資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
10.1　兩角和與差的三角函數
【考點梳理】
考點一　兩角和與差的余弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
兩角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
考點二　兩角和與差的正弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
兩角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
考點三：　兩角和與差的正切公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
兩角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
【題型歸納】
題型一：兩角和與差的余弦公式
一：已知兩角的正、余弦求和差角的余弦
1．（2022·山西省長治市第二中學校高一期末）已知則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·虞城縣高級中學高一期末）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一六二中學校高一期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
二：用和差余弦公式進行化簡求值
4．（2022·安徽·六安一中高一期末）已知為銳角，為鈍角，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川樂山·高一期末）（ ）．
A． B． C． D．1
6．（2022·全國·高一）已知，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
三：逆用和差余弦公式進行化簡求值
7．（2023·貴州·興仁市鳳凰中學高一期末）（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南·鄭州四中高一階段練習）已知，，，則、、的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·西藏·拉薩中學高一期末）已知，，則值等于（ ）
A． B． C． D．
題型二：兩角和與差的正弦公式
一：已知兩角的正、余弦求和差角的正弦
10．（2022·山東菏澤·高一期末）已知，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全國·高一期末）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全國·高一期末）已知，函數在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二：用和差正弦公式進行化簡求值
13．（2022·河南洛陽·高一期末）已知，為銳角，，，則的值為( )
A． B． C． D．
14．（2022·河南·林州一中高一開學考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·北京·中國農業大學附屬中學高一期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
三：逆用和差正弦公式進行化簡求值
16．（2022·福建漳州·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全國·高一課時練習）化簡，得（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江蘇·南京二十七中高一期中）（ ）
A． B． C． D．
題型三：兩角和與差的正切公式
一：已知兩角的正、余弦求和差角的正切
19．（2023·浙江·樂清市知臨中學高一期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·浙江·高一單元測試）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·四川·石室中學高一階段練習）已知銳角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
二：用和差正切公式進行化簡求值
22．（2022·福建省福州第一中學高一期末）已知，則（ ）
A． B． C．2 D．
23．（2022·河南·商丘市第一高級中學高一期末）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．2
24．（2022·廣東實驗中學高一期末）若，則值為（ ）
A． B． C． D．7
三：逆用和差正切公式進行化簡求值
25．（2023·江蘇·金陵中學高一階段練習）的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
26．（2023·陜西閻良·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·全國·高一專題練習）（ ）
A． B． C． D．
題型四：兩角和與差的三角函數綜合應用
28．（2022·云南麗江·高一期末）已知，.
(1)求的值；(2)求的值．
29．（2022·山西·榆次一中高一開學考試）已知角在第二象限，且．
(1)求的值；
(2)若，且為第一象限角，求的值．
30．（2022·全國·高一）求下列各式的值．
(1); (2);
(3); (4).
【雙基達標】
一、單選題
31．（2022·黑龍江·佳木斯一中高一期末）若，均為銳角，，，則（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·云南·高一期末）已知角的終邊經過點，則( )
A． B．
C． D．
33．（2022·江蘇·無錫市教育科學研究院高一期末）（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·廣東實驗中學高一期末）設，且，則（ ）
A． B． C． D．
35．（2022·山西太原·高一期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：單選題
36．（2022·四川雅安·高一期末）（ ）
A．1 B． C． D．
37．（2023·全國·高一專題練習）已知都是銳角，，，則（ ）
A．1 B． C． D．
38．（2023·全國·高一單元測試）已知、均為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
39．（2023·廣東·高一期末）已知，，，則＝（　　）
A． B． C． D．
二、多選題
40．（2022·安徽宣城·高一期末）下列化簡結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2022·全國·高一單元測試）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2023·江蘇·吳江汾湖高級中學高一階段練習）下列式子結果為的是（ ）
①；②；
③； ④．
A．① B．② C．③ D．④
43．（2023·全國·高一專題練習）下列四個三角關系式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
44．（2022·河南信陽·高一期末）___________.
45．（2022·河南新鄉·高一期末）已知，，則__________．
46．（2022·重慶八中高一期末）已知，，，則___________.
47．（2022·河南·林州一中高一開學考試）若是方程的兩根，，則___________.
四、解答題
48．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一六二中學校高一期末）（1）已知角的終邊經過點，求的值；
（2）已知，且，求cos()的值.
49．（2022·貴州貴陽·高一期末）在平面直角坐標系中，已知角的頂點都與坐標原點重合，始邊都與x軸的非負半軸重合，角的終邊與單位圓交于點，角的終邊在第二象限，與單位圓交于點Q，扇形的面積為.
(1)求的值； (2)求的值.
50．（2022·湖南·高一）求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
/
【答案詳解】
1．D
【解析】
【分析】
先利用同角三角函數基本關系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開代入即可求出cos（α+β）．
【詳解】
∵
∴
∴，
∴，
∴
．
故選：D
2．B
【解析】
【分析】
由題干中的條件可得，，再由化簡求值即可.
【詳解】
，，，
，，
，，
.
