資源簡介

第16講 解直角三角形的應用舉例（一）
學習目標：
1．通過生活中的實際問題體會銳角三角函數在解題過程中的作用；(重點)
2．能夠把實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，并運用解直角三角形求解．(難點)
溫故知新
1、解直角三角形的公式：
（1）三邊關系：__________________．
（2）角關系：∠A+∠B＝_____，
（3）邊角關系：
sinA= ，sinB= ，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
核心素養：“構造直角三角形”解決實際生活問題
模塊一：解直角三角形的簡單應用
學以致用
探究點：解直角三角形的簡單應用
【類型一】 求河的寬度
例1、根據網上消息，益陽市為了改善市區交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數據：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米)．參考數據：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.
【類型二】 求不可到達的兩點的高度
例2、如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD＝60°.使用發現，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少(結果精確到0.1cm，參考數據：≈1.732)
小試牛刀
(2022遼寧沈陽中考)如圖,一條河的兩岸互相平行,為了測量河的寬度PT(PT與河岸PQ垂直),測得P,Q兩點間的距離為m米,∠PQT=α,則河寬PT為(　　)
msin α米　　　　
B.mcos α米　　　　
C.mtan α米　　　　
D.米
2.(2021湖北十堰中考)如圖,小明利用一個銳角是30°的三角板測操場上旗桿的高度,已知他與旗桿之間的水平距離BC為15 m,AB為1.5 m(即小明的眼睛與地面的距離),那么旗桿的高度是(　　)
C.15 m　　　　 D.m
3.(2022浙江金華中考)一配電房的示意圖如圖所示,它是一個軸對稱圖形,已知BC=6 m,∠ABC=α,則房頂A離地面EF的高度為(　　)
A.(4+3sin α)m　　　　B.(4+3tan α)m
C.
m
4.(2021湖南株洲中考)某限高曲臂道路閘口如圖所示,AB垂直地面l1于點A,BE與水平線l2的夾角為α(0°≤α≤90°),EF∥l1∥l2,若AB=1.4米,BE=2米,車輛的高度為h(單位:米),不考慮閘口與車輛的寬度:
①當α=90°時,h小于3.3米的車輛均可以通過該閘口;
②當α=45°時,h等于2.9米的車輛不可以通過該閘口;
③當α=60°時,h等于3.1米的車輛不可以通過該閘口.
則上述說法正確的個數為(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
（第4題） （第5題）
5.(2023廣西中考)如圖,焊接一個鋼架,包括底角為37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱,則共需鋼材約　　　　m(結果取整數).
(參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
6.(2022山東泰安中考)如圖,某一時刻太陽光從窗戶射入房間,與地面的夾角∠DPC=30°,已知窗戶的高度AF=2 m,窗臺的高度CF=1 m,窗外水平遮陽篷的寬AD=0.8 m,則CP的長度為　　　　(結果精確到0.1 m).
7.(2022江蘇泰州中考)小強在物理課上學過平面鏡成像知識后,在老師的帶領下到某廠房做驗證實驗.如圖,老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN,MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°,廠房高AB=8 m,房頂AM與水平地面平行.小強在點M的正下方C處從平面鏡觀察,能看到的水平地面上最遠處D到他的距離CD是多少 (結果精確到0.1 m,參考數據:sin 34°≈0.56,tan 34°≈0.67,tan 56°≈1.48)
8.(2023山東濟南中考)圖1是某越野車的側面示意圖,折線段ABC表示車后蓋,已知AB=1 m,BC=0.6 m,∠ABC=123°,該車的高度AO=1.7 m.如圖2,打開后備箱,車后蓋ABC落在AB'C'處,AB'與水平面的夾角∠B'AD=27°.
