資源簡介 綿陽市中考數學幾何解答題題型研究及其復習策略三臺縣潼川中學 胡麗萍縱觀綿陽市近幾年的中考數學試題中的幾何解答題,其共同特征是以圓為基架,構建了一個與特殊直角三角形,直角三角形、全等三角形、相似三角形、角平分線的性質、線段垂直平分線的性質、銳角三角函數及圓有關的性質和定理等為理論基礎;運用等積變換、轉化、演繹推理等數學思想方法的一道綜合性較強的幾何解答題,既重視基礎知識的考察又重視對學生邏輯推理的評價，既源于課本又不死搬硬套，既關注學生能力發展又強調對學習過程的考察。居于以上特點我認為在我們復習過程中應該做好以下幾方面的工作：第一，降低重心，夯實基礎在中考中，“三基”的考察肯定占主體地位，而且學生能力的形成的前提也是基本功要扎實，在復習過程中我們應注重知識產生的背景、發生和發展的過程,加強概念的外延和內含的準確性定義,注重臨近概念的區別,加強基礎練習,做到過手落實,在練習設計時不要為了對準中考而盲目狂練中考試題給學生形成誤導，基本功扎實了,無論從哪個角度說都應該夯實基礎知識，就拿綿陽2007年中考的24題來說吧：所考察的基礎知識點有：直徑所對的圓周角為90(切線的性質，30(的直角三角形的特點；等腰三角形的判定方法；全等三角形的性質；相似三角形的判定和性質等等。這要求我們在復習過程中對這些相關基礎知識牢固掌握并靈活應用。（綿陽2007年,本題滿分12分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC = 60(，P是OB上一點，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點Q，過點C的切線CD交PQ于D，連結OC．（1）求證：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．第二，回歸教材，善于挖掘教材的潛力新課程下的新教材淡化了數學知識之間的一種邏輯演繹體系，知識點比較分散，這給我們的復習帶來了一定的困難。我們要花更大的精力研究數學新教材。教材是教與學的依據也是中考試題的主要來源，許多試題都能在課本上找到原型，有的直接利用教材中的例題、習題、公式定理的證明作為中考題，有的將例題、習題修改、變形、重組，例如:我們綿陽市2007年第24題,就是由九年級上第110頁習題24.2的第五題和八年級上第156頁復習題14第五題組合變式所得;2006年第24題也是由八年級上第125頁習題14.1第5題及九年級上第110頁習題24.2第5題組合變式所得;而2008年第24題則是九年級上教材第93頁的例2直接變式所得,這些試題與教材的密切聯系說明了重視和回歸教材的重要性。在數學課本里，很多例題具有典型性、示范性、遷移性、再生力強的特點，我們應認真研究課本、吃透教材，創造性地使用教材。因此我們對教材的研究要做到:(1)構建知識網絡，形成系統性。現行數學知識，可以分為四大塊：數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合。各板塊知識之間又有機地結合在一起，復習時要加強相互之間的聯系。(2)抓好雙基教學，掌握通性通法。縱觀近年來的中考試題，考查學生雙基內容的試題占到80%，因此，數學復習要重視學生對基礎知識的理解、應用，基本技能與方法的形成，明確常規題型的通用方法，掌握通性通法。(3)創新例題、習題，提倡一題多變、一題多思、一題多法.例如綿陽市2008年24題，就是九年級上教材第93頁的例2，如果我們在復習過程中把試題弄得開放些，問題換作你可求出哪些線段的長，可能學生碰到這類問題時就會出現一系列聯想,對有效檢索的速度也大大加強了,也可以在新課教學中出現兩個問題（1）過點E分別作EM垂直于AC于M，垂直于BC于N，試比較這兩條線斷的大小；（2）分別過點C和D作AB的垂線CH和DF于點H、F，你能求出這兩條線斷的長嗎？可能學生再次碰到這個問題時就會得心應手。（2008年,本題滿分12分）如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交AB于E，交⊙O于D．求弦AD、CD的長．第三，多積累這類型典型中考題以及其對它解題方法的歸納對幾何解答題,我們作為教師首先要注重多收集,多歸類,而且注意要貫穿于平時教學之中,居于這類題的特點,訓練時要做到：（１）對幾何圖形中隱含的規律性的結論要認真歸納。如含有30(，45(， 60(的直角三角形三邊有什么關系，特殊三角形中有什么隱含的結論，圓中主要定理拓展后的結論是什么等等.例如綿陽市2007年24題，就利用了30(的直角三角形的特征，綿陽市2008年24題又用了45(的直角三角形的特征，見直徑都知道找或用直徑所對的圓周角為90(,見弧的中點、弦的中點就知道連接圓心與中點之間的半徑等等,要把學生訓練到見這幾個特殊角、特殊的線、特殊的點都知道該怎么作輔助線。（２）注重反思，強調變式，精選習題，提高質效。復習每一節課，在再現、重溫課本，體會課本知識和方法的同時，盡可能從多個角度對問題進行思考、探索、聯想、反思，做到一題多解，多題一解，一題多變，以達到“抓住一例，涉及一片，提高一片”的目的。例如綿陽市2006年24題，綿陽市2005年24題，2008年第24題都是由課本中的習題演變所得。 （３）精心評析試卷，注意信息反饋，關注題型。 近幾年的中考題型及考點是穩中有變，通過試卷的評析及答題信息，要認真分析答題的難處和障礙及失分的原因，并對收集的信息整理分類，找出錯誤的原因，努力消除數學性失誤和心理性失誤，評析時應把考查的重點及試卷所覆蓋的主要知識進行完整、系統地總結和歸納，并結合實際情況，有的放矢地對重點進行“解決問題”。?第四:強化語言訓練提高表達能力華羅根教授曾經教育中學生在數學表達上要做到:”想得清楚,說得明白,寫的干凈”,而事實上,許多中學生由于其數學表達不規范,不清楚,使閱卷老師不知所云的現象屢見不鮮,直接造成失分.這些學生平時對數學語言的掌握不夠準確或不夠重視是造成表達能力差的主要原因..在中考閱卷中常見的問題有:語言含糊,不設先用,亂作推廣,增刪條件,以圖代算,繁簡失當,格式不規范等.數學具有很強的學科性,每個概念都有確定的含義,每個定理都有它確定的條件,因此,數學語言務必清楚、準確、符合科學性。只有這樣，才能正確地掌握概念，運用定理，并逐步養成嚴謹、縝密的思維習慣。另外，只有當學生能用準確、清楚的語言將有關概念表述正確，才能反映出他的思維過程，才能說明他理解了所學的知識。對待幾何問題時，教學中應避免“重思想輕過程”的行為，應適度加強對學生邏輯推理能力和規范表達能力的培養，但是不能超出《課程標準》的要求。在一定意義上講：“說題”比“做題”更難，也更重要。在加強基本數學思想方法和數學思維品質的培養的同時，更要重視學生能夠熟練地運用“數字、圖形、符號”等“數學語言”表達自己的數學思想，提高自身的數學文化素養。因此應該把語言表達的規范、準確作為一個重要的方面來抓，堅持有計劃地長期訓練，適應閱卷方式避免無謂失分。應讓學生及時學習中考閱卷評分標準，對照課本例題的表達加以分析，明確要求，有法可依；再次應結合平時課堂發言、課后作業和考試練習中暴露出來的問題認真分析，使可能出現的錯誤消滅在萌芽狀態.課件24張PPT。