資源簡(jiǎn)介

親愛(ài)的同學(xué)加油，給自己實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想的一個(gè)機(jī)會(huì)！
09.3.1平面向量基本定理
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共線(xiàn)，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
【題型歸納】
題型一：基底的概念問(wèn)題
1．（2023·云南·鎮(zhèn)雄縣第四中學(xué)高一）設(shè)，為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2023·全國(guó)·高一）若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023·全國(guó)·高一）若，是平面內(nèi)的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是（ ）．
A．和 B．和
C．和 D．和
題型二：基底表示向量問(wèn)題
4．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高一期末）如圖，等腰梯形中，，點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，若，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北張家口·高一期末）如圖所示，在中，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
題型三：平面向量基本定理
7．（2023·浙江·寧波市北侖中學(xué)高一期中）若是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．不可以表示平面內(nèi)的所有向量；
B．對(duì)于平面中的任一向量，使的實(shí)數(shù)有無(wú)數(shù)多對(duì)；
C．若均為實(shí)數(shù)，且向量與共線(xiàn)，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；
D．若存在實(shí)數(shù)使，則.
8．（2023·浙江·金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一直線(xiàn)分別與邊，交于，，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）直角三角形中，是斜邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，點(diǎn)、在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)上，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．為常數(shù) B．的最小值為
C．的最小值為 D．、的值可以為，
題型四：平面向量基本定理求參數(shù)
10．（2023·福建·泉州科技中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在 ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)，且，，連接AC，MN交于P點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全國(guó)·高一）如圖，在中，，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·安徽·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一階段練習(xí)（理））在△ABC中，若N是AC上一點(diǎn)，且＝3，點(diǎn)P在BN上，并滿(mǎn)足＝＋m，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A． B． C． D．
題型五：平面向量基本定理證明共線(xiàn)問(wèn)題
13．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量與不共線(xiàn)，如果，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．
14．（2023·江西·宜春九中高一）如圖所示，在中，分別是，的中點(diǎn)，，，.
（1）用，表示向量，，；
（2）求證：，，三點(diǎn)共線(xiàn).
15．（2023·全國(guó)·高一）如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)
（1）試用a，b表示
（2）證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．
【雙基達(dá)標(biāo)】
一、單選題
16．（2022·湖南·高一）在ABC中，已知D是AB邊上的一點(diǎn)，若，則λ等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·四川達(dá)州·高一期末）已知，分別是的邊和的中點(diǎn)，若，，則（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·遼寧·高一期末）如圖，在中，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·湖北省天門(mén)中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，若存在點(diǎn)，使得，且，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
20．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）.如圖，在中，，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．
C．2 D．
21．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)將兩塊直角三角板接在一起，已知，記.
（1）試用表示向量;
（2）若，求.
【高分突破】
一：?jiǎn)芜x題
22．（2023·全國(guó)·高一）已知，是不共線(xiàn)向量，則下列各組向量中，是共線(xiàn)向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
23．（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在給出的下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．設(shè)是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若，則點(diǎn)必共線(xiàn)
B．若向量是平面上的兩個(gè)向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量滿(mǎn)足，則為等腰三角形
D．已知平面向量滿(mǎn)足，且，則是等邊三角形
24．（2023·廣東·汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一）已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿(mǎn)足，則可表示為（ ）
A． B．
C． D．
25．（2023·山西·晉中市新一雙語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)（文））下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．為不共線(xiàn)向量，若，則
B．
C．若，則與不一定共線(xiàn)
D．若為平面內(nèi)兩個(gè)不相等向量，則平面內(nèi)任意向量都可以表示為
26．（2023·安徽·合肥藝術(shù)中學(xué) 高一階段練習(xí)）如圖，中，，分別是，邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·陜西·西安電子科技大學(xué)附中高一階段練面內(nèi)有三個(gè)向量，其中的夾角為，的夾角為，且，若則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
28．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖所示，已知P，Q，R分別是三邊的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是已知的平面向量，向量，，在同一平面內(nèi)且兩兩不共線(xiàn)，其中真命題是（ ）
A．給定向量，總存在向量，使；
B．給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；
C．給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；
D．若，存在單位向量，和正實(shí)數(shù)，，使，則．
30．（2023·廣東·江門(mén)市新會(huì)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如果是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量
B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使=λ+μ的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)
C．若向量λ1+μ1與λ2+μ2共線(xiàn)，則λ1μ2-λ2μ1 =0
D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=0
31．（2023·江蘇·蘇州中學(xué)高一）如圖1，“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖2）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），若，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
32．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知(，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量)，則________.(用，表示)
33．（2023·北京市西城區(qū)教委高一階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在，上，且，若，則___________.
