資源簡(jiǎn)介

親愛(ài)的同學(xué)加油，給自己實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想的一個(gè)機(jī)會(huì)！
09.3.2 -9.3.3向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算 向量平行的坐標(biāo)表示
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：平面向量的正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考點(diǎn)二： 平面向量的坐標(biāo)表示
1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).，在直角坐標(biāo)平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
考點(diǎn)三　平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
數(shù)學(xué)公式 文字語(yǔ)言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和
向量減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差
已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).
考點(diǎn)四　平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
考點(diǎn)五　平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，則a，b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
如果用坐標(biāo)表示，可寫(xiě)為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b(b≠0)共線.
注意：向量共線的坐標(biāo)形式極易寫(xiě)錯(cuò)，如寫(xiě)成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對(duì)的，因此要理解并熟記這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減.
考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
則a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
技巧：向量夾角問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事項(xiàng)：利用三角函數(shù)值cos θ求θ的值時(shí)，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判斷θ的值時(shí)，要注意cos θ<0時(shí)，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cos θ>0時(shí)，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.
【題型歸納】
題型一：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，則向量的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇·無(wú)錫市第六高級(jí)中學(xué)高一期中）已知向量，則的最小值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．4
3．（2020·浙江·臺(tái)州市黃巖第二高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型二：利用坐標(biāo)求向量的模
4．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023·新疆·烏魯木齊市第二十中學(xué)高一期末）設(shè)向量，，則等于（ ）
A． B．5 C． D．6
6．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
題型三：由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)
7．（2023·安徽·宣城市勵(lì)志中學(xué)高一階段練習(xí)）正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2023·廣東·忠信中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限內(nèi)，，且，設(shè)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量與單位向量同向，且，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
題型四：由向量線性運(yùn)算解決最值和范圍問(wèn)題
10．（2023·浙江溫州·高一期末）已知平面向量，，（與不共線），滿足，，設(shè)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019·山東德州·高一期末）已知在中，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（ ）
A．2 B． C． D．－2
12．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，已知，，，點(diǎn)滿足，其中，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型五：由向量平行（共線）求參數(shù)
13．（2023·廣東·仲元中學(xué)高一期中）已知向量，，且與平行，則（ ）
A．1 B．0 C． D．
14．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，向量且，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·廣東普寧·高一期中）設(shè)，向量，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．10
【雙基達(dá)標(biāo)】
一、單選題
16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．與可以作為一組基底
C． D．與方向相反
17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
18．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，下列等式：①；②；③；④．其中，正確的有（ ）
A．l個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
19．（2023·吉林·長(zhǎng)春市第二十九中學(xué)高一階段練習(xí)）△中，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且，若，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
20．（2022·遼寧·育明高中高一期末）已知，若B、C、D點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，是三個(gè)非零向量，且相互不共線，有下列命題：
①；②；③不與垂直；④．
其中，是真命題的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【高分突破】
一：?jiǎn)芜x題
23．（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在中，，的中點(diǎn)為，的重心，則B，C的坐標(biāo)分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
24．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若，則（　　）
A． B． C． D．1
25．（2023·安徽宣城·高一期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
26．（2022·全國(guó)·高一）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·安徽·宣城市勵(lì)志中學(xué)高一階段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABCD中，滿足“勾3股4弦5”，且，E為AD上一點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題
28．（2023·廣東·仲元中學(xué)高一期末）已知向量，，則（ ）
A．與的夾角余弦值為 B．
C．向量在向量上的投影向量的模為 D．若，則
29．（2023·全國(guó)·高一）若平面向量和互相平行，其中，則（ ）
A． B．0 C． D．2
30．（2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，分別是，上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量的模為
31．（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．，，若，則
B．單位向量，，則
C．若點(diǎn)為的重心，則
D．若，則
32．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）中，為上一點(diǎn)且滿足，若為線段上一點(diǎn)，且（，為正實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．的最小值為3
三、填空題
33．（2022·河北·邢臺(tái)市第二中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，且，則______．
34．（2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，，點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________.
35．（2023·河北·滄州市一中高一階段練習(xí)）已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
36．（2023·江蘇東海·高一期中）已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)，，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________.