中考函數部分題型特點及備考策略------綿陽市06年——08年中考試卷分析 石馬中學 王 勇試題分析 在近三年綿陽市數學中考試題中，函數部分（線型）所占分值分別為：06年占總分20%左右，07年占總分22%左右，08年占總分26%左右，分布在6道選擇題 ，3道填空題以及7道解答題中。試卷考查的內容涵蓋了平面直角坐標系、一次函數、反比例函數、二次函數等基礎知識，又結合函數與方程、函數與不等試、函數與圓等部分主要內容及其思想方法。一、總體概述二、函數選擇題部分的特點1、重基礎。 2、重運用。3、巧綜合。1、重視教材,關注雙基案例1:(2006年第3題)評析：點在平面坐標系中，關于x軸、y軸，原點的三種對稱變換是學生必須掌握的基礎知識，。題型源于教材,難度系數低,學生容易得分.在直角坐標系中，點A（2，－3）關于原點對稱的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、運用函數的圖像及性質案例2：（２００７綿陽第7題）評析：反比例函數的圖象與性質是學生必須掌握的內容，但又不必死記硬背．必須通過圖象作出準確的判斷，分類比較，減少猜的因素．若A（a-1，b1），B（a2，b2）是反比例函數 圖象上的兩個點，且a1＜a2，則b1與b2的大小關系是A．b1＜b2 B．b1 = b2 C．b1＞b2 D．大小不確定案例3:(2008年第11題)二次函數y = ax2 + bx + c的部分對應值如下表：利用二次函數的圖象可知，當函數值y＜0時，x的取值范圍是（ ）．A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜3評析：學生學習二次函數圖象和性質是個難點，解此題需掌握二次函數圖象對稱性的特點，先觀察表中數據的特點，畫出圖象的大致形狀即可解得此題。其內涵是二次函數與一元二次不等式的結合。3、巧妙綜合,靈活運用 均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿．在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規律如圖所示（圖中OABC為一折線），則這個容器的形狀為（ ）．案例4:(2008年第10題)評析：首先要對函數圖象與四個選項具有一定的空間想象力，函數圖象的走勢與選項中的圖形中注水過程具有一致性。實際上深刻的反映了 h=kx+b中k的變化情況，延伸出k與傾角α的關系。 已知一次函數y = ax + b的圖象過點（－2，1），則關于拋物線 y = ax2－bx + 3的三條敘述： ① 過定點（2，1）， ② 對稱軸可以是x = 1，③ 當a＜0時，其頂點的縱坐標的最小值為3．其中所有正確敘述的個數是 A．0 B．1 C．2 D．3案例5:(2007年第12題)評析：此題具有較強的綜合性，形式上為一次函數與二次函數的運用，本質上是融合了函數與方程、數形結合、轉化等數學思想。難度系數大，學生不易做出判斷。如圖，梯形AOBC的頂點A、C在反比例函數圖象上，OA∥BC，上底邊OA在直線y = x上，下底邊BC交x軸于E（2，0），則四邊形AOEC的面積為A．3 B． C． －1 D． + 1案例6:(2006年第10題)評析：在近三年的選擇題中，此題屬于難度系數最大的之一，不僅要用待定系數法解出一次函數、反比例函數的解析式而且整合了梯形、等腰直角三角形、等底等高等綜合知識。從不同角度不同層面考查學生運用數學思想和方法的能力。二、填空題的特點1、重計算、善觀察、聯系生活實際。函數 中，自變量x的取值范圍是 ．案例1:(2008年第14題)評析：此題難度適當，較好地考查了學生平時求解析式中的自變量的取值范圍的熟練程度，一般會結合二次根式、分式、一元二次方程等內容。2、用函數描述運動規律 如圖所示的函數圖象反映的過程是：小明從家去書店，又去學校取封信后馬上回家，其中x表示時間，y表示小明離他家的距離，則小明從學校回家的平均速度為 千米∕小時．案例2:(2007年第15題)評析：用函數描述物體運動軌跡、天氣等的變化規律，理解平面坐標系中點的坐標的含義，揭示了函數與實際生活相聯系。三、解答題的特點1、緊扣教材考查基本知識、基本技能、 基本思想。2、貼近生活用數學知識分析、解決實際 問題，建立數學模型。3、注重發展、關注學習潛能，具有開放 性、探究性、綜合性的特點已知如圖，點A（m，3）與點B（n，2）關于直線y = x對稱，且都在反比例函數 的圖象上，點D的坐標為（0，－2）．（1）求反比例函數的解析式；（2）若過B、D的直線與x軸交于點C，求sin∠DCO的值．1、緊扣教材考查基本知識、基本技能、基本思想。案例1:(2008年第21題)評析：本題的亮點在于運用兩點關于直線y=x對稱是解此題的關鍵。從不同層面考查學生數形結合意識，以及運用數學知識的能力，加深知識的滲透。已知x1，x2 是關于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的兩個實數根．（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．案例2:(2007年第23題)評析：此題是在解出一元二次方程的情況下，探討最值問題。字母系數的一元二次方程的解法與含有字母系數的二次函數的配方在平時很少練習，學生難以掌握是因為計算量大、因式分解難度大，學生容易失分。某產品每件的成本是120元，為了解市場規律，試銷階段按兩種方案進行銷售，結果如下：方案甲：保持每件150元的售價不變，此時日銷售量為50件；方案乙：不斷地調整售價，此時發現日銷售量y（件）是售價x（元）的一次函數，且前三天的銷售情況如下表：（1）如果方案乙中的第四天、第五天售價均為180元，那么前五天中，哪種方案的銷售總利潤大？（2）分析兩種方案，為獲得最大日銷售利潤，每件產品的售價應定為多少元？此時，最大日銷售利潤S是多少？（注：銷售利潤 = 銷售額－成本額，銷售額 = 售價×銷售量）2、貼近生活用數學知識分析、解決實際問題，建立數學模型。案例1:(2006年第24題)評析：本題屬于近幾年的熱點問題，它結合了一次函數、二次函數的基礎知識，解決實際生活中的數學問題。根據題意在實際問題中建立數學模型獲得解決問題的方法。青年企業家劉敏準備在北川禹里鄉投資修建一個有30個房間供旅客住宿的旅游度假村，并將其全部利潤用于災后重建．據測算，若每個房間的定價為60元∕天，房間將會住滿；若每個房間的定價每增加5元∕天時，就會有一個房間空閑．度假村對旅客住宿的房間將支出各種費用20元∕天·間（沒住宿的不支出）．問房價每天定為多少時，度假村的利潤最大？案例2:(2008年第23題)評析：此題與06年24題有異曲同工之妙，但又有些差異：它揭示函數與方程的關系，體現了函數思想與方程思想的融合。如圖，已知拋物線y = ax2 + bx－3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為 ．設⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點為E．（1）求m的值及拋物線的解析式；（2）設∠DBC = ?，∠CBE = ?，求sin（?－?）的值；（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．