資源簡介

0高二數學《考點 題型 技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)
1．4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
【考點梳理】
考點一：空間向量中的距離問題
1.點P到直線 l 的距離
已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量在直線l上的投影向量為＝a，則點P到直線l的距離為
2.點P到平面α的距離
設平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為．
考點二：空間向量中的夾角問題
角的分類 向量求法 范圍
兩條異面直線所成的角 設兩異面直線 l1，l2 所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直線與平面所成的角 設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
兩個平面的夾角 設平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
【題型歸納】
題型一：點到平面的距離的向量求法
1．如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中點，試問在A1B上是否存在一點E，使得點A1到平面AED的距離為？
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點．
（1）求點M到直線AC1的距離；
（2）求點N到平面MA1C1的距離．
題型二：平行平面的距離的向量求法
3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，
（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．
4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為正三角形，且側棱AA1⊥底面ABC，且底面邊長與側棱長都等于2，O，O1分別為AC，A1C1的中點，求平面AB1O1與平面BC1O間的距離.
題型三：異面直線夾角的向量求法
5．如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，為的中點.
（1）求的長；
（2）求與所成角的余弦值.
6．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為DD1，BD的中點，點G在CD上，且CG＝CD.
（1）求證：EF⊥B1C；
（2）求EF與C1G所成角的余弦值.
題型四：線面角的向量求法
7．如圖，在多面體中，平面，點到平面的距離為，是正三角形，，．
（1）證明：．
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
8．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為線段的中點，過的平面與線段，分別交于點，.
（1）求證：；
（2）若為棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值.
題型五：面面角的向量
9．如圖1，在平面四邊形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，點E為AB的中點，M為線段AC上的一點，且ME⊥AB.沿著AC將△ACD折起來，使得平面ACD⊥平面ABC，如圖2.
（1）求證∶BC⊥AD；
（2）求二面角A-DM-E的余弦值.
10．如圖，在四棱柱中，平面，，，，，若與交于點，點在上，且．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
【雙基達標】
11．在正四棱柱中，AB=2，過、、B三點的平面截去正四棱柱的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為，點P，Q分別是和AC的中點.
（1）求異面直線與所成角的大小；
（2）求直線C1D與平面所成角的大小.（用反三角函數表示）
12．如圖，在矩形中，，E為邊上的點，，以為折痕把折起，使點C到達點P的位置，且使二面角為直二面角，三棱錐的體積為.
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
13．直角梯形繞直角邊旋轉一周的旋轉的上底面面積為，下底面面積為，側面積為，且二面角為，，分別在線段，上．
（Ⅰ）若，分別為，中點，求與所成角的余弦值；
（Ⅱ）若為上的動點、為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．
14．如圖，在三棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
15．已知四棱錐，底面為平行四邊形，，，，，．
（Ⅰ）若平面平面，證明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
16．如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求點到直線的距離；
（4）設為線段上的點，且，求直線和平面所成角的正弦值.
【高分突破】
17．如圖，四邊形ABCD是矩形，，E是AD的中點，BE與AC交于點F，GF⊥平面ABCD；
（1）求證：AF⊥平面BEG；
（2）若，求直線EG與平面ABG所成的角的正弦值.
18．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．
（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度．
19．如圖，在中，．O為的外心，平面，且．
（1）求證： 平面；
（2）設平面平面；若點M在線段上運動，且，當直線l與平面所成角取最大值時，求的值
20．如圖，在三棱臺中，，、分別為、中點.
（1）求證：平面；
（2）若，且平面，令二面角的平面角為，求.
21．在四棱錐中，底面為梯形，，，側棱底面，E為側棱上一點，．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．
22．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，為的中點．
（1）求與所成角的余弦值．
（2）求證：平面．
（3）求平面與平面的夾角的正弦值．
23．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
24．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．
（1）證明：．
（2）若為的中點，為上一點，，求直線與平面所成角的正弦值．
25．如圖，已知為圓錐底面的直徑，點在圓錐底面的圓周上，，，平分，是上一點，且平面平面.
（1）求證：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
26．如圖，在三棱柱中，平面，，.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的大小；
（3）點在線段上，且，試問在線段上是否存在一點，滿足平面，若存在，求的值，若不存在，請說明理由？
【答案詳解】
1．
解：如圖以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，設＝λ，λ∈[0，1)，則E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
設為平面AED的法向量，則
取x＝1，則y＝，z＝2，即，
由于d＝＝，
∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，
所以，存在點E且當點E為A1B的中點時，A1到平面AED的距離為.
2．
由題意，分別以為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
（1）直線AC1的一個單位方向向量為，，
故點M到直線AC1的距離.
（2）設平面MA1C1的法向量為，
則,即
不妨取x＝1，得z＝2，故為平面MA1C1的一個法向量，
因為N(1，1，0)，所以,
故N到平面MA1C1的距離
.
