資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
1.1 集合的概念（導學案）
【學習目標】
1、通過實例了解集合的含義．(難點)
2、掌握集合中元素的三個特性．(重點)
3、掌握元素與集合的關系，并能用符號表示.
4、記住常用數集及其記法．(重點、易混點)
【自主學習】
一．元素與集合的相關概念
1.元素：一般地，把 統稱為元素，常用小寫的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 組成的總體，簡稱 ，常用大寫拉丁字母 表示．
3.集合相等：指構成兩個集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
注意：
(1)確定性：集合元素必須是確定的。不能確定的對象不能組成集合。
(2)互異性：給定一個集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的對象歸入同一個集合時，只能算集合中的一個元素。
(3)無序性：集合中的元素可以任意排列，與次序無關。
二．元素與集合的關系
1.屬于：如果a是集合A的元素，就說 ，記作 .
2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說 ，記作 .
三．常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號
四．列舉法
把集合的元素 出來，并用 括起來表示集合的方法叫做列舉法．
思考1：列舉法的特點有哪些
[問題1 ]如何表示方程x2-3x+2=0的所有解組成的集合
[問題2]關于x的方程(x-1)(x-a)=0有幾個解 它的所有解組成的集合如何表示
[問題3]1與｛ 1 ｝是否具有相同的意義
[問題4]能否用列舉法來表示無限集
五、描述法
（1）定義：用集合所含元素的 表示集合的方法稱為描述法．
（2）具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的 及 ，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的 .
思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2){x|x>1}與{y|y>1}是不是相同的集合？
思考3：描述法的特點有哪些
運算的規律與性質能清楚地表示出來，適合表示無限集或元素較多的集合.語言簡潔、抽象.
注意：(1)寫清楚該集合代表元素的符號.例如，集合{x∈R|x<1}不能寫成{x<1}.
(2)所有描述的內容都要寫在花括號內.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，這種表達方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進花括號內，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
(3)在通常情況下，集合中豎線左側元素的所屬范圍為實數集時可以省略不寫.例如，方程x2－2x＋1＝0的實數解集可表示為{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可寫成{x|x2－2x＋1＝0}.
【當堂達標基礎練】
一、單選題
1．下面給出的四類對象中，構成集合的是（ ）
A．某班視力較好的同學 B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數等于它本身的數
2.已知集合，則集合中元素的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．由，，可組成含個元素的集合，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．給出下列關系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
5．已知集合，，則為（ ）
A．2 B． C．5 D．
6．下列關系中，正確的是（ ）
A． B． Q
C．－3∈N D． ∈Z
三、填空題
7．已知集合，若集合A中只有一個元素，則實數a的取值的集合是______
8．（2022·全國·高一專題練習）用符號“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
四、解答題
9．用列舉法表示下列集合：
(1)組成中國國旗的顏色名稱的集合；
(2)方程組的解集．
10．用描述法表示下列集合：
(1)奇數組成的集合；
(2)平面直角坐標系內第一象限的點組成的集合．
11．設集合，集合，這里是某個正數，且，求集合．
【當堂達標提升練】
一、單選題
1．已知集合 ，且 ，則實數m的值為（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
2．方程的所有實數根組成的集合為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
3.已知集合A包含3和－1兩個元素，集合B包含和－1兩個元素，且，則實數______．
4．（2022秋 石景山區期末）設P為非空實數集且滿足：對任意給定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，則稱P為幸運集．有以下結論：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}為幸運集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}為幸運集；
③若集合P1，P2為幸運集，則P1∪P2為幸運集；
④若集合P為幸運集，則一定有0∈P．
其中正確結論的序號是 　　．
三、解答題
5.選擇適當的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的質數組成的集合A；
(2)所有正奇數組成的集合B；
(3)絕對值不大于3的所有整數組成的集合C；
(4)直角坐標平面上，拋物線上的點組成的集合D．
6.用列舉法表示如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；
【當堂達標素養練】
1.已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.
2.已知集合，，求集合中元素的個數．
01.1 集合的概念（導學案）
【學習目標】
1、通過實例了解集合的含義．(難點)
2、掌握集合中元素的三個特性．(重點)
3、掌握元素與集合的關系，并能用符號表示
4、記住常用數集及其記法．(重點、易混點)
【自主學習】
一．元素與集合的相關概念
1.元素：一般地，把 統稱為元素，常用小寫的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 組成的總體，簡稱 ，常用大寫拉丁字母 表示．
3.集合相等：指構成兩個集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
1.研究對象 a，b，c… 2.元素 集 A，B，C… 3.一樣 4.確定性 互異性 無序性
注意：
(1)確定性：集合元素必須是確定的。不能確定的對象不能組成集合。
(2)互異性：給定一個集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的對象歸入同一個集合時，只能算集合中的一個元素。
(3)無序性：集合中的元素可以任意排列，與次序無關。
二．元素與集合的關系
1.屬于：如果a是集合A的元素，就說 ，記作 .
