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27．(本小題lO分)在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 點E在下底邊BC上，點F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由.
27．（1）由已知條件得：
梯形周長為12，高4，面積為28。
過點F作FG⊥BC于G
過點A作AK⊥BC于K
則可得：FG=×4
∴S△BEF=BE·FG=－x2+x（7≤x≤10）
（2）存在 .
由（1）得 －x2+x=14
得x1=7，x2=5（不合舍去）
∴ 存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE=7.
（3）不存在.
假設(shè)存在，顯然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2…1′
則有－x2+x=.
整理，得 3x2－24x+70=0,△=576－840<0.
∴不存在這樣的實數(shù)x。
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積,同時分成1∶2的兩部分.
28．中，，，cm．長為1cm的線段在的邊上沿方向以1cm/s的速度向點運動（運動前點與點重合）．過分別作的垂線交直角邊于兩點，線段運動的時間為s．
（1）若的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；
（2）線段運動過程中，四邊形有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時的值；若不可能，說明理由；
（3）為何值時，以為頂點的三角形與相似？
28．解：（1）當(dāng)點在上時，，．
．
當(dāng)點在上時，．
．
（2），．．
．
由條件知，若四邊形為矩形，需，即，
．
當(dāng)s時，四邊形為矩形．
（3）由（2）知，當(dāng)s時，四邊形為矩形，此時，
．
除此之外，當(dāng)時，，此時．
，．．
，．
又，．
，．
當(dāng)s或s時，以為頂點的三角形與相似．
25.如圖，將等邊△放在正方形上，邊與完全重合. 則：
（1）圖①中點與正方形中的任意兩個頂點能構(gòu)成多少個等腰三角形？直接寫出這些三角形的名稱（等邊△除外） 。（3分）
（2）現(xiàn)在將正方形固定不動，等邊△繞著點R旋轉(zhuǎn)，使點與重合（如圖②，這算第1步，點落在處），再繞著點P旋轉(zhuǎn)，使點與點重合（如圖③，這算第2步，點落在處），重復(fù)這樣的步驟，可得到圖④……，則請你探究：經(jīng)過 步，△首次與原位置重合；又經(jīng)過 步，點首次回到原處。（2分）
（3）若正方形的邊長等于4，則按第（2）題的方法從圖①開始，連續(xù)旋轉(zhuǎn)了2006最后點落在處. 請畫出此時圖形的位置，并計算此時點到的距離。
27.拋物線交軸于、兩點，交軸于點，頂點為.
（1）寫出拋物線的對稱軸及、兩點的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（3分）
（2）連接并以為直徑作⊙，當(dāng)時，請判斷⊙是否經(jīng)過點，并說明理由；（3分）
（3）在（2）題的條件下，點是拋物線上任意一點，過作直線垂直于對稱軸，垂足為. 那么是否存在這樣的點，使△與以、、為頂點的三角形相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. （4分）
25.（1）△、△、△；………………… 3分（1分一個）
（2）4；8；………………………………………… 2分（每空1分）
（3）（略解）第2006步后如圖所示,
連結(jié)AR、AC，作CE⊥AR于E，
，故，
因此
.……………4分
27.（1）對稱軸，、`；……………………3分
（2）⊙M經(jīng)過點C，理由：（略證：CD2+BC2=DB2）……………3分
（3）.………………………4分
21.（本題12分）
如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線OA與雙曲線交于點A（2,2），求：
（1）直線OA與雙曲線的函數(shù)解析式；
（2）將直線OA向上平移3個單位后，求直線與雙曲線的交點C，D的坐標(biāo)；
（3）求△COD的面積。
24．（本題1２分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交坐標(biāo)軸于點A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3）。
（1）求此拋物線函數(shù)解析式及頂點M的坐標(biāo)。
（2）若直線CM與x軸交于點D, E是C關(guān)于此拋物線對稱軸的對稱點，試判斷四邊形ADCE的形狀并說明理由。
（3）若P是該拋物線上異于A、B兩點的一個動點，連接BP交y軸正半軸于點N，是否存在點P使△AOC與△BON相似，若存在請直接寫出點P的坐標(biāo)，若不存在請說明理由。

21．（本題12分）
解：（1）直線OA的函數(shù)解析式：y=x…………………………2分
雙曲線的函數(shù)解析式：y=…………………………4分
（2）將直線OA向上平移3個單位后，直線CD解析式為y=x+3…………6分

y=x+3
y=
得交點C（1，4），D（-4，-1）…………………………………………8分
（3）設(shè)直線CD與y軸交點為E，則點E（0，3）
S△COD= S△COE+S△EOD=…………………………12分
24． （本題12分）
解：（1）把點A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3）代入拋物線y=ax2+bx+c得：
0=a-b+c a=1
0=9a+3b+c 解得： b=-2
-3=c c=-3
∴拋物線函數(shù)解析式為y=x2-2x-3……………………………………3分
頂點M的坐標(biāo)為（1，-4）………………………………………………4分
（2）∵點C（0，－3），M（1，-4） ∴直線CM函數(shù)解析式為y=-x-3
∴直線CM與x軸交于點D（-3，0）,……………………………………6分
∵E是C關(guān)于此拋物線對稱軸的對稱點，∴點E（2，-3）
∴CE=AD=2 又∵CE//AD
∴四邊形ADCE是平行四邊形。…………………………………………8分
（3）存在點P使△AOC與△BON相似，P1（，） ，P2（-4，21）……12分
21.（本題滿分8分） 汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后，還要向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”，剎車距離是分析事故的一個重要因素。在一個限速40千米/小時以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對后同時剎車，但還是相碰了。事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離為12米，乙車的剎車距離超過10米，但小于12米，查有關(guān)資料知，甲車的剎車距離為（米）與車速x（千米/小時）的關(guān)系為=0.1x+0.01x2；乙車的剎車距離S（米）與車速x（千米/小時）的關(guān)系如圖所示。請你就兩車的速度方面分析是誰的責(zé)任。

22.（本題滿分8分） 在銳角?ABC中，∠A ,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c.如圖所示，過C作CD⊥AB,垂足為點D,則cosA=,即AD=bcosA,
∴BD=c－AD=c－bcosA.
在Rt?ADC和Rt?BDC中有CD2=AC2－AD2=BC2－BD2,
B2－b2cos2A=a2－(c－bcosA)2,
整理得a2=b2+c2－2bccosA. ①
同理可得b2=a2+c2－2accosB. ②
C2=a2+b2－2abcosC. ③
這個結(jié)論就是著名的余弦定理。在以上三個等式中有六個元素a,b,c,∠A,∠B,∠C,若已知其中的任意三個元素，可求出其余的另外三個元素。
(1).在銳角ΔABC中，已知∠A=60°,b=5,c=7,試利用①，②，③求出a, ∠B,∠C,的數(shù)值？
（2）已知在銳角ΔABC中，三邊a,b,c分別是 7，8，9，求出∠A,∠B,∠C的度數(shù).
（保留整數(shù)）
25.（本題滿分 12分）如圖所示，已知A,B兩點的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28）
動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個單位的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始每秒1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線段AB交于E，F(xiàn)點，連接FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒。
(1)當(dāng)t=1秒時，求梯形OPFE的面積？t為何值時，梯形OPFE的面積最大？最大面積是多少？
（2）當(dāng)梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長；
（3）設(shè)t的值分別取t1,t2時（t1≠t2）,所對應(yīng)的三角形分別為ΔAF1P1和ΔAF2P2.試判斷
這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷？


