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第4講 二次根式
目 錄
一、考情分析
二、知識建構
考點一 二次根式的相關概念
題型01 二次根式有意義的條件
題型02 判斷最簡二次根式
題型03 判斷同類二次根式
考點二 二次根式的性質與化簡
題型01 利用二次根式的性質化簡
題型02 常見二次根式化簡的10種技巧
技巧一 數形結合法
技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 換元法
技巧五 拆項法
技巧六 整體代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 輔元法
技巧十 先判斷后化解
考點要求 新課標要求 命題預測
二次根式的相關概念 了解二次根式、最簡二次根式的概念 中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.
二次根式的性質與化簡 掌握二次根式的性質，再根據二次根式的性質化簡
二次根式的運算 了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算
考點一 二次根式的相關概念
二次根式的概念：一般地，我們把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數叫做被開方數．
最簡二次根式：開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.
題型01 二次根式有意義的條件
【例1】（2023·黑龍江綏化·中考真題）若式子有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】且/且
【分析】根據分母不為零，二次根式的被開方數是非負數，列出不等式計算即可．
【解答】∵式子有意義，
∴且，
∴且，
故答案為：且．
【考點】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數是非負數，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關鍵．
【變式1-1】（（2023·江西·中考真題）若有意義，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次根式有意義的條件即可求解．
【解答】解：∵有意義，
∴，
解得：，則的值可以是
故選：D．
【考點】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
【變式1-2】（2023·內蒙古通遼·中考真題）二次根式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據被開方數大于等于0列不等式計算即可得到x的取值范圍，然后在數軸上表示即可得解．
【解答】解：根據題意得，，
解得，
在數軸上表示如下：

故選：C．
【考點】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數軸上表示不等式的解集，理解二次根式有意義的條件是解題關鍵．
【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出，即可求解．
【解答】解：依題意，
∴且，
故答案為：且．
【考點】本題考查了求函數自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
題型02 判斷最簡二次根式
【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對各選項逐一進行化簡，判斷是否為最簡二次根式即可得出答案．
【解答】A、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
B、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
C、是最簡二次根式，故此選項符合題意；
D、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
故選C．
【考點】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．
【變式2-1】（2022·河南南陽·二模）寫出一個實數x，使是最簡二次根式，則x可以是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義．
【解答】解：時，，是最簡二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案為：5．（答案不唯一）
【考點】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，最簡二次根式的條件是（1）被開方數不含分母； （2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．
題型03 判斷同類二次根式
【例3】（2023·山東煙臺·中考真題）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可．
【解答】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，符合題意；
D、，與不是同類二次根式，不符合題意；
故選：C．
【考點】本題主要考查了同類二次根式，解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．
【變式3-1】（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（　　）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【分析】把每個選項中的不是最簡二次根式化為最簡二次根式即可作出判斷．
【解答】A、，與不是同類二次根式，故此選項錯誤；
B、，與不是同類二次根式，故此選項錯誤；
C、與不是同類二次根式，故此選項錯誤；
D、，，與3是同類二次根式，故此選項正確．
故選：D．
【考點】本題考查了二次根式的化簡，同類二次根式的識別等知識，注意二次根式必須化成最簡二次根式．
【變式3-2】下列各式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化成最簡二次根式，再根據同類二次根式的定義判斷即可．
【解答】A．化簡后不能與合并，不合題意；
B．化簡后不能與合并，不合題意；
