資源簡介

第49講 計數原理 排列與組合
【練基礎】
1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數是(　　)
A．26　　　　　　　　　 B．60
C．18 D．1 080
2．將3張不同的武漢軍運會門票分給10名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數是(　　)
A．2 160 B．720
C．240 D．120
3．從集合{0,1,2,3,4,5}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，其中虛數有(　　)
A．36個 B．30個
C．25個 D．20個
4．從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數是(　　)
A．18 B．24
C．30 D．36
5．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　)
A．4種 B．6種
C．10種 D．16種
6．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須在A的右側(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有(　　)
A．24種 B．60種
C．90種 D．120種
7．5 400的正約數有(　　)
A．48個 B．46個
C．36個 D．38個
8．某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有(　　)
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
9．某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)．有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有(　　)
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
10．從集合{1,2,3,4，…，10}中選出5個數組成該集合的子集，使得這5個數中任意兩個數的和都不等于11，則這樣的子集有(　　)
A．32個 B．34個
C．36個 D．38個
【練提升】
1．某班有9名運動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，現從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有(　　)
A．28種 B．30種
C．27種 D．29種
2．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
3．用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
4．某學校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學2個，乙大學2個，丙大學1個，并且甲大學和乙大學都要求必須有男生參加，學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有(　　)
A．36種 B．24種
C．22種 D．20種
5.如圖為我國數學家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案共有(　　)
A．120種 B．260種
C．340種 D．420種
6．某地實行高考改革，考生除參加語文、數學、英語統一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學生甲要想報考某高校的法學專業，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數為(　　)
A．6 B．12
C．18 D．19
7．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有(　　)
A．50種 B．60種
C．80種 D．90種
8．中國古代儒家要求學生掌握六種基本才能(六藝)：禮、樂、射、御、書、數，某校國學社團周末開展“六藝”課程講座活動，一天連排六節，每藝一節，排課有如下要求：“射”不能排在第一，“數”不能排在最后，則“六藝”講座不同的排課順序共有________種．
9．從4名男同學中選出2人，6名女同學中選出3人，并將選出的5人排成一排．
(1)共有多少種不同的排法？
(2)若選出的2名男同學不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數字表示)
10．用0,1,2,3,4這五個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字的五位數？
(1)比21 034大的偶數；
(2)左起第二、四位是奇數的偶數．
第49講 計數原理 排列與組合
【練基礎】
1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數是(　　)
A．26　　　　　　　　　 B．60
C．18 D．1 080
【答案】A
【解析】由分類加法計數原理知有5＋12＋3＋6＝26(種)不同走法．
2．將3張不同的武漢軍運會門票分給10名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數是(　　)
A．2 160 B．720
C．240 D．120
【答案】B
【解析】分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，共有10×9×8＝720種分法．
3．從集合{0,1,2,3,4,5}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，其中虛數有(　　)
A．36個 B．30個
C．25個 D．20個
【答案】C
【解析】因為a，b互不相等且a＋bi為虛數，所以b只能從{1,2,3,4,5}中選，有5種選法，a從剩余的5個數中選，有5種選法，所以共有虛數5×5＝25(個)，故選C.
4．從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數是(　　)
A．18 B．24
C．30 D．36
【答案】C
【解析】法一：選出的3人中有2名男同學1名女同學的方法有CC＝18種，選出的3人中有1名男同學2名女同學的方法有CC＝12種，故3名學生中男女生都有的選法有CC＋CC＝30種．故選C.
法二：從7名同學中任選3名的方法數，再減去所選3名同學全是男生或全是女生的方法數，即C－C－C＝30.故選C.
5．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　)
A．4種 B．6種
C．10種 D．16種
【答案】B
【解析】分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)；同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計數原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．
6．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須在A的右側(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有(　　)
A．24種 B．60種
C．90種 D．120種
【答案】B
【解析】可先排C，D，E三人，共有A種，剩余A，B兩人只有一種排法，故滿足條件的排法共有A×1＝60(種)．
7．5 400的正約數有(　　)
A．48個 B．46個
C．36個 D．38個
【答案】A
【解析】5 400＝23×33×52,5 400的正約數一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結果，所以正約數個數為(3＋1)×(3＋1)×(2＋1)＝48.故選A.
