資源簡介

第43講 雙曲線
【練基礎】
1．雙曲線－x2＝1的漸近線方程為(　　)
A．y＝±4x　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的實軸長為4，離心率為 ，則雙曲線的標準方程為(　　)
A．－＝1　　　　　　 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
3．已知離心率為2的雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與橢圓＋＝1有公共焦點，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，焦距為6，則該雙曲線的實軸長為(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
5．若雙曲線C：－＝1的離心率e∈(，2)，則實數m的取值范圍為(　　)
A．(3,6) B．(1,3)
C．(2,3) D．(2,4)
6．已知F2為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，且F2在C的漸近線上的射影為點H，O為坐標原點，若|OH|＝|F2H|，則C的漸近線方程為(　　)
A．x±y＝0　　　　　　　　 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±2y＝0
7．若m為實數，則“1＜m＜2”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的點，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，則C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
9．若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點A到一條漸近線的距離為a，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C．3 D．2
10．已知圓(x－1)2＋y2＝的一條切線y＝kx與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　)
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
【練提升】
1．已知P是雙曲線C：－＝1上任意一點，A，B是雙曲線的兩個頂點，設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|≥t恒成立，且實數t的最大值為1，則下列說法正確的是(　　)
①雙曲線的方程為－y2＝1；②雙曲線的離心率為；③函數y＝loga(x＋1＋)(a＞0，a≠1)的圖象恒過雙曲線C的一個焦點；④直線x－y＝0與雙曲線C有兩個交點．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
2．(多選)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(－5,0)，F2(5,0)，則能使雙曲線C的方程為－＝1的條件是(　　)
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線過點
C．雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0
D．雙曲線的實軸長為4
3．已知直線l與雙曲線－y2＝1相切于點P，l與雙曲線的兩條漸近線分別交于M，N兩點，O為坐標原點，則·＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．與P的位置有關
4．(多選)已知點P是雙曲線E：－＝1的右支上一點，F1，F2為雙曲線E的左、右焦點，△PF1F2的面積為20，則下列說法正確的有(　　)
A．點P的橫坐標為
B．△PF1F2的周長為
C．∠F1PF2小于
D．△PF1F2的內切圓半徑為
5．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是雙曲線C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
6．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C.若＝，則雙曲線的離心率是(　　)
A. B.
C. D.
7．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.
(1)求C的離心率；
(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.
8．已知F1，F2分別是雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，F2到左頂點的距離等于它到漸近線距離的2倍．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)當∠F1PF2＝60°時，△PF1F2的面積為48，求此雙曲線的方程．
9．設A，B分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t (O為坐標原點)，求t的值及點D的坐標．
第43講 雙曲線
【練基礎】
1．雙曲線－x2＝1的漸近線方程為(　　)
A．y＝±4x　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】C　
【解析】由題意可知，雙曲線－x2＝1的漸近線方程為y＝±2x.
2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的實軸長為4，離心率為 ，則雙曲線的標準方程為(　　)
A．－＝1　　　　　　 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
【答案】A　
【解析】因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的實軸長為4，所以a＝2，由離心率為，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，則雙曲線的標準方程為－＝1.
3．已知離心率為2的雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與橢圓＋＝1有公共焦點，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【答案】C　
【解析】∵雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與橢圓＋＝1有公共焦點，由橢圓＋＝1可得c2＝8－4＝4，∴c＝2，∵雙曲線離心率e＝＝2，∴a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴雙曲線的方程為：x2－＝1.
4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，焦距為6，則該雙曲線的實軸長為(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】B　
【解析】因為雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以－2＝－1.又因為焦距為6，故2c＝6，結合a2＋b2＝c2，解得a＝3，b＝3，c＝3，故實軸長2a＝6.故選B.
5．若雙曲線C：－＝1的離心率e∈(，2)，則實數m的取值范圍為(　　)
A．(3,6) B．(1,3)
C．(2,3) D．(2,4)
【答案】B　
【解析】由題意有m＞0，e＝＝，＜＜2，解得1＜m＜3.