C．化簡后不能與合并，不合題意；
D．化簡后能與合并，符合題意；
故選：D．
【考點】本題考查了二次根式的性質和同類二次根式，能熟記同類二次根式的性質是解題的關鍵．
【變式3-3】若最簡根式與是同類二次根式，則 ．
【答案】2
【分析】根據同類根式及最簡二次根式的定義列方程求解．
【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，
∴，
解得，
故答案為：2．
【考點】此題考查的是同類二次根式與最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關鍵．
考點二 二次根式的性質與化簡
二次根式的化簡方法：
1）利用二次根式的基本性質進行化簡；
2） 利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡． = ， =
化簡二次根式的步驟：
1）把被開方數分解因式；
2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；
3）化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2．
題型01 利用二次根式的性質化簡
【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）計算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性質化簡得出答案．
【解答】解：．
故選：B．
【考點】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．
【變式1-1】（2022·廣西桂林·中考真題）化簡的結果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【分析】將被開方數12寫成平方數4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結果為2．
【解答】解：＝2，
故選：A．
【考點】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數要寫成平方數乘積的形式再進行化簡．
【變式1-2】（2023·湖北黃岡·中考真題）請寫出一個正整數m的值使得是整數； ．
【答案】8
【分析】要使是整數，則要是完全平方數，據此求解即可
【解答】解：∵是整數，
∴要是完全平方數，
∴正整數m的值可以為8，即，即，
故答案為：8（答案不唯一）．
【考點】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到要是完全平方數是解題的關鍵．
【變式1-3】（2022·四川南充·中考真題）若為整數，x為正整數，則x的值是 ．
【答案】4或7或8
【分析】根據根號下的數大于等于0和x為正整數，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據為整數即可得的值．
【解答】解：∵
∴
∵為正整數
∴可以為1、2、3、4、5、6、7、8
∵為整數
∴為4或7或8
故答案為：4或7或8．
【考點】本題考查了利用二次根式的性質化簡、解一元一次不等式等知識點，掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．
題型02 常見二次根式化簡的10種技巧
技巧一 數形結合法
方法簡介：利用數軸和數學表達式相結合，達到快速化簡的目標.
【例2】（2022·內蒙古·中考真題）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【分析】根據數軸得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和絕對值的性質化簡求解即可．
【解答】解∶∵根據數軸得∶ 0∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故選∶B．
【考點】本題考查二次根式的性質與化簡，實數與數軸，掌握是解題的關鍵．
【變式2-1】實數在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡： ．
【答案】/
【分析】利用二次根式的性質和絕對值的性質，即可求解．
【解答】由數軸位置可知，
．
【考點】本題考查二次根式化簡運算，掌握二次根式的性質是關鍵．
【變式2-2】（2022遂寧中考真題）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡 ．
【答案】2
【分析】利用數軸可得出，進而化簡求出答案．
【解答】解：由數軸可得：，
則
∴
=
=
=
=2．
故答案為：2．
【考點】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確得出a，b的取值范圍是解題關鍵．
技巧二 估值法
方法簡介：先運用二次根式的運算法則化簡，再將最后的化簡結果化成根式再確定取值范圍.
【例3】（2023·重慶·中考真題）估計的值應在（ ）
A．7和8之間 B．8和9之間
C．9和10之間 D．10和11之間
【答案】B
【分析】先計算二次根式的混合運算，再估算結果的大小即可判斷．
【解答】解：
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【考點】此題考查了二次根式的混合運算，無理數的估算，正確掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023·山東臨沂·中考真題）設，則實數m所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次根式的加減運算進行計算，然后估算即可求解．
【解答】解： ，
∵，
∴，
即，
故選：B．
【考點】本題考查了二次根式的加減運算，無理數的估算，正確的計算是解題的關鍵．
【變式3-2】若將三個數，，表示在數軸上，其中一個數被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個被覆蓋的數是 ．
【答案】
【分析】根據被覆蓋的數的范圍求出被開方數的范圍，然后即可得解．
【解答】設被覆蓋的數是，根據圖形可得
，
∴，
∴三個數，，中符合范圍的是．
故答案為：．
【考點】本題考查了實數與數軸的關系，根據數軸確定出被覆蓋的數的取值范圍是解題的關鍵．
技巧三 公式法
方法簡介：根據題目已知條件，通過變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.