8．某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有(　　)
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
【答案】D
【解析】按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．
9．某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)．有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有(　　)
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
【答案】D
【解析】按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．
10．從集合{1,2,3,4，…，10}中選出5個數組成該集合的子集，使得這5個數中任意兩個數的和都不等于11，則這樣的子集有(　　)
A．32個 B．34個
C．36個 D．38個
【答案】A
【解析】先把數字分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個數中，任意兩個數的和都不等于11，所以從每組中任選一個數字即可，故共有2×2×2×2×2＝32(個)這樣的子集．
【練提升】
1．某班有9名運動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，現從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有(　　)
A．28種 B．30種
C．27種 D．29種
【答案】A
【解析】有9名運動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，則有2人既會踢足球又會打籃球，有3人只會打籃球，有4人只會踢足球，所以選派的方案有四類：選派兩種球都會的運動員有2種方案；選派兩種球都會的運動員中一名踢足球，只會打籃球的運動員打籃球，有2×3＝6(種)方案；選派兩種球都會的運動員中一名打籃球，只會踢足球的運動員踢足球，有2×4＝8(種)方案；選派只會打籃球和踢足球的運動員分別打籃球和踢足球，有3×4＝12(種)方案．綜上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(種)方案，故選A.
2．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
【答案】A
【解析】將4名學生均分為2個小組共有＝3(種)分法；將2個小組的同學分給2名教師共有A＝2(種)分法；最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A＝2(種)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(種)．
3．用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為(　　)
A．24 B．48
C．60 D．72
【答案】D
【解析】由題意，要組成沒有重復數字的五位奇數，則個位數應該為1或3或5，其他位置共有A種排法，所以奇數的個數為3A＝72，故選D.
4．某學校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學2個，乙大學2個，丙大學1個，并且甲大學和乙大學都要求必須有男生參加，學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有(　　)
A．36種 B．24種
C．22種 D．20種
【答案】B
【解析】根據題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個大學各推薦1人，2名女生分別推薦給甲大學和乙大學，共有AA＝12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學和乙大學，共有CAA＝12種推薦方法．故共有24種推薦方法．
5.如圖為我國數學家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案共有(　　)
A．120種 B．260種
C．340種 D．420種
【答案】D
【解析】由題意可知上下兩塊區域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(種)涂色方案．故選D.
6．某地實行高考改革，考生除參加語文、數學、英語統一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學生甲要想報考某高校的法學專業，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數為(　　)
A．6 B．12
C．18 D．19
【答案】D
【解析】從六科中選考三科的選法有C種，其中不選物理、政治、歷史中任意一科的選法有1種，因此學生甲的選考方法共有C－1＝19種．
7．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有(　　)
A．50種 B．60種
C．80種 D．90種
【答案】C
【解析】根據題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時乙的選法有2種，丙的選法有10種，共有2×10＝20種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，共有2×3×10＝60種不同的選法．綜上，一共有20＋60＝80種選法．
8．中國古代儒家要求學生掌握六種基本才能(六藝)：禮、樂、射、御、書、數，某校國學社團周末開展“六藝”課程講座活動，一天連排六節，每藝一節，排課有如下要求：“射”不能排在第一，“數”不能排在最后，則“六藝”講座不同的排課順序共有________種．
【解析】根據題意，分2種情況討論：
①“數”排在第一，則剩下的“五藝”全排列，安排在剩下的5節，有A＝120(種)情況．
②“數”不排在第一，則“數”的排法有4種，“射”的排法有4種，剩下的“四藝”全排列，安排在剩下的4節，有A＝24(種)情況，則此時共有4×4×24＝384(種)情況．
綜上，共有120＋384＝504(種)排課順序．
【答案】504
9．從4名男同學中選出2人，6名女同學中選出3人，并將選出的5人排成一排．
(1)共有多少種不同的排法？
(2)若選出的2名男同學不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數字表示)
【解析】(1)從4名男生中選出2人，有C種選法，
從6名女生中選出3人，有C種選法，
根據分步乘法計數原理知選出5人，再把這5個人進行排列，共有CCA＝14 400(種)．
(2)在選出的5個人中，若2名男生不相鄰，則第一步先排3名女生，第二步再讓男生插空，根據分步乘法計數原理知共有CCAA＝8 640(種)．
10．用0,1,2,3,4這五個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字的五位數？
(1)比21 034大的偶數；
(2)左起第二、四位是奇數的偶數．
【解析】(1)可分五類，當末位數字是0，而首位數字是2時，有6個五位數；
當末位數字是0，而首位數字是3或4時，有CA＝12個五位數；
當末位數字是2，而首位數字是3或4時，有CA＝12個五位數；
當末位數字是4，而首位數字是2時，有3個五位數；
當末位數字是4，而首位數字是3時，有A＝6個五位數．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39個滿足條件的五位數．
(2)可分為兩類：
末位數是0，個數有A·A＝4；
末位數是2或4，個數有A·C＝4.