21.因為0.1x+0.01x2,而12，所以0.1x+0.01x2=12，……………… 2分
解之，得， 舍去，故＜40，
所以甲車未超速行駛。 ……………………………………………… 4分
設(shè)=kx，把（60，15）代入，得 15=60k。解得，k=。
故=x. ……………………………………………… 6分
由題意知 10＜x＜12解之得：40＜x＜48.
所以乙車超速行駛。……………………………………………… 8分
22.（1）∵a2=b2+c2－2bccosA=25+49－2·5·7·cos60o= 39
∴a= …………… 2分
∵b2=a2+c2－2accosB.
∴cosB==
∠B≈36o …………… 3分
∴∠C=180o－60o－36o=84o …………… 4分
(2).由余弦定理得 72=82+92－2×8×9cosA
得 cosA=
∴∠A≈48o ………… 6分
再得 82=92+72－2×9×7cosB
得 cosB=
∠B≈58o ……………… 7分
∴∠C=180o－∠A－∠B=74o ……… 8分
25．（1）S梯形OPFE=(OP+EF)·OE=(25+27)
設(shè)運動時間為t秒時，梯形OPFE的面積為y
則y=(28－3t+28－t)t=－2t2+28t=－2（t－7）2+98. ……………… 3分
所以當(dāng)t=7秒時，梯形OPFE的面積最大，最大面積為98； ……………… 4分
（2）當(dāng)S梯形OPFE=SΔAPF時，
－2t2+28t=,解得t1=8,t2=0(舍去)。 …………… 7分
當(dāng)t=8秒時，F(xiàn)P=8 ……………… 8分
（3） 由， ……………… 10分
且∠OAB=∠OAB, ……… 11分
可證得ΔAF1P1∽ΔAF2P2 …… 12分
23.在8×8的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，己知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內(nèi)的一個格點，由點C與線段AB組成一個以AB為底，且腰長為無理數(shù)的等腰三角形，
（1）填空：C點的坐標(biāo)是_________，△ABC的面積是__________；
（2）將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C，連結(jié)AB1，BA1，試判斷四邊形AB1A1B是何種特殊四邊形，請說明理由；
（3）請?zhí)骄浚涸趚軸上是否存在這樣的點P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2倍．若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)（不必寫出解答過程）；若不存在，請說明理由．
24.如圖， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動．（1）設(shè)ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍．（2）當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．
1，如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為10cm，正方形A的邊長為6cm、B的邊長為5cm、C的邊長為5cm，則正方形D的邊長為（ ）
A． cm B．4cm C． cm D． 3cm
2，如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（　　）
Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55