【例4】（2022·天津紅橋·三模）計算的結果等于 ．
【答案】3
【分析】利用平方差公式解答．
【解答】解：
故答案為：3．
【考點】本題考查利用平方差公式進行計算，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
【變式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：，則 ．
【答案】
【分析】根據完全平方公式算出，再結合已知條件求出結果．
【解答】 ，，
，
．
故答案為：．
【考點】本題主要考查了二次根式的混合運算和完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
【變式4-2】計算：．
【答案】
【解答】
解：
．
【考點】本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是二次根式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎題型．
【變式4-3】計算：．
【答案】
【解答】解：
=
=
=
【變式4-4】 ．
【答案】25
【分析】利用平方差公式把原式變形為，即可求解．
【解答】解：
；
故答案為：25
【考點】本題主要考查了二次根式的混合運算法則，理解相關知識是解答關鍵．
技巧四 換元法
方法簡介：根據已知條件，利用未知變量替換有規(guī)律表達式，尋找規(guī)律，快速求解.
【例5】已知n＝＋1，求的值．
【答案】+1
【解答】
設a=n+2+，b=n+2-，
∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2-（n2-4）=4（n+2），
∴原式=
=
=n．
當n＝＋1時，原式＝＋1.
技巧五 拆項法
方法簡介：分子為多項式的和，分母為多項式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項.
【例6】計算：.[分析：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)]
【答案】
【分析】根據題中分析進行拆分，在進行化簡即可.
【解答】解：原式＝=
＝+
＝+
＝+
＝.
技巧六 整體代入法
方法簡介：由已知條件，通過加減乘除運算，得到與求解表達式相關的表達數值，整體代入.
【例7】已知，，則 ．
【答案】17
【分析】先對x和y進行分母有理化，將所給的多項式化為，再計算和的值后，代入計算即可．
【解答】解：，
原式=
∵，，
∴原式，
故答案為：17．
【考點】本題考查了二次根式的化簡，分母有理化，要熟練掌握平方差公式和完全平方公式．
【變式7-1】已知，，求的值．
【答案】23
【分析】利用分母有理化化簡可得，，再代入求值即可；
【解答】解：∵，
，
∴
．
【考點】本題考查了二次根式的混合運算以及二次根式的化簡求值，解決問題關鍵是掌握分母有理化．
【變式7-2】已知：，．求值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分母有理化，化簡，據此求解即可；
（2）提取公因式得到，再整體代入求解即可．
【解答】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∴
．
【考點】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算是解題的關鍵．
【變式7-3】已知，，求．
【答案】62
【分析】利用分母有理化化簡、，求出和，再將所求式子利用分式加法法則變形，代入計算即可．
【解答】解：，，
∴，，
則
．
【考點】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則、完全平方公式是解題的關鍵．
技巧七 因式分解法
方法簡介：與分式的化簡相同，代數式的化簡也要“變肥為瘦”.此題分母較為復雜，結合分子可將分母進行因式分解，約去公因式從而達到“瘦身”的效果.
【例8】計算：.
【答案】
【解答】分析：把分母變形為：，然后提出（）即可求解.
解：.==
=
＝
＝
＝.
技巧八 配方法
【例9】若a，b為實數，且b＝＋＋15，試求的值．
【答案】
【解答】試分析：利用二次根式的定義求出a與b的值，再把原式進行化簡，把a，b的值代入化簡結果進行計算即可得到結果．
解：由二次根式的定義，得，
∴3－5a＝0，∴a＝.∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.
∴＝
=
當a＝，b＝15時，
原式＝.
【變式9-1】可以用配方法化簡二重根式，
例如：，
請化簡式子： ．
【答案】2
【分析】先把，分別化為與，再化簡，結合分母有理化，最后計算加減運算即可．
【解答】解：
；
故答案為：2
【考點】本題考查的是二次根式的化簡，二次根式的混合運算，分母有理化，掌握二次根式的化簡的方法與技巧是解本題的關鍵．
技巧九 輔元法
方法簡介：所謂輔元法，就是引入一個新的未知數把其他未知數表示出新的未知數的代數式，然后再代入求值.
【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．
【答案】
【解答】
設x＝k(k＞0)，則y＝2k，z＝3k，
∴原式＝.
【變式10-1】《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現有周長為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為 ．
【答案】
【分析】根據周長為18的三角形的三邊滿足，求得，代入公式即可求解．
【解答】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足，設
∴
解得
故答案為：
【考點】本題考查了化簡二次根式，正確的計算是解題的關鍵．
技巧十 先判斷后化解
【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．
【答案】
【分析】首先對每一項根式進行分母有理化進行化簡，然后通分，進行分式的加法運算，再用對分母提取公因式后，運用配方法對提取公因式后的分母進行整理，最后再入求值即可．
【解答】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0.
