資源簡介

第50講 二項式定理
【練基礎】
1．在9的展開式中，常數項是(　　)
A．C　　　　　　　　 B．－C
C．8C D．－8C
2．若6展開式的常數項為60，則a值為(　　)
A．4 B．±4
C．2 D．±2
3．(2x＋y)(x－y)5的展開式中x3y3的系數為(　　)
A．30 B．10
C．－30 D．－10
4．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數是(　　)
A．60 B．80
C．84 D．120
5．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，則a0＋a1＋a2＋…＋a6的值為(　　)
A．1 B．2
C．129 D．2 188
6．已知(a＋x2)(1＋x)n的展開式中各項系數之和為192，且常數項為2，則該展開式中x4的系數為(　　)
A．30 B．45
C．60 D．81
7．在n的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最小的項的系數為(　　)
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
8.5的展開式中，xy3z的系數為(　　)
A．16 B．8
C．－1 D．－20
9．若二項式7的展開式中的各項系數之和為－1，則含x2的項的系數為(　　)
A．560 B．－560
C．280 D．－280
10．(＋x)5的展開式中系數為有理數的各項系數之和為(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
【練提升】
1．已知(1＋2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為(　　)
A．512 B．210
C．211 D．212
2．已知(2m＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為64，則m＝(　　)
A. B.
C．4 D．7
3．在n的展開式中，各項系數和與二項式系數和之比為32∶1，則x2的系數為(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
4．設(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則的值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
5．已知m為正整數，(x＋y)2m展開式的二項式系數的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數的最大值為b.若13a＝7b，則m等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
6．在5的展開式中，x3的系數等于－5，則該展開式的各項的系數中最大值為(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
7．(＋x)5的展開式中系數為有理數的各項系數之和為(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
8．在5的展開式中，x3的系數等于－5，則該展開式的各項的系數中最大值為(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
9.5的展開式中常數項是________．
10．已知n的展開式中，前三項的系數成等差數列．
(1)求n；
(2)求展開式中的有理項；
(3)求展開式中系數最大的項．
第50講 二項式定理
【練基礎】
1．在9的展開式中，常數項是(　　)
A．C　　　　　　　　 B．－C
C．8C D．－8C
【答案】D
【解析】9展開式的通項公式為Tr＋1＝C9－r(－2x)r＝C(－2)rx，令＝0，解得r＝3.所以常數項是－8C.
2．若6展開式的常數項為60，則a值為(　　)
A．4 B．±4
C．2 D．±2
【答案】D
【解析】因為6展開式的通項為Tk＋1＝Ca6－kx6－k(－1)kx＝Ca6－k(－1)kx，令6－k＝0，則k＝4，所以常數項為Ca6－4(－1)4＝60，即7a2＝60，所以a＝±2.故選D.
3．(2x＋y)(x－y)5的展開式中x3y3的系數為(　　)
A．30 B．10
C．－30 D．－10
【答案】D
【解析】(x－y)5的展開式中x3y2，x2y3的系數分別為C，－C，所以(2x＋y)(x－y)5的展開式中x3y3的系數為C－2C＝－10.故選D.
4．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數是(　　)
A．60 B．80
C．84 D．120
【答案】D
【解析】(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數為C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝120.故選D.
5．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，則a0＋a1＋a2＋…＋a6的值為(　　)
A．1 B．2
C．129 D．2 188
【答案】C
【解析】令x＝0，則a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27.二項式(2－x)7＝[3－(1＋x)]7的通項Tr＋1＝C37－r(－1)r(1＋x)r，令r＝7，得T8＝C30[－(1＋x)]7＝－(1＋x)7.∴a7＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a6＝129.
6．已知(a＋x2)(1＋x)n的展開式中各項系數之和為192，且常數項為2，則該展開式中x4的系數為(　　)
A．30 B．45
C．60 D．81
【答案】B
【解析】令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n，令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6，故該展開式中x4的系數為2C＋C＝45.故選B.
