資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現(xiàn)夢想的機會。
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第22講 萬有引力定律及其應用
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）2022年10月15日我國成功將遙感三十六號衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道。如圖所示為某衛(wèi)星的發(fā)射過程示意圖，Ⅱ為橢圓軌道，且與圓形軌道I和III分別相切于點，兩圓形軌道的半徑之比為，則下列說法正確的是（　?。?br/>
A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ、II上運行周期之比為
B．衛(wèi)星在軌道Ⅱ、Ⅲ上運行周期之比為
C．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上經(jīng)過兩點時的速度大小之比為
D．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上經(jīng)過兩點時的加速度大小之比為
2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考三模）如圖所示，哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為，線速度大小為，加速度大小為；在遠日點與太陽中心的距離為，線速度大小為，加速度大小為，則（　　）

A． B．
C． D．
3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）2023年1月21日，神舟十五號3名航天員在400km高的空間站向祖國人民送上新春祝福，空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運行軌道，兩軌道相切與A點，下列說法正確的是（　　）

A．在軌道I通過A點的速度大于在軌道Ⅱ通過B點的速度
B．載人飛船在A點的加速度大于在B點的加速度
C．空間站在軌道I上的速度小于
D．載人飛船沿軌道I和軌道Ⅱ運行時，在相同時間內(nèi)與地球連線掃過的面積相等
4．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，從一質(zhì)量為M、半徑為2R的均勻球體的球心O處挖出一半徑為R的小球，將其移至兩球面相距R處，已知引力常量為G，則大球剩余部分和小球間的萬有引力大小為（　?。?br/>
A． B． C． D．
5．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）火星上是否存在液態(tài)水，一直是大眾關注的焦點。2023年5月5日消息，基于“祝融號”火星車觀測數(shù)據(jù)，我國科研人員首次發(fā)現(xiàn)“祝融號”著陸區(qū)的沙丘表面存在結(jié)殼、龜裂、團?；?、多邊形脊、帶狀水痕等特征．假設火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的a倍，火星半徑是地球半徑的b倍，火星表面的重力加速度為，地球表面的重力加速度為g，質(zhì)量均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，則（　　）

A．
B．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍
C．火星表面正下方距表面的深度為火星半徑處的M點的重力加速度為
D．火星表面正上方距表面的高度為火星半徑處的N點的重力加速度為
6．（2023·湖南·模擬預測）北京時間2022年6月5日10時44分，搭載“神舟十四號”載人飛船的“長征二號”F遙十四運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577 s后，“神舟十四號”載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功。北京時間2022年6月5日17時42分，“神舟十四號”成功對接“天和”核心艙徑向端口，整個對接過程歷時約7 h。對接后組合體在距地面高為h的軌道上做勻速圓周運動，環(huán)繞的向心加速度為a，環(huán)繞的線速度為v，引力常量為G，則下列判斷正確的是（　?。?br/>A．組合體環(huán)繞的周期為 B．地球的平均密度為
C．地球的第一宇宙速度大小為 D．地球表面的重力加速度大小為
7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）2023年春節(jié)，改編自劉慈欣科幻小說的《流浪地球2》電影在全國上映。電影中的太空電梯場景非常震撼。太空電梯的原理并不復雜，與生活的中的普通電梯十分相似。只需在地球同步軌道上建造一個空間站，并用某種足夠長也足夠結(jié)實的“繩索”將其與地面相連，當空間站圍繞地球運轉(zhuǎn)時，繩索會細緊，宇航員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空，這樣不需要依靠火箭、飛船這類復雜航天工具。如乙圖所示，假設有一長度為的太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步空間站，相對地球靜止，衛(wèi)星與同步空間站的運行方向相同，此時二者距離最近，經(jīng)過時間之后，第一次相距最遠。已知地球半徑，自轉(zhuǎn)周期，下列說法正確的是（　　）

A．太空電梯各點均處于完全失重狀態(tài)
B．衛(wèi)星的周期為
C．太空電梯停在距地球表面高度為的站點，該站點處的重力加速度
D．太空電梯上各點線速度與該點離地球球心距離成反比
8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）2021年5月15日，天問一號在火星上著陸，首次留下中國印跡，人類探索火星已不再是幻想。已知火星的質(zhì)量約為地球的，半徑約為地球的，自轉(zhuǎn)周期為（與地球自轉(zhuǎn)周期幾乎相同）。地球表面的重力加速度大小為，地球的半徑為。若未來在火星上發(fā)射一顆火星的同步衛(wèi)星，則該同步衛(wèi)星離火星表面的高度為（　?。?br/>A． B．
C． D．
9．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）假定月球為質(zhì)量分布均勻的球體，其半徑為，在月球表面測得重力加速度為，設為距離月球表面高度為時的重力加速度．當比小得多時，和的關系式近似為（　?。當時，數(shù)學近似公式為]
A． B．
C． D．
