2條
【答案】C　【解析】如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.
∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又∵EF 平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.
又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2條棱與平面EFGH平行．因此選C.
8.如圖，已知四棱錐P ABCD的底面是平行四邊形，點F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，則λ的值為(　　)
A．1 B.
C．3 D．2
【答案】A　【解析】連接AC交BD于點O，連接OF，
∵四棱錐P ABCD的底面是平行四邊形，
∴AO＝OC，
∵點F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC，∴λ＝1.故選A.
9．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，有以下四個命題：
①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.
其中真命題的序號是(　　)
A．②③ B．③④
C．①④ D．①②
【答案】A　【解析】對于命題①，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯誤的；易知②③正確；對于命題④，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯誤的．故選A.
5.如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，點E，F，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點．則下列敘述中正確的是(　　)
A．直線BQ∥平面EFG
B．直線A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
【答案】B　【解析】過點E，F，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點)，
∵A1B∥HE，A1B 平面EFG，HE 平面EFG，∴A1B∥平面EFG.故選B.
【練提升】
1.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：
①沒有水的部分始終呈棱柱形；
②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；
③棱A1D1始終與水面所在平面平行；
④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．
其中正確命題的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C　【解析】由題圖，顯然①是正確的，②是錯誤的；
對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG且A1D1 平面EFGH，FG 平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH(水面)．
∴③是正確的；
對于④，∵水是定量的(定體積V)，∴S△BEF·BC＝V，
即BE·BF·BC＝V.
∴BE·BF＝(定值)，即④是正確的，故選C.
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
【答案】D　【解析】m∥α，m∥β，則有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C點可以在平面β內，AC與直線l異面垂直，如圖所示，此時AC⊥β不成立，所以D不一定成立．
3.如圖，在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　【解析】如圖，分別取C1D1，
B1C1的中點P，Q，
連接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，
易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，
所以四邊形ANPD為平行四邊形，所以AN∥DP.
又BD和DP為平面DBQP內的兩條相交直線，MN和AN是平面AMN內的兩條相交直線，
所以平面DBQP∥平面AMN，四邊形DBQP的面積即為所求．
因為PQ∥DB，所以四邊形DBQP為梯形，
PQ＝BD＝，
梯形的高h＝ ＝，
所以四邊形DBQP的面積為(PQ＋BD)h＝.故選B.
4．如圖所示，三棱柱ABC A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．
【解析】設BC1∩B1C＝O，連接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，
∵四邊形BCC1B1是菱形，
∴O為BC1的中點，∴D為A1C1的中點，即A1D∶DC1＝1.
【答案】1
5.如圖所示，三棱柱ABC A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．
【解析】如圖，設BC1∩B1C＝O，連接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，
∵四邊形BCC1B1是菱形，
∴O為BC1的中點，
∴D為A1C1的中點，則A1D∶DC1＝1.
【答案】1
6．設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.
其中是真命題的是________(填序號)．
【解析】①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤．
【答案】②
7．如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________.
【解析】因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥PQ.
又因為B1D1∥BD，所以BD∥PQ，設PQ∩AB＝M，因為AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.
所以＝＝2，即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
所以＝＝，
所以PM＝BD，又BD＝a，所以PQ＝a.
【答案】a
8．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________．
【解析】①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
【答案】①④
9.如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．
求證：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
證明：(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，
則MO為△ABE的中位線，
所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線，
所以BD∥MN，
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE與BD為平面BDE內的兩條相交直線，
所以平面BDE∥平面MNG.
10.如圖，已知四棱錐P ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點．
(1)求證：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比．
【解析】(1)證明：在平行四邊形ABCD中，連接AC，設AC，BD的交點為O(圖略)，則O是AC的中點．
又E是PA的中點，連接EO，
則EO是△PAC的中位線，所以PC∥EO，
又EO 平面EBD，PC 平面EBD，所以PC∥平面EBD.
(2)設三棱錐E ABD的體積為V1，高為h，四棱錐P ABCD的體積為V，
則三棱錐E ABD的體積V1＝×S△ABD×h，
因為E是PA的中點，所以四棱錐P ABCD的高為2h，所以四棱錐P ABCD的體積V＝×S四邊形ABCD×2h＝4×S△ABD×h＝4V1，所以(V－V1)∶V1＝3∶1，
所以平面BDE分此棱錐得到的兩部分的體積比為3∶1或1∶3.第35講 直線、平面平行的判定及性質
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理；
2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題.
【備考策略】
從近三年卷情況來看，本講是卷的重點考查內容．預測2022年將會以以下兩種方式進行考查：①以幾何體為載體，考查線面平行的判定；②根據平行關系的性質進行轉化．試題常以解答題的第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點一 直線與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行 線面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行 線線平行) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
知識點二 平面與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行 面面平行) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
(1)應用線面平行判定定理的注意點：在推證線面平行時，一定要強調直線a不在平面內，直線b在平面內，且a∥b，否則會出現錯誤．
(2)應用線面平行性質定理的注意點：一條直線平行于一個平面，它可以與平面內的無數條直線平行，但這條直線與平面內的任意一條直線可能平行，也可能異面．
(3)線面平行的判定定理和性質定理使用的區別：如果結論中有a∥α，則要用判定定理，在α內找與a平行的直線；如果條件中有a∥α，則要用性質定理，找(或作)過a且與α相交的平面．
應用定理證明有關平行問題時，一定要滿足定理的前提條件．
(4)面面平行判定定理的一個推論：如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行．符號表示：a α，b α，a∩b＝O，a′ β，b′ β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′ α∥β.
