資源簡介

高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn) 題型 技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)
直線和圓的方程
2.1.1直線的傾斜角與斜率
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一　直線的傾斜角
1．傾斜角的定義
(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.
2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
考點(diǎn)二：直線的斜率
1．直線的斜率
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
考點(diǎn)三：過兩點(diǎn)的直線的斜率公式
過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
【題型歸納】
題型一：直線的傾斜角
1．直線l過原點(diǎn)(0，0)，且不過第三象限，那么l的傾斜角α的取值范圍是（ ）
A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180° C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°
2．已知直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
3．直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
題型二：直線的斜率
4．經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．或
5．若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，且傾斜角為，則m的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．下列命題正確的是（ ）
①直線傾斜角的范圍是；
②斜率相等的兩條直線的傾斜角一定相等；
③任何一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角；
④任何一條直線都有傾斜角和斜率．
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③
題型三：傾斜角和斜率的變化關(guān)系
7．已知直線，，的斜率分別是，，，如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
8．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
9．經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，則直線 的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．或
題型四：與斜率公式有關(guān)的問題
10．若直線與直線的交點(diǎn)位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直線l1過點(diǎn)A(-1，1)和B(-2，-1)，直線l2過點(diǎn)C(1，0)和D(0，a)，若兩條直線的斜率相等，則a的值為（ ）
A．-2 B．2
C．- D．
12．已知直線過第一象限的點(diǎn)和，直線的傾斜角為，則的最小值為（ ）
A．4 B．9 C． D．
【雙基達(dá)標(biāo)】
一、單選題
13．已知點(diǎn)，．若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
14．直線經(jīng)過原點(diǎn)和，則的斜率是（ ）
A．0 B． C． D．不存在
15．已知兩點(diǎn)，若直線與線段AB恒有交點(diǎn)，則k的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
16．已知點(diǎn)A(1，3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是（ ）
A． B．K>-2
C．或．K>-2 D．
17．直線的傾斜角的大小為（ ）
A． B． C． D．
18．直線經(jīng)過兩點(diǎn)，直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，則的斜率為（ ）
A． B． C． D．
19．直線：與軸交于點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線，的傾斜角為，則（ ）
A． B．
C． D．
20．將直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
21．直線l過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
22．已知直線，，若直線l過且與直線m n在第一象限圍成一個(gè)等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【高分突破】
一：單選題
23．已知直線3x y+1=0的傾斜角為α，則
A． B．
C． D．
24．已知點(diǎn)，直線方程為，且直線與線段相交，求直線的斜率k的取值范圍為
A．或 B．或
C． D．
25．已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)與線段始終沒有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是
A． B．或 C． D．
26．已知點(diǎn)，，若直線與線段恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知A（2，3），B（﹣1，2），若點(diǎn)P（x，y）在線段AB上，則的最大值為（　?。?br/>A．1 B． C． D．﹣3
28．直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
29．下列命題中，正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
C．若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是
D．當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增.
30．已知直線，點(diǎn)，，若直線與線段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
31．下列說法中正確的是
A．若是直線的傾斜角，則
B．若是直線的斜率，則
C．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
D．任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角
32．(多選)若經(jīng)過A(1a，1+a)和B(3，a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的值不可能為（ ）
A． B． C．1 D．2
33．已知直線l的方程為ax+by-2＝0，下列判斷正確的是（ ）
A．若ab＞0，則l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，則l的傾斜角為90°
C．l可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) D．若a＝0，b≠0，則l的傾斜角為0°
34．（多選）若直線l與x軸交于點(diǎn)A，其傾斜角為，直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得直線，則直線的傾斜角可能為（ ）
A． B． C． D．
35．已知兩點(diǎn)，，直線l過點(diǎn)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
36．若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系是________．
37．已知兩點(diǎn)A(－3，4)，B(3，2)，過點(diǎn)P(2，－1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是________．
38．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三點(diǎn)共線，則________.
