資源簡介

親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
01.4.2 充要條件（3種題型分類基礎練+能力提升練）
【夯實基礎】
題型一：充要條件的判斷
1. “”是”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2.（多選）下列選項中，是的充要條件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在兩角相等
D．：四邊形是正方形，：四邊形的對角線互相垂直平分
3.k>4，b<5是一次函數y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸的________條件．
4.設集合，，則的充要條件是______．
題型二：利用充分、必要條件求參數
一、單選題
1．（2022秋·廣東東莞·高一?？茧A段練習）方程與有一個公共實數根的充要條件是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023秋·云南大理·高一統考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實數的值為 .
3．（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學校校考階段練習）若“”是“”的充要條件，則實數m的取值是 ．
4．（2022秋·四川眉山·高一?？茧A段練習）已知集合，，是否存在實數，使得是成立的______？
(1)當橫線部分內容為“充要條件”時，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由？
(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由．
5．（2022秋·云南昆明·高一統考期中）已知集合， ，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若是的________條件，判斷實數是否存在？
6．（2022秋·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學校考階段練習）已知 .
(1)是否存在實數，使是的充要條件 若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由;
(2)是否存在實數，使是的必要條件 若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由.
7．（2023·全國·高一專題練習）設集合，命題，命題
(1)若是的充要條件，求正實數的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求正實數的取值范圍.
題型三：充要條件的證明
1．求證：一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數根的充要條件是q＜0.
2.設a，b，，求證：關于x的方程有一個根是1的充要條件為.
3.求證：方程與有一個公共實數根的充要條件是.
【能力提升】
一、單選題
1．在整數集Z中，被4除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個結論：①；②；③；④“整數a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結論有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
二、多選題
2．已知x∈R，y∈R，下列各結論中正確的是（ ）
A．“xy>0”是“”的充要條件 B．“x>y”是“”的充要條件
C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要條件
三、填空題
3．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號)．
（1）如圖①所示，開關A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；
（2）如圖②所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；
（3）如圖③所示，開關A閉合是燈泡B亮的充要條件；
（4）如圖④所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件．
四、解答題
4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
5.已知a、b、c為的三邊長，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要條件．
6．設a，b，．求證：，，的充要條件是，，．
7.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均為實數.證明：對于任意的，均有y≥1成立的充要條件是b≥2.
9.設x、y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.
10.已知a, b, c都是實數，證明ac<0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.
11.求關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件.
12.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
13.求有關的方程
（1）有一個根大于1，有一個根小于1的充要條件.（2）“有兩個小于3的根”的充要條件。
14.已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件
1.4.2 充要條件（3種題型分類基礎練+能力提升練）
【夯實基礎】
題型一：充要條件的判斷
1. “”是”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】由，
由此可知“”是”的充要條件.
故選：C.
2.（多選）下列選項中，是的充要條件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在兩角相等
D．：四邊形是正方形，：四邊形的對角線互相垂直平分
【答案】BC
【詳解】解：對于A：由，得，或，，故不是的充要條件，故A錯誤；
對于B：由，則，若則，故是的充要條件，故B正確；
對于C：三角形是等腰三角形三角形存在兩角相等，故是的充要條件，故C正確；
對于D：四邊形的對角線互相垂直且平分四邊形為菱形，故不是的充要條件，故D錯誤；
故選：BC
3.k>4，b<5是一次函數y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸的________條件．
【答案】充要
【詳解】∵k>4時，k－4>0，b<5時，b－5<0，
∴直線y＝(k－4)x＋b－5交y軸于負半軸，交x軸于正半軸；
y＝(k－4)x＋(b－5)與y軸交于(0，b－5)與x軸交于，
由交y軸于負半軸，交x軸于正半軸可知
，
故k>4，b<5是一次函數y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸的充要條件，
故答案為：充要.
4.設集合，，則的充要條件是______．
【答案】，
【詳解】由，可知，，于是
解得
此時，，符合．
故的充要條件是，
故答案為：，
題型二：利用充分、必要條件求參數
一、單選題
1．（2022秋·廣東東莞·高一?？茧A段練習）方程與有一個公共實數根的充要條件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】方程有實根，故，
解得或.
方程有實根，故，
解得.
綜上所述，，只有D選項符合.
若方程與有一個公共實數根，設公共實根為，
則，兩式相減得，
由于，所以，
所以.
當時，兩個方程分別為、，
方程的兩個根為；
方程的兩個根為；
即方程與有一個公共實數根.
綜上所述，方程與有一個公共實數根的充要條件是.
故選：D
2．（2023秋·云南大理·高一統考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實數的值為 .
【答案】
【詳解】解不等式得，
因為“不等式成立”的充要條件為“”，所以，解得，
所以，.
故答案為：.
3．（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學校?？茧A段練習）若“”是“”的充要條件，則實數m的取值是 ．
【答案】3
【詳解】由得，故，
因為“”是“”的充要條件，
所以，解得，
所以實數m的取值是3.
故答案為：3.
4．（2022秋·四川眉山·高一?？茧A段練習）已知集合，，是否存在實數，使得是成立的______？
(1)當橫線部分內容為“充要條件”時，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由？
(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由．
【詳解】（1）當橫線部分內容為“充要條件”時，則，則且，方程組無解.
∴不存在滿足條件的.
（2）若選①，則是的真子集，則且（兩等號不同時?。?，且，解得，
∴問題中的存在，且的取值集合.
選②，則是的真子集，
當時，，即，滿足是的真子集；
當時，，即，由是的真子集，得且（兩等號不同時取），解得；
綜上所述：.
所以問題中的存在，且的取值集合.
5．（2022秋·云南昆明·高一統考期中）已知集合， ，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若是的________條件，判斷實數是否存在？
【詳解】（1）若，則，
則，解得，
所以實數的取值范圍是．
（2）若選擇條件，即是的充分條件，則，
所以，解得，
所以實數的取值范圍是；
若選擇條件，即是的必要條件，則，
所以，解得．
又，所以，
所以實數的取值范圍是；
若選擇條件，即是的充要條件，則，
所以，方程組無解，
所以不存在滿足條件的實數．
6．（2022秋·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學校考階段練習）已知 .