7．在n的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最小的項的系數為(　　)
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
【答案】C
【解析】∵只有第5項的二項式系數最大，
∴n＝8，8的展開式的通項為
Tk＋1＝(－1)kCx (k＝0,1,2，…，8)，
∴展開式中奇數項的二項式系數與相應奇數項的系數相等，偶數項的二項式系數與相應偶數項的系數互為相反數，而展開式中第5項的二項式系數最大，因此展開式中第4項和第6項的系數相等且最小，為(－1)3C＝－56.
8.5的展開式中，xy3z的系數為(　　)
A．16 B．8
C．－1 D．－20
【答案】D
【解析】因為Tr＋1＝C5－r(2z)r，所以r＝1.
因為4的展開式的通項公式為Tk＋1＝C4－k·(－y)k，所以k＝3，所以xy3z的系數為C×2×C××(－1)3＝－20.
9．若二項式7的展開式中的各項系數之和為－1，則含x2的項的系數為(　　)
A．560 B．－560
C．280 D．－280
【答案】A
【解析】取x＝1，得二項式7的展開式中的各項系數之和為(1＋a)7，即 (1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二項式7的展開式的通項為Tr＋1＝C·(x2)7－r·r＝ C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二項式7的展開式中含x2項的系數為 C·(－2)4＝560，故選A.
10．(＋x)5的展開式中系數為有理數的各項系數之和為(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
【答案】C
【解析】因為(＋x)5展開式的通項為Tk＋1＝C()5－kxk＝C2xk，因此，要使系數為有理數，只需為正整數，又因為0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系數為有理數的項為C()3x2，x5，
故所求系數之和為20＋1＝21.
【練提升】
1．已知(1＋2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為(　　)
A．512 B．210
C．211 D．212
【答案】A
【解析】因為(1＋2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以C＝C，解得n＝10，所以(1＋2x)10的展開式中奇數項的二項式系數和為×210＝29＝512，故選A。
2．已知(2m＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為64，則m＝(　　)
A. B.
C．4 D．7
【答案】B
【解析】設(2m＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得(2m＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(2m＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×64，解得m＝，故選B。
3．在n的展開式中，各項系數和與二項式系數和之比為32∶1，則x2的系數為(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
【答案】C
【解析】令x＝1，則n＝4n，所以n的展開式中，各項系數和為4n，又二項式系數和為2n，所以＝2n＝32，解得n＝5。二項展開式的通項Tk＋1＝Cx5－kk＝C3kx5－k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系數為C32＝90。
4．設(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則的值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【答案】C
【解析】由二項式定理，得a1＝－C·24＝－80，a2＝C·23＝80，a3＝－C·22＝－40，a4＝C·2＝10，所以＝－，故選C.
5．已知m為正整數，(x＋y)2m展開式的二項式系數的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數的最大值為b.若13a＝7b，則m等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】由題意可知，a＝C，b＝C，
∵13a＝7b，∴13·＝7·，即＝，解得m＝6.
6．在5的展開式中，x3的系數等于－5，則該展開式的各項的系數中最大值為(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】B
【解析】　5的展開式的通項Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，則r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展開式中第2,4,6項的系數為負數，第1,3,5項的系數為正數，故各項的系數中最大值為C＝10，故選B.
7．(＋x)5的展開式中系數為有理數的各項系數之和為(　　)
A．1 B．20
C．21 D．31
【答案】C
【解析】因為(＋x)5展開式的通項為Tk＋1＝C()5－kxk＝C2xk，因此，要使系數為有理數，只需為正整數，又因為0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系數為有理數的項為C()3x2，x5，
故所求系數之和為20＋1＝21.
8．在5的展開式中，x3的系數等于－5，則該展開式的各項的系數中最大值為(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】B
【解析】5的展開式的通項Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，則r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1.又展開式中第2,4,6項的系數為負數，第1,3,5項的系數為正數，故各項的系數中最大值為C＝10，故選B.
9.5的展開式中常數項是________．
【解析】5表示五個相乘，則展開式中的常數項由三種情況產生，第一種是從五個中分別抽取2x,2x，，，－3，則此時的常數項為C·C·22·(－3)＝－360；第二種情況是從五個中都抽取－3，則此時的常數項為(－3)5＝－243；第三種情況是從五個中分別抽取2x，，－3，－3，－3，則此時的常數項為C·C·21·(－3)3＝－1 080.綜上，展開式中常數項為－360－243－1 080＝－1 683.