10．（2023·河北·模擬預測）甲、乙兩位同學分別站在地球的南極和赤道上，用大小相等的初速度將一個小球豎直向上拋出，小球落回手中的時間之比為k，不計空氣阻力。若已知地球密度為ρ，引力常量為G，則乙同學隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小為（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023·江蘇徐州·高三聯(lián)考模擬預測）已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零。假設火星是半徑為R的質(zhì)量分布均勻的球體，在火星內(nèi)挖一半徑為r（）的球形內(nèi)切空腔，如圖所示?，F(xiàn)將一小石塊從切點處由靜止釋放，則小石塊在空腔內(nèi)將做（　?。?br/>A．勻加速直線運動 B．加速度變大的直線運動
C．勻加速曲線運動 D．加速度變大的曲線運動
12．（2023·湖南·高三聯(lián)考模擬預測）在劉慈欣的科幻小說《帶上她的眼睛》里演繹了這樣一個故事：“落日六號”地層飛船深入地球內(nèi)部進行探險，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年輕的女領航員，她只能在封閉的地心度過余生。已知地球可視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，且均勻球殼對殼內(nèi)質(zhì)點的引力為零。若地球表面的重力加速度為g，當“落日六號”位于地面以下深0.5R處時，該處的重力加速度大小為（　?。?br/>A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g
13．（2023·廣東清遠·校考模擬預測）如圖所示，天問一號探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，周期為T。已知火星的半徑為R，火星的第一宇宙速度為v1，引力常量為G，則（　?。?br/>
A．火星的質(zhì)量為
B．火星的密度為
C．火星表面的重力加速度為
D．停泊軌道的半長軸為
14．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學?？寄M預測）2021年2月24日，“天問一號”探測器成功進入火星停泊軌道，標志著中國正式開始了對火星表面的探測活動。若探測器繞火星做半徑為R、周期為T的勻速圓周運動，已知火星的半徑為R0、自轉(zhuǎn)周期為T0，且火星可視為質(zhì)量均勻的球體，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．火星的質(zhì)量為
B．火星的質(zhì)量為
C．火星赤道處的重力加速度為
D．火星赤道處的重力加速度為
15．（2022·海南·高考真題）火星與地球的質(zhì)量比為a，半徑比為b，則它們的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分別是（　?。?br/>A． B． C． D．
16．（2021·天津·高考真題）2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器（　　）
A．在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài) B．在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短
C．從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速 D．沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大
17．（2021·廣東·高考真題）2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是（　　）
A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑
B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期
C．核心艙的繞地角速度和繞地周期
D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
18．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）2020年5月5日，長征五號B運載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功首飛，將新一代載人飛船試驗船送入太空，若試驗船繞地球做勻速圓周運動，周期為T，離地高度為h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，則（ ）
A．試驗船的運行速度為
B．地球的第一宇宙速度為
C．地球的質(zhì)量為
D．地球表面的重力加速度為
第22講 萬有引力定律及其應用
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）2022年10月15日我國成功將遙感三十六號衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道。如圖所示為某衛(wèi)星的發(fā)射過程示意圖，Ⅱ為橢圓軌道，且與圓形軌道I和III分別相切于點，兩圓形軌道的半徑之比為，則下列說法正確的是（　?。?br/>
A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ、II上運行周期之比為
B．衛(wèi)星在軌道Ⅱ、Ⅲ上運行周期之比為
C．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上經(jīng)過兩點時的速度大小之比為
D．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上經(jīng)過兩點時的加速度大小之比為
【答案】B
【詳解】AB．由開普勒第三定律得解得；故A錯誤，B正確；
C．由開普勒第二定律得解得故C錯誤；
D．由牛頓第二定律得；聯(lián)立解得故D錯誤。故選B。
2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考三模）如圖所示，哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為，線速度大小為，加速度大小為；在遠日點與太陽中心的距離為，線速度大小為，加速度大小為，則（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】AB．由于哈雷彗星做的不是圓周運動，在近日點做離心運動，在遠日點做近心運動，因此不能通過萬有引力充當向心力計算其在近日點和遠日點的線速度之比，需通過開普勒第二定律求解，設在極短時間內(nèi)，在近日點和遠日點哈雷彗星與太陽中心的連線掃過的面積相等，即有
