資源簡介

第40講 圓與方程
【練基礎】
1．經過點(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為(　　)
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．已知圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程為(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
3．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為(　　)
A．8 B．4
C．2 D．5
4．已知點A是直角三角形ABC的直角頂點，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，則△ABC的外接圓的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
5．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C． D．2
6．設圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列選項正確的是(　　)
A．圓A的半徑為2
B．圓A截y軸所得的弦長為2
C．圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
7．若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點，則點P到直線y＝kx－1的距離不可能是(　　)
A．4 B．6
C．3＋1 D．8
8．(多選)已知圓C關于y軸對稱，經過點(1,0)且被x軸分成兩段，弧長比為1∶2，則圓C可能的方程為(　　)
A．x2＋2＝ B．x2＋2＝
C．(x－)2＋y2＝ D．(x＋)2＋y2＝
9．設P為直線3x－4y＋11＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為________．
10．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設點P是圓C上的動點．記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為________．
【練提升】
1．已知實數x，y滿足x2＋y2＝4(y≥0)，則m＝x＋y的取值范圍是(　　)
A．(－2，4) B．[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
2．(多選)已知圓C過點M(1，－2)且與兩坐標軸均相切，則下列敘述正確的是(　　)
A．滿足條件的圓C的圓心在一條直線上
B．滿足條件的圓C有且只有一個
C．點(2，－1)在滿足條件的圓C上
D．滿足條件的圓C有且只有兩個，它們的圓心距為4
3．已知點A(－5,0)，B(－1，－3)，若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有兩點M，N，使得△MAB和△NAB的面積均為5，則r的取值范圍是(　　)
A．(2，) B．(2,5)
C．(1，) D．(1,5)
4．阿波羅尼斯是亞歷山大時期的著名數學家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動點P與兩定點M，N的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，則點P的軌跡就是圓，事實上，互換該定理中的部分題設和結論，命題依然成立．已知點M(2,0)，點P為圓O：x2＋y2＝16上的點，若存在x軸上的定點N(t，0)(t>4)和常數λ，對滿足已知條件的點P均有|PM|＝λ|PN|，則λ＝(　　)
A．1 B．
C． D．
5．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲線有深刻系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來研究與此相關的一個問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1,1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
6．在平面直角坐標系xOy中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．
(1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；
(2)求證：過A，B，C三點的圓過定點．
7．已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
8．已知點A(－3,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.
(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
(2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．
第40講 圓與方程
【練基礎】
1．經過點(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為(　　)
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】B　【解析】由得即所求圓的圓心坐標為(1,1)，又由該圓過點(1,0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.
2．已知圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程為(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
【答案】B　【解析】根據題意，設圓心坐標為(0，r)，半徑為r，則32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.
3．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為(　　)
A．8 B．4
C．2 D．5
【答案】C　【解析】設2x＋y＝t，則y＝t－2x，因為x2＋y2＝8，所以x2＋(t－2x)2＝8，整理得5x2－4xt＋t2－8＝0，
因為Δ≥0，即Δ＝16t2－20(t2－8)≥0，
解得－2≤t≤2，所以2x＋y的最大值為2，故選C．
4．已知點A是直角三角形ABC的直角頂點，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，則△ABC的外接圓的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
【答案】D　【解析】因為點A是直角三角形ABC的直角頂點，所以BC2＝AB2＋AC2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(2a＋4)2＋(2－a)2＋4，解得a＝－2，即A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，則△ABC的外接圓的圓心為(－3,0)，半徑為BC＝，所以△ABC的外接圓的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故選D.
5．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C． D．2
【答案】A　【解析】由題意可知，圓心為(1,4)，所以圓心到直線的距離d＝＝1，解得a＝－.故選A．
6．設圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列選項正確的是(　　)
A．圓A的半徑為2
B．圓A截y軸所得的弦長為2
C．圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
【答案】ABC　【解析】把圓A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成標準方程為(x－1)2＋y2＝4，所以該圓A的圓心坐標為(1,0)，半徑為2，A項正確；該圓A截y軸所得的弦長為2×＝2，B項正確；圓心(1,0)到直線3x－4y＋12＝0的距離為3，故圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為3－2＝1，C項正確；圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圓心為(4,4)，半徑為3，根據 ＝5可知，圓A與圓B相切，D項錯誤，故選A、B、C．
7．若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點，則點P到直線y＝kx－1的距離不可能是(　　)
A．4 B．6
C．3＋1 D．8
【答案】D　【解析】如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標為(－3,3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點(0，－1)．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為＝5，則點P到直線y＝kx－1距離的最大值為5＋1＝6，最小值為5－1＝4.選項A、B、C中的值均不大于6，只有選項D中的值大于6，不符合題意．
8．(多選)已知圓C關于y軸對稱，經過點(1,0)且被x軸分成兩段，弧長比為1∶2，則圓C可能的方程為(　　)
A．x2＋2＝ B．x2＋2＝
C．(x－)2＋y2＝ D．(x＋)2＋y2＝
【答案】AB　【解析】由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為，設圓心(0，a), 半徑為r，則rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圓C的方程為x2＋2＝.
