資源簡(jiǎn)介

第52講 古典概型與幾何概型
【練基礎(chǔ)】
1．袋子里有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，5個(gè)紅球，某人一次抽取3個(gè)球，若每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則此人抽到的球顏色互異的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．2022年河北新高考實(shí)行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史，假若他們都對(duì)后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為(　　)
A. B.
C. D.
3.如圖，在圓O的圓心O處有一個(gè)通信基站，θ＝2，假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍是該圓內(nèi)的白色區(qū)域(該圓形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源，基站工作正常)，若在圓內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是(　　)
A. B.
C.－ D.
4．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sin x＋cos x≥”發(fā)生的概率為(　　)
A. B.
C. D.
5．有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　)
A. B. C. D.
6．為了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，學(xué)校決定從《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》等10部古代數(shù)學(xué)專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，已知這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期，則所選2部專著中至多有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著的概率為(　　)
A. B.
C. D.
7．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1 089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為(　　)
A．4 B．5
C．8 D．9
8.如圖，矩形ABCD滿足BC＝2AB，E為BC的中點(diǎn)，其中曲線為過A，D，E三點(diǎn)的拋物線，隨機(jī)向矩形內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為(　　)
A. B. C. D.
9．已知正三棱錐S ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP ABC＜VS ABC的概率是(　　)
A. B.
C. D.
10．從1～9這9個(gè)自然數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)，則這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為________．
【練提升】
1．現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票(其中3張為中獎(jiǎng)票)的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完結(jié)束的概率為(　　)
A. B.
C. D.
2.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，且滿足CA＝CB，圓內(nèi)的弧線是以C為圓心，CA為半徑的圓的一部分．記△ABC三邊所圍成的區(qū)域(灰色部分)為Ⅰ，右側(cè)月牙形區(qū)域(黑色部分)為Ⅱ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，記此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ的概率分別為P1，P2，則(　　)
A．P1＝P2 B．P1>P2
C．P1＋P2＝ D．P2－P1＝
3．小明和小勇玩一個(gè)四面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的正四面體形玩具，每人拋擲一次，則兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5的概率為(　　)
A. B.
C. D.
4．已知三個(gè)村莊A，B，C構(gòu)成一個(gè)三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．為了方便市民生活，現(xiàn)在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M建一大型生活超市，則M到A，B，C的距離都不小于2千米的概率為(　　)
A. B. C．1－ D.
5．如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個(gè)2×2×3的長(zhǎng)方體框架，一個(gè)建筑工人欲從A處沿腳手架攀登至B處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為(　　)
A. B.
C. D.
6．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步．現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是(　　)
A. B.
C．1－ D．1－
7．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________.
8．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB內(nèi)作射線AM，則使∠CAM＜30°的概率為________．
9.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：
①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；
②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；
③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．
假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．
(1)求小亮獲得玩具的概率；
(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．
10．某城市為鼓勵(lì)人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵標(biāo)價(jià)如下表．現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一趟地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每一站下車的可能性是相同的.
乘坐站數(shù)x，x∈N* 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9
票價(jià)(元) 1 2 3
(1)若甲、乙兩人共付費(fèi)2元，則甲、乙下車方案共有多少種？
(2)若甲、乙兩人共付費(fèi)4元，求甲比乙先到達(dá)目的地的概率．
第52講 古典概型與幾何概型
【練基礎(chǔ)】
1．袋子里有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，5個(gè)紅球，某人一次抽取3個(gè)球，若每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則此人抽到的球顏色互異的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】D
【解析】基本事件總數(shù)為C＝220(種)，此人抽到的球顏色互異的情況有3×4×5＝60(種)，故所求概率為＝.故選D.
2．2022年河北新高考實(shí)行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史，假若他們都對(duì)后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意，從政治、地理、化學(xué)、生物中四選二，共有6(種)方法，所以他們選課相同的概率為，故選D.
