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0第七章 復數（知識通關詳解）
復數的定義：設為方程的根，稱為虛數單位，形如的數，稱為復數.所有復數構成的集合稱復數集,通常用來表示.
a為實部，b為虛部
2．復數集
例1：1．（2020·全國·高考真題（理））復數的虛部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知復數z滿足，則z的實部為（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．（2020·江蘇·高考真題）已知是虛數單位，則復數的實部是_____.
2．已知（），則a+b的值為（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．的虛部是_____．
復數的幾何意義
對任意復數z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將(a,b)作為坐標平面內點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數集與坐標平面內所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復數可以用點來表示，表示復數的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數z又對應唯一一個向量。
(
復數
復平面
內的點
Z（a,b）
平面向量
)
例2：1．（2021·全國·高考真題）復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2020·北京·高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則（ ）．
A． B． C． D．
.2．（2019·全國·高考真題（理））設z=-3+2i，則在復平面內對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
舉一反三
1．已知復數，則在復平面上對應的點所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知復數，則在復平面內對應的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖所示，若向量對應的復數為，則復數為（ ）
A． B． C． D．
4．在復平面內，若表示復數的點在第四象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
兩個復數相等的定義：且（其中）特別地，.
例3：1．（2022·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實數，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．若,其中是虛數單位,則的值分別等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知i為虛數單位，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（多選）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知是方程的一個虛根，則實數的值為___________.
復數的四則運算
設，
（1）加法：，即實部與實部相加，虛部與虛部相加；
例4：設，，，若為純虛數，則實數的值為（ ）.
A． B．0 C．1 D．1或
舉一反三
（2021·全國·高考真題（理））設，則（ ）
A． B． C． D．
（2）減法：，即實部與實部相減，虛部與虛部相減；
例5：（2022·山東聊城·三模）若復數z滿足，則復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海交大附中模擬預測）已知、，且，（其中為虛數單位），則____________．
舉一反三
1．（多選）已知（ ）
A．虛部為1 B． C． D．
2．______．（其中i是虛數單位）
3．在平行四邊形ABCD中，若點A，C分別對應于復數，，則A，C兩點間的距離為______．
（3）乘法： ， 特別；
例6：1．（2022·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．（2019·北京·高考真題（理））已知復數z=2+i，則
A． B． C．3 D．5
（4）除法（是均不為0的實數）的化簡就是通過分母實數化的方法將分母化為實數，即分子分母同時乘以分母的共軛復數，然后再化簡：；
（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合于復數的情況。即對有:
, ,
例7：（2021·天津·高考真題）是虛數單位，復數_____________．
舉一反三
1．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知是虛數單位，設復數，其中，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6 共軛復數
若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；特別地，虛部不為的兩個共軛復數也叫做共軛虛數；【注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]】
若z=a+bi，則的共軛復數記作；
為實數，為純虛數(b≠0).
共軛復數的性質：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，則.
例7：1．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題（理））若，則（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．（2020·全國·高考真題（文））若，則z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
2．（2019·全國·高考真題（文））設z=i(2+i)，則=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
3．在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．設復數z＝1+i，則2＝（ ）
A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i
7 復數的摸
若向量表示復數，則稱的模為復數的模，
例8：1．（2022·全國·高考真題（文））若．則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真題）若復數z滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
舉一反三
1．復數，則（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
2．若，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知復數滿足（其中為虛數單位），則復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