【答案】－1 683
10．已知n的展開式中，前三項的系數成等差數列．
(1)求n；
(2)求展開式中的有理項；
(3)求展開式中系數最大的項．
【解析】(1)由二項展開式知，前三項的系數分別為C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)8的展開式的通項Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx(r＝0,1，…，8)，
要求有理項，則4－必為整數，即r＝0,4,8，共3項，這3項分別是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)設第r＋1項的系數ar＋1最大，則ar＋1＝2－rC，
則＝＝≥1，
＝＝≥1，解得2≤r≤3.
當r＝2時，a3＝2－2C＝7，當r＝3時，a4＝2－3C＝7，
因此，第3項和第4項的系數最大，
故系數最大的項為T3＝7x，T4＝7x.第50講 二項式定理
【學科素養】
1.結合二項式定理的推導，考查對二項式定理及通項公式的理解，凸顯邏輯推理的核心素養．
2.結合求二項展開式中的特定項及二項式系數性質的研究，考查二項式定理的應用，凸顯數學運算的核心素養．
【課標解讀】
1.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講為每年高考的常考知識點．預測2022年將會考查：①求二項式的特定項或項的系數；②求二項式系數的最大項或二項式系數的和；③與其他知識進行綜合考查。題型以客觀題形式考查，難度不大，屬中、低檔題型。
【核心知識】
1．二項式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通項：
第k＋1項為Tk＋1＝Can－kbk.
(3)二項式系數：
二項展開式中各項的二項式系數為：C(k＝0,1,2，…，n)．
2．二項式系數的性質
性質 性質描述
對稱性 在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C＝C
增減性 當k<時，二項式系數逐漸增大；當k>時，二項式系數逐漸減小
最大值 當n是偶數時，中間一項的二項式系數最大，最大值為；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數相等，且同時取得最大值，最大值為
二項式系數的和 (a＋b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1
【高頻考點】
高頻考點一　二項展開式中特定項及系數問題
例1. （2023·北京高考）展開式中常數項為__________．
【變式探究】(1)(2020·北京高考)在(－2)5的展開式中，x2的系數為(　　)
A．－5　　　　　　　　 B．5
C．－10 D．10
(2)若二項式n的展開式中含有常數項，則n的值可以是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)(x＋y)5的展開式中x3y3的系數為(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【方法技巧】求形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路
(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．
(2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項公式，綜合考慮．　　
高頻考點二　二項式系數的性質及應用
例2.（2023·天津高考）在的展開式中，的系數是__________．
【變式探究】(1)已知n(n∈N*)的展開式中各項的二項式系數之和為128，則其展開式中x2的系數為(　　)
A．280　　　　　　　 B．－280
C．35 D．－35
(2)把1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展開成關于x的多項式，其各項系數和為an，則＝(　　)
A．2n B．2n－1
C．2 D．2－
【方法技巧】(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，對于式子(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n展開式中的各項的系數的和為g(1)，(a＋bx)n展開式中的奇數項的系數和為[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n展開式中的偶數項的系數和為[g(1)－g(－1)]．　　
【變式探究】(1)在二項式n的展開式中，僅第四項的二項式系數最大，則展開式中常數項為(　　)
A．－360 B．－160
C．160 D．360
(2)已知(＋x2)2n的展開式的二項式系數和比(3x－1)n的展開式的二項式系數和大992，則在2n的展開式中，二項式系數最大的項為________．
【方法技巧】求二項式系數最大項
(1)如果n是偶數，那么中間一項的二項式系數最大．
(2)如果n是奇數，那么中間兩項eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第項與第eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1))項))的二項式系數相等且最大．　　
【變式探究】(1)若n的展開式中各項系數之和大于8，但小于32，則展開式中系數最大的項是(　　)
A．6 B.
C．4x D.或4x
(2)若n展開式中前三項的系數和為163，則展開式中系數最大的項為_______．
高頻考點三　多項展開式的特定項
例3.4．（2023·浙江高考真題）已知多項式，則___________，___________.