(1)是否存在實數，使是的充要條件 若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由;
(2)是否存在實數，使是的必要條件 若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由.
【詳解】（1）要使是的充要條件，則
即，此方程組無解.
所以不存在實數，使是的充要條件.
（2）要使是的必要條件，則，
當時，，解得
當時，，解得
要使，則有，解得，所以
綜上可得，當時，是的必要條件.
7．（2023·全國·高一專題練習）設集合，命題，命題
(1)若是的充要條件，求正實數的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求正實數的取值范圍.
【詳解】（1）由條件， 是的充要條件，
得，即，解得，
所以實數的取值范圍是.
（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，
所以，或，解得，
綜上實數的取值范圍是.
題型三：充要條件的證明
1．求證：一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數根的充要條件是q＜0.
【詳解】證明?、俪浞中裕?br/>因為q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，
故方程x2＋px＋q＝0有兩個不相等的實數根．
設方程的兩根為x1，x2.
因為x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數根．
②必要性：
因為方程x2＋px＋q＝0有兩個異號實數根，
設兩根為x1，x2，所以x1·x2＜0.
因為x1·x2＝q，所以q＜0.
由①②，命題得證．
2.設a，b，，求證：關于x的方程有一個根是1的充要條件為.
【詳解】充分性：，，
代入方程得，即．
關于的方程有一個根為；
必要性：方程有一個根為，滿足方程，
，即．
故關于的方程有一個根是的充要條件為．
3.求證：方程與有一個公共實數根的充要條件是.
【詳解】必要性：若方程與有一個公共實數根，設為，
則
兩式相減得：
或
若，兩個方程均為無解，
故，代入可得.
充分性：當時，，解得；
，解得；
兩個方程有公共根為1.
綜上所述，方程與有一個公共實數根的充要條件是.
【能力提升】
一、單選題
1．在整數集Z中，被4除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個結論：①；②；③；④“整數a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結論有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【詳解】因為，故，故①錯誤；
而，故，故②正確；
由“類”的定義可得，
任意，設除以4的余數為，則，
故，所以，
故，故③正確
若整數a，b屬于同一“類”，設此類為，
則，故即，
若，故為的倍數，故a，b除以4 的余數相同，
故a，b屬于同一“類”，
故整數a，b屬于同一“類”的充要條件為，故④正確；
二、多選題
2．已知x∈R，y∈R，下列各結論中正確的是（ ）
A．“xy>0”是“”的充要條件 B．“x>y”是“”的充要條件
C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要條件
【答案】AC
【詳解】因為與等價，故“xy>0”是“”的充要條件，A正確；
因為，，推不出，故B錯誤；
因為當，時推不出xy≠0，當時，能推出，
所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件，C正確；
由可得，當滿足時，才可得，即推不出，
反之，當時，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分條件，故D不正確.
故選：AC
三、填空題
3．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號)．
（1）如圖①所示，開關A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；
（2）如圖②所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；
（3）如圖③所示，開關A閉合是燈泡B亮的充要條件；
（4）如圖④所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】充分不必要條件是該條件成立時，可推出結果，但結果不一定需要該條件成立；必要條件是有結
【詳解】（1）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項（1）正確.
（2）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項（2）正確.
（3）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充要條件，選項（3）正確.
（4）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項（4）錯誤.
故答案為（1）（2）（3）.
四、解答題
4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要條件，
∴，即A B，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的兩根要在區間[1,2]內
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
5.已知a、b、c為的三邊長，集合，．
(1)若，求；
(2)求的充要條件．
【答案】(1)
(2)的充要條件是
【分析】（1）解方程，由集合的并集運算計算即可；
（2）由集合的交集運算，結合判別式得出，再由，得出.
(1)由，得，，
從而
(2)當時，，，且存在，使得，．
于是，
又a、b、c為的三邊長，得．
從而的充要條件是
6．設a，b，．求證：，，的充要條件是，，．
【詳解】證明：（必要性）由，，，顯然有，，．
（充分性）用反證法：假設，，不成立，則a，b，c中至少有一個不大于0．
由a，b，c的對稱性，不妨設
由得，從而由，得，即
故，于是．這與矛盾，于是假設不成立．
因此，，，．
7.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
【詳解】充分性：若，則關于的方程有一正一負根，證明如下：
當時，，
所以方程有兩個不相等的實根，
設兩根分別為，，則，所以方程有一正一負根，
故充分性成立，
必要性：若“關于的方程有一正一負根”，則，證明如下：
設方程一正一負根分別為，，則，
所以，所以若“關于的方程有一正一負根”，則，
故必要性成立，
所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均為實數.證明：對于任意的，均有y≥1成立的充要條件是b≥2.
【詳解】證明：因為函數y=a2x2-2ax+b的圖像的對稱軸方程為x=，
所以a≥1，且0<≤1，
故當x=時，函數有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.
先證必要性：對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.
再證充分性：因為b≥2，當x=時，函數有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，
所以對于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要條件是b≥2.
9.設x、y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.
【解析】
（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，
于是|x+y|=|x|+|y|
如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
當x＞0，y＞0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|.
當x＜0，y＜0時，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.
總之，當xy≥0時，有|x+y|=|x|+|y|.
（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，
即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，
∴xy≥0.
綜上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.
10.已知a, b, c都是實數，證明ac<0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.
【答案】
（1）充分性:若ac<0，則Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，設為x1, x2,
∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符號相反，即方程有一個正根和一個負根.
（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根，設為x1,x2,且x1>0, x2<0，
則x1·x2=<0，∴ac<0
綜上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.
11.求關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件.
【答案】
（1）a=0時適合.