故共有4＋4＝8個滿足條件的五位數．第49講 計數原理 排列與組合
【學科素養】
1.結合“分類”“分步”完成一件事，考查對分類加法計數原理和分步乘法計數原理的理解及簡單應用，凸顯數學建模的核心素養．
2．結合排列、組合的概念及兩個計數原理，考查常見排列、組合問題的解法，凸顯數學運算、邏輯推理的核心素養．
3．結合排列數、組合數公式，考查常見排列數、組合數問題的化簡及計算，凸顯數學運算的核心素養．
【課標解讀】
1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理，能正確區分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.
2.理解排列的概念及排列數公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.3.理解組合的概念及組合數公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，預測2022年高考將會綜合考查兩個計數原理與排列組合知識、有條件限制的排列、組合問題、排列、組合與其他知識的綜合問題。試題以客觀題的形式呈現，難度不大，屬中、低檔題型。
【核心知識】
1．兩個計數原理
分類加法計數原理 分步乘法計數原理
條件 完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法 完成一件事需要兩個步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法
結論 完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法 完成這件事共有N＝m·n種不同的方法
2．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列
組合 合成一組
3．排列數與組合數
(1)排列數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用A表示．
(2)組合數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用C表示．
(3)全排列：把n個不同元素全部取出來按照一定的順序排列起來，叫做n個不同元素的全排列．用A表示n個不同元素的全排列數．
4．排列數、組合數的公式及性質
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；(2)C＝＝＝
性質 (1)0?。?；A＝；(2)C＝；C＝
【高頻考點】
高頻考點一　分類加法計數原理
例1．哈六中開展勞動教育，決定在5月12日植樹節派小明、小李等5名學生去附近的兩個植樹點去植樹，若小明和小李必須在同一植樹點，且各個植樹點至少去兩名學生，則不同的分配方案種數為(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
【變式探究】甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去A，B，C三個不同社區進行幫扶活動，每人只能去一個社區，每個社區至少一人．其中甲必須去A社區，乙不去B社區，則不同的安排方法種數為(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
命題點二　分步乘法計數原理
例2．已知某教學大樓共有四層，每層都有東、西兩個樓梯，則從一層到四層不同的走法種數為(　　)
A．32　　　　　　　　　 B．23
C．43 D．24
2．有不同的語文書9本，不同的數學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，則不同的選法有(　　)
A．21種 B．315種
C．153種 D．143種
高頻考點三　兩個計數原理的綜合應用
例3．(1)將數字“124467”重新排列后得到不同的偶數的個數為(　　)
A．72　　　　　　　 B．120
C．192 D．240
(2)現有5種不同的顏色，給如圖所示的幾何體的五個頂點P，A，B，C，D涂色，要求同一條棱上的兩個頂點顏色不能相同，則不同的涂色方法有(　　)
A．240種 B．360種
C．420種 D．480種
【方法技巧】
(1)涂色問題一般是綜合利用兩個計數原理求解，但也有幾種常用方法：按區域的不同，以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析；以顏色為主分類討論，適用于區域、點、線段等問題，用分類加法計數原理分析；將空間問題平面化，轉化成平面區域的涂色問題．
(2)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類；分步乘法計數原理中，各個步驟相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．若綜合利用兩個計數原理，一般先分類再分步．　　
【變式探究】中國古代十進制的算籌計數法，在數學史上是一個偉大的創造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示1～9的一種方法，則據此，3可表示為“≡”，26可表示為“＝⊥”．現有6根算籌．據此表示方法，若算籌不能剩余，則可以表示的兩位數的個數為(　　)
A．9 B．13
C．16 D．18
高頻考點四　排列問題
例4.3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數．
(1)選其中5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體站成一排，男、女各站在一起；
(4)全體站成一排，男生不能站在一起．
【方法技巧】求解排列應用問題的5種主要方法
適用于沒有限制條件的問題
優先安排特殊元素或特殊位置
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中
正難則反，等價轉化的方法
