資源簡介

第41講 直線與圓、圓與圓的位置關系
【練基礎】
1．圓(x－1)2＋(y＋)2＝1的切線方程中有一個是(　　)
A．x－y＝0　　　　　 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
2．已知直線x＋y＝0與圓(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，則b＝(　　)
A．－3 B．1
C．－3或1 D．
3．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系是(　　)
A．相交 B．外切
C．相離 D．內切
4．若直線：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則k＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
5．在圓x2＋y2＋2x－4y＝0內，過點(0,1)的最短弦所在直線的傾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
6．已知圓C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0關于直線l：x－y＋1＝0對稱，則直線x＝－1與圓C的位置關系是(　　)
A．相切　　　　　　　　 B．相交
C．相離 D．不能確定
7．已知圓C：x2＋y2＝1，直線l：ax－y＋4＝0.若直線l上存在點M，以M為圓心且半徑為1的圓與圓C有公共點，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)　　　 B．[－3,3]
C．(－∞，－ ]∪[，＋∞) D．[－， ]
8．已知圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，圓O2的圓心坐標為(2,1)．若兩圓相交于A，B兩點，且|AB|＝4，則圓O2的方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
9．已知圓M與直線x＋y＋2＝0相切于點A(0，－2)，圓M被x軸所截得的弦長為2，則下列結論錯誤的是(　　)
A．圓M的圓心在定直線x－y－2＝0上
B．圓M的面積的最大值為50π
C．圓M的半徑的最小值為1
D．滿足條件的所有圓M的半徑之積為10
10．(多選)已知圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1, 直線l：y＝kx. 則下列選項中正確的是(　　)
A．對任意實數k和θ，直線l和圓M有公共點
B．對任意實數θ，必存在實數k，使得直線l與圓M相切
C．對任意實數k，必存在實數θ，使得直線l與圓M相切
D．存在實數k與θ，使得圓M上有一點到直線l的距離為3
【練提升】
1．已知過原點的直線l與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點坐標為D(2，)，則弦長為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．在平面直角坐標系內，過點P(0,3)的直線與圓心為C的圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點，則△ABC面積的最大值是(　　)
A．2　　　　　　　　 B．4
C. D．2
3．設過點P(－2,0)的直線l與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的兩個交點為A，B，若8＝5，則|AB|＝(　　)
A. B.
C. D.
4．若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
5．若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個點到直線x－y－2＝0的距離為1，則實數r的取值范圍是(　　)
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
6．已知圓E：x2＋y2－2x＝0，若A為直線l：x＋y＋m＝0上的點，過點A可作兩條直線與圓E分別切于點B，C，且△ABC為等邊三角形，則實數m的取值范圍是________．
7．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0.
(1)當a為何值時，直線l與圓C相切；
(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝2時，求直線l的方程．
8．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．
9．已知圓C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0與圓O：x2＋y2＝4相外切，切點為A，過點P(4,1)的直線與圓C交于點M，N，線段MN的中點為Q.
(1)求點Q的軌跡方程；
(2)若|AQ|＝|AP|，點P與點Q不重合，求直線MN的方程及△AMN的面積．
10．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
第41講 直線與圓、圓與圓的位置關系
【練基礎】
1．圓(x－1)2＋(y＋)2＝1的切線方程中有一個是(　　)
A．x－y＝0　　　　　 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
【答案】C　【解析】結合圖形易知y軸為圓的一條切線，故選C.
2．已知直線x＋y＝0與圓(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，則b＝(　　)
A．－3 B．1
C．－3或1 D．
【答案】C　【解析】由圓的方程知，圓的圓心為(1，b)，半徑為.由直線與圓相切，得＝，解得b＝－3或b＝1，故選C．
3．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系是(　　)
A．相交 B．外切
C．相離 D．內切
【答案】A　【解析】圓O1圓心坐標為O1(1,0)，半徑r1＝1，圓O2圓心坐標為O2(0,2)，半徑r2＝2，圓心距|O1O2|＝＝，因為2－1<<2＋1，即r2－r1<|O1O2|4．若直線：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則k＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】A　【解析】由x2＋y2－2x－3＝0，得(x－1)2＋y2＝4.易知直線y＝kx＋1恒過定點A(0,1)，要使截得的弦最短，需圓心(1,0)和A點的連線與直線y＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.故選A．
5．在圓x2＋y2＋2x－4y＝0內，過點(0,1)的最短弦所在直線的傾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　【解析】易知圓心為(－1,2)，過點(0,1)的最長弦(直徑)斜率為－1，且最長弦與最短弦垂直，∴過點(0,1)的最短弦所在直線的斜率為1，即傾斜角是，故選B.