可得故故A正確，B錯誤；
CD．對近日點，根據(jù)牛頓第二定律有對遠日點，根據(jù)牛頓第二定律有聯(lián)立解得故CD錯誤。故選A。
3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）2023年1月21日，神舟十五號3名航天員在400km高的空間站向祖國人民送上新春祝福，空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運行軌道，兩軌道相切與A點，下列說法正確的是（　?。?br/>
A．在軌道I通過A點的速度大于在軌道Ⅱ通過B點的速度
B．載人飛船在A點的加速度大于在B點的加速度
C．空間站在軌道I上的速度小于
D．載人飛船沿軌道I和軌道Ⅱ運行時，在相同時間內(nèi)與地球連線掃過的面積相等
【答案】C
【詳解】A．如圖軌道Ⅱ與軌道Ⅲ內(nèi)切，沿軌道Ⅲ的運行速度大于在軌道Ⅰ通過點的速度，軌道Ⅱ通過B點的速度大于軌道Ⅲ的運行速度，則軌道I通過A點的速度小于軌道Ⅱ通過點的速度，故A錯誤；

B.根據(jù)萬有引力提供向心力，有解得由圖可知，點到地心的距離大于點到地心的距離，所以在點的加速度小于在點的加速度，故B錯誤；
C．根據(jù)萬有引力提供向心力有萬有引力等于重力有可知，是圍繞地球做圓周運動的最大速度，則空間站在軌道工上的速度小于，故C正確；
D．根據(jù)開普勒第二定律可知，在同一條軌道上運動的衛(wèi)星，相同的時間內(nèi)掃過相同的面積，而不同軌道間不滿足該條件，故D錯誤。故選C。
4．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，從一質(zhì)量為M、半徑為2R的均勻球體的球心O處挖出一半徑為R的小球，將其移至兩球面相距R處，已知引力常量為G，則大球剩余部分和小球間的萬有引力大小為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】大球剩余部分和小球的質(zhì)量之比為質(zhì)量之和為
所以大球剩余部分和小球的質(zhì)量分別為；所以二者之間的萬有引力大小為
故選A。
5．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）火星上是否存在液態(tài)水，一直是大眾關注的焦點。2023年5月5日消息，基于“祝融號”火星車觀測數(shù)據(jù)，我國科研人員首次發(fā)現(xiàn)“祝融號”著陸區(qū)的沙丘表面存在結(jié)殼、龜裂、團?；⒍噙呅渭?、帶狀水痕等特征．假設火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的a倍，火星半徑是地球半徑的b倍，火星表面的重力加速度為，地球表面的重力加速度為g，質(zhì)量均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零，則（　?。?br/>
A．
B．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍
C．火星表面正下方距表面的深度為火星半徑處的M點的重力加速度為
D．火星表面正上方距表面的高度為火星半徑處的N點的重力加速度為
【答案】C
【詳解】A．在地球表面根據(jù)萬有引力等于重力有可得而由題意知火星的質(zhì)量為，火星的半徑為，則可知火星表面的重力加速度為故A錯誤；
B．地球的第一宇宙速度即為物體在地球表面環(huán)繞地球做圓周運動時的速度，有解得
由此可知火星的第一宇宙速度為故B錯誤；
C．設以火星半徑的為半徑的球體的質(zhì)量為，火星的平均密度為，半徑為，則有
，由此可得故C正確；
D．設火星表面正上方距表面的高度為火星半徑處的N點的重力加速度為，則有
故D錯誤。故選C。
6．（2023·湖南·模擬預測）北京時間2022年6月5日10時44分，搭載“神舟十四號”載人飛船的“長征二號”F遙十四運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577 s后，“神舟十四號”載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功。北京時間2022年6月5日17時42分，“神舟十四號”成功對接“天和”核心艙徑向端口，整個對接過程歷時約7 h。對接后組合體在距地面高為h的軌道上做勻速圓周運動，環(huán)繞的向心加速度為a，環(huán)繞的線速度為v，引力常量為G，則下列判斷正確的是（　?。?br/>A．組合體環(huán)繞的周期為 B．地球的平均密度為
C．地球的第一宇宙速度大小為 D．地球表面的重力加速度大小為
【答案】C
【詳解】A．組合體的向心加速度解得故A錯誤；
D．組合體的軌道半徑由；；聯(lián)立解得
故D錯誤；
B．地球的密度故B錯誤；
C．根據(jù)地球的第一宇宙速度故C正確。故選C。
7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）2023年春節(jié)，改編自劉慈欣科幻小說的《流浪地球2》電影在全國上映。電影中的太空電梯場景非常震撼。太空電梯的原理并不復雜，與生活的中的普通電梯十分相似。只需在地球同步軌道上建造一個空間站，并用某種足夠長也足夠結(jié)實的“繩索”將其與地面相連，當空間站圍繞地球運轉(zhuǎn)時，繩索會細緊，宇航員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空，這樣不需要依靠火箭、飛船這類復雜航天工具。如乙圖所示，假設有一長度為的太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步空間站，相對地球靜止，衛(wèi)星與同步空間站的運行方向相同，此時二者距離最近，經(jīng)過時間之后，第一次相距最遠。已知地球半徑，自轉(zhuǎn)周期，下列說法正確的是（　?。?br/>
A．太空電梯各點均處于完全失重狀態(tài)
B．衛(wèi)星的周期為
C．太空電梯停在距地球表面高度為的站點，該站點處的重力加速度
D．太空電梯上各點線速度與該點離地球球心距離成反比
【答案】C
【詳解】A．依題意，太空電梯各點隨地球一起做勻速圓周運動，只有位置達到同步衛(wèi)星的高度的點才處于完全失重狀態(tài)，故A錯誤；
B．同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，為當兩衛(wèi)星a、b第一次相距最遠時滿足
解得故B錯誤；
C．太空電梯長度即為同步衛(wèi)星離地面的高度，根據(jù)萬有引力提供向心力太空電梯停在距地球表面高度為2R的站點，太空電梯上貨物質(zhì)量為m,在距地面高2R站點受到的萬有引力為F，根據(jù)萬有引力公式則貨物繞地球做勻速圓周運動，設太空電梯對貨物的支持力為FN，合力提供向心力則有在貨梯內(nèi)有解得故C正確；