∴原式=
=.
【變式11-1】先化簡再求值
(1)已知：，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)2
(2)7
【分析】（1）根據二次根式被開方數的非負性，可得的值，從而得的范圍，從而可將要求的式子化簡求解；
（2）先對已知條件利用分母有理化進行化簡，再對要求的式子進行化簡，最后將的值代入計算即可．
【解答】（1）∵，，，
∴ ，
∵
∴




∴的值為2．
（2）∵

∴





∴的值為7．
【考點】本題考查了二次根式的化簡求值和分式的化簡求值，熟練掌握因式分解及分母有理化的方法，是解題的關鍵．
考點三 二次根式的運算
乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即： = .
除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即（a≥0，b＞0）.
加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數相同的二次根式合并.
【口訣】一化、二找、三合并.
分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.
即：；
混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．
題型01 二次根式的乘除運算
【例1】（2023·湖南·中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結果．
【解答】解：根據二次根式有意義的條件，得，
，
故選：D．
【考點】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數為非負數是本題的關鍵．
【變式1-1】（2023·青海西寧·中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式的運算法則運算判斷．
【解答】解：A、 ，不能合并，原計算錯誤，本選項不合題意；
B、 ，原計算錯誤，本選項不合題意；
C、 ，計算正確，本選項符合題意；
D、，注意運算順序，原計算錯誤，本選項不合題意；
故選：C
【考點】本題考查二次根式的運算，乘法公式；注意掌握運算法則是解題的關鍵．
【變式1-2】（2023·河北·中考真題）若，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】把代入計算即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
故選：A．
【考點】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運算是解題的關鍵．
【變式1-3】（2022·廣東廣州·廣東番禺中學校考三模）計算：等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次根式的乘除運算法則進行計算，最后根據二次根式的性質化簡即可．
【解答】解：．
故選：A．
【考點】本題考查二次根式的乘除運算和二次根式的性質，，，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
【變式1-4】（2023益陽市中考）計算： ．
【答案】
【分析】根據二次根式的乘法法則計算即可．
【解答】．
故答案為：．
【考點】本題考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法則．
題型02 二次根式的加減運算
【例2】（2023·遼寧盤錦·中考真題）計算： ．
【答案】1
【分析】先化簡二次根式，再計算減法．
【解答】解：，
故答案為：1．
【考點】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是掌握二次根式的性質．
【變式2-1】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算的結果是 ．
【答案】
【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．
【解答】解：
=
=，
故答案為：．
【考點】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡二次根式是解題的關鍵．
【變式2-2】（2023·廣西玉林·一模）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加減運算法則進行計算，然后作出判斷．
【解答】解：A、與不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、與不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；
D、，正確，故此選項符合題意；
故選：D．
【考點】本題考查二次根式的加減運算，掌握運算法則是解題關鍵．
【變式2-3】（2023淄博市一模）已知實數m、n滿足，則 ．
【答案】
【分析】根據絕對值和平方的非負性求出和的值，然后代入化簡求值即可．
【解答】∵，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
【考點】本題考查了絕對值和二次根式的非負性，二次根式的化簡和加減運算，根據題意求出和的值是解題的關鍵．
【變式2-4】（2020·河北·中考真題）已知：，則 ．
【答案】6
【分析】根據二次根式的運算法則即可求解．
【解答】∵
∴a=3,b=2
∴6
故答案為：6．
【考點】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．
題型03 二次根式的混合運算