6．已知圓C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0關于直線l：x－y＋1＝0對稱，則直線x＝－1與圓C的位置關系是(　　)
A．相切　　　　　　　　 B．相交
C．相離 D．不能確定
【答案】A　【解析】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圓心C(1，m)，半徑r＝2，因為圓C關于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以圓心(1，m)在直線l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圓心C(1,2)到直線x＝－1的距離d＝1＋1＝2＝r知，直線x＝－1與圓C相切．故選A．
7．已知圓C：x2＋y2＝1，直線l：ax－y＋4＝0.若直線l上存在點M，以M為圓心且半徑為1的圓與圓C有公共點，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)　　　 B．[－3,3]
C．(－∞，－ ]∪[，＋∞) D．[－， ]
【答案】C　【解析】由題意知，圓C：x2＋y2＝1的圓心(0,0)到直線l：ax－y＋4＝0的距離d≤2，即≤2，解得a≤－或a≥ ，故選C.
8．已知圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，圓O2的圓心坐標為(2,1)．若兩圓相交于A，B兩點，且|AB|＝4，則圓O2的方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
【答案】C　【解析】設圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因為圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，所以直線AB的方程為4x＋4y＋r2－10＝0.圓心O1到直線AB的距離d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.
9．已知圓M與直線x＋y＋2＝0相切于點A(0，－2)，圓M被x軸所截得的弦長為2，則下列結論錯誤的是(　　)
A．圓M的圓心在定直線x－y－2＝0上
B．圓M的面積的最大值為50π
C．圓M的半徑的最小值為1
D．滿足條件的所有圓M的半徑之積為10
【答案】C　【解析】因為圓M與直線x＋y＋2＝0相切于點A(0，－2)，所以直線AM與直線x＋y＋2＝0垂直，即點M落在直線x－y－2＝0上，所以選項A正確；設點M的坐標為(a，a－2)，則圓M的半徑r＝|a|，圓M的方程為(x－a)2＋(y－a＋2)2＝2a2.令y＝0，則(x－a)2＋(－a＋2)2＝2a2，即x2－2ax－4a＋4＝0.因為圓M被x軸所截得的弦長為2，所以＝2，解得a＝－5或a＝1，故圓M的面積的最大值為50π，圓M半徑的最小值為，滿足條件的所有圓M的半徑之積為5×＝10，所以選項B、D正確，選項C錯誤．
10．(多選)已知圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1, 直線l：y＝kx. 則下列選項中正確的是(　　)
A．對任意實數k和θ，直線l和圓M有公共點
B．對任意實數θ，必存在實數k，使得直線l與圓M相切
C．對任意實數k，必存在實數θ，使得直線l與圓M相切
D．存在實數k與θ，使得圓M上有一點到直線l的距離為3
【答案】AC　【解析】圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒過原點O(0,0)，所以A正確；圓心M(－cos θ，sin θ)到直線l的距離為d，d＝＝|sin(θ＋φ)|≤1，∴對于任意實數k，直線l與圓相交或相切，所以選項C正確，選項B不正確；圓上的點到直線l距離最大值為d＋1≤2，所以選項D不正確．故選A、C．
【練提升】
1．已知過原點的直線l與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點坐標為D(2，)，則弦長為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A　【解析】將圓C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其標準方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓C的圓心坐標為(3,0)，半徑為2.∵線段AB的中點坐標為D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故選A.
2．在平面直角坐標系內，過點P(0,3)的直線與圓心為C的圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點，則△ABC面積的最大值是(　　)
A．2　　　　　　　　 B．4
C. D．2
【答案】A　【解析】過點P(0,3)的直線與圓心為C的圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點，
①當直線的斜率不存在時，直線的方程為x＝0，在y軸上所截得的線段長為d＝2×＝2，所以S△ABC＝×2×1＝.
②當直線的斜率存在時，設圓心到直線的距離為d，則所截得的弦長l＝2，所以S△ABC＝×2×d＝×≤＝2，當且僅當d＝時等號成立．又2>，所以△ABC面積的最大值為2.