4．設，則=（ ）
A．2 B． C． D．1
5．設，其中是虛數單位，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
8.復數的三角形式
1 、復數的三角形式
　　 (1) 復數的幅角：設復數 Z=a ＋ bi 對應向量 ，以 x 軸的正半軸為始邊，向量 所在的射線 ( 起點為 O) 為終邊的角 θ ，叫做復數 Z 的輻角，記作 ArgZ ，其中適合 0≤θ<2π 的輻角 θ 的值，叫做輻角的主值，記作 argZ ．
　　說明：不等于零的復數 Z 的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差 2π 的整數倍．
　　 (2) 復數的三角形式： r(cosθ ＋ isinθ) 叫做復數 Z=a ＋ bi 的三角形式，其中 ．
　　說明：任何一個復數 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(cosθ ＋ isinθ) 的形式．其中 r 為 Z 的模， θ 為 Z 的一個輻角．
　 2 、復數的三角形式的運算：
　　設 Z=r(cosθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (cosθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (cosθ 2 ＋ isinθ 2 ) ．則
　　
例9：1．復數與都是純虛數，則（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
舉一反三
1．（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．（多選）已知為虛數單位，若，，…，，則.特別地，如果，那么，這就是法國數學家棣莫佛（1667—1754年）創立的棣莫佛定理.根據上述公式，可判斷下列命題錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
4．（多選）歐拉公式（其中是虛數單位，）是由瑞典著名數學家歐拉創立的，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天驕，依據歐拉公式，下列選項正確的是（ ）
A．復數對應的點位于第一象限 B．復數的模長等于
C．為純虛數 D．
5．把復數（i為虛數單位）改寫成三角形式為______．
6．寫出一個的復數______．
提升練習
一、單選題
1．在復平面內，復數對應的點為，則（ ）
A． B． C． D．
2．設，則（ ）
A． B． C．2 D．5
3．在復數范圍內，復數的共軛復數的模是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在復平面內，復數z所對應的點為，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知復數是關于的方程的一個根，則（ ）
A．4 B． C． D．
6．已知復數，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．設，則z的共軛復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
8．已知是虛數單位，復數，且，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
9．已知復數，則下列結論中正確的是（ ）
A．z對應的點位于第二象限 B．的虛部為2 C． D．
10．若復數，，則下列說法正確的是（ ）．
A． B．在復平面內，復數所對應的點位于第四象限
C．的實部為13 D．的虛部為
三、填空題
11．已知，復數，若的虛部為1，則_________.
12．已知i為虛數單位，則復數對應的點的坐標為______．
13．已知復數z滿足，則z的虛部為______.
14．歐拉是十八世紀偉大的數學家，他巧妙地把自然對數的底數、虛數單位i、三角函數和聯系在一起，得到公式，這個公式被譽為“數學的天橋”，根據該公式，可得_________．
四、解答題
15．已知a，bR，i是虛數單位，若復數與=2+bi互為共軛復數.
(1)判斷復平面內對應的點在第幾象限;
(2)計算.
16．已知復數（a，），存在實數t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
/
0
第七章 復數（知識通關詳解）
復數的定義：設為方程的根，稱為虛數單位，形如的數，稱為復數.所有復數構成的集合稱復數集,通常用來表示.
a為實部，b為虛部
2．復數集
例1：1．（2020·全國·高考真題（理））復數的虛部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用復數的除法運算求出z即可.
【詳解】
因為，
所以復數的虛部為.
故選：D.
【點晴】
本題主要考查復數的除法運算，涉及到復數的虛部的定義，是一道基礎題.
2．已知復數z滿足，則z的實部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化簡得到，從而得到z的實部.
【詳解】，
故z的實部為.
故選：B.
舉一反三
1．（2020·江蘇·高考真題）已知是虛數單位，則復數的實部是_____.
【答案】3
【解析】
【分析】
根據復數的運算法則，化簡即可求得實部的值.
【詳解】
∵復數
∴
∴復數的實部為3.
故答案為：3.
【點睛】
本題考查復數的基本概念，是基礎題．
2．已知（），則a+b的值為（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據得到，從而求出的值，得到答案.
【詳解】，故，所以，.
故選：C
3．的虛部是_____．
【答案】
【分析】利用復數的概念求解.
【詳解】解：因為復數為，
所以其虛部是，
故答案為：
復數的幾何意義
對任意復數z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將(a,b)作為坐標平面內點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數集與坐標平面內所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復數可以用點來表示，表示復數的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數z又對應唯一一個向量。
(
復數
復平面
內的點
Z（a,b）
平面向量
)
例2：1．（2021·全國·高考真題）復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用復數的除法可化簡，從而可求對應的點的位置.
【詳解】
，所以該復數對應的點為，
該點在第一象限，
故選：A.
2．（2020·北京·高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據復數幾何意義得，再根據復數乘法法則得結果.
【詳解】
由題意得，.
故選：B.
【點睛】
本題考查復數幾何意義以及復數乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
2．（2019·全國·高考真題（理））設z=-3+2i，則在復平面內對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出共軛復數再判斷結果.
