資源簡介

第48講 變量相關(guān)性與統(tǒng)計案例
【練基礎(chǔ)】
1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是(　　)
A．26　　　　　　　　　 B．60
C．18 D．1 080
2．某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點圖：
由此散點圖，在10 ℃至40 ℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(　　)
A．y＝a＋bx　　　　　　　　 B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
3．某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(　　)
A．504 B．210
C．336 D．120
4．某模具廠采用了新工藝后，原材料支出費用x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下數(shù)據(jù)，由散點圖可知，銷售額y與原材料支出費用x有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是＝x＋48，則當(dāng)原材料支出費用為40時，預(yù)估銷售額為(　　)
x 10 15 20 25 30
y 110 125 160 185 220
A.252 B．268
C．272 D．288
5．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　)
A．192種 B．216種
C．240種 D．288種
6．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.
非一線 一線 總計
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
總計 58 42 100
計算得，K2≈9.616.
參照下表，
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
下列結(jié)論正確的是(　　)
A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
B．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
C．有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
D．有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
7．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為(　　)
A．CA B．CA
C．CA D．CA
8．千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表：
　　　　夜晚天氣日落云里走　　　　 下雨 未下雨
出現(xiàn) 25 5
未出現(xiàn) 25 45
臨界值表
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
并計算得到K2≈19.05，下列小波對地區(qū)A天氣判斷正確的是(　　)
A．夜晚下雨的概率約為
B．未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為
C．有99.9%的把握認為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)
D．出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認為夜晚會下雨
9.某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長為2個單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i＝1,2，…，6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有(　　)
A．22種 B．24種
C．25種 D．27種
10．將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
【練提升】
1．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　)
A．18種 B．24種
C．36種 D．48種
2．為了均衡教育資源，加大對偏遠地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年教育支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與x的回歸直線方程為＝0.15x＋0.2.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，則年教育支出平均增加________萬元．
3．北京大興國際機場為4F級國際機場、大型國際樞紐機場、國家發(fā)展新動力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道，若有2架飛往不同目的地的飛機要從以上不同跑道同時起飛，且西一跑道、西二跑道至少有一道被選取，則共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)
4．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：(單位：人)
幾何題 代數(shù)題 總計
男同學(xué) 22 8 30
女同學(xué) 8 12 20
總計 30 20 50
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺和空間想象能力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過________．
附表：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
5．將甲、乙等5名交警分配到三個不同的路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________種．
6．近五年來某草場羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點圖，如圖所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只數(shù)量/萬只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指數(shù) 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根據(jù)表及圖得到以下判斷：
①羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系；
②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為r1，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為r2，則|r1|＜|r2|；
③可以利用回歸直線方程，準確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時的草地植被指數(shù)．
以上判斷中正確的個數(shù)是________．
7．從4名男同學(xué)中選出2人，6名女同學(xué)中選出3人，并將選出的5人排成一排．
(1)共有多少種不同的排法？
(2)若選出的2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數(shù)字表示)
8.“學(xué)習(xí)強國”APP是由中宣部主管以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端＋手機客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺，2019年1月1日上線后便成了黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”，為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強國”APP的學(xué)習(xí)情況，研究人員隨機抽取了200名該地黨員進行調(diào)查，將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強國”APP上所得的分數(shù)統(tǒng)計如表(1)所示：
表(1)
分數(shù) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人數(shù) 50 100 20 30
(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法從80分及以上的黨員中隨機抽取5人，再從抽取的5人中隨機選取2人作為學(xué)習(xí)小組長，求所選取的兩位小組長的分數(shù)都在上的概率；
(2)為了調(diào)查“學(xué)習(xí)強國”APP得分情況是否受到所在單位的影響，研究人員隨機抽取了機關(guān)事業(yè)單位黨員以及國有企業(yè)黨員作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如表所示：
表(2)
機關(guān)事業(yè)單位黨員 國有企業(yè)黨員
分數(shù)超過80 220 150
分數(shù)不超過80 80 50
判斷是否有99%的把握認為“學(xué)習(xí)強國”APP得分情況受所在單位的影響．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
9．一汽車銷售公司對開業(yè)4年來某種型號的汽車“五一”優(yōu)惠金額與銷售量之間的關(guān)系進行分析研究并做了記錄，得到如下資料：
日期 第一年 第二年 第三年 第四年
優(yōu)惠金額x/千元 10 11 13 12
銷售量y/輛 22 24 31 27
(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋；
(2)若第5年優(yōu)惠金額8.5千元，估計第5年的銷售量y(輛)的值．
參考公式：＝，＝－.