39．已知實(shí)數(shù)，滿足方程，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為________．
40．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，，，若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍___________.
四、解答題
41．過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，求的值．
42．m為何值時(shí)，（1）經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的斜率是12？
（2），兩點(diǎn)的直線的傾斜角是？
43．已知兩點(diǎn)A(－3，4)，B(3，2)，過點(diǎn)P(1，0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．求直線l的斜率k的取值范圍.
44．已知，，三點(diǎn).
（1）求直線和的斜率；
（2）若點(diǎn)在線段(包括端點(diǎn))上移動(dòng)，求直線的斜率的變化范圍.
【答案詳解】
1．C
【詳解】
∵ 直線l過原點(diǎn)(0，0)，且不過第三象限，
∴ l的傾斜角的范圍為或，
故選：C.
2．A
【詳解】
解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以.
又，
分子分母同時(shí)除以，得，
將代入可得，
故選：A.
3．C
【詳解】
因?yàn)榈膬A斜角為，
所以，
所以，
故選：C
4．D
【詳解】
解： 由圖可知，經(jīng)過點(diǎn)作直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)斜率最小，過點(diǎn)時(shí)斜率最大，
因?yàn)?，?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋曰颍?br/>故選：D
5．B
【詳解】
由題意，可知直線的斜率存在，且，
所以，解得.
故選：B.
6．A
【詳解】
對于①中，根據(jù)直線傾斜角的定義，可知直線傾斜角的范圍是，所以是正確的；
對于②中，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可得，
當(dāng)時(shí)，可得，則，所以是正確的；
對于③中，由任何一條直線一定有傾斜角，但不都有斜率，所以不正確；
對于④中，任何一條直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，所以不正確．
故選: A.
7．C
【詳解】
設(shè)直線，，的傾斜角分別為，
根據(jù)直線的傾斜角概念，可得，
再由直線的斜率與傾斜角關(guān)系，可得，
故
故選：C.
8．C
【詳解】
當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)椋鋬A斜角為，
當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，
且，
，即，
又，，
由上知，傾斜角的范圍是．
故選：C．
9．D
【詳解】
解：設(shè)直線 的傾斜角為（），
由圖可知，要使直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，只要，
所以，即，
所以或，
故選：D
10．D
【詳解】
聯(lián)立方程組，解得，
因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)位于第二象限，可得且，解得，
設(shè)直線的傾斜角為，其中，即，解得，
即直線的傾斜角的取值范圍是.
故選：D.
11．A
【詳解】
，，
，.
故選: A.
12．D
【詳解】
由題得，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.
所以的最小值為.
故選：D
13．A
設(shè)直線過定點(diǎn)，則直線可寫成，
令解得直線必過定點(diǎn)．
，．直線與線段相交，
由圖象知，或，解得或，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
14．B
因?yàn)橹本€經(jīng)過原點(diǎn)和，
則的斜率是，
故選：B.
15．B
【詳解】
解：直線過定點(diǎn)，，
，
由圖象可知：或，
所以k的取值范圍是：．
故選：B．
16．D
【詳解】
解：直線經(jīng)過定點(diǎn)，
，，
又直線與線段相交，
，
故選：．
17．D
【詳解】
由可得，所以直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因?yàn)?，所以?br/>故選：D.
18．D
【詳解】
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
又因?yàn)橹本€的傾斜角是直線的傾斜角的倍，
所以直線的傾斜角為，
所以的斜率為，
故選：D.
19．C
【詳解】
設(shè)的傾斜角為，則，∴，
由題意知，
∴
.
故選：C．
20．B
原直線的傾斜角為，旋轉(zhuǎn)后傾斜角為，所以新直線的斜率為.
故選：.
