資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
0第六章平面向量及其應用（知識通關詳解）
1．向量的有關概念
名稱 定義 備注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量
零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0
單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線
共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量
相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小
相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0
例1：1．下列命題中正確的個數是（ ）
①起點相同的單位向量，終點必相同；
②已知向量，則四點必在一直線上；
③若，則；
④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
2.如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：
(1)與相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)與的模相等的向量有哪些？
.舉一反三
1．下列結論中，正確的是（ ）
A．零向量只有大小沒有方向 B．
C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等
2．（多選）給出下列命題正確的是（ ）
A．空間中所有的單位向量都相等 B．長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量
C．若滿足，且同向，則 D．對于任意向量，必有
3．（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個非零向量不一定共線
C．零向量的長度為0 D．方向相反的兩個非零向量必不相等
4．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是________．
5．下列各量中，向量有：______．（填寫序號）
①濃度；②年齡；③風力；④面積；⑤位移；⑥人造衛星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
2.向量的線性運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
例2：1．如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．
2．計算：
（1）；
（2）；
（3）．
舉一反三
1.化簡：=______．
2．化簡：___________.
3.在中，，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b＝λa.
例3：1．（2021·山西臨汾·一模（理））已知，，，則（　　）
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
2．如圖，，不共線，且，用，表示．
舉一反三
1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學三模（理））設，是兩個不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則k＝________.
2.（2022·江蘇·揚州中學模擬預測）已知向量，，若，則（ ）
A． B．2 C．8 D．
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
例4：1．已知矩形中，為邊中點，線段和交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）在菱形中，為的中點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
舉一反三
1．在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
2．（多選）設向量，平面內任一向量都可唯一表示為（），則實數的可能取值是（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
3．如圖，向量、、的起點與終點均在正方形網格的格點上，若，則________．
5．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
例5：1．在中，點在上中點，點是的中點，若，，則等（）
A． B． C． D．
2．已知點，，，則以，，為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．已知，，則線段中點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，則（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知向量，則_______________．
6．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
例6：已知向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．已知兩向量共線，則實數m =_________．
2.已知向量，，向量，，若，則實數______.
7．平面向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b＝|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為__0__.
兩個非零向量a與b垂直的充要條件是 a·b＝0，兩個非零向量a與b平行的充要條件是 a·b＝±|a||b|.
例7：1.（2022·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2.（2022·全國·高考真題（理））設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．
舉一反三
1．若非零向量滿足，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．在中，記，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）在中，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，，，為的中點，則_____________．
8．平面向量數量積的幾何意義
數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積．
例8：1．（2022·江蘇淮安·模擬預測）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
舉一反三
（2022·四川·成都七中模擬預測（理））已知，與的夾角為60°，則在上的投影為_________.
9．平面向量數量積的重要性質
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b a·b＝0；
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
例9：1．（2022·江西·模擬預測（文））已知平面向量的夾角為，且，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．
2．（2021·北京房山·二模）已知單位向量的夾角為.與垂直，則___________.
舉一反三
1．（2022·江西師大附中三模（理））已知均為單位向量，且，則__________．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預測（理））已知向量滿足：，則__________.
3．（2021·重慶一中模擬預測）已知向量，滿足，，，則與的夾角為__.
10．平面向量數量積滿足的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例10：1．（2022·河南開封·模擬預測（理））已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
（2022·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））已知向量，滿足，，則________ .
11．平面向量數量積有關性質的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點間的距離|AB|＝||＝.
(3)設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例11：（2022·全國·高考真題（文））已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
舉一反三
1．已知向量，.
（1）求與夾角的余弦值；（2）若向量與垂直，求實數的值.
2．在平行四邊形中，為一條對角線．若，.
（1）求的值；（2）求的值．
12．向量在平面幾何中的應用
(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：
問題類型 所用知識 公式表示
線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直問題 數量積的運算性質 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b為非零向量
夾角問題 數量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)
長度問題 數量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)
例12：1．如圖，在中，，P是BN上的一點，若，則實數m的值（）
A． B． C． D．
2．（多選）已知A，B，C，D四點的坐標分別為(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，則此四邊形不可能為（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．在四邊形ABCD中，，，，，點E在線段CB的延長線上，且，則______.