37．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，在矩形ABCD中，，，，M為BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)_____.
四、解答題
38．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，分別求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
39．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2），B（4，5），O（0，0）及．
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第四象限？
(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的m的值；若不能，說(shuō)明為什么．
40．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，．
(1)求和；
(2)當(dāng)k為何值時(shí)，向量與垂直？
41．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高一期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)，，，，．
(1)當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的值；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)，并求的值．
/
【答案詳解】
1．A
【詳解】
因向量，則有，
所以.
故選：A
2．A
【詳解】
解:因?yàn)?
所以,
所以,
因?yàn)?
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
故選:A
3．D
【詳解】
因?yàn)橄蛄浚瑒t，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；
，故錯(cuò)誤；，故正確，故選：D
4．A
【詳解】
解析根據(jù)題意，向量，，則，
則，，.
若，則有，
解得.
故選：
5．B
【解析】
根據(jù)，，結(jié)合向量加法的三角形法則，應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，進(jìn)而求得
【詳解】
由，，而
∴
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量加法法則求向量的模
6．A
【解析】
可得，即可求出，得出模.
【詳解】
，，
，
,
，即，
.
故選：A.
7．B
【解析】
【分析】
以，為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，由轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算可得答案.
【詳解】
以，為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則，，．
因?yàn)椋?br/>解得，所以．
故選：B．
8．C
【解析】
【分析】
由題可得，再根據(jù)可求.
【詳解】
，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
，即，
點(diǎn)在第二象限內(nèi)，，
，解得（舍負(fù)），
.
故選：C.
9．B
【解析】
【詳解】
設(shè)是單位向量，，① 由得，因?yàn)橄蛄颗c單位向量同向，② ，①②聯(lián)立解方程得或，或，又方向相同，舍去，，故選B.
10．A
【解析】
【分析】
設(shè)，由已知條件判斷出，即是等腰直角三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的邊為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，得，再由得，設(shè)，求出范圍可得答案
【詳解】
設(shè)，則，
，
所以，即是等腰直角三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所在的邊為軸的正半軸建立平面 直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，，
兩式相加得，
所以，
因?yàn)椋栽O(shè)，
所以，
因?yàn)椴还簿€，所以不共線，所以，
所以，，
，
所以，
故選：A.
11．C
【解析】
【分析】
由，結(jié)合投影幾何意義，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
由,結(jié)合投影幾何意義有：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足落在的延長(zhǎng)線上，且
,
以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則
設(shè)，其中
則
解析式是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸時(shí)取得最小值，
當(dāng)時(shí)取得最小值
故選：
【點(diǎn)睛】
本題考查向量方法解決幾何最值問(wèn)題，屬于中等題型.
12．A
【解析】
根據(jù),,,由正弦定理可得為等腰直角三角形,進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).結(jié)合平面向量的數(shù)乘運(yùn)算與坐標(biāo)加法運(yùn)算,用,表示出.再由,將化為關(guān)于的二次表達(dá)式,由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得的最小值.
【詳解】
在中,已知,,
由正弦定理可得
代入,解得
即
所以為等腰直角三角形
以為原點(diǎn),所在直線為軸,以的垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示:
則點(diǎn)坐標(biāo)為
所以,
因?yàn)?br/>則
則
因?yàn)?則
代入上式可得
所以當(dāng)時(shí),
故選:A
【點(diǎn)睛】
本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,正弦定理判斷三角形形狀,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于中檔題.
13．C
【解析】
【分析】
求出與的坐標(biāo)，再借助向量共線的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.
【詳解】
因向量，，則，，
又與平行，于是得，解得，
所以.
故選：C
14．D
【解析】
【分析】
根據(jù)平行垂直關(guān)系可求出，即可求出，進(jìn)而得出所求.
【詳解】
且，
，解得，
，.
故選：D.
15．B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量垂直平行關(guān)系明確參數(shù)，從而可得所求向量的模.
【詳解】
∵向量，，，且，，
∴ ，∴，
∴，，，
∴.
故選：B.