【知識必備】
1．兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．
2．夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．
3．經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
4．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．
5．同一條直線與兩個平行平面所成角相等．
6．如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．
【高頻考點】
高頻考點一　與線、面平行相關命題的判定
【例1】（2023·浙江卷）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【變式探究】【2019·全國Ⅱ卷】設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(　　)
A．α內有無數條直線與β平行 B．α內有兩條相交直線與β平行
C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面
【變式探究】(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝BD1，則下列說法正確的是(　　)
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三點共線
D．平面MNQ∥平面APC
【變式探究】【2019·北京卷】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：
①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．
高頻考點二 直線與平面平行的判定與性質
【例2】（2023·北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【方法技巧】線面平行問題的解題關鍵
(1)證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，從而證明直線與平面平行．
(2)應用線面平行性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面來確定交線．
【變式探究】如圖，在幾何體E ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分別是線段BE，DC的中點．
求證：GF∥平面ADE.
高頻考點三 面面平行的判定與性質
【例3】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點．若N是AB的中點，且CN∥平面AB1M，求CM的長．
【方法技巧】證明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題常用)；
(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題常用)；
(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化進行證明．
【變式探究】（2023·天津卷）如圖，平面，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值為，求線段的長．
【變式探究】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F，G分別是BC，CD，SC的中點，求證：
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
高頻考點四 平行關系的綜合應用
【例4】如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α，點C∈α，點B∈β，點D∈β，點E，F分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求證：EF∥平面β；
(2)若E，F分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．
【方法技巧】利用線面平行或面面平行的性質，可以實現與線線平行的轉化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應線段成比例或相似三角形來解決．　　
【變式探究】已知正方體ABCD A′B′C′D′的棱長為a，點P是平面AA′D′D的中心，Q為B′D′上一點，且PQ∥平面AA′B′B，求線段PQ的長．
第35講 直線、平面平行的判定及性質
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理；
2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題.
【備考策略】
從近三年卷情況來看，本講是卷的重點考查內容．預測2022年將會以以下兩種方式進行考查：①以幾何體為載體，考查線面平行的判定；②根據平行關系的性質進行轉化．試題常以解答題的第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.
【核心知識】
知識點一 直線與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行 線面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行 線線平行) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
知識點二 平面與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行 面面平行) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
(1)應用線面平行判定定理的注意點：在推證線面平行時，一定要強調直線a不在平面內，直線b在平面內，且a∥b，否則會出現錯誤．
(2)應用線面平行性質定理的注意點：一條直線平行于一個平面，它可以與平面內的無數條直線平行，但這條直線與平面內的任意一條直線可能平行，也可能異面．
(3)線面平行的判定定理和性質定理使用的區別：如果結論中有a∥α，則要用判定定理，在α內找與a平行的直線；如果條件中有a∥α，則要用性質定理，找(或作)過a且與α相交的平面．
應用定理證明有關平行問題時，一定要滿足定理的前提條件．
(4)面面平行判定定理的一個推論：如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行．符號表示：a α，b α，a∩b＝O，a′ β，b′ β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′ α∥β.
【知識必備】
1．兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．
2．夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．
3．經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
4．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．
5．同一條直線與兩個平行平面所成角相等．
6．如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．
【高頻考點】
高頻考點一　與線、面平行相關命題的判定
【例1】（2023·浙江卷）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【答案】A
【解析】
連，在正方體中，
M是的中點，所以為中點，
又N是的中點，所以，
平面平面，
所以平面.
因為不垂直，所以不垂直
則不垂直平面，所以選項B,D不正確；
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直線是異面直線，
所以選項B錯誤，選項A正確，故選A。
【變式探究】【2019·全國Ⅱ卷】設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(　　)
A．α內有無數條直線與β平行 B．α內有兩條相交直線與β平行
C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．
【變式探究】(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝BD1，則下列說法正確的是(　　)
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三點共線
D．平面MNQ∥平面APC
【答案】BC　
【解析】如圖，對于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN.
易得AM，CN交于點P，即MN 平面APC，
所以A選項錯誤．
對于B，由A知M，N在平面APC內，由題易知AN∥C1Q，且AN 平面APC，C1Q平面APC.所以B選項正確．
對于C，由A知，A，P，M三點共線，所以C選項正確．
對于D，由A知MN 平面APC，又MN 平面MNQ，所以D選項錯誤．
【變式探究】【2019·北京卷】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：
①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.
【解析】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：
（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；
（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內；
（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.
故答案為：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.