10．用0,1,2,3,4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(1)比21 034大的偶數(shù)；
(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．
第48講 變量相關(guān)性與統(tǒng)計案例
【練基礎(chǔ)】
1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是(　　)
A．26　　　　　　　　　 B．60
C．18 D．1 080
【答案】A　【解析】由分類加法計數(shù)原理知有5＋12＋3＋6＝26(種)不同走法．
2．某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點圖：
由此散點圖，在10 ℃至40 ℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(　　)
A．y＝a＋bx　　　　　　　　 B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
【答案】D　【解析】用光滑的曲線把圖中各點連接起來，由圖象的大致走向判斷，此函數(shù)應(yīng)該是對數(shù)函數(shù)類型的，故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y＝a＋bln x.
3．某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(　　)
A．504 B．210
C．336 D．120
【答案】A　【解析】分三步，先插一個新節(jié)目，有7種方法，再插第二個新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個節(jié)目，有9種方法．故共有7×8×9＝504種不同的插法．
4．某模具廠采用了新工藝后，原材料支出費用x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下數(shù)據(jù)，由散點圖可知，銷售額y與原材料支出費用x有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是＝x＋48，則當(dāng)原材料支出費用為40時，預(yù)估銷售額為(　　)
x 10 15 20 25 30
y 110 125 160 185 220
A.252 B．268
C．272 D．288
【答案】C　【解析】由題意得＝20，＝160，將點代入回歸方程＝x＋48中，得＝5.6，∴回歸方程為＝5.6x＋48，∴當(dāng)x＝40時，＝272，故選C.
5．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　)
A．192種 B．216種
C．240種 D．288種
【答案】B　【解析】第一類：甲在左端，有A＝120種排法；
第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96種排法；
所以共有120＋96＝216種排法．
6．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.
非一線 一線 總計
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
總計 58 42 100
計算得，K2≈9.616.
參照下表，
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
下列結(jié)論正確的是(　　)
A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
B．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
C．有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”
D．有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關(guān)”
【答案】C　【解析】因為K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關(guān)”，故選C.
7．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為(　　)
A．CA B．CA
C．CA D．CA
【答案】C　【解析】先排第1號瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有C種方法，再排剩余的瓶子，有A種方法，故不同的放法共CA種，故選C.
8．千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表：
　　　　夜晚天氣日落云里走　　　　 下雨 未下雨
出現(xiàn) 25 5
未出現(xiàn) 25 45
臨界值表
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
并計算得到K2≈19.05，下列小波對地區(qū)A天氣判斷正確的是(　　)
A．夜晚下雨的概率約為
B．未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為
C．有99.9%的把握認為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)
D．出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認為夜晚會下雨
【答案】D　【解析】由題意，把頻率看作概率可得夜晚下雨的概率約為＝，故A判斷正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為＝，故B判斷正確；由K2≈19.05>10.828，根據(jù)臨界值表，可得有99.9%的把握認為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)，故C判斷正確，D判斷錯誤，故選D.
9.某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長為2個單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i＝1,2，…，6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有(　　)
A．22種 B．24種
C．25種 D．27種
【答案】D　【解析】由題意知正方形ABCD(邊長為2個單位)的周長是8個單位，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，表示三次骰子的點數(shù)之和是8或16，點數(shù)和為8或16的有125,134,116,224,233,466,556，共有7種組合．組合125,134，每種情況可以排列出A＝6種走法，共有2A＝2×6＝12種走法；組合116,224,233,466,556各自可以列出3種走法，共有5×3＝15種走法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋15＝27(種)走法，故選D.
10．將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
【答案】A　【解析】將4名學(xué)生均分為2個小組共有＝3(種)分法；將2個小組的同學(xué)分給2名教師共有A＝2(種)分法；最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A＝2(種)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(種)．
【練提升】
1．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　)
A．18種 B．24種
C．36種 D．48種
【答案】C【解析】若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6種；若甲、乙搶的是兩個6元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C.