舉一反三
1．在平面四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為（ ）
A． B． C．13 D．26
2．如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，點E從D點出發，按字母順序D→A→B→C沿線段DA，AB，BC運動到C點，在此過程中的最大值是（　　）
A．0 B． C．1 D．﹣1
3．（多選）點P是所在平面內一點,滿足,則的形狀不可能是
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
向量在物理中的應用
例13：1．已知兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為 （ ）
A． B． C． D．
2．（多選）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結論中正確的是（ ）
A．越大越費力，越小越省力 B．的取值范圍為
C．當時， D．當時，
舉一反三
1．人騎自行車的速度為，風速為，則逆風行駛的速度為（ ）
A． B． C． D．
2．長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運動時，設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（ ）
A．船受到的拉力不斷增大 B．船受到的拉力不斷變小
C．船受到的浮力不斷變小 D．船受到的浮力保持不變
14．正弦定理及其變形
變式：
例14：1.（2015·北京·高考真題（文））在中，，，，則_________．
2．在中，角分別對應邊，已知，．角，求角．
舉一反三
1．已知：如圖，在梯形中，，，，，求的長
2．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．
（1）求b；（2）求∠A．
15．余弦定理及其推論
例15：1．（2021·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2020·全國·高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．（2019·全國·高考真題（文））△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=
A．6 B．5 C．4 D．3
2.（2014·江蘇·高考真題）若△ABC的內角滿足，則的最小值是_____．
16．常用的三角形面積公式
（1）；
（2） （兩邊夾一角）；
例16：已知，，是中，，的對邊，且，，成等差數列.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
舉一反三
1．在中，a、b、c分別是角A．B．C的對邊，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面積.
17．三角形中常用結論
（1）
（2）
（3）在中，，所以 ①；②；
③；④⑤
例17：1.（2022·上海·高考真題）在△ABC中，，，，則△ABC的外接圓半徑為________
2．在中，角，，的對邊分別為，，，滿足.
（1）求角；
（2）若，的面積為，求的周長..
舉一反三
1．在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，試判斷的形狀
2．在中，角的對邊分別為，且滿足.
（1）求角;
（2）若，求外接圓的半徑.
3．在中，已知.
（1）若外接圓的直徑長為，求的值；
（2）若為銳角三角形，其面積為6，求的取值范圍．
4．在中，，，的對邊分別為，，．已知
（1）求的大小；
（2）已知，求的面積的最大值．
18．實際問題中的常用角
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下文的叫俯角（如圖①）
（2）方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）
注：仰角、俯角、方位角的區別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。
（3）方向角：相對于某一正方向的水平角（如圖③）
如： ①北偏東即由指北方向順時針旋轉到達目標方向；
②“東北方向”表示北偏東（或東偏北）.
（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）
7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三邊上的高相交于一點
重心——三角形三條中線的相交于一點
外心——三角形三邊垂直平分線相交于一點
內心——三角形三內角的平分線相交于一點
旁心——三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點
例18：1.（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．
2.（2021·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
舉一反三
1．小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動場上選取相距20米的C，D兩觀測點，且C，D與教學樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為，，并測得，則教學樓AB的高度是（ ）
A．20米 B．米 C．米 D．25米
2．如圖，半圓的半徑為為直徑延長線上一點，為半圓上任意一點，以為邊做等邊三角形，設.
(1)當時，求四邊形的面積；
(2)求線段長度的最大值，并指出此時的值.
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0
第六章平面向量及其應用（知識通關詳解）
1．向量的有關概念
名稱 定義 備注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量
零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0
單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線
共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量
相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小
相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0
例1：1．下列命題中正確的個數是（ ）
①起點相同的單位向量，終點必相同；
②已知向量，則四點必在一直線上；
③若，則；
④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，
【詳解】對于A，單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，
對于B，向量，則四點共線或，故B錯誤，
對于C，若，當時，不一定平行，故C錯誤，
對于D，若三點共線，則，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，
故選：A
2.如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：
(1)與相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)與的模相等的向量有哪些？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
根據相等向量、相反向量、向量模長的概念，結合圖形進行分析求解即可.
(1)由相等向量定義知：與相等的向量有.