【例3】（2023·山東聊城·中考真題）計算： ．
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性質化簡，再計算括號內的減法，然后計算二次根式的除法即可．
【解答】解：
故答案為：3．
【考點】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵．
【變式3-1】（2022·湖北荊州·中考真題）若的整數部分為a，小數部分為b，則代數式的值是 ．
【答案】2
【分析】先由得到，進而得出a和b，代入求解即可．
【解答】解：∵ ，
∴，
∵ 的整數部分為a，小數部分為b，
∴，．
∴，
故答案為：2．
【考點】本題主要考查無理數及代數式化簡求值，解決本題的關鍵是要熟練掌握無理數估算方法和無理數整數和小數部分的求解方法．
【變式3-2】（2023·湖北荊州·中考真題）已知，則與最接近的整數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據二次根式的混合運算進行計算，進而估算無理數的大小即可求解．
【解答】解：
∵，
∴,
∴與最接近的整數為，
故選：B．
【考點】本題考查了二次根式的混合運算，無理數的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
【變式3-3】（2023·甘肅武威·中考真題）計算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合運算法則計算即可．
【解答】解：
．
【考點】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解答本題的關鍵．
題型04 二次根式的化簡求值
【例4】（2023·湖南湘西·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，最后把的值代入計算即可．
【解答】解：
當時，原式
【考點】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
【變式4-1】（2022·湖北襄陽·中考真題）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化簡，進而合并同類項，再把已知數據代入得出答案．
【解答】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【考點】此題主要考查了二次根式的混合運算與整式的混合運算——化簡求值，正確掌握整式的混合運算法則是解題關鍵．
【變式4-2】（2021·北京·一模）已知，求代數式的值．
【答案】
【分析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，代入計算即可．
【解答】解：原式=
，
當時，原式=．
【考點】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．
【變式4-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市景范中學校校考二模）先化簡，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】根據分式的運算法則進行化簡，然后將x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式=
=
=
=
=；
當時，
原式=．
【考點】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
【變式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，則＝（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
【答案】C
【分析】先根據題意得出和的值，再把式子化成含與的形式，最后代入求值即可.
【解答】由題得：、
∴
故選：C.
【考點】本題考查代數式求值和完全平方公式，運用整體思想是關鍵.
題型05 二次根式的應用
【例5】（2023·黑龍江綏化·模擬預測）古希臘幾何學家海倫和我國宋代數學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，那么三角形的面積為，，，b，c，若，，，則的面積為 ．
【答案】
【分析】根據a，b，c的值，求出p的值，代入公式計算即可求出S．
【解答】解：∵，，，
∴，
則．
故答案為：．
【考點】此題考查了二次根式的應用，以及數學常識，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
【變式5-1】（2022·江蘇無錫·校聯考一模）按一定規(guī)律排列的一列數：，，，，……其中第5個數為 ，第n個數為 （n為正整數）．
【答案】 ，
【分析】首先將轉換成，再分析分子分母中數字和項數之間的規(guī)律即可解答．
【解答】將轉換成之后，可發(fā)現各項的分母依次為1，2，3，4，，
可以得出第n項的分母就是n，故第5項的分母為5；
同時各項的分子中根號內的值依次為3，8，15，24，，
不難發(fā)現第n項的分子中根號內的值應是，
所以第5項的分子應是，則第n個數分子為，
故第5個數為，第n個數為，
故答案為：，．
【考點】本題是找規(guī)律的題型，解題的關鍵點在于將轉換成，同時對分子中的規(guī)律也應注意把握．
【變式5-2】（2022·湖北武漢·校考模擬預測）觀察下列各式：①，②，③，…，請寫出第6個式子： ，用含n （n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律： ．
【答案】
【分析】觀察等式左右兩邊的式子結構，即可得出答案．