3．
（1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
從而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．
又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，
平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，
因為MN∩AM＝M，
所以平面AMN∥平面EFBD；
（2）解：因為平面AMN∥平面EFBD，
所以點B到平面AMN的距離即為平面AMN與平面EFBD間的距離．
設是平面AMN的法向量，
則有即，可取，
由于＝(0，4，0)，
所以點B到平面AMN的距離為，
所以平面AMN與平面EFBD間的距離為．
4．.
如圖，連接OO1，則，且
所以四邊形為平行四邊形，所以AO1OC1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又OBO1B1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O.
∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離即為點O1到平面BC1O的距離.
根據題意，OO1⊥底面ABC，，兩兩垂直.
則以O為原點，分別以OB，OC，OO1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.
∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，
設為平面BC1O的法向量，則
即取可得
點O1到平面BC1O的距離記為d，
則d＝＝＝.
∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離為.
5．
如圖，以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.
（1）依題意得、，因此，，
因此，線段的長為；
（2）依題意得、、、，
，，
所以，，
故與所成角的余弦值為.
6．
以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz.
則E（），，
（1）∵，，
∵，
（2）由（1）知，
∴，
，
，
設EF與C1G所成角為，則
故EF與C1G所成角的余弦值為
7．
（1）證明：如圖，取的中點，連接，．
，
，且，
就是點到平面的距離，即平面
平面，
，
又，四邊形是平行四邊形，
是正三角形，
，
．
（2）解：由（1）得平面，
以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
設平面的法向量為，，
，，
則由得，令，得．
設直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值．
8．
（1）∵，，為的中點，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴.
（2）∵，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，分別以，，所在的直線為，，軸，
建立直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
∴，，，
設平面的法向量為，則，，
即，令，則，
∴直線與平面所成角的正弦值.
9．
（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.
（2）根據題意，以C為原點，CA，CB所在直線分別為x，y軸建立如圖的空間直角坐標系，
∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，
∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.
∴，
∴，，
設平面MDE的法向量為，則，即，令，得y=3，z=-1，∴，
由（1）知，平面MAD的一個法向量為=（0，2，0），
∴.
∴二面角A-DM-E的余弦值為.
10
（1）由可得，，
又，即，
，又平面，平面，
平面.
（2）如圖，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．
則，，，，，
則，，，
設平面的法向量為，由，可得
，取，可得，
設平面的法向量為，由，
可得，取，可得，
由圖可知兩平面所成的角為銳角，余弦值為
.
11．
（1）設正四棱柱的高為，
因為幾何體的體積為，所以，
解得，即，
所以正四棱柱為正方體.
所以連接與，則交點為，連接與，則交點為，
在正方體中，，所以為異面直線與所成的角或所成角的補角.
因為,所以面,
又因為面,所以，
在中，，所以，
因為，所以，
即異面直線與所成角為.
（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，,
設面的法向量為，
則 ，即 ，取，所以，
設直線C1D與平面所成角為，
則，
所以，即直線C1D與平面所成角為.
12．
（1）由，設的中點為O，連接，則，
又二面角為直二面角，故平面，設，則，
又，得三棱錐的體積，
即，得，
于是由，所以，所以，
又平面平面，得平面，則，
又，且，所以平面，
又平面，
故平面平面.
（2）以的中點O為坐標原點，以的方向為z軸正方向，過點O分別作和的平行線，分別為x軸和y軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，
設為平面的法向量，則有，
即，可取，
設為平面的法向量，則有，即，可取，
所以，由圖形知二面角為鈍角，其余弦值為.
13．
（Ⅰ）設圓臺上、下底面半徑分別為，．
∵，∴；∵，∴．
∵，∴．
過點作于點，則，
，∴圓臺的高為．
∵二面角是直二面角，
∴建立空間直角坐標系如圖所示，
點，，，，，
∴，
∴與所成角的余弦值為．
（Ⅱ）取的中點，連接，，，
∴，則．
∵平面，∴平面，
∴為直線與平面所成角，，
當時，最小，最大．
在中，，，，，
，即與平面所成最大角的正切值為．
又點，，，，
設點，平面的法向量，，，即，∴，
則，，，即，
解得，．
即令得．
易知平面的一個法向量為，
設二面角的平面角為，
則．
由圖易得二面角為銳二面角，
∴二面角的余弦值為．
14．
（1）在中，因為，，，
所以，故.