D．太空電梯與地球同步轉(zhuǎn)動，各點角速度相等，各點線速度，故各點線速度與該點離地球球心距離成正比，故D錯誤。故選C。
8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）2021年5月15日，天問一號在火星上著陸，首次留下中國印跡，人類探索火星已不再是幻想。已知火星的質(zhì)量約為地球的，半徑約為地球的，自轉(zhuǎn)周期為（與地球自轉(zhuǎn)周期幾乎相同）。地球表面的重力加速度大小為，地球的半徑為。若未來在火星上發(fā)射一顆火星的同步衛(wèi)星，則該同步衛(wèi)星離火星表面的高度為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，由萬有引力等于重力有解得火星表面的重力加速度為
由萬有引力提供向心力有解得故選A。
9．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）假定月球為質(zhì)量分布均勻的球體，其半徑為，在月球表面測得重力加速度為，設為距離月球表面高度為時的重力加速度．當比小得多時，和的關系式近似為（　　）[當時，數(shù)學近似公式為]
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】物體在月球表面時，有物體距離月球表面高度為時，有聯(lián)立可得
可得故選D。
10．（2023·河北·模擬預測）甲、乙兩位同學分別站在地球的南極和赤道上，用大小相等的初速度將一個小球豎直向上拋出，小球落回手中的時間之比為k，不計空氣阻力。若已知地球密度為ρ，引力常量為G，則乙同學隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大小為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設南極處的重力加速度為，小球落回手中的時間為t0，赤道處的重力加速度為g，小球落回手中的時間為t，由小球豎直上拋到達最高點得所以在南極，由萬有引力提供重力有
在赤道，由萬有引力提供小球的重力和小球隨地球自轉(zhuǎn)的向心力有
又聯(lián)立以上各式可解得故選A。
11．（2023·江蘇徐州·高三聯(lián)考模擬預測）已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零。假設火星是半徑為R的質(zhì)量分布均勻的球體，在火星內(nèi)挖一半徑為r（）的球形內(nèi)切空腔，如圖所示。現(xiàn)將一小石塊從切點處由靜止釋放，則小石塊在空腔內(nèi)將做（　?。?br/>A．勻加速直線運動 B．加速度變大的直線運動
C．勻加速曲線運動 D．加速度變大的曲線運動
【答案】A
【詳解】已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零，那么在火星內(nèi)挖一球形內(nèi)切空腔后，小石塊的受力等于火星對小石塊的萬有引力減去空腔球體的萬有引力；設火星密度為，空腔半徑為，兩球心的距離為，那么小石塊受到的合外力為
則小石塊的加速度為所以小石塊向球心運動，加速度不變，即小石塊在空腔內(nèi)將做勻加速直線運動。故選A。
12．（2023·湖南·高三聯(lián)考模擬預測）在劉慈欣的科幻小說《帶上她的眼睛》里演繹了這樣一個故事：“落日六號”地層飛船深入地球內(nèi)部進行探險，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年輕的女領航員，她只能在封閉的地心度過余生。已知地球可視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，且均勻球殼對殼內(nèi)質(zhì)點的引力為零。若地球表面的重力加速度為g，當“落日六號”位于地面以下深0.5R處時，該處的重力加速度大小為（　?。?br/>A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g
【答案】B
【詳解】設地球的密度為，則在地球表面地球的質(zhì)量為聯(lián)立可得，地表重力加速度表達式為由題意可知，地面以下深0.5R處的重力加速度相當于半球為0.5R的球體表面的重力加速度，即對比可得，B正確。故選B。
13．（2023·廣東清遠·校考模擬預測）如圖所示，天問一號探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，周期為T。已知火星的半徑為R，火星的第一宇宙速度為v1，引力常量為G，則（　?。?br/>
A．火星的質(zhì)量為
B．火星的密度為
C．火星表面的重力加速度為
D．停泊軌道的半長軸為
【答案】BD
【詳解】A．設火星的質(zhì)量為M，天問一號的質(zhì)量為m，當天問一號繞火星表面運行時，有
可得，A錯誤；
B．又因為；解得火星的密度，B正確；
C．根據(jù)牛頓第二定律得火星表面的重力加速度，C錯誤；
D．設停泊軌道的半長軸為a，由開普勒第三定律有 又因為解得
D正確。故選BD。
14．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學?？寄M預測）2021年2月24日，“天問一號”探測器成功進入火星停泊軌道，標志著中國正式開始了對火星表面的探測活動。若探測器繞火星做半徑為R、周期為T的勻速圓周運動，已知火星的半徑為R0、自轉(zhuǎn)周期為T0，且火星可視為質(zhì)量均勻的球體，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）
A．火星的質(zhì)量為
B．火星的質(zhì)量為
C．火星赤道處的重力加速度為
D．火星赤道處的重力加速度為
【答案】BD
【詳解】AB.設火星的質(zhì)量為M，“天問一號”的質(zhì)量為m，則由題意根據(jù)牛頓第二定律有
解得故A錯誤，B正確；
CD.火星赤道處質(zhì)量為m0的物體所受重力是萬有引力的一個分力，萬有引力的另一個分力提供此物體隨火星自轉(zhuǎn)的向心力。設赤道處的重力加速度為g，則根據(jù)牛頓第二定律可得解得故C錯誤，D正確。故選BD。
15．（2022·海南·高考真題）火星與地球的質(zhì)量比為a，半徑比為b，則它們的第一宇宙速度之比和表面的重力加速度之比分別是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】由可得知由結(jié)合可得
知故BC正確，AD錯誤。故選BC。
16．（2021·天津·高考真題）2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器（　　）
A．在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài) B．在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短