(2)由相反向量定義知：的相反向量有.
(3)由向量模長定義知：與的模相等的向量有.
舉一反三
1．下列結論中，正確的是（ ）
A．零向量只有大小沒有方向 B．
C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等
【答案】B
【分析】根據平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案．
【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；
由于與方向相反，長度相等，故B正確；
因為零向量的模為0，故C錯誤；
與線段的長度相等，故D錯誤．
故選：B．
2．（多選）給出下列命題正確的是（ ）
A．空間中所有的單位向量都相等
B．長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量
C．若滿足，且同向，則
D．對于任意向量，必有
【答案】BD
【分析】根據向量的基本概念即可求解.
【詳解】對于A：向量相等需要滿足兩個條件：
長度相等且方向相同，缺一不可，故A錯；
對于B：根據相反向量的定義可知B正確；
對于C：向量是矢量不能比較大小，故C錯；
對于D：根據三角形三邊關系知正確；
故選：BD.
3．（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個非零向量不一定共線
C．零向量的長度為0 D．方向相反的兩個非零向量必不相等
【答案】ACD
【分析】利用零向量的定義及性質判斷選項A和選項C，利用共線向量的定義判斷選項B，利用相等向量的定義判斷選項D.
【詳解】解：零向量與任一向量平行，零向量的方向不確定，但模確定為0，故A與C都是正確的；根據共線向量的定義，方向相反的兩個非零向量一定共線，故B錯誤；對于D，因為向量相等的定義是長度相等且方向相同的向量，所以方向相反的兩個非零向量必不相等，故D正確．
故選：ACD．
4．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是________．
【答案】,
【分析】根據相等向量的定義確定即可.
【詳解】因為P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，所以，,
因為方向相同，大小相等的向量為相等向量，所以與相等的向量為，.
故答案為：，.
5．下列各量中，向量有：______．（填寫序號）
①濃度；②年齡；③風力；④面積；⑤位移；⑥人造衛星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
【答案】③⑤⑥⑧⑩
【分析】根據向量的概念判斷即可.
【詳解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：風力，位移，人造衛星的速度，向心力，加速度.
故答案為：③⑤⑥⑧⑩.
2.向量的線性運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
例2：1．如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．
【分析】
將的起點移到的終點或將兩個向量的起點移到點，利用三角形法則或平行四邊形法則作出.
【詳解】
將的起點移到的終點，再首尾相接，可得；
將兩個向量的起點移到點，利用平行四邊形法則，以、為鄰邊，作出平行四邊形，則過點的對角線為向量.
如圖所示，．
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
【點睛】
本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數形結合思想，屬于基礎題.
2．計算：
（1）；
（2）；
（3）．
答案．（1）；（2）；（3）.
【分析】
根據向量的加減運算和數乘運算法則運算即可.
【詳解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【點睛】
本題考查向量的加減運算和數乘運算，屬于基礎題.
舉一反三
1.化簡：=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的加減法法則計算．
【詳解】
．
故答案為：．
2．化簡：___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量的線性運算求解.
【詳解】
解：，
，
，
故答案為：
3.在中，，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題可得，即得.
【詳解】
∵，
∴，
∴.
故選：B.
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b＝λa.
例3：1．（2021·山西臨汾·一模（理））已知，，，則（　　）
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
【答案】B
【解析】
【分析】
根據向量的線性運算得到，從而可以獲得答案.
【詳解】
，又∵與有公共點B，∴A，B，D三點共線．
故選：B.
2．如圖，，不共線，且，用，表示．
答案．
【分析】
根據向量的三角形法則可得，再根據得,把用表示出來即可。
【詳解】
解：因為，
所以
．
【點睛】
本題主要考查了向量的三角形法則，屬于基礎題。
舉一反三
1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學三模（理））設，是兩個不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則k＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據共線向量定理可得，解方程即可得到答案；
【詳解】
由題意知，．
，又不共線，
∴.
故答案為：
2.（2022·江蘇·揚州中學模擬預測）已知向量，，若，則（ ）
A． B．2 C．8 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據向量平行的條件及向量的摸的坐表示即可求解.
【詳解】
由，，，得，解得.
所以，所以.