3．設過點P(－2,0)的直線l與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的兩個交點為A，B，若8＝5，則|AB|＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】由題意，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my－2，由
得(m2＋1)y2－(8m＋2)y＋13＝0，
則y1＋y2＝，y1y2＝，又8＝5，
所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，
故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝y1，代入y1y2＝得：
y＝，故y＝×，
又(y1＋y2)2＝2，
即y＋y＋2y1y2＝×＋＝2，
整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38.
又|AB|＝
＝2，
當m＝2時，|AB|＝；
當m＝38時，|AB|＝.
綜上，|AB|＝.故選A.
4．若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
【答案】B　【解析】如圖，連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，設AB交x軸于點C．在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故選B.
5．若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個點到直線x－y－2＝0的距離為1，則實數r的取值范圍是(　　)
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
【答案】A　【解析】計算得圓心到直線l的距離為＝＞1，如圖，直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應該大于圓心到直線l2的距離＋1.
6．已知圓E：x2＋y2－2x＝0，若A為直線l：x＋y＋m＝0上的點，過點A可作兩條直線與圓E分別切于點B，C，且△ABC為等邊三角形，則實數m的取值范圍是________．
【解析】設圓E的圓心為E，半徑為r，圓E：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，則圓心E(1,0)，半徑r為1，由題意知直線l上存在點A，使得＝sin 30°＝，即|AE|＝2r.又因為|AE|≥d(d為圓心到直線l的距離)，故要使點A存在，只需d≤2r＝2，可得≤2，解得m∈[－2－1，2－1]．
【答案】[－2－1,2－1]
7．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0.
(1)當a為何值時，直線l與圓C相切；
(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝2時，求直線l的方程．
【解析】(1)根據題意，圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，則圓C的標準方程為x2＋(y－4)2＝4，其圓心為(0,4)，半徑r＝2，若直線l與圓C相切，則有＝2，解得a＝－.
(2)設圓心C到直線l的距離為d，則2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，
則有d＝＝，解得a＝－1或－7，則直線l的方程為x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
8．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．
【解析】(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.
設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－，
故l的方程為x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面積為.
9．已知圓C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0與圓O：x2＋y2＝4相外切，切點為A，過點P(4,1)的直線與圓C交于點M，N，線段MN的中點為Q.
(1)求點Q的軌跡方程；
(2)若|AQ|＝|AP|，點P與點Q不重合，求直線MN的方程及△AMN的面積．
【解析】(1)圓C的標準方程為(x－4)2＋(y－3)2＝25－F，圓心C(4,3)，半徑為，
由圓C與圓O相外切知＋2＝，所以F＝16，圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝9.
又點P(4,1)在圓C內，弦MN過點P，且Q是MN的中點，則CQ⊥MN，所以點Q的軌跡就是以CP為直徑的圓，方程為(x－4)2＋(y－2)2＝1.
(2)線段OC與圓O的交點為A，聯立y＝x與x2＋y2＝4，解得點A.
若|AQ|＝|AP|，則P，Q是以點A為圓心，AP為半徑的圓與點Q的軌跡的交點，由2＋2＝2＋2與(x－4)2＋(y－2)2＝1得3x＋y－13＝0，所以直線MN的方程為3x＋y－13＝0.
因為C(4,3)到直線MN的距離d＝＝，
所以|MN|＝2，
又點A到直線MN的距離h＝＝，
所以△AMN的面積S＝|MN|·h＝.
10．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)設圓心C(a,0).
則＝2，解得a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圓C的方程為x2＋y2＝4.