（2）當a≠0時，顯然方程沒有零根，
若方程有兩異號的實根，則必須滿足；
若方程有兩個負的實根，則必須滿足
綜上知，若方程至少有一個負的實根，則a≤1；
反之，若a≤1，則方程至少有一個負的實根，
因此，關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是a≤1
12.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
【詳解】充分性：若，則關于的方程有一正一負根，證明如下：
當時，，
所以方程有兩個不相等的實根，
設兩根分別為，，則，所以方程有一正一負根，
故充分性成立，
必要性：若“關于的方程有一正一負根”，則，證明如下：
設方程一正一負根分別為，，則，
所以，所以若“關于的方程有一正一負根”，則，
故必要性成立，
所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
②③，并注意到，得．④
將④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤滿足①，因此的充要條件是．
13.求有關的方程
（1）有一個根大于1，有一個根小于1的充要條件.（2）“有兩個小于3的根”的充要條件。
【答案】（1）設方程兩個根分別為，不妨設，則問題等價于：
。
（2）設方程兩個根分別為，不妨設，則問題等價于：
14.已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件
【答案】（1）（充分性)由韋達定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
設f(x)=x2+ax+b，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線
∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根
∵α，β是方程f(x)=0的實根，∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2
/ 將來的有一天，你會感謝現在努力的你！親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
01.4.1充分條件與必要條件（4種題型分類基礎練+能力提升練）
【夯實基礎】
一、命題的概念
一、單選題
1.以下語句：①；②；③；④，其中命題的個數是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
2.下列語句中：①；②；③有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱?、抻凶钚〉馁|數嗎？其中是命題的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
3.下列語句是命題的是（ ）
A．二次函數的圖象太美啦！ B．這是一棵大樹
C．求證： D．3比5大
4.判斷下列語句是否是命題，并說明理由．
(1)是有理數；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面圖形呢？
(4)一個數的算術平方根一定是負數．
二、多選題
5． (多選)下列語句是命題的是（ ）
A．3是15的約數 B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2 D．你準備考北京大學嗎
二、判斷命題的真假
一、單選題
6．下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;
②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列命題中，是真命題的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
二、填空題
8．若一個非空數集滿足：對任意，有，，，且當時，有，則稱為一個數域，以下命題中：
（1）0是任何數域的元素；（2）若數域有非零元素，則；
（3）集合為數域；（4）有理數集為數域；
真命題的個數為________
三、充分條件的判定
一、單選題
9． =的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
10．若是的充分不必要條件，則實數a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答題
11．已知集合，，.
(1)若是“”的充分條件，求實數a的取值范圍.
(2)若，求實數a的取值范圍.
四、必要條件的判定
一、單選題
12． “關于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．若關于的方程至多有一個實數根，則它成立的必要條件可以是（ ）
A． B． C． D．
三、解答題
14．已知x，y∈R，求證:xy=0是x2+y2=0的必要不充分條件.
【能力提升】
一、單選題
1．（2023秋·上海徐匯·高一位育中學?？计谀啊笔恰啊钡模? ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2023·全國·高一假期作業）已知是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現有下列命題：①s是q的充要條件；②是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
3．（2022秋·高一課時練習）已知四邊形ABCD的兩條對角線分別為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2022秋·江蘇鹽城·高一?？计谀┰Ox∈R，則“x＜2”是“”成立的什么條件（ ）
A．充分不必要 B．既不充分也不必要
C．充要 D．必要不充分
二、多選題
5．（2022秋·江蘇蘇州·高一統考期中）下列命題為真命題的是（ ）
A．是的必要不充分條件
B．或為有理數是為有理數的既不充分又不必要條件
C．是的充分不必要條件
D．的充要條件是
6．（2022秋·河北滄州·高一任丘市第一中學?？茧A段練習）已知集合或，則的必要不充分條件可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中學校考階段練習）若“，或”為真命題，“”為假命題，則集合M可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┤簟啊笔恰皘x|<1”的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是___________
9．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）已知命題關于的方程有實根，若為真命題的充分不必要條件為，則的取值范圍是___________.
10．（2022秋·上海長寧·高一上海市延安中學?？茧A段練習）若或是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是___________.
四、解答題
11．（2023秋·湖北襄陽·高一統考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.
(1)當時，求；
(2)若______，求實數的取值范圍.
12．（2022秋·廣東廣州·高一廣州市番禺區大龍中學?？茧A段練習）已知集合
（1）判斷8，9，10是否屬于集合A；
（2）已知集合，證明：“”的充分條件是“”；但“”不是“”的必要條件；
（3）寫出所有滿足集合A的偶數.
13．（2022秋·河南南陽·高一?？计谀┮阎?，集合．條件①；②是的充分條件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B滿足條件__________（三個條件任選一個作答），求實數m的取值范圍．
1.4.1充分條件與必要條件（4種題型分類基礎練+能力提升練）
【夯實基礎】
一、命題的概念
一、單選題
1.以下語句：①；②；③；④，其中命題的個數是（　?。?br/>A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據命題的定義進行判斷.
【詳解】①是命題，且是假命題；②、③不能判斷真假，不是命題；④不是陳述句，不是命題．
故選：B
2.下列語句中：①；②；③有一個根為0；④高二年級的學生；⑤今天天氣好熱！⑥有最小的質數嗎？其中是命題的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【答案】D
【詳解】命題是能判斷真假的陳述句，
由于⑤⑥不是陳述句，故不是命題，
②④無法判斷真假，故不是命題，
①③可以判斷真假且是陳述句，故是命題，
3.下列語句是命題的是（ ）
A．二次函數的圖象太美啦！ B．這是一棵大樹
C．求證： D．3比5大
【答案】D
【詳解】能夠判斷成立或不成立的陳述句叫命題，只有選項D能夠判斷出真假，3比5大顯然不成立，是假命題，
4.判斷下列語句是否是命題，并說明理由．
(1)是有理數；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面圖形呢？
(4)一個數的算術平方根一定是負數．
【詳解】（1）“是有理數”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．
（2）因為無法判斷“3x2≤5”的真假，所以它不是命題．
（3）“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題．
（4）“一個數的算術平方根一定是負數”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．
二、多選題
5． (多選)下列語句是命題的是（ ）
A．3是15的約數 B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2 D．你準備考北京大學嗎
【答案】ABC
【詳解】對于A，3能整除15，為真，所以A是命題；
對于B，，為真，所以B是命題；
對于C，，所以“4不小于2”為真，所以C是命題；
對于D，“你準備考北京大學嗎 ”是疑問句不是陳述句，且無法判斷真假，所以D不是命題.