【解答】解：觀察可知：第6個式子為：；
一般規(guī)律為：
故答案為：；
【考點】本題考查二次根式有關的規(guī)律題．旨在考查學生的推理能力．
【變式5-3】（2023·河南洛陽·二模）閱讀材料：我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現：當，時，有，，當且僅當時取等號．
請利用上述結論解決以下問題：
(1)當時，的最小值為_________；當時，的最大值為_________；
(2)當時，求的最小值；
(3)如圖，四邊形的對角線、相交于點O，、的面積分別為9和16，求四邊形的最小面積．
【答案】(1)2；
(2)y的最小值為11
(3)49
【分析】（1）根據題目中給出的信息進行解答即可；
（2）先將變形得到，然后根據題目中給出的信息進行解答即可；
（3）設，根據等高三角形性質得出 ，求出 ，根據四邊形的面積為，求出最小值即可．
【解答】（1）解：∵當時，，即，
∴的最小值為2；
∵當時，，
∴，即，
∴，
∴，
∴的最大值為；
故答案為：2；；
（2）解：，
，
，
∴當時，y的最小值為11．
（3）解：設，已知，，則由等高三角形性質可知， ，
∴，
，
因此四邊形的面積，
當且僅當時取等號，即四邊形面積的最小值為49 ．
【考點】本題主要考查了二次根式的應用，三角形面積的計算，解題的關鍵是理解題意，準確計算．
【變式5-4】（2023·江蘇·二模）問題：已知實數a、b、c滿足，且，求證：．
小明在思考時，感覺無從下手，就去請教學霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對小明說：我們可以構造一個一元二次方程，利用一元二次方程根與系數的關系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：
令，則，原等式可變形為關于x的一元二次方程：
．
可以發(fā)現：．
從而可知構造的方程兩個根分別是1和
利用根與系數的關系得： _____；_____；…
請你根據小剛的思路完整地解答本題．
【答案】；；見解析
【分析】令，則，原等式就可變?yōu)殛P于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出代數式的值．
【解答】解：令，則，原等式可變形為關于x的一元二次方程：
．
可以發(fā)現：．
從而可知構造的方程兩個根分別是1和.
利用根與系數的關系得：；；
∴
．
【考點】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，根據題意確定一元二次方程，得到方程的兩個根，再由根與系數的關系用兩根之和與兩根之積表示代數式中的分式，代入代數式求出代數式的值．
【變式5-5】（2023·山東濟寧·二模）探究問題：探究與的大小關系．
(1)觀察猜想：與的大小關系是______．
(2)計算驗證：當時，與的大小關系是______；當時，與的大小關系是______．
(3)推理證明：如圖，以為直徑作半圓O，點C半圓上一動點，過C作于點D，設，．先用含a，b的式子表示出線段，再寫出他們（含a，b的式子）之間存在的大小關系．

(4)實踐應用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結論，求矩形周長的最小值．
【答案】(1)
(2)；
(3)；
(4)矩形周長的最小值為4．
【分析】（1）根據題意作出猜想即可；
（2）代入數據，計算即可得出答案；
（3）易得，再通過證明，利用相似比得，根據直角邊與斜邊的關系得（當C點為半圓的中點時取等號），所以；
（4）設矩形的兩邊分別為a、b，則，利用得，即，所以，于是可得矩形周長的最小值．
【解答】（1）解：猜想：與的大小關系是．
故答案為：；
（2）解：當時，，，
∴；
當時，，，
∴．
故答案為：；；
（3）解：∵為直徑，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵（當C點為半圓的中點時取等號），
∴；
（4）解：設矩形的兩邊分別為a、b，則，
∵，
∴，即，
∴，
∴矩形周長的最小值為4．
【考點】本題考查了二次根式的應用，熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質；體會由于幾何的方法比較代數式的大小．第4講 二次根式
目 錄
一、考情分析
二、知識建構
考點一 二次根式的相關概念
題型01 二次根式有意義的條件
題型02 判斷最簡二次根式
題型03 判斷同類二次根式
考點二 二次根式的性質與化簡
題型01 利用二次根式的性質化簡
題型02 常見二次根式化簡的10種技巧
技巧一 數形結合法
技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 換元法
技巧五 拆項法
技巧六 整體代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 輔元法
技巧十 先判斷后化解
考點要求 新課標要求 命題預測
二次根式的相關概念 了解二次根式、最簡二次根式的概念 中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.
二次根式的性質與化簡 掌握二次根式的性質，再根據二次根式的性質化簡
二次根式的運算 了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算
考點一 二次根式的相關概念
二次根式的概念：一般地，我們把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數叫做被開方數．
最簡二次根式：開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.