故選：A.
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
例4：1．已知矩形中，為邊中點，線段和交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取中點，可證得四邊形為平行四邊形，得到，結合三角形中位線性質可確定為上靠近的三等分點，從而根據向量線性運算推導得到結果.
【詳解】取中點，連接，交于點，
，，四邊形為平行四邊形，
，又為中點，，同理可得：，
，
.
故選：D.
3．（多選）在菱形中，為的中點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量的加法、減法和數乘向量等線性運算法則求出，再判斷得解.
【詳解】解：對于選項A，，所以該選項錯誤；
對于選項B，，所以該選項正確；
對于選項C，，所以該選項錯誤；
對于選項D，，所以該選項正確.
故選：BD
舉一反三
1．在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用共線定理求出定值，再用基本不等式即可求解.
【詳解】由題知，，
所以，
又因為為線段上任一點，
所以，
所以
當且僅當時等號成立，此時，.
故選：D.
2．（多選）設向量，平面內任一向量都可唯一表示為（），則實數的可能取值是（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
【答案】ABD
【分析】根據平面向量的分解定理中基底選擇的標準可得.
【詳解】根據平面向量的分解定理，兩個向量可作為一組基底必須它們不平行，
與不平行，有解之.
故選：ABD.
3．如圖，向量、、的起點與終點均在正方形網格的格點上，若，則________．
【答案】4
【分析】運用平面向量基本定理，向量加法解決即可.
【詳解】如圖，
，
所以，
因為，
所以，即，
故答案為：4
5．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
例5：1．在中，點在上中點，點是的中點，若，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依題意可得，再根據平面向量線性運算的坐標表示計算可得.
【詳解】解：因為點在上中點，點是的中點，
所以，
又，，
所以.
故選：A
2．已知點，，，則以，，為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】將平行四邊行轉化為向量相等，通過向量的坐標表示可得結果.
【詳解】設點的坐標為，
由于平行四邊形的四個頂點為，
所以可能有以下三種情形：
當時，即，解得，即的坐標為；
當時，即，解得，即的坐標為；
當，即，解得，即的坐標為；
故選：ABC.
舉一反三
1．已知，，則線段中點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通過線段的點和點坐標，由中點坐標公式即可求出線段中點的坐標.
【詳解】在線段中，
，
∴線段中點的坐標為.
故選：D.
2．已知向量，，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出，求模即可.
【詳解】∵，，∴，
∴.
故選：C.
3．已知向量，則_______________．
【答案】
【分析】由平面向量的減法的坐標運算即可求解.
【詳解】因為，所以，
故答案為：
6．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
例6：已知向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據向量平行公式求解即可
【詳解】
由題意知，解得，
故選：．
舉一反三
1．已知兩向量共線，則實數m =_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由共線向量的坐標公式代入即可得出答案.
【詳解】
兩向量共線，所以.
故答案為：.
2.已知向量，，向量，，若，則實數______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據題意可知，不共線，若，則，使得，代入結合向量相等運算．
【詳解】
根據題意可知，不共線
若，則，使得，即
則可得，解得
故答案為：．
7．平面向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b＝|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為__0__.
兩個非零向量a與b垂直的充要條件是 a·b＝0，兩個非零向量a與b平行的充要條件是 a·b＝±|a||b|.
例7：1.（2022·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根據給定模長，利用向量的數量積運算求解即可.
【詳解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
2.（2022·全國·高考真題（理））設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】
設與的夾角為，依題意可得，再根據數量積的定義求出，最后根據數量積的運算律計算可得．
【詳解】
解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，
又，，所以，
所以．
故答案為：．
舉一反三
1．若非零向量滿足，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，根據可得,代入化簡求解夾角余弦值即可.
【詳解】設與的夾角為，
因為，所以，
.
.
故選：D.
2．在中，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量線性運算和向量數量積的運算律可直接求得結果.
【詳解】.
故選：D.
3．（多選）在中，已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】畫出三角形，應用向量線性表示，三角形法則，數量積關系逐項分析即可.
【詳解】如圖所示：
因為，所以，
所以，
故選項A正確，
因為，所以
所以
，
故C選項錯誤，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故選項D正確，
由，
所以在中，因為，
所以，故B正確，
故選：ABD.