3、注重發展、關注學習潛能，具有開放性、探究性、綜合性的特點案例1:(2007年第25題)評析：本題特點是綜合利用二次函數及圓的有關知識，并考查待定系數法、相似三角形、軸對稱等基礎知識，難度較大。學生必須養成良好的學習習慣和頑強的意志品質才能完成。已知開口向上的拋物線y = ax2 + bx + c與x軸交于A（－3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于C點，∠ACB不小于90?．（1）求點C的坐標（用含a的代數式表示）；（2）求系數a的取值范圍；（3）設拋物線的頂點為D，求△BCD中CD邊上的高h的最大值．案例2:(2006年第25題)評析：本題是結合了二次函數、相似三角形、解直角三角形等綜合知識。難點 在于每一步都包含有字母系數的運算，學生 答此題時很難將知識與技巧 運用自如，容易出錯。1、函數是中學數學最重要的組成部分一，函數思想是數學思想的靈魂 、函數方法是分析數學問題、解決問題的有效方法。3、它較好反映了學生處理和交流數學以及變化規律的能力。游仙區石馬中學初三數學組備考策略（一）指導思想（二）、備考策略 首先，函數的圖象、性質、解析式是驅動函數運行的“三駕馬車”即是函數知識的核心，也是數學能力形成的基礎。 其次，抓好函數圖象與坐標軸的交點是解答函數題的關鍵。例如：一次函數y=kx+b與x軸，y軸的兩個交點，反比例函數中直線y=x與雙曲線的交點。一次函數中圖象與x軸交點，y軸交點。 第三，教會學生領悟點在圖象上、點的坐標滿足解析式；反之，點的坐標滿足解析式，則點在圖象上這一數形結合思想。 最后，函數解析式是反映函數的圖象與性質的紐帶，也是函數與方程相互轉化的橋梁。 無論是哪一種層次的函數題,都是從點入手,在到圖象、到性質及運用，所以能夠找出圖象中的關鍵點是解決問題的關鍵。 1、立足教材，落實三基2、豐富知識內涵，適當擴大外延 按照《課標》和中考要求，學生學習的水平不僅要有扎實的基礎知識，還應在學生探究知識能力得到體現。在函數復習中適當增加一些知識容量，更能全面提高學生夠的數學涵養 。例如： 其實，學生函數知識內涵的豐富，就可以應對函數與其他知識的綜合運用而形成的千變萬化的題型，做到游刃有余。３、分析熱點問題，注重綜合題型的研究 近年來，聯系生活實際運用函數解決實際問題，是各省市中考的熱點。例如：銷售問題、利潤最大化問題、節約最大化以及災后重建、奧運等中的數學問題都可能在試題中得到體現。 而函數與圓、函數與方程、函數與三角形等綜合知識的結合交叉也是數學思想的交匯，在教學時應當教導學生： 1、理解題意。2、抓住關鍵。3、觀察特點。4、廣泛聯想。 教師精講多練才能應對綜合題型的考驗。４、力求在探究型、創新型有所突破 探究型、創新型題型作為壓軸題，已不是秘密。分析研究這種題型，可以發現，一般都以下規律： 1、閱讀量較大，必須理解題意。 2、一般分成幾個小問題，而解決好第（1）或 第（2）問是非常關鍵的。 3、基本都屬于這幾種類型：（１）、從定量分析到定性。 （2） 、從量變到質變。 （3） 、從定點到動點。 4、遵循循序漸進層層深入的特點，思維從簡單到復雜的過程。 教學時要教會學生把分析與綜合兩種思維有機的結合起來，形成良好的應變能力。初中數學開放性探究性試題及解題策略綿陽市實驗中學 陳俊隨著基礎教育課程改革和素質教育的全面推進，近幾年在初中數學教學中和各省、市的中考題中，出現了一批符合學生年齡特點和認知水平、設計優美、個性獨特的開放題。開放題打破傳統模式，構思新穎，使人耳目一新。數學開放題被認為是當前培養創新意識、創造能力的最富有價值的數學問題，加大數學開放題在中考命題中的力度，是應試教育向素質教育轉軌的重要體現，對發揮學生主體性方面確實具有得天獨厚的優勢，是培養學生主體意識的極好材料。一、數學開放題的概述1、關于數學開放題的幾種論述：什么是數學開放題，現在還沒有統一的認識，主要有如下的論述：（1）答案不固定或者條件不完備的習題，我們稱為開放題；（2）開放題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題；（3）有多處正確答案的問題是開放題。這類問題給予學生以自己喜歡的方式解答問題的機會，在解題過程中，學生可以把自己的知識、技能以各種方式結合，學生可以把自己的知識、技能以各種方式結合，去發現新的思想方法；（4）答案不唯一的問題是開放性的問題；（5）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放題；（6）問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余，稱之為開放題。數學開放題，通俗地說就是給學生以較大認知空間的題目。一個問題是開放還是封閉常常取決于提出問題時學生的知識水平如何。例如：對n個人兩兩握手共握多少次的問題，在學生學習《組合》知識以前解法很多，是一個開放題，在學習組合知識之后則是一個封閉題。2、數學開放題的基本類型：大概包括以下幾種： （1）條件開放型這類問題一般是由給定的結論，反思，探索應具備的條件，而滿足結論的條件并不唯一例1、如圖1，要得到AD//BC，只需滿足條件 （只填一個）。再如：如圖2，AB=DB，∠1=∠2，請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△DBE，則需添加的條件是 。（2）結論開放型這類題目就是在給定的條件下，探索響應的對象是否存在。它有結論存在和結論不存在兩種情況。其基本解題方法是：假設存在，演繹推理，得出結論，從而對是否存在做出準確的判斷。例2、如圖，⊙O的直徑AB為6，P為AB上一點，過點P作⊙O的弦CD，連結AC、BC，設∠BCD=m∠ACD，是否存在正實數m，使弦CD最短？如果存在，請求出m的值；如果不存在請說明理由。簡析：假設存在正實數m，使弦CD最短，則有CD⊥AB于P，從而cos∠POD=OP:OD， 因為，AB=6，所以cos∠POD=30°。于是∠ACD=15o，∠BCD=75o，故m=5。（3）簡略開放型例3、計算：，學生可能出現以下幾種方法。方法1：直接通分，相加后再約分。方法2：原式=。方法3：原式=.方法1是常規方法；方法2體現的是一種化歸思想，但也不簡單；方法3轉化為一些互為相反數的和來計算，顯然新穎、簡便。此外，設計開放型、舉例開放型、實踐開放型、信息開放型（限于篇幅不舉例子）。還有綜合開放型、情境開放型……等。這些開放題的條件、問題變化不定，有的條件隱蔽多余，有的結論多樣，有的解法豐富等。二、開放題具有不同于封閉題的顯著特點（1）數學開放題內容具有新穎性，條件復雜、結論不定、解法靈活、無現成模式可套用。題材廣泛，貼近學生實際生活，不像封閉性題型那樣簡單，靠記憶、套模式來解題。（2）數學開放題形式具有多樣性、生動性，有的追溯多種條件，有的追溯多種條件，有的探求多種結論，有的尋找多種解法，有的由變求變，體現現代數學氣息，不像封閉性題型形式單一的呈現和呆板的敘述。（3）數學開放題解決具有發散性，由于開放題的答案不唯一，解題時需要運用多種思維方法，通過多角度的觀察、想像、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法，同時探求多個解決方向。