　　
3，如圖，已知是圓柱底面的直徑，是圓柱的高，在高柱的側(cè)面上，過點嵌有一幅路徑最短的金屬絲，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，所得的側(cè)面展工圖是（　　）
4，如圖，在ΔABC中，AB=BC=2，∠ABC＝90°，D是BC的中點，且它關(guān)于AC的對稱點是D′，則BD′=___________
5，在中，點是上一點，，，則 度．
6，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長分別為，那么的值是 ．
7，（07岳陽）已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°,如圖1，E為AB上任意一點，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連結(jié)AD，則有AD∥BC，
（1）若將等腰Rt△ABC改為正△ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點，△CDE為正三角形，連結(jié)AD，上述結(jié)論還成立嗎？
答 。（成立 或者AD//BC）
（2）若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點，△DEC∽△ABC,連結(jié)AD，請問AD與BC的位置關(guān)系怎樣？
答： 。(AD//BC)
（3）請你在上述3個結(jié)論中，任選一個結(jié)論進行證明。
8，（07武漢）填空或解答：點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側(cè)，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線AE、BD交于點F。
(1)如圖①，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝_________；如圖②，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝_________；
(2)如圖③，若∠BAC＝α，則∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
(3)將圖③中的△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)(點F不與點A、B重合)，得圖④或圖⑤。在圖④中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________。請你任選其中一個結(jié)論證明。
9，李老師在與同學(xué)進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設(shè)計了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長。
（1）如圖1，正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C1處；
（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為6cm，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點A沿著棱柱表面爬到C1處；
（3）如圖3，圓錐的母線長為4cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖4所示，且∠AOA1＝120°，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A．
34.（08浙江義烏）23．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．
（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．
（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值．
35.（08上海市卷）23．（本題滿分12分，每小題滿分各6分）
如圖11，已知平行四邊形中，對角線交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求證：四邊形是正方形．
36.(08安徽省卷20題)20.（本題8分） 如圖四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q。
⑴請寫出圖中各對相似三角形(相似比為1 除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR
23．解:
(1)① ………………………………………………………………2分
②仍然成立 ……………………………………………………1分
在圖（2）中證明如下
∵四邊形、四邊形都是正方形
∴ ，，
∴…………………………………………………………………1分
∴ （SAS）………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ …………………………………………………………………………1分
（2）成立，不成立 …………………………………………………2分
簡要說明如下
∵四邊形、四邊形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴………………………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ ……………………………………………………………………………1分
（3）∵ ∴
又∵，，
∴ ………………………………………………1分
∴ ………………………………………………………………………1分
23．證明：（1）四邊形是平行四邊形，．……（2分）
又是等邊三角形，，即． （2分）
平行四邊形是菱形； （2分）
（2）是等邊三角形，． （1分）
，． （1分）
，．． （1分）
四邊形是菱形，． （2分）
四邊形是正方形． （1分）
(08安徽省卷20題解析)：（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ
（2）∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形
∴BC=AD=CE，AC∥DE，∴PB=PR，
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ
又∵點R是DE中點，∴DR=RE。
，∴QR=2PQ。
又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ…………8分
∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2……10分
23，如圖，已知平行四邊形中，對角線交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求證：四邊形是正方形．
25．已知：如圖所示的一張矩形紙片（），將紙片折疊一次，使點與重合，再展開，折痕交邊于，交邊于，分別連結(jié)和．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，的面積為，求的周長；
（3）在線段上是否存在一點，使得？
若存在，請說明點的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．
23．證明：（1）四邊形是平行四邊形，．……（2分）
又是等邊三角形，，即． （2分）
平行四邊形是菱形； （2分）
（2）是等邊三角形，． （1分）
，． （1分）
，．． （1分）
四邊形是菱形，． （2分）
四邊形是正方形． （1分）
25．解：（1）連結(jié)交于，
當(dāng)頂點與重合時，折痕垂直平分，
， 1分
在平行四邊形中，，
，．
2分
四邊形是菱形． 3分
（2）四邊形是菱形，．
設(shè)，，，
4分
①
又，則． ② 5分
由①、②得： 6分
，（不合題意舍去）
的周長為． 7分
（3）過作交于，則就是所求的點． 9分
證明：由作法，，由（1）得：，又，
，
，則 10分
四邊形是菱形，，． 11分
12分
39.(08福建龍巖25題)25．（14分）如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發(fā)沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.
（1）求AD的長；
（2）設(shè)CP=x，問當(dāng)x為何值時△PDQ的面積達到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.
40.(08福建廈門25題)25．（本題滿分12分）
已知：如圖所示的一張矩形紙片（），將紙片折疊一次，使點與重合，再展開，折痕交邊于，交邊于，分別連結(jié)和．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，的面積為，求的周長；
（3）在線段上是否存在一點，使得？
若存在，請說明點的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．
44.（08湖北黃石26題）26．（本小題滿分9分）
如圖，為直角，點為線段的中點，點是射線上的一個動點（不與點重合），連結(jié)，作，垂足為，連結(jié)，過點作，交于．
（1）求證：；
（2）在什么范圍內(nèi)變化時，四邊形是梯形，并說明理由；
（3）在什么范圍內(nèi)變化時，線段上存在點，滿足條件，并說明理由．
(08福建龍巖25題解析)（14分）
（1）解法一：如圖25-1
過A作AE⊥CD，垂足為E .
依題意，DE=. …………………………2分
在Rt△ADE中，AD=. ………5分
解法二：如圖25-2
過點A作AE∥BC交CD于點E，則CE=AB=4 . …2分
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等邊三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分
（2）解：如圖25-1
∵CP=x，h為PD邊上的高,依題意，△PDQ的面積S可表示為：
S=PD·h ………………………………………6分
=(9－x)·x·sin60°
=(9x－x2)
=－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分
由題意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分
當(dāng)x=時（滿足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分
（3）證法一：如圖25-3
假設(shè)存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此時，點P、Q的位置如圖25-3所示，連QP .
△PDQ恰為等邊三角形 .
過點Q作QM∥DC，交BC于M，點M即為所求.
連結(jié)MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 .
易證△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四邊形PDQM是平行四邊形 .
又MP=PD , ∴四邊形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分
所以存在滿足條件的點M，且BM=BC－MC=5－=. ………………… 14分
[注] 本題僅回答存在，給1分.
證法二：如圖25-4
假設(shè)存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ . ………………………… 11分
于是9－x=x，x=.
此時，點P、Q的位置如圖25-4所示，△PDQ恰為等邊三角形 .
過點D作DO⊥PQ于點O，延長DO交BC于點M，連結(jié)PM、QM，則DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ∥BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四邊形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分
所以存在滿足條件的點M，且BM=BC－MC=5－= ……………… 14分
[注] 本題僅回答存在，給1分.
25．解：（1）連結(jié)交于，
當(dāng)頂點與重合時，折痕垂直平分，
， 1分
在平行四邊形中，，
，
．
2分
四邊形是菱形． 3分
（2）四邊形是菱形，．
設(shè)，，，
4分
①
又，則． ② 5分
由①、②得： 6分
，（不合題意舍去）
的周長為． 7分
（3）過作交于，則就是所求的點． 9分
證明：由作法，，
由（1）得：，又，
，
，則 10分
四邊形是菱形，，． 11分
12分
（08湖北黃石26題解答）（1）在中，，，
，．
，
，．
，，
．
．
． （3分）
（2）由（1），而，
，即．
若，則，．
，．
當(dāng)或時，四邊形為梯形． （6分）
（3）作，垂足為，則．
，．
又為中點，為的中點．
為的中垂線．
．
點在h上，．
，
．
．
．
又，
．
當(dāng)時，上存在點，滿足條件． （9分）
47.（08湖北武漢）24.（本題10分）正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P為對角線AC上一動點，過點P作PF⊥DC于點F.如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，顯然有DF＝CF.（1）如圖2，若點P在線段AO上（不與點A，O重合），PE⊥PB且PE交CD點E.???? ①求證：DF＝EF，???? ②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關(guān)系式，并證明你的結(jié)論：（2）若點P在線段OC上（不與點O，C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點E.請完成圖3并判斷（1）中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）.
24.⑴ ①略；②PC－PA＝CE；⑵結(jié)論①仍成立；
結(jié)論②不成立，此時②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA－PC＝CE；
48.(08湖北咸寧19題)19．（本題滿分8分）
如圖，在△ABC 中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？
并證明你的結(jié)論．
(08湖北咸寧19題解答)19．解（1）證明： ∵CE平分，　　
∴，
又∵MN∥BC，　∴，　　∴，　　　　　
∴．　　------------2分
同理，． -----3分
∴ ．------------------4分
（2）當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形. -------------------------5分
∵，點O是AC的中點． ∴四邊形AECF是平行四邊形. --------------6分
又∵，． ∴，即． ----7分
∴四邊形AECF是矩形． ----------------------------------------------8分
50.（08湖北孝感20題）20．（本題滿分8分）
寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，心理學(xué)測試表明，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感，現(xiàn)將同學(xué)們在教學(xué)活動中，折疊黃金矩形的方法歸納出以下作圖步驟（如圖所示）：
第一步：作一個任意正方形；
第二步：分別取的中點，連接；
第三步：以為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于；
第四步：過作交的延長線于，
請你根據(jù)以上作法，證明矩形為黃金矩形，（可取）
（08湖北孝感20題解答）
證明：在正方形中，取
為的中點，
2分
在中， 4分
又，
， 6分
． 7分
故矩形為黃金矩形． 8分
52.（08湖北宜昌23題）23．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是邊AB（含端點）上的動點．過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點S，在線段RS上存在一點T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點E，F(xiàn)恰好分別在邊BC，AC上．
（1）△ABC與△SBR是否相似，說明理由；
（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關(guān)系；
（3）設(shè)邊AB＝1，當(dāng)P在邊AB（含端點）上運動時，請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值．
（08湖北宜昌23題解答）解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分線，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.
在△ABC與△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR..(1分)
(2)線段TS的長度與PA相等.(2分)
∵四邊形PTEF是正方形，
∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°,
在Rt△PFA中，∠PFA ＋∠FPA＝90°,
∴∠PFA＝∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.(3分)
當(dāng)點P運動到使得T與R重合時，
這時△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等，即有PA＝TS.
(若下面解題中沒有求出x的取值范圍是0≤x≤，
以上的討論可評1分)
由以上可知，線段ST的長度與PA相等.
(3)由題意，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高，
∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋PA＝1, ∴PS＝.(4分)
設(shè)PA的長為x，易知AF=PS，
則y＝PF＝PA＋PS,得y＝x＋(),
即y＝，(5分)
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x＝時，y有最小值為.(6分)
如圖2，當(dāng)點P運動使得T與R重合時，PA＝TS為最大.
易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA＝.
如圖3，當(dāng)P與A重合時，得x＝0.
∴x的取值范圍是0≤x≤.(7分)
(此處為獨立得分點，只要求出x≤即可得1分)
∴①當(dāng)x的值由0增大到時，y的值由減小到(8分)
∴②當(dāng)x的值由增大到時，y的值由增大到.(8分)
(說明：①②任做對一處評1分，兩處全對也只評一分)
∵≤≤，∴在點P的運動過程中，
正方形PTEF面積y的最小值是，y的最大值是.(9分)
54.（08湖南常德23題）23．如圖7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形．
（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？
（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明．
解（1）
（08湖南常德23題解答）解：（1）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：
②　，①③，　①④，　②③，　②④，　③④……………２分
　　　其中有兩組（①③，　②④）是相似的．
∴選取到的二個三角形是相似三角形的概率是P=…………4分
（2）證明：選擇①、③證明．
在△AOB與△COD中,　∵AB∥CD,
　　　　∴∠CDB＝∠DBA　,　∠DCA＝∠CAB,
　　　　∴△AOB∽△COD……………………………………………8分
選擇②、④證明.
∵四邊形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB＝∠CAB,
∴在△DAB與△CBA中有
AD=BC, ∠DAB＝∠CAB,AB=AB,
∴△DAB ≌ △CBA,…………………………………………6分
∴∠ADO＝∠BCO.
又∠DOA＝∠COB, ∴△DOA∽△COB………………………8分
55.（08湖南常德26題）26． 如圖9，在直線上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列問題：
（1）旋轉(zhuǎn)：將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)900，請你在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)圖形
△A1B1C，并求出AB1的長度；
（2）翻折：將△A1B1C沿過點B1且與直線垂直的直線翻折，得到翻折后的對應(yīng)圖形
△A2B1C1，試判定四邊形A2B1DE的形狀？并說明理由；
（3）平移：將△A2B1C1沿直線向右平移至△A3B2C2，若設(shè)平移的距離為ｘ，△A3B2C2與直角梯形重疊部分的面積為ｙ，當(dāng)ｙ等于△ABC面積的一半時,ｘ的值是多少？

