資源簡介

專題49兩直線的位置關(guān)系
知識梳理 考綱要求
考點預(yù)測
常用結(jié)論
方法技巧
題型歸類 題型一：兩直線的平行與垂直
題型二：兩直線的交點與距離問題
題型三：對稱問題
培優(yōu)訓(xùn)練 訓(xùn)練一：
訓(xùn)練二：
訓(xùn)練三：
訓(xùn)練四：
訓(xùn)練五：
訓(xùn)練六：
強(qiáng)化測試 單選題：共8題
多選題：共4題
填空題：共4題
解答題：共6題
一、【知識梳理】
【考綱要求】
1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.
2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo).
3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
【考點預(yù)測】
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2 k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2 k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.
2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系
(1)兩直線的交點
點P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標(biāo)是方程組的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標(biāo).
(2)兩直線的位置關(guān)系
方程組的解 一組 無數(shù)組 無解
直線l1與l2的公共點的個數(shù) 一個 無數(shù)個 零個
直線l1與l2的位置關(guān)系 相交 重合 平行
3.距離公式
(1)兩點間的距離公式
平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝.
特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離公式
平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
4.對稱問題
(1)點P(x0，y0)關(guān)于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0).
(2)設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′.
【常用結(jié)論】
五種常用對稱關(guān)系
(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y)．
(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y)．
【方法技巧】
1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．
2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
3.求過兩直線交點的直線方程的方法
先求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．
3.利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．
4.解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．
5.幾個常用結(jié)論
①點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
②點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
③點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
6.幾種常見的直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、【題型歸類】
【題型一】兩直線的平行與垂直
【典例1】已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【典例2】已知直線l經(jīng)過點(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
【典例3】已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為(　　)
A. B.
C. D.
【題型二】兩直線的交點與距離問題
【典例1】已知直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點在第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．－－1
C．k>－1 D．－【典例2】已知直線l1：mx＋y－3＝0與直線l2：x－y－m＝0平行，則它們之間的距離是(　　)
A．2 B．4 C. D．2
【典例3】直線l過點P(－1，2)且到點A(2，3)和點B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為________．
【題型三】對稱問題
【典例1】過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________________．
【典例2】已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為______________．
【典例3】已知直線l：y＝3x＋3，則點P(4,5)關(guān)于l的對稱點的坐標(biāo)為________．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【訓(xùn)練二】（2023秋·高二單元測試）已知，點P為直線上的一點，點Q為圓上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練三】（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練四】（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點，過點作圓的切線，，切點分別為A，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長的最大值為 .
【訓(xùn)練五】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：，點，點.點P為圓C上一點，作線段AP的垂直平分線l.則點B到直線l距離最小值為 .
【訓(xùn)練六】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知 分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
四、【強(qiáng)化測試】
一、單選題
1．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，，，，若動點P滿足，則的最大值為（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．（2023·吉林白山·統(tǒng)考一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點且直線PQ與圓C恰有1個公共點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為F，過點F作一條漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€位置，它到拋物線焦點的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為（ ）
A．6 B． C． D．
5．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測）已知圓：，直線：被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與之間的距離為，則a的值為（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
7．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若兩條直線，與圓的四個交點能構(gòu)成正方形，則（ ）
A． B． C． D．4
8．（2023秋·高二單元測試）直線與曲線恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
二、多選題
9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知直線l過點，點，到l的距離相等，則l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)單位圓O與x軸的左、右交點分別為A、B，直線l：（其中）分別與直線、交于C、D兩點，則（ ）
A．時，l的傾斜角為
B．，點A、B到l的距離之和為定值
C．，使l與圓O無公共點
D．，恒有
11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，圓，M是l上一點，MA，MB分別是圓O的切線，則（ ）
A．直線l與圓O相切 B．圓O上的點到直線l的距離的最小值為
C．存在點M，使 D．存在點M，使為等邊三角形
12．（2023春·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）已知為圓上的兩點，為直線上一動點，則（ ）
A．直線與圓相離
B．當(dāng)為兩定點時，滿足的點有2個
C．當(dāng)時，的最大值是
D．當(dāng)為圓的兩條切線時，直線過定點
三、填空題
13．（2023春·安徽安慶·高二安慶一中校考階段練習(xí)）若兩條直線與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則 .
