資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
概率
一．有限樣本空間
1 .隨機試驗
我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗（random experiment),簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：
(1)試驗可以在相同條件下重復進行；
(2)試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個；
(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.
2.樣本空間
我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間（sample space).
我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1, ω2,..., ωn,則稱樣本空間Ω={ω1, ω2,..., ωn,}為有限樣本空間.
例1：1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間。
2.同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y)．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗的樣本點的總數；
(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y”呢？
舉一反三
1.拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時朝上的面的點數，寫出試驗的樣本空間.
2.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間
3．做擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用(x，y)表示結果，其中x表示紅色骰子出現的點數，y表示藍色骰子出現的點數，則這個試驗不同的結果數有________種．
二、隨機事件
一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件（random event),簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件（elementary event).
1、必然事件
在一定條件下，必然會發生的事件叫作必然事件.
2、不可能事件
在一定條件下，一定不會發生的事件叫作不可能事件.
3、隨機事件
在一定條件下，可能發生，也可能不發生的事件叫作隨機事件，一般用大寫字母，，來表示隨機事件.
4、確定事件
必然事件和不可能事件統稱為相對于隨機事件的確定事件.
例2：1．一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球，這些球的大小、質地完全相同，隨機從袋子中摸出4個球，則下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的4個球中至少有一個是白球
B．摸出的4個球中至少有一個是黑球
C．摸出的4個球中至少有兩個是黑球
D．摸出的4個球中至少有兩個是白球
2．下列事件中不可能發生的是（ ）
A．打開電視機，中央一臺正在播放新聞
B．我們班的同學將來會有人當選為勞動模范
C．在空氣中，光的傳播速度比聲音的傳播速度快
D．太陽從西邊升起
舉一反三：
1．“是實數，”這一事件是（ ）
A．必然事件 B．不確定事件
C．不可能事件 D．隨機事件
2．下列事件：①在足球賽中，弱隊戰勝強隊；②拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上；③任取兩個正整數，其和大于1；④長分別為3厘米，5厘米，9厘米的三條線段能圍成一個三角形．其中確定事件的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．在12件同類產品中，有10件正品，2件次品.從中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品；
②至少有1件是次品；
③3件都是次品；
④至少有1件是正品.
隨機事件有__________，必然事件有__________，不可能事件有__________.
事件的關系和運算
1、包含關系
一般地，對于事件與事件，如果事件發生時，事件一定發生，則我們稱
事件包含事件（或稱事件包含于事件），記作（或）.
2、相等關系
一般地，對于事件與事件，如果事件發生時，事件一定發生，并且如果事件發生時，事件一定發生，即若且，則我們稱事件與事件相等，記作.
3、并事件
如果某事件發生當且僅當事件或事件發生，則我們稱該事件為事件與事件
的并事件（或和事件），記作（或）.
4、交事件
如果某事件發生當且僅當事件發生且事件也發生，則我們稱該事件為事件
與事件的交事件（或積事件），記作（或）.
例3：1．打靶次，事件表示“擊中發”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部擊中 B．至少擊中發
C．至少擊中發 D．以上均不正確
2．拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件，“向上的點數是2或3”為事件，則（ ）
A．
B．
C．表示向上的點數是1或2或3
D．表示向上的點數是1或2或3
3．擲一枚骰子，給出下列事件：
“出現奇數點”，“出現偶數點”，“出現的點數小于3”.
求：（1），；
（2），.
舉一反三
1．同時拋擲兩枚硬幣，“向上面都是正面”為事件M，“至少有一枚的向上面是正面”為事件N，則有（ ）
A． B． C． D．
2．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，則事件M的含義是______________________．
3．先后擲一個骰子兩次，觀察出現的面的點數，記事件A：點數之和等于5，事件B：最大點數為4，試用集合表示事件A，B，，.
5、互斥事件
如果事件與事件的交事件為不可能事件（即），則我們稱事
件與事件互斥，其含義是：事件與事件在任何一次試驗中都不會同時發
生.
互斥事件的概率加法公式
（1）兩個互斥事件的概率之和
如果事件與事件互斥，那么；
（2）有限多個互斥事件的概率之和
一般地，如果事件，，…，兩兩互斥，那么事件“發生”（指事件，，…，中至少有一個發生）的概率等于這個事件分別發生的概率之和，即.
【注】上述這兩個公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在運用互斥事件的概率加法公式時，一定要首先確定各事件是否彼此互斥（如果這個條件不滿足，則公式不適用），然后求出各事件分別發生的概率，再求和.
例4：1．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，甲獲勝的概率為，則甲不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．設M，N為兩個隨機事件，如果M，N為互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．與一定為互斥事件 D．與一定不為互斥事件
舉一反三
1．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.2 B．0.28 C．0.52 D．0.8
2．命題“事件與事件對立”是命題“事件與事件互斥”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（ ）
A． B． C． D．
6、對立事件
如果事件與事件的交事件為不可能事件（即），而事件與事件的并事件為必然事件（即），則我們稱事件與事件互為對立事件，其含義是：事件與事件在任何一次試驗中有且僅有一個發生.
對立事件的概率加法公式
對于對立的兩個事件與而言，由于在一次試驗中，事件與事件不會同時發生，因此事件與事件互斥，并且，即事件或事件必有一個發生，所以對立事件與的并事件發生的概率等于事件發生的概率與事件發生的概率之和，且和為，即
，或.
【注】上述這個公式為我們求事件的概率提供了一種方法，當我們直接求有困難時，可以轉化為先求其對立事件的概率，再運用公式即可求出所要求的事件的概率.
例5：1．有一個人在打靶中，連續射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是（ ）.
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
2．（多選 )一個口袋內裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍色小球各2個，一次任意取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（ ）
A．2個小球不全為紅球
B．2個小球恰有1個紅球
C．2個小球至少有1個紅球
D．2個小球都為綠球
3．已知事件A與B互斥，它們都不發生的概率是.且，則______.
舉一反三
1．袋內分別有紅 白 黑球個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；紅 黑球各一個
2．（多選 )某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名同學去參加唱歌比賽，在下列各組事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生
3．把標號為1、2、3、4的四張卡片分給甲、乙、丙、丁四個人，每人一張．設A：甲分得1號卡片；B：乙分得1號卡片．
(1)求、；
(2)A與B是否為互斥事件？是否為對立事件？若不是對立事件，分別寫出A與B的對立事件．
古典概型
古典概型的定義：
(1)有限性：試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;
(2)等可能性：每個基本事件出現的可能性相等.