34．（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，在中，，，，若延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)取最大值時(shí)，的值是___________.
35．（2023·全國(guó)·高一）設(shè)，是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，已知，，若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則k的值為_(kāi)________.
36．（2023·全國(guó)·高一）如圖，C，D是△AOB中邊AB的三等分點(diǎn)，設(shè)=，=，以{，}為基底來(lái)表示=____，=_____．
四、解答題
37．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，△中，，，.線(xiàn)段相交于點(diǎn).
(1)用向量與表示及；
(2)若，試求實(shí)數(shù)的值.
38．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，，分別是三邊，，上的點(diǎn)，且，，．如果，試用基底表示向量，，．
39．（2023·上海·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N．
（1）若A，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，求證：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
40．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)M，設(shè)，，
（1）試用，表示向量：
（2）在線(xiàn)段上取一點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，使得過(guò)點(diǎn)M，設(shè)，，求證：．
/
【答案詳解】
1．D
【解析】
如果兩個(gè)向量共線(xiàn)便不能作為基底，從而找為共線(xiàn)向量的一組即可，可根據(jù)共面向量基本定理進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，
與，不共線(xiàn)，可以作為基底，
與，不共線(xiàn)，可以作為基底，
與不共線(xiàn)，可以作為基底，
與，存在實(shí)數(shù)，使得，所以和共線(xiàn)，不可以作為基底，
故選：．
2．B
【解析】
【分析】
不共線(xiàn)的向量能作為基底，逐一判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】
不共線(xiàn)的向量能作為基底，
因?yàn)椋韵蛄浚簿€(xiàn)，故排除A；
假設(shè)，解得，無(wú)解，
所以向量，不共線(xiàn)，故B正確；
因?yàn)椋裕簿€(xiàn)，故排除C；
因?yàn)椋裕簿€(xiàn)，故排除D，
故選：B
3．B
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量的基底的概念：平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩個(gè)向量可以作為平面的一組基底，結(jié)合共線(xiàn)向量的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
因?yàn)橄蛄浚瞧矫鎯?nèi)的一組基底，可得向量，為平面內(nèi)不共線(xiàn)向量，
對(duì)于A中，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，
所以向量和不共線(xiàn)，可以作為平面的一組基底；
對(duì)于B中，設(shè)，可得，解得，
所以向量和為共線(xiàn)向量，不能作為平面的一組基底；
對(duì)于C中，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，
所以向量和不共線(xiàn)，可以作為平面的一組基底；
對(duì)于D中，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，
所以向量和不共線(xiàn)，可以作為平面的一組基底.
共線(xiàn)：B.
4．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法和減法以及平面向量的基本定理求解.
【詳解】
由題可得：
．
故選：B．
5．D
【解析】
【分析】
利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可；
【詳解】
由題意,
，
故選：D
6．B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘，利用基底表示所求向量即可.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以，
故選：B
7．D
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ與λ2+μ2均為零向量或者λ2+μ2為零向量的特殊情況，可以判定C.
【詳解】
由平面向量基本定理可知，A錯(cuò)誤，D正確；
對(duì)于B：由平面向量基本定理可知，若一個(gè)平面的基底確定，
那么該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量時(shí)，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時(shí)，這樣的λ有無(wú)數(shù)個(gè)，
或當(dāng)λ1+μ1為非零向量，而λ2+μ2為零向量(λ2=μ2=0)，此時(shí)λ不存在，故C錯(cuò)誤；
故選：D.