2．為了均衡教育資源，加大對偏遠地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年教育支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與x的回歸直線方程為＝0.15x＋0.2.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，則年教育支出平均增加________萬元．
【解析】因為回歸直線的斜率為0.15，所以家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加0.15萬元．
【答案】0.15
3．北京大興國際機場為4F級國際機場、大型國際樞紐機場、國家發(fā)展新動力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道，若有2架飛往不同目的地的飛機要從以上不同跑道同時起飛，且西一跑道、西二跑道至少有一道被選取，則共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)
【解析】從4條跑道中選取安排共有A＝12種選擇，排除西一跑道、西二跑道都沒有的A＝2種選擇，共有12－2＝10種選擇．
【答案】10
4．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：(單位：人)
幾何題 代數(shù)題 總計
男同學(xué) 22 8 30
女同學(xué) 8 12 20
總計 30 20 50
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺和空間想象能力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過________．
附表：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【解析】由列聯(lián)表計算K2的觀測值k＝≈5.556>5.024.∴推斷犯錯誤的概率不超過0.025.
【答案】0.025
5．將甲、乙等5名交警分配到三個不同的路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________種．
【解析】把甲、乙2人看作一個整體，5個人變成了4個，再把這4個人分成3部分，每部分至少1人，共有C種方法，再把這3部分人分到3個路口，有A種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同分法的種類為CA＝36(種)．
【答案】36
6．近五年來某草場羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點圖，如圖所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只數(shù)量/萬只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指數(shù) 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根據(jù)表及圖得到以下判斷：
①羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系；
②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為r1，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為r2，則|r1|＜|r2|；
③可以利用回歸直線方程，準確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時的草地植被指數(shù)．
以上判斷中正確的個數(shù)是________．
【解析】對于①，羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成負相關(guān)關(guān)系，不是減函數(shù)關(guān)系，所以①錯誤；對于②，用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為r1，因為第一年數(shù)據(jù)(1.4,1.1)是離群值，去掉后得到的相關(guān)系數(shù)為r2，其相關(guān)性更強，所以|r1|＜|r2|，②正確；對于③，利用回歸直線方程，不能準確得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時的草地植被指數(shù)，得到的只是預(yù)測值，所以③錯誤．綜上知，正確的判斷序號是②，共1個．
【答案】1
7．從4名男同學(xué)中選出2人，6名女同學(xué)中選出3人，并將選出的5人排成一排．
(1)共有多少種不同的排法？
(2)若選出的2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數(shù)字表示)
【解析】(1)從4名男生中選出2人，有C種選法，
從6名女生中選出3人，有C種選法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知選出5人，再把這5個人進行排列，共有CCA＝14 400(種)．
(2)在選出的5個人中，若2名男生不相鄰，則第一步先排3名女生，第二步再讓男生插空，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有CCAA＝8 640(種)．
8.“學(xué)習(xí)強國”APP是由中宣部主管以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端＋手機客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺，2019年1月1日上線后便成了黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”，為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強國”APP的學(xué)習(xí)情況，研究人員隨機抽取了200名該地黨員進行調(diào)查，將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強國”APP上所得的分數(shù)統(tǒng)計如表(1)所示：
表(1)
分數(shù) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人數(shù) 50 100 20 30
(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法從80分及以上的黨員中隨機抽取5人，再從抽取的5人中隨機選取2人作為學(xué)習(xí)小組長，求所選取的兩位小組長的分數(shù)都在上的概率；
(2)為了調(diào)查“學(xué)習(xí)強國”APP得分情況是否受到所在單位的影響，研究人員隨機抽取了機關(guān)事業(yè)單位黨員以及國有企業(yè)黨員作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如表所示：
表(2)
機關(guān)事業(yè)單位黨員 國有企業(yè)黨員
分數(shù)超過80 220 150
分數(shù)不超過80 80 50
判斷是否有99%的把握認為“學(xué)習(xí)強國”APP得分情況受所在單位的影響．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】(1)由題意得，分數(shù)在上抽取2人，記為a，b；分數(shù)在上抽取3人，記為A，B，C.
選取2人作為學(xué)習(xí)小組長的基本事件有10個，即(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，其中兩位小組長的分數(shù)都在上的有(A，B)，(A，C)，(B，C)共3個基本事件，∴所求概率P＝.