2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說 ，記作 .
1. a屬于集合A a∈A 2.a不屬于集合A a A
三．常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號
N N*或N＋ Z Q R
四．列舉法
把集合的元素 出來，并用 括起來表示集合的方法叫做列舉法．
一一列舉 花括號“{ }”
思考1：列舉法的特點有哪些
集合中的元素一目了然，適合表示元素較少的集合.
[問題1 ]如何表示方程x2-3x+2=0的所有解組成的集合
[問題2]關于x的方程(x-1)(x-a)=0有幾個解 它的所有解組成的集合如何表示
[問題3]1與｛ 1 ｝是否具有相同的意義
[問題4]能否用列舉法來表示無限集
五、描述法
（1）定義：用集合所含元素的 表示集合的方法稱為描述法．
（2）具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的 及 ，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的 .
（1）共同特征 （2）一般符號 取值(或變化)范圍 共同特征
思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2){x|x>1}與{y|y>1}是不是相同的集合？
(1)元素的共同特征為x∈R，且x<5.
(2) 相同，只是代表元素的符號不同，但是元素相同.．
思考3：描述法的特點有哪些
運算的規律與性質能清楚地表示出來，適合表示無限集或元素較多的集合.語言簡潔、抽象.
注意：(1)寫清楚該集合代表元素的符號.例如，集合{x∈R|x<1}不能寫成{x<1}.
(2)所有描述的內容都要寫在花括號內.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，這種表達方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進花括號內，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
(3)在通常情況下，集合中豎線左側元素的所屬范圍為實數集時可以省略不寫.例如，方程x2－2x＋1＝0的實數解集可表示為{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可寫成{x|x2－2x＋1＝0}.
【當堂達標基礎練】
一、單選題
1．下面給出的四類對象中，構成集合的是（ ）
A．某班視力較好的同學 B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數等于它本身的數
【答案】D
【分析】根據集合的定義分析判斷即可.
【詳解】對于A，視力較好不是一個明確的定義，故不能構成集合；
對于B，長壽也不是一個明確的定義，故不能構成集合；
對于C， 的近似值沒有明確近似到小數點后面幾位，
不是明確的定義，故不能構成集合；
對于D，倒數等于自身的數很明確，只有1和-1，故可以構成集合；
故選：D.
2.已知集合，則集合中元素的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據，所以可取，即可得解.
【詳解】由集合，，
根據，
所以，
所以中元素的個數是3.
故選：C
3．由，，可組成含個元素的集合，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據集合元素的互異性即可求解.
【詳解】由元素的互異性可得，解得且且.
故選：C.
4．給出下列關系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據數集的定義，即可得答案；
【詳解】是實數，①正確；是無理數，②錯誤；－3是整數，③錯誤；－是無理數，④正確.
所以正確的個數為2.
故選：B.
二、多選題
5．已知集合，，則為（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】BC
【分析】結合元素與集合的關系，集合元素的互異性來求得的值.
【詳解】依題意，
當時，或，
若，則，符合題意；
若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.
當時，或，
若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.
若，則，符合題意.
綜上所述，的值為或.
故選：BC
6．下列關系中，正確的是（ ）
A． B． Q
C．－3∈N D． ∈Z
【答案】AB
【分析】根據常見數集的范圍,直接判斷.
【詳解】根據常見數集的范圍：
，故A正確；
不是有理數，所以 Q.故B正確；
N為自然數集合，所以－3N.故C錯誤；
為無限不循環小數，所以.故D錯誤.
故選：AB
三、填空題
7．已知集合，若集合A中只有一個元素，則實數a的取值的集合是______
【答案】
【分析】分和兩種情況保證方程只有一個解或重根，求出a的值即可．
【詳解】當時，只有一個解，
則集合有且只有一個元素，符合題意；
當時，若集合A中只有一個元素，
則一元二次方程有二重根，
即，即
綜上，或，故實數a的取值的集合為
故答案為：
8．（2022·全國·高一專題練習）用符號“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
【答案】
【分析】根據元素與集合的關系判斷.