二、判斷命題的真假
一、單選題
6．下列命題：
①矩形既是平行四邊形又是圓的內接四邊形;
②菱形是圓的內接四邊形且是圓的外切四邊形;
③方程的判別式大于0;
④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;
對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，
對于③，方程的判別式為，故正確，
對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，
對于⑤，,故正確;
7．下列命題中，是真命題的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【詳解】A選項：若，滿足，但是，因此是假命題，故A錯誤；
B選項：若，，滿足，但是，因此是假命題，故B錯誤；
C選項：若，，滿足，但是，因此是假命題，故C錯誤；
D選項：因為，則，且，因此，因此是真命題，故D正確，
二、填空題
8．若一個非空數集滿足：對任意，有，，，且當時，有，則稱為一個數域，以下命題中：
（1）0是任何數域的元素；（2）若數域有非零元素，則；
（3）集合為數域；（4）有理數集為數域；
真命題的個數為________
【答案】3
【詳解】（1）當時，屬于數域，故（1）正確，
（2）若數域有非零元素，則，
從而，故（2）正確；
（3）由集合的表示可知得是3的倍數，當時，，故（3）錯誤，
（4）若是有理數集，則當，，則，，，且當時，”都成立，故（4）正確，
故真命題的個數是3.
三、充分條件的判定
一、單選題
9． =的一個充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】對于選項A，因為，顯然=沒意義，根據充分條件的定義知，選項A不是充分條件；
對于選項B，當時，=成立；而當=成立時，a≥0，b>0.
根據充分條件的定義知，選項B是充分條件；
對于選項C、D，由可知，=沒意義，所以選項C、D不是充分條件；
二、多選題
10．若是的充分不必要條件，則實數a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【詳解】若是的充分不必要條件，
則.
三、解答題
11．已知集合，，.
(1)若是“”的充分條件，求實數a的取值范圍.
(2)若，求實數a的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）因為，所以.因為是的充分條件，
所以，解得，.
（2）因為，，所以，解得.故a的取值范圍為.
四、必要條件的判定
一、單選題
12． “關于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：關于的不等式的解集為R，則，
解得，所以“關于的不等式的解集為R”的一個必要不充一個分條件“”.
二、多選題
13．若關于的方程至多有一個實數根，則它成立的必要條件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】因為方程至多有一個實數根，
所以方程的判別式，
即：，解得，
利用必要條件的定義，結合選項可知，成立的必要條件可以是選項B和選項C.
三、解答題
14．已知x，y∈R，求證:xy=0是x2+y2=0的必要不充分條件.
【詳解】必要性：對于x，y∈R，若x2+y2=0，
則x=0，y=0，即xy=0，
故xy=0是x2+y2=0的必要條件.
充分性：對于x，y∈R，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不成立，
故xy=0不是x2+y2=0的充分條件.
綜上所述，對于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分條件.
【能力提升】
一、單選題
1．（2023秋·上海徐匯·高一位育中學校考期末）“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】分別從充分性和必要性進行論證即可求解.
【詳解】若，則同號，所以成立，充分性成立；
若成立，兩邊同時平方可得：，
所以，則，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：.
2．（2023·全國·高一假期作業）已知是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現有下列命題：①s是q的充要條件；②是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】根據條件及充分條件和必要條件的的確定之間的關系，然后逐一判斷命題①②③④即可.
【詳解】因為是的的充分不必要條件，所以，推不出，
因為是的的充分條件，所以，
因為是的必要條件，所以，
因為是的必要條件，所以，
因為，，所以，又，，所以是的充要條件，命題①正確，
因為，，，所以，
推不出，故是的充分不必要條件，②正確；
因為，，所以，是的充分條件，命題③錯誤；
因為，，所以，又，
所以是的充要條件，命題④錯誤；
故選：B.
3．（2022秋·高一課時練習）已知四邊形ABCD的兩條對角線分別為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用菱形的判定定理和性質定理即可判斷二者間的邏輯關系.
【詳解】四邊形ABCD的兩條對角線分別為AC，BD，
若四邊形ABCD為菱形，則；若，則四邊形ABCD不一定為菱形.
則“四邊形ABCD為菱形”是“”的充分不必要條件
故選：A
4．（2022秋·江蘇鹽城·高一校考期末）設x∈R，則“x＜2”是“”成立的什么條件（ ）
A．充分不必要 B．既不充分也不必要
C．充要 D．必要不充分
【答案】D
【分析】根據不等式解法和充分必要條件的判定即可求解.
【詳解】①若“x＜2”存在x為負數的情況，
此時為負數，
所以不滿足，
故前面推導不出后面的結果，
②若，則，
所以能夠推出x＜2，
所以“x＜2”是“”成立的必要不充分條件.
故選：D.
二、多選題
5．（2022秋·江蘇蘇州·高一統考期中）下列命題為真命題的是（ ）
A．是的必要不充分條件
B．或為有理數是為有理數的既不充分又不必要條件
C．是的充分不必要條件
D．的充要條件是
【答案】BD
【分析】由已知，選項A，可舉例當時，判斷是否滿足必要性；選項B，選項C，選項D，可根據條件和結論分別驗證充分性和必要性.
【詳解】選項A，必要性：，當時，此時，該選項錯誤；
選項B，，中有一個數為有理數時，不一定為有理數（如：），所以或為有理數不一定能推導出為有理數；為有理數時，，可能均為無理數（如：），所以，此時為有理數不一定能推導出或為有理數，所以該選項正確；
選項C，充分性：，必要性：，應為充要條件，所以該選項錯誤；
選項D，必要性：，
所以，
即，所以；
充分性：，則，該選項正確.
故選：BD.