C．從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速 D．沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大
【答案】D
【詳解】A．天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速圓周運動，受力不平衡，故A錯誤；
B．根據(jù)開普勒第三定律可知，軌道Ⅰ的半徑大于軌道Ⅱ的半長軸，故在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時長，故B錯誤；
C．天問一號探測器從軌道Ⅰ進入Ⅱ，做近心運動，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P點點火減速，故C錯誤；
D．在軌道Ⅰ向P飛近時，萬有引力做正功，動能增大，故速度增大，故D正確。故選D。
17．（2021·廣東·高考真題）2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是（　　）
A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑
B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期
C．核心艙的繞地角速度和繞地周期
D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
【答案】D
【詳解】根據(jù)核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力提供，可得
可得可知已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑、已知核心艙的質(zhì)量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不能求解地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質(zhì)量。故選D。
18．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）2020年5月5日，長征五號B運載火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功首飛，將新一代載人飛船試驗船送入太空，若試驗船繞地球做勻速圓周運動，周期為T，離地高度為h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，則（ ）
A．試驗船的運行速度為
B．地球的第一宇宙速度為
C．地球的質(zhì)量為
D．地球表面的重力加速度為
【答案】B
【詳解】A．試驗船的運行速度為，故A錯誤；
B．近地軌道衛(wèi)星的速度等于第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力提供向心力有根據(jù)試驗船受到的萬有引力提供向心力有聯(lián)立兩式解得第一宇宙速度故B正確；
C．根據(jù)試驗船受到的萬有引力提供向心力有解得故C錯誤；
D．地球重力加速度等于近地軌道衛(wèi)星向心加速度，根據(jù)萬有引力提供向心力有根據(jù)試驗船受到的萬有引力提供向心力有聯(lián)立兩式解得重力加速度
故D錯誤。故選B。親愛的同學加油，給自己實現(xiàn)夢想的機會。
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第22講 萬有引力定律及其應用
目錄
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復習目標
網(wǎng)絡構建
考點一 開普勒行星運動定律
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 開普勒行星運動定律
【提升·必考題型歸納】
考向 開普勒行星運動定律應用
考點二 萬有引力定律的理解和應用
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 萬有引力與重力的關系
知識點2 星體表面上的重力加速度
知識點3 萬有引力的“兩個推論”
【提升·必考題型歸納】
考向1 萬有引力與重力的關系
考向2 天體不同位置重力加速度
考點三 天體質(zhì)量密度估算
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 “自力更生”法(g－R)
知識點2 “借助外援”法(T－r)
【提升·必考題型歸納】
考向 天體質(zhì)量密度估算
真題感悟
掌握開普勒定律和萬有引力定律。
能夠應用萬有引力定律估算天體的質(zhì)量密度。
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）開普勒定律 （2）萬有引力定律 2023年湖南卷第4題 2023年山東卷第3題 2023年湖北卷第2題 高考對萬有引力定律應用的考查各地幾乎每年都考，大多以選擇題的形式考查，最近幾年對這部分內(nèi)容考查的難度不大。
考點一 開普勒行星運動定律
知識點 開普勒行星運動定律
定　律 內(nèi)　　容 圖示或公式
開普勒第一定律(軌道定律) 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在　　　　的一個 上
開普勒第二定律(面積定律) 對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積
開普勒第三定律(周期定律) 所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都 =k,k是一個與行星無關的常量
注意：
①行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理；
②面積定律是對 而言的,不同的行星相等時間內(nèi)掃過的面積不等；
③該比值只與 有關,不同的中心天體值不同。
考向 開普勒行星運動定律應用
1．2023年4月14日我國首顆綜合性太陽探測衛(wèi)星“夸父一號”準實時觀測部分數(shù)據(jù)完成了國內(nèi)外無差別開放，實現(xiàn)了數(shù)據(jù)共享，體現(xiàn)了大國擔當。如圖所示，“夸父一號”衛(wèi)星和另一顆衛(wèi)星分別沿圓軌道、橢圓軌道繞地球逆時針運動，圓的半徑與橢圓的半長軸相等，兩軌道相交于A、B兩點，某時刻兩衛(wèi)星與地球在同一直線上，下列說法中正確的是（　　）

A．兩衛(wèi)星在圖示位置的速度 B．兩衛(wèi)星在A處的萬有引力大小相等
C．兩顆衛(wèi)星在A或B點處可能相遇 D．兩顆衛(wèi)星的運動周期不相等
2．如圖所示，“天問一號”探測器成功進入環(huán)繞火星橢圓軌道，在橢圓軌道的近火點P（接近火星表面）制動后順利進入近火圓軌道，Q點為近火軌道上的另一點，M點是橢圓軌道的遠火點，橢圓軌道的半長軸等于圓形軌道的直徑，下列說法正確的是（　?。?br/>