4．如圖，在中，，，為的中點，則_____________．
【答案】
【分析】，據此可得答案.
【詳解】.
則.
故答案為：
8．平面向量數量積的幾何意義
數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積．
例8：1．（2022·江蘇淮安·模擬預測）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用在上的投影為1求出，然后可求在上的投影.
【詳解】
因為，在上的投影為1，所以，即；
所以在上的投影為；
故選：C.
舉一反三
（2022·四川·成都七中模擬預測（理））已知，與的夾角為60°，則在上的投影為_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根向量的投影即可求解.
【詳解】
解：由題意得投影為：，
故答案為：
9．平面向量數量積的重要性質
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b a·b＝0；
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
例9：1．（2022·江西·模擬預測（文））已知平面向量的夾角為，且，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據平面向量的模的坐標運算，以及向量的數量積公式，即可求出結果.
【詳解】
因為平面向量的夾角為，且，
所以，
所以.
故選：C.
2．（2021·北京房山·二模）已知單位向量的夾角為.與垂直，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意利用兩個向量的數量積的定義，兩個向量垂直的性質，即可求得的值．
【詳解】
單位向量的夾角為，
，
與垂直，
則實數，
故答案為：
舉一反三
1．（2022·江西師大附中三模（理））已知均為單位向量，且，則__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由題得，平方即可求解.
【詳解】
由可得，
所以，即，所以.
故答案為：1.
2．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預測（理））已知向量滿足：，則__________.
【答案】##-2.5
【解析】
【分析】
根據平面向量垂直的向量表示以及平面向量數量積的運算律可求出結果.
【詳解】
由得，即.
故答案為：.
3．（2021·重慶一中模擬預測）已知向量，滿足，，，則與的夾角為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，，且進行平方可得，利用數量積公式即可得解.
【詳解】
對兩邊平方可得：，
所以，
由，
可得，
所以夾角為，
故答案為：.
10．平面向量數量積滿足的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例10：1．（2022·河南開封·模擬預測（理））已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量垂直及數量積的運算律可得，結合已知即可求m的值.
【詳解】
由題意，
又與的夾角為且為單位向量，
所以，可得.
故選：A
舉一反三
（2022·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））已知向量，滿足，，則________ .
【答案】4
【解析】
【分析】
由垂直關系得到，利用向量數量積運算法則進行計算.
【詳解】
因為，所以，所以
故答案為：4
11．平面向量數量積有關性質的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點間的距離|AB|＝||＝.
(3)設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例11：（2022·全國·高考真題（文））已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得，然后求得.
【詳解】
因為，所以.
故選：D
舉一反三
1．已知向量，.
（1）求與夾角的余弦值；（2）若向量與垂直，求實數的值.
答案．（1）（2）
【分析】
（1）先利用向量數量積的坐標運算及模的運算，再求向量夾角即可；
（2）由向量與垂直等價于，再求解即可.
【詳解】
解：（1），
（2），
又與垂直，
即，
故.
【點睛】
本題考查了向量數量積的坐標運算及模的運算，重點考查了向量垂直的充要條件
2．在平行四邊形中，為一條對角線．若，.
（1）求的值；（2）求的值．
答案．（1）（2）
【分析】
（1）先計算，再利用夾角公式計算得到答案.
（2）先計算，再計算得到答案.
【詳解】
（1）∵四邊形為平行四邊形，∴
∴.
（2）
.
【點睛】
本題考查了向量的計算，意在考查學生的計算能力.
12．向量在平面幾何中的應用
(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：
問題類型 所用知識 公式表示
線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直問題 數量積的運算性質 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b為非零向量
夾角問題 數量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)
長度問題 數量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)
例12：1．如圖，在中，，P是BN上的一點，若，則實數m的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要利用向量的線性運算和即可求解.
【詳解】解：由題意得：
設，則
又由，不共線
，解得：
故選：D
2．（多選）已知A，B，C，D四點的坐標分別為(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，則此四邊形不可能為（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】BCD
【分析】根據題意，求出向量、的坐標，由此可得且，由向量平行的意義分析可得答案.