6．（2022秋·河北滄州·高一任丘市第一中學?？茧A段練習）已知集合或，則的必要不充分條件可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分別在、的情況下，根據求得的范圍，即為的充要條件，再根據選項即可得解．
【詳解】解：因為集合或，
當時，，解得，此時，
當時，，解得，若，則，解得，
又，則，
則的充要條件為，
所以的必要不充分條件可能是，，
故選：AB．
7．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中學校考階段練習）若“，或”為真命題，“”為假命題，則集合M可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根據所給真命題、假命題成立的條件，再求出它們的交集即可得集合M滿足的條件.
【詳解】命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，可得，
命題“，或”為真命題，則或，
所以或或，顯然，B，D選項中的區間為的子集．
故選：BD．
三、填空題
8．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┤簟啊笔恰皘x|<1”的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是___________
【答案】
【分析】根據題意得到，再利用數軸得到不等式，解出不等式即可.
【詳解】
是的必要不充分條件,
,
,
實數的取值范圍是,
故答案為： .
9．（2022秋·浙江衢州·高一?？计谥校┮阎}關于的方程有實根，若為真命題的充分不必要條件為，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】先由為假命題得出的范圍，再根據是為假命題的充分不必要條件列出關于的不等式解之即可.
【詳解】由方程有實數根可得，即，
為真命題，即為假命題，
所以 ，
根據是為假命題的充分不必要條件，所以，解得，
即實數的取值范圍為.
故答案為：
10．（2022秋·上海長寧·高一上海市延安中學校考階段練習）若或是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】根據“或”是“”的必要不充分條件，得到不等式組，解出即可．
【詳解】若“或”是“”的必要不充分條件，
則是或的真子集，
或，
解得：或，
故答案為：．
四、解答題
11．（2023秋·湖北襄陽·高一統考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.
(1)當時，求；
(2)若______，求實數的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)答案見解析
【分析】（1）利用集合的交并補運算即可得解；
（2）選①③，利用集合的基本運算，結合數軸法即可得解；選②，由充分不必要條件推得集合的包含關系，再結合數軸法即可得解.
【詳解】（1）當時，，而，
所以，則或.
（2）選①：
因為，所以，
當時，則，即，滿足，則；
當時，，由得，解得；
綜上：或，即實數的取值范圍為；
選②：
因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，
當時，則，即，滿足題意，則；
當時，，則，且不能同時取等號，解得；
綜上：或，即實數的取值范圍為；
選③：
因為，
所以當時，則，即，滿足，則；
當時，，由得或，解得或，
又，所以或；
綜上：或，實數的取值范圍為.
12．（2022秋·廣東廣州·高一廣州市番禺區大龍中學?？茧A段練習）已知集合
（1）判斷8，9，10是否屬于集合A；
（2）已知集合，證明：“”的充分條件是“”；但“”不是“”的必要條件；
（3）寫出所有滿足集合A的偶數.
【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）所有滿足集合A的偶數為．
【分析】（1）由，即可證，若，而，列方程組判斷是否存在整數解，即可判斷10是否屬于A.
（2）由，結合集合A的描述知，由（1），而，即可證結論；
（3）由集合A的描述：，討論m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可確定的奇偶性，進而寫出所有滿足集合A的偶數.
【詳解】（1），，，，
假設，，則，且，
∴，則或，顯然均無整數解，
∴，
綜上，有：，，；
（2）集合，則恒有，
∴，即一切奇數都屬于A，又，而
∴“”的充分條件是“”；但“”不是“”的必要條件；
（3）集合，成立，
①當m，n同奇或同偶時，均為偶數，為4的倍數；
②當m，n一奇，一偶時，均為奇數，為奇數，
綜上，所有滿足集合A的偶數為．
【點睛】關鍵點點睛：根據集合的性質，應用因式分解、恒等轉化、代數式的奇偶性討論，判斷元素與集合的關系，證明條件間的充分、必要關系，確定滿足條件的數集.
13．（2022秋·河南南陽·高一?？计谀┮阎?，集合．條件①；②是的充分條件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B滿足條件__________（三個條件任選一個作答），求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）可將帶入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根據題意中三個不同的條件，列出集合與集合之間的關系，即可完成求解.
【詳解】（1）當時，集合，集合，所以；
（2）i.當選擇條件①時，集合，
當時，，舍；
當集合時，即集合，時，，
此時要滿足，則，解得，
結合，所以實數m的取值范圍為或；
ii.當選擇條件②時，要滿足是的充分條件，則需滿足在集合時，
集合是集合的子集，即，解得，
所以實數m的取值范圍為或；
iii.當選擇條件③時，要使得，使得，那么需滿足在集合時，集合是集合的子集，即，解得，
所以實數m的取值范圍為或；
故，實數m的取值范圍為或.
/ 將來的有一天，你會感謝現在努力的你！親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
01.4.2 充要條件導學案
【學習目標】
1.結合具體實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點、難點)
2．會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點)
3．能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明．(難點)
【自主學習】
一．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有 ，又有 ，就記作 ，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為 條件.
二、如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p q，那么p與q互為 條件.
思考：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區別在哪里？
解讀：從概念的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件
①若p q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．
②若p q，則p是q的充要條件．
③若p q，且qp，則稱p是q的充分不必要條件．
④若pq，且q p，則稱p是q的必要不充分條件．
⑤若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
三．“ ”的傳遞性
若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p q，q s，則有 ，即p是s的充要條件．
【當堂達標基礎練】
1.下列各組命題中，哪些p是充要條件？
（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；
（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一個根，q：a+b+c=0(a≠0).
2.已知： O 的半徑為r ，圓心O到是直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與 O 相切的充要條件.
3.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件為AC=BD.
【當堂達標提升練】
1.已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（ ）
A．，
B．：兩個三角形全等，：兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等
C．，
D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等
2.已知實數a，b，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
3.（多選）下列選項中，p是q的充要條件的為（　　）
A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
4.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
5.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．
(1)p：數a能被6整除，q：數a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
【當堂達標素養練】
1.已知，．
(1)是否存在實數m，使是的充分條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(2)是否存在實數m，使是的必要條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
2.求關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件.
3.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
4.求有關的方程
（1）有一個根大于1，有一個根小于1的充要條件.（2）“有兩個小于3的根”的充要條件。
5.已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件
6.已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．
7.已知x，y都是非零實數，且x>y，求證：<的充要條件是xy>0.