8．D
【解析】
【分析】
根據(jù)M，H，N共線(xiàn)，設(shè)，再根據(jù)，，以，為基底表示，再根據(jù)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以，為基底表示，然后利用向量相等求解.
【詳解】
因?yàn)镸，H，N共線(xiàn)，
所以設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以，
則，
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，
所以，
則，
即，解得，
即，
故選：D
9．B
【解析】
【分析】
作出圖形，由可得出，根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)的結(jié)論得出，結(jié)合基本不等式可判斷出各選項(xiàng)的正誤，即可得出結(jié)論.
【詳解】
如下圖所示：
由，可得，
，
若，，，
則，，
，
、、三點(diǎn)共線(xiàn)，
，，
故A正確；
所以，時(shí)，也滿(mǎn)足，則D選項(xiàng)正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C選項(xiàng)成立；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
10．D
【解析】
【分析】
由題意可得，進(jìn)而可得，即可得解.
【詳解】
，，
，
設(shè)，則即，
，
故選：D
11．B
【解析】
【分析】
求出，得λ＝，μ＝，即得解.
【詳解】
因?yàn)椋蹋?br/>所以λ＝，μ＝，
則λ＋μ＝＋＝.
故選：B
12．D
【解析】
【分析】
把用表示，利用在中，設(shè)＝λ，這樣有再化為用表示，結(jié)合已知得關(guān)于的方程組，解之可得．
【詳解】
∵＝3，∴＝，
∴＝－＝－．
∵點(diǎn)P在BN上，∴∥，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ＝λ，
∴＝＋＝＋λ＝(1－λ)＋＝＋m．
又∵與不共線(xiàn)，∴∴
故選：D．
13．證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
由，結(jié)合已知可得，根據(jù)向量共線(xiàn)定理即可證結(jié)論.
【詳解】
∵，
∴根據(jù)共線(xiàn)向量基本定理得，與共線(xiàn)．又與有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，得證．
14．（1），，；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）用一組基底來(lái)表示其他向量的問(wèn)題利用三角形法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）將三點(diǎn)共線(xiàn)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量共線(xiàn)即可得證.
【詳解】
解：（1）∵，，，分別是，的中點(diǎn)，
∴，
，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∴與共線(xiàn)，又∵與有公共點(diǎn)，
故，，三點(diǎn)共線(xiàn).
15．（1）＝b－a，＝a＋b，＝－a＋b；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）將向量a,b作為基底表示向量，要在封閉圖形中去找；
（2）運(yùn)用向量共線(xiàn)定理，再?gòu)?qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)即可證明.
【詳解】
(1) 由題意，得＝b－a，
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝－a＋b.
(2) 因?yàn)椋剑璦＋b，
＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝a+b，
所以，所以與共線(xiàn)．
又與有公共點(diǎn)B，
所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．
16．B
【解析】
【分析】
利用共線(xiàn)向量定理求解.
【詳解】
因?yàn)镈是AB邊上的一點(diǎn)，
所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以，則，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)锳，B，C不共線(xiàn)，
所以，解得，
故選：B
17．D
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的基底表示與線(xiàn)性運(yùn)算計(jì)算.
【詳解】
如圖，因?yàn)椋謩e是的邊和的中點(diǎn)，
.
故選：D
18．C
【解析】
【分析】
利用向量運(yùn)算求得，進(jìn)而求得.
【詳解】
，
所以.
故選：C
19．A
【解析】
【分析】
由可得，又，結(jié)合已知得，從而可得結(jié)果.
【詳解】
，
∴，
，可得，
∵
∴則.
故選：A.
20．A
【解析】
【分析】
設(shè)，由向量的運(yùn)算法則得到，又由，列出方程組，即可求解.
【詳解】
設(shè)，
因?yàn)椋裕?br/>則，
又因?yàn)椋裕獾?
故選：A.