14．（2022·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線和點，動點P滿足，且動點P的軌跡上至少存在兩點到直線l的距離等于，則實數(shù)的取值范圍是 .
15．（2023·天津·大港一中校聯(lián)考一模）若直線：被圓：截得線段的長為6，則實數(shù)的值為 .
16．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知動點到點的距離是到點的距離的2倍，記點的軌跡為，直線交于，兩點，，若的面積為2，則實數(shù)的值為 .
四、解答題
17．（2023秋·山東臨沂·高二山東省臨沂第一中學(xué)校考期末）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直．
(1)求直線的一般式方程；
(2)若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
18．（2022秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三角形ABC的頂點坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點.
(1)求AB邊所在的直線方程；
(2)求中線AM的長
(3)求AB邊的高所在直線方程.
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線的焦點作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點，，相交于點，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．
(1)若，求；
(2)若，求點到直線的距離的最小值．
20．（2020·江西上饒·上饒市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）
（1）為何值時，點Q(3，4)到直線距離最大，最大值為多少；
（2）若直線分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于AB兩點，求三角形AOB面積的最小值及此時直線的方程.
21．（2005·北京·高考真題）如圖，直線與直線之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為，其左半部分記為，右半部分記為．
(1)分別用不等式組表示和；
(2)若區(qū)域中的動點到的距離之積等于，求點的軌跡的方程；
(3)設(shè)不過原點的直線與（2）中的曲線相交于兩點，且與分別交于兩點．求證的重心與的重心重合．
22．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，下頂點為是橢圓上任意一點，過點作軸的平行線與直線交于點，若點關(guān)于點的對稱點為，直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓上點到直線的距離的最大值；
(2)已知．過點作垂直直線，垂足為，是否存在定點，使得為定值，若存在求出定點坐標(biāo)和，若不存在，請說明理由.專題49兩直線的位置關(guān)系
知識梳理 考綱要求
考點預(yù)測
常用結(jié)論
方法技巧
題型歸類 題型一：兩直線的平行與垂直
題型二：兩直線的交點與距離問題
題型三：對稱問題
培優(yōu)訓(xùn)練 訓(xùn)練一：
訓(xùn)練二：
訓(xùn)練三：
訓(xùn)練四：
訓(xùn)練五：
訓(xùn)練六：
強(qiáng)化測試 單選題：共8題
多選題：共4題
填空題：共4題
解答題：共6題
一、【知識梳理】
【考綱要求】
1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.
2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo).
3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
【考點預(yù)測】
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2 k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2 k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.
2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系
(1)兩直線的交點
點P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標(biāo)是方程組的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標(biāo).
(2)兩直線的位置關(guān)系
方程組的解 一組 無數(shù)組 無解
直線l1與l2的公共點的個數(shù) 一個 無數(shù)個 零個
直線l1與l2的位置關(guān)系 相交 重合 平行
3.距離公式
(1)兩點間的距離公式
平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝.
特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離公式
平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
4.對稱問題
(1)點P(x0，y0)關(guān)于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0).
(2)設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′.
【常用結(jié)論】
五種常用對稱關(guān)系
(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y)．
(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y)．
【方法技巧】
1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．
2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
3.求過兩直線交點的直線方程的方法
先求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．
3.利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．
4.解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．
5.幾個常用結(jié)論
①點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
②點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
③點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
6.幾種常見的直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、【題型歸類】
【題型一】兩直線的平行與垂直
【典例1】已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】當(dāng)l1∥l2時，
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝，解得a＝－1，
所以“ea＝”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．
故選A.