高頻考點二 直線與平面平行的判定與性質
【例2】（2023·北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）如下圖所示：
在正方體中，且，且，
且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面；
（Ⅱ）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設正方體的棱長為，則、、、，，，
設平面的法向量為，由，得，
令，則，，則.
.
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
【方法技巧】線面平行問題的解題關鍵
(1)證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，從而證明直線與平面平行．
(2)應用線面平行性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面來確定交線．
【變式探究】如圖，在幾何體E ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分別是線段BE，DC的中點．
求證：GF∥平面ADE.
證明：(方法一：線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點H，連接HG，HD.
因為G是BE的中點，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中點，
所以DF＝CD.
由四邊形ABCD是矩形得
AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
從而四邊形HGFD是平行四邊形，
所以GF∥DH.
又DH 平面ADE，GF 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(方法二：面面平行，則線面平行)如圖，取AB的中點M，連接MG，MF.
因為G是BE的中點，所以GM∥AE.
又AE 平面ADE，GM 平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，
由M，F分別是AB，CD的中點得MF∥AD.
又AD 平面ADE，MF 平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因為GM∩MF＝M，GM 平面GMF，MF 平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.
因為GF 平面GMF，所以GF∥平面ADE.
高頻考點三 面面平行的判定與性質
【例3】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點．若N是AB的中點，且CN∥平面AB1M，求CM的長．
【解析】(方法一)如圖①，取AB1的中點P，連接NP，PM.因為N是AB的中點，所以NP∥BB1.
因為CM∥BB1，所以NP∥CM，所以NP與CM共面．
因為CN∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP.
所以四邊形CNPM為平行四邊形，所以CM＝NP＝CC1＝2.
圖①
(方法二)如圖②，取BB1的中點Q，連接NQ，CQ.因為N是AB的中點，所以NQ∥AB1.
圖②
因為NQ平面AB1M，AB1 平面AB1M，
所以NQ∥平面AB1M.
因為CN∥平面AB1M，NQ∩NC＝N，NQ，NC 平面NQC，
所以平面NQC∥平面AB1M.
因為平面BCC1B1∩平面NQC＝QC，
平面BCC1B1∩平面AB1M＝MB1，
所以CQ∥MB1.
因為BB1∥CC1，所以四邊形CQB1M是平行四邊形，所以CM＝B1Q＝CC1＝2.
(方法三)如圖③，分別延長BC，B1M并交于一點S，連接AS.
圖③
因為CN∥平面AB1M，CN 平面ABS，平面ABS∩平面AB1M＝AS，所以CN∥AS.
由于AN＝NB，所以BC＝CS.
又CM∥BB1，同理可得SM＝MB1，
所以CM＝BB1＝CC1＝2.
【方法技巧】證明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題常用)；
(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題常用)；
(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化進行證明．
【變式探究】（2023·天津卷）如圖，平面，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值為，求線段的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
【解析】依題意，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），可得，．設，則．
（1）依題意，是平面的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面．
（2）依題意，．
設為平面的法向量，則即不妨令，
可得．因此有．
所以，直線與平面所成角的正弦值為．
（3）設為平面的法向量，則即
不妨令，可得．
由題意，有，解得．經檢驗，符合題意．
所以，線段的長為．
【變式探究】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F，G分別是BC，CD，SC的中點，求證：
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
證明：(1)如圖，連接SB，因為E，G分別是BC，SC的中點，所以EG∥SB.
又因為SB 平面BDD1B1，
EG平面BDD1B1，
所以直線EG∥平面BDD1B1.
(2)如圖，連接SD，因為F，G分別是CD，SC的中點，所以FG∥SD.
又因為SD 平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
高頻考點四 平行關系的綜合應用
【例4】如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α，點C∈α，點B∈β，點D∈β，點E，F分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求證：EF∥平面β；
(2)若E，F分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．
【解析】(1)證明：①當AB，CD在同一平面內時，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF β，BD β，∴EF∥平面β.
②當AB與CD異面時，如圖所示，
設平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四邊形ACDH是平行四邊形．
在AH上取一點G，使AG∶GH＝CF∶FD，
連接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF 平面EFG，∴EF∥平面β.
綜合①②可知，EF∥平面β.
(2)如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF.
∵E，F分別是AB，CD的中點，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF為AC與BD所成的角或其補角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
【方法技巧】利用線面平行或面面平行的性質，可以實現與線線平行的轉化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應線段成比例或相似三角形來解決．　　
【變式探究】已知正方體ABCD A′B′C′D′的棱長為a，點P是平面AA′D′D的中心，Q為B′D′上一點，且PQ∥平面AA′B′B，求線段PQ的長．
【解析】如圖，過點Q作QE∥A′D′，交A′B′于點E，取AA′的中點F，連接EF，PF.
由題可得PF∥AD，AD∥A′D′，
所以QE∥PF.
所以Q，E，F，P四點共面．
又PQ∥平面AA′B′B，平面PQEF∩平面AA′B′B＝EF，
所以PQ∥EF，
所以四邊形PQEF為平行四邊形，
所以QE＝PF＝A′D′，即E是A′B′的中點．
連接AB′，則EF＝AB′＝a，即PQ＝EF＝a.

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