9．設P為直線3x－4y＋11＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為________．
【解析】圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為C(1,1)，半徑r＝1，根據對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC|最小，|PC|最小時為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離d＝＝＝2.所以四邊形PACB面積的最小值為＝＝.
【答案】
10．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設點P是圓C上的動點．記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為________．
【解析】設P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.又x＋y表示圓上任一點到原點距離的平方，∴(x＋y)max＝(＋1)2＝36，∴dmax＝74.
【答案】74
【練提升】
1．已知實數x，y滿足x2＋y2＝4(y≥0)，則m＝x＋y的取值范圍是(　　)
A．(－2，4) B．[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
【答案】B　【解析】x2＋y2＝4(y≥0)表示圓x2＋y2＝4的上半部分，如圖所示，直線x＋y－m＝0的斜率為－，在y軸上的截距為m.當直線x＋y－m＝0過點(－2,0)時，m＝－2.設圓心(0,0)到直線x＋y－m＝0的距離為d，則即解得m∈[－2，4]．
2．(多選)已知圓C過點M(1，－2)且與兩坐標軸均相切，則下列敘述正確的是(　　)
A．滿足條件的圓C的圓心在一條直線上
B．滿足條件的圓C有且只有一個
C．點(2，－1)在滿足條件的圓C上
D．滿足條件的圓C有且只有兩個，它們的圓心距為4
【答案】ACD　【解析】因為圓C和兩個坐標軸都相切，且過點M(1，－2)，所以設圓心坐標為(a，－a)(a>0)，故圓心在y＝－x的圖象上，A正確；圓C的方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把點M的坐標代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，則圓心坐標為(1，－1)或(5，－5)，所以滿足條件的圓C有且只有兩個，故B錯誤；圓C的方程分別為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，將點(2，－1)代入可知滿足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正確；它們的圓心距為＝4，D正確．
3．已知點A(－5,0)，B(－1，－3)，若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有兩點M，N，使得△MAB和△NAB的面積均為5，則r的取值范圍是(　　)
A．(2，) B．(2,5)
C．(1，) D．(1,5)
【答案】D　【解析】由題意可得|AB|＝＝5，根據△MAB和△NAB的面積均為5可得M，N到直線AB的距離均為2，由于直線AB的方程為＝，即3x＋4y＋15＝0，若圓上只有一個點到直線AB的距離為2，則圓心到直線AB的距離為＝r＋2，解得r＝1；若圓上只有3個點到直線AB的距離為2，則圓心到直線AB的距離為＝r－2，解得r＝5.故r的取值范圍是(1,5)．選D.
4．阿波羅尼斯是亞歷山大時期的著名數學家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動點P與兩定點M，N的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，則點P的軌跡就是圓，事實上，互換該定理中的部分題設和結論，命題依然成立．已知點M(2,0)，點P為圓O：x2＋y2＝16上的點，若存在x軸上的定點N(t，0)(t>4)和常數λ，對滿足已知條件的點P均有|PM|＝λ|PN|，則λ＝(　　)
A．1 B．
C． D．
【答案】B　【解析】如圖所示，由于圓上的任意一點P均有|PM|＝λ|PN|，所以A，B兩點也滿足該關系式．A(－4，0)，B(4,0)，M(2,0)，N(t,0)，λ＝＝＝＝，解得t＝8，λ＝，故選B.
5．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲線有深刻系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來研究與此相關的一個問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1,1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C　【解析】①當點M在x軸上時，點M的坐標為(－1,0)或(1,0)．
若點M的坐標為(－1,0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋＝1＋；若點M的坐標為(1,0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋＝4.
②當點M不在x軸上時，取點K(－2,0)，
連接OM，MK，因為|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以＝＝2.
因為∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，則＝＝2，
所以|MK|＝2|MA|，則2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|.
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值為|BK|.
因為B(1,1)，K(－2,0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝＝.
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值為.
6．在平面直角坐標系xOy中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．
(1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；
(2)求證：過A，B，C三點的圓過定點．
【解析】由曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.設A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m＞0，則m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB為直徑的圓過點C，則·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.