21．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題易知，再結(jié)合即可得，進(jìn)而即可得答案；
（2）由題知，，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】
（1）因?yàn)椋裕?br/>由題意可知， ，
所以，則，
（2）因?yàn)椋裕?，
所以
22．A
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量共線(xiàn)定理得到，對(duì)于①，故兩向量共線(xiàn)；對(duì)于②，故兩向量共線(xiàn)；對(duì)于③不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，故不共線(xiàn).
【詳解】
對(duì)于①，，，故兩向量共線(xiàn)；
對(duì)于②，，，故兩向量共線(xiàn)；
對(duì)于③，，
假設(shè)存在
，因?yàn)椋遣还簿€(xiàn)向量，
故得到無(wú)解.
故選：A.
23．B
【解析】
【分析】
對(duì)A，化簡(jiǎn)得出，根據(jù)向量共線(xiàn)定理可判斷；對(duì)B，根據(jù)平面向量基本定理可判斷；對(duì)C，根據(jù)可得，根據(jù)可得為的角平分線(xiàn)即可判斷；對(duì)D，由平方可求得的夾角，即可判斷.
【詳解】
對(duì)A，若，則，即，則，且有公共點(diǎn)，故共線(xiàn)，故A正確；
對(duì)B，根據(jù)平面向量基本定理可得若共線(xiàn)，則不滿(mǎn)足題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，，即，所以，
又，所以為的角平分線(xiàn)，所以為等腰三角形，故C正確.
對(duì)D，若，且，則，
則，即，
則，則的夾角為，同理的夾角為，的夾角為，所以是等邊三角形，故D正確.
綜上，錯(cuò)誤的選項(xiàng)為B.
故選：B.
24．A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，由題意可得，整理即可得解.
【詳解】
由，
可得，
整理可得，
所以，
故選：A
25．D
【解析】
【分析】
對(duì)于A：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得到及矩形的判定定理的即可判斷；
對(duì)于B：由向量數(shù)乘的運(yùn)算法則即可判斷；
對(duì)于C：對(duì)向量是否為零向量進(jìn)行分類(lèi)討論；
對(duì)于D：利用平面向量的基本定理直接判斷.
【詳解】
對(duì)于A：為不共線(xiàn)向量，則兩向量均為非零向量，又由得以向量模長(zhǎng)為鄰邊的平行四邊形的兩對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度相等，因此該平行四邊形為矩形，即鄰邊垂直，故A正確；
對(duì)于B：由向量數(shù)乘的運(yùn)算法則知，B正確；
對(duì)于C：若均為非零向量，因?yàn)椋瑒t共線(xiàn)；若為零向量，則不一定共線(xiàn)，故C正確；
對(duì)于D：由平面向量的基本定理知，只有當(dāng)非零且不共線(xiàn)時(shí)可以作為一組基底，平面內(nèi)任意向量都可以表示為故命題才成立.故D不一定成立.
故選：D.
26．A
【解析】
【分析】
由重心定義和性質(zhì)知，結(jié)合可得結(jié)果.
【詳解】
分別為中點(diǎn)，為的重心，，
又，.
故選：A.
27．C
【解析】
【分析】
如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，由題意可得，在中，由邊角關(guān)系求出，，由平面向量基本定理即可求解.
【詳解】
如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，
因?yàn)榈膴A角為，的夾角為，
所以，
在中，，，
由，
可得，
所以，，
所以， ，所以.
故選：C.
28．BC
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理以三角形法則，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷求解即可.
【詳解】
由已知可得，故D錯(cuò)誤；
因?yàn)镻，Q，R分別是三邊的AB，BC，CA的四等分點(diǎn)，
由,故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確.
故選：BC
29．ABD
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理依次判斷，即得解
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A，給定向量和，只需求得其向量差即為所求的向量，故總存在向量，使，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線(xiàn)時(shí)，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，取，無(wú)論取何值，向量都平行于x軸，而向量的模恒等于2，要使成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量的縱坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量使等式成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，，又，不共線(xiàn)，
，即，即，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
，得，故D正確
故選：ABD．
30．ACD
【解析】
【分析】
利用平面向量的基本定理可判斷A、B、D；利用向量共線(xiàn)定理可判斷C；從而得出答案.