【詳解】
由得則對應點（-3，-2）位于第三象限．故選C．
【點睛】
本題考點為共軛復數，為基礎題目．
舉一反三
1．已知復數，則在復平面上對應的點所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案．A
【分析】
根據復數對應的點即可判斷.
【詳解】
復數在復平面上對應的點為，在第一象限.
故選：A.
【點睛】
本題考查復數的幾何意義，屬于基礎題.
2．已知復數，則在復平面內對應的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
答案．C
【分析】
由題化簡可得：，即可可得.
【詳解】
由題得，
在復平面內對應的點的坐標為，
故選：C.
【點睛】
本題考查了復數和復平面上的點對應關系，考查了復數的運算性質，屬于基礎題.
3．如圖所示，若向量對應的復數為，則復數為（ ）
A． B． C． D．
答案．A
【分析】
由圖形得復數對應點的坐標，利用復數的運算法則求解.
【詳解】
由題意可得 ，所以.
故選：A.
【點睛】
本題考查復數的運算、幾何意義，屬于基礎題.
4．在復平面內，若表示復數的點在第四象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
答案．A
【分析】
根據復數對應的點所在象限列出不等式組求解，即可得出結果.
【詳解】
因為表示復數的點在第四象限，
所以，解得.
故選：A.
【點睛】
本題主要考查由復數對應的點所在象限求參數，涉及不等式的解法，屬于基礎題型.
兩個復數相等的定義：且（其中）特別地，.
例3：1．（2022·全國·高考真題（理））已知，且，其中a，b為實數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可
【詳解】
由,得,即
故選:
2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用復數相等的條件可求.
【詳解】
，而為實數，故，
故選：B.
舉一反三
1．若,其中是虛數單位,則的值分別等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將等式合并計算結果,求出即可.
【詳解】解:由題知,
,
.
故選:C
2．已知i為虛數單位，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件求得，的值，從而求得結果.
【詳解】∵，
∴，，
∴，
故選：B.
3．（多選）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據復數相等的定義得解.
【詳解】，，
，，，
故選：AD.
4．已知是方程的一個虛根，則實數的值為___________.
【答案】26
【分析】根據方程虛根的定義，將代入方程，計算化簡即可求解.
【詳解】由是方程的一個虛根，
得，
整理，得，
則，解得.
故答案為：26.
復數的四則運算
設，
（1）加法：，即實部與實部相加，虛部與虛部相加；
例4：設，，，若為純虛數，則實數的值為（ ）.
A． B．0 C．1 D．1或
答案．A
【分析】
利用復數的加法運算以及復數的概念即可求解.
【詳解】
由，，
則，
若為純虛數，則，解得.
故選：A
【點睛】
本題考查了復數的加法運算、復數的概念，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.
舉一反三
（2021·全國·高考真題（理））設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設，利用共軛復數的定義以及復數的加減法可得出關于、的等式，解出這兩個未知數的值，即可得出復數.
【詳解】
設，則，則，
所以，，解得，因此，.
故選：C.
（2）減法：，即實部與實部相減，虛部與虛部相減；
例5：（2022·山東聊城·三模）若復數z滿足，則復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設，利用共軛復數的定義、復數的加法以及復數相等可求得的方程，解出的值，即可得解.
【詳解】
設，則，
因為，則，所以，，解得，
因此，復數的虛部為.
故選：B.
2．（2022·上海交大附中模擬預測）已知、，且，（其中為虛數單位），則____________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用復數的減法化簡可得結果.
【詳解】
.
故答案為：.
舉一反三
1．（多選）已知（ ）
A．虛部為1 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根據虛部的定義即可判斷A；根據共軛復數及復數的乘法運算即可判斷B；根據復數的模的計算公式即可判斷C；根據復數的加法運算即可判斷D.
【詳解】解：因為，
所以虛部為，故A錯誤；
，，故B正確；
，故C正確；
，故D正確.
故選：BCD.
2．______．（其中i是虛數單位）
【答案】
【分析】根據復數的減法運算，實部與實部相減，虛部與虛部相減.
【詳解】
故答案為：
3．在平行四邊形ABCD中，若點A，C分別對應于復數，，則A，C兩點間的距離為______．
【答案】5
【分析】根據復數減法的幾何意義求出向量對應的復數，再根據復數的模的計算公式即可求解．
【詳解】依題意得對應的復數為，
所以A，C兩點間的距離為．
故答案為：5．
（3）乘法： ， 特別；
例6：1．（2022·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用復數的乘法可求.