此時C(0，－1)，AB的中點M即圓心，
半徑r＝|CM|＝，
故所求圓的方程為2＋y2＝.
(2)證明：設過A，B兩點的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
將點C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故過A，B，C三點的圓過定點(0,1)和.
7．已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
【解析】(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點坐標為(1,2)．則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)設圓心P(a，b)，則由點P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又∵直徑|CD|＝4，
∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40. ②
由①②解得或
∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
8．已知點A(－3,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.
(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
(2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．
【解析】(1)設點P的坐標為(x，y)，則＝2.化簡可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲線方程為(x－5)2＋y2＝16.
(2)曲線C是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示．
由題知直線l2與圓C相切，連接CQ，CM，
則|QM|＝
＝，
當CQ⊥l1時，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，
此時|CQ|＝＝4，故|QM|的最小值為＝4.第40講 圓與方程
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.掌握確定圓的幾何要素，圓的標準方程與一般方程，能根據不同的條件，采取標準式或一般式求圓的方程。
2.掌握點與圓的位置關系，能求解與圓有關的軌跡方程。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講為高考中的熱點．預測2022年將會考查：①求圓的方程；②根據圓的方程求最值；③與圓有關的軌跡問題．試題以客觀題的形式呈現，難度不會太大，以中檔題型呈現。
【核心知識】
知識點一 圓的定義及方程
定義 平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓
標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心C：(a，b)
半徑：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圓心：
半徑：r＝
知識點二 點與圓的位置關系
(1)理論依據：點與圓心的距離與半徑的大小關系．
(2)三種情況
圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2 點在圓上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2 點在圓外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2知識點三 空間直角坐標系及有關概念
(1)空間直角坐標系：以空間一點O為原點，建立三條兩兩垂直的數軸：x軸，y軸，z軸．這時建立了空間直角坐標系Oxyz，其中點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸統稱坐標軸，由坐標軸確定的平面叫做坐標平面．
(2)右手直角坐標系的含義是：當右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向時，中指一定指向z軸的正方向．
(3)空間一點M的坐標為有序實數組(x，y，z)，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標．
(4)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝　，AB的中點P的坐標為　　.
【高頻考點】
高頻考點一 求圓的方程
【例1】已知圓C與x軸的正半軸相切于點A，圓心在直線y＝2x上．若點A在直線x－y－4＝0的左上方且到該直線的距離等于，則圓C的標準方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C．(x－2)2＋(y－4)2＝4
D．(x－2)2＋(y－4)2＝16
【方法技巧】求圓的方程的方法
(1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．
(2)待定系數法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設出圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.
【變式探究】(1)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1　 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2，則該圓的方程為_______________________________________________________．
高頻考點二 與圓有關的最值問題
【例2】（2023·北京卷）已知半徑為1的圓經過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【舉一反三】已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　)
A．5－4 B．－1 C．6－2 D．
【方法技巧】
(1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法：一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．
(2)與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
【變式探究】已知點A(－1，0)，B(0，2)，點P是圓C：(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(　　)
A．2，2－ B．2＋，2－
C.，4－ D.＋1，－1高頻考點三 與圓有關的軌跡問題
【例3】（2023·全國高考真題）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
【變式探究】阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數k(k>0，k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足＝， 求|PA|2＋|PB|2的最小值．
【方法技巧】求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程．
(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．
【變式探究】已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．
第40講 圓與方程
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.掌握確定圓的幾何要素，圓的標準方程與一般方程，能根據不同的條件，采取標準式或一般式求圓的方程。
2.掌握點與圓的位置關系，能求解與圓有關的軌跡方程。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講為高考中的熱點．預測2022年將會考查：①求圓的方程；②根據圓的方程求最值；③與圓有關的軌跡問題．試題以客觀題的形式呈現，難度不會太大，以中檔題型呈現。
【核心知識】
知識點一 圓的定義及方程
定義 平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓
標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心C：(a，b)
半徑：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圓心：
半徑：r＝
知識點二 點與圓的位置關系
(1)理論依據：點與圓心的距離與半徑的大小關系．
(2)三種情況
圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2 點在圓上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2 點在圓外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2知識點三 空間直角坐標系及有關概念
(1)空間直角坐標系：以空間一點O為原點，建立三條兩兩垂直的數軸：x軸，y軸，z軸．這時建立了空間直角坐標系Oxyz，其中點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸統稱坐標軸，由坐標軸確定的平面叫做坐標平面．
(2)右手直角坐標系的含義是：當右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向時，中指一定指向z軸的正方向．
(3)空間一點M的坐標為有序實數組(x，y，z)，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標．
(4)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝　，AB的中點P的坐標為　　.