8.求關于x的方程至少有一個負實根的充要條件．
9.已知方程+=0，求使方程有兩個大于1的實數根的充要條件．
1.4.2 充要條件導學案
【學習目標】
1.結合具體實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點、難點)
2．會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點)
3．能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明．(難點)
【自主學習】
一．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有 ，又有 ，就記作 ，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為 條件.
p q q p p q 充要
二、如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p q，那么p與q互為 條件.
充要
思考：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區別在哪里？
(1)p是q的充要條件說明p是條件，q是結論.
(2)p的充要條件是q說明q是條件，p是結論.
解讀：從概念的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件
①若p q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．
②若p q，則p是q的充要條件．
③若p q，且qp，則稱p是q的充分不必要條件．
④若pq，且q p，則稱p是q的必要不充分條件．
⑤若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
三．“ ”的傳遞性
若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p q，q s，則有 ，即p是s的充要條件．
p s
【當堂達標基礎練】
1.下列各組命題中，哪些p是充要條件？
（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；
（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一個根，q：a+b+c=0(a≠0).
解:（1）因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要條件。
（2）因為“若p，則q”是三角形的性質定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，它們均為真命題，既p q，所以p是q的充要條件。
（3）因為當xy >0時，x>0,y>0不一定成立，所以pq,所以p不是q的充要條件。
（4）若，則，即；若，則，即，故，
所以p是q的充要條件．
2.已知： O 的半徑為r ，圓心O到是直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與 O 相切的充要條件.
證明：設p:d=r，q:直線l與 O相切.
（1）充分性( ):如圖，作OP⊥l于點P，則OP=d.
若d=r，則點P在 O上.在直線l上任取一點Q(異于點P)，
連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點P外直線
l上的點都在 O 的外部，即直線l與 O 僅有一個公共
點P.所以直線l與 O 相切.
（2）必要性():若直線l與 O相切，不妨設切點為P，則OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直線l與 O 相切的充要條件.
3.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件為AC=BD.
充分性: AC=BD梯形ABCD為等腰梯形.
必要性:梯形ABCD為等腰梯形 AC=BD
【當堂達標提升練】
1.已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（ ）
A．，
B．：兩個三角形全等，：兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等
C．，
D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等
【答案】B
【詳解】對于A選項，，解得：或，
所以，但，
故為的充分不必要條件，故A錯誤；
B選項：根據全等三角形的性質及判定可知，，故是的充要條件，故B正確；
C選項，由可得或，，則為的充分不必要條件，故C錯誤；
D選項，兩直角三角形全等，則兩直角三角形的斜邊相等，
但兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形不一定全等，
例如：中，，斜邊，
中，，則斜邊，
故為的必要不充分條件．
故選：B．
2.已知實數a，b，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【答案】C
【詳解】為充要條件．
3.（多選）下列選項中，p是q的充要條件的為（　?。?br/>A．
B．p：，q：
C．p：，q：
D．p：，q：
【答案】BD
【詳解】對于A選項，p q，但不一定得到，故p不是q的充要條件；
對于B選項，p q，且q p，即p q，故p是q的充要條件；
對于C選項，不能得到，但一定，故p不是q的充要條件；
對于D選項，p q，且q p，故p是q的充要條件．
4.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
[解析]　
(1)，ab＝0指其中至少有一個為零，而a2＋b2＝0指兩個都為零，因此q p，但p q，p是q的必要
不充分條件；
(2)，|x＋y|＝|x|＋|y| (|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2 x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2 xy＝|xy| xy≥0，所以p是q的充要條件；
(3)，方程x2－x－m＝0有實根的充要條件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－，所以p q但q p，p是q的充分不必要條件；
(4)，|x－1|＞2 x＞3或x＜－1，所以p q但q p，所以p是q的必要不充分條件．
5.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．
(1)p：數a能被6整除，q：數a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
[解析]　
(1)∵p q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．
(2)∵p q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．
(3)∵p不能推出q，q p，∴p是q的必要不充分條件．
(4)∵ab＝0時，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而當ab>0時，有|ab|＝ab，即q p.∴p是q的必要不充分條件．
6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
【答案】－2≤a≤2
【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要條件，
∴，即A B，
可知或方程x2＋ax＋1＝0的兩根要在區間[1,2]內
∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.
【當堂達標素養練】
1.已知，．
(1)是否存在實數m，使是的充分條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(2)是否存在實數m，使是的必要條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【詳解】（1）∵
∴要使是的充分條件，需使，
即，解得，
∴存在實數，使是的充分條件．
（2）要使是的必要條件，需使．
當時，，解得，滿足題意；.
當時，，解得，
要使，則有，解得，
∴，
綜上得，當實數時，是的必要條件．
2.求關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件.
【答案】
（1）a=0時適合.
（2）當a≠0時，顯然方程沒有零根，
若方程有兩異號的實根，則必須滿足；
若方程有兩個負的實根，則必須滿足
綜上知，若方程至少有一個負的實根，則a≤1；
反之，若a≤1，則方程至少有一個負的實根，
因此，關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是a≤1
3.證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
【詳解】充分性：若，則關于的方程有一正一負根，證明如下：
當時，，
所以方程有兩個不相等的實根，
設兩根分別為，，則，所以方程有一正一負根，
故充分性成立，
必要性：若“關于的方程有一正一負根”，則，證明如下：
設方程一正一負根分別為，，則，
所以，所以若“關于的方程有一正一負根”，則，
故必要性成立，
所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.
②③，并注意到，得．④
將④代入③，得⑤
即由②③消去得到⑤．而⑤滿足①，因此的充要條件是．
4.求有關的方程
（1）有一個根大于1，有一個根小于1的充要條件.（2）“有兩個小于3的根”的充要條件。
【答案】（1）設方程兩個根分別為，不妨設，則問題等價于：
。
（2）設方程兩個根分別為，不妨設，則問題等價于：
5.已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件
【答案】（1）（充分性)由韋達定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4
設f(x)=x2+ax+b，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線
∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根
∵α，β是方程f(x)=0的實根，∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2
6.已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．
【證明】①充分性：因為a＋b＝1，所以b＝1-a,
所以
即=0；
②必要性：因為=0，所以=0,
所以=0，因為ab≠0，所以a，b均不為0，所以
所以=0，即=1.
綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．
7.已知x，y都是非零實數，且x>y，求證：<的充要條件是xy>0.
【證明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.因為x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要條件是xy>0.
法二：< －<0 <0.由條件x>y y－x<0，故由<0 xy>0.
所以< xy>0，即<的充要條件是xy>0.
8.求關于x的方程至少有一個負實根的充要條件．
[解析]?、佼攁＝0時，方程為一元一次方程，其根為x＝－，符合要求．
②當a≠0時，方程為一元二次方程，此時有實根的充要條件是
判別式Δ≥0，
即4－4a≥0，從而a≤1.
設方程的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1x2＝.
(Ⅰ)方程有一負根一正根的充要條件為,
(Ⅱ)方程有兩個負根的充要條件為
綜上所述，方程至少有一個負實根的充要條件是a≤1.
9.已知方程+=0，求使方程有兩個大于1的實數根的充要條件．
【解析】方程+=0，有兩個大于1的實數根,

k<－2.
所以使方程有兩個大于1的實根的充要條件是k<－2.
/ 將來的有一天，你會感謝現在努力的你！親愛的同學加油，給自己實現夢想的一個機會！
1.4.1 充分條件與必要條件導學案
【學習目標】
1、了解命題的概念，會判斷命題的真假；
2、理解充分條件、必要條件的意義（重難點）；
3、會判斷充分條件和必要條件（重點）．
【自主學習】
一．命題
1．命題的定義：可判斷真假的陳述句叫作命題．
2．命題的條件和結論：數學中，許多命題可表示為“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式，其中____叫作命題的條件，____叫作命題的結論．
3．命題的分類：判斷為真的命題叫作真命題，判斷為假的命題叫作假命題．
二．充分條件與必要條件的概念
命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
推出關系 p q p q
條件關系 p是q的 條件 q是p的 條件 p不是q的 條件 q不是p的 條件
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個 條件．
數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個 條件．
解讀：(1)充分、必要條件的判斷討論的是“若p，則q”形式的命題．若不是，則首先將命題改寫成“若p，則q”的形式．
(2)不能將“若p，則q”與“p q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p q”．
三．充分條件、必要條件與集合的關系
設A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}
A B p是q的充分條件；q是p的必要條件
B A q是p的充分條件；p是q的必要條件
【當堂達標基礎練】
1 .下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？
若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形。
（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似。
（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直。
若a=b，則ac=bc。
（6）若x，y為無理數，則xy為無理數。
2. 下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？
（1）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等。
（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例。
（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形為菱形。
（5）若ac=bc，則a=b
（6）若xy為無理數，則x，y為無理數
【當堂達標提升練】
一、單選題
1． “aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
二、多選題
3．（多選）下列是“，”的必要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命題中是真命題的為（ ）
A．“”是“”的充要條件
B．“”是“”的必要不充分條件
C．“或”是“”的充要條件
D．“集合”是“”的充分不必要條件
5．下列命題是真命題的有（ ）
A．一次函數的圖像一定經過點
B．已知，則是的充要條件
C．外心在某條邊上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
三、填空題
6．已知.若是的必要條件，則實數的取值范圍是___________.
四、解答題
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要條件，求實數m的取值范圍．
8．已知集合，．
(1)當時，求，；
(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【當堂達標素養練】
1．從符號“”“”“”中選擇適當的一個填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
2．設集合，集合，其中.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)給出以下兩個條件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要條件．
在以上兩個條件中任選一個，補充到橫線處，求解下列問題：
若_____________，求實數a的取值范圍．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.
5.從①，②，③這三個條件中任選一個補充到下面的問題中，并解答．
問題：已知集合，______，是否存在實數a，使得“”是“”的必要不充分條件？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
6.設集合.
（1）證明：屬于的兩個整數，其積也屬于；
（2）判斷32、33、34是否屬于，并說明理由；
（3）寫出“偶數屬于”的一個充要條件并證明.
1.4.1 充分條件與必要條件導學案
【學習目標】
1、了解命題的概念，會判斷命題的真假；
2、理解充分條件、必要條件的意義（重難點）；
3、會判斷充分條件和必要條件（重點）．
【自主學習】
一．命題
1．命題的定義：可判斷真假的陳述句叫作命題．
2．命題的條件和結論：數學中，許多命題可表示為“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式，其中____叫作命題的條件，____叫作命題的結論．
3．命題的分類：判斷為真的命題叫作真命題，判斷為假的命題叫作假命題．
p q
二．充分條件與必要條件的概念
命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
推出關系 p q p q
條件關系 p是q的 條件 q是p的 條件 p不是q的 條件 q不是p的 條件
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個 條件．
數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個 條件．
充分　必要 充分　必要
解讀：(1)充分、必要條件的判斷討論的是“若p，則q”形式的命題．若不是，則首先將命題改寫成“若p，則q”的形式．
(2)不能將“若p，則q”與“p q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p q”．
三．充分條件、必要條件與集合的關系
設A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}
A B p是q的充分條件；q是p的必要條件
B A q是p的充分條件；p是q的必要條件
【當堂達標基礎練】
1 .下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？
若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形。
（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似。
（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直。
若a=b，則ac=bc。
（6）若x，y為無理數，則xy為無理數。
【解析】（1）這是平行四邊形的判定定理，p q，所以p是q的充分條件。
（2）這是一條相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分條件。
（3）這是一條菱形的性質定理， p q，所以p是q的充分條件。
（4）由于(-1)2 =1，但是-1≠1，p q，所以p不是q的充分條件。
（5）由等式的性質知， p q，所以p是q的充分條件。
（6）為無理數但是有理數，p q，所以p不是q的充分條件。
2. 下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？
（1）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等。
（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例。
（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形為菱形。
（5）若ac=bc，則a=b
（6）若xy為無理數，則x，y為無理數
【解析】（1）這是平行四邊形的性質定理，p q，所以 q是p的必要條件。
（2）這是三角形相似的性質定理，p q，所以 q是p的必要條件。
（3）如圖，對角線垂直，但不是菱形，p q，所以 q不是p的必要條件。
（4）顯然p q，所以 q是p的必要條件。
（5）由于 ，但，p q，所以 q不是p的必要條件。
（6）由于為無理數，但不全是無理數，p q，所以 q不是p的必要條件。
【當堂達標提升練】
一、單選題
1． “aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【詳解】若，，則滿足，不滿足；
由可得，不能推出，
所以“a2．設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【答案】B
【詳解】當時，若，不能推出，不滿足充分性；
當，則，有，滿足必要性；
所以“”是“”的必要不充分條件．
二、多選題
3．（多選）下列是“，”的必要條件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】取，，得，故A不是“，”的必要條件；
由，，得，故B是“，”的必要條件；
取，，得，故C不是“，”的必要條件；
由，，得，故D是“，”的必要條件．
4．下列命題中是真命題的為（ ）
A．“”是“”的充要條件
B．“”是“”的必要不充分條件
C．“或”是“”的充要條件
D．“集合”是“”的充分不必要條件
【答案】BD
【詳解】解：對于A選項，當時，，但反之，不能得到，故錯誤；
對于B 選項，不能得到，反之能夠得到，故正確；
對于C選項，“且”是“”的充要條件，故錯誤；
對于D選項，由得，所以能夠推出，反之，不一定成立，故正確.