A．探測器在M點的速度大于在Q點的速度
B．探測器在Q點與橢圓軌道上的P點的加速度相同
C．探測器在橢圓軌道與圓軌道上的周期之比為8：1
D．探測器在橢圓軌道上P點與M點的速度之比為3：1
考點二 萬有引力定律的理解和應用
知識點1 萬有引力與重力的關系
1．萬有引力定律
（1）內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成 、與它們之間距離r的二次方成 。
（2）表達式：F＝G，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
（3）適用條件：
①公式適用于 間的相互作用。當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。
②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，r是 間的距離。
2．萬有引力與重力的關系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：G＝mg2。
知識點2 星體表面上的重力加速度
1.在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝G，得g＝。
2.在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由，得
所以。
知識點3 萬有引力的“兩個推論”
推論1:在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處,質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零,即F引=0。
推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對其的萬有引力,即F=G。
考向1 萬有引力與重力的關系
1．將地球看成一個半徑為R的圓球，在北極用彈簧秤將一個物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧秤彈力大小為F1；在赤道，用彈簧秤將同一物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧秤彈力大小為F2。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，則該物體的質(zhì)量為（　　）
A． B．
C． D．
2．假設將來的某一天，宇航員駕駛宇宙飛船，登陸某一行星，該行星是質(zhì)量分布均勻的球體。通過測量發(fā)現(xiàn)，某一物體在該行星兩極處的重力為G，在該行星赤道處的重力為0.75G，則此物體在該行星緯度為30°處隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為（　?。?br/>A．G B．G C．G D．G
考向2 天體不同位置重力加速度
3．某實驗小組設計了用單擺測量海底深度的實驗。在靜止于海底的蛟龍?zhí)柪?，測得擺長為l的單擺，完成N次全振動用時為t。設地球為均質(zhì)球體，半徑為R，地球表面的重力加速度大小為。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。則下列說法正確的是（　　）
A．此海底處的重力加速度大于地球表面的重力加速度
B．此海底處的重力加速度為無窮大
C．此海底處的深度為
D．此海底處的重力加速度大小為
4．地球表面重力加速度的測量在軍事及資源探測中具有重要的戰(zhàn)略意義，已知地球質(zhì)量，地球半徑R，引力常量G，以下說法正確的是（ ）
A．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球赤道處重力加速度的大小為
B．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球兩極處重力加速度的大小為
C．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點正下方h處的B點為球心，為半徑挖一個球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為
D．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點正下方h處的B點為球心、為半徑挖一個球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為
考點三 天體質(zhì)量密度估算
知識點1 “自力更生”法(g－R)
利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
(1)由G＝mg得天體質(zhì)量M＝。
(2)天體密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式?！　?br/>知識點2 “借助外援”法(T－r)
測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r。
(1)由G＝mr得天體的質(zhì)量M＝。
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝。
(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。
考向 天體質(zhì)量密度估算
1．科幻電影中提到的“洛希極限”是指當一個天體自身的引力與第二個天體造成的潮汐力相等時的距離，已知行星與衛(wèi)星的洛希極限計算式為，其中k為常數(shù)，R為行星半徑，ρ1、ρ2分別為行星和衛(wèi)星的密度，若行星半徑R，衛(wèi)星半徑為，且表面重力加速度之比為8:1，則其“洛希極限”為（　　）
A． B． C．6kR D．
2．某同學利用直徑為d的不透光圓形紙板估測太陽的密度，如圖所示，調(diào)整圓紙板到人眼的距離L，使其剛好擋住太陽光，并測出L，已知萬有引力常量為G，地球公轉(zhuǎn)周期為T，則太陽密度約為（　?。?br/>
A． B．
C． D．
1．（2023年6月浙江高考真題）木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運動的周期之比為。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為，則（ ）
A．木衛(wèi)一軌道半徑為 B．木衛(wèi)二軌道半徑為
C．周期T與T0之比為 D．木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為
2．（2023年遼寧高考真題）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T ，地球繞太陽運動的周期為T ，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（　?。?br/>