21．D
如圖所示：
因?yàn)椋?br/>所以直線l與以，為端點(diǎn)的線段相交，
只需：或，
故選：D
22．A
解：根據(jù)題意，設(shè)直線的斜率為，
直線，，兩直線相交于點(diǎn)，設(shè)，
點(diǎn)在直線上，直線與直線相交于點(diǎn)，
為等腰銳角三角形，
則，則，
故必為頂點(diǎn)，必有
則有，
必有，解可得：或，
則，
故選：．
23．A
直線3x-y+1=0的傾斜角為α，∴tanα=3，
∴，
故選A．
24．A
易求得線段的方程為，得，
由直線的方程得
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，．
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選A．
25．A
因?yàn)?，?br/>如圖：
因?yàn)橹本€與線段始終沒有交點(diǎn)，
所以斜率k的取值范圍是. 故選A.
26．D
【詳解】
直線恒過定點(diǎn)，
直線的斜率，直線的斜率，
當(dāng)或時(shí)，直線與線段恒有公共點(diǎn).
故選：D.
27．C
設(shè)Q（3，0），則kAQ3，kBQ，
∵點(diǎn)P（x，y）是線段AB上的任意一點(diǎn)，
∴的取值范圍是[﹣3，]，
故則的最大值為，
故選C．
28．D
【詳解】
解：直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以直線的傾斜角的取值范圍是.
故選：D.
29．C
【詳解】
傾斜角的范圍為時(shí)，直線斜率，傾斜角的范圍為時(shí)，直線斜率，故A錯(cuò)誤；直線的傾斜角時(shí)，直線斜率不存在，故B錯(cuò)誤；直線傾斜角，則斜率的范圍為，故C正確；斜率在和上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
30．A
【詳解】
若直線與線段有公共點(diǎn)，則、在直線的兩側(cè)（也可以點(diǎn)在直線上）.
令，則有，，，即.
解得，
故選：A.
31．ABC
A. 若是直線的傾斜角，則,是正確的；
B. 若是直線的斜率，則，是正確的；
C. 任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，傾斜角為90°的直線沒有斜率，是正確的；
D. 任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角，是錯(cuò)誤的，傾斜角為90°的直線沒有斜率.
故選：ABC
32．AB
解析：kAB=<0，即2+a>0，所以，CD滿足．
故選：AB．
33．ABD
【詳解】
若ab＞0，則l的斜率，則A正確；
若b＝0，a≠0，則l的方程為，其傾斜角為90°，則B正確；
若l可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則-2＝0，這顯然不成立，則C錯(cuò)誤；
若a＝0，b≠0，則l的方程為，其傾斜角為0°，則D正確.
故選：ABD
34．BC
【詳解】
因?yàn)橹本€傾斜角的取值范圍為，
當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，
當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為.
故選：BC.
35．AB
【詳解】
解：，，
直線l過點(diǎn)且與線段MN相交，則或，
則直線l的斜率k的取值范圍是：或．
故選：AB．
36．k1【詳解】
由題圖可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的傾斜角大．∴k1故答案為：k137．(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
【詳解】
解：∵直線l與線段AB有公共點(diǎn)，
∴直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，k≥kPB；
當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，k≤kPA．
∵，
∴直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
故答案為：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
38．
解析：由題意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案為：．
39．
【詳解】
實(shí)數(shù)，滿足方程，當(dāng)時(shí)，
表示直線上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
設(shè)、為直線上的兩個(gè)點(diǎn)，且，
的斜率為，的斜率為 ，
故的范圍為，
故答案為：．
40．
解：做出圖形，如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，
所以直線的斜率滿足
由于，
所以
故答案為：
41．
【詳解】
依題意可得，直線的斜率為，
又直線過兩點(diǎn)，，
所以，
整理可得：，
所以，解得：，
所以的值為.
42．（1）；（2）.
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以?br/>（2）因?yàn)閮A斜角為，所以直線的斜率為，
所以，所以.
43．k≤－1或k≥1
【詳解】
如圖所示
∵A(－3，4)，B(3，2)， P(1，0)，
∴kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，
則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1．
44．（1），；（2）.
（1）由斜率公式可得直線的斜率，直線的斜率.
（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的斜率由增大到，所以直線的斜率的變化范圍是.
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