6．已知F2為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，且F2在C的漸近線上的射影為點H，O為坐標原點，若|OH|＝|F2H|，則C的漸近線方程為(　　)
A．x±y＝0　　　　　　　　 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±2y＝0
【答案】A　
【解析】由題意F2H⊥OH，∴|F2H|＝＝b，又|F2O|＝c，∴|OH|＝＝a，又|OH|＝|F2H|，∴a＝b，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0.故選A．
7．若m為實數，則“1＜m＜2”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A　
【解析】若方程＋＝1表示雙曲線，則m(m－2)＜0，得0＜m＜2，由1＜m＜2可以得到0＜m＜2，故充分性成立；由0＜m＜2推不出1＜m＜2，故必要性不成立．則“1＜m＜2”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件．
8．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的點，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，則C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【答案】C
【解析】依題意，四邊形MF1NF2為平行四邊形，因為||＝3||，且|MF1|－|MF2|＝2a, 故|MF2|＝a，而x＋y＝b2，故|OM|＝b，而|OF2|＝c，故∠OMF2＝90°.在△NMF2中，|MN|＝2b，|NF2|＝3a，|MF2|＝a，則(2b)2＋a2＝(3a)2，則b2＝2a2，則雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.
9．若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點A到一條漸近線的距離為a，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C．3 D．2
【答案】C　
【解析】由題意得右頂點A(a,0)，漸近線方程為y＝±x，所以點A到一條漸近線的距離d＝＝＝a，所以＝，所以＝＝1－＝，得＝9，所以e＝＝3，故選C．
10．已知圓(x－1)2＋y2＝的一條切線y＝kx與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　)
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】D　
【解析】由題意，圓心(1,0)到切線的距離d＝＝，解得k＝±，因為圓(x－1)2＋y2＝的一條切線y＝kx與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)有兩個交點，所以＞，所以e2＝1＋＞4，所以e＞2.
【練提升】
1．已知P是雙曲線C：－＝1上任意一點，A，B是雙曲線的兩個頂點，設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|≥t恒成立，且實數t的最大值為1，則下列說法正確的是(　　)
①雙曲線的方程為－y2＝1；②雙曲線的離心率為；③函數y＝loga(x＋1＋)(a＞0，a≠1)的圖象恒過雙曲線C的一個焦點；④直線x－y＝0與雙曲線C有兩個交點．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
【答案】B　
【解析】設A(－2,0)，B(2,0)，P(x，y)(x≠±2)，則－＝1，所以k1＝，k2＝，所以k1k2＝×＝＝，又|k1|＋|k2|≥2＝2＝，當且僅當|k1|＝|k2|＝時等號成立，且|k1|＋|k2|≥t，實數t的最大值為1，所以＝1，即m＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1，故①正確；雙曲線的離心率e＝＝＝ ＝，故②錯誤；雙曲線的焦點坐標為(±，0)，函數y＝loga(x＋1＋)(a＞0，a≠1)的圖象過定點(－，0)，故③正確；雙曲線的漸近線為y＝±x，而直線x－y＝0的斜率為1＞，所以直線x－y＝0與雙曲線C沒有交點，故④錯誤．綜上，正確的是①③，故選B.
2．(多選)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(－5,0)，F2(5,0)，則能使雙曲線C的方程為－＝1的條件是(　　)
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線過點
C．雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0
D．雙曲線的實軸長為4
【答案】ABC　
【解析】由題意可得焦點在x軸上，且c＝5，A選項，若雙曲線的離心率為，則a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此時雙曲線的方程為－＝1，故A正確；B選項，若雙曲線過點，則得此時雙曲線的方程為－＝1，故B正確；C選項，若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設雙曲線的方程為－＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此時雙曲線的方程為－＝1，故C正確；D選項，若雙曲線的實軸長為4，則a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此時雙曲線的方程為－＝1，故D錯誤．故選A、B、C．
3．已知直線l與雙曲線－y2＝1相切于點P，l與雙曲線的兩條漸近線分別交于M，N兩點，O為坐標原點，則·＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．與P的位置有關
【答案】A　
【解析】設切點P(x0，y0)，則－y＝1，切線l的方程為x0x－y0y＝1.由題意知該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，不妨設M為直線l與漸近線y＝x的交點，由得即交點M，，
同理可得N，所以·＝＝＝3，故選A.