(1)求打開后備箱后,車后蓋最高點B'到地面l的距離;
(2)若小琳爸爸的身高為1.8 m,他從打開的車后蓋C'處經過,有沒有碰頭的危險 請說明理由.(結果精確到0.01 m,參考數據:sin 27°≈0.454,cos 27°≈0.891,tan 27°≈0.510,≈1.732)
　　
模塊二：利用仰俯角解直角三角形
新知導入
在實際生活中，解直角三角形有著廣泛的應用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線就構成了直角三角形．當我們測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．今天我們就學習和仰角、俯角有關的應用性問題．
學以致用
探究點：利用仰(俯)角解決實際問題
【類型一】 利用仰角求高度
例3、星期天，身高均為1.6米的小紅、小濤來到一個公園，用他們所學的知識測算一座塔的高度．如圖，小紅站在A處測得她看塔頂C的仰角α為45°，小濤站在B處測得塔頂C的仰角β為30°，他們又測出A、B兩點的距離為41.5m，假設他們的眼睛離頭頂都是10cm，求塔高(結果保留根號)．
【類型二】 利用俯角求高度
例4、如圖，在兩建筑物之間有一旗桿EG，高15米，從A點經過旗桿頂部E點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60°，又從A點測得D點的俯角β為30°.若旗桿底部G點為BC的中點，求矮建筑物的高CD.
【類型三】 利用俯角求不可到達的兩點之間的距離
例5、如圖，為了測量河的寬度AB，測量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測得河岸B處的俯角為45°，測得河對岸A處的俯角為30°(A、B、C在同一條直線上)，則河的寬度AB約是多少m(精確到0.1m，參考數據：≈1.41，≈1.73)
【類型四】 仰角和俯角的綜合
例6、某數學興趣小組的同學在一次數學活動中，為了測量某建筑物AB的高，他們來到與建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C處觀察，測得此建筑物頂部A的仰角為30°、底部B的俯角為45°.求建筑物AB的高(精確到1m，可供選用的數據：≈1.4，≈1.7)．
小試牛刀
(2023吉林長春二道模擬)如圖所示,熱氣球的探測器顯示,從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為α,看這棟樓底部C處的俯角為β,熱氣球A處與這棟樓的水平距離為120 m,則這棟樓的高度為(　　)
A.120(tan α+tan β)m　　　　B.120(tan α-tan β)m
C.120(sin α+sin β)m　　　　D.120(sin α+tan β)m
（第1題） （第2題）
2.(2020浙江溫州中考)如圖,在離鐵塔150米的A處,用測傾儀測得塔頂的仰角為α,測傾儀高AD為1.5米,則鐵塔的高BC為(　　)
A.(1.5+150tan α)米　　　　B.米
C.(1.5+150sin α)米　　　　D.米
3.(2022廣西貴港中考)如圖,某數學興趣小組測量一棵樹CD的高度,在點A處測得樹頂C的仰角為45°,在點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三點在同一直線上,若AB=16米,則這棵樹的高度是(　　)
A.8(3-)米　　　　B.8(3+)米　　　　
C.6(3-)米　　　　D.6(3+)米
(2023廣東深圳龍崗二模)港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋(如圖1所示),被譽為“現代世界七大奇跡”之一,它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作.港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋,其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”,寓意“揚帆起航”.如圖2,某校九年級學生為了測量該主塔的高度,站在B處看塔頂A,仰角為60°,然后向后走160米(BC=160米),到達C處,此時看塔頂A,仰角為30°,則該主塔的高度是(　　)
A.80米　　B.80米 C.160米 　D.80米
6.(2023湖南永州中考)永州市道縣陳樹湘紀念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9米(如圖1所示),寓意陳樹湘為中國革命“斷腸明志”犧牲時的年齡為29歲.如圖2,線段AB表示陳樹湘雕像,一參觀者在水平地面BN上的D處為陳樹湘雕像拍照,相機支架CD高0.9米,在C處觀測雕像頂端A的仰角為45°,然后將相機支架移到MN處拍照,在M處觀測雕像頂端A的仰角為30°,求D、N兩點之間的距離(結果精確到0.1米,參考數據:≈1.732).
　

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