【典例2】已知直線l經(jīng)過點(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
【解析】∵直線l與直線2x－y－5＝0垂直，
∴設(shè)直線l的方程為x＋2y＋c＝0，
∵直線l經(jīng)過點(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直線l的方程為x＋2y＋1＝0.
故選C.
【典例3】已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點．當(dāng)直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行時，m＝或m＝－；當(dāng)直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點時，m＝－.所以實數(shù)m的取值集合為.
故選D.
【題型二】兩直線的交點與距離問題
【典例1】已知直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點在第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．－－1
C．k>－1 D．－【解析】聯(lián)立直線方程得解得x＝，y＝(k≠－2)．因為直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點在第一象限，所以>0，>0，解得－故選D.
【典例2】已知直線l1：mx＋y－3＝0與直線l2：x－y－m＝0平行，則它們之間的距離是(　　)
A．2 B．4 C. D．2
【解析】因為直線l1：mx＋y－3＝0與直線l2：x－y－m＝0平行，所以＝≠，解得m＝－1.所以直線l1的方程為x－y＋3＝0，直線l2的方程為x－y＋1＝0.由平行直線間的距離公式，得d＝＝＝.故選C.
【典例3】直線l過點P(－1，2)且到點A(2，3)和點B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為________．
【解析】方法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－，所以直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二：當(dāng)AB∥l時，有k＝kAB＝－，直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當(dāng)l過AB的中點時，AB的中點為(－1，4)，所以直線l的方程為x＝－1，故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
【題型三】對稱問題
【典例1】過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________________．
【解析】設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
【典例2】已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為______________．
【解析】設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，
所以
解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，
所以所求直線的方程為＝，即6x－y－6＝0.
【典例3】已知直線l：y＝3x＋3，則點P(4,5)關(guān)于l的對稱點的坐標(biāo)為________．
【解析】設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P′(x′，y′)，
則線段PP′的中點M在直線l上，
且直線PP′垂直于直線l，
即解得
∴點P′的坐標(biāo)為(－2,7)．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】A
【分析】將已知表示成一個以為圓心，1為半徑的圓，將問題轉(zhuǎn)化為圓上一點到直線距離最小值問題，從而找到解題關(guān)鍵.
【詳解】
依題意可知曲線表示一個以為圓心，1為半徑的圓，
求的最小值相當(dāng)于先求的最小值，
即求圓上一點到直線的距離d的最小值，
所以，
即的最小值為1．
故選：A．
【訓(xùn)練二】（2023秋·高二單元測試）已知，點P為直線上的一點，點Q為圓上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，可得M點的坐標(biāo)為，則，即可得答案.
【詳解】設(shè)，令，
則
，則M.
如圖，當(dāng)三點共線時，且垂直于直線時，有最小值，為，即直線到點M距離，為.
故選：D
【訓(xùn)練三】（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的對稱性，把所求的點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離，構(gòu)造函數(shù)求最小值即可.
【詳解】令，則，這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.
所以與的圖象可以看成是由，這兩個函數(shù)圖象向右平移一個單位得到的.
所以的最小值即為曲線與上兩點的最小值.
曲線上的點到直線的距離為
設(shè)，則.
由可得，由可得
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時，函數(shù)，所以
由圖象關(guān)于對稱得：的最小值為.
故選：B
【訓(xùn)練四】（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點，過點作圓的切線，，切點分別為A，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意可推得的范圍，以及與圓的位置關(guān)系.根據(jù)等邊三角形以及圓的對稱性可得出，然后推得，求解結(jié)合的范圍可得出.然后表示出圓心到直線的距離，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】
由已知可得，圓的圓心，半徑，且有.
則圓心到直線：的距離.
又直線方程可化為，可知，，
所以直線過一、二、三象限，不過第四象限，直線與圓相離.
由題意易知，則，，
所以有，即，所以.
又，，所以，，所以.
所以圓心到直線的距離，
所以，直線與圓總相交，
又，所以被圓截得的弦長為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)已知得出的范圍，然后根據(jù)直線的斜截式方程得出與圓的位置關(guān)系.