（4）數學開放題教育功能具有創新性，正是因為它的這種先進而高效的教育功能，適應了當前各國人才競爭的要求。三、開放探索性試題備考策略：（一）數與式的開放題此類題常以找規律的閱讀題形式出現，解題要求能善于觀察分析，歸納所提供的材料，猜想其結論。例題：觀察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 ……這些等式反映出自然數間的某種規律，設n表示自然數，用關于n的等式表示出來： 。策略小結：此類“猜想性”開放題要求能夠從所給條件出發，通過觀察、試驗、分析、歸納、比較、概括、猜想、探索出一般規律，解題的關鍵在于正確的歸納和猜想。（二）方程開放題此類問題主要以方程知識為背景，探索方程有解的條件或某種條件解的情況，求字母參數的值。例題：是否存在k，使關于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的兩個實數根x1、x2，滿足|x1-x2|=10如果存在，試求出所有滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。策略小結：此類“存在性”開放題，其解題的一般思路是先假定滿足條件的結果存在，再依據有關知識推理，要么得到下面結果，肯定存在性；要么導出矛盾，否定存在性。（三）函數開放題此類題是以函數知識為背景，設置探索函數解析式中字母系數的值及關系，滿足某條件的點的存在性等。例題：已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，問由此圖像中所顯示的拋物線的特征，可以得到二次函數的系數a、b、c的哪些關系和結論。分析：①a>0；②即2a+3b=0；③c= -1；……策略小結：此類“圖像信息”開放題，只有認真觀察圖像上所給出的各個數據及位置特征，靈活運用函數性質，才能找出所有的關系與結論，數形結合是解此類題的重要數學思想方法。（四）幾何開放題此類問題常以幾何圖形為背景，設置探索幾何量間的關系或點、線位置關系例題：如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，A是弧BD的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E。（1）求證：AB·DA=CD·BE（2）若點E在CB延長線上運動，點A在弧BD上運動，使切線EA變為割線EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結論成立？（要求畫出示意圖2注明條件，不要求證明）分析：此題第（2）小題是一道條件探索性問題。其解法是“執果索因”，要得到AB·DA=CD·BE，即要得△ABE～△CDA，已有條件∠ABE=∠CDA，還需增加條件：∠BAE=∠ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FA∥BD，或∠BCF=∠ACD等。策略小結：此類探索性試題，解答一般方法是“執果索因”，能畫出圖形要盡量畫出圖形，再結合圖形逆向推導探索出需要增加的條件，為探索結論，可以作輔助線，對于結論未定的問題，也可反面思考，尋求否定結論的反例，達到目的。（五）綜合性開放題此類問題是以幾何、代數綜合知識為背景，考查分析，推理能力，綜合運用知識解題能力。例題：如圖，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=3，在BC邊的延長線上取一點D，使CD=3。（1）現有一動點P，由A沿AB移動，設AP=t，S△PCD=S，求S與t之間的關系式及自變量的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當t=時，過點C作CH⊥PD垂足為H；求證：關于x的二次函數y= -x+2-（10k—）x+2k的圖像與x軸的兩個交點關于原點對稱；（3）在（1）的條件下，是否存在正實數t，使PD邊上的高CH=CD，如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由。分析：（1）（2）略。（4）假設存在實數根t，使得CH=CD，則∠CDH=30o可推得∠BPD=90o，則BP=BD=2.5>AB，這與P在AB邊上矛盾，故這樣的P點不存在。策略小結：此類綜合性開放題，需要學生綜合題設條件，通過觀察，比較、聯想、猜測、推理、判斷等探索活動逐步得到結論，有時需分析運動變化過程，尋找變化中的特殊位置，即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再探求特殊位置下應滿足的條件，利用分類討論思想，各個擊破。常見的開放題舉例：例1：在多項式4x2+1中添加一個條件，使其成為一個完全平方式，則添加的單項式是 （只寫出一個即可）。分析：要使多項式4x2+1成為一個完全平方式，可添加一次項，也可添加二次項，還可添加常數項。解：（1）添加4x可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式12例2：已知反比例函數，其圖象在第一、第三象限內，則k的值可為 （寫出滿足條件的一個k的值即可）分析：對于反比例函數（是常數，≠0）。當它的圖象在第一、第三象限時有>0，所以本題中應該是-2>0，即>2。解：-2>0 ∴>2 即只要的值大于2就可以滿足題目要求。例3：已知：△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF，如圖，AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線，還需添加的條件是：（只須寫出三種情況） （1） （2） （3） 分析：根據題目所給條件，要使得EF是⊙O的切線，關鍵是找到AB⊥EF的條件即可解決問題。解：（1）∠CAE=∠B （2）AB⊥EF （3）∠BAC+∠CAE=90o （4）∠C=∠FAB （5）∠EAB=∠BAF例4：已知一元二次方程有一個根為1，那么這個方程可以是 （只需寫出一個方程）分析：如果一元二次方程有解，則有兩個解，題目給出方程有一個根為1，我們可以將此一元二次方程寫成（x-1）（x+a）=0的形式，則問題可以解決。例5：有這樣一個分式，字母x的取值范圍是x≠-2，若分子為x+1，你能寫出一個符合上面條件的分式嗎？分析：由題目給出的已知條件x≠-2知此分式分母中x的取值不能為-2，否則分式會無意義。解：滿足條件的分式可以是：、……教材例習題改編與開放探索試題舉例：1、八年級《四邊形》一章曾有一道經典題，多年來多次被各個省市搬上中考試卷，關于它的變式也相當的多，題目是這樣的“兩個相同的正方形如圖疊合，其邊長為4，請問陰影部分的面積為多少？” 2、（九年級教材）已知：如圖，AB為⊙O直徑，C、D是半圓弧上的兩點，E是AB上除O外的一點，AC與DE交于點F，①AD=CD，③DE⊥AB③AF=DF（1）寫出以①②③中的任意兩個條件，推出第三個（結論）的一個正確命題，并加以證明。（2）“以①②③”中的任意兩個為條件，推出第三個（結論）的一個正確命題，并加以證明。答案：可以組成3組正確的命題，即若①②則③，若①③則②，若②③則①。