3.如圖，在圓O的圓心O處有一個(gè)通信基站，θ＝2，假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍是該圓內(nèi)的白色區(qū)域(該圓形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源，基站工作正常)，若在圓內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是(　　)
A. B.
C.－ D.
【答案】D
【解析】設(shè)該圓的半徑為R，則圓的面積是πR2，S陰影＝S扇形OAB－S△AOB＝×2R2－sin 2×R2＝R2，故P＝.
4．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sin x＋cos x≥”發(fā)生的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意可得
即
解得0≤x≤，故所求的概率為＝.
5．有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，
由幾何概型，得P1＝＝＝，
故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－＝.
6．為了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，學(xué)校決定從《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》等10部古代數(shù)學(xué)專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，已知這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期，則所選2部專著中至多有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)事件“所選2部專著中至多有一部是魏晉南北朝時(shí)期的專著”為事件A，所以事件“所選2部專著中2部都是魏晉南北朝時(shí)期的專著”為事件，因?yàn)镻()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝1－＝，故選C.
7．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1 089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為(　　)
A．4 B．5
C．8 D．9
【答案】B
【解析】由題意在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1 089個(gè)點(diǎn)，
其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，
則其中落入黑色部分的有605個(gè)點(diǎn)，
由隨機(jī)模擬試驗(yàn)可得：＝，又S正＝9，
可得S黑＝×9＝5，故選B.
8.如圖，矩形ABCD滿足BC＝2AB，E為BC的中點(diǎn)，其中曲線為過A，D，E三點(diǎn)的拋物線，隨機(jī)向矩形內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以BC所在的直線為x軸，以E為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AB＝1，BC＝2，
則B(－1,0)，C(1,0)，A(－1,1)，D(1,1)，過A，D，E三點(diǎn)的拋物線方程為y＝x2，
陰影部分面積為
S′＝×2×1－?x2dx＝＝，
又矩形ABCD的面積為S矩形ABCD＝1×2＝2，
故該點(diǎn)落在陰影部分的概率為P＝＝＝.
9．已知正三棱錐S ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP ABC＜VS ABC的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí)，滿足VP ABC＜VS ABC，故使得VP ABC＜VS ABC的概率：
P＝＝.
10．從1～9這9個(gè)自然數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)，則這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為________．
【解析】從1～9這9個(gè)自然數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)的取法共有C＝36種，從(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任選3組，有C＝4種選法，故這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率P＝＝.
【答案】
【練提升】
1．現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票(其中3張為中獎(jiǎng)票)的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完結(jié)束的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】將5張獎(jiǎng)票不放回地依次取出共有A＝120(種)不同的取法，若活動(dòng)恰好在第四次抽獎(jiǎng)結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎(jiǎng)票，第四次抽到最后一張中獎(jiǎng)票，共有CCA＝36(種)取法，所以P＝＝.
2.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，且滿足CA＝CB，圓內(nèi)的弧線是以C為圓心，CA為半徑的圓的一部分．記△ABC三邊所圍成的區(qū)域(灰色部分)為Ⅰ，右側(cè)月牙形區(qū)域(黑色部分)為Ⅱ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，記此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ的概率分別為P1，P2，則(　　)
A．P1＝P2 B．P1>P2
C．P1＋P2＝ D．P2－P1＝
【答案】A
【解析】設(shè)圓的半徑為1，則區(qū)域Ⅰ的面積為
S1＝×2×1＝1，
區(qū)域Ⅱ的面積為
S2＝π×12－＝1，
圓的面積為π×12＝π，所以P1＝P2＝.
3．小明和小勇玩一個(gè)四面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的正四面體形玩具，每人拋擲一次，則兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】用(x，y)表示兩次朝下面的數(shù)字的結(jié)果：
由題意可得(x，y)可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)基本事件．
滿足“兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5”的基本事件有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10個(gè)基本事件，所以兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5的概率為＝.故選C.