又平面平面，平面平面，面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（2）以所在直線為軸，所在直線為y軸，過點垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則
，，，，，，
設平面的法向量，
由可得，令，則，，
所以，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
15．
（Ⅰ）證明：因為底面為平行四邊形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
又因為平面平面，
根據線面平行的性質定理，，
所以．
（Ⅱ）由題意得，，，
所以，，．
又，所以平面．
因為，所以平面．
又，所以，，兩兩垂直．
以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則點，，，，，
所以，，．
設平面的法向量為，
則
令，則，，則一個法向量．
設平面的法向量為，
則
令，則，，則一個法向量，
則．
由圖易得二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為．
16．
（1）證明：取的中點，連接，，
因為四邊形為矩形，
則且，
因為，分別是，的中點，
則且，
又是正方形的中心，
則，
所以且，
則四邊形是平行四邊形，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
則，，，，所以，，
設平面的法向量為，
則，即，不妨令，則，
因為平面，
則平面的一個法向量為，
所以，
則二面角的正弦值為；
（3）解：因為，，，
則，，
所以，
所以點到直線的距離為；
（4）解：因為，
則，
設，
則，
解得，
故，
所以，
故直線和平面所成角的正弦值為.
17．
（1）因為且，
所以，所以，
又因為，所以，所以，
所以，所以，
又因為平面，平面，所以，
又，所以平面；
（2）據題意，建立空間直角坐標系如下圖所示：
因為，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
設平面的一個法向量為，，
由可得，取，所以，
設直線與平面所成角大小為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18．
（1）證明：因為底面ABCD和側面BCC1B1都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥DD1，
又CD∩DD1＝D，CD，DD1 平面CDD1C1，
所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E 平面CDD1C1，
所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD 平面ABCD，
故D1E⊥平面ABCD，又D1E 平面CC1D1D，
則平面CC1D1D⊥平面ABCD；
（2）解：取AB得中點F，連結EF，則四邊形EFBC為正方形，
所以EF⊥CD，故以E為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
設D1E＝a，則E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），
所以，
設平面BCC1B1的法向量為，
則有，即，
令z＝1，則，
因為FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E 平面BED1，
所以FC⊥平面BED1，
故為平面BD1E的一個法向量，
所以，
因為平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，
，解得a＝1，
所以D1E＝1．
19．
（1）如圖，連接，交于點D，O為的外心，
，所以，
所以
故和都為等邊三角形，
即四邊形為菱形，所以
又平面，平面，所以平面．
（2）由（1）同理可知因為平面，平面，
平面平面，所以．
如圖所示：以點D為原點，和垂直平面的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則．
設所以
設平面的法向量為．
，
得，
令得．
所以直線l與平面所成角的正弦值為：
，
即當即點M是線段的中點時，直線l與平面所成角取最大值．
20．
（1）連接，設，連接，
由三棱臺知，，，，，且.
為的中點，故且，故四邊形為平行四邊形，
因為，則為的中點，
又因為為的中點，故，
因為平面，平面，故平面；
（2）因為平面，平面，故，
因為，，平面，
因為，故平面，
，為的中點，故，
以點為坐標原點，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，
設是平面的一個法向量，
則，令，則，，則，
，，
設是平面的一個法向量，
則，令，則，，，
所以，所以，.
21．
解：（Ⅰ）證明：連結相交于點O，連結．
在梯形中，∵，可得，
∴，又已知，則在中，，
∴．
又底面，∴底面，
則平面平面；
（Ⅱ）由題知，底面，，四邊形為等腰梯形，以點A為坐標原點，為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
設，則，
，，設平面的法向量為，
由可得，取，則，又．
∴，
即直線與平面所成角的正弦值為．
22
（1）在正三棱柱中，為正三角形，取中點為，連接，則,
又面，,則面,建立如圖空間直角坐標系，
由,.可得，,
所以與所成角的余弦值.
（2）由（1）知，，，
及,
且，平面．
（3）由（2）平面的法向量為，
,,,設平面的一個法向量為，則，令，，
平面與平面的夾角的正弦值為
23．
解：過作于點，則，以為原點，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，0，，，1，，，0，，，，，，1，，，0，，
為的中點，，，．
（1），，，，，，，0，．
設平面的法向量為，，，則，
令，則，，，1，，
，即，
又平面，平面．
（2）由（1）知，，0，，，，，
設平面的法向量為，，，則，
令，則，，，，，
，．
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
24．
設，則.
（1）證明：∵，，∴，.
在中，，即，
∴.
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，∴.
（2）以為原點，，所在直線分別為軸、軸，過點且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
∴，，.
設平面的法向量為，則
令，得，，∴.
∵，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
25．
（1）因為，且平分，所以,又因為平面平面，且平面平面，所以平面，又因為平面，所以；
（2）
取的中點,連接，則兩兩垂直，所以以為坐標原點，以為軸，以為軸，以為軸建立如圖空間直角坐標系，
則,
由（1）知平面，所以是平面的一個法向量，
設平面的法向量為，,,則，取，則，
因此,
由圖可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.
26．
（1）證明：在三棱柱中，平面，，．
，，，
，平面，
平面，，
，平面．
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，，，
設異面直線與所成角為，
則，又，．
異面直線與所成角的大小為．
（3）解：，，，，，，
，，
設平面的法向量，，，
則，取，得，
點在線段上，且，點在線段上，
設，，，，，，，則，，，
即，
解得，
平面，，
解得．
的值為．
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