3、典型范例重開放：體現師生解題智慧。（例如基本題）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在⊙O上，∠CAB=30o，求證：DC是⊙O的切線。探究1：如圖，已知弦AB與半徑相等，連接OB，并延長使BC=OB。（1）問AC是⊙O有什么關系,并證明你的結論。（2）請你在⊙O上找出一點D，使AD=AC。（自己完成作圖，并證明你的結論） 探究2：如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB的延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連接AC。（1）若∠CPA=30o，求PC的長；（2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA平分線交AC于點M，你認為∠CMP的大小是否發生變化？若變化，請說明理由：若不變，求出∠CMP的值。探究3：求陰影部分的面積。探究4：OA=OB=BC,△DOB是正三角形，∠C=30°（1）經過A、B、D畫外接圓。（2）判斷CD與外接圓的關系，并證明你的結論。 總之，開放性問題變化無窮、生動活潑、靈活多樣、一改學生死搬硬套的解題模式，消除學生模仿死記解題的習慣，從不同角度對問題的深思熟慮，尋求多樣性的解題方法，以上僅僅是筆者幾年來教學的心結，有不完善的地方還需要今后的教學中不斷探索、實踐，但我們的目標是堅定的，為培養開放型、創造型人才而努力工作。新課標中考對“方程與不等式”的考查方式研究及復習對策江油中學實驗學校初三數學組 任曉梅在課程改革和新課標理念的指導下，中考命題出現了能力立意和題型創新的新局試題，在遵循課程標準要求的同時，更加注重了對考生學習潛能的考查，并注意為初中數學教學、全面落實素質教育導向。今天我僅針對“方程與不等式”從中考試題的分析中談談教學和復習策略。一、新課標下的“方程與不等式”分析1．考點課標要求：（1）根據具體問題中的數量關系，列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。（2）經歷用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解的過程。（3）會解一元一次方程、簡單的二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）（4）理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數字系數的一元二次方程。（5）能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否正確。 （6）一元一次不等式（組）的有關概念、解法和應用，題型多以填空、選擇為主，難度不大，另外關于列一元一次不等式（組）解決實際問題的考題在中考中出現的幾率也較大。2．加強與減弱的方面方程與方程組加強的方面：（1）重視模型思想——根據具體問題中的數量關系，建立數學模型，列出方程或方程組，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型；（2）重視估算——用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程的解；（3）明確配方法的名稱及意義；（4）重視根據問題的實際意義檢驗結果的合理性．降低的方面：（1）沒有可化為一元二次方程的分式方程，可化一元一次的有要求（分式不超過2個）；（2）沒有高次方程、根式方程、二元二次方程組；（3）沒有韋達定理；（4）沒有用求根法分解二次三項式．不等式與不等式組加強的方面：（1）重視對不等式意義的理解 —— 根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義；（2）重視不等式基本性質的探索過程；（3）重視用數軸確定解集．降低的方面：（1）一元一次不等式組限2個不等式；（2）對不等式的整數解沒有明確要求，但解決實際問題中要用到．3．考法分析：方程與不等式的綜合應用是中考數學重點考查的內容之一，新課程在數與代數領域的一個亮點就是加強了知識之間的內在聯系的研究，方程與不等式是緊密聯系的數學知識，復習時，要站在知識整體的高度把握方程式和不等式的知識內容。對本章的考法可以歸納為三個層面：（1）考方程和不等式的有關概念和解法；（2）考查列方程和不等式的能力；（3）以考查“方程和不等式”的運用為基礎，進而實現對“方程思想”的考查。二、考查方式的研究 ——典型考題分析 1、注重基礎，深挖教材，重視對數學核心內容的考查按照教育部?命題指導?的精神，各地的中考數學命題在注重考查“三基”（即基礎知識、基本技能、基本的數學思想方法）方面注意了以下幾點；（1）精選知識點保證適度的覆蓋面；（2）在基礎題的命題中避免直接考查概念、法則、性質、定理的機械識記，突出考查其蘊涵的基礎知識、基本技能中的數學思想和數學方法。在基礎題的設計中注重試題的公平性、趣味性、多樣性和基礎試題的創新。（1）（2006年綿陽）解不等式組： （2）（2007年綿陽）（教材變式八下52頁例4）、．若A（a 1，b1），B（a2，b2）是反比例函數圖象上的兩個點，且a1＜a2，則b1與b2的大小關系是A．b1＜b2? B．b1 = b2? C．b1＞b2? D．大小不確定評析：此兩題突出重點知識，充分體現 “三基”，源于課本又有創新。前一題中并未直接考查概念與性質， 但由于解方程（組）和不等式（組）是重要的數學技能，其過程具有很強的程序性，這種考題也反映了解方程和不等式（組）類問題的根本特性，是常見考題。第二題對雙基較好的學生根據反比例函數的性質也能立刻能得出結論，對三基較差的學生還可以通過代值或通過畫圖繼續算下去，也能得出結果，這完全體現了新課標下“不同的人有不同的收獲”的理念，激勵不同層次的學生努力學習。2．注重應用，重視對解決實際問題能力的考察“解決問題能力”是數學考查的主要內容，關注數學與生活的聯系，培養學生應用與解決問題的能力是新課標所倡導的基本理念之一。體現在應用題比例普遍較大，保持了較高分值，涉及的知識面較廣，背景廣泛、取材豐富，重視考查學生從簡單的實際問題中抽象出數學模型的能力與應用意識。突出了試題的教育價值而且具有較好的信度和效度。（2008年綿陽）A、B兩地相距176 km，其間一處因山體滑坡導致連接這兩地的公路受阻．甲、乙兩個工程隊接到指令，要求于早上8時，分別從A、B兩地同時出發趕往滑坡點疏通公路．10時，甲隊趕到立即開始作業，半小時后乙隊趕到，并迅速投入“戰斗”與甲隊共同作業，此時甲隊已完成了工程量的．（1）若滑坡受損公路長1 km，甲隊行進的速度是乙隊的倍多5 km，求甲、乙兩隊趕路的速度；（2）假設下午4點時兩隊就完成公路疏通任務勝利會師．那么若只由乙工程隊疏通這段公路時，需要多少時間能完成任務？評析：本題看似復雜，實際是方程問題中非常典型的相遇問題與工程問題，解題的關鍵是將現實問題轉化為方程模型來解決。。方程模型可以幫助人們從數量關系上更準確、清晰地認識、描述和把握現實世界。3．注重開放，考查探究能力與創新能力在每年的中考中都會出現一些讓人耳目一新的題，它們精巧的構思、生機盎然的呈現形式讓人注目。