(2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x軸平分∠ANB，
則kAN＝－kBN，即＋＝0，
則＋＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
亦即－＋2t＝0，解得t＝4，
所以當點N坐標為(4,0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立，即x軸平分∠ANB.第41講 直線與圓、圓與圓的位置關系
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據給定兩個圓的方程判斷圓與圓的位置關系。
2.能夠求出圓的切線、弦長、能利用圓系解決相關問題，同時在解題時注意基本運算、等價轉化及數形結合思想的運用。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講為高考必考內容。預測2022年高考將會考查：①直線與圓位置關系的判斷及應用；②直線與圓相交的弦長問題；③利用直線與圓位置關系求參數的取值范圍問題．試題以客觀題形式呈現，難度一般不大，屬中檔題型．此外也不要忽略在解答題中出現的可能性。
【核心知識】
知識點一 直線與圓的位置關系
(1)三種位置關系：相交、相切、相離．
(2)圓的切線方程的常用結論
①過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2；
②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
知識點二 圓與圓的位置關系
設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置關系　　　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關系 代數法：兩圓方程聯立組成方程組的解的情況
外離 d>r1＋r2 無解
外切 d＝r1＋r2 一組實數解
相交 |r1－r2|內切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數解
內含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解
【知識必備】
1．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓系方程
(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是參數；
(2)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解)。
【高頻考點】
高頻考點一 直線與圓的位置關系
【例1】(2020·全國卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【變式探究】（2023·新課標Ⅱ）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【變式探究】（2023·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[ ,3] D．[2，3]
【方法技巧】判斷直線與圓的位置關系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關系．
(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．
(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．
上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．
【變式探究】若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
高頻考點二 圓的弦長問題
【例2】（2023·北京高考真題）已知圓，直線，當變化時，截得圓弦長的最小值為2，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津卷）已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為_________．
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)已知圓x2＋y2－6x＝0，過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【方法技巧】弦長的兩種求法
(1)代數方法：將直線和圓的方程聯立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長．
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.
【變式探究】直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[,3] D．[2,3]
高頻考點三 圓的切線問題
【例3】(2020·全國卷Ⅲ)若直線l與曲線y＝和圓x2＋y2＝都相切，則l的方程為(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
【舉一反三】（2023·浙江卷）設直線，圓，，若直線與，都相切，則_______；b=______．
【方法技巧】求圓的切線方程應注意的問題
求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意斜率不存在的切線．
【舉一反三】【2019·浙江卷】已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓C相切于點，則=___________，=___________．
高頻考點四 圓與圓的位置關系
【例4】如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實數a的取值范圍是________________．
【方法技巧】
(1)判斷兩圓的位置關系多用幾何法，即用兩圓圓心距與半徑和或差的關系判斷，一般不采用代數法．
(2)求兩圓公共弦長的方法是在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．
【變式探究】在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，以O為圓心的圓與直線x－y－4＝0相切．
(1)求圓O的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋3與圓O交于A，B兩點，在圓O上是否存在一點Q，使得＝＋？若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，請說明理由．
第41講 直線與圓、圓與圓的位置關系
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據給定兩個圓的方程判斷圓與圓的位置關系。
2.能夠求出圓的切線、弦長、能利用圓系解決相關問題，同時在解題時注意基本運算、等價轉化及數形結合思想的運用。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講為高考必考內容。預測2022年高考將會考查：①直線與圓位置關系的判斷及應用；②直線與圓相交的弦長問題；③利用直線與圓位置關系求參數的取值范圍問題．試題以客觀題形式呈現，難度一般不大，屬中檔題型．此外也不要忽略在解答題中出現的可能性。
【核心知識】
知識點一 直線與圓的位置關系
(1)三種位置關系：相交、相切、相離．
(2)圓的切線方程的常用結論
①過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2；
②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
知識點二 圓與圓的位置關系
設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　方法位置關系　　　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關系 代數法：兩圓方程聯立組成方程組的解的情況
外離 d>r1＋r2 無解
外切 d＝r1＋r2 一組實數解
相交 |r1－r2|內切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數解
內含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解
【知識必備】
1．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓系方程
(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是參數；
(2)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解)。
【高頻考點】
高頻考點一 直線與圓的位置關系
【例1】(2020·全國卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【答案】D　
【解析】圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝4，點M到直線l的距離為d＝＝＞2，所以直線l與圓相離．由圓的知識可知，A，P，B，M四點共圓，且AB⊥MP，所以|MP|·|AB|＝4S△PAM＝4××|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝，
當直線MP⊥l時，|MP|min＝，|PA|min＝1，
此時|MP|·|AB|最小．
易知直線MP的方程為y－1＝(x－1)，即y＝x＋.
由解得
所以以MP為直徑的圓的方程為(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，
兩圓的方程相減可得：2x＋y＋1＝0，
即為直線AB的方程．故選D.
【變式探究】（2023·新課標Ⅱ）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，
則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必第一象限，
設圓心的坐標為，則圓的半徑為，
圓的標準方程為.
由題意可得，
可得，解得或，
所以圓心的坐標為或，
圓心到直線距離均為；
所以，圓心到直線的距離為.