（08湖南常德26題解答）
解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，
∴AB1=AC+C B1=AC+CB=.……………………………………2分
(2)四邊形A2B1DE為平行四邊形.理由如下：
∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE
又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故結(jié)論成立.………………4分
（3）由題意可知：
S△ABC=，
當(dāng)或時，ｙ＝0
此時重疊部分的面積不會等于△ABC的面積的一半……………5分
②當(dāng)時，直角邊B2C2與等腰梯形的下底邊DG重疊的長度為DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，則ｙ＝,
當(dāng)ｙ= S△ABC= 時，即 ，
解得（舍）或.
∴當(dāng)時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.
③當(dāng)時，△A3B2C2完全與等腰梯形重疊，即……………7分
④當(dāng)時,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-
則ｙ＝,
當(dāng)ｙ= S△ABC= 時，即 ，
解得,或(舍去).
∴當(dāng)時，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………9分
由以上討論知,當(dāng)或時, 重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………10分
57.（08湖南懷化24題）24．（本題滿分7分）
如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N．
求證：（1）；
（2）
（08湖南懷化24題解答） 證明：（1）四邊形和四邊形都是正方形
3分
4分
（2）由（1）得
7分
∴AMN∽CDN 6分
58.（08湖南懷化25題）25．(本題滿分7分)
如圖11，已知△的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△沿CA方向平移CA長度得到△．
（1）求四邊形CEFB的面積；
（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若，求AC的長．
（08湖南懷化25題解答）解：（1）由平移的性質(zhì)得
． 3分
（2）．證明如下：由（1）知四邊形為平行四邊形
5分
59.（08湖南湘潭20題）20.（本題滿分6分）
如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點，且DE=AB，過C作CF⊥DE，垂足為F.
（1）猜想：AD與CF的大小關(guān)系；
（2）請證明上面的結(jié)論.
（08湖南湘潭20題解答）解：（1）． 2分
（2）四邊形是矩形，
3分
又 4分
5分
6分
60.（08湖南益陽22題）22. △ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上.
Ⅰ.證明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ. 探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形.
小聰和小明各給出了一種想法，請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答. 如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分.
Ⅱa. 小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點和E點，再畫正方形DEFG就容易了.
設(shè)△ABC的邊長為2 ，請你幫小聰求出正方形的邊長(結(jié)果用含根號的式子表示，不要求分母有理化) .
Ⅱb. 小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形. 具體作法是：
①在AB邊上任取一點G’，如圖作正方形G’D’E’F’；
②連結(jié)BF’并延長交AC于F；
③作FE∥F’E’交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，則四邊形DEFG即為所求.
你認為小明的作法正確嗎？說明理由.
（08湖南益陽22題解答）Ⅰ.證明：∵DEFG為正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° 2分
∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60° 3分
∴△BDG≌△CEF(AAS) 5分
Ⅱa.解法一：設(shè)正方形的邊長為x，作△ABC的高AH，
求得 7分
　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得： 9分
解之得：(或) 10分
　　　　　　　
解法二：設(shè)正方形的邊長為x，則 7分
　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，
∴ 9分
解之得：(或) 10分
解法三：設(shè)正方形的邊長為x，
則 7分
由勾股定理得： 9分
解之得： 10分
Ⅱb.解： 正確 6分
由已知可知，四邊形GDEF為矩形 7分
∵FE∥F’E’ ，
∴，
同理，
∴
又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF為正方形 10分
61.（08湖南益陽23題）23. 兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：
(1) 如圖11(1)，△DEF沿線段AB向右平移(即D點在線段AB內(nèi)移動)，連結(jié)DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積.
(2)如圖11(2)，當(dāng)D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由.
(3)如圖11(3)，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連結(jié)AE，請你求出sinα的值.
（08湖南益陽23題解答）解：(1)過C點作CG⊥AB于G，
在Rt△AGC中，∵sin60°=，∴ 1分
∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC= 3分
(2)菱形 4分
∵CD∥BF， FC∥BD，∴四邊形CDBF是平行四邊形 5分
∵DF∥AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF 6分
∴四邊形CDBF是菱形 7分
(判斷四邊形CDBF是平行四邊形，并證明正確，記2分)
(3)解法一：過D點作DH⊥AE于H，則S△ADE= 8分
又S△ADE=， 9分
∴在Rt△DHE’中，sinα= 10分
解法二：∵△ADH∽△ABE 8分
∴
即：
∴ 9分
∴sinα= 10分
69.（08廣東深圳18題）18．如圖5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，且∠C＝2∠E．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的長．
（08廣東深圳18題解答）（1）證明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC
∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC
又∵∠C＝2∠E
∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形 …………………………3分
（2）解：由第（1）問，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴DC＝2BC＝10 …………………………7分
86.（08四川資陽）18．（本小題滿分7分）
如圖7，在△ABC中，∠A、∠B的平分線交于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于點F．
（1）點D是△ABC的________心；
（2）求證：四邊形DECF為菱形．

（08四川資陽）18．(1) 內(nèi). 2分
(2) 證法一：連接CD， 3分
∵ DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四邊形DECF為平行四邊形， 4分
又∵ 點D是△ABC的內(nèi)心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 5分
又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD， 6分
∴ □DECF為菱形． 7分
證法二：
過D分別作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I． 3分
∵AD、BD分別平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI． 4分
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF為平行四邊形， 5分
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF． 6分
∴□DECF為菱形． 7分
33．如圖1，在等腰梯形中，∥ 點從開始沿邊向以3㎝╱s的速度移動，點從 開始沿CD邊向D以1㎝ ╱s的速度移動，如果點 、分別從、同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動。設(shè)運動時間為。
為何值時，四邊形是平等四邊形？
如圖2，如果⊙和⊙的半徑都是2㎝，那么，為何值時，⊙和⊙外切？
33.解：（1）∵DQ//AP，∴當(dāng)AP=DQ時，四邊形APQD是平行四邊形。此時，3t=8-t。解得t=2（s）。即當(dāng)t為2s時，四邊形APQD是平行四邊形。
（2）∵⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，∴當(dāng)PQ=4cm時，⊙P和⊙Q外切。而當(dāng)PQ=4cm時，如果PQ//AD，那么四邊形APQD是平行四邊形。
①當(dāng) 四邊形APQD是平行四邊形時，由（1）得t=2（s）。
② 當(dāng) 四邊形APQD是等腰梯形時，∠A=∠APQ。∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，∴∠APQ=∠B。∴PQ//BC。∴四邊形PBCQ平行四邊形 。此時，CQ=PB。∴t=12-3t。解得t3（s）。
綜上，當(dāng)t為2s或3s時，⊙P和⊙Q相切。

31．先閱讀讀短文，再解答短文后面的問題：
在幾何學(xué)中，通常用點表示位置，用線段的長度表示兩點間的距離，用一條射線表示一個方向。
在線段的兩個端點中（如圖），如果我們規(guī)定一個順序：為始點，為終點，我們就說線段具有射線的方向，線段叫做有向線段，記作，線段的長度叫做有向線段的長度（或模），記作。
有向線段包含三個要素、始點、方向和長度，知道了有向線段的始點，它的終點就被方向和長度惟一確定。
解答下列問題：
（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出有向線段（有向線段與軸的長度單位相同），，與軸的正半軸的夾角是，且與軸的正半軸的夾角是；
（2）若的終點的坐標(biāo)為（3，），求它的模及它與軸的正半軸的夾角 的度數(shù)。

31.（1）作圖略 （2）
89.(08甘肅蘭州25題)25．（本題滿分9分）如圖15，平行四邊形中，，，．對角線相交于點，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，分別交于點．
（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時，四邊形是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與總保持相等；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時繞點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．
(08甘肅蘭州25題解答)（本題滿分9分）
（1）證明：當(dāng)時，，
又，
四邊形為平行四邊形． 3分
（2）證明：四邊形為平行四邊形，
．
．
5分
（3）四邊形可以是菱形． 6分
理由：如圖，連接，
由（2）知，得，
與互相平分．
當(dāng)時，四邊形為菱形． 7分
在中，，
，又，， 8分
，
繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，四邊形為菱形． 9分
92.（08寧夏區(qū)卷）26． (10分)
如圖，在邊長為4的正方形中，點在上從向運動，連接交于點．
（1）試證明：無論點運動到上何處時，都有△≌△；
（2）當(dāng)點在上運動到什么位置時，△的面積是正方形面積的；
（3）若點從點運動到點，再繼續(xù)在上運動到點，在整個運動過程中，當(dāng)點 運動到什么位置時，△恰為等腰三角形．
26．（1）證明：在正方形中，
無論點運動到上何處時，都有
= ∠=∠ =
∴△≌△ 2分
(2)解法一：△的面積恰好是正方形ABCD面積的時，
過點Q作⊥于,⊥于，則 =
==
∴= 4分
由△ ∽△得 解得
∴時，△的面積是正方形面積的 6分
解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過點作⊥軸于點，⊥軸于點．
== ∴=
∵點在正方形對角線上 ∴點的坐標(biāo)為
∴ 過點（0，4），(兩點的函數(shù)關(guān)系式為：
當(dāng)時， ∴點的坐標(biāo)為（2，0）
∴時，△的面積是正方形面積的． 6分
（3）若△是等腰三角形，則有 =或=或=
①當(dāng)點運動到與點重合時，由四邊形是正方形知 =
此時△是等腰三角形
②當(dāng)點與點重合時，點與點也重合，
此時=, △是等腰三角形 8分
③解法一：如圖，設(shè)點在邊上運動到時，有=
∵ ∥ ∴∠=∠
又∵∠=∠ ∠=∠
∴∠=∠
∴ ==
∵= = =4
∴
即當(dāng)時，△是等腰三角形 10分
解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點在上運動到時，有=．
過點作⊥軸于點，⊥軸于點,則
在△中，，∠=45°
∴=°=
∴點的坐標(biāo)為（，）
∴過、兩點的函數(shù)關(guān)系式：+4
當(dāng)=4時， ∴點的坐標(biāo)為（4，8-4）．
∴當(dāng)點在上運動到時，△是等腰三角形． 10分
38、（2008雞西）已知：正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點．
當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．
（1）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．