4．已知三個(gè)村莊A，B，C構(gòu)成一個(gè)三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．為了方便市民生活，現(xiàn)在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M建一大型生活超市，則M到A，B，C的距離都不小于2千米的概率為(　　)
A. B. C．1－ D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
則△ABC為直角三角形，且∠B為直角，則△ABC的面積S＝×5×12＝30，若在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)A，B，C的距離都不小于2，則該點(diǎn)位于陰影部分，則三個(gè)小扇形的圓心角轉(zhuǎn)化為180°，半徑為2，則對(duì)應(yīng)的面積之和為S＝＝2π，則陰影部分的面積S＝30－2π，則對(duì)應(yīng)的概率P＝＝＝1－.
5．如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個(gè)2×2×3的長(zhǎng)方體框架，一個(gè)建筑工人欲從A處沿腳手架攀登至B處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，最近路線就是不能走回頭路，不能走重復(fù)的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路線共有CC＝210(種)．∵不能連續(xù)向上，∴最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的路線共有CC＝60(種)，∴其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率P＝＝.故選B.
6．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步．現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是(　　)
A. B.
C．1－ D．1－
【答案】D　
【解析】直角三角形的斜邊長(zhǎng)為＝17，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則8－r＋15－r＝17，解得r＝3.
∴內(nèi)切圓的面積為πr2＝9π，
∴豆子落在內(nèi)切圓外的概率P＝1－＝1－.
7．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________.
【答案】3
【解析】由|x|≤m，得－m≤x≤m(易知m>0)．
當(dāng)0當(dāng)28．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB內(nèi)作射線AM，則使∠CAM＜30°的概率為________．
【解析】如圖，在∠CAB內(nèi)作射線AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM＜30°)＝＝＝.
【答案】
9.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：
①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；
②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；
③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．
假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．
(1)求小亮獲得玩具的概率；
(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．
【解析】用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)}|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng)．
因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16，
所以基本事件總數(shù)n＝16.
(1)記“xy≤3”為事件A，
則事件A包含的基本事件共5個(gè)，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以P(A)＝，
即小亮獲得玩具的概率為.
(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.
則事件B包含的基本事件共6個(gè)，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5個(gè)，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝.
因?yàn)椋荆?br/>所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．
10．某城市為鼓勵(lì)人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵標(biāo)價(jià)如下表．現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一趟地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每一站下車的可能性是相同的.
乘坐站數(shù)x，x∈N* 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9
票價(jià)(元) 1 2 3
(1)若甲、乙兩人共付費(fèi)2元，則甲、乙下車方案共有多少種？
(2)若甲、乙兩人共付費(fèi)4元，求甲比乙先到達(dá)目的地的概率．
【解析】(1)由題意知甲、乙乘坐地鐵均不超過3站，前3站設(shè)為A1，B1，C1，甲、乙兩人共有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)9種下車方案．
(2)設(shè)9站分別為A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，因?yàn)榧住⒁覂扇斯哺顿M(fèi)4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三類情況．由(1)可知每類情況中有9種方案，所以甲、乙兩人共付費(fèi)4元共有27種方案．而甲比乙先到達(dá)目的地的方案有(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12種，故所求概率為＝.所以甲比乙先到達(dá)目的地的概率為.第52講 古典概型與幾何概型
【學(xué)科素養(yǎng)】
1．理解古典概型及其概率計(jì)算公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率計(jì)算公式，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
【課標(biāo)解讀】
1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.　
2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.
3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.　