這些題常中見拙，拙中見巧，為不同程度的學生提供了展示自己才華的平臺。（2008年貴陽市）利用圖象解一元二次方程時，我們采用的一種方法是：在平面直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3，兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．（1）填空：利用圖象解一元二次方程，也可以這樣求解：在平面直角坐標系中畫出拋物線y= 和直線y=-x，其交點的橫坐標就是該方程的解．（2）已知函數的圖象（如圖所示），利用圖象求方程的近似解（結果保留兩個有效數字）．評析：本題是方程與函數的結合的一道非常新穎的試題，它以嶄新的方式考查了學生自學新知的能力，看似復雜其實簡單。這樣的題目突出要求學生具有如下的能力：第一迅速而較強的數學理解能力；第二對“新方法”的運用能力，有效的考查學生的數學學習能力。三、新課標中考對方程與不等式的復習對策1．依“標”靠“本”、注重基礎 ，抓好重點內容的教學與復習。方程與不等式在中學數學教學中占有重要地位。 在教學與復習過程中，不教條對待概念、定理，對知識點的命題形式要新、構思要巧、方法要活，注重對概念和定理的理解。首先注意構建網絡和防范錯誤，這個知識網絡的框圖不應該是教師或學生從書上或資料抄來的，而是應該建立在學生主要線索不斷細化的環節中，而防范錯誤的方法不僅可以勤看改錯本，而且在學生時間不夠的情況下把諸如此類的問題設計在練習與模擬題中，讓學生在解題實踐中獲得教訓和反思，其獲益遠比對他單純的說“要注意”好得多；其次注意方程、不等式和函數的內在聯系，可以參照如下考題設計：（1）（2008年綿陽） 以下所給的數值中，為不等式－2x + 3＜0的解的是（ ）．A．－2 B．－1 C． D．2（2）（重慶市2008年） 不等式2x-4≥0的解集在數軸上表示正確的是（ ）（3）（2008福建福州）已知三角形的兩邊長分別為4cm和9cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（ ） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm（4）（2008烏魯木齊）一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖象如圖所示，則不等式kx+b >0的解集是（ ）A． B． C． D．（5）(2008年永州) 如圖，a、b、c分別表示蘋果、梨、桃子的質量．同類水果質量相等，則下列關系正確的是（ ）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b（6）（2008年湖北省咸寧市）直線l1：y=k1x+b與直線l2：y=k2x+b在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于的不等式k2x> k1x+b的解集為 ．2．關注生活實際，強化應用意識。數學知識源于實踐又為實踐服務，在九年義務教育數學教學課程標準中明確指出：“要使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練，逐步培養學生分析問題和解決問題的能力，形成用數學的意識。”在近幾年的中考數學試題中，考查學生應用數學能力的題目逐年明顯增加，特別是利用不等式與方程強化數學應用意識已多次彰顯，如：（2007年綿陽）例 綿陽市“全國文明村”江油白玉村果農王燦收獲枇杷20噸，桃子12噸．現計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水果全部運往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸，一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸．（1）王燦如何安排甲、乙兩種貨車可一次性地運到銷售地？有幾種方案？（2）若甲種貨車每輛要付運輸費300元，乙種貨車每輛要付運輸費240元，則果農王燦應選擇哪種方案，使運輸費最少？最少運費是多少？評析：本題看似簡單但許多學生將不等式（組）列成了方程（組）令人惋惜，這與平時缺乏相應的訓練和不認真審題有關。所以平時給學生一定強調：一般的，確定一個量的值的問題基本上都可以轉化為方程的問題，而要確定一個量的范圍的問題往往要轉化為不等式的問題。又如2008年資陽也出現了這樣一例：（2008年資陽）例、驚聞5月12日四川汶川發生強烈地震后，某地民政局迅速地組織了30噸食物和13噸衣物的救災物資，準備于當晚用甲、乙兩種型號的貨車將它們快速地運往災區.已知甲型貨車每輛可裝食物5噸和衣物1噸，乙型貨車每輛可裝食物3噸和衣物2噸，但由于時間倉促，只招募到9名長途駕駛員志愿者.（1）3名駕駛員開甲種貨車，6名駕駛員開乙種貨車，這樣能否將救災物資一次性地運往災區？（2）要使救災物資一次性地運往災區，共有哪幾種運貨方案？3．增強開放意識，培養學生創新能力重視課本上的例題、習題的挖掘與變式，有利于全面、系統地掌握數學基礎知識，熟悉數學基本方法，以不變應萬變。在教學、復習時，我們要學會多方位、多角度審視這些例題習題，從中進一步清晰地掌握基礎知識，重溫思維過程，鞏固各類解法，感悟數學思想方法。引導學生將所學知識應用于實際，從數學角度對某些日常生活和其他學科中出現的問題進行深入探討，為學生提供自主探索和發現的空間，逐步培養學生的創新能力。4．引導學生參與教學活動過程、重視對觀察、歸納、探究能力的培養探索能力、創新能力的培養是素質教育最具活力的課題，它是一個長期的、潛移默化的過程，在平時的教學和復習中對探究能力的培養不要急于讓老師自己總結，哪怕時間不夠，弄清一道題也比糊涂聽三道題效果長久，在此過程中注意培養學生讀題的能力。下舉一例：(2008年·東莞市)（1）解方程求出兩個解、，并計算兩個解的和與積，填人下表方程.關于x的方程（、、為常數，且）（2）觀察表格中方程兩個解的和、兩個解的積與原方程的系數之間的關系有什么規律?寫出你的結論.在解答時，首先是要求學生認真審題，弄清題目的條件和結論，迅速聯想到相關的知識及數學思想和方法。其次是提醒學生要注意挖掘隱含條件，利用所學知識溝通結論與條件的內在聯系，尋求可行的解題思路，將思路組織、歸納后，清晰、明確、規范地表達出來。此類題型分值較高，難度屬于中上，并且在每年中考的“解答題”中都要有1－2題，所以，在復習時要讓中等和中等以上的學生都加以強化訓練。而訓練的著眼點應放在解題思路上，訓練的方法應以獨立思考、互相研究為主，形成獨立解決問題的能力總之，我們教師應針對初中數學課程改革和中考命題的變化，在備考時就要有的放矢，注意關注中考信息，認真分析考點考什么就訓練什么，考到哪個層次就把訓練的標高定到哪個層次，做到以課本為基礎，教給學生終身學習生活的必需的數學知識和科學的學習方法，在學習過程中培養學生能力，真正切實提高學生運用數學知識解決問題的能力，使學生在中考的舞臺上大展拳腳。也愿您成功！ 2008．12．2統計與概率題型特點及備考策略綿陽市鹽亭縣富驛初中 何 杰統計與概率部分應用性特別強，縱觀近幾年各地的中考，試題形式多樣，但更加關注生活、關注社會熱點。