16．B
【解析】
【分析】
由條件可得，然后逐一判斷即可.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>所以，，A、C正確；
與不可以作為一組基底，B錯(cuò)誤；
，所以與方向相反，D正確；
故選：B
17．C
【解析】
【分析】
根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量減法的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
解析　∵，∴
則得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故選：C
18．D
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
因?yàn)橄蛄浚遥?br/>由向量，所以，所以①正確；
由向量，，所以，所以②正確；
由向量，，所以，所以③正確；
由②知且，則，所以④正確.
故選：D.
19．C
【解析】
【分析】
根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系可得，再由向量加法的幾何應(yīng)用求的線性關(guān)系，結(jié)合已知求出即可.
【詳解】
，即，
∴，
又，則，，故．
故選：C．
20．D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，求出向量的坐標(biāo)，分析可得，由向量平行的坐標(biāo)表示可得答案．
【詳解】
根據(jù)題意，已知，，則，
若、、點(diǎn)共線，則，則有，解得：，
故選：D．
21．D
【解析】
【分析】
先根據(jù)已知條件確定三點(diǎn)的位置關(guān)系并得到，再設(shè)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算代入坐標(biāo)求解即可.
【詳解】
點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，又，.
設(shè),則,,
.選D.
22．D
【解析】
【分析】
由題意，，是任意的非零向量，且相互不共線，①中研究向量的數(shù)量積與數(shù)乘運(yùn)算，由運(yùn)算規(guī)則判斷；
②中研究向量差的模與模的差的關(guān)系，由其幾何意義判斷；③中研究向量的垂直關(guān)系，可由數(shù)量積為0驗(yàn)證；④中是數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則考查，由數(shù)量積運(yùn)算規(guī)則判斷．
【詳解】
解：由題意①是一個(gè)錯(cuò)誤命題，因?yàn)榕c共線，與共線，由題設(shè)條件，是任意的非零向量，且相互不共線知，不成立；
②是一個(gè)正確命題，由向量的減法法則知，兩向量差的模一定小兩向量模的差；
③是個(gè)錯(cuò)誤命題，因?yàn)椋逝c垂直，所以此命題不正確；
④是一個(gè)正確命題因?yàn)槭钦_的；
綜上知②④是正確命題
故選：．
23．B
【解析】
【分析】
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及重心的坐標(biāo)公式即可解出．
【詳解】
設(shè)，所以，解得，
，解得，所以B，C的坐標(biāo)分別為，．
故選：B．
24．B
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和共線定理，列方程求出的值．
【詳解】
向量，，
所以， ，
又，
所以，
解得．
故選：B．
25．A
【解析】
【分析】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；
【詳解】
解：由題可得，設(shè)，因?yàn)槭情L(zhǎng)方形，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則、，
則，，因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，所以有，所以，整理得，
故選：A.
26．B
【解析】
【分析】
結(jié)合平面向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，且，則,
所以，解得，
則，
故選：B.
27．C
【解析】
【分析】
由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，得，解得，再根據(jù)得到解之即得解.
【詳解】
由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋瑒t，，.
設(shè)，則，，
因?yàn)椋裕?br/>解得，
由，得，
所以
解得，
所以.
故選：C.
28．ACD
【解析】
【分析】
對(duì)于A：由已知得，根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式計(jì)算可判斷；
對(duì)于B：由已知得，由此可判斷；
對(duì)于C：由已知得向量在向量上的投影，從而可判斷；
對(duì)于D：由，可判斷.
【詳解】
解：對(duì)于A：因?yàn)橄蛄浚裕耘c的夾角余弦值為，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋裕裕蔅不正確；
對(duì)于C：向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量的模為，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋裕裕蔇正確，
故選：ACD.
29．AD
【解析】
【分析】
根據(jù)平行向量的坐標(biāo)表示求出x的值，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，得出的坐標(biāo)，結(jié)合向量的求模公式即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)槠矫嫦蛄亢突ハ嗥叫校?br/>所以或，
即，或，，
所以或，
所以或，
故選：AD
30．CD
【解析】
【分析】
A.結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，判斷A；結(jié)合圖形，利用向量加，減法，表示向量，判斷B；利用坐標(biāo)，結(jié)合三點(diǎn)三點(diǎn)共線，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合向量加法的坐標(biāo)表示，即可判斷C；利用投影向量的模的公式，結(jié)合向量的坐標(biāo)，即可判斷D.