我們把具有上述兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
2.概率計算公式：
A事件發生的概率;
例6：1．連續拋擲一枚骰子次，則第次正面向上的數字比第次正面向上的數字大的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，事件“兩次擲出的點數之和是6”，事件“第一次擲出的點數是奇數”，事件“兩次擲出的點數相同”，則（ ）
A．與互斥 B．與相互獨立
C． D．
3．如圖所示，a，b，c，d，e是處于斷開狀態的開關，任意閉合其中的兩個，則電路接通的概率是____.
舉一反三
1．某人決定就近打車前往目的地，前方開來三輛車，且車況分別為“好”“中”“差”．有以下兩種方案：
方案一：決定不乘第一輛車，若第二輛車的車況好于第一輛車，就乘坐此車；否則直接乘坐第三輛車．
方案二：直接乘坐第一輛車．
若三輛車開過來的先后次序等可能，記方案一和方案二坐到車況為“好”的車的概率分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）在5件產品中有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，則（ ）
A．恰有1件一等品的概率為
B．恰有2件一等品的概率為
C．至多有1件一等品的概率為
D．至多有1件一等品的概率為
3．某服裝公司經過多年的發展，在全國布局了3500余家規模相當的銷售門店.該公司每年都會設計生產春季新款服裝并投放到各個門店銷售.該公司為了了解2022年春季新款服裝在某個片區的銷售情況，市場部隨機調查了該片區6個銷售門店當年銷售額（單位：萬元，不考慮門店之間的其它差異），統計結果如下：
門店編號 1 2 3 4 5 6
年銷售額 28 33 30 40 45 22
(1)請用平均數，中位數分別估計2022年該公司的春季新款服裝在這個片區的某個銷售門店的年銷售額；
(2)從以上6個門店中隨機抽取2個，求恰好有1個門店的該年銷售額不低于40萬元的概率.
　概率的基本性質
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
例7：1．在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是（ ）
A．某顧客抽獎10次，一定能中獎1次
B．某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎
C．某顧客消費210元，一定不能中獎
D．某顧客消費1000元，至少能中獎1次
2．有下列事件：
①在標準大氣壓下，水加熱到時會沸騰；
②實數的絕對值不小于零；
③某彩票中獎的概率為，則買100000張這種彩票一定能中獎．
其中必然事件是（ ）
A．② B．③ C．①②③ D．②③
舉一反三
1．下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形內角和為
B．三角形中大邊對大角，小邊對小角
C．銳角三角形中兩個內角和等于
D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．連續兩次擲一枚硬幣，兩次都出現正面向上
B．異性電荷相互吸引
C．在標準大氣壓下，水在1℃時結冰
D．任意擲一枚骰子朝上的點數是偶數
事件的相互獨立性
1．相互獨立的概念
設A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
2．相互獨立的性質
若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
注： (1)必然事件Ω，不可能事件 都與任意事件相互獨立．
(2)事件A，B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
例8：1．若A與B是相互獨立事件，則下面不相互獨立的事件是（ ）
A．A與 B．A與 C．與B D．與
2．（多選）下列四個命題中錯誤的是（ ）
A．若事件A，B相互獨立，則滿足
B．若事件A，B，C兩兩獨立，則
C．若事件A，B，C彼此互斥，則
D．若事件A，B滿足，則A，B是對立事件
3．已知事件，相互獨立，且，，則______．
舉一反三
1．出租車司機老王從飯店到火車站途中經過六個交通崗，已知各交通崗信號燈相互獨立.假設老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是，則他遇到紅燈前已經通過了兩個交通崗的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）已知隨機事件A，B滿足，，則（ ）
A．若事件A，B互斥，則
B．若，則事件A，B互斥
C．若事件A，B相互獨立，則
D．若，則事件A，B相互獨立
3．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得．1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，其余均為不中獎．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為，，，求：
(1)事件，，的概率；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
頻率與概率
知識點一　頻率的穩定性
在任何確定次數的隨機試驗中，一個隨機事件A發生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
例9：1．在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是（ ）
A．某顧客抽獎10次，一定能中獎1次
B．某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎
C．某顧客消費210元，一定不能中獎
D．某顧客消費1000元，至少能中獎1次
2.對某電視機廠生產的電視機進行抽樣檢測的數據如下：
抽取臺數 50 100 200 300 500 1 000
優等品數 40 92 192 285 478 954
①根據表中數據分別計算6次試驗中抽到優等品的頻率；
②該廠生產的電視機為優等品的概率約是多少？
舉一反三
1．甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6，0.7，若兩人各投2次，則兩人投中次數不等的概率是（ ）
A．0.6076 B．0.7516 C．0.3924 D．0.2484
2.設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球，1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球.先隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球.推斷這球是從哪一個箱子中取出的？
知識點二　隨機模擬
用頻率估計概率，需做大量的重復試驗，我們可以根據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了.我們稱利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.
隨機數與偽隨機數
(1) 隨機數
要產生 1 ～ n ( n ∈ N * ) 之間的隨機整數，把 n 個 大小形狀 相同的小球分別標上 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ，放入一個袋中，把它們 充分攪拌 ，然后從中摸出一個，這個球上的數就稱為隨機數．
(2) 偽隨機數
計算機或計算器產生的隨機數是依照 確定算法 產生的數，具有 周期性 ( 周期 很長 ) ，它們具有類似 隨機數 的性質．因此，計算機或計算器產生的并不是 真正的隨機數 ，我們稱它們為偽隨機數．
整數值隨機數的產生及應用
(1) 產生整數值隨機數的方法
用計算器的隨機函數 RANDI( a ， b ) 或計算機的隨機函數 RANDBET WEEN( a ， b ) 可以產生從整數 a 到整數 b 的取整數值的隨機數；也可用計算機中的 Excel 軟件產生隨機數．
用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為 隨機模擬 方法．
(2) 整數值的隨機數的應用
利用計算器或計算機產生的 隨機數 來做模擬試驗，通過模擬試驗得到的 頻率 來估計概率，這種用計算器或計算機模擬試驗的方法稱為 隨機模擬 方法或 蒙特卡羅 方法．
例10：1.有4個大小、形狀相同的小球，裝在一個不透明的袋子中，小球上分別標有數字1，2，3，4．現每次有放回地從中隨機取出一個小球，直到標有偶數的球都取到過就停止．小明用隨機模擬的方法估計恰好在第4次停止摸球的概率，利用計算機軟件產生隨機數，每1組中有4個數字，分別表示每次摸球的結果，經隨機模擬產生了以下21組隨機數：
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413
1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估計恰好在第4次停止摸球的概率為（ ）
A． B． C． D．
3.經統計某射擊運動員隨機射擊一次命中目標的概率為，為估計該運動員射擊4次恰好命中3次的概率，現采用隨機模擬的方法，先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數，用0，1，2表示沒有擊中，用3，4，5，6，7，8，9表示擊中，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：
9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，
0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．
根據以上數據，則可估計該運動員射擊4次恰有3次命中的概率為（ ）．
A． B． C． D．
舉一反三
1.總體由編號為01，02，…，29，30的30個個體組成.利用下面的隨機數表選取7個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第6個個體的編號為（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．04 D．01
2.天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，其中，，，為下雨，，，，，，為不下雨，這三天中恰有一天下雨的概率大約是（ ）
附隨機數表:
A．25% B．30% C．45% D．55%
3.一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球，1個紅球，現任取1個球，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率.