【變式探究】某國際會議結束后，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人也站前排并與中國領導人相鄰，如果對其他國家領導人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A種　　　　　　 B．A種
C．AAA種 D．AA種
高頻考點五　組合問題
例5．（2023·山東省高考真題）某值日小組共有5名同窗，假設任意安排3名同窗負責教室內的地面衛生，其余2名同窗負責教室外的走廊衛生，那么不同的安排方式種數是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【變式探究】(2020·新高考全國卷Ⅰ)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(　　)
A．120種　　　　　　　 B．90種
C．60種 D．30種
【變式探究】已知男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1人．選派5人外出比賽．在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)男運動員3名，女運動員2名；
(2)至少有1名女運動員；
(3)隊長中至少有1人參加；
(4)既要有隊長，又要有女運動員．
【方法技巧】組合問題的2種題型及解法
題型 解法
“含有”或“不含有”某些元素的組合 “含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取
“至少”或“至多”含有幾個元素的組合 解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理
【變式探究】在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門．學生根據高校的要求，結合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統一高考招生錄取的依據．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是(　　)
A．若任意選科，選法總數為C
B．若化學必選，選法總數為CC
C．若政治和地理至少選一門，選法總數為CCC
D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數為CC＋1
高頻考點六 排列與組合的綜合應用
例6.（2023·全國高考）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【變式探究】由數字1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數.
（1）共可以組成多少個五位數？
（2）其中奇數有多少個？
（3）如果將所有的五位數按從小到大的順序排列，43125是第幾個數？說明理由.
第49講 計數原理 排列與組合
【學科素養】
1.結合“分類”“分步”完成一件事，考查對分類加法計數原理和分步乘法計數原理的理解及簡單應用，凸顯數學建模的核心素養．
2．結合排列、組合的概念及兩個計數原理，考查常見排列、組合問題的解法，凸顯數學運算、邏輯推理的核心素養．
3．結合排列數、組合數公式，考查常見排列數、組合數問題的化簡及計算，凸顯數學運算的核心素養．
【課標解讀】
1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理，能正確區分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.
2.理解排列的概念及排列數公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.3.理解組合的概念及組合數公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，預測2022年高考將會綜合考查兩個計數原理與排列組合知識、有條件限制的排列、組合問題、排列、組合與其他知識的綜合問題。試題以客觀題的形式呈現，難度不大，屬中、低檔題型。
【核心知識】
1．兩個計數原理
分類加法計數原理 分步乘法計數原理
條件 完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法 完成一件事需要兩個步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法
結論 完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法 完成這件事共有N＝m·n種不同的方法
2．排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列
組合 合成一組
3．排列數與組合數
(1)排列數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用A表示．
(2)組合數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用C表示．
(3)全排列：把n個不同元素全部取出來按照一定的順序排列起來，叫做n個不同元素的全排列．用A表示n個不同元素的全排列數．
4．排列數、組合數的公式及性質
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；(2)C＝＝＝
性質 (1)0?。?；A＝；(2)C＝；C＝
【高頻考點】
高頻考點一　分類加法計數原理
例1．哈六中開展勞動教育，決定在5月12日植樹節派小明、小李等5名學生去附近的兩個植樹點去植樹，若小明和小李必須在同一植樹點，且各個植樹點至少去兩名學生，則不同的分配方案種數為(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
【答案】A　
【解析】當小明和小李單獨去一個植樹點時，有2種不同的分配方案；當小明和小李與另外一人去一個植樹點時，有2×3＝6種不同的分配方案，則共有6＋2＝8種不同的分配方案，故選A.