【訓(xùn)練五】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：，點，點.點P為圓C上一點，作線段AP的垂直平分線l.則點B到直線l距離最小值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)題意假設(shè)的中點，先利用代入法求得的取值范圍，再利用點斜式求得直線的方程，從而利用點線距離公式求得，進(jìn)而利用換元法與基本不等式求得點B到直線l距離的最小值.
【詳解】依題意，設(shè)的中點，則，，
所以，，則，
因為，所以，故，
所以線段AP的垂直平分線l為，即，則，
所以點到直線的距離為，
令，則，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以，即點B到直線l距離最小值為.
故答案為：
.
【訓(xùn)練六】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知 分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】利用線段的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到最小值即為所求.
【詳解】由直線與間的距離為得，過作直線垂直于，如圖，

則直線的方程為：，將沿著直線往上平移個單位到點，有，
連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，
則，即有，顯然是直線上的點與點距離和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
所以的最小值為=
故答案為：
【點睛】思路點睛：（1）合理的利用假設(shè)可以探究取值的范圍，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S是驗證的必要過程.
（2）轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決距離最值問題中一種有效的途徑.
（3）數(shù)形結(jié)合使得問題更加具體和形象，從而使得方法清晰與明朗.
四、【強(qiáng)化測試】
一、單選題
1．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，，，，若動點P滿足，則的最大值為（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【分析】建系，用坐標(biāo)表示出向量的數(shù)量積，將其理解為點P到定點(0,1)的距離，再根據(jù)P點軌跡是以A為圓心的圓，由幾何關(guān)系確定該距離的最大值即可.
【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點，，的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，．
設(shè)，則．
因為，所以P是圓A：上的點．
又點P與點距離的最大值為，即，
所以．
故的最大值為17．
故選：B.

2．（2023·吉林白山·統(tǒng)考一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點且直線PQ與圓C恰有1個公共點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】，的最小值為圓心到直線的距離，可求的最小值.
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓C的圓心為，半徑，則，
直線PQ與圓C相切，有，
因為點Q在直線l上，所以，則．
即的最小值是.
故選：A
3．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為F，過點F作一條漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)點到直線距離公式求邊長，再求面積即可.
【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，，所以根據(jù)點到直線的距離公式可得，．
又，則，所以的面積為．
故選：B.
4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€位置，它到拋物線焦點的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)鴿子到拋物線焦點的距離為10米，利用拋物線的定義求解其位置，再利用兩點間的距離求解.
【詳解】解：如圖所示：

設(shè)鴿子所在位置為點，
因為它到拋物線焦點的距離為10米，
所以，解得，
則，
所以鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為，
故選：B
5．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測）已知圓：，直線：被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用弦，弦心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】圓：的圓心為，半徑，
所以圓心到直線的距離為，
所以直線：被圓截得的弦長為，
故選：C.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與之間的距離為，則a的值為（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
【分析】將直線化為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即可.
【詳解】將直線化為，
則直線與直線之間的距離，
根據(jù)題意可得：，即，解得或，
所以a的值為或.
故選：C
7．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若兩條直線，與圓的四個交點能構(gòu)成正方形，則（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由直線方程知，由題意正方形的邊長等于直線、的距離，又，結(jié)合兩線距離公式即可求的值.
【詳解】由題設(shè)知：，要使，，，四點且構(gòu)成正方形，
∴正方形的邊長等于直線、的距離，則，
若圓的半徑為r，，即，則，
由正方形的性質(zhì)知：，
∴，即有.
故選：B.
8．（2023秋·高二單元測試）直線與曲線恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】是斜率為的直線，曲線是以原點為圓心為半徑的圓的右半圓，利用點到直線距離公式，結(jié)合圖形可得答案.