課外閱讀
幾何概型；
知識點
幾何概型的基本特點：
基本事件數有無限多個；
每個基本事件之間互斥且等可能；
概率計算公式：
A事件發生的概率；
注意：
究竟是長度比還是面積比還是體積比，關鍵是看表達該概率問題需要幾個變量，如果需要一個變量，則應該是長度比或者角度比；若需要兩個變量則應該是面積比；當然如果是必須要三個變量則必為體積比；
如果是用一個變量，到底是角度問題還是長度問題，關鍵是看誰是變化的主體，哪一個是等可能的；
例：1．一商店有獎促銷活動中僅有一等獎、二等獎、鼓勵獎三個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率為0.32，中鼓勵獎的概率為0.42，則不中獎的概率為（ ）
A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.58
2．我國三國時期的數學家趙爽為了證明勾股定理創制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形．設直角三角形中一個銳角的正切值為3．在大正方形內隨機取一點，則此點取自小正方形內的概率是（）
A． B． C． D．
3．在區間上隨機取一個數，則事件“”發生的概率為（ ）
A． B． C． D．．
4．一個正方形及其內切圓，在正方形內部隨機取一個點，則點在圓內的概率是__.
5．（1）若從區間內任意選取一個實數x，求的概率；
（2）從圖中矩形（，圖中的圓與和都相切）中任取一點P，求點P取自陰影部分的概率．
/
0
概率
一．有限樣本空間
1 .隨機試驗
我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗（random experiment),簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：
(1)試驗可以在相同條件下重復進行；
(2)試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個；
(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.
2.樣本空間
我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間（sample space).
我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1, ω2,..., ωn,則稱樣本空間Ω={ω1, ω2,..., ωn,}為有限樣本空間.
例1：1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間。
解：因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω =(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，
t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω ={h,t}.
2.同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y)．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗的樣本點的總數；
(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y”呢？
解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．
(2)樣本點的總數為16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；
“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y”包含以下4個樣本點：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．
舉一反三
1.拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時朝上的面的點數，寫出試驗的樣本空間.
解：用i表示朝上面的“點數為i”，
因為落地時朝上面的點數有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結果，
所以試驗的樣本空間可以表示為Ω ={1,2,3,4,5,6}.
2.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間
解：如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程.
對于只有兩個可能結果的隨機試驗，一般用1和0表示這兩個結果.一方面數學追求最簡潔地表示，另一方面，這種表示有其實際意義，在后面的研究中會帶來很大的方便.
3．做擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用(x，y)表示結果，其中x表示紅色骰子出現的點數，y表示藍色骰子出現的點數，則這個試驗不同的結果數有________種．
【答案】36
【分析】直接采用列舉法即可求出結果數.
【詳解】將這個試驗的所有結果一一列舉出：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36種．故答案為：36.
二、隨機事件
一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件（random event),簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件（elementary event).
1、必然事件
在一定條件下，必然會發生的事件叫作必然事件.
2、不可能事件
在一定條件下，一定不會發生的事件叫作不可能事件.
3、隨機事件
在一定條件下，可能發生，也可能不發生的事件叫作隨機事件，一般用大寫字母，，來表示隨機事件.
4、確定事件
必然事件和不可能事件統稱為相對于隨機事件的確定事件.
例2：1．一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球，這些球的大小、質地完全相同，隨機從袋子中摸出4個球，則下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的4個球中至少有一個是白球
B．摸出的4個球中至少有一個是黑球
C．摸出的4個球中至少有兩個是黑球
D．摸出的4個球中至少有兩個是白球
【答案】B
【分析】根據隨機事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.
【詳解】因為袋中有大小、質地完全相同的5個黑球和3個白球，
所以從中任取4個球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種情況.
故事件“摸出的4個球中至少有一個是白球”是隨機事件，故A錯誤；
事件“摸出的4個球中至少有一個是黑球”是必然事件，故B正確；
事件“摸出的4個球中至少有兩個是黑球”是隨機事件，故C錯誤；
事件“摸出的4個球中至少有兩個是白球”是隨機事件，故D錯誤.
故選：B.
2．下列事件中不可能發生的是（ ）
A．打開電視機，中央一臺正在播放新聞
B．我們班的同學將來會有人當選為勞動模范
C．在空氣中，光的傳播速度比聲音的傳播速度快
D．太陽從西邊升起
【答案】D
【分析】根據隨機事件的概念判斷各選項即可.
【詳解】對于A、B，屬于隨機事件，有可能發生；
對于C，屬于必然事件，一定會發生；
對于D，“太陽從西邊升起”這個事件一定不會發生，所以它是一個不可能事件．
故選：D．
舉一反三：
1．“是實數，”這一事件是（ ）
A．必然事件 B．不確定事件
C．不可能事件 D．隨機事件
【答案】A
【分析】任意實數的絕對值大于等于0，作為事件必然發生.
【詳解】由于是實數，故恒成立，
所以是實數，”這一事件是必然事件.
故選：A
2．下列事件：①在足球賽中，弱隊戰勝強隊；②拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上；③任取兩個正整數，其和大于1；④長分別為3厘米，5厘米，9厘米的三條線段能圍成一個三角形．其中確定事件的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】利用隨機事件、不可能事件和必然事件的定義逐一判斷得解.
【詳解】①、②為隨機事件；④為不可能事件；只有③是必然的、確定的.
故選：A
3．在12件同類產品中，有10件正品，2件次品.從中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品；
②至少有1件是次品；
③3件都是次品；
④至少有1件是正品.