題型01 二次根式有意義的條件
【例1】（2023·黑龍江綏化·中考真題）若式子有意義，則x的取值范圍是 ．
【變式1-1】（（2023·江西·中考真題）若有意義，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·內蒙古通遼·中考真題）二次根式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
題型02 判斷最簡二次根式
【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·河南南陽·二模）寫出一個實數x，使是最簡二次根式，則x可以是 ．
題型03 判斷同類二次根式
【例3】（2023·山東煙臺·中考真題）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（　　）
A．與 B．與 C．與 D．與
【變式3-2】下列各式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】若最簡根式與是同類二次根式，則 ．
考點二 二次根式的性質與化簡
二次根式的化簡方法：
1）利用二次根式的基本性質進行化簡；
2） 利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡． = ， =
化簡二次根式的步驟：
1）把被開方數分解因式；
2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；
3）化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2．
題型01 利用二次根式的性質化簡
【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）計算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【變式1-1】（2022·廣西桂林·中考真題）化簡的結果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【變式1-2】（2023·湖北黃岡·中考真題）請寫出一個正整數m的值使得是整數； ．
【變式1-3】（2022·四川南充·中考真題）若為整數，x為正整數，則x的值是 ．
題型02 常見二次根式化簡的10種技巧
技巧一 數形結合法
方法簡介：利用數軸和數學表達式相結合，達到快速化簡的目標.
【例2】（2022·內蒙古·中考真題）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【變式2-1】實數在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡： ．
【變式2-2】（2022遂寧中考真題）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡 ．
技巧二 估值法
方法簡介：先運用二次根式的運算法則化簡，再將最后的化簡結果化成根式再確定取值范圍.
【例3】（2023·重慶·中考真題）估計的值應在（ ）
A．7和8之間 B．8和9之間
C．9和10之間 D．10和11之間
【變式3-1】（2023·山東臨沂·中考真題）設，則實數m所在的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】若將三個數，，表示在數軸上，其中一個數被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個被覆蓋的數是 ．
技巧三 公式法
方法簡介：根據題目已知條件，通過變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.
【例4】（2022·天津紅橋·三模）計算的結果等于 ．
【變式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：，則 ．
【變式4-2】計算：．
【變式4-3】計算：．
【變式4-4】 ．
技巧四 換元法
方法簡介：根據已知條件，利用未知變量替換有規(guī)律表達式，尋找規(guī)律，快速求解.
【例5】已知n＝＋1，求的值．
技巧五 拆項法
方法簡介：分子為多項式的和，分母為多項式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項.
【例6】計算：.[提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)]
技巧六 整體代入法
方法簡介：由已知條件，通過加減乘除運算，得到與求解表達式相關的表達數值，整體代入.
【例7】已知，，則 ．
【變式7-1】已知，，求的值．
【變式7-2】已知：，．求值：
(1)
(2)
【變式7-3】已知，，求．
技巧七 因式分解法
方法簡介：與分式的化簡相同，代數式的化簡也要“變肥為瘦”.此題分母較為復雜，結合分子可將分母進行因式分解，約去公因式從而達到“瘦身”的效果.
【例8】計算：.
技巧八 配方法
【例9】若a，b為實數，且b＝＋＋15，試求的值．
【變式9-1】可以用配方法化簡二重根式，
例如：，
請化簡式子： ．
技巧九 輔元法
方法簡介：所謂輔元法，就是引入一個新的未知數把其他未知數表示出新的未知數的代數式，然后再代入求值.
【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．
【變式10-1】《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現有周長為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為 ．
技巧十 先判斷后化解
【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．
【變式11-1】先化簡再求值
(1)已知：，求的值．
(2)已知，求的值．
考點三 二次根式的運算
乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即： = .
除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即：（a≥0，b＞0）.
加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數相同的二次根式合并.
【口訣】一化、二找、三合并.
分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.