A． B． C． D．
第22講 萬有引力定律及其應用
目錄
復習目標
網(wǎng)絡構建
考點一 開普勒行星運動定律
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點 開普勒行星運動定律
【提升·必考題型歸納】
考向 開普勒行星運動定律應用
考點二 萬有引力定律的理解和應用
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 萬有引力與重力的關系
知識點2 星體表面上的重力加速度
知識點3 萬有引力的“兩個推論”
【提升·必考題型歸納】
考向1 萬有引力與重力的關系
考向2 天體不同位置重力加速度
考點三 天體質(zhì)量密度估算
【夯基·必備基礎知識梳理】
知識點1 “自力更生”法(g－R)
知識點2 “借助外援”法(T－r)
【提升·必考題型歸納】
考向 天體質(zhì)量密度估算
真題感悟
掌握開普勒定律和萬有引力定律。
能夠應用萬有引力定律估算天體的質(zhì)量密度。
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）開普勒定律 （2）萬有引力定律 2023年湖南卷第4題 2023年山東卷第3題 2023年湖北卷第2題 高考對萬有引力定律應用的考查各地幾乎每年都考，大多以選擇題的形式考查，最近幾年對這部分內(nèi)容考查的難度不大。
考點一 開普勒行星運動定律
知識點 開普勒行星運動定律
定　律 內(nèi)　　容 圖示或公式
開普勒第一定律(軌道定律) 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在　　　　的一個焦點上
開普勒第二定律(面積定律) 對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等
開普勒第三定律(周期定律) 所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等 =k,k是一個與行星無關的常量
注意：
①行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理；
②面積定律是對同一個行星而言的,不同的行星相等時間內(nèi)掃過的面積不等；
③該比值只與中心天體的質(zhì)量有關,不同的中心天體值不同。
考向 開普勒行星運動定律應用
1．2023年4月14日我國首顆綜合性太陽探測衛(wèi)星“夸父一號”準實時觀測部分數(shù)據(jù)完成了國內(nèi)外無差別開放，實現(xiàn)了數(shù)據(jù)共享，體現(xiàn)了大國擔當。如圖所示，“夸父一號”衛(wèi)星和另一顆衛(wèi)星分別沿圓軌道、橢圓軌道繞地球逆時針運動，圓的半徑與橢圓的半長軸相等，兩軌道相交于A、B兩點，某時刻兩衛(wèi)星與地球在同一直線上，下列說法中正確的是（　?。?br/>
A．兩衛(wèi)星在圖示位置的速度 B．兩衛(wèi)星在A處的萬有引力大小相等
C．兩顆衛(wèi)星在A或B點處可能相遇 D．兩顆衛(wèi)星的運動周期不相等
【答案】A
【詳解】A.為橢圓軌道的遠地點，速度比較小，表示勻速圓周運動的速度，故故A正確；
B.由于兩衛(wèi)星的質(zhì)量未知，所以兩衛(wèi)星在A處的萬有引力無法比較，故B錯誤；
CD.橢圓的半長軸與圓軌道的半徑相同，根據(jù)開普勒第三定律可知，兩衛(wèi)星的運動周期相等，則不會相遇，故CD錯誤。
故選A。
2．如圖所示，“天問一號”探測器成功進入環(huán)繞火星橢圓軌道，在橢圓軌道的近火點P（接近火星表面）制動后順利進入近火圓軌道，Q點為近火軌道上的另一點，M點是橢圓軌道的遠火點，橢圓軌道的半長軸等于圓形軌道的直徑，下列說法正確的是（　　）

A．探測器在M點的速度大于在Q點的速度
B．探測器在Q點與橢圓軌道上的P點的加速度相同
C．探測器在橢圓軌道與圓軌道上的周期之比為8：1
D．探測器在橢圓軌道上P點與M點的速度之比為3：1
【答案】D
【詳解】A．假設探測器以半徑為橢圓軌道的半長軸做勻速圓周運動，在經(jīng)M點時的速度要大于在橢圓軌道上經(jīng)M點時的速度，由；可知探測器在近火圓軌道Q點的速度要大于在圓軌道上M點的速度，因此探測器在橢圓軌道M點的速度小于在Q點的速度，故A錯誤；
B．由萬有引力和牛頓第二定律知解得可知探測器在Q點與橢圓軌道上的P點的加速度大小相等，方向不同，故B錯誤；
C．由題意可知橢圓的半長軸為，根據(jù)開普勒第三定律可得則有故C錯誤；
D．設探測器在橢圓軌道上P點速度為vP，在M點的速度為vM，設火星的半徑為R，根據(jù)開普勒第二定律可得解得故D正確。故選D。
考點二 萬有引力定律的理解和應用
知識點1 萬有引力與重力的關系
1．萬有引力定律
（1）內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。
（2）表達式：F＝G，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
（3）適用條件：
①公式適用于質(zhì)點間的相互作用。當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。
②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，r是兩球心間的距離。
2．萬有引力與重力的關系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：G＝mg2。
知識點2 星體表面上的重力加速度
1.在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝G，得g＝。
2.在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由，得
所以。
知識點3 萬有引力的“兩個推論”
推論1:在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處,質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零,即F引=0。
推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對其的萬有引力,即F=G。
考向1 萬有引力與重力的關系
1．將地球看成一個半徑為R的圓球，在北極用彈簧秤將一個物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧秤彈力大小為F1；在赤道，用彈簧秤將同一物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧秤彈力大小為F2。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，則該物體的質(zhì)量為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設地球質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，在北極萬有引力等于重力即等于彈簧秤的示數(shù)，有