(2)完善表格如下：
機關(guān)事業(yè)單位黨員 國有企業(yè)黨員 總計
分數(shù)超過80 220 150 370
分數(shù)不超過80 80 50 130
總計 300 200 500
K2＝≈0.173<6.635，
故沒有99%的把握認為“學(xué)習(xí)強國”APP得分情況受所在單位的影響．
9．一汽車銷售公司對開業(yè)4年來某種型號的汽車“五一”優(yōu)惠金額與銷售量之間的關(guān)系進行分析研究并做了記錄，得到如下資料：
日期 第一年 第二年 第三年 第四年
優(yōu)惠金額x/千元 10 11 13 12
銷售量y/輛 22 24 31 27
(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋；
(2)若第5年優(yōu)惠金額8.5千元，估計第5年的銷售量y(輛)的值．
參考公式：＝，＝－.
【解析】(1)由題中數(shù)據(jù)可得＝11.5，＝26，xiyi＝1 211，
x＝534，
∴＝＝＝＝3，
故＝－＝26－3×11.5＝－8.5，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝3x－8.5.
(2)由(1)得，當(dāng)x＝8.5時，＝17，
∴第5年優(yōu)惠金額為8.5千元時，銷售量估計為17輛．
10．用0,1,2,3,4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(1)比21 034大的偶數(shù)；
(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．
【解析】(1)可分五類，當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時，有6個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有CA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有CA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時，有3個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時，有A＝6個五位數(shù)．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39個滿足條件的五位數(shù)．
(2)可分為兩類：
末位數(shù)是0，個數(shù)有A·A＝4；
末位數(shù)是2或4，個數(shù)有A·C＝4.
故共有4＋4＝8個滿足條件的五位數(shù)．第48講 變量相關(guān)性與統(tǒng)計案例
【學(xué)科素養(yǎng)】
1.會作兩個相關(guān)變量的散點圖，會利用散點圖認識變量之間的相關(guān)關(guān)系．
2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸系數(shù)公式建立線性回歸方程，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
3.了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
【課標解讀】
1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系。
2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。
3.了解回歸分析的思想、方法及其簡單應(yīng)用. 4.了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應(yīng)用。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點考查內(nèi)容．預(yù)測2022年將會考查：①回歸直線方程的判斷、求解及相關(guān)系數(shù)的意義，并用其解決實際問題；②獨立性檢驗思想在實際問題中的應(yīng)用．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，難度為中等。此外，也可能出現(xiàn)在客觀題中，此時試題難度不大，屬中、低檔題型。
【核心知識】
1．變量間的相關(guān)關(guān)系
常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．
2．兩個變量的線性相關(guān)
(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．
(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)．
(3)回歸方程為＝x＋，其中＝，＝－.
(4)相關(guān)系數(shù)
當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；
當(dāng)r<0時，表明兩個變量負相關(guān)．
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．
3．獨立性檢驗
(1)2×2列聯(lián)表：假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為：
y1 y2 總計
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)K2統(tǒng)計量
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．
【高頻考點】
高頻考點一　相關(guān)關(guān)系的判斷
【例1】(1)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖如圖①，對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖如圖②.由這兩個散點圖可以判斷(　　)
A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)
B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)
C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)
D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)
(2)某公司在2019年上半年的月收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6
支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18
根據(jù)統(tǒng)計資料，則(　　)
A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負線性相關(guān)關(guān)系
C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負線性相關(guān)關(guān)系
【方法技巧】判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法
散點圖法 如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系
相關(guān)系數(shù)法 利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1時，相關(guān)性越強
【變式探究】四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：
①y與x負相關(guān)且＝2.347x－6.423；
②y與x負相關(guān)且＝－3.476x＋5.648；
③y與x正相關(guān)且＝5.437x＋8.493；
④y與x正相關(guān)且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正確的結(jié)論的序號是(　　)
A．①②　　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
【答案】D　
【解析】正相關(guān)指的是y隨x的增大而增大，負相關(guān)指的是y隨x的增大而減小，故不正確的為①④.