隨機事件有__________，必然事件有__________，不可能事件有__________.
【答案】 ①② ④ ③
【分析】根據正品和次品產品的數目，結合事件的概念，即可得出答案.
【詳解】對于①，由題意知，抽出的3件可能都是正品，故①是隨機事件；
對于②，由題意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是隨機事件；
對于③，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；
對于④，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.
故答案為：①②；④；③.
事件的關系和運算
1、包含關系
一般地，對于事件與事件，如果事件發生時，事件一定發生，則我們稱
事件包含事件（或稱事件包含于事件），記作（或）.
2、相等關系
一般地，對于事件與事件，如果事件發生時，事件一定發生，并且如果事件發生時，事件一定發生，即若且，則我們稱事件與事件相等，記作.
3、并事件
如果某事件發生當且僅當事件或事件發生，則我們稱該事件為事件與事件
的并事件（或和事件），記作（或）.
4、交事件
如果某事件發生當且僅當事件發生且事件也發生，則我們稱該事件為事件
與事件的交事件（或積事件），記作（或）.
例3：1．打靶次，事件表示“擊中發”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部擊中 B．至少擊中發
C．至少擊中發 D．以上均不正確
【答案】B
【解析】
【分析】
利用并事件的定義可得出結論.
【詳解】
所表示的含義是、、這三個事件中至少有一個發生，即可能擊中發、發或發.
故選：B.
2．拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件，“向上的點數是2或3”為事件，則（ ）
A．
B．
C．表示向上的點數是1或2或3
D．表示向上的點數是1或2或3
【答案】C
【解析】
【分析】
根據題意，可得，求得，即可求解．
【詳解】
由題意，可知，
則，∴表示向上的點數為1或2或3．
故選：C.
3．擲一枚骰子，給出下列事件：
“出現奇數點”，“出現偶數點”，“出現的點數小于3”.
求：（1），；
（2），.
【答案】（1），“出現2點”.
（2）“出現1，2，3，4，5或6點”，“出現1，2，4或6點”.
【解析】
根據題意表示出集合，再求（1），；（2），即可.
【詳解】
由題意知：“出現奇數點”，“出現偶數點”，
“出現的點數小于3”，
（1），出現2點”；
（2）“出現1，2，3，4，5或6點”，
“出現1，2，4或6點”.
【點睛】
本題主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的運算，集合與集合的關系來解決，是基礎題.
舉一反三
1．同時拋擲兩枚硬幣，“向上面都是正面”為事件M，“至少有一枚的向上面是正面”為事件N，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
列出事件N包含的結果再分析與事件M的關系即可.
【詳解】
事件N包含兩種結果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以當M發生時,事件N一定發生,則有.
故選：A.
【點睛】
本題主要考查了事件的包含關系,屬于基礎題型.
2．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，則事件M的含義是______________________．
【答案】拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，向上點數之和為8
【解析】
【分析】
根據事件可歸納出M的含義.
【詳解】
拋擲一枚質地均勻的骰子兩次, 事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，
歸納可知，事件M的含義是：拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，向上點數之和為8的事件.
故答案為：拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，向上點數之和為8
3．先后擲一個骰子兩次，觀察出現的面的點數，記事件A：點數之和等于5，事件B：最大點數為4，試用集合表示事件A，B，，.
【答案】，
.，.
【解析】
利用事件的定義直接用列舉法寫出即可.
【詳解】
根據題意，事件，
事件，
事件，
事件.
5、互斥事件
如果事件與事件的交事件為不可能事件（即），則我們稱事
件與事件互斥，其含義是：事件與事件在任何一次試驗中都不會同時發
生.
互斥事件的概率加法公式
（1）兩個互斥事件的概率之和
如果事件與事件互斥，那么；
（2）有限多個互斥事件的概率之和
一般地，如果事件，，…，兩兩互斥，那么事件“發生”（指事件，，…，中至少有一個發生）的概率等于這個事件分別發生的概率之和，即.
【注】上述這兩個公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在運用互斥事件的概率加法公式時，一定要首先確定各事件是否彼此互斥（如果這個條件不滿足，則公式不適用），然后求出各事件分別發生的概率，再求和.
例4：1．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，甲獲勝的概率為，則甲不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】甲不輸即是和棋或者獲勝兩種情況，故可求得結果.
【詳解】由題意可得，甲不輸的情況有：和棋或獲勝兩種，
故其不輸的概率為：.
故選：A.
2．設M，N為兩個隨機事件，如果M，N為互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．與一定為互斥事件 D．與一定不為互斥事件
【答案】A
【分析】根據對立事件和互斥事件的定義，再借助維恩圖即可求解.
【詳解】因為M，N為互斥事件，則有以下兩種情況，如圖所示
（第一種情況）
（第二種情況）
無論哪種情況，均是必然事件．故A正確．如果是第一種情況，不是必然事件，故B不正確，如果是第一種情況，與不一定為互斥事件，故C不正確，如果是第二種情況，與一定為互斥事件，故D不正確.
故選：A.
舉一反三
1．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.2 B．0.28 C．0.52 D．0.8
【答案】A
【分析】根據題意，摸出球為紅球、白球、黑球事件為兩兩互斥事件，根據概率加法公式可求解.
【詳解】設“摸出紅球”為事件M，“摸出白球”為事件N，“摸出黑球”為事件E，且為兩兩互斥事件，又口袋內只有這三種球，
則，所以.
故選：A.
2．命題“事件與事件對立”是命題“事件與事件互斥”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據對立事件與互斥事件的概念判斷即可.
【詳解】解：若事件與事件是對立事件，則事件與事件一定是互斥事件；
若事件與事件是互斥事件，不一定得到事件與事件對立，
故命題“事件與事件對立”是命題“事件與事件互斥”的充分不必要條件；
故選：A
3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，則，，可判斷A,C; 事件B與D是互斥事件,判斷B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判斷D.
【詳解】至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，故，，
故A，C正確；
事件B與D是互斥事件，故，故B正確，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D錯誤，
故選：D.
6、對立事件
如果事件與事件的交事件為不可能事件（即），而事件與事件的并事件為必然事件（即），則我們稱事件與事件互為對立事件，其含義是：事件與事件在任何一次試驗中有且僅有一個發生.
對立事件的概率加法公式
對于對立的兩個事件與而言，由于在一次試驗中，事件與事件不會同時發生，因此事件與事件互斥，并且，即事件或事件必有一個發生，所以對立事件與的并事件發生的概率等于事件發生的概率與事件發生的概率之和，且和為，即
，或.