【詳解】
，
故選：D.
舉一反三
1．（2019·北京·高考真題（理））已知復數z=2+i，則
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
題先求得，然后根據復數的乘法運算法則即得.
【詳解】
∵ 故選D.
【點睛】
本題主要考查復數的運算法則，共軛復數的定義等知識，屬于基礎題..
（4）除法（是均不為0的實數）的化簡就是通過分母實數化的方法將分母化為實數，即分子分母同時乘以分母的共軛復數，然后再化簡：；
（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合于復數的情況。即對有:
, ,
例7：（2021·天津·高考真題）是虛數單位，復數_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用復數的除法化簡可得結果.
【詳解】
.
故答案為：.
舉一反三
1．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用復數的除法可求，從而可求.
【詳解】
由題設有，故，故，
故選：D
2．已知為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
答案．C
【分析】
對的分子分母同乘以，再化簡整理即可求解.
【詳解】
，
故選：C
3．已知是虛數單位，設復數，其中，則的值為（ ）
A． B． C． D．
答案．D
【分析】
先化簡，求出的值即得解.
【詳解】
，
所以.
故選：D
6 共軛復數
若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；特別地，虛部不為的兩個共軛復數也叫做共軛虛數；【注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]】
若z=a+bi，則的共軛復數記作；
為實數，為純虛數(b≠0).
共軛復數的性質：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，則.
例7：1．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用復數的乘法和共軛復數的定義可求得結果.
【詳解】
因為，故，故
故選：C.
2．（2022·全國·高考真題（理））若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由共軛復數的概念及復數的運算即可得解.
【詳解】
故選 ：C
舉一反三
1．（2020·全國·高考真題（文））若，則z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法運算求得，再利用共軛復數的概念得到即可.
【詳解】
因為，所以.
故選：D
【點晴】
本題主要考查復數的除法運算，涉及到共軛復數的概念，是一道基礎題.
2．（2019·全國·高考真題（文））設z=i(2+i)，則=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
【答案】D
【解析】
【分析】
本題根據復數的乘法運算法則先求得，然后根據共軛復數的概念，寫出．
【詳解】
，
所以，選D．
【點睛】
本題主要考查復數的運算及共軛復數，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．理解概念，準確計算，是解答此類問題的基本要求．部分考生易出現理解性錯誤．
3．在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案．D
【分析】
先對復數化簡，從而可得其共軛復數，進而可得答案
【詳解】
解：因為，
所以，
所以對應的點位于第四象限，
故選：D
4．設復數z＝1+i，則2＝（ ）
A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i
答案．A
【分析】
由z求得，再利用復數的乘方運算求解即可.
【詳解】
∵z＝1+i，
∴＝（1﹣i）2
＝﹣2i.
故選：A.
【點睛】
本題主要考查共軛復數的定義，考查了復數出乘方運算，屬于基礎題.
7 復數的摸
若向量表示復數，則稱的模為復數的模，
例8：1．（2022·全國·高考真題（文））若．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據復數代數形式的運算法則，共軛復數的概念以及復數模的計算公式即可求出．
【詳解】
因為，所以，所以．
故選：D.
2．（2022·北京·高考真題）若復數z滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
利用復數四則運算，先求出，再計算復數的模．
【詳解】
由題意有，故．
故選：B．
舉一反三
1．復數，則（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
答案．D
【分析】
先根據復數的除法運算計算復數z,再根據復數模的公式計算即可得答案.
【詳解】
解：，
則，
故選：D．
【點睛】
本題考查復數的除法運算，模的計算，是基礎題.
2．若，則（ ）
A． B． C． D．
答案．C
【分析】
先求出，即可求出.
【詳解】
，
，
.
故選：C.
【點睛】
本題考查復數的乘法運算，考查復數的模的計算，屬于基礎題.
3．已知復數滿足（其中為虛數單位），則復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
答案．A
【分析】
由復數的除法運算及模的運算可得，再結合復數虛部的概念即可得解.
【詳解】
解：復數滿足，
則，
即復數的虛部為，
故選：A.
【點睛】
本題考查了復數的除法運算及模的運算，重點考查了復數虛部的概念，屬于容易題.