（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．
38、解：（1）成立．
如圖，把繞點順時針，得到，
則可證得三點共線（圖形畫正確）
證明過程中，
證得：
證得：
（2）
45、（2008遵義）（14分）如圖(1)所示，一張平行四邊形紙片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿對角線BD把這張紙片剪成△AB1D1和△CB2D2兩個三角形(如圖(2)所示)，將△AB1D1沿直線AB1方向移動(點B2始終在AB1上，AB1與CD2始終保持平行)，當(dāng)點A與B2重合時停止平移，在平移過程中，AD1與B2D2交于點E，B2C與B1D1交于點F，
(1)當(dāng)△AB1D1平移到圖(3)的位置時，試判斷四邊形B2FD1E是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；
(2)設(shè)平移距離B2B1為x，四邊形B2FD1E的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并求出四邊形B2FD1E的面積的最大值；
(3)連結(jié)B1C(請在圖(3)中畫出)。當(dāng)平移距離B2B1的值是多少時，△ B1B2F與△ B1CF相似？

45、解：(1) 四邊形B2FD1E是矩形。
因為△AB1D1平移到圖(3)的，所以四邊形B2FD1E是一個平行四邊形，又因為在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，則有∠ADB是直角。所以四邊形B2FD1E是矩形。
(2)因為三角形B1B2F與三角形AB1D1相似，則有B2F==0.6X,B1F==0.8x
所以sB2FD1E=B2F×D1F=0.6X × (8-0.8x)=4.8x-0.48x2
即y=4.8x-0.48x2=12-0.48(x-5)
當(dāng)x=5時，y=12是最大的值。
(3)要使△ B1B2F與△ B1CF相似，則有 即
解之得：x=3.6
46、（2008義烏）如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．
（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．
（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值．
46、解: (1)①
②仍然成立
在圖（2）中證明如下
∵四邊形、四邊形都是正方形
∴ ，，
∴
∴ （SAS）
∴
又∵
∴ ∴
∴
（2）成立，不成立
簡要說明如下
∵四邊形、四邊形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴ ∴
∴
（3）∵ ∴
又∵，，
∴ ∴
24．如圖9，AB∥CD、AD∥CE，F(xiàn)、G分別是AC和FD的中點，過G的直線依次交AB、AD、CD、CE于點M、N、P、Q，求證：MN＋PQ＝2PN．
28. （本題滿分13分）
把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP·CQ　　　　　　．
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中
0°﹤α﹤90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）
24．延長BA、EC，設(shè)交點為O，則四邊形OADC為平行四邊形．
∵ F是AC的中點，∴ DF的延長線必過O點，且．
∵ AB∥CD，∴ ．∵ AD∥CE，
∴ ．∴ ＝．
又 ，∴ OQ＝3DN．
∴ CQ＝OQ －OC＝3DN －OC＝3DN －AD，AN＝AD －DN，
于是，AN＋CQ＝2DN，
∴ ＝2，即 MN＋PQ＝2PN．
28. （1）8
　　（2）的值不會改變．
　　理由如下：在與中，
　　
　　 即
，
（3）情形1：當(dāng)時，，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，
　　
　　由（2）知：得
　　于是
　　　　
　　情形2：當(dāng)時，時，即，此時兩三角板重疊部分為，
　　由于，，易證：，
　　即解得
　　
　　于是
綜上所述，當(dāng)時，
當(dāng)時，　
法二：連結(jié)，并過作于點，在與中，
　　 即
　　
法三：過作于點，在中，
　　
　　　　
　　　　
　于是在與中
　
　　　　　
　　　　　
即
28.（已知雙曲線與直線相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側(cè)）是雙曲線上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，－n）作NC∥x軸交雙曲線于點E，交BD于點C．
（1）若點D坐標(biāo)是（－8，0），求A、B兩點坐標(biāo)及k的值．
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．
（3）設(shè)直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

23.（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點E是半圓上一動點（點E與點A、B都不重合），點C是BE延長線上的一點，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點H，點H與點A不重合。
（1）求證：△AHD∽△CBD；
（2）連HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。
24．（10分）已知：如圖11，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6），且AB＝.
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S△ABC = S梯形ABCD ?若存在，請求出該點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
25、(12分)如圖，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=，D是AC上一個動點（不運動至點A，C),過D作DE∥BC，交AB于E，過D作DF⊥BC，垂足為F，連結(jié) BD，設(shè) CD＝x．
（1）用含x的代數(shù)式分別表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(3）如果△BDF的面積為S1，△BDE的面積為S2，那么x為何值時，S1＝2S2　
28．解：（1）∵D（－8，0），∴B點的橫坐標(biāo)為－8，代入中，得y=－2．
∴B點坐標(biāo)為（－8，－2）．而A、B兩點關(guān)于原點對稱，∴A（8，2）．
從而．
（2）∵N（0，－n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，
∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．
S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =，
∴S四邊形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴．
由直線及雙曲線，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．設(shè)直線CM的解析式是，由C、M兩點在這條直線上，得
解得．
∴直線CM的解析式是．
（3）如圖，分別作AA1⊥x軸，MM1⊥x軸，垂足分別為A1、M1．
設(shè)A點的橫坐標(biāo)為a，則B點的橫坐標(biāo)為－a．于是
．
同理，
∴．
23、（1）（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴∠AEB＝∠ADH＝90°，
∴∠C＋∠CHE＝90°，∠A＋∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，∴∠A＝∠C，
∵∠ADH＝∠CDB＝90°，
∴△AHD∽△CBD
（2）設(shè)OD=x，則BD=1-x，AD=1+x
證Rt△AHD∽Rt△CBD
則HD : BD=AD : CD
即HD : (1-x)=(1+x) : 2
即HD=
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH==
所以HD+HO=+=1
24. （1）在RtΔABC中， ，
又因為點B在x軸的負半軸上，所以B（－2，0）
（2）設(shè)過A，B，D三點的拋物線的解析式為 ，
將A（0，6），B（－2，0），D（4，6）三點的坐標(biāo)代入得
解得 所以
（3）在拋物線上存在點P1(0,6)或P2(4,6),使SΔPBC=S梯形ABCD
25、 解：（1）在Rt△CDF中，sinC＝，CD＝x，
　　　　∴DF＝CD? sinC＝x，CF＝
∴BF＝18－。
（2）∵ED∥BC，∴，
∴ED＝
∴S＝×DF×（ED＋BF）
＝
　（3）由S1＝2S2，得S1＝S
　　　　　　∴（18－）?＝
　　　　　解這個方程，得：x1＝10，x2＝0（不合題意，舍去）
　　　　　所以，當(dāng)x＝10時，S1＝2S2。
15. 若是的一個因式，我們不難得到，易知= 2.現(xiàn)在我們用另一種方法來求的值：觀察上面的等式，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，，也就是說是方程的一個根，由此可以得到，解得= 2.若是的一個因式，用上述方法可求得= .
16. 讀一讀：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和.由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示為，這里“”是求和符號.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示為.同學(xué)們，通過對以上材料的閱讀，請解答下列問題：
①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號可表示為 ；
②計算：＝ （填寫最后的計算結(jié)果）.
22．（8分）閱讀材料并解答問題：
與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內(nèi)切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內(nèi)切圓，，與正邊形各邊都相切的圓叫做正邊形的內(nèi)切圓，設(shè)正邊形的面積為，其內(nèi)切圓的半徑為，試探索正邊形的面積．
（1）如圖①，當(dāng)時，
設(shè)切于點，連結(jié)，
，
，
，．
在中，
，，
，,
,
．
（2）如圖②，當(dāng)時，仿照（1）中的方法和過程可求得： ；
（3）如圖③，當(dāng)時，仿照（1）中的方法和過程求；
（4）如圖④，根據(jù)以上探索過程，請直接寫出 ．
22．解：（2）． 2分
（3）如圖③，當(dāng)時，設(shè)切于點，連結(jié)，
，，
，， 3分
，， 4分
， 5分
． 6分
（4）． 8分
23．（8分）如圖8，已知⊙的弦垂直于直徑,垂足為，連接、．
（1）求證：；
（2）在上有一點，延長到點，連接，若，，求證： 是⊙的切線．