4．(多選)已知點P是雙曲線E：－＝1的右支上一點，F1，F2為雙曲線E的左、右焦點，△PF1F2的面積為20，則下列說法正確的有(　　)
A．點P的橫坐標為
B．△PF1F2的周長為
C．∠F1PF2小于
D．△PF1F2的內切圓半徑為
【答案】ABCD　
【解析】如圖，雙曲線E：－＝1的a＝4，b＝3，c＝5，不妨設P(m，n)，m＞0，n＞0，由△PF1F2的面積為20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4.由－＝1，可得m＝，故A正確；由P，且F1(－5,0)，F2(5,0)，可得kPF1＝，k＝，則tan∠F1PF2＝＝∈(0，)，則∠F1PF2＜，故C正確；由|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝＋＝，則△PF1F2的周長為＋10＝，故B正確；設△PF1F2的內切圓半徑為r，可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝·|F1F2|·4，可得r＝40，解得r＝，故D正確．故選A、B、C、D.
5．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是雙曲線C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
【答案】A　
【解析】由題意知a＝，b＝1，c＝，
設F1(－，0)，F2(，0)，
則＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
∵點M(x0，y0)在雙曲線C上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，解得－6．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C.若＝，則雙曲線的離心率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C　
【解析】直線l：y＝－x＋a與漸近線l1：bx－ay＝0交于B，l與漸近線l2：bx＋ay＝0交于C，A(a,0)，所以＝，＝，因為＝，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故選C.
7．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.
(1)求C的離心率；
(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.
【解析】
(1)設雙曲線的離心率為e，焦距為2c，
在－＝1中，
當BF⊥AF時，點B的橫坐標為c，
則B點的縱坐標為y＝±，
因|AF|＝|BF|，
所以a＋c＝，即a2＋ac＝b2，
a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，又e＞1，解得e＝2.
(2)由(1)知2a＝c，b2＝3a2，
所以雙曲線方程可化為－＝1.
如圖，設B(x，y)(x＞0，y＞0)，
則kAB＝，kBF＝，
設∠BAF＝θ，則tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，
又因為0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，所以∠BFA＝2∠BAF.
8．已知F1，F2分別是雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，F2到左頂點的距離等于它到漸近線距離的2倍．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)當∠F1PF2＝60°時，△PF1F2的面積為48，求此雙曲線的方程．
【解析】
(1)因為雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，所以點F2到漸近線的距離為＝b(其中c是雙曲線的半焦距)，由題意知c＋a＝2b，又因為a2＋b2＝c2，解得b＝a，故所求雙曲線的漸近線方程是4x±3y＝0.
(2)因為∠F1PF2＝60°，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2.　　　 ①
又由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a，
平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，　②
①②相減得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.
根據三角形的面積公式得S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝·4b2＝b2＝48，得b2＝48.
再由(1)得a2＝b2＝27，故所求雙曲線方程是－＝1.
9．設A，B分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t (O為坐標原點)，求t的值及點D的坐標．
【解析】
(1)由題意知a＝2，
因為一條漸近線為y＝x，即bx－ay＝0，
所以由焦點到漸近線的距離為，得＝.
又因為c2＝a2＋b2，所以b2＝3，
所以雙曲線的方程為－＝1.
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)，
則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
將直線方程y＝x－2代入雙曲線方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
則x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
所以解得
所以t＝4，點D的坐標為(4，3)．第43講 雙曲線
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
　 1.掌握雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)。
2．掌握直線與雙曲線位置關系的判斷，并能求解與雙曲線有關的簡單問題，理解數形結合思想在解決問題中的應用。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的熱點。預測2022年高考會考查：①雙曲線定義的應用與標準方程的求解；②漸近線方程與離心率的求解。試題以客觀題的形式呈現，難度不大，以中檔題為主。
【核心知識】
知識點一 雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c為常數，且a>0，c>0.