4．設，則=（ ）
A．2 B． C． D．1
答案．D
【分析】
先化簡，即得解.
【詳解】
由題得，
所以.
故選：D
【點睛】
本題主要考查復數的除法運算和模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
5．設，其中是虛數單位，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
答案．C
【分析】
先根據完全平方公式和復數的運算計算出，再根據復數的模的求法解出即可.
【詳解】
解：因為，
所以.
故選：C.
【點睛】
本題考查復數的運算和復數的模的求法，屬于基礎題.
8.復數的三角形式
1 、復數的三角形式
　　 (1) 復數的幅角：設復數 Z=a ＋ bi 對應向量 ，以 x 軸的正半軸為始邊，向量 所在的射線 ( 起點為 O) 為終邊的角 θ ，叫做復數 Z 的輻角，記作 ArgZ ，其中適合 0≤θ<2π 的輻角 θ 的值，叫做輻角的主值，記作 argZ ．
　　說明：不等于零的復數 Z 的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差 2π 的整數倍．
　　 (2) 復數的三角形式： r(cosθ ＋ isinθ) 叫做復數 Z=a ＋ bi 的三角形式，其中 ．
　　說明：任何一個復數 Z=a ＋ bi 均可表示成 r(cosθ ＋ isinθ) 的形式．其中 r 為 Z 的模， θ 為 Z 的一個輻角．
　 2 、復數的三角形式的運算：
　　設 Z=r(cosθ ＋ isinθ) ， Z 1 =r 1 (cosθ 1 ＋ isinθ 1 ) ， Z 2 =r 2 (cosθ 2 ＋ isinθ 2 ) ．則
　　
例9：1．復數與都是純虛數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據題意，先設（且），代入，再根據其為純虛數求解.
【詳解】
設純虛數（且），
則，
又是純虛數，
所以，
解得，
所以.
故選：C
【點睛】
本題主要考查了算數的概念，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先將2化為三角形式，再用除法法則計算即可.
【詳解】
.
故選：B.
【點睛】
本題考查復數三角形式的除法法則，屬基礎題，注意本題中將實數轉化為三角形式的細節.
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據復數的乘法法則，進行整理化簡即可.
【詳解】
故選：D.
【點睛】
本題考查復數的三角形式的乘法，屬基礎題.
舉一反三
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據復數三角形式的除法法則，進行計算即可.
【詳解】
故選：C.
【點睛】
本題考查三角形式的除法法則，屬基礎題.
2．（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據復數的乘法法則，進行整理化簡即可.
【詳解】
故選：C.
【點睛】
本題考查復數的三角形式的乘法，屬基礎題.
3．（多選）已知為虛數單位，若，，…，，則.特別地，如果，那么，這就是法國數學家棣莫佛（1667—1754年）創立的棣莫佛定理.根據上述公式，可判斷下列命題錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】BCD
【分析】根據題目中的已知條件，依次判斷各項正誤.
【詳解】A.若，則，所以該選項正確；
B.若，則，所以該選項錯誤；
C.若，，則
，所以該選項錯誤；
D.，，則
.所以該選項錯誤.
故選：BCD.
4．（多選）歐拉公式（其中是虛數單位，）是由瑞典著名數學家歐拉創立的，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天驕，依據歐拉公式，下列選項正確的是（ ）
A．復數對應的點位于第一象限 B．復數的模長等于
C．為純虛數 D．
【答案】BD
【分析】根據歐拉公式的定義，有、、、，結合對應三角函數值及復數三角形式的除法運算即可知各選項的正誤.
【詳解】A：，而，則、，故位于第二象限，錯誤；
B：，則其模長為，正確；
C：，則為實數，錯誤；
D：，正確；
故選：BD
5．把復數（i為虛數單位）改寫成三角形式為______．
【答案】
【分析】根據復數三角表示的定義求解即可.
【詳解】由題可得，且在第三象限，
所以輻角的主值為，
所以，
故答案為：.
6．寫出一個的復數______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據復數三角形式寫出一個滿足的復數即可.
【詳解】由題設，且，而，
所以滿足要求.
故答案為：（答案不唯一）
提升練習
一、單選題
1．在復平面內，復數對應的點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由復數對應的點的坐標得到，利用復數除法法則計算出答案.