故選：B.
3．A
【解析】
【分析】
先根據的范圍，求出，進而根據計算即可.
【詳解】
故選：A
4．C
【解析】
【分析】
利用平方關系和兩角和的余弦展開式計算可得答案.
【詳解】
因為為銳角，為鈍角，，
所以，
，
則
.
故選：C.
5．B
【解析】
【分析】
先利用誘導公式把化成，就把原式化成了兩角和的余弦公式，解之即可.
【詳解】
由可知
，
故選：B
6．C
【解析】
【分析】
由角的范圍結合同角三角函數的平方關系求得、，再有，應用差角余弦公式求出，即可確定大小.
【詳解】
由題意得：，又，則，
∴，
銳角，
故選：C．
7．A
【解析】
【分析】
轉化，再利用兩角和的余弦公式即得解
【詳解】
由題意，
故選：A
【點睛】
本題考查了三角函數的誘導公式和兩角和的余弦公式綜合，考查了學生綜合分析，數學運算能力，屬于基礎題
8．C
【解析】
【分析】
本題首先可通過誘導公式以及兩角和的余弦公式得出、，然后通過函數在區間上是減函數即可得出結果.
【詳解】
，
，
因為函數在區間上是減函數，，
所以，即，
故選：C.
9．C
【解析】
【分析】
運用同角的三角函數關系式，根據兩角差的余弦公式進行求解即可.
【詳解】
，
，
得，，
故選：C
10．B
【解析】
【分析】
根據題意可知，，，再結合題意可得，，又，利用兩角差的正弦公式，即可求出結果.
【詳解】
因為，所以，
又，所以；
因為，所以，
又，所以，
所以，
又
所以
.
故選：B.
11．C
【解析】
【分析】
根據角的范圍算出，，再根據展開計算即可．
【詳解】
∵，，∴，
又，，
∴，，
則．
故選：C.
12．C
【解析】
【分析】
把函數化為一個角的一個三角函數形式，結合正弦函數的增區間得出的不等關系，可求得其范圍．
【詳解】
由已知，
又在上單調遞增，
所以，，解得，
由得，又，因此，
所以．
故選：C．
13．A
【解析】
【分析】
，根據正弦的差角公式展開計算即可.
【詳解】
∵，，∴，
又∵，∴，
又，∴，
∴，
，
∴
故選：A.
14．C
【解析】
【分析】
根據題意和兩角和正弦公式化簡得到，結合，即可求解.
【詳解】
因為，所以，
所以，則．
故選：C.
15．D
【解析】
【分析】
利用兩角差的正弦公式，即得解
【詳解】
由題意，
故選：D
16．A
【解析】
【分析】
由兩角和的正弦公式，即可求出結果.
【詳解】
由兩角和的正弦公式，可知
.
故選：A.
17．A
【解析】
【分析】
應用誘導公式及逆用差角正弦公式化簡求值即可.
【詳解】
由，，
∴.
故選：A
18．D
【解析】
【分析】
結合誘導公式與兩角和的正弦公式即可求出結果.
【詳解】
，
故選：D.
19．D
【解析】
【分析】
根據題意得，故，進而根據正切的和角公式計算即可得答案.
【詳解】
解：因為，
所以，
所以，
所以，
所以
故選：D
20．B
【解析】
【分析】
先確定的范圍，進而求得，再由求解.
【詳解】
因為，
所以，
又因為，
所以，
則，
所以，
，
，
故選：B
21．C
【解析】
【分析】
求出，由兩角和的正切公式展開，結合已知求得和，然后求得，再由兩角差的正弦公式計算．
【詳解】
由得，所以，
又，所以，
由，解得，或（舍去，此時不是銳角），
，是銳角，，
，則，
所以．
故選：C．
【點睛】
思路點睛：本題考查兩角和正切公式，萬能公式，同角間的三角函數關系，兩角差的正弦公式．解題關鍵是確定選用公式的順序，解題時由函數名及角的關系確定選用的公式及順序．．
22．B
【解析】
【分析】
先求出，再求出，最后可求.
【詳解】
因為，故，
因為，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故選：B
23．D
【解析】
【分析】
利用同角三角函數關系式可求，再應用和角正切公式即求.
【詳解】
∵，，
∴，，
∴.
故選：D.
24．B
【解析】
【分析】
根據兩角和的正切公式，結合同角的三角函數關系式中商關系進行求解即可.
【詳解】
由，
所以，
故選：B
25．D
【解析】
【分析】
將 代入所求的式子，即可求解.
【詳解】
.
故選：D
26．B
【解析】
【分析】
由兩角和的正切公式計算．
【詳解】
故選：B
27．A
【解析】
【分析】
利用兩角和的正切公式計算可得；
【詳解】
解：，所以
故選：A
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用誘導公式求出的值，然后利用誘導公式結合弦化切可求得的值；
（2）利用兩角差的正切公式可求得的值.
(1)
解：，所以，.
所以，.
(2)
解：.