4.了解幾何概型的意義.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點(diǎn)之一．預(yù)測(cè)2022年將會(huì)考查：古典概型的基本計(jì)算、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，常與函數(shù)、不等式、向量結(jié)合、與面積有關(guān)的幾何概型，題型以解答題為主，也可出選擇題、填空題，與實(shí)際背景相結(jié)合，試題難度中等。
【核心知識(shí)】
1．基本事件的特點(diǎn)
(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；
②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的．
(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：
①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為A；
②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同
名稱 不同點(diǎn) 相同點(diǎn)
頻率計(jì)算公式 頻率計(jì)算中的m，n均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值 都計(jì)算了一個(gè)比值
古典概型的概率計(jì)算公式 是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m，n都不會(huì)變化
3．幾何概型
(1)概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．
(2)幾何概型的基本特點(diǎn)：
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；
②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
(3)計(jì)算公式：
P(A)＝.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一　古典概型
例1．（2023·全國(guó)高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式探究】(2020·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【變式探究】將3名教師和3名學(xué)生共6人平均分成3個(gè)小組，分別安排到三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，則每個(gè)小組恰好有1名教師和1名學(xué)生的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【舉一反三】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注：如果一個(gè)大于1的整數(shù)除了1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù))．在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)a，b，則|a－b|<3的概率是(　　)
A. B.
C. D.
高頻考點(diǎn)二　古典概型與其他知識(shí)交匯
例2.(1)從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)將一個(gè)骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.【變式探究】在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分．用xn表示編號(hào)為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢?br/>編號(hào)n 1 2 3 4 5
成績(jī)xn 70 76 72 70 72
(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)x6，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s.
(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率．【舉一反三】廣場(chǎng)舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂發(fā)展的產(chǎn)物，也是城市精神文明建設(shè)成果的一個(gè)重要象征.2018年某校社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某小區(qū)參與廣場(chǎng)舞的群眾進(jìn)行了年齡的調(diào)查，隨機(jī)抽取了40名廣場(chǎng)舞者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6組：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)計(jì)算這40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40,70)的人數(shù)；
(2)若從年齡在[20,40)的廣場(chǎng)舞者中任選2名，求這2名廣場(chǎng)舞者中恰有一人年齡在[30,40)的概率．高頻考點(diǎn)三　幾何概型
例3．（2023·全國(guó)高考真題）在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式探究】(1)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)寶貴的文化遺產(chǎn)，他提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意的精度．割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【舉一反三】陽馬是中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，且兩個(gè)三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐．在陽馬P ABCD中，PC為陽馬P ABCD中最長(zhǎng)的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽馬P ABCD的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于陽馬內(nèi)的概率為(　　)
A. B.
C. D.
第52講 古典概型與幾何概型
【學(xué)科素養(yǎng)】
1．理解古典概型及其概率計(jì)算公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率計(jì)算公式，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
【課標(biāo)解讀】
1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.　
2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.
3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.　
4.了解幾何概型的意義.
【備考策略】
從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點(diǎn)之一．預(yù)測(cè)2022年將會(huì)考查：古典概型的基本計(jì)算、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，常與函數(shù)、不等式、向量結(jié)合、與面積有關(guān)的幾何概型，題型以解答題為主，也可出選擇題、填空題，與實(shí)際背景相結(jié)合，試題難度中等。
【核心知識(shí)】
1．基本事件的特點(diǎn)
(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；
②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的．
(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：
①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為A；
②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同
名稱 不同點(diǎn) 相同點(diǎn)
頻率計(jì)算公式 頻率計(jì)算中的m，n均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值 都計(jì)算了一個(gè)比值
古典概型的概率計(jì)算公式 是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m，n都不會(huì)變化
3．幾何概型
(1)概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．
(2)幾何概型的基本特點(diǎn)：
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；
②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
(3)計(jì)算公式：
P(A)＝.
【高頻考點(diǎn)】
高頻考點(diǎn)一　古典概型
例1．（2023·全國(guó)高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為，故選C。
【變式探究】(2020·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，有10種可能情況，分別為(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3點(diǎn)共線有(OAC)和(OBD)2種可能情況，所以在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為＝，故選A.
【變式探究】將3名教師和3名學(xué)生共6人平均分成3個(gè)小組，分別安排到三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，則每個(gè)小組恰好有1名教師和1名學(xué)生的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】將3名教師和3名學(xué)生共6人平均分成3個(gè)小組，分別安排到三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，基本事件總數(shù)n＝CCC＝90，每個(gè)小組恰好有1名教師和1名學(xué)生包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝CCCCCC＝36，所以每個(gè)小組恰好有1名教師和1名學(xué)生的概率為P＝＝＝.