【詳解】由題意可知，所以.
故選：C.
2．設，則（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【分析】將復數化簡后再求共軛復數的模長,
【詳解】解：，，∴．
故選：B．
3．在復數范圍內，復數的共軛復數的模是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數的除法運算可得，再結合共軛復數和模的概念求解.
【詳解】因為復數，
所以，其模為．
故選：B．
4．已知在復平面內，復數z所對應的點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得復數，再進行除法運算即可.
【詳解】依題意，．
故選：A.
5．已知復數是關于的方程的一個根，則（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】將代入方程，利用復數相等得到方程組解出，再利用模長公式求解即可.
【詳解】由題意可得，
即，
所以，
所以，解得，
所以，
故選：C
6．已知復數，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據復數代數形式的乘法運算化簡復數，再根據復數的幾何意義判斷即可.
【詳解】解：因為，所以，
所以在復平面內對應的點的坐標為位于第三象限.
故選：C
7．設，則z的共軛復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用復數的除法化簡，再求出z的共軛復數，得到所求虛部.
【詳解】由題可得，則，所以z的共軛復數的虛部為.
故選：A．
8．已知是虛數單位，復數，且，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先由模等于1得，則點為圓上的點,
再結合的幾何意義即可求出最值.
【詳解】若,即,點為圓上的點,
，
則其幾何意義為圓上的點到點之間的距離,
則的最大值為
故選：C.
二、多選題
9．已知復數，則下列結論中正確的是（ ）
A．z對應的點位于第二象限 B．的虛部為2
C． D．
【答案】CD
【分析】利用復數的乘除運算、模運算，以及復數的幾何意義求解.
【詳解】，所以，
z對應的點位于第一象限，A錯誤；
的虛部為,B錯誤；
，C正確；
，D正確，
故選:CD.
10．若復數，，則下列說法正確的是（ ）．
A．
B．在復平面內，復數所對應的點位于第四象限
C．的實部為13
D．的虛部為
【答案】ABC
【分析】由復數模長的定義可判斷A；由復數的幾何意義可判斷B；求出可判斷C，D.
【詳解】由題意得，，故A正確；
在復平面內，復數所對應的點為，位于第四象限，故B正確；
∵，
∴的實部為13，虛部為11，故C正確，D錯誤．
故選:ABC．
三、填空題
11．已知，復數，若的虛部為1，則_________.
【答案】
【分析】根據復數的除法法則計算出，從而列出方程，求出的值.
【詳解】，
.
故答案為：-2
12．已知i為虛數單位，則復數對應的點的坐標為______．
【答案】
【分析】根據復數的乘法運算，結合復數的幾何意義，可直接得出結果.
【詳解】，所以復數在復平面內對應的點的坐標為.
故答案為：.
13．已知復數z滿足，則z的虛部為______.
【答案】
【分析】設復數，利用共軛復數的概念和復數的運算解求解.
【詳解】設復數，則，
又復數z滿足，即，
所以，解得：，則，所以的虛部為，
故答案為：.
14．歐拉是十八世紀偉大的數學家，他巧妙地把自然對數的底數、虛數單位i、三角函數和聯系在一起，得到公式，這個公式被譽為“數學的天橋”，根據該公式，可得_________．
【答案】
【分析】根據歐拉公式與復數的相關運算求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故答案為：.
四、解答題
15．已知a，bR，i是虛數單位，若復數與=2+bi互為共軛復數.
(1)判斷復平面內對應的點在第幾象限;
(2)計算.
【答案】(1)在第一象限
(2)3+4i
【分析】（1）根據共軛復數的定義求得，得復數，再得其對應點的坐標，從而得其所在象限；
（2）由復數的乘方法則計算．
【詳解】（1）因為復數與=2+bi互為共軛復數，
則a=2，b=1，=2+i，其對應的點為，
故在第一象限;
（2）．
16．已知復數（a，），存在實數t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）對化簡整理可得，結合復數的相等分析運算；（2）根據復數模長的定義和公式，結合運算求解.
【詳解】（1）∵，則，
由復數相等，消去t得，
故為定值.
（2）∵，且
∴，
又∵，即，則，整理得，
∴原不等式組即為，解得，
故a的取值范圍為.
/
將來的有一天，你會感謝現在努力的你！

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