【注】上述這個公式為我們求事件的概率提供了一種方法，當我們直接求有困難時，可以轉化為先求其對立事件的概率，再運用公式即可求出所要求的事件的概率.
例5：1．有一個人在打靶中，連續射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是（ ）.
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
【答案】C
【分析】根據對立事件的概念可得結果.
【詳解】根據對立事件的概念，連續射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是“2次都不中靶”.
故選：C.
2．（多選 )一個口袋內裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍色小球各2個，一次任意取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（ ）
A．2個小球不全為紅球
B．2個小球恰有1個紅球
C．2個小球至少有1個紅球
D．2個小球都為綠球
【答案】BD
【分析】根據互斥事件與對立事件的定義可得答案.
【詳解】從口袋內裝有紅色、綠色和藍色小球各2個，一次任意取出2個小球，這兩個球可能為
2個紅色球、2個綠色球、2個藍色球、1個紅色1個藍色、1個紅色1個綠色、1個藍色1個綠色共6種情況，
則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有
B，2個小球恰有1個紅球； C，2個小球都為綠球，
而2個小球不全為紅球與事件2個小球都為紅色是對立事件；
2個小球至少有1個紅球包括2個紅色球、1個紅色1個藍色、1個紅色1個綠色.
故選：BD .
3．已知事件A與B互斥，它們都不發生的概率是.且，則______.
【答案】/
【分析】根據題意求出事件A與B有一個發生的概率，結合，求得，即可求得答案.
【詳解】由題意事件A與B互斥，它們都不發生的概率是，
則，結合，
可得，即，可得，
故，
故答案為：
舉一反三
1．袋內分別有紅 白 黑球個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；紅 黑球各一個
【答案】D
【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接求解
【詳解】對于A，“至少有一個白球”說明有白球，白球的個數可能為1或2，
而“都是白球”說明兩個全是白球，這兩個事件可以同時發生，故A中事件不是互斥的；
對于B，當兩球一個白球一個紅球時，“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”均發生，故不互斥；
對于C，“恰有一個白球”，表示黑球個數為0或1，即可能是一個白球和一個黑球，
這與“一個白球一個黑球”不互斥；
對于D，“至少一個白球”發生時，“紅 黑球各一個”不會發生，故二者互斥，
從袋中任取2個也可能是兩個紅球，即二者可能都不發生，故二者不對立，
故選：D
2．（多選 )某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名同學去參加唱歌比賽，在下列各組事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生
【答案】AD
【分析】逐個選項分析事件之間是否有同時發生的可能性再判斷即可.
【詳解】A中兩個事件是互斥事件,恰有一名女生即選出的兩名學生中有一名男生一名女生,它與恰有2名女生不可能同時發生，A是；
B中兩個事件不是互斥事件,兩個事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；
C中兩個事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情況，C不是；
D中兩個事件是互斥事件,至少有一名女生與全是男生顯然不可能同時發生，D是.
故選：AD
3．把標號為1、2、3、4的四張卡片分給甲、乙、丙、丁四個人，每人一張．設A：甲分得1號卡片；B：乙分得1號卡片．
(1)求、；
(2)A與B是否為互斥事件？是否為對立事件？若不是對立事件，分別寫出A與B的對立事件．
【答案】(1)，{甲分得1號卡，乙分得1號卡}；
(2)A與B是互斥事件，但不是對立事件，A的對立事件是甲未分得1號卡片，B的對立事件是乙未分得1號卡片．
【分析】（1）根據、直接理解判斷即可;
（2）由互斥事件和對立事件的概念即可判斷.
(1)
根據題意，事件和事件不可能同時發生，所以是不可能事件，即；
{甲分得1號卡，乙分得1號卡}；
(2)
由（1）可知事件和事件不可能同時發生，所以事件和事件是互斥事件，又因為事件和事件可以都不發生，如甲分得2號卡片，同時乙分得3號卡片，所以事件和事件不是對立事件，事件的對立事件 為“甲未分得1號卡片”， 事件的對立事件 為“乙未分得1號卡片”.
古典概型
古典概型的定義：
(1)有限性：試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;
(2)等可能性：每個基本事件出現的可能性相等.
我們把具有上述兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
2.概率計算公式：
A事件發生的概率;
例6：1．連續拋擲一枚骰子次，則第次正面向上的數字比第次正面向上的數字大的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由古典概型概率公式計算即可.
【詳解】方法一：
連續拋擲一枚骰子次，用表示第次和第次正面向上的數字分別為，，則基本事件有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共個，
設事件“第次正面向上的數字比第次正面向上的數字大”，
則事件中基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共個，
∴.
∴第次正面向上的數字比第次正面向上的數字大的概率為.
方法二：
連續拋擲一枚骰子次，第次正面向上的數字有種，第次正面向上的數字有種，
∴連續拋擲一枚骰子次，基本事件有個；
其中，第次正面向上的數字與第次正面向上的數字相等的基本事件有個，
而第次正面向上的數字比第次正面向上的數字大的基本事件，與第次正面向上的數字比第次正面向上的數字小的基本事件數量相同，
∴第次正面向上的數字比第次正面向上的數字大的基本事件有個，
∴第次正面向上的數字比第次正面向上的數字大的概率為.
故選：A.
2．（多選）先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，事件“兩次擲出的點數之和是6”，事件“第一次擲出的點數是奇數”，事件“兩次擲出的點數相同”，則（ ）
A．與互斥 B．與相互獨立
C． D．
【答案】BD
【分析】對于A、B選項，根據事件的對立與互斥定義即可分辨；對于C、D選項利用概率公式計算即可
【詳解】對于A項，互斥事件指不可能同時發生的兩個事件，事件可以有以下情況：第一次擲出1，第二次擲出5或第一次擲出3，第二次擲出3等，如此與事件有同時發生的可能，故A錯誤；
對于B項，，，故B正確；
對于C項，易知，故C錯誤；
對于D項，點數和為6，且兩次點數相同僅有都是3點一種情況，故，故D項正確.
故選：BD
3．如圖所示，a，b，c，d，e是處于斷開狀態的開關，任意閉合其中的兩個，則電路接通的概率是____.
【答案】/0.6
【分析】列舉出總的情況和滿足條件的情況，然后根據古典概型的計算公式，即可求得本題答案.