【詳解】是斜率為的直線，
曲線是以原點為圓心為半徑的圓的右半圓，
畫出它們的圖象如圖，
當(dāng)直線與圓相切時，（舍去），
當(dāng)直線過時，,
由圖可以看出：
當(dāng)時，直線與半圓有兩個公共點，
故選：

二、多選題
9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知直線l過點，點，到l的距離相等，則l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時，設(shè)其方程為，根據(jù)點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．
【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線l的方程為，此時點到直線的距離為5，點到直線的距離為1，此時不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
∵點到直線的距離相等，
，解得，或，
當(dāng)時，直線的方程為，整理得，
當(dāng)時，直線的方程為，整理得
綜上，直線的方程可能為或
故選：BC．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)單位圓O與x軸的左、右交點分別為A、B，直線l：（其中）分別與直線、交于C、D兩點，則（ ）
A．時，l的傾斜角為
B．，點A、B到l的距離之和為定值
C．，使l與圓O無公共點
D．，恒有
【答案】BD
【分析】對于A：首先得到直線的斜率，即可求出直線的傾斜角，從而判斷A，對于B，分別求出點、到直線的距離，再求和即可，求出坐標(biāo)原點到直線的距離，即可判斷C，求出，點坐標(biāo)，再求出，即可判斷D.
【詳解】解：依題意，，
對于A：當(dāng)時直線，即，
所以直線的斜率，所以直線的傾斜角為，故A錯誤；
對于B：點到直線的距離，
點到直線的距離，
所以點、到直線的距離之和為，
因為，所以，所以，
即對，點、到直線的距離之和為定值，故B正確；
對于C：坐標(biāo)原點到直線的距離，
所以直線與單位圓相切，即直線與單位圓必有一個交點，故C錯誤；
對于D：對于直線，令，解得，
令，解得，
即，，
所以，，
所以，所以，
即，恒有，故D正確；
故選：BD
11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，圓，M是l上一點，MA，MB分別是圓O的切線，則（ ）
A．直線l與圓O相切 B．圓O上的點到直線l的距離的最小值為
C．存在點M，使 D．存在點M，使為等邊三角形
【答案】BD
【分析】對于A選項，分析圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系，若，則直線l與圓O相切，若，則直線l與圓O不相切；對于B選項，圓O上的點到直線l的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑長；對于C選項，當(dāng)MO最短時，有最大的張角；對于D選項，考慮能否等于60°.
【詳解】對于A選項，圓心到直線的距離，所以直線和圓相離，故A錯誤；
對于B選項，圓O上的點到直線l的距離的最小值為，故B正確；
對于C選項，當(dāng)OM⊥l時，有最大值60°，故C錯誤；
對于D選項，當(dāng)OM⊥l時，為等邊三角形，故D正確.
故選：BD.
12．（2023春·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）已知為圓上的兩點，為直線上一動點，則（ ）
A．直線與圓相離
B．當(dāng)為兩定點時，滿足的點有2個
C．當(dāng)時，的最大值是
D．當(dāng)為圓的兩條切線時，直線過定點
【答案】AD
【分析】利用點到直線的距離判斷A；確定最大時的情況判斷B；取AB中點D，由線段PD長判斷C；求出直線AB的方程判斷D作答.
【詳解】對于A，因為到直線的距離，即直線與圓相離，A正確；
對于B，當(dāng)A，B為過點P的圓O的切線的切點時，最大，而，
顯然是銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
因此最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，當(dāng)且僅當(dāng)最小，則有，此時，
所以當(dāng)為兩定點時，滿足的點只有1個，B錯誤；
對于C，令A(yù)B的中點為D，則，，點D在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上，
，顯然當(dāng)在上運動時，無最大值，C不正確；
對于D，設(shè)，當(dāng)為切線時，，點在以為直徑的圓上，
此圓的方程為，于是直線為，即，
所以直線過定點，D正確.
故選：AD
三、填空題
13．（2023春·安徽安慶·高二安慶一中校考階段練習(xí)）若兩條直線與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則 .