【詳解】
由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由平面向量線性運(yùn)算得，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，，，，，
設(shè)，，，，
，所以，解得，，所以選項(xiàng)C正確；
因?yàn)椋诜较蛏系耐队跋蛄康哪椋赃x項(xiàng)D正確.
故選：CD
31．AD
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量平行、模的坐標(biāo)表示判斷AB選項(xiàng)的正確性，利用向量運(yùn)算、向量共線的知識(shí)判斷CD選項(xiàng)的正確性.
【詳解】
A選項(xiàng)，由于，所以，A錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，，B正確.
C選項(xiàng)，依題意是三角形的重心，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，三點(diǎn)共線，如圖所示，則，所以，C正確.
D選項(xiàng)，時(shí)就不行，D錯(cuò)誤.
故選：AD
32．AD
【解析】
【分析】
由題設(shè)結(jié)合三點(diǎn)共線可得，再應(yīng)用基本不等式求、的最值，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義求的線性關(guān)系.
【詳解】
由題設(shè)，可得，又三點(diǎn)共線，
∴，即，B錯(cuò)誤；
由，為正實(shí)數(shù)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確；
，又，
∴，故A正確.
故選：AD.
33．
【解析】
【分析】
先計(jì)算，再由向量的平行關(guān)系建立方程即可求解.
【詳解】
因?yàn)椋裕獾茫?br/>故答案為：.
34．
【解析】
【分析】
由已知可得，設(shè)，再由上面的式子列方程組可求得答案
【詳解】
設(shè)，則
因?yàn)辄c(diǎn)P在延長(zhǎng)線上，且，
所以，
所以，
所以，得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
故答案為：
35．
【解析】
【分析】
由三點(diǎn)共線得，再應(yīng)用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求坐標(biāo)，即可得的坐標(biāo).
【詳解】
∵，，三點(diǎn)共線，且，
∴，又，，即，
∴，則的坐標(biāo)為.
故答案為：
36．.
【解析】
【分析】
求得，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（即按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）后得到點(diǎn)P，由定義求得，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】
由題意得，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（即按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）后得到點(diǎn)P，
則，又，設(shè)，
則，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：.
37．
【解析】
【分析】
構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令求的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
【詳解】
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y建系，則，，
又，，令，，
故，則，，
，
所以時(shí)，取最小值.
故答案為：.
38．(1)
(2)
(3)0
(4)49
【解析】
【分析】
（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算；（2）利用向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算法則及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算；（3）利用向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算法則及向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算；（4）先求出，進(jìn)而求出.
(1)
(2)
(3)
(4)
，所以
39．(1)當(dāng)時(shí)，P在x軸上；當(dāng)時(shí)，P在y軸上；當(dāng)時(shí)， P在第四象限；
(2).
【解析】
【分析】
用坐標(biāo)表示出向量
（1）由點(diǎn)P的位置，分別列式子，求出m的值或范圍；
（2）先假設(shè)存在m符合題意，利用向量相等的條件列方程組，求出m的值
(1)
因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2），B（4，5），O（0，0）及
所以.
若P在x軸上，則，解得：；
若P在y軸上，則，解得：；
若P在第四象限，則，解得：.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，P在x軸上；當(dāng)時(shí)，P在y軸上；當(dāng)時(shí)， P在第四象限；
(2)
假設(shè)四邊形OABP能構(gòu)成為平行四邊形，則.
因?yàn)椋裕獾茫簃=0.
所以m=0時(shí)，四邊形OABP能構(gòu)成為平行四邊形.
40．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出，的坐標(biāo)，再利用向量的模公式求出和；
（2）求出與的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列出關(guān)于的方程組，求出的值；
(1)
解：，．
，
；；
(2)
解：，
與垂直時(shí)，
時(shí)，與垂直．
41．(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）利用向量共線坐標(biāo)表示即求；
（2）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而可得，再利用夾角公式即求.
(1)
∵，，，，
∴，，
∴，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有，
，
解得．
(2)
∵，，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，
∴，，，，
∴．
將來(lái)的有一天，你會(huì)感謝現(xiàn)在努力的你！

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