【舉一反三】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注：如果一個(gè)大于1的整數(shù)除了1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù))．在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)a，b，則|a－b|<3的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】不超過15的素?cái)?shù)有：2,3,5,7,11,13.
在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)，
所有的基本事件有：(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，共15種情況，
其中事件“在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)a，b，且|a－b|<3”包含的基本事件有：(2,3)，(3,5)，(5,7)，(11,13)，共4種情況，
因此所求事件的概率P＝.故選B.
高頻考點(diǎn)二　古典概型與其他知識(shí)交匯
例2.(1)從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)將一個(gè)骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】(1)由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．
因?yàn)閙⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)，共2個(gè)，
故所求的概率為.故選A.
(2)對(duì)于a與b各有6種情形，故總數(shù)為36種．
兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，所以P1＝＝；兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行與重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝＝，
因?yàn)辄c(diǎn)(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，
所以2＋2＜，
解得－＜m＜，故選D.
【答案】　(1)A　(2)D
【變式探究】在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分．用xn表示編號(hào)為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢?br/>編號(hào)n 1 2 3 4 5
成績(jī)xn 70 76 72 70 72
(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)x6，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s.
(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率．
【解析】(1)因?yàn)檫@6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，
所以(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90,
這6位同學(xué)成績(jī)的方差
s2＝[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以標(biāo)準(zhǔn)差s＝7.
(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績(jī)有(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10種結(jié)果，
恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的有(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4種結(jié)果，故所求的概率P＝＝，
即恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率為.
【舉一反三】廣場(chǎng)舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂發(fā)展的產(chǎn)物，也是城市精神文明建設(shè)成果的一個(gè)重要象征.2018年某校社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某小區(qū)參與廣場(chǎng)舞的群眾進(jìn)行了年齡的調(diào)查，隨機(jī)抽取了40名廣場(chǎng)舞者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6組：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)計(jì)算這40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40,70)的人數(shù)；
(2)若從年齡在[20,40)的廣場(chǎng)舞者中任選2名，求這2名廣場(chǎng)舞者中恰有一人年齡在[30,40)的概率．
【解析】(1)由題知，這40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40,70)的人數(shù)為(0.02＋0.03＋0.025)×10×40＝30.
(2)由頻率分布直方圖可知，年齡在[20,30)的有2人，分別記為a1，a2，年齡在[30,40)的有4人，分別記為b1，b2，b3，b4.現(xiàn)從這6人中任選2人，共有如下15種選法：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)．
其中恰有一人年齡在[30,40)的有8種，故這2名廣場(chǎng)舞者中恰有一人年齡在[30,40)的概率P＝.
高頻考點(diǎn)三　幾何概型
例3．（2023·全國(guó)高考真題）在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋涿娣e為．
設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋磮D中的陰影部分，其面積為，所以．
故選：B.
【變式探究】(1)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)寶貴的文化遺產(chǎn)，他提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意的精度．割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】(1)因?yàn)閳A心(0,0)，半徑r＝1，直線與圓相交，所以d＝<1，解得－(2)如圖所示，設(shè)圓的半徑為R，則圓的面積為πR2，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為R，面積為6××R2×sin ＝，則所求的概率P＝＝.故選B.
【答案】(1)C　(2)B
【舉一反三】陽馬是中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，且兩個(gè)三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐．在陽馬P ABCD中，PC為陽馬P ABCD中最長(zhǎng)的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽馬P ABCD的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)位于陽馬內(nèi)的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，得PA⊥平面ABCD，PC的長(zhǎng)等于陽馬P ABCD外接球的直徑．∵PC＝，∴PA＝2.∴VP ABCD＝×1×2×2＝.又V球＝π×3＝，∴該點(diǎn)位于陽馬內(nèi)的概率P＝＝.

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