【答案】8
【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個交點構(gòu)成矩形，
則可知圓心到兩直線的距離相等，
由圓的圓心為：，
圓心到的距離為：
，
圓心到的距離為：
，
所以，
由題意，
所以，
故答案為：8.
14．（2022·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線和點，動點P滿足，且動點P的軌跡上至少存在兩點到直線l的距離等于，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設(shè)點，根據(jù)列式求解得動點P的軌跡，再代入點到直線的距離公式列不等式即可求解.
【詳解】設(shè)點，則，
即，所以動點P的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
要在圓上至少存在兩點到直線的距離等于，
則需圓心到直線的距離，
解得.
故答案為：
15．（2023·天津·大港一中校聯(lián)考一模）若直線：被圓：截得線段的長為6，則實數(shù)的值為 .
【答案】24
【分析】把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點到直線的距離公式以及勾股定理進(jìn)行求解.
【詳解】把圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程有：，
所以圓心，半徑，又直線：，
所以圓心到直線的距離為，
因為直線：被圓：截得線段的長為6，
根據(jù)勾股定理有：，解得，
所以，解得.
故答案為：24.
16．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知動點到點的距離是到點的距離的2倍，記點的軌跡為，直線交于，兩點，，若的面積為2，則實數(shù)的值為 .
【答案】或1/1或
【分析】先求得點的軌跡的方程，再利用的面積為2列出關(guān)于實數(shù)的方程，進(jìn)而求得實數(shù)的值
【詳解】設(shè)，則有
整理得，即點的軌跡為以為圓心以2為半徑的圓
點到直線的距離
直線交于，兩點，則
則的面積
解之得或
故答案為：或1
四、解答題
17．（2023秋·山東臨沂·高二山東省臨沂第一中學(xué)校考期末）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直．
(1)求直線的一般式方程；
(2)若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意求出兩直線的交點，再求出所求直線的斜率，用點斜式寫出直線的方程；
（2）根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】（1）解：由題意知，解得，
直線和的交點為；
設(shè)直線的斜率為，與直線垂直，；
直線的方程為，化為一般形式為；
（2）解：設(shè)圓的半徑為，則圓心為到直線的距離為
，由垂徑定理得，
解得，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
18．（2022秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三角形ABC的頂點坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點.
(1)求AB邊所在的直線方程；
(2)求中線AM的長
(3)求AB邊的高所在直線方程.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由兩點式寫出直線方程，整理為一般式即可，也可求出斜率，再由點斜式得直線方程；
（2）由中點坐標(biāo)公式求得中點坐標(biāo)，再由兩點間距離公式計算可得；
（3）先求直線AB的斜率，由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率，可得高線的點斜式方程，化為一般式即可.
【詳解】（1）法一：由兩點式寫方程得，即；
法二：直線的斜率為，
直線的方程為，即；
（2）設(shè)的坐標(biāo)為，則由中點坐標(biāo)公式可得，故，
所以；
（3）直線AB的斜率為，
所以由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率為，
故AB邊的高所在直線方程為,化為一般式可得：.
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線的焦點作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點，，相交于點，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．
(1)若，求；
(2)若，求點到直線的距離的最小值．
【答案】(1)24
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程可得關(guān)于的一元二次方程，從而可得，，進(jìn)而可得點的坐標(biāo)，即可得到的坐標(biāo)表示，同理可得，求解即可；
（2）結(jié)合（1），根據(jù)拋物線的定義得，，進(jìn)而可得，即可得到圓的半徑，從而可得到圓的方程，同理也可得到圓的方程，兩圓方程相減即可得到直線的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求解．
【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點為，且其在拋物線內(nèi)部，設(shè)直線的方程為，
由，得，
設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個實數(shù)根，
所以
所以點的坐標(biāo)為，，
同理可得的坐標(biāo)為，，
于是，
又，所以．
（2）結(jié)合（1），
由拋物線的定義得，，
所以，
所以圓的半徑，
所以圓的方程為
化簡得，
同理可得圓的方程為，
于是圓與圓的公共弦所在直線的方程為，
又，則直線的方程為，
所以點到直線的距離，
故當(dāng)時，取最小值．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答小問（2）的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義求得，，進(jìn)而可得，從而得到圓的半徑，可得到圓的方程，同理可得到圓的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求解．
20．（2020·江西上饒·上饒市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）
（1）為何值時，點Q(3，4)到直線距離最大，最大值為多少；
（2）若直線分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于AB兩點，求三角形AOB面積的最小值及此時直線的方程.