【詳解】由所表示的集合，由元素與集合的關系可判斷
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
四、解答題
9．用列舉法表示下列集合：
(1)組成中國國旗的顏色名稱的集合；
(2)方程組的解集．
【答案】(1){紅色，黃色}； (2).
【分析】利用集合的列舉法的概念即得.
(1)組成中國國旗的顏色名稱的集合用列舉法表示為{紅色，黃色}；
(2)由，解得，
故方程組的解集為.
10．用描述法表示下列集合：
(1)奇數組成的集合；
(2)平面直角坐標系內第一象限的點組成的集合．
【答案】(1)；(2).
【分析】利用集合的描述法即得.
(1)奇數組成的集合為；
(2)平面直角坐標系內第一象限的點組成的集合為.
11．設集合，集合，這里是某個正數，且，求集合．
【答案】B＝{0，7，3，1}．
【分析】解方程即得解.
【詳解】解：由題得， 解得或.
因為，所以.
當時， B＝{0，7，3，1}.
故集合B＝{0，7，3，1}．
【當堂達標提升練】
一、單選題
1．已知集合 ，且 ，則實數m的值為（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【分析】依題意可得或，求出方程的根，再代入集合中檢驗即可；
【詳解】解：因為，且，所以或，解得或或，當時，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當時集合不滿足集合元素的互異性，故，當時滿足條件；
故選：A
2．方程的所有實數根組成的集合為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出方程的解，再根據集合的表示方法判斷即可；
【詳解】解：由，解得或，所以方程的所有實數根組成的集合為；
故選：C
二、填空題
3.已知集合A包含3和－1兩個元素，集合B包含和－1兩個元素，且，則實數______．
【答案】3或-1
解析：由題意，或m=-1. 故答案為：3或-1.
4．（2022秋 石景山區期末）設P為非空實數集且滿足：對任意給定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，則稱P為幸運集．有以下結論：
①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}為幸運集；
②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}為幸運集；
③若集合P1，P2為幸運集，則P1∪P2為幸運集；
④若集合P為幸運集，則一定有0∈P．
其中正確結論的序號是 　②④　．
【分析】直接利用幸運集的定義和賦值法判定①②③④四個結論．
【解答】解：P為非空實數集滿足：對任意給定的x、∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，則稱P為幸運集．
對于①，由于﹣2﹣2＝﹣4 A，故集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}不為幸運集，故①錯誤；
對于②，設x，y∈A，則x＝2k1，y＝2k2，且k1，k2∈Z，故x+y＝2（k1+k2）∈A，x﹣y＝2（k1﹣k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，
故集合p＝{x|x＝2n，n∈Z}為幸運集，故②正確；
對于③，若集合P1、P2為幸運集，設P1＝{x|x＝，k∈Z}，P2＝{x|x＝，k∈Z}為幸運集，但是P1∪P2不為幸運集，故③錯誤；
對于④，若集合P為幸運集，取x＝y，x﹣y＝0∈P，則一定有0∈P，故④正確．
故答案為：②④．
【點評】本題考查集合的新定義，注意運用賦值法，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．
三、解答題
5.選擇適當的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的質數組成的集合A；
(2)所有正奇數組成的集合B；
(3)絕對值不大于3的所有整數組成的集合C；
(4)直角坐標平面上，拋物線上的點組成的集合D．
5.解：(1)不小于1且不大于17的質數有，用列舉法表示：；
(2)所有正奇數有無數個，用描述法表示：；
(3)絕對值不大于3的所有整數只有，用列舉法表示：；
(4)直角坐標平面上，拋物線上的點，用描述法表示：．
6.用列舉法表示如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；
6.解：題圖中陰影部分的點(含邊界)的集合可表示為.
【當堂達標素養練】
1.已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范圍；
(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.
【分析】（1）利用是空集，則即可求出的取值范圍；
（2）對分情況討論，分別求出符合題意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一個元素和有2個元素兩種情況討論，分別求出參數的取值范圍，即可得解．
(1)解： 是空集，且，
，解得
(2)解：①當時，集合，
②當時，，
，解得，此時集合，
綜上所求，當時集合，當時集合；
(3)解：中至少有一個元素，則當中只有一個元素時，或；
當中有2個元素時，則且，即，解得且；
綜上可得時中至少有一個元素。
2.已知集合，，求集合中元素的個數．
【答案】9
【分析】理解集合B中元素的特點，可以列舉出它的所有元素.
【詳解】，，
，共9個元素. /
將來的有一天，你會感謝現在努力的你！

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