高頻考點二　回歸分析
例2.某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動．活動規(guī)則如下：用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為x元．若在購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕．該手機廠商將在這200萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買碎屏險且購機后一年內(nèi)未發(fā)生碎屏的用戶中隨機抽取1 000名，每名用戶贈送1 000元的紅包．為了合理確定保費x的值，該手機廠商進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計后得到下表(其中y表示保費為x元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例)：
x 10 20 30 40 50
y 0.79 0.59 0.38 0.23 0.01
(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸直線方程；
(2)通過大數(shù)據(jù)分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏的比例為0.5%.已知更換一次該型號手機屏幕的費用為800元，若該手機廠商要求在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產(chǎn)生的利潤不少于70萬元，能否把保費x定為5元？
參考數(shù)據(jù)：表中x的5個值從左到右分別記為x1，x2，x3，x4，x5，相應(yīng)的y值分別記為y1，y2，y3，y4，y5，經(jīng)計算有 (xi－)(yi－)＝－19.2，其中＝xi，＝y(tǒng)i.
【變式探究】已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸方程＝x＋其中＝11據(jù)此估計，當(dāng)投入6萬元廣告費時，銷售額約為(　　)
x 1 2 3 4 5
y 10 15 30 45 50
A．60萬元　　　　　　　　 B．63萬元
C．65萬元 D．69萬元
高頻考點三　獨立性檢驗
例3.（2023·全國高考）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
一級品 二級品 合計
甲機床 150 50 200
乙機床 120 80 200
合計 270 130 400
（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少
（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【變式探究】(2020·全國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
　　　　　鍛煉人次空氣質(zhì)量等級　　　 [0,200] (200,400] (400,600]
1(優(yōu)) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(輕度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？
人次≤400 人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
【舉一反三】在某次測驗中，某班40名考生的成績滿分100分統(tǒng)計如圖所示．
(1)估計這40名學(xué)生的測驗成績的中位數(shù)x0(精確到0.1)；
(2)記80分以上為優(yōu)秀，80分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有95%的把握認為數(shù)學(xué)測驗成績與性別有關(guān)？
合格 優(yōu)秀 總計
男生 16
女生 4
總計 40
第48講 變量相關(guān)性與統(tǒng)計案例
【學(xué)科素養(yǎng)】
1.會作兩個相關(guān)變量的散點圖，會利用散點圖認識變量之間的相關(guān)關(guān)系．
2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸系數(shù)公式建立線性回歸方程，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
3.了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
【課標解讀】
1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系。
2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。
3.了解回歸分析的思想、方法及其簡單應(yīng)用. 4.了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應(yīng)用。
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點考查內(nèi)容．預(yù)測2022年將會考查：①回歸直線方程的判斷、求解及相關(guān)系數(shù)的意義，并用其解決實際問題；②獨立性檢驗思想在實際問題中的應(yīng)用．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，難度為中等。此外，也可能出現(xiàn)在客觀題中，此時試題難度不大，屬中、低檔題型。
【核心知識】
1．變量間的相關(guān)關(guān)系
常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．
2．兩個變量的線性相關(guān)
(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．
(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)．
(3)回歸方程為＝x＋，其中＝，＝－.
(4)相關(guān)系數(shù)
當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；
當(dāng)r<0時，表明兩個變量負相關(guān)．
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．
3．獨立性檢驗
(1)2×2列聯(lián)表：假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為：
y1 y2 總計
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)K2統(tǒng)計量
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．
【高頻考點】
高頻考點一　相關(guān)關(guān)系的判斷
【例1】(1)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖如圖①，對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖如圖②.由這兩個散點圖可以判斷(　　)
A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)
B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)
C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)
D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)
(2)某公司在2019年上半年的月收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6
支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18
根據(jù)統(tǒng)計資料，則(　　)
A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負線性相關(guān)關(guān)系
C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系
D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負線性相關(guān)關(guān)系
【解析】(1)由散點圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關(guān)，且圖①的線性回歸方程斜率為負，圖②的線性回歸方程斜率為正，則由散點圖可判斷變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)．
(2)月收入的中位數(shù)是＝16，收入增加，支出增加，
故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系．
【答案】(1)C　(2)C
【方法技巧】判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法
散點圖法 如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系
相關(guān)系數(shù)法 利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1時，相關(guān)性越強
【變式探究】四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：
①y與x負相關(guān)且＝2.347x－6.423；
②y與x負相關(guān)且＝－3.476x＋5.648；
③y與x正相關(guān)且＝5.437x＋8.493；
④y與x正相關(guān)且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正確的結(jié)論的序號是(　　)
A．①②　　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
【答案】D　
【解析】正相關(guān)指的是y隨x的增大而增大，負相關(guān)指的是y隨x的增大而減小，故不正確的為①④.