中考試題多為中、低檔題，題量約占總題量的12%---13%左右，近年來各省市由單一的選擇題、填空題攀升到分值較高的解答題和應用題，甚至設計了開放、探索等多種新題型，既考查基礎知識，又注重能力和數學思想方法的考查。一、統計與概率的題型特點(一)、基礎知識題例1、（2007·綿陽）初三·一班五個勞動競賽小組一天植樹的棵數是：10，10，12，x，8，如果這組數據的眾數與平均數相等，那么這組數據的中位數是A．12 B．10 C．9 D．8解：B【點評】本題考查平均數的基本計算和眾數、中位數的概念的理解。例2、根據你的經驗，將下列事件按發生的機會從小到大在直線上排序：（1）投擲兩枚普通的骰子，所得的點數之和小于2．（2）買幾張體育彩票中五百萬．（3）投擲一枚普通的正六面體骰子所得點數小于7．（4）隨便摸出一張麻將牌是條子．（5）拋擲一枚普通硬幣，正面朝上．（6）這個星期天學校放假． 【分析】 根據經驗可知（1）是不可能發生的．（2）的可能性極小．（3）是必然發生的．（4）是有可能發生．（5）發生的可能性為50%（6）的可能性極大． 【點評】本題是以貼近生活實際的素材為背景，考查隨機事件發生的機會大小的理解和分析判斷能力。 (二)、圖表信息題例3、（2007·綿陽）小明對本班同學上學的交通方式進行了一次調查，他根據采集的數據，繪制了下面的統計圖1和圖2．請你根據圖中提供的信息，解答下列問題： 圖1 圖2（1）計算本班騎自行車上學的人數，補全圖1的統計圖；?（2）在圖2中，求出“乘公共汽車”部分所對應的圓心角的度數，補全圖2的統計圖（要求寫出各部分所占的百分比）；?（3）觀察圖1和圖2，你能得出哪些結論？（只要求寫出一條）．【分析】結合條形統計圖和扇形統計圖，尋找表示相同意義部分即可求解.解：（1），騎自行車上學的人數為16人；補全圖1的統計圖（略）（2）乘公共汽車、騎自行車、步行、其它所占全班的比分別為28%，32%，24%，16%，它們所對應的圓心角分別是100.8?，115.2?，86.4?，57.6?，補全圖2的統計圖（略）（3）小明所在的班的同學上學情況是：騎自行車的學生最多；通宿生占全班的絕大多數；住校或家長用車送的占少數．【點評】本題中既有條形統計圖和扇形統計圖，通過觀察兩個統計圖形之間相同意義的內在關系，再把圖之間所表達的信息進行相互轉化，就能順利解題.也考查了作圖的能力。例4、（2008·綿陽）某面粉批發商通過統計前48個星期的面粉銷售量（單位：噸），對數據適當分組后，列出了如下頻數分布表：銷售量18.5≤x＜19.519.5≤x＜20.520.5≤x＜21.521.5≤x＜22.522.5≤x＜23.523.5≤x＜24.5合計劃記頻數679128648（1）在圖1、圖2中分別畫出頻數分布直方圖和頻數折線圖；（2）試說明這位面粉批發商每星期進面粉多少噸比較合適（精確到0.1噸）？ 解：略 【點評】根據統計表中的數據提供的信息，正確的畫出直方圖、折線圖，同時利用統計表或頻數折線圖中的信息，尋找出組中值，再設計算加權平均數就解決此題。本題考查了學生對信息的轉化和處理，以及基本作圖能力和計算能力。(三)、開放探索題例5、（2007·福建）在一個不透明的箱子里放有除顏色外其余都相同的4個小球，其中紅球3個，白球1個，攪勻后，從中同時摸出2個小球，請你寫出這個實驗中的一個可能事件. 【分析】 此題屬于開放性試題，答案不惟一.這里的可能事件指摸出的兩個小球可能出現的結果. 解：同時摸出兩個紅球或同時摸出1個紅球1個白球. 【點評】本題要求學生理解隨機事件發生可能性的大小，并能例舉出該事件的所有可能。(四)、學科內滲透題例6、（2008·綿陽）質地均勻的正四面體骰子的四個面上分別寫有數字2，3，4，5，投擲這個正四面體兩次，則第一次底面上的數字能夠整除第二次底面上的數字的概率是 ．【分析】本題只要用樹形圖或列表法找出所有的等可能結果，即可以求概率。解：【點評】(1)理解正四面體的含義 (2)會畫樹形圖或列表法 (3)理解整除的含義。此題將幾何中立體圖形、概率和代數知識有機的結合在一起。典例1、(2007.浙江）某電腦公司現有A，B，C三種型號的甲品牌電腦和D，E兩種型號的乙品牌電腦．希望中學要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購一種型號的電腦．(1)寫出所有選購方案(利用樹狀圖或列表方法表示)；(2)如果(1)中各種選購方案被選中的可能性相同，那么A型號電腦被選中的機會是多少？(3)現知希望中學購買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(價格如圖所示)，恰好用了10萬元人民幣，其中甲品牌電腦為A型號電腦，求購買的A型號電腦有幾臺。【點評】本題將事件機會的大小與方程組綜合于一題，綜合性較強。 典例2、(2007。海淀)-2，-1，1，2這四個數中，任取兩個不同的數作為一次函數y=kx+b系數k、b,則一次函數y=kx+b的圖象過第三象限的概率是多少？【點評】此題例舉出k、b的所有取值的可能，再用一次函數的圖像直線經過象限的口訣“k是正奇負偶，b是正前負后”或畫圖就可找出圖象過第三象限的結果，問題得到解決。 典例3、小明隨機地在如圖所示的正三角形及其內部區域投針，則針扎到其內切圓(陰影)區域的概率為（ ）【點評】本題雖是算概率，實際是運用正邊形和圓的知識計算圓與正三角形的面積之比。(五)、學科間滲透題例7、（2008·江蘇）如圖所示，電路上有四個開關A、B、C、D和一個小燈泡，閉合開關D或同時閉合開關A、B、C都可使小燈泡發光. （1） 任意閉合其中一個開關，則小燈泡發光的概率等于 .（2） 任意閉合其中兩個開關，請用畫樹狀圖或列表的方法求出小燈泡發光的概率. 解：（1）. （2）畫出樹狀圖如右：從樹狀圖可見，任意閉合其中兩個開關的情況共有12種，其中能使小燈泡發光的情況只有6種，所以小燈泡發光的概率為.【點評】本題借助電路考查概率的計算，根據電學知識，可知只有當開關A、B、C同時閉合或閉合開關D時，小燈泡才能發光.它是一道融合物理學科之間的知識，加強了數學與其他學科的聯系，體現新課改的精神。 (六)、利用統計決策題 例8、（2007·山西） 春蘭集團對應聘者甲、乙、丙進行面試，并以專業知識、工作經驗、儀表形象三方面給應聘者打分，每一方面滿分20分，最后的打分制成條形統計圖.（1）利用圖中提供的信息，在專業知識方面3人得分的極差是多少？在工作經驗方面3人得分的眾數是多少？在儀表形象方面誰最有優勢？ （2）如果專業知識、工作經驗、儀表形象三個方面的重要性之比為10∶7∶3，那么作為人事主管，你應該錄用哪一位應聘者？為什么？ （3）在（2）的條件下，你對落聘者有何建議?解：（1）專業知識方面3人得分極差是18-14=4；工作經驗方面3人得分的眾數是15；在儀表形象方面丙最有優勢. （2）甲得分： （3）對甲而言，應加強專業知識的學習，同時要注意自己的儀表形象，對丙而言，三方面都要努力，重點在專業知識，和工作經驗.（對甲、丙而言只要從三方面講得合理就可以）【點評】 （1）理解極差、眾數的概念；（2）根據專業知識、工作經驗、儀表形象三個方面的重要性之比運用加權平均數的求法求出三位應聘者的得分進行比較，哪位得分高則錄取哪位. 