【詳解】“任意閉合其中的兩個開關”所包含的情況如下：，，，， ，，，，，，共10種 ；
“電路接通”所包含的情況如下：，，，，，，共6種.
所以電路接通的概率.
故答案為：
舉一反三
1．某人決定就近打車前往目的地，前方開來三輛車，且車況分別為“好”“中”“差”．有以下兩種方案：
方案一：決定不乘第一輛車，若第二輛車的車況好于第一輛車，就乘坐此車；否則直接乘坐第三輛車．
方案二：直接乘坐第一輛車．
若三輛車開過來的先后次序等可能，記方案一和方案二坐到車況為“好”的車的概率分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】列表后可求相應的概率.
【詳解】記好、中、差分別為A，B，C，方案一包含的基本事件數為，方案二包含的基本事件數為，則
1 2 3
A B C √
A C B √
B A C √
B C A √
C A B √
C B A
于是．
故選：A
2．（多選）在5件產品中有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，則（ ）
A．恰有1件一等品的概率為
B．恰有2件一等品的概率為
C．至多有1件一等品的概率為
D．至多有1件一等品的概率為
【答案】ABD
【分析】5件產品中任取2件有10種取法，恰有1件一等品的取法有6種，恰有2件一等品的取法有3種，“恰有2件一等品”的對立事件是“至多有1件一等品”，從而得出選項.
【詳解】將3件一等品編號為1，2，3，將2件二等品編號為4，5，從中任取2件有10種取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).
其中恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6種，故恰有1件一等品的概率為；
恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3種，故恰有2件一等品的概率為，
則其對立事件是“至多有1件一等品”，概率為.
故選：ABD.
3．某服裝公司經過多年的發展，在全國布局了3500余家規模相當的銷售門店.該公司每年都會設計生產春季新款服裝并投放到各個門店銷售.該公司為了了解2022年春季新款服裝在某個片區的銷售情況，市場部隨機調查了該片區6個銷售門店當年銷售額（單位：萬元，不考慮門店之間的其它差異），統計結果如下：
門店編號 1 2 3 4 5 6
年銷售額 28 33 30 40 45 22
(1)請用平均數，中位數分別估計2022年該公司的春季新款服裝在這個片區的某個銷售門店的年銷售額；
(2)從以上6個門店中隨機抽取2個，求恰好有1個門店的該年銷售額不低于40萬元的概率.
【答案】(1)33萬元，31.5萬元
(2)
【分析】（1）根據平均數和中位數的計算方法即可求解；（2）根據列表法即可求解.
【詳解】（1）樣本的平均數為（萬元），
樣本從小到大排列為：22、28、30、33、40、45，
所以樣本的中位數為：（萬元），
根據樣本估計總體的思想，由平均數可以估計2022年該公司的春季新款服裝在這個片區的某個銷售門店的年銷售額為：33萬元，
根據樣本估計總體的思想，由中位數可以估計2022年該公司的春季新款服裝在這個片區的某個銷售門店的年銷售額為：31.5萬元，
（2）從以上6個門店中隨機抽取2個門店的年銷售額的所有樣本點如下表所示：
（22，28） （22，30） （22，33） （22，40） （22，45）
（28，30） （28，33） （28，40） （28，45） （30，33）
（30，40） （30，45） （33，40） （33，45） （40，45）
恰好有1個門店的該年銷售額不低于40萬元樣本點如下表所示：
（22，40） （22，45） （28，40） （28，45）
（30，40） （30，45） （33，40） （33，45）
所以從以上6個門店中隨機抽取2個恰好有1個門店的該年銷售額不低于40萬元的概率為：.
　概率的基本性質
性質1　對任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
例7：1．在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是（ ）
A．某顧客抽獎10次，一定能中獎1次
B．某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎
C．某顧客消費210元，一定不能中獎
D．某顧客消費1000元，至少能中獎1次
【答案】B
【解析】
根據概率的定義進行判斷.
【詳解】
解：中獎概率表示每一次抽獎中獎的可能性都是，
故不論抽獎多少次，都可能一次也不中獎，
故選：B.
【點睛】
此題考查對概率定義的理解，屬于基礎題
2．有下列事件：
①在標準大氣壓下，水加熱到時會沸騰；
②實數的絕對值不小于零；
③某彩票中獎的概率為，則買100000張這種彩票一定能中獎．
其中必然事件是（ ）
A．② B．③ C．①②③ D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】
根據必然事件一定發生逐一判斷即可.
【詳解】
事件分為隨機事件、必然事件和不可能事件，必然事件是一次試驗中必然發生的事件.
因為在標準大氣壓下，水加熱到才會沸騰，所以①不是必然事件；
因為實數的絕對值不小于零，所以②是必然事件；
因為某彩票中獎的概率為，僅代表可能性，所以買100000張這種彩票不一定能中獎，即③不是必然事件．
故選：A．
舉一反三
1．下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形內角和為
B．三角形中大邊對大角，小邊對小角
C．銳角三角形中兩個內角和等于
D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊
【答案】C
【解析】
【分析】
根據三角形的相關性質可判斷事件.
【詳解】
由三角形性質可知、、為必然事件；
由三角形內角和定理知兩個內角和等于的三角形為直角三角形是不可能的，
所以為不可能事件．
故選：C
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．連續兩次擲一枚硬幣，兩次都出現正面向上
B．異性電荷相互吸引
C．在標準大氣壓下，水在1℃時結冰
D．任意擲一枚骰子朝上的點數是偶數
【答案】B
【解析】
根據必然事件的定義判斷．
【詳解】
四個選項都是隨機事件，根據定義只有B選項是一定會發生的，是必然事件.
故選：B.
【點睛】
本題考查隨機事件與必然事件的概念，屬于基礎題．
事件的相互獨立性
1．相互獨立的概念
設A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
2．相互獨立的性質
若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
注： (1)必然事件Ω，不可能事件 都與任意事件相互獨立．
(2)事件A，B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
例8：1．若A與B是相互獨立事件，則下面不相互獨立的事件是（ ）
A．A與 B．A與 C．與B D．與
【答案】A
【分析】根據相互獨立事件的性質，逐一判斷即可得到本題答案.
【詳解】因為與是相互獨立事件，所以與，與，與都是相互獨立事件，
而是的對立事件，與是互斥事件.
故選：A
2．（多選）下列四個命題中錯誤的是（ ）
A．若事件A，B相互獨立，則滿足
B．若事件A，B，C兩兩獨立，則
C．若事件A，B，C彼此互斥，則
D．若事件A，B滿足，則A，B是對立事件
【答案】BCD
【分析】A選項，事件A，B相互獨立，則滿足；BCD可舉出反例，說法錯誤.