【詳解】根據題意，A，B，C，D四點坐標分別是（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），
則，，故且，
又A，B，C，D四點不共線，故此四邊形為梯形，即不可能為菱形、矩形、正方形，
故選：BCD．
3．在四邊形ABCD中，，，，，點E在線段CB的延長線上，且，則______.
【答案】1
【分析】建立坐標系利用向量的坐標運算分別寫出向量而求解．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，
因為，，，
則，
又則，
因為，所以，
所以直線的斜率為，
其方程為，
直線的斜率為，
其方程為,
由得，，
所以,
由，，
所以，
故答案為：1.
舉一反三
1．在平面四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為（ ）
A． B． C．13 D．26
【答案】C
【分析】根據判斷AC與BD關系，根據對角線互相垂直的四邊形面積為對角線乘積的一半即可求解.
【詳解】∵，∴AC⊥BD，
所以四邊形ABCD面積為：.
故選：C.
2．如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，點E從D點出發，按字母順序D→A→B→C沿線段DA，AB，BC運動到C點，在此過程中的最大值是（　　）
A．0 B． C．1 D．﹣1
【答案】A
【分析】以B為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出、、點坐標，然后分類討論在線段DA，AB，BC時，并結合數量積的坐標公式求的最大值即可求解.
【詳解】以BC、BA所在直線為x軸、y軸，建立坐標系如圖:
可得，，，，
①當E在DA上，設，其中，
此時，，
故；
②當E在AB上，設，，
此時，
此時最大值為0；
③當E在BC上，設，其中，
，，
此時，
綜上所述，的最大值是0.
故選：A．
3．（多選）點P是所在平面內一點,滿足,則的形狀不可能是
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形
【答案】AD
【解析】由條件可得，再兩邊平方即可得答案.
【詳解】∵P是所在平面內一點，且，
∴，
即，
∴，
兩邊平方并化簡得，
∴，
∴，則一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是鈍角三角形，等邊三角形，
故選：AD.
【點睛】本題考查向量在幾何中的應用，考查計算能力，是基礎題.
向量在物理中的應用
例13：1．已知兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加減法及其幾何意義求解
【詳解】因為兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，
所以的大小為，
故選：B
2．（多選）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結論中正確的是（ ）
A．越大越費力，越小越省力 B．的取值范圍為
C．當時， D．當時，
【答案】AD
【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數量積公式進行求解.
【詳解】對于A，根據題意，得，所以，
解得，因為時，單調遞減，所以越大越費力，越小越省力，故A正確；
對于B，由題意知的取值范圍是，故B錯誤；
對于C，因為，所以當時，，所以，故C錯誤；
對于D，因為，所以當時，，所以，故D正確.
故選：AD.
舉一反三
1．人騎自行車的速度為，風速為，則逆風行駛的速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的加法運算求解.
【詳解】解：由題得v1和 v2都是向量，根據向量的加法運算得逆風行駛的速度為.
故選：C.
2．長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合圖形，利用平面向量的線性運算、數量積公式、模長公式以及兩向量垂直的充要條件求解.
【詳解】由題意知，
則，
因為，，
即，
所以.故A，C，D錯誤.
故選：B.
3．（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運動時，設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（ ）
A．船受到的拉力不斷增大 B．船受到的拉力不斷變小
C．船受到的浮力不斷變小 D．船受到的浮力保持不變
【答案】AC
【分析】根據物體在勻速運動時力的平衡原理作力的分解即可求解.
【詳解】設水的阻力為，船受到的拉力為 ，與水平方向的夾角為，
則 ，故 ，因為不斷增大，所以不斷減小，
故 不斷增大.因為 不斷增大，所以船受到的浮力不斷減小；
故選：AC.
14．正弦定理及其變形
變式：
例14：1.（2015·北京·高考真題（文））在中，，，，則_________．
【答案】
【解析】
【詳解】
由正弦定理，得，即，所以，所以.
考點：正弦定理.
2．在中，角分別對應邊，已知，．角，求角．
1．
【分析】
先通過正弦定理求出，再根據三角形的內角和為求出.
【詳解】
解：由正弦定理得，
即，解得，
因為，則必為銳角，
，
.
【點睛】
本題考查正弦定理的應用，是基礎題.