高頻考點二　回歸分析
例2.某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動．活動規(guī)則如下：用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為x元．若在購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕．該手機廠商將在這200萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買碎屏險且購機后一年內(nèi)未發(fā)生碎屏的用戶中隨機抽取1 000名，每名用戶贈送1 000元的紅包．為了合理確定保費x的值，該手機廠商進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計后得到下表(其中y表示保費為x元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例)：
x 10 20 30 40 50
y 0.79 0.59 0.38 0.23 0.01
(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸直線方程；
(2)通過大數(shù)據(jù)分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏的比例為0.5%.已知更換一次該型號手機屏幕的費用為800元，若該手機廠商要求在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產(chǎn)生的利潤不少于70萬元，能否把保費x定為5元？
參考數(shù)據(jù)：表中x的5個值從左到右分別記為x1，x2，x3，x4，x5，相應(yīng)的y值分別記為y1，y2，y3，y4，y5，經(jīng)計算有 (xi－)(yi－)＝－19.2，其中＝xi，＝y(tǒng)i.
【解析】(1)由＝30，＝0.4，
(xi－)(yi－)＝－19.2， (xi－)2＝1 000，
得＝＝－0.019 2，
＝－＝0.976，
所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y＝－0.019 2x＋0.976.
(2)能把保費x定為5元．
理由如下：若保費x定為5元，則估計y＝－0.019 2×5＋0.976＝0.88，
估計該手機廠商在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產(chǎn)生的利潤為
2 000 000×0.88×5－2 000 000×0.88×0.5%×800－1 000×1 000＝0.76×106(元)＝76(萬元)>70(萬元)，
所以能把保費x定為5元．
【變式探究】已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸方程＝x＋其中＝11據(jù)此估計，當(dāng)投入6萬元廣告費時，銷售額約為(　　)
x 1 2 3 4 5
y 10 15 30 45 50
A．60萬元　　　　　　　　 B．63萬元
C．65萬元 D．69萬元
【答案】B　
【解析】由表格數(shù)據(jù)可知＝＝3，＝＝30，因為回歸方程過點(，)，所以30＝3＋，且＝11，得＝－3，所以＝11x－3，代入x＝6，得＝63，故選B.
高頻考點三　獨立性檢驗
例3.（2023·全國高考）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
一級品 二級品 合計
甲機床 150 50 200
乙機床 120 80 200
合計 270 130 400
（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少
（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【解析】
本題考查頻率統(tǒng)計和獨立性檢驗，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)給出公式計算即可
【解析】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,
乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.
（2）,
故能有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
【變式探究】(2020·全國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
　　　　　鍛煉人次空氣質(zhì)量等級　　　 [0,200] (200,400] (400,600]
1(優(yōu)) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(輕度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？
人次≤400 人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
【解析】(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計值如下表：
空氣質(zhì)量等級 1 2 3 4
概率的估計值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為
(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：
人次≤400 人次>400
空氣質(zhì)量好 33 37
空氣質(zhì)量不好 22 8
根據(jù)列聯(lián)表得
K2＝≈5.820.
由于5.820>3.841，故有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．
【舉一反三】在某次測驗中，某班40名考生的成績滿分100分統(tǒng)計如圖所示．
(1)估計這40名學(xué)生的測驗成績的中位數(shù)x0(精確到0.1)；
(2)記80分以上為優(yōu)秀，80分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有95%的把握認為數(shù)學(xué)測驗成績與性別有關(guān)？
合格 優(yōu)秀 總計
男生 16
女生 4
總計 40
【解析】(1)由頻率分布直方圖易知0.01×10＋0.015×10＋0.02×10＝0.45，即分數(shù)在的頻率為0.45，
∴0.03×＝0.5－0.45，解得x0＝≈71.7，
∴40名學(xué)生的測驗成績的中位數(shù)為71.7.
(2)由頻率分布直方圖，可得列聯(lián)表如下：
合格 優(yōu)秀 總計
男生 16 6 22
女生 14 4 18
總計 30 10 40
∴K2＝＝≈0.135<3.841，
故沒有95%的把握認為數(shù)學(xué)測驗成績與性別有關(guān)．

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