24．（10分）如圖9，A、B是直線上的兩點，AB=4厘米，過外一點C作CD∥，射線BC與所成的銳角∠1=60°，線段BC=2厘米，動點P、Q分別從B、C同時出發(fā)，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向運動，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向運動．設(shè)P，Q運動的時間為t（秒），當(dāng)t＞2時，PA交CD于E．
(1) 求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
(2)QE恰好平分△APQ的面積時，試求QE的長是多少厘米？

25．（12分）如圖，已知平行四邊形的頂點的坐標(biāo)是，平行于軸，三點在拋物線上，交軸于點，一條直線與交于點，與交于點，如果點的橫坐標(biāo)為，四邊形的面積為．
（1）求出兩點的坐標(biāo)；
（2）求的值；
（3）作的內(nèi)切圓⊙P，切點分別為，求的值．
23．證明：（1）,
（2分）
（3分）
（2）連結(jié)（1分） (4分)

（5分）
（6分）
（7分）
（8分）
24．解：（1）依題可得BP＝t，CQ＝2t，PC＝t－2． ……………1分
　　∵EC∥AB，∴△PCE∽△PAB，＝，
　∴EC＝． ……………3分
　QE＝QC－EC＝2t－＝． ……………4分
　作PF⊥，垂足為F. 則PF＝PB·sin60°＝t ……………5分
　∴S＝QE·PF＝··t＝（t2－2t＋4）(t＞2)． ……6分
（2）此時，C為PB中點，則t－2＝2，∴＝4． ……………8分
　∴QE＝＝＝6（厘米）．　　 ……………10分
25.（1）∵點A的坐標(biāo)為（0，16），且AB∥x軸
∴B點縱坐標(biāo)為16，且B點在拋物線上
∴點B的坐標(biāo)為（10，16）...............................1分
又∵點D、C在拋物線上，且CD∥x軸
∴D、C兩點關(guān)于y軸對稱
∴DN＝CN＝5...............................2分
∴D點的坐標(biāo)為（－5,4）...............................3分
（2）設(shè)E點的坐標(biāo)為（a，16），則直線OE的解析式為：..........................4分
∴F點的坐標(biāo)為（）..............................5分
由AE＝a，DF＝且，得
..............................7分
解得a＝5..............................8分
（3）連結(jié)PH，PM，PK
∵⊙P是△AND的內(nèi)切圓，H，M，K為切點
∴PH⊥AD　　PM⊥DN　　PK⊥AN..............................9分
在Rt△AND中，由DN＝5，AN＝12，得AD＝13
設(shè)⊙P的半徑為r，則　
所以　r＝2.............................11分
在正方形PMNK中，PM＝MN＝2
∴
在Rt△PMF中，tan∠PFM＝.............................12分
23．（8分）如圖，點在上，，與相交于點，，延長到點，使，連結(jié)．
（1）證明；
（2）試判斷直線與的位置關(guān)系，并給出證明．
22．（本題12分）如圖，在中，以AC為直徑作圓O，交AB邊于點D，過點O作OE∥AB，交BC邊于點E。
（1）試判斷ED與圓O位置關(guān)系，并給出證明；
（2）如果圓 O的半徑為，求AB的長.
21、如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若，求CD的長；
（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留）。
24.如圖，已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊上的中點，連結(jié)DE.
(1)如圖所示，觀察猜想DE是⊙O的切線嗎？并證明你的結(jié)論；
(2)連結(jié)OE，當(dāng)∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形，并說明理由.
23．解：（1）在和中，
，，． 2分
又，
． 4分
（2）直線與相切．
證明：連結(jié)．
，
． 5分
．
所以是等腰三角形頂角的平分線．
． 6分
由，得．． 7分
由知，．直線與相切． 8分
22.（1）解：ED與圓O相切，證明如下：
連結(jié)OD
∵OE∥AB ∴∠COE=∠CAD、∠EOD=∠ODA ………2分
∵∠OAD=∠ODA ∴∠COE=∠DOE
又∵OC=OD、DE=OE ∴⊿COE≌⊿DOE（SAS） ………4分
∴∠ODE=∠OCE=RT∠
∴ED是圓O的切線 ………6分
（2）解：在RT⊿ODE中
∵OD=，DE=2 ∴OE===………9分
∵DE∥AB ∴⊿COE～⊿CAB
∴= 即=
∴AB=5 ………12分
20．（8分）
等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使點B重合于點D，折痕分別交邊AB、BC于點F、E.若AD=2，BC=8.
求（1）BE的長；
（2）∠CDE的正切值.
20．解:(1)由題意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE,∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°,即DE⊥BC.
∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，易得CE=(BC-AD)=3，∴BE=5.
（2）由（1）得DE=BE=5.
在△DEC中，∠DEC=90°,DE=5,EC=3, ∴tan∠CDE==.
24.（10分）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，在射線PA上截取PD=PC，連接CD，并延長交⊙O于點E.
(1)求證：∠ABE=∠BCE；
(2)當(dāng)點P在AB的延長線上運動時，判斷sin∠BCE的值是否隨點P位置的變化而變化，提出你的猜想并加以證明．
24．證明：（1）∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD.
∵PC切⊙O于點C，∴∠PCD=∠E.
∵∠ABE=∠PDC-∠E，∠BCE=∠PCD-∠PCB，∴∠ABE=∠BCE.
（2）猜想：sin∠BCE的值不隨點P位置的變化而變化.
證明：如圖，連接AE.
∵∠ABE=∠BCE，∠BCE=∠A，
∴∠ABE=∠A.
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°.
∴∠BCE=∠A=45°.
∴sin∠BCE=sin45°=.
∴sin∠BCE的值不隨點P位置的變化而變化.
第24題圖
點評：本題第（2）問的基本思路是：猜想sin∠BCE的值不變←∠BCE不變←∠ABE不變←證明∠ABE=45°,是考查圓的有關(guān)性質(zhì)的一道探索性試題.
9、如圖所示，AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上一點，PD切⊙O于C，BC和AD的延長線相交于點E，且AB=AE。
（1）求證：;
（2）若圓的半徑為 ，BP=1。求證：是等邊三角形。（題中橫線上的數(shù)字被墨跡污染了，請你填上半徑的值，并證明這個題目）
9、答案：（1）連接OC，AE∥OC
（2）半徑為1
25．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BOC＝108°，過點C作直線CD分別交直線AB和⊙O于點D、E，連接OE，DE＝AB，OD＝2 .
⑴求∠CDB的度數(shù)；
⑵我們把有一個內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金分割比.
①求弦CE的長；
②在直線AB或CD上是否存在點P（點C、D除外），使△POE是黃金三角形？若存在，畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由.（稍難題）
26．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，點D在AC上，CD＝3厘米．點P、Q分別由A、C兩點同時出發(fā)，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒；點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米．設(shè)運動的時間為x秒，△DCQ的面積為y1平方厘米，△PCQ的面積為y2平方厘米．
⑴求y1與x的函數(shù)關(guān)系，并在圖2中畫出y1的圖象；
⑵如圖2，y2的圖象是拋物線的一部分，其頂點坐標(biāo)是（4，12），求點P的速度及AC的長；
⑶在圖2中，點G是x軸正半軸上一點，過G作EF垂直于x軸，分別交y1、y2的圖象于點E、F．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；
②當(dāng)0＜x＜6時，求線段EF長的最大值．（稍難題）
25．解：(1)∵AB是⊙O的直徑,DE=AB,
∴OA=OC=OE=DE.
則∠EOD=∠CDB, ∠OCE=∠OEC.
設(shè)∠CDB=x,則∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.
又∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°.
∴x+2x=108,x=36°. ∴∠CDB=36°.
（2）①∵∠COB=108°，∴∠COD=72°.
又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD.∴OD=CD.
∴△COD是黃金三角形.
∴.
∵OD=2,∴OC=-1，
∵CD=OD=2,DE=OC=-1,
∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-.
②存在，有三個符合條件的點P1、P2、P3（如圖所示）.
ⅰ）以O(shè)E為底邊的黃金三角形：作OE的垂直平分線分別交直線AB、CD得到點P1、P2 .
ⅱ）以O(shè)E為腰的黃金三角形：點P3與點A重合.
26．解：⑴∵，CD＝3，CQ＝x，
∴．
圖象如圖所示．
⑵方法一：
，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴．
∵拋物線頂點坐標(biāo)是（4，12），
∴．解得．
則點P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法二：
觀察圖象知，當(dāng)x＝4時，△PCQ面積為12．
此時PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．
∴由，得 ．解得．
則點P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法三：
設(shè)y2的圖象所在拋物線的解析式是．
∵圖象過（0，0），（4，12），（8，0），
∴ 解得
∴． ①
∵，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴． ②
比較①②得.
則點P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
⑶①觀察圖象，知
線段的長EF＝y(tǒng)2－y1，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）．
②由⑵得 .（方法二，）
∵EF＝y(tǒng)2－y1，
∴EF＝，
∵二次項系數(shù)小于0，
∴在范圍，當(dāng)時，最大．
22．如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為弧BC的中點，
DE⊥AC于E。
（1）求證：DE是⊙O的切線。
（2）若OB=5，BC=6，求CE的長。