在赤道處，萬有引力減去重力的差值提供向心力，所以有，聯(lián)立解得
故選C。
2．假設將來的某一天，宇航員駕駛宇宙飛船，登陸某一行星，該行星是質(zhì)量分布均勻的球體。通過測量發(fā)現(xiàn)，某一物體在該行星兩極處的重力為G，在該行星赤道處的重力為0.75G，則此物體在該行星緯度為30°處隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為（　?。?br/>A．G B．G C．G D．G
【答案】C
【詳解】由萬有引力和重力的定義可知，在兩極處在赤道上由向心力的公式可知緯度為30°處隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為聯(lián)立解得故C正確，ABD錯誤。
故選C。
考向2 天體不同位置重力加速度
3．某實驗小組設計了用單擺測量海底深度的實驗。在靜止于海底的蛟龍?zhí)柪铮瑴y得擺長為l的單擺，完成N次全振動用時為t。設地球為均質(zhì)球體，半徑為R，地球表面的重力加速度大小為。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。則下列說法正確的是（　?。?br/>A．此海底處的重力加速度大于地球表面的重力加速度
B．此海底處的重力加速度為無窮大
C．此海底處的深度為
D．此海底處的重力加速度大小為
【答案】D
【詳解】AB．根據(jù)萬有引力提供重力，則在星球表面化解得
已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，所以此海底處的減小，重力加速度減小，故AB錯誤；
CD．根據(jù)單擺周期公式則此海底處的重力加速度大小為
所以解得此海底處的深度為故C錯誤，D正確。
故選D。
4．地球表面重力加速度的測量在軍事及資源探測中具有重要的戰(zhàn)略意義，已知地球質(zhì)量，地球半徑R，引力常量G，以下說法正確的是（ ）
A．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球赤道處重力加速度的大小為
B．若地球自轉(zhuǎn)角速度為，地球兩極處重力加速度的大小為
C．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點正下方h處的B點為球心，為半徑挖一個球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為
D．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點正下方h處的B點為球心、為半徑挖一個球形的防空洞，則A處重力加速度變化量的大小為
【答案】ABC
【詳解】AB．在赤道處得出在兩極處得出選項AB正確；
CD．若忽略地球的自轉(zhuǎn)，以地球表面A點正下方h處的B點為球心為半徑挖一個球形的防空洞，該球形防空洞挖掉的質(zhì)量，A處重力加速度變化是由該球形防空洞引起；
選項C正確，D錯誤。故選ABC。
考點三 天體質(zhì)量密度估算
知識點1 “自力更生”法(g－R)
利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
(1)由G＝mg得天體質(zhì)量M＝。
(2)天體密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式?！　?br/>知識點2 “借助外援”法(T－r)
測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r。
(1)由G＝mr得天體的質(zhì)量M＝。
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝。
(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。
考向 天體質(zhì)量密度估算
1．科幻電影中提到的“洛希極限”是指當一個天體自身的引力與第二個天體造成的潮汐力相等時的距離，已知行星與衛(wèi)星的洛希極限計算式為，其中k為常數(shù)，R為行星半徑，ρ1、ρ2分別為行星和衛(wèi)星的密度，若行星半徑R，衛(wèi)星半徑為，且表面重力加速度之比為8:1，則其“洛希極限”為（　?。?br/>A． B． C．6kR D．
【答案】A
【詳解】利用星球表面處物體的重力等于萬有引力得星球的密度為
則則其“洛希極限”為故選A。
2．某同學利用直徑為d的不透光圓形紙板估測太陽的密度，如圖所示，調(diào)整圓紙板到人眼的距離L，使其剛好擋住太陽光，并測出L，已知萬有引力常量為G，地球公轉(zhuǎn)周期為T，則太陽密度約為（　?。?br/>
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】令地球到太陽的間距為r，太陽的半徑為R，根據(jù)幾何關系近似有對地球繞太陽公轉(zhuǎn)有太陽的密度為解得故選A。
1．（2023年6月浙江高考真題）木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運動的周期之比為。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為，則（ ）
A．木衛(wèi)一軌道半徑為 B．木衛(wèi)二軌道半徑為
C．周期T與T0之比為 D．木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意可得，木衛(wèi)3的軌道半徑為
AB．根據(jù)萬有引力提供向心力可得木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運動的周期之比為,可得木衛(wèi)一軌道半徑為木衛(wèi)二軌道半徑為故AB錯誤；
C．木衛(wèi)三圍繞的中心天體是木星，月球的圍繞的中心天體是地球，根據(jù)題意無法求出周期T與T0之比，故C錯誤；
D．根據(jù)萬有引力提供向心力，分別有；聯(lián)立可得
故D正確。故選D。
2．（2023年遼寧高考真題）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T ，地球繞太陽運動的周期為T ，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設月球繞地球運動的軌道半徑為r ，地球繞太陽運動的軌道半徑為r ，根據(jù)
可得；其中；聯(lián)立可得
故選D。

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