【高頻考點】
高頻考點一 求圓的方程
【例1】已知圓C與x軸的正半軸相切于點A，圓心在直線y＝2x上．若點A在直線x－y－4＝0的左上方且到該直線的距離等于，則圓C的標準方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C．(x－2)2＋(y－4)2＝4
D．(x－2)2＋(y－4)2＝16
【答案】D　
【解析】因為圓C的圓心在直線y＝2x上，所以可設C(a,2a)．
因為圓C與x軸正半軸相切于點A，所以a>0且圓C的半徑r＝2a，A(a,0)．
因為點A到直線x－y－4＝0的距離d＝，所以d＝＝，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．
因為A在直線x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，
所以圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－4)2＝16.
【方法技巧】求圓的方程的方法
(1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．
(2)待定系數法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設出圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.
【變式探究】(1)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1　 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2，則該圓的方程為_______________________________________________________．
【解析】(1)到兩直線3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯立得方程組解得又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故選C.
(2)法一：幾何法
∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，
∴設所求圓的圓心為(3a，a)，
又所求圓與y軸相切，
∴半徑r＝3|a|，
又所求圓在直線y＝x上截得的弦長為2，圓心(3a，a)到直線y＝x的距離d＝，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，
∴a＝±1.
故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：待定系數法
設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線y＝x的距離為，
∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圓與y軸相切，
∴r2＝a2，②
又∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
聯立①②③，解得或
故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：待定系數法
設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則圓心坐標為，
半徑r＝.
在圓的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圓與y軸相切，∴Δ＝0，則E2＝4F.①
圓心到直線y＝x的距離為
d＝，由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圓心在直線x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
聯立①②③，解得或
故所求圓的方程為x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
【答案】(1)C　(2)x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
高頻考點二 與圓有關的最值問題
【例2】（2023·北京卷）已知半徑為1的圓經過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】設圓心，則，
化簡得，
所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
所以，所以，
當且僅當在線段上時取得等號，
【舉一反三】已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　)
A．5－4 B．－1 C．6－2 D．
【答案】A　
【解析】P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關于x軸的對稱點C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
【方法技巧】
(1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法：一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．
(2)與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
【變式探究】已知點A(－1，0)，B(0，2)，點P是圓C：(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(　　)
A．2，2－ B．2＋，2－
C.，4－ D.＋1，－1
【答案】B　
【解析】由題意知|AB|＝＝，
lAB：2x－y＋2＝0，由題意知圓C的圓心坐標為(1，0)，
∴圓心到直線lAB的距離d＝＝.
∴S△PAB的最大值為××＝2＋，
S△PAB的最小值為××＝2－.]
高頻考點三 與圓有關的軌跡問題
【例3】（2023·全國高考真題）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
【答案】ACD
【解析】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；
如下圖所示：
當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項正確，故選ACD。
【變式探究】阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數k(k>0，k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足＝， 求|PA|2＋|PB|2的最小值．
【解析】以經過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，
則A(－1,0)，B(1,0)．
設P(x，y)，因為＝，所以＝，
兩邊平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，
即(x－3)2＋y2＝8.
所以點P的軌跡是以(3,0)為圓心，2為半徑的圓，
則|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋2.
法一：因為x2＋y2－6x＋1＝0，所以|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋6x－1－x2)＋2＝12x.
由y2＝8－(x－3)2≥0，得3－2≤x≤3＋2，
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值為36－24.
法二：由(x－3)2＋y2＝8，
可設(θ∈[0,2π))，
則|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2[(2cos θ＋3)2＋(2sin θ)2]＋2＝24cos θ＋36.
因為θ∈[0,2π)，所以－1≤cos θ≤1，
所以36－24≤24cos θ＋36≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值為36－24.
【方法技巧】求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程．
(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．
【變式探究】已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．
【解析】(1)法一：設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，
由直角三角形的性質知|CD|＝|AB|＝2.
由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)．
所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
法三：設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.
因為AC⊥BC，所以·＝0.
因為A(－1,0)，B(3,0)，C(x，y)，
所以＝(x＋1，y)，＝(x－3，y)，
所以·＝(x＋1)(x－3)＋y2＝x2－2x－3＋y2＝0，
所以直角頂點C的軌跡方程為
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)設M(x，y)，C(x0，y0)，
因為B(3,0)，M是線段BC的中點，
由中點坐標公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

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