【詳解】
根據(jù)平面向量的基本定理可知A正確、B錯(cuò)誤；
根據(jù)向量共線(xiàn)定理，存在唯一的非零實(shí)數(shù)，
使得，
即，消去可得，故C正確；
若實(shí)數(shù)λ，μ有一個(gè)不為，不妨設(shè)，
則，此時(shí)共線(xiàn)，這與已知矛盾，
所以λ=μ=0，故D正確.
故選：ACD
31．BC
【解析】
【分析】
畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，得出求的最大值時(shí)，只需考慮圖中以為起點(diǎn)，個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)向量，分別求出即得結(jié)論．根據(jù)其對(duì)稱(chēng)性，可知最小值，進(jìn)而可知的取值范圍，即可得正確選項(xiàng).
【詳解】
如下圖所示，求的最大值，只需考慮下圖中以為起點(diǎn)，個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)向量即可，討論如下：
當(dāng)，此時(shí)；
當(dāng)，此時(shí)；
當(dāng)，此時(shí)；
當(dāng)，此時(shí)；
當(dāng)，此時(shí)；
當(dāng)，此時(shí)；
所以的最大值為，根據(jù)其對(duì)稱(chēng)性，可知的最小值為，
則的取值范圍為，
由選項(xiàng)判斷可知，選項(xiàng)BC正確，
故選：BC.
32．
【解析】
【分析】
設(shè)，可得，聯(lián)立方程，即可求得答案.
【詳解】
設(shè)
則
，
，不共線(xiàn)，
，解得
故
故答案為：.
33．
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)可得.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>則，
所以，則.
故答案為：.
34．##
【解析】
【分析】
由向量的數(shù)量積運(yùn)算求得，得，從而求得，設(shè)，由及求得，而，最大，則最大，最大值為1，由此得，從而得差．
【詳解】
，
，
所以，所以，
又，所以，，
設(shè)，由于在上，所以，
又，
即，化簡(jiǎn)得，
由得，所以，
（），所以，
所以時(shí)，，．
故答案為：．
35．-8
【解析】
【分析】
由題得,即解方程組即得解.
【詳解】
由題得,
.
故答案為：
36． +##+ +##+
【解析】
【分析】
由題設(shè)圖形，結(jié)合向量加法的幾何意義有、，進(jìn)而可得、關(guān)于{，}為基底的表達(dá)式.
【詳解】
=+(-)=+，
=(-)=+．
故答案為：+，+.
37．(1)，；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)向量加法、數(shù)乘、相反向量的幾何意義，將、用表示即可.
（2）由題圖知，，結(jié)合已知條件求得，根據(jù)平面向量的基本定理可得的值.
(1)
由題設(shè)，，.
(2)
設(shè)，
所以，且，
所以，則，可得，
所以，故，.
38．，，
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算表示出，，.
【詳解】
，
，
.
39．（1）證明見(jiàn)解析 ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由向量共線(xiàn)定理及平面向量基本定理即得；
（2）由題可得，再利用模長(zhǎng)公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】
（1）由A，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，得∥，設(shè)＝λ (λ∈R)，
即，
∴，
所以m＝n．
（2）因?yàn)椋絤，＝n，EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N ,
∴,
又m＋n＝1，所以，
∴
，
故當(dāng)m＝時(shí)，．
40．（1） ；（2） 證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，由、、三點(diǎn)共線(xiàn)以及、、三點(diǎn)共線(xiàn)可得出關(guān)于與的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，即可得出關(guān)于、的表達(dá)式；
（2）根據(jù)條件，結(jié)合可建立等式，利用三點(diǎn)共線(xiàn)，可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）解：由A，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)可知，存在實(shí)數(shù)使得
．
由B，M，C三點(diǎn)共線(xiàn)可知，存在實(shí)數(shù)使得
．
由平面向量基本定理知．
解得，所以．
（2）證明：若，，則．
又因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，所以．
將來(lái)的有一天，你會(huì)感謝現(xiàn)在努力的你！

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