【變式探究】（2023·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[ ,3] D．[2，3]
【答案】A　
【解析】 圓心(2,0)到直線的距離d＝＝2，所以點P到直線的距離d1∈[，3]．根據直線的方程可知A，B兩點的坐標分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|d1＝d1.因為d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．
【方法技巧】判斷直線與圓的位置關系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關系．
(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．
(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．
上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．
【變式探究】若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【答案】C　
【解析】由題意得圓心為(a,0)，半徑為，圓心到直線的距離為d＝.
由直線與圓有公共點可得≤，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
所以實數a的取值范圍是[－3,1]．
高頻考點二 圓的弦長問題
【例2】（2023·北京高考真題）已知圓，直線，當變化時，截得圓弦長的最小值為2，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題可得圓心為，半徑為2，
則圓心到直線的距離，
則弦長為，
則當時，弦長取得最小值為，解得.
故選：C.
（2023·天津卷）已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為_________．
【答案】5
【解析】因為圓心到直線的距離，
由可得，解得．
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)已知圓x2＋y2－6x＝0，過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【答案】B　
【解析】將圓的方程x2＋y2－6x＝0化為標準方程(x－3)2＋y2＝9.
設圓心為C，則C(3,0)，半徑r＝3.
設點(1,2)為點A，過點A(1,2)的直線為l.
因為(1－3)2＋22＜9，
所以點A(1,2)在圓C的內部，
則直線l與圓C必相交，設交點分別為B，D.
易知當直線l⊥AC時，直線l被該圓所截得的弦的長度最小．
設此時圓心C到直線l的距離為d，
則d＝|AC|＝＝2，
所以|BD|min＝2＝2＝2，
即弦的長度的最小值為2，故選B.
【方法技巧】弦長的兩種求法
(1)代數方法：將直線和圓的方程聯立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長．
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.
【變式探究】直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[,3] D．[2,3]
【答案】A　
【解析】圓心(2,0)到直線的距離d＝＝2，所以點P到直線的距離d1∈[，3]．根據直線的方程可知A，B兩點的坐標分別為(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面積S＝|AB|d1＝d1.因為d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．
高頻考點三 圓的切線問題
【例3】(2020·全國卷Ⅲ)若直線l與曲線y＝和圓x2＋y2＝都相切，則l的方程為(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
【答案】D　
【解析】設直線l在曲線y＝上的切點為(x0，)，則x0>0，函數y＝的導數為y′＝，則直線l的斜率k＝ .
設直線l的方程為y－＝(x－x0)，
即x－2y＋x0＝0.
由于直線l與圓x2＋y2＝相切，則＝，
兩邊平方并整理得5x－4x0－1＝0，
解得x0＝1或x0＝－(舍去)，
所以直線l的方程為x－2y＋1＝0，即y＝x＋.
【舉一反三】（2023·浙江卷）設直線，圓，，若直線與，都相切，則_______；b=______．
【答案】 (1). (2).
【解析】由題意，到直線的距離等于半徑，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
【方法技巧】求圓的切線方程應注意的問題
求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意斜率不存在的切線．
【舉一反三】【2019·浙江卷】已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓C相切于點，則=___________，=___________．
【答案】，
【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時.
高頻考點四 圓與圓的位置關系
【例4】如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實數a的取值范圍是________________．
【答案】(－2，0)∪(0,2)
【解析】圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標為(a，a)，半徑為2.依題意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.所以a∈(－2，0)∪(0,2)．
【方法技巧】
(1)判斷兩圓的位置關系多用幾何法，即用兩圓圓心距與半徑和或差的關系判斷，一般不采用代數法．
(2)求兩圓公共弦長的方法是在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．
【變式探究】在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，以O為圓心的圓與直線x－y－4＝0相切．
(1)求圓O的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋3與圓O交于A，B兩點，在圓O上是否存在一點Q，使得＝＋？若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)設圓O的半徑為r，因為直線x－y－4＝0與圓O相切，所以r＝＝2，所以圓O的方程為x2＋y2＝4.
(2)假設存在點Q，使得＝＋.
因為A，B在圓上，且＝＋，同時||＝||，由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OAQB為菱形，所以OQ與AB互相垂直且平分，所以原點O到直線l：y＝kx＋3的距離d＝|OQ|＝1.即＝1，解得k2＝8，則k＝±2，經驗證滿足條件．所以存在點Q，使得＝＋，此時直線l的斜率為±2.

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