【詳解】若事件A，B相互獨立，則滿足，A說法正確；
舉例說明：投擲兩個骰子，記事件A：第一個骰子的點數為奇數，
事件B：第二個骰子點數為奇數，
事件C：兩個骰子的點數之和為奇數，
于是有，，
，可以看出事件A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不互相獨立，所以，B說法錯誤；
舉例說明：投擲一個骰子三次，記事件A：第一次骰子的點數為1，
事件B：第二次骰子點數為2，
事件C：第三次骰子點數為3，
則
事件A，B，C被此互斥，則，C說法錯誤；
舉例說明：記事件A：投擲一個骰子，骰子的點數為奇數，
事件B：投擲一枚硬幣，正面朝上，
則，滿足，但A，B不是對立事件，
D說法錯誤.
故選：BCD
3．已知事件，相互獨立，且，，則______．
【答案】/0.75
【分析】利用獨立事件乘法公式有，根據已知即可求.
【詳解】由題設，則.
故答案為：
舉一反三
1．出租車司機老王從飯店到火車站途中經過六個交通崗，已知各交通崗信號燈相互獨立.假設老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是，則他遇到紅燈前已經通過了兩個交通崗的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.
【詳解】因為司機老王在第一、二個交通崗未遇到紅燈，
在第三個交通崗遇到紅燈之間是相互獨立的，且遇到紅燈的概率都是，
所以未遇到紅燈的概率都是，
所以遇到紅燈前已經通過了兩個交通崗的概率為.
故選：B
2．（多選）已知隨機事件A，B滿足，，則（ ）
A．若事件A，B互斥，則
B．若，則事件A，B互斥
C．若事件A，B相互獨立，則
D．若，則事件A，B相互獨立
【答案】ACD
【分析】利用互斥事件的定義判斷AB，利用相互獨立事件的定義判斷CD.
【詳解】對于A選項，，故A正確；
對于B選項，，，A，B互斥，否則不一定有A，B互斥，故B錯誤；
對于C選項，因為事件A，B相互獨立，故，故C正確；
對于D選項，因為，故事件A，B相互獨立，故D正確．
故選：ACD．
3．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得．1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，其余均為不中獎．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為，，，求：
(1)事件，，的概率；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
【答案】(1)事件，，的概率分別為，，；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據題意，利用古典概型的概率計算公式，即可求解；
（2）根據互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（3）根據對立事件的概率計算方法，即可求解．
【詳解】（1）由題意，每1000張獎券中設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，
故，，；
（2）1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎，
設“1張獎券中獎”這個事件為，則，
∵，，兩兩互斥，
∴．
∴1張獎券的中獎概率為；
（3）設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件，
則事件與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，
∴，
∴1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為．
頻率與概率
知識點一　頻率的穩定性
在任何確定次數的隨機試驗中，一個隨機事件A發生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
例9：1．在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是（ ）
A．某顧客抽獎10次，一定能中獎1次
B．某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎
C．某顧客消費210元，一定不能中獎
D．某顧客消費1000元，至少能中獎1次
【答案】B
【分析】
根據概率的定義進行判斷.
【詳解】
解：中獎概率表示每一次抽獎中獎的可能性都是，
故不論抽獎多少次，都可能一次也不中獎，
故選：B.
【點睛】
此題考查對概率定義的理解，屬于基礎題
2.對某電視機廠生產的電視機進行抽樣檢測的數據如下：
抽取臺數 50 100 200 300 500 1 000
優等品數 40 92 192 285 478 954
①根據表中數據分別計算6次試驗中抽到優等品的頻率；
②該廠生產的電視機為優等品的概率約是多少？
解　①抽到優等品的頻率分別為0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中數據可估計優等品的概率約為0.95.
反思感悟　(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率.
(2)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定.
(3)概率是一個確定的常數，是客觀存在的，在試驗前已經確定，與試驗次數無關.
舉一反三
1．甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6，0.7，若兩人各投2次，則兩人投中次數不等的概率是（ ）
A．0.6076 B．0.7516 C．0.3924 D．0.2484
【答案】A
【分析】
先求出兩人投中次數相等的概率，再根據對立事件的概率公式可得兩人投中次數不相等的概率.
【詳解】
兩人投中次數相等的概率P＝，
故兩人投中次數不相等的概率為：1﹣0.3924＝0.6076.
故選：A.
【點睛】
本題考查了對立事件的概率公式和獨立事件的概率公式，屬于基礎題.
2.設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球，1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球.先隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球.推斷這球是從哪一個箱子中取出的？
解　甲箱中有99個白球，1個黑球，故隨機地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1個白球，99個黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是.由此可見，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽樣中抽到白球，當然可以認為是從概率大的箱子中取出的.所以我們作出統計推斷：該白球是從甲箱中取出的.
反思感悟　在一次試驗中，概率大的事件比概率小的事件出現的可能性更大.
知識點二　隨機模擬
用頻率估計概率，需做大量的重復試驗，我們可以根據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了.我們稱利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.
隨機數與偽隨機數
(1) 隨機數
要產生 1 ～ n ( n ∈ N * ) 之間的隨機整數，把 n 個 大小形狀 相同的小球分別標上 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ，放入一個袋中，把它們 充分攪拌 ，然后從中摸出一個，這個球上的數就稱為隨機數．
(2) 偽隨機數
計算機或計算器產生的隨機數是依照 確定算法 產生的數，具有 周期性 ( 周期 很長 ) ，它們具有類似 隨機數 的性質．因此，計算機或計算器產生的并不是 真正的隨機數 ，我們稱它們為偽隨機數．
整數值隨機數的產生及應用
(1) 產生整數值隨機數的方法
用計算器的隨機函數 RANDI( a ， b ) 或計算機的隨機函數 RANDBET WEEN( a ， b ) 可以產生從整數 a 到整數 b 的取整數值的隨機數；也可用計算機中的 Excel 軟件產生隨機數．
用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為 隨機模擬 方法．
(2) 整數值的隨機數的應用
利用計算器或計算機產生的 隨機數 來做模擬試驗，通過模擬試驗得到的 頻率 來估計概率，這種用計算器或計算機模擬試驗的方法稱為 隨機模擬 方法或 蒙特卡羅 方法．
例10：1.有4個大小、形狀相同的小球，裝在一個不透明的袋子中，小球上分別標有數字1，2，3，4．現每次有放回地從中隨機取出一個小球，直到標有偶數的球都取到過就停止．小明用隨機模擬的方法估計恰好在第4次停止摸球的概率，利用計算機軟件產生隨機數，每1組中有4個數字，分別表示每次摸球的結果，經隨機模擬產生了以下21組隨機數：
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413
1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估計恰好在第4次停止摸球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據題中數據，找到滿足條件的組數，代入公式，即可求得答案.