即：；
混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．
題型01 二次根式的乘除運算
【例1】（2023·湖南·中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·青海西寧·中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023·河北·中考真題）若，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
【變式1-3】（2022·廣東廣州·廣東番禺中學校考三模）計算：等于（　　）
A． B． C． D．
【變式1-4】（2023益陽市中考）計算： ．
題型02 二次根式的加減運算
【例2】（2023·遼寧盤錦·中考真題）計算： ．
【變式2-1】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算的結果是 ．
【變式2-2】（2023·廣西玉林·一模）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023淄博市一模）已知實數m、n滿足，則 ．
【變式2-4】（2020·河北·中考真題）已知：，則 ．
題型03 二次根式的混合運算
【例3】（2023·山東聊城·中考真題）計算： ．
【變式3-1】（2022·湖北荊州·中考真題）若的整數部分為a，小數部分為b，則代數式的值是 ．
【變式3-2】（2023·湖北荊州·中考真題）已知，則與最接近的整數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式3-3】（2023·甘肅武威·中考真題）計算：．
題型04 二次根式的化簡求值
【例4】（2023·湖南湘西·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【變式4-1】（2022·湖北襄陽·中考真題）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【變式4-2】（2021·北京·一模）已知，求代數式的值．
【變式4-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市景范中學校校考二模）先化簡，再求值：，其中．
【變式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝+1，n＝﹣1，則＝（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
題型05 二次根式的應用
【例5】（2023·黑龍江綏化·模擬預測）古希臘幾何學家海倫和我國宋代數學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，那么三角形的面積為，，，b，c，若，，，則的面積為 ．
【變式5-1】（2022·江蘇無錫·校聯考一模）按一定規(guī)律排列的一列數：，，，，……其中第5個數為 ，第n個數為 （n為正整數）．
【變式5-2】（2022·湖北武漢·校考模擬預測）觀察下列各式：①，②，③，…，請寫出第6個式子： ，用含n （n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律： ．
【變式5-3】（2023·河南洛陽·二模）閱讀材料：我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現：當，時，有，，當且僅當時取等號．
請利用上述結論解決以下問題：
(1)當時，的最小值為_________；當時，的最大值為_________；
(2)當時，求的最小值；
(3)如圖，四邊形的對角線、相交于點O，、的面積分別為9和16，求四邊形的最小面積．
【變式5-4】（2023·江蘇·二模）問題：已知實數a、b、c滿足，且，求證：．
小明在思考時，感覺無從下手，就去請教學霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對小明說：我們可以構造一個一元二次方程，利用一元二次方程根與系數的關系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：
令，則，原等式可變形為關于x的一元二次方程：
．
可以發(fā)現：．
從而可知構造的方程兩個根分別是1和
利用根與系數的關系得： _____；_____；…
請你根據小剛的思路完整地解答本題．
【變式5-5】（2023·山東濟寧·二模）探究問題：探究與的大小關系．
(1)觀察猜想：與的大小關系是______．
(2)計算驗證：當時，與的大小關系是______；當時，與的大小關系是______．
(3)推理證明：如圖，以為直徑作半圓O，點C半圓上一動點，過C作于點D，設，．先用含a，b的式子表示出線段，再寫出他們（含a，b的式子）之間存在的大小關系．

(4)實踐應用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結論，求矩形周長的最小值．二次根式的概念：一般地，我們把形如√a（≥0）的式子叫做二次根
式，“√”稱為二次根號，二次根號下的數叫做被開方數．
二次根式的相關概念 最簡二次根式：開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的
題型01 二次根式有意義的條件
題型02 判斷最簡二次根式
因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式． 題型03 判斷同類二次根式
同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相
同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.
被開方數是非負數，即a≥0
雙重非負性
二次根式的值是非負數，即√a≥0 題型01 利用二次根式的性質化簡
題型02 常見二次根式化簡的10種技巧
技巧一 數形結合法
二次根式的性質與化簡 技巧二 估值法
技巧三 公式法
技巧四 換元法
二次根式 技巧五 拆項法
其它性質 技巧六 整體代入法
技巧七 因式分解法
技巧八 配方法
技巧九 輔元法
技巧十 先判斷后化解
乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即：√ab
=√a √b （a≥0，b≥0）
除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即√a/ 題型01 二次根式的乘除運算
√b=√(a/b)（a≥0，b＞0）. 題型02 二次根式的加減運算
二次根式的運算 題型03 二次根式的混合運算 加減法法則 一化、二找、三合并 題型04 二次根式的化簡求值
分母有理化 方法 題型05 二次根式的應用
混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去
掉括號)．
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