24．如圖，在直角梯形OABC中，OA∥BC，∠B＝90°，OA＝6，AB＝4，BC＝3。以O(shè)為原點，以O(shè)A所在的直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系。動點P從原點O出發(fā)，沿O→C→B→A的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q也從原點出發(fā)，在線段OA上以每秒1個單位長的速度向點A運動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點A時，點P隨之停止運動。設(shè)運動的時間為t（秒）。
（1）求點C的坐標(biāo)和線段OC的長；
（2）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點P在線段CB上運動時，是否存在以C、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
22．（本題10分）
（1）證明：連結(jié)OD交BC于F
∵D為弧BC的中點 ∴OD⊥BC
∵AB為直徑 ∴∠ACB=Rt∠
又∵DE⊥AC
∴∠CED=∠ECF=∠CFD=Rt∠
∴∠FDE=Rt∠ 即OD⊥DE
又∵OD為⊙O的半徑
∴DE是⊙O的切線 …………………（5分）
（2）解：∵OD⊥BC，BC=6
∴BF=CF=3
在Rt△OBF中，OB=5 BF=3
∴OF=4 ∴DF=OD―OF=1
又∵四邊形DECF是矩形
∴CE=DF=1 …………………（5分）
答：CF的長是1
24．（本題14分）　
解：（1）過C作CD⊥OA交OA于D
∵CD=AB=4，AD=BC=3
∴OD=OA―AD=3 ………………（2分）
∴點C的坐標(biāo)為(3，4) …………（1分）
在Rt△OCD中，由勾股定理得 OC=5 ……（1分）
（2）①當(dāng)點P在OC上，即0≤t≤時
過P作PH⊥OA于點H，則PH∥CD
∴△OPH∽△OCD
∴，即
∴PH= ∴S= ……………………（2分）
②當(dāng)點P在CB上，即≤t≤4時
∴S= ……………………………（2分）
③當(dāng)點P在BA上，即4≤t≤6時
∴S= ……………………………（2分）
（3）不存在 ……………………………（1分）
當(dāng)點P運動在CB上時， CQ≥4，PQ≥4，CP≤3
假設(shè)CB上存在點P使△CPQ為等腰三角形， 則CQ=PQ
過Q作QG⊥BC交BC于G， 則CG=PG=DQ
∴2t―5=2(t―3) ∴―5=―6，不成立
∴假設(shè)不成立
∴當(dāng)P點運動在線段CB上時，不存在以C，P，Q
三點為頂點的三角形是等腰三角形 ……………………………（3分）
17. 已知是正整數(shù)，(，)是反比例函數(shù)圖象上的一列點，其中，，…，；記，，…，；若，則的值是______________.
18. 如圖, DE是的中位線，M是DE的中點, CM的延長線交AB于N，那么=_________________.
23. （本題滿分12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.
（1）求證：點E是邊BC的中點；（4分）
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；（4分）
（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由. （4分）
24. （本題滿分10分）宏達紡織品有限公司準(zhǔn)備投資開發(fā)A、B兩種新產(chǎn)品,通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果單獨投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤（萬元）與投資金額（萬元）之間滿足正比例函數(shù)關(guān)系：；如果單獨投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤（萬元）與投資金額（萬元）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系：.根據(jù)公司信息部的報告，，（萬元）與投資金額（萬元）的部分對應(yīng)值（如下表）
1
5
0.6
3
2.8
10
（1）填空：（4分）
_______________________；
_______________________；
（2）如果公司準(zhǔn)備投資20萬元同時開發(fā)A、B兩種新產(chǎn)品，設(shè)公司所獲得的總利潤為（萬元），試寫出與某種產(chǎn)品的投資金額x之間的函數(shù)關(guān)系式.（3分）
（3）請你設(shè)計一個在（2）中能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少萬元？（3分）
26.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的圓O分別交x軸、y軸于A、B、C、D四點，拋物線經(jīng)過點C且與直線AC只有一個公共點。
（1）求直線AC的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點P為（2）中拋物線上的點，由點P作x軸的垂線，垂足為點Q，問：此拋物線上是否存在這樣的點P，使？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
25.（本題滿分12分）已知：在Rt△ABO中，∠OAB=90°,∠BOA=30°，AB=2，若以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△ABO沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
（1）求點C的坐標(biāo)；（3分）
（2）若拋物線經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；（4分）
（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作軸的平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為很等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. （5分）
17. 18. 1：5
23. （1）證明：連接DO，
∵∠ACB=90°，AC為直徑， ∴EC為⊙O的切線，
又∵ED也為⊙O的切線， ∴EC=ED. （2分）
又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°，
又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.
∴EB=EC，即點E是邊BC的中點. （4分）
（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，
∴BC2=BD·BA， ∴（2EC）2= BD·BA，即BA·=36，∴BA=， （6分）
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===. （8分）
（3）△ABC是等腰直角三角形. （9分）
理由：∵四邊形ODEC為正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵點E是邊BC的中點， ∴BC=2OD=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形. （12分）
24. （1）， （4分）
（2）設(shè)投資萬元生產(chǎn)B產(chǎn)品,則投資萬元生產(chǎn)A產(chǎn)品 ,則
（7分）
（3）∵
∴投資6萬元生產(chǎn)B產(chǎn)品,14萬元生產(chǎn)A產(chǎn)品可獲得最大利潤19.2萬元.（10分）
25.（1）過點C作CH⊥軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝
由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3 ∴C點坐標(biāo)為（，3） （3分）
（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點
∴ 解得：
∴此拋物線的解析式為： （7分）
（3）存在. 因為的頂點坐標(biāo)為（，3）即為點C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝300，所以O(shè)N＝ ， ∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P點坐標(biāo)為（，）
∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，） （12分）
說明：解答題的解答過程中使用其他方法的只
20．如圖，等腰梯形的底角為α，以腰長為直徑作圓，與另一腰切于M，交較長底邊AB于E，則的值為_______．
20．2sinα·cosα
23．如圖，已知PAB是⊙O的割線，AB為⊙O的直徑，PC為⊙O的切線，C為切點，BD⊥PC于點D，交⊙O于點E，PA=AO=OB=1．
（1）求∠P的度數(shù)；（2）求DE的長．
23．（1）30° （2）
25．如圖，∠PAQ是直角，半徑為5的⊙O與AP相切于點T，與AQ相交于B，C兩點．
（1）BT是否平分∠OBA？證明你的結(jié)論；
（2）若已知AT=4，試求AB的長．
25．（1）BT平分∠OBA，證明略
（2）作TD⊥OB于D，則DT=AT=4，OD=3得AB=BD=2
27．（1）如圖①，已知A點坐標(biāo)為（0，3），⊙A半徑為1，點B在x軸上．
①若B點坐標(biāo)為（4，0），⊙B的半徑為3，試判斷⊙A與⊙B的位置關(guān)系；
②若⊙B過點M（2，0），且與⊙A相切，求B點坐標(biāo)；
（2）如圖②，若點A在y軸上，⊙A在x軸的上方，問能否在x軸的正半軸上，確定一點B，使⊙B與y軸相切，并且與⊙A相切，為什么？
27．（1）①外離 ②（0，0），（-4，0）
（2）作AD⊥y軸，交⊙A于D，DO交⊙A于C，AC延長線交x軸于點B，這樣的點B滿足條件，理由略.
1．已知：，點在射線上，．為直線上一動點，以為邊作等邊三角形（點按順時針排列），是的外心．
（1）當(dāng)點在射線上運動時，求證：點在的平分線上；
（2）當(dāng)點在射線上運動（點與點不重合）時，與交于點，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）若點在射線上，，圓為的內(nèi)切圓．當(dāng)?shù)倪吇蚺c圓相切時，請直接寫出點與點的距離．
解（1）證明：如圖4，連結(jié)，
是等邊三角形的外心，，
圓心角．
當(dāng)不垂直于時，作，，垂足分別為．
由，且，
，．
．
．
．點在的平分線上．
當(dāng)時，．
即，點在的平分線上．
綜上所述，當(dāng)點在射線上運動時，點在的平分線上．