29．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函數關系可求解得，利用誘導公式化簡原式可得原式，代入即得解；
（2）利用同角三角函數關系可得，又，利用兩角差的正弦公式，即得解
(1)
因為，且在第二象限，
故，所以，
原式

(2)
由題意有
故，
．
30．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】
【分析】
（1）逆用正切的和角公式，結合特殊角的正切值即可求得結果；
（2）逆用正切的差角公式，結合特殊角的正切值即可求得結果；
（3）逆用正弦的和角公式，結合特殊角的正弦值即可求得結果；
（4）逆用余弦的差角公式，結合特殊角的余弦值即可求得結果.
(1)
因為；
即.
(2)
因為；
即.
(3)
.
即.
(4)
.
即.
31．B
【解析】
【分析】
由結合平方關系可解.
【詳解】
因為為銳角，，所以，
又，均為銳角，所以，所以，
所以
.
故選：B
32．D
【解析】
【分析】
根據三角函數的定義求出sinθ和cosθ，用余弦和角公式展開即可計算.
【詳解】
∵角的終邊經過點，則P到原點距離為，∴，，
∴.
故選：D.
33．A
【解析】
【分析】
利用誘導公式將角統一，再用兩角差的正弦公式計算即可.
【詳解】
=,
故選：A.
34．D
【解析】
【分析】
根據同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式，即可得到答案；
【詳解】
，
，，
，
故選：D
35．A
【解析】
【分析】
利用同角關系得到，進而利用配角法與兩角差余弦公式可得結果.
【詳解】
∵，∴，
又，∴，
∴
.
故選：A
36．A
【解析】
【分析】
直接利用誘導公式和兩角和的正弦公式求出結果．
【詳解】
，
故選：．
37．D
【解析】
【分析】
由，結合同角三角函數的基本關系式、兩角差的正弦公式求得正確結論.
【詳解】
由于，所以，
所以，
所以
.
故選：D
38．C
【解析】
【分析】
利用同角三角函數基本關系化弦為切，逆用兩角差的正切公式可得，結合、均為銳角可得，進而可得即可求解.
【詳解】
因為，
又、均為銳角，所以，，可得，
即，所以，
故選：C.
39．C
【解析】
【分析】
由已知，結合同角平方關系可求cos()、sin()，然后根據，由兩角差的余弦展開可求值．
【詳解】
∵，
∴，．
∵，
∴，則cos()＝，
∵，
∴sin()＝．
＝cos()cos()+sin()sin()
＝．
故選：C．
40．ACD
【解析】
【分析】
由正弦、余弦、正切函數的和差角公式逐一判斷可得選項.
【詳解】
解：對于A，，故A正確；
對于B，，故B不正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確，
故選：ACD.
41．AC
【解析】
【分析】
利用同角三角函數的基本關系可得，再由兩角差的余弦公式以及積化和差公式逐一判斷即可.
【詳解】
解：因為，，其中，為銳角，
所以：，故A正確；
因為，
所以
，故B錯誤；
可得，故C正確；
可得，所以，故D錯誤．
故選：AC．
42．ABC
【解析】
【分析】
利用即可得①正確；，進而利用正弦和角公式即可得②正確；由與正切的和差角公式即可得③正確④錯誤.
【詳解】
對于①，由于，
所以
；
對于②，由于，
所以；
對于③，因為， ；
對于④，因為， ；
故選：ABC
43．BD
【解析】
【分析】
由誘導公式以及兩角和的正切以及兩角和的余弦公式逐一判斷選項即可.
【詳解】
解：由誘導公式可知：
A：，故A錯；
B：，故B正確；
C：，故C錯；
D：，故D正確.
故選：BD.
44．1
【解析】
【分析】
由直接計算即可.
【詳解】
.
故答案為：1.
45．
【解析】
【分析】
通過已知角和所求角之間的關系，將所求角的三角函數值轉化為已知角的三角函數值可解.
【詳解】
故答案為：
46．##
【解析】
【分析】
利用同角的三角函數的基本關系式和兩角差的正弦可求的值.
【詳解】
因為，，故，
而，故，而，
故，
所以
.
故答案為：
47．
【解析】
【分析】
由韋達理及正切兩角和得到，再根據誘導公式化簡即可求解.
【詳解】
由題知，，
而，
所以，
所以.
故答案為：
48．（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)根據三角函數的定義可得，代入直接計算即可；
(2)根據同角三角函數的基本關系求出，利用兩角和的余弦公式計算即可.
【詳解】
(1)因為角的終邊經過點，，
所以，，
所以；
（2）因，且，
則，
.
49．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用任意角的三角函數定義進行求解；
（2）先利用扇形的面積公式求出其圓心角，進而得到，再利用兩角和的余弦公式進行求解.
(1)
解：由任意角的三角函數定義，得
，，；
(2)
設，因為扇形的半徑為1，面積為，
所以，即，
又因為角的終邊在第二象限，所以不妨設，
則
.
50．(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)
(2)
(3)
將來的有一天，你會感謝現在努力的你！

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