舉一反三
1．已知：如圖，在梯形中，，，，，求的長
答案．
【分析】
先在求得,即得,再利用余弦定理求的長.
【詳解】
因為，，所以為正三角形，
所以
因為，，所以
因此
【點睛】
本題考查余弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
2．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．
（1）求b；
（2）求∠A．
．（1）；（2）∠A＝120°.
【分析】
由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，進而求出∠A的值．
【詳解】
（1）由正弦定理得＝可得，
＝＝，所以b＝＝5．
（2）由余弦定理得
cosA＝＝＝，又因為，
所以∠A＝120°．
【點睛】
本題考查正弦定理、余弦定理的應用，屬基礎題，根據正弦定理求出b的值，是解題的關鍵．
15．余弦定理及其推論
例15：1．（2021·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.
【詳解】
設，
結合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故選：D.
【點睛】
利用余弦定理及其推論解三角形的類型：
(1)已知三角形的三條邊求三個角；
(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；
(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．
2．（2020·全國·高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據已知條件結合余弦定理求得，再根據，即可求得答案.
【詳解】
在中，，，
根據余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故選：A.
【點睛】
本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.
舉一反三
1．（2019·全國·高考真題（文））△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推論得出a，b，c關系，在結合正弦定理邊角互換列出方程，解出結果.
【詳解】
詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得
，故選A．
【點睛】
本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用．
2.（2014·江蘇·高考真題）若△ABC的內角滿足，則的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【詳解】
試題分析：由正弦定理有,所以,,由于,故,所以的最小值是.
考點：1.正弦定理；2.余弦定理的推論；3.均值不等式.
【思路點晴】本題主要考查了余弦定理的推論及均值不等式求最值，屬于中檔題.在本題中，由正弦定理把化為，再由余弦定理推論求出的表達式，還用到用均值不等式求出，再算出結果來.
16．常用的三角形面積公式
（1）；
（2） （兩邊夾一角）；
例16：已知，，是中，，的對邊，且，，成等差數列.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
答案．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，，成等差數列，得，再結合三角形內角和定理可求得結果；
（2）直接利用三角形的面積公式求解即可
【詳解】
（1）因為角，，成等差數列
所以
又∵，所以.
（2）∴
【點睛】
此題考查等差數列的性質的應用，考查三角形的面積公式的應用，屬于基礎題
舉一反三
1．在中，a、b、c分別是角A．B．C的對邊，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面積.
8．（1）；（2）.
【分析】
（1）根據正弦定理，將邊化角，利用三角恒等變換以及三角形內角關系，即可求出結果；
（2）利用余弦定理以及已知條件，即可求出，再根據，即可求出結果.
【詳解】
解：（1）
∴
∵，∴，
∴，
又∵，∴
（2）∵，
∴，
∴，∴.
【點睛】
本題主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式在解三角形中的應用，屬于基礎題.
17．三角形中常用結論
（1）
（2）
（3）在中，，所以 ①；②；
③；④⑤
例17：1.（2022·上海·高考真題）在△ABC中，，，，則△ABC的外接圓半徑為________
【答案】##
【解析】
【分析】
運用正弦定理及余弦定理可得解.
【詳解】
根據余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圓半徑為.
故答案為:.
2．在中，角，，的對邊分別為，，，滿足.
（1）求角；
（2）若，的面積為，求的周長.
答案．（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理可得，結合運算即可；
（2）由余弦定理結合三角形的面積公式可得解.
【詳解】
解：（1）由正弦定理可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，
則；
（2）由余弦定理可得，
得，
化簡得，
又，則，
解得，或，，
所以三角形周長為.
【點睛】
本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了三角形的面積公式，屬基礎題.
舉一反三
1．在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，試判斷的形狀
答案．（Ⅰ）；（Ⅱ）等邊三角形.
【分析】
（1）由已知三邊關系，結合余弦定理即可求角A；
（2）由正弦定理的邊角互化，應用兩角和正弦公式可得，結合（1）的結論即可知的形狀．
【詳解】
（Ⅰ）∵，整理得，
∴，
∴．
（Ⅱ）由正弦定理，得，而，
∴，即，
∴，
∴，
∴為等邊三角形．
【點睛】
本題考查了正余弦定理，根據三邊關系應用余弦定理求角，由正弦定理的邊角互化、兩角和正弦公式判斷三角形形狀，屬于基礎題.
