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2009年高考復習難點解析-----排列組合專題之染色問題
【引例】
引例1．在一個正六邊形的6個區域栽種觀賞植物，如右圖，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物．現有四種不同的植物可供選擇，則有________種栽種方案．
引例2．某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_____種．（以數字作答）
【分析】首先栽種第1部分，有種栽種方法；
然后問題就轉化為用余下3種顏色的花，去栽種周圍的5個部分（如右圖所示），
此問題和引例1是同一題型，因此我們有必要對這一題型的解法做一深入探討。
【剖析】
為了深入探討這一題型的解法，
（1）讓我們首先用m（m≥3）種不同的顏色（可供選擇），去涂4個扇形的情形
（要求每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色），如圖所示
以1和3（相間）涂色相同與否為分類標準：
①1和3涂同一種顏色，有m種涂法；2有m-1種涂法,4也有m-1種涂法,
∴ 共有 種涂法。
②1和3涂不同種顏色，有種涂法;2有m-2種涂法，4也有m-2種涂法，
∴ 共有 種涂法。
綜合①和②，共有+種涂法。
（２）下面來分析引例1
以A、C、E（相間）栽種植物情況作為分類標準：
①A、C、E栽種同一種植物，有4種栽法；B、D、F各有3種栽法，
∴ 共有 4×3×3×3＝108 種栽法。
②A、C、E栽種兩種植物,有種栽法（是4種植物中選出2
種，是A、C、E3個區域中選出2個區域栽種同一種植物，是
選出的2種植物排列），B、D、F共有3×2×2 種栽法（注：若A、C栽種同一種植物，則B有
3 種栽法，D、F各有2種栽法），

③A、C、E栽種3種植物，有種栽法；B、D、F各有2種栽法，
∴ 共有 ×2×2×2＝192 種栽法。
綜合①、②、③，共有 108+432+192=732種栽法。
（３）上述(1)、(2)給出了“設一個圓分成P1，P2，…，Pn，共n（n為偶數）個扇形，用m種不同的顏色對這n個扇形著色（m≥3，n≥3），每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法”這類問題的一般解題思路：即以相間扇形區域的涂色情況作為分類標準，再計算其余相間扇形區域的涂色種數。
（4）那么，“設一個圓分成P1，P2，…，Pn，共n（n為奇數）個扇形，用m種不同的顏色對這n個扇形著色（m≥3，n≥3），每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法” 這類問題的解題思路又如何呢？
【分析】
對扇形P1有m種涂色方法，
扇形P2有m－1種涂色方法，
扇形P3也有m－1種涂色方法，
…………
扇形Pn也有m－1種涂色方法．
于是，共有種不同的涂色方法。但是，這種涂色方法可能出現P1與Pn著色相同的情形，這是不符合題意的，因此，答案應從中減去這些不符合題意的涂色方法。那么，這些不符合題意的涂色方法，又怎樣計算呢？這時，把P1與Pn看作一個扇形，其涂色方法相當于用m種顏色對n－1（n－1為偶數）個扇形涂色（這種轉換思維相當巧妙）。而用m種顏色對偶數個扇形的涂色問題，已在上述的（３）中給出了解題思路。
下面，就讓我們把這種解題思路應用于 引例2．
【分析】
①首先栽種第1部分，有種栽種方法；
②然后問題就轉化為用余下3種顏色的花，去栽種周圍的5個部分 （如右圖所示），
對扇形2有3種栽種方法，
扇形3有2種栽種方法，
扇形4也有2種栽種方法，
扇形5也有2種栽種方法，
扇形6也有2種栽種方法．
于是，共有種不同的栽種方法。但是，這種栽種方法可能出現區域2與6著色相同的情形，這是不符合題意的，因此，答案應從中減去這些不符合題意的栽種方法。這時，把2與6看作一個扇形，其涂色方法相當于用3種顏色的花對4個扇形區域栽種（這種轉換思維相當巧妙）。而用3種顏色的花對4個扇形區域的栽種問題，已在上述的（1）中解決了。
綜合①和②，共有種栽法。
（當然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即
）.
【拓展】上面，我們分別就n為偶數和奇數給出了“設一個圓分成P1，P2，…，Pn，共n個扇形，用m種不同的顏色對這n個扇形著色（m≥3，n≥3），每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法” 這類問題的解題思路。
那么，這類問題有沒有更為一般的解法（即通法）呢？（n為不小于3的整數）
【分析】設為符合要求的對n個扇形的涂色方法。
對扇形P1有m種涂色方法，
扇形P2有m－1種涂色方法，
扇形P3也有m－1種涂色方法，
…………
扇形Pn也有m－1種涂色方法．
于是，共有種不同的涂色方法。但是，，因為這種涂色方法可能出現P1與Pn著色相同的情形，這是不符合題意的，因此，答案應從中減去這些不符合題意的涂色方法。那么，這些不符合題意的涂色方法，又怎樣計算呢？這時，把P1與Pn看作一個扇形，其涂色方法相當于用m種顏色對n－1個扇形涂色（這種轉換思維相當巧妙），不同的涂色方法有種，于是，有
－（n≥3），①． 顯然，．
上述的式①就是數列的遞推公式，由此，我們就可以推導出的通項公式：
．
至此，我們就找到了“設一個圓分成P1，P2，…，Pn，共n個扇形，用m種不同的顏色對這n個扇形著色（m≥3，n≥3），每一個扇形著一種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法” 這類問題的通項公式：即．
【注意】上述問題中的m種顏色是可供選擇的，而不是全部都要用上的。
【遷移練習】
1．某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，現有5種不同顏色的花可供選擇，則不同的栽種方法有_____種； 若要求5種不同顏色的花全部栽種，則不同的栽種方法有_____種．（以數字作答）
2．在一個正六邊形的6個區域栽種觀賞植物，如右圖，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物．現有四種不同的植物可供選擇，則有________種栽種方案；若要求四種不同的植物全部栽種，則有________種栽種方案．
【答案】1．1200，600； 2．732，480。

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