【答案】（1），；（2）4；．
【解析】（1）點到直線的距離最大，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，求出距離就是最大值．
（2）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于．兩點，設(shè)出直線的方程，求出，，然后求出面積，利用基本不等式求出的最小值及此時直線的方程．
【詳解】（1）解：點到直線的距離最大，
可知點與定點的連線的距離就是所求最大值，
即為最大值．
，
的斜率為：，
可得，解得．
（2）解：若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于．兩點，直線方程為，，則，，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，面積的最小值為4．
此時直線的方程為．
【點睛】本題考查直線系過定點，零點的距離公式，基本不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．
21．（2005·北京·高考真題）如圖，直線與直線之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為，其左半部分記為，右半部分記為．
(1)分別用不等式組表示和；
(2)若區(qū)域中的動點到的距離之積等于，求點的軌跡的方程；
(3)設(shè)不過原點的直線與（2）中的曲線相交于兩點，且與分別交于兩點．求證的重心與的重心重合．
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）直接寫出答案即可.
（2）根據(jù)題意得到，判斷，代入化簡得到答案.
（3）考慮直線與軸垂直和不垂直兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算得到，，根據(jù)重心坐標(biāo)公式得到證明.
【詳解】（1），.
（2）直線，直線，由題意得，
即 ，，知，所以，
即，所以動點的軌跡的方程為 .
（3）當(dāng)直線與軸垂直時，可設(shè)直線的方程為.
由于直線，曲線關(guān)于軸對稱，且與關(guān)于軸對稱，
于是的中點坐標(biāo)都為，
所以的重心坐標(biāo)都為，即它們的重心重合；
當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為.
由，得.
由直線與曲線有兩個不同交點，
可知且.
設(shè) 的坐標(biāo)分別為，
則.
設(shè)的坐標(biāo)分別為 ，
由及 得，
從而，
所以，
所以，
于是的重心與 的重心也重合.
綜上所述：的重心與的重心重合.
【點睛】本題參考了圖形的區(qū)域問題，軌跡問題，證明重心重合，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中沒有考慮斜率不存在的情況是容易犯的錯誤，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，需要熟練掌握.
22．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，下頂點為是橢圓上任意一點，過點作軸的平行線與直線交于點，若點關(guān)于點的對稱點為，直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓上點到直線的距離的最大值；
(2)已知．過點作垂直直線，垂足為，是否存在定點，使得為定值，若存在求出定點坐標(biāo)和，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在定點，使得.
【分析】（1）設(shè)橢圓任意一點，結(jié)合點到直線的距離公式，求得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，得到，以為原點，軸仍為軸建立直角坐標(biāo)系，把橢圓的方程轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得的值，進(jìn)而得到過定點，求得的中點為及，結(jié)合直角三角形性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由點是橢圓上的任意一點，可設(shè)，
則點到直線的距離為，
其中且，
當(dāng)時，可得，所以，
即橢圓上點到直線的最大距離為.
（2）解：由題意，可得點，
設(shè)直線的斜率分別為，且，則，
則，可得，
平移坐標(biāo)系，以為原點，軸仍為軸建立直角坐標(biāo)系，則，
則橢圓的方程變?yōu)椋?br/>設(shè)直線的方程為，可得，
所以，所以，可得，
所以直線的方程為，
經(jīng)過定點，即，
所以直線過定點，
又由，可得的中點為，且，
中直角中，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，
可得，即存在定點，使得.

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