【變式探究】(1)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展開式中x3的系數為－2，則a等于(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－1
(2)(x2－x＋2)(x－1)4的展開式中x項的系數為(　　)
A．－9 B．－5
C．7 D．8
【方法技巧】
(1)幾個多項式和的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法：先分別求出每一個多項式中的特定項，再合并．通常要用到方程或不等式的知識求解．
(2)幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法：先分別將每個多項式化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮特定項產生的每一種情形，求出相應的特定項進行合并即可．　　
【變式探究】(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
【方法技巧】三項展開式中的特定項(系數)問題的處理方法
(1)通常將三項式轉化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法求解．
(2)將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式定理展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形，再逐一求出每種情形對應的項，最后合并即可．　　
第50講 二項式定理
【學科素養】
1.結合二項式定理的推導，考查對二項式定理及通項公式的理解，凸顯邏輯推理的核心素養．
2.結合求二項展開式中的特定項及二項式系數性質的研究，考查二項式定理的應用，凸顯數學運算的核心素養．
【課標解讀】
1.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講為每年高考的常考知識點．預測2022年將會考查：①求二項式的特定項或項的系數；②求二項式系數的最大項或二項式系數的和；③與其他知識進行綜合考查。題型以客觀題形式考查，難度不大，屬中、低檔題型。
【核心知識】
1．二項式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通項：
第k＋1項為Tk＋1＝Can－kbk.
(3)二項式系數：
二項展開式中各項的二項式系數為：C(k＝0,1,2，…，n)．
2．二項式系數的性質
性質 性質描述
對稱性 在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C＝C
增減性 當k<時，二項式系數逐漸增大；當k>時，二項式系數逐漸減小
最大值 當n是偶數時，中間一項的二項式系數最大，最大值為；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數相等，且同時取得最大值，最大值為
二項式系數的和 (a＋b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1
【高頻考點】
高頻考點一　二項展開式中特定項及系數問題
例1. （2023·北京高考）展開式中常數項為__________．
【答案】-4
【解析】的展開式的通項 令得常數項為.
【變式探究】(1)(2020·北京高考)在(－2)5的展開式中，x2的系數為(　　)
A．－5　　　　　　　　 B．5
C．－10 D．10
(2)若二項式n的展開式中含有常數項，則n的值可以是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】(1)由二項式定理得(－2)5的展開式的通項Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝ C(－2)rx，令＝2，得r＝1，所以T2＝C(－2)x2＝－10x2，所以x2的系數為－10，故選C.
(2)二項式n的通項公式為Tr＋1＝C(x6)n－r·(－1)r·(x)r＝C·(－1)r·x，由題意可知含有常數項，所以只需4n－5r＝0，對照選項當n＝10時，r＝8，故選C.
【答案】(1)C　(2)C
【變式探究】(2020·全國卷Ⅰ)(x＋y)5的展開式中x3y3的系數為(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
【解析】因為(x＋y)5的通項公式為Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以r＝1時，Cx4y＝5x3y3；r＝3時，xCx2y3＝10x3y3，所以x3y3的系數為5＋10＝15.
【答案】C
【方法技巧】求形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路
(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．
(2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項公式，綜合考慮．　　
高頻考點二　二項式系數的性質及應用
例2.（2023·天津高考）在的展開式中，的系數是__________．
【答案】160
【分析】
求出二項式的展開式通項，令的指數為6即可求出.
【解析】的展開式的通項為，
令，解得，
所以的系數是.
故答案為：160.
【變式探究】(1)已知n(n∈N*)的展開式中各項的二項式系數之和為128，則其展開式中x2的系數為(　　)
A．280　　　　　　　 B．－280
C．35 D．－35
(2)把1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展開成關于x的多項式，其各項系數和為an，則＝(　　)
A．2n B．2n－1
C．2 D．2－
【解析】(1)由題意，2n＝128，得n＝7.
∴n＝7，
其二項展開式的通項Tr＋1＝C·(2x2)7－r·(－x－1)r＝(－1)r·27－rC·x14－3r.