（2）解：如圖5，
平分，且，
．
由（1）知，，，
，．
，．
．
．．．
定義域為：．
（3）解：①如圖6，當(dāng)與圓相切時，；
②如圖7，當(dāng)與圓相切時，；
③如圖8，當(dāng)與圓相切時，．

2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點，且與軸、軸分別相交于兩點．
（1）請求出直線的函數(shù)表達式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于軸且經(jīng)過點，頂點在上，開口向下，且經(jīng)過點，求此拋物線的函數(shù)表達式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線交軸于兩點，在拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）設(shè)直線的函數(shù)表達式為，
直線經(jīng)過，
由此可得解得
直線的函數(shù)表達式為．
（2）在中，由勾股定理，得，
經(jīng)過三點，且，
為的直徑，半徑，
設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點，
，由垂徑定理，得．
在中，，
，
頂點的坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的表達式為，它經(jīng)過，
把，代入上式，得，解得，
拋物線的表達式為．
（3）如圖，連結(jié)，，
．
在拋物線中，設(shè)，
則，
解得，．
的坐標(biāo)分別是，，
；
設(shè)在拋物線上存在點，使得，
則，
，
當(dāng)時，，解得，；
當(dāng)時，，解得，，
，．
綜上所述，這樣的點存在，且有三個，
，，．
3．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的表達式；
（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC
∴點B的坐標(biāo)為（2，0），點C的坐標(biāo)為（0，8）
又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標(biāo)為（－6，0）　
（2）∵點C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上
∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式，得


　解得
∴所求拋物線的表達式為y＝－x2－x＋8　　
（3）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴＝　　即＝
∴EF＝
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　
自變量m的取值范圍是0＜m＜8　　
（4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴當(dāng)m＝4時，S有最大值，S最大值＝8　　
∵m＝4，∴點E的坐標(biāo)為（－2，0）
∴△BCE為等腰三角形．　　
4．（1）已知中，，，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形．（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）

（2）已知中，是其最小的內(nèi)角，過頂點的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請?zhí)角笈c之間的關(guān)系．
解：（1）如圖（共有2種不同的分割法）

（2）設(shè)，，過點的直線交邊于．在中，
①若是頂角，如圖1，則，
，．
此時只能有，即，
，即．
②若是底角，則有兩種情況．
第一種情況：如圖2，當(dāng)時，則，
中，，．
1．由，得，此時有，即．
2．由，得，此時，即．
3．由，得，此時，即，為小于的任意銳角．
第二種情況，如圖3，當(dāng)時，，，此時只能有，
從而，這與題設(shè)是最小角矛盾．
當(dāng)是底角時，不成立．

5． 已知與是反比例函數(shù)圖象上的兩個點．（1）求的值；
（2）若點，則在反比例函數(shù)圖象上是否存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）由，得，因此．
（2）如圖1，作軸，為垂足，則，，，因此．
由于點與點的橫坐標(biāo)相同，因此軸，從而．
當(dāng)為底時，由于過點且平行于的直線與雙曲線只有一個公共點，
故不符題意．
當(dāng)為底時，過點作的平行線，交雙曲線于點，
過點分別作軸，軸的平行線，交于點．
由于，設(shè)，則，，
由點，得點．
因此，
解之得（舍去），因此點．
此時，與的長度不等，故四邊形是梯形．
如圖2，當(dāng)為底時，過點作的平行線，與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為．
由于，因此，從而．作軸，為垂足，
則，設(shè)，則，
由點，得點，
因此．
解之得（舍去），因此點．
此時，與的長度不相等，故四邊形是梯形．
如圖3，當(dāng)過點作的平行線，與雙曲線在第三象限內(nèi)的交點為時，
同理可得，點，四邊形是梯形．
綜上所述，函數(shù)圖象上存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形，點的坐標(biāo)為：或或．
23、有一張矩形紙片ABCD，已知AB＝2，AD＝5.把這張紙片折疊，使點A落在邊BC上的點E處，折痕為MN，MN交AB于M，交AD于N.
（1）若BE＝，試畫出折痕MN的位置，并求這時AM的長.
（2）點E在BC上運動時，設(shè)BE＝x，AN＝y(tǒng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍.
（3）連接DE，是否存在這樣的點E，使得△AME與△DNE相似？若存在，請求出這時BE的長；若不存在，請說明理由.
24.閱讀下面材料，再回答問題。
一般地，如果函數(shù)y=f(x)對于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f(-x)=f(x)。那么y=f(x)就叫偶函數(shù)。如果函數(shù)y=f(x)對于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f(-x)= - f(x)。那么y=f(x)就叫奇函數(shù)。
例如：
當(dāng)x取任意實數(shù)時，是偶函數(shù)。
又如:.
當(dāng)x取任意實數(shù)時，
是奇函數(shù)。
問題1：下列函數(shù)中：
①　②　③　④　⑤
是奇函數(shù)的有 ；是偶函數(shù)的有 （填序號）
問題2：仿照例證明：函數(shù)④或⑤是奇函數(shù)還是偶函數(shù)(選擇其中之一)
23. 小兵將一長方形紙片沿對角線對折，使C點落在F處，BC邊與AD邊交于點E，如圖所示，
猜想BE與ED的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
若∶＝1∶2，求∠DBC的度數(shù).
23、（1）畫出正確的圖形（折痕MN必須與AB、AD相交）…………………………1分，
設(shè)AM＝t，則ME＝t，MB＝2－t，由BM2＋BE2＝ME2，得t＝，即AM＝. 5分．
　　　　　　　圖（a）　　　　　　　　　　　　　　　　圖（b）
（2）如上圖（a），仿（1）得，AM＝，……………………7分，
由△AMN∽△BEA，得＝，推出，…………9分，
　　定義域為：．…………………………………10分；
（3）如上圖（b），若△AME與△DNE相似，不難得∠DNE＝∠AME，………11分，
又因為AM＝ME，所以DN＝NE＝NA＝，所以，…………………13分，
解得：x＝1或x＝4，又∵，故x＝1．…………………14分．
或者由∠DEN＝∠AEM，得∠AED＝90°，………………………11分，
推出△ABE∽△ECD，……………13分，從而得BE＝1．……………14分．
解：（1）猜想：BE＝ED ………………………………………………1分
證明：長方形ABCD中∠ADB＝∠CBD
又 ∠CBD＝∠EBD
∴∠ADB＝∠EBD
∴BE＝ED ……………………………3分
（2）∶＝1∶2
∴＝ ………………………………………4分
∴＝
∴∠ABE＝30°………………………………………5分
∴∠EBC＝60°
∴∠DBC＝30°………………………………………6分

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