【詳解】
由題意得，直到標有偶數的球都取到過就停止，且恰好在第4次停止摸球，
表示所得到的4個數中包含2和4，且前3次只能出現2或4中的一個（不限次數），第4次又摸到另外一個偶數，
有1234，1224，3124，1224，4312，2234共有6組，
所以恰好在第4次停止摸球的概率.
故選：C
3.經統計某射擊運動員隨機射擊一次命中目標的概率為，為估計該運動員射擊4次恰好命中3次的概率，現采用隨機模擬的方法，先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數，用0，1，2表示沒有擊中，用3，4，5，6，7，8，9表示擊中，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：
9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，
0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．
根據以上數據，則可估計該運動員射擊4次恰有3次命中的概率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據20組隨機數得出該運動員射擊4次恰好命中3次的隨機數共組，由此能求出對應的概率值.
【詳解】
根據隨機模擬產生的20組隨機數知，
該運動員射擊4次恰好命中3次的隨機數為：
7424，0347，6233，8045，3661，7815，1457，5550，共組，
由以上數據該運動員射擊4次恰有3次命中的概率為.
故選：A
【點睛】
本題考查了隨機模擬試驗、古典概型的概率計算公式，屬于基礎題.
舉一反三
1.總體由編號為01，02，…，29，30的30個個體組成.利用下面的隨機數表選取7個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第6個個體的編號為（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．04 D．01
【答案】C
【分析】
首先根據題意找到第一個數字，因為有個個體故舍去，然后再按照由左到右依次選取兩個數字，去掉重復的編號，即可找到第個數字.
【詳解】
由題知：第一個數為，不符合條件，
第二個數為，不符合條件，
第三個數為，符合條件，
以下符合條件的數字依次是，，，，，
故第個數字為.
故選：C.
【點睛】
本題主要考查隨機數表法，熟練掌握隨機數表法的步驟為解題的關鍵，屬于容易題.
2.天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，其中，，，為下雨，，，，，，為不下雨，這三天中恰有一天下雨的概率大約是（ ）
附隨機數表:
A．25% B．30% C．45% D．55%
【答案】C
【分析】
根據隨機模擬試驗以及古典概型的概率計算公式即可求解.
【詳解】
三天中恰有一天下雨的次數為：
，共次，
所以這三天中恰有一天下雨的概率大約為.
故選：C
【點睛】
本題考查了隨機模擬試驗、古典概型的概率計算公式，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.
3.一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球，1個紅球，現任取1個球，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率.
解　用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示紅球，利用計算器或計算機產生1到7之間(包括1和7)取整數值的隨機數，因為要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個隨機數作為一組，如下，產生20組隨機數：
666　743　671　464　571
561　156　567　732　375
716　116　614　445　117
573　552　274　114　662
就相當于做了20次試驗，在這些數組中，前兩個數字不是7，第三個數字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為＝0.1.
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幾何概型；
知識點
幾何概型的基本特點：
基本事件數有無限多個；
每個基本事件之間互斥且等可能；
概率計算公式：
A事件發生的概率；
注意：
究竟是長度比還是面積比還是體積比，關鍵是看表達該概率問題需要幾個變量，如果需要一個變量，則應該是長度比或者角度比；若需要兩個變量則應該是面積比；當然如果是必須要三個變量則必為體積比；
如果是用一個變量，到底是角度問題還是長度問題，關鍵是看誰是變化的主體，哪一個是等可能的；
例：1．一商店有獎促銷活動中僅有一等獎、二等獎、鼓勵獎三個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率為0.32，中鼓勵獎的概率為0.42，則不中獎的概率為（ ）
A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.58
【答案】A
【分析】
從1中減去中一等獎、二等獎、鼓勵獎的概率，所得即為不中獎的概率.
【詳解】
由于獎項一等獎、二等獎、鼓勵獎和不中獎四個事件是相互獨立，且構成事件為必然事件，
∴不中獎的概率為：,
故選：A.
【點睛】
本題考查互斥事件的概率計算，屬簡單題.
2．我國三國時期的數學家趙爽為了證明勾股定理創制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形．設直角三角形中一個銳角的正切值為3．在大正方形內隨機取一點，則此點取自小正方形內的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
不妨設兩直角邊為3,1，可得兩正方形的面積，利用幾何概型公式計算可得答案.
【詳解】
解：不妨設兩直角邊為3,1，可得大正方形的邊長為，小正方形的邊長為2，由幾何概型公式可得概率，
故選B.
【點睛】
本題主要考查幾何概型的概念和計算，設兩直角邊為3,1，得出兩正方形的邊長和面積是解題的關鍵.
3．在區間上隨機取一個數，則事件“”發生的概率為（ ）
A． B． C． D．．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據，求出的范圍，結合幾何概型，即可求出結果.
【詳解】
當時，由得或，
因此所求概率為.
故選C
【點睛】
本題主要考查與長度有關的幾何概型，熟記概率計算公式即可，屬于基礎題型.
4．一個正方形及其內切圓，在正方形內部隨機取一個點，則點在圓內的概率是__.
【答案】.
【分析】
根據幾何概型的概率計算公式，利用面積比求出對應的概率值.
【詳解】
設正方形的邊長為，則內切圓半徑為，
記“點落入圓內”為事件，
則所求的概率為（A）.
故答案為：.
【點睛】
本題考查了幾何概型的概率計算問題，是基礎題.
5．（1）若從區間內任意選取一個實數x，求的概率；
（2）從圖中矩形（，圖中的圓與和都相切）中任取一點P，求點P取自陰影部分的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用幾何概型的概率公式直接求解，求出在內大于等于3的區間的長度，再除以區間的總長度即可，
（2）利用幾何概型的概率公式直接求解，求出陰影部分的面積，再除以矩形的面積即可
【詳解】（1）由幾何概型可知，的概率為．
（2）由圖可知，圓的直徑為2，所以半徑為1，
由幾何概型可知，點P取自陰影部分的概率為．
/
將來的有一天，你會感謝現在努力的你！

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