由14－3r＝2得r＝4，
∴展開式中x2的系數為(－1)423·C＝280.
(2)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n中，
令x＝1，可得多項式各項系數的和an＝1＋2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
∴＝＝2－.
【答案】(1)A　(2)D
【方法技巧】(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，對于式子(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n展開式中的各項的系數的和為g(1)，(a＋bx)n展開式中的奇數項的系數和為[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n展開式中的偶數項的系數和為[g(1)－g(－1)]．　　
【變式探究】(1)在二項式n的展開式中，僅第四項的二項式系數最大，則展開式中常數項為(　　)
A．－360 B．－160
C．160 D．360
(2)已知(＋x2)2n的展開式的二項式系數和比(3x－1)n的展開式的二項式系數和大992，則在2n的展開式中，二項式系數最大的項為________．
【解析】(1)∵展開式中，僅第四項的二項式系數最大，
∴展開式共有7項，則n＝6，
則展開式的通項公式為Tk＋1＝Cx6－kk＝(－2)kCx6－2k，
由6－2k＝0得k＝3，
即常數項為T4＝(－2)3C＝－160.
(2)由題意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.
由二項式系數的性質知，10的展開式中第6項的二項式系數最大，故二項式系數最大的項為T6＝C(2x)5·5＝－8 064.
【答案】(1)B　(2)－8 064
【方法技巧】求二項式系數最大項
(1)如果n是偶數，那么中間一項的二項式系數最大．
(2)如果n是奇數，那么中間兩項eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第項與第eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1))項))的二項式系數相等且最大．　　
【變式探究】(1)若n的展開式中各項系數之和大于8，但小于32，則展開式中系數最大的項是(　　)
A．6 B.
C．4x D.或4x
(2)若n展開式中前三項的系數和為163，則展開式中系數最大的項為_______．
【解析】(1)令x＝1，可得n的展開式中各項系數之和為2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3項的系數最大，所以展開式中系數最大的項是C()22＝6.
(2)展開式的通項公式為Tk＋1＝2kCx，由題意可得，20C＋2C＋22C＝163，解得n＝9.
設展開式中Tk＋1項的系數最大，則
解得≤k≤，
又∵k∈N，∴k＝6，
故展開式中系數最大的項為T7＝5 376.
【答案】(1)A　(2)5 376
高頻考點三　多項展開式的特定項
例3.4．（2023·浙江高考真題）已知多項式，則___________，___________.
【答案】5 10
【解析】，
，
所以，
，
所以.
【變式探究】(1)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展開式中x3的系數為－2，則a等于(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－1
(2)(x2－x＋2)(x－1)4的展開式中x項的系數為(　　)
A．－9 B．－5
C．7 D．8
【解析】(1)(1＋ax)3，(1－x)5的展開式中x3的系數分別為a3，C(－1)3，由題可得a3－10＝－2，即a3＝8，解得a＝2.
(2)(x2－x＋2)(x－1)4＝x2(x－1)4－x(x－1)4＋2(x－1)4，
∵(x－1)4展開式的通項公式Tr＋1＝Cx4－r·(－1)r，
∴x2(x－1)4中不含x項，無須求解；
－x(x－1)4中含x項，即當r＝4時，－x·Cx4－4·(－1)4＝－x；
2(x－1)4中含x項，即當r＝3時，2Cx4－3·(－1)3＝－8x.
∴(x2－x＋2)(x－1)4的展開式中x項為－9x，故選A.
【答案】(1)B　(2)A
【方法技巧】
(1)幾個多項式和的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法：先分別求出每一個多項式中的特定項，再合并．通常要用到方程或不等式的知識求解．
(2)幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法：先分別將每個多項式化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮特定項產生的每一種情形，求出相應的特定項進行合并即可．　　
【變式探究】(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
【解析】(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系數為CC＝30.故選C.
【答案】C
【方法技巧】三項展開式中的特定項(系數)問題的處理方法
(1)通常將三項式轉化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法求解．
(2)將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式定理展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形，再逐一求出每種情形對應的項，最后合并即可．　　

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