2．在中，角的對邊分別為，且滿足.
（1）求角;
（2）若，求外接圓的半徑.
13．（1）；（2）.
【分析】
(1)利用正弦定理邊化角公式可得,再將
整理可得
(2)根據余弦定理可得再根據正弦定理求出,即可得
【詳解】
解:(1)由正弦定理知
有，且
所以
(2)
所以
【點睛】
本題考查正弦定理和余弦定理的應用,屬于基礎題.
3．在中，已知.
（1）若外接圓的直徑長為，求的值；
（2）若為銳角三角形，其面積為6，求的取值范圍．
答案．（1）6；（2）．
【分析】
由三角形內角求得，
（1）由正弦定理可得；
（2）由三角形面積得，利用正弦定理可把用表示為，這樣只要求得的范圍即可．，展開后應用二倍角公式，輔助角公式化為形式，然后結合正弦函數性質可得范圍，其中可求得．
【詳解】
（1）由已知，又，∴，，
由解得，，
由正弦定理得，∴．
（2）由（1），，則，∴．
由正弦定理得，，，，
，其中且為銳角，
，
∴時，，，
時，，，
∴的范圍是．
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查正弦定理，三角形面積公式，考查三角函數的恒等變換．關鍵是由正弦定理用角表示出邊，再利用三角函數性質得出邊的范圍．
4．在中，，，的對邊分別為，，．已知
（1）求的大小；
（2）已知，求的面積的最大值．
答案．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理將邊化角，結合誘導公式可化簡邊角關系式，求得即可求解；
（2）利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結果.
【詳解】
（1）由，化簡可知，，
得，
由，故．
（2）由，得，
故，
當且僅當時取等號，
所以面積的最大值為．
【點睛】
關鍵點點睛：由正弦定理進行邊角轉化是化簡三角恒等式的關鍵，求面積的最值轉化為求的最值，合理使用均值不等式求最值，是解決問題的關鍵.
18．實際問題中的常用角
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下文的叫俯角（如圖①）
（2）方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）
注：仰角、俯角、方位角的區別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。
（3）方向角：相對于某一正方向的水平角（如圖③）
如： ①北偏東即由指北方向順時針旋轉到達目標方向；
②“東北方向”表示北偏東（或東偏北）.
（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）
7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三邊上的高相交于一點
重心——三角形三條中線的相交于一點
外心——三角形三邊垂直平分線相交于一點
內心——三角形三內角的平分線相交于一點
旁心——三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點
例18：1.（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
根據題中所給的公式代值解出．
【詳解】
因為，所以．
故答案為：.
2.（2021·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
【分析】
通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．
【詳解】
過作，過作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因為，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點睛】
本題關鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉化為．
舉一反三
1．小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動場上選取相距20米的C，D兩觀測點，且C，D與教學樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為，，并測得，則教學樓AB的高度是（ ）
A．20米 B．米 C．米 D．25米
【答案】A
【分析】根據仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.
【詳解】設教學樓的高度為，
在直角三角形中，因為，所以，
在直角三角形中，因為，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
代入數值可得解得或（舍），
故選:A.
2．如圖，半圓的半徑為為直徑延長線上一點，為半圓上任意一點，以為邊做等邊三角形，設.
(1)當時，求四邊形的面積；
(2)求線段長度的最大值，并指出此時的值.
【答案】(1)
(2)線段的最大值為，此時
【分析】（1）根據余弦定理求，再根據三角形面積公式求出兩個三角形面積相加可得解；
（2）根據余弦定理求出，根據正弦定理和兩角和的余弦公式求出，再根據余弦定理求出關于的關系式，根據正弦函數的最值可求出結果.
【詳解】（1）在中，
，
因為為等邊三角形，所以，
又，
所以四邊形的面積為.
（2）在中，，
所以，
因為為等邊三角形，所以，
在中，，，
，
所以
，
在中，
，
因為，所以當時，取得最大值，
所以的最大值為，此時.
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將來的有一天，你會感謝現在努力的你！

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