5．下列命題是真命題的有（ ）
A．一次函數的圖像一定經過點
B．已知，則是的充要條件
C．外心在某條邊上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
【答案】AC
【詳解】選項A，，令，則，與無關，故一次函數的圖像一定經過點，正確；
選項B，若，則，故是的充分不必要條件，錯誤；
選項C，若三角形的外心在某條邊上，則這條邊所對的圓周角為直角，故一定是直角三角形，正確；
選項D，當時，能被整除，但不能被整除，錯誤.
三、填空題
6．已知.若是的必要條件，則實數的取值范圍是___________.
【答案】[0，1]
【分析】由是的必要條件，則，即，從而可得答案.
【詳解】設集合
由是的必要條件，則，即
所以 ，解得
故答案為：[0，1]
四、解答題
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要條件，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)，；(2)
(1)解：當時，，又，
所以，；
(2)解：因為是的必要條件，所以，即，
所以有，解得，
所以實數m的取值范圍為.
8．已知集合，．
(1)當時，求，；
(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，；(2)
(1)．
當時，
所以，；
(2)是的充分不必要條件
∴A是B的真子集，故
即
所以實數m的取值范圍是.
【當堂達標素養練】
1．從符號“”“”“”中選擇適當的一個填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
【答案】
此時，但，
故；
（2），
若，則必有，
所以；
令，則，，
此時，但，
故；
綜上所述，；
（3）若，則，
則且，
則且，
則，
故；
若，
則且，
則且，
則，
則，
故；
綜上所述，；
（4）若，則，
則或，
則或，
則，
故；
若，
則或，
則或，
則，
則，
故；
綜上所述，；
2．設集合，集合，其中.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接求出兩個集合的并集即可；
（2）先將必要不充分條件轉化為集合間的包含關系，然后根據集合是否為空集進行分類討論即可
(1)由題意得：
當時，
故
(2)由“”是“”的必要不充分條件
可得：
當時，得
解得：；
當時，，解得.
綜上，的取值范圍為：
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)給出以下兩個條件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要條件．
在以上兩個條件中任選一個，補充到橫線處，求解下列問題：
若_____________，求實數a的取值范圍．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【答案】(1)；(2)
(1)當時，集合，因為，
所以；
(2)若選擇①，則由A∪B＝B，得．
當時，即，解得，此時，符合題意；
當時，即，解得，所以，解得：；
所以實數的取值范圍是．
若選擇②，則由““是“”的充分不必要條件，得A B．
當時，，解得，此時A B，符合題意；
當時，，解得，所以且等號不同時取，解得；
所以實數的取值范圍是．
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.
【答案】
【詳解】因“”是“”的充分不必要條件，于是得AB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以實數a的取值范圍為.
5.從①，②，③這三個條件中任選一個補充到下面的問題中，并解答．
問題：已知集合，______，是否存在實數a，使得“”是“”的必要不充分條件？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【詳解】選條件①，因為“”是“”的必要不充分條件，則有，
又，，則或，解得或，因此，，
所以實數a的取值范圍為.
選條件②，因為“”是“”是必要不充分條件，則有，
又，，則或，無解，
所以不存在滿足題意的實數a.
選條件③，因為“”是“”的必要不充分條件，則有，
又，，所以或，無解，
所以不存在滿足題意的實數.
6.設集合.
（1）證明：屬于的兩個整數，其積也屬于；
（2）判斷32、33、34是否屬于，并說明理由；
（3）寫出“偶數屬于”的一個充要條件并證明.
【答案】（1）見解析；（2），，理由見解析；（3）為偶數，證明見解析.
【詳解】（1）設集合中的元素，，所以
，
因為，所以，，所以有，，則，所以屬于的兩個整數，其積也屬于.
（2）因為，所以；
假設，則，因為，所以與有相同奇偶性，因為33為奇數，所以與一個為奇數一個為偶數，則與有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假設，同上可得，因為，所以與有相同奇偶性，因為34為偶數，所以與均為偶數，所以應為4的倍數，而34不是4的倍數，所以假設不成立，所以.
（3）“偶數屬于”的一個充要條件是為偶數.
充分性：因為為偶數，設，所以，而，所以滿足集合，所以偶數屬于；
必要性：因為偶數屬于，所以，因為，所以與有相同奇偶性，因為為偶數，所以與均為偶數，所以應為4的倍數，必為4的倍數，即必為2的倍數，所以為偶數.
/ 將來的有一天，你會感謝現在努力的你！

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