【變式探究】甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去A，B，C三個不同社區進行幫扶活動，每人只能去一個社區，每個社區至少一人．其中甲必須去A社區，乙不去B社區，則不同的安排方法種數為(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
【答案】B　
【解析】根據題意，分兩種情況討論：①乙和甲一起去A社區，此時將丙、丁二人安排到B，C社區即可，有2種情況．②乙不去A社區，則乙必須去C社區，若丙、丁都去B社區，有1種情況；若丙、丁中有1人去B社區，則先在丙、丁中選出1人，安排到B社區，剩下1人安排到A或C社區，有2×2＝4種情況．故不同的安排方法有2＋1＋4＝7種．
命題點二　分步乘法計數原理
例2．已知某教學大樓共有四層，每層都有東、西兩個樓梯，則從一層到四層不同的走法種數為(　　)
A．32　　　　　　　　　 B．23
C．43 D．24
【答案】B　
【解析】根據題意，教學大樓共有四層，每層都有東、西兩個樓梯，則從一層到二層，有2種走法，同理從二層到三層、從三層到四層也各有2種走法，則從一層到四層共有2×2×2＝23種走法．
2．有不同的語文書9本，不同的數學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，則不同的選法有(　　)
A．21種 B．315種
C．153種 D．143種
【答案】D　
【解析】由題意，選一本語文書一本數學書有9×7＝63種，選一本數學書一本英語書有7×5＝35種，選一本語文書一本英語書有9×5＝45種，∴共有63＋35＋45＝143種選法．故選D.
高頻考點三　兩個計數原理的綜合應用
例3．(1)將數字“124467”重新排列后得到不同的偶數的個數為(　　)
A．72　　　　　　　 B．120
C．192 D．240
(2)現有5種不同的顏色，給如圖所示的幾何體的五個頂點P，A，B，C，D涂色，要求同一條棱上的兩個頂點顏色不能相同，則不同的涂色方法有(　　)
A．240種 B．360種
C．420種 D．480種
【解析】(1)將數字“124467”重新排列后所得數字為偶數，則末位數應為偶數，若末位數字為2，因為含有2個4，所以有＝60(種)情況；若末位數字為6，同理有60種情況；若末位數字為4，則有5×4×3×2×1＝120(種)情況．綜上，共有60＋60＋120＝240(種)情況．
(2)當頂點A，C同色時，頂點P有5種顏色可供選擇，頂點A有4種顏色可供選擇，頂點B有3種顏色可供選擇，此時頂點C與頂點A同色，只有1種顏色可選，頂點D有3種顏色可選，不同的方法共有5×4×3×1×3＝180種；當頂點A，C不同色時，頂點P有5種顏色可供選擇，頂點A有4種顏色可供選擇，頂點B有3種顏色可供選擇，此時頂點C與頂點A不同色，有2種顏色可選，頂點D有2種顏色可選，不同的方法共有5×4×3×2×2＝240種．
綜上，不同的方法共有180＋240＝420種，故選C.
【答案】(1)D　(2)C
【方法技巧】
(1)涂色問題一般是綜合利用兩個計數原理求解，但也有幾種常用方法：按區域的不同，以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析；以顏色為主分類討論，適用于區域、點、線段等問題，用分類加法計數原理分析；將空間問題平面化，轉化成平面區域的涂色問題．
(2)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類；分步乘法計數原理中，各個步驟相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．若綜合利用兩個計數原理，一般先分類再分步．　　
【變式探究】中國古代十進制的算籌計數法，在數學史上是一個偉大的創造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示1～9的一種方法，則據此，3可表示為“≡”，26可表示為“＝⊥”．現有6根算籌．據此表示方法，若算籌不能剩余，則可以表示的兩位數的個數為(　　)
A．9 B．13
C．16 D．18
【答案】C　
【解析】根據題意，6根算籌可以表示的數字組合為(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,3)，(3,7)，(7,7)．
數字組合(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,7)中，每組可以表示2個兩位數，則可以表示2×7＝14個兩位數；
數字組合(3,3)，(7,7)中，每組可以表示1個兩位數，則可以表示2×1＝2個兩位數．
綜上，共可以表示14＋2＝16個兩位數．故選C.
高頻考點四　排列問題
例4.3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數．
(1)選其中5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體站成一排，男、女各站在一起；
(4)全體站成一排，男生不能站在一起．
【解析】(1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有A＝2 520種排法．
(2)前排3人，后排4人，相當于排成一排，共有A＝5 040種排法．
(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有A種排法，由分步乘法計數原理知，共有N＝A·A·A＝288(種)．
(4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個女生隔成的五個空中安排共有A種排法，故N＝A·A＝1 440(種)．
【方法技巧】求解排列應用問題的5種主要方法
適用于沒有限制條件的問題
優先安排特殊元素或特殊位置
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中
正難則反，等價轉化的方法
【變式探究】某國際會議結束后，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人也站前排并與中國領導人相鄰，如果對其他國家領導人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A種　　　　　　 B．A種
C．AAA種 D．AA種
【答案】D　
【解析】中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人站前排并與中國領導人相鄰，有A種站法；其他18國領導人可以任意站，因此有A種站法．根據分步乘法計數原理可知，共有AA種站法．故選D.