(1)當a＜c時，點P的軌跡是雙曲線；
(2)當a＝c時，點P的軌跡是兩條射線；
(3)當a＞c時，點P不存在．
知識點二 雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2
實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
【特別提醒】雙曲線中的幾個常用結論
(1)焦點到漸近線的距離為b．
(2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
(3)雙曲線為等軸雙曲線 雙曲線的離心率e＝ 雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．
(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為．
(5)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|．
(6)雙曲線的離心率公式可表示為e＝．
【高頻考點】
高頻考點一 雙曲線的定義及其應用
【例1】（2023·全國高考真題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．
【變式探究】（2023·北京卷）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．
【方法技巧】
(1)利用雙曲線的定義判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出雙曲線方程．
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立為|PF1|·|PF2|的關系．
(3)在運用雙曲線的定義解題時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支．
【變式探究】(2020·浙江卷)已知點O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．設點P滿足|PA|－|PB|＝2，且P為函數y＝3圖象上的點，則|OP|＝(　　)
A． B． C． D．
高頻考點二 雙曲線的標準方程
【例2】（2023·北京高考真題）雙曲線過點，且離心率為，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
，
【變式探究】(2020·天津卷)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為(　　)
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－y2＝1 D．x2－y2＝1
【方法技巧】求雙曲線標準方程的一般方法
(1)待定系數法：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出參數a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線－＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出a的值，由定點位置確定c的值．
【變式探究】．與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程為____________．
高頻考點三 雙曲線的離心率
【例3】（2023·全國高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
，
【變式探究】(2020·全國卷Ⅲ)設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝x，則C的離心率為________．
【舉一反三】（2023·新課標Ⅲ）設雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)設F1，F2是雙曲線C：x2－＝1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為(　　)
A. B．3
C. D．2
【變式探究】(2020·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率是________．
高頻考點四 雙曲線的漸近線方程
例4.（2023·新課標Ⅱ）設O為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于D、E兩點，若的面積為8，則C的焦距的最小值為（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【變式探究】(2019·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________．
【舉一反三】(2020·天津高考)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1　　　　　 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
【變式探究】雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
高頻考點四 直線與雙曲線的綜合應用
【例4】（2023·浙江高考真題）已知，函數.若成等比數列，則平面上點的軌跡是（ ）
A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線
【方法技巧】解有關直線與雙曲線的位置關系的方法
(1)解決此類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系，整體代入．
(2)與中點有關的問題常用點差法．
(3)根據直線的斜率與漸近線的斜率的關系來判斷直線與雙曲線的位置關系．
【變式探究】若雙曲線E：－y2＝1(a＞0)的離心率等于，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若＝6，點C是雙曲線上一點，且＝m(＋)，求k，m的值．
第43講 雙曲線
【學科素養】數學抽象、邏輯推理、數學運算
【課標解讀】
　 1.掌握雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)。
2．掌握直線與雙曲線位置關系的判斷，并能求解與雙曲線有關的簡單問題，理解數形結合思想在解決問題中的應用。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的熱點。預測2022年高考會考查：①雙曲線定義的應用與標準方程的求解；②漸近線方程與離心率的求解。試題以客觀題的形式呈現，難度不大，以中檔題為主。
【核心知識】
知識點一 雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c為常數，且a>0，c>0.
(1)當a＜c時，點P的軌跡是雙曲線；
(2)當a＝c時，點P的軌跡是兩條射線；
(3)當a＞c時，點P不存在．
知識點二 雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2
實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
【特別提醒】雙曲線中的幾個常用結論
(1)焦點到漸近線的距離為b．
(2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
(3)雙曲線為等軸雙曲線 雙曲線的離心率e＝ 雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．
(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為．
(5)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|．
(6)雙曲線的離心率公式可表示為e＝．
【高頻考點】
高頻考點一 雙曲線的定義及其應用
【例1】（2023·全國高考真題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．
【答案】4
【解析】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距，
故答案為4。
【變式探究】（2023·北京卷）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】在雙曲線C中，，，則，則雙曲線C的右焦點坐標為，
雙曲線C的漸近線方程為，即，
所以，雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為.
【方法技巧】
(1)利用雙曲線的定義判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出雙曲線方程．
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立為|PF1|·|PF2|的關系．
(3)在運用雙曲線的定義解題時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支．
【變式探究】(2020·浙江卷)已知點O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．設點P滿足|PA|－|PB|＝2，且P為函數y＝3圖象上的點，則|OP|＝(　　)
A． B． C． D．
【答案】D　【解析】由雙曲線定義可知，點P在以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支上．設P(x，y)，則x2－＝1(x≥1)，
將y＝3代入可得x2＝，
所以y2＝3(x2－1)＝，所以|OP|＝＝.