高頻考點五　組合問題
例5．（2023·山東省高考真題）某值日小組共有5名同窗，假設任意安排3名同窗負責教室內的地面衛生，其余2名同窗負責教室外的走廊衛生，那么不同的安排方式種數是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【答案】A
【解析】從5人當選取3人負責教室內的地面衛生，共有種安排方式．（選取3人后剩下2名同窗干的活就定了），故選A。
【變式探究】(2020·新高考全國卷Ⅰ)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(　　)
A．120種　　　　　　　 B．90種
C．60種 D．30種
【答案】C　
【解析】先從6名同學中選1名安排到甲場館，有C種選法，再從剩余的5名同學中選2名安排到乙場館，有C種選法，最后將剩下的3名同學安排到丙場館，有C種選法，由分步乘法計數原理知，共有C·C·C＝60(種)不同的安排方法．故選C.
【變式探究】已知男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1人．選派5人外出比賽．在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)男運動員3名，女運動員2名；
(2)至少有1名女運動員；
(3)隊長中至少有1人參加；
(4)既要有隊長，又要有女運動員．
【解析】(1)第1步，選3名男運動員，有C種選法；
第2步，選2名女運動員，有C種選法，共有C·C＝120(種)選法．
(2)法一：至少有1名女運動員包括以下幾種情況：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分類加法計數原理可得總選法數為CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)．
法二：“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”，可用間接法求解．
從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運動員的選法有C種．
所以“至少有1名女運動員”的選法為C－C＝246(種)．
(3)法一：直接法
可分類求解：
“只有男隊長”的選法為C；
“只有女隊長”的選法為C；
“男、女隊長都入選”的選法為C；
所以共有2C＋C＝196(種)選法．
法二：間接法
從10人中任選5人有C種選法．
其中不選隊長的方法有C種．所以“至少有1名隊長”的選法為C－C＝196(種)．
(4)當有女隊長時，其他人任意選，共有C種選法．不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法，其中不含女運動員的選法有C種，所以不選女隊長時的選法共有C－C種．所以既有隊長又有女運動員的選法共有C＋C－C＝191(種)．
【方法技巧】組合問題的2種題型及解法
題型 解法
“含有”或“不含有”某些元素的組合 “含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取
“至少”或“至多”含有幾個元素的組合 解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理
【變式探究】在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門．學生根據高校的要求，結合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統一高考招生錄取的依據．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是(　　)
A．若任意選科，選法總數為C
B．若化學必選，選法總數為CC
C．若政治和地理至少選一門，選法總數為CCC
D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數為CC＋1
【答案】BD　
【解析】若任意選科，選法總數為CC，A錯誤；若化學必選，選法總數為CC，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數為C(CC＋1)，C錯誤；若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數為CC＋1，D正確．
高頻考點六 排列與組合的綜合應用
例6.（2023·全國高考）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【答案】C
【解析】根據題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，根據乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選C.
【變式探究】由數字1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數.
（1）共可以組成多少個五位數？
（2）其中奇數有多少個？
（3）如果將所有的五位數按從小到大的順序排列，43125是第幾個數？說明理由.
【答案】(1) 120 (2) 72 (3) 85
【解析】
（1）由數字1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數，共可以組成A55＝120個五位數
（2）∵由1、2、3、4、5組成的無重復數字的五位數的奇數，
∴第五個數字必須從1、3、5中選出，共有C31種結果，
其余四個位置可以用四個元素在四個位置進行全排列，共有A44種結果，
根據分步計數原理得到共有C31A44＝72；
（3）根據題意，用1、2、3、4、5這五個數字組成無重復數字的五位數，有A55＝120種情況，即一共有120個五位數，
再考慮大于43125的數，分為以下四類討論：
1、5在首位，將其他4個數字全排列即可，有A44＝24個，
2、4在首位，5在千位，將其他3個數字全排列即可，有A33＝6個，
3、4在首位，3在千位，5在百位，將其他2個數字全排列即可，有A22＝2個，
4、43215，43251，43152，共3個
故不大于43125的五位數有120﹣（24+6+2+3）＝85個，
即43125是第85項。

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