故選D．
高頻考點二 雙曲線的標準方程
【例2】（2023·北京高考真題）雙曲線過點，且離心率為，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，則，，則雙曲線的方程為，
將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，
因此，雙曲線的方程為，故選A。
【變式探究】(2020·天津卷)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為(　　)
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－y2＝1 D．x2－y2＝1
【答案】D　
【解析】由題意知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線C為等軸雙曲線，漸近線的斜率分別為1和－1.因為直線l與一條漸近線平行，拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，所以＝－1，即b＝1.所以雙曲線C的方程為x2－y2＝1.故選D．
【方法技巧】求雙曲線標準方程的一般方法
(1)待定系數法：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出參數a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線－＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出a的值，由定點位置確定c的值．
【變式探究】．與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程為____________．
【答案】－＝1　
【解析】設與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k.將點(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，所以雙曲線的標準方程為－＝1.
高頻考點三 雙曲線的離心率
【例3】（2023·全國高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因為,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即，故選A。
【變式探究】(2020·全國卷Ⅲ)設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝x，則C的離心率為________．
【解析】由雙曲線的一條漸近線為y＝x可知，＝，即b＝a.在雙曲線中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.
【答案】
【舉一反三】（2023·新課標Ⅲ）設雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
，，根據雙曲線的定義可得，
，即，
，，
，即，解得，
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)設F1，F2是雙曲線C：x2－＝1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為(　　)
A. B．3
C. D．2
【答案】B　【解析】設F1，F2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(－2,0)，F2(2,0)．
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，
所以△PF1F2是直角三角形，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.
不妨令點P在雙曲線C的右支上，
則有|PF1|－|PF2|＝2，
兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|＝6，
則S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故選B.
【變式探究】(2020·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率是________．
【答案】　
【解析】因為雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±x，所以＝，所以a＝2，則離心率e＝＝＝.
高頻考點四 雙曲線的漸近線方程
例4.（2023·新課標Ⅱ）設O為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于D、E兩點，若的面積為8，則C的焦距的最小值為（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于D、E兩點
不妨設D為在第一象限，在第四象限
聯立，解得
故
聯立，解得
故
面積為：
雙曲線
其焦距為
當且僅當取等號
C的焦距的最小值為8。
【變式探究】(2019·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________．
【答案】y＝±x　
【解析】∵雙曲線x2－＝1(b>0)經過點(3，4)，∴32－＝1，解得b2＝2，即b＝.
又a＝1，∴該雙曲線的漸近線方程是y＝±x.
【舉一反三】(2020·天津高考)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1　　　　　 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
【答案】D
【解析】由題知y2＝4x的焦點坐標為(1,0)，則過焦點和點(0，b)的直線方程為x＋＝1，而－＝1的漸近線方程為＋＝0和－＝0，由l與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得a＝1，b＝1，故選D.
【變式探究】雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A　
【解析】(方法一)由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
(方法二)由e＝＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
高頻考點四 直線與雙曲線的綜合應用
【例4】（2023·浙江高考真題）已知，函數.若成等比數列，則平面上點的軌跡是（ ）
A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線
【答案】C
【解析】由題意得，即，
對其進行整理變形：
，
，
，
，
所以或，
其中為雙曲線，為直線.
故選C。
【方法技巧】解有關直線與雙曲線的位置關系的方法
(1)解決此類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系，整體代入．
(2)與中點有關的問題常用點差法．
(3)根據直線的斜率與漸近線的斜率的關系來判斷直線與雙曲線的位置關系．
【變式探究】若雙曲線E：－y2＝1(a＞0)的離心率等于，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若＝6，點C是雙曲線上一點，且＝m(＋)，求k，m的值．
【解析】(1)由得故雙曲線E的方程為x2－y2＝1.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因為直線與雙曲線右支交于A，B兩點，所以
即即
所以1＜k＜，即k的取值范圍是(1，)．
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝6，整理得28k4－55k2＋25＝0，所以k2＝或k2＝，又1＜k＜，所以k＝，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.設C(x3，y3)，由＝m(＋)得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)，因為點C是雙曲線上一點，所以80m2－64m2＝1，得m＝±，故k＝，m＝±.

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