二、統計與概率的備考策略〈一〉綿陽市中考數學中統計與概率所占比重的分析 2007中考統計部分中平均數、眾數、中位數為3 分，扇形和條形圖的知識為12 分，概率為3 分；2008中考統計部分中位數為3 分，統計表、直方圖、折線圖為12分，概率為4 分。以上數據說明近兩年綿陽中考中，統計所考比例占10%，概率所考比例占2%。〈二〉準確把握考試要求，知識講解適度即可1. 對普查與抽樣調查的講解定位為基本了解，能結合實例分析何時選擇普查，何時選擇抽樣調查，但不必作更多、更高的要求.2. 能識別、補充、繪制統計表、條形統計圖、扇形統計圖、直方圖和折線統計圖，并能認識到各種統計數據描述形式的特點及優缺點，但不必對此深入挖掘.3. 會計算平均數、加權平均數、中位數、眾數等反映數據集中趨勢的特征數據，以及反映數據離散程度的極差、方差，但不必掌握各種數據的相應性質4. 理解頻率與概率之間的關系，知道大量重復實驗時，頻率的穩定值可近似地作為隨機事件發生的概率，但對“大量”不必做解釋說明.5. 理解古典概型問題概率計算的原則：各事件發生是等可能的，求出事件發生的所有結果數，求出滿足條件的事件發生的結果數，但不必引進利用排列組合的方法進行計算求解.6. 盡管全國各地已經出現了將代數、幾何、統計、概率等領域的知識相結合的試題，但是我們沒必要因此而無限加大統計與概率知識的難度. 實際上，只要我們理解了概率的本質，掌握了數據處理的基本方法，其他知識的引入仍然不會干擾我們的解題. 因此，我們在進行統計與概率領域的復習時，應該踏踏實實地對基本知識、基本技能和基本思想方法進行復習.〈三〉逐步培養統計觀念，提高信息處理能力 統計觀念：從統計的角度去思考與數據信息有關的問題；能通過收集數據、描述數據、分析數據的過程作出合理的決策，認識到統計對決策的作用；能對數據的來源、處理數據的方法，以及由此得到的結果進行合理的質疑.對統計觀念的提高需要在平常的教學中滲透，在復習時也要適時強調，尤其要注意通過對典型題目的分析來幫助學生建立初步的統計觀念.〈四〉概率問題重在理解，綜合實踐值得關注 概率的計算對我們來講并不困難，但概率問題逐漸與代數、幾何、統計等領域的知識進行有機整合，進行綜合考查.這就要求我們要對其多加關注，以下幾個方面尤為需要注意： 1. 以簡單的代數知識為背景考查對概率的理解，但涉及的代數知識不宜過多、過難，不能沖淡了對概率知識的考查. 如學科內滲透題中典型2。2、以簡單的幾何知識為背景考查對概率的理解，但涉及的幾何知識不宜過多、過難，不要淡化了對概率知識的考查.如：老師讓三位同學各拿出一根自備的小木棒來試拼三角形，這三位同學準備的小木棒的情況如下表：姓名小明小華小亮長度3cm、4cm3cm、12cm3cm、6cm、9cm（1）用樹狀圖求出三根木棒能拼成三角形的個數；（2）求三根木棒能拼成三角形的概率.3. 將代數、幾何、概率等知識進行綜合考查，但對代數、幾何知識的要求同樣不應過多、過高，以免沖淡了對概率知識的考查.如：王老師讓小華從小于10的質數中任意寫出一個數，讓小軍從0到10的奇數中任意寫出一個數，然后王老師將事先準備好的數字5與小華、小軍所寫的兩個數作為三條線段的長，請問：這樣的三條線段能組成三角形的概率是多少？組成的三角形是等腰三角形的概率又是多少？ 4. 綜合了概率與統計的相關知識，考查學生的綜合能力.如： 某商場大搞“真情回報社會”的幸運抽獎活動，共設五個獎金等級，最高獎金每份1萬元，平均獎金180元，獎金分配見下表:一顧客抽到了一張獎券，獎金數為10元，她調查了周圍不少正在兌獎的其他顧客，很少有超過50元的，她氣憤地去找商場的領導論理，領導解釋說這不存在什么欺騙，平均獎金確實是180元． 你認為商場所說的平均獎金是否欺騙了顧客？此種說法否能夠很好地反映中獎的一般金額？用你所學的統計與概率的有關知識做簡要分析說明．以后再遇上類似抽獎活動，你會更關心什么？〈五〉復習時間不宜過多，如何落實才是關鍵1. 統計與概率領域的復習時間應根據學生情況而定，但總體上不宜太長，并且最好在第一輪復習中詳細講解，以后主要是通過模擬考試進行考查、落實.2. 在復習過程中，不要把練習題收集的過多過難，所選擇的題目只要能覆蓋考試要求中所涉及到的各個知識點并達到了相應的能力要求即可.3. 對所選的每一道習題一定要落實到位，如果學生出現了錯誤，就應該及時更正，再練習，直到學生掌握為止. 4. 在各次模擬考試試題的命制時，要有總體計劃，使得各次考查結束后能對統計與概率領域的知識進行全面而又有重點的考查，以便發現問題、解決問題.5. 對統計知識的復習可以嘗試按照統計過程的先后順序引導學生進行思考，對概率的計算可以嘗試通過對背景的分類進行整理. 二00八年十二月09年中考數學復習設想 ——綿陽中學英才學校初三數學備課組 尊敬的各位領導、各位老師：展望2009年的中考，由于天災，我們2009級的教學受到極大的影響。和往屆相比，我們新課教學的任務加重，時間延長，留下進行中考復習的時間大大縮短。對于下期的復習，我們英才初三數學備課組做如下的打算和設想，在這里和大家一起交流，懇請各位建議指正！首先給大家介紹我們備課組的基本情況，我們備課組共有12位老師，大家團結協作。我們的固定教研活動訂在每周二的下午，對上周的教學中存在的問題進行反思和討論，并對下周的教學任務細化到每一節課的引入、例題進行推敲。按教學任務在開學初將老師分成4個小組，分別由小組長牽頭負責每個章節的落實。具體負責備課資料的準備，當天作業的設制，周六清理的習題。備課會堅持雙重發言人制度，由主備課人提出構思，大家都要參與，最后形成集體備課教案，發揮團隊作用，拒絕單干。每周我們準備安排5天復習，周六進行清理。由當周負責備課的老師對學生易錯、易混的知識點收集整理，在周六的測試中呈現。 積極開展組內研究課活動，復習開始時要先請有經驗的老師上示范課，新教初三的老師上合格課，最后每個老師都要完成一節公開課，力爭將每一節復習課打造成優質課。每章節測試后組織老師聽試題講評課，遇到難點時要上研究課。我們要求每位老師開放課堂，隨到隨聽。開展青蘭工程，接對互助。從備課、上課、習題設置、學生輔導等全方位給年輕教師指導，加速他們的成長。按照我們學校的要求每科只能有一種資料，在中考資料的選擇上我們會選擇與綿陽中考相符合的資料，因為教材版本的不同，不同教輔的針對性也不同。我們希望選擇既有知識要點的回顧，又有典型例題的講解，課時劃分明確，精確到每一課時，題量不多，基礎題與中檔題為主，便于操作的資料。對于資料的使用結合教材的實際情況，按集體備課的內容及要求適當選擇取舍。每天根據復習內容出一張符合學生實際情況，能夠讓中等學生在30分鐘內完成的小練習。（我們學校要求老師們根據資料選編練習，不能用直接用資料。）我們備課組本期研究了08各地數學中考試題，發現大都是以立足基礎，突出能力和創新意識，體現素質教育為導向的。面對初中三年的數學知識，內容多、時間緊、任務重的特點，在全面準確體現新課標規定的測試范圍和知識能力要求的基礎上，順應課改、考改的潮流，以達到順利完成畢業以及適應升學的復習目的。我們準備從09年的3月下旬開始復習，分兩個階段進行，第一階段（3月下旬到5月中旬）過教材，復習基礎知識，形成基本技能。第二階段為專題復習從5月下旬到6月初。第三階段為模擬測試及自主清理從6月初到中考前。在具體的操作過程中我們會從以下幾點入手： 一、緊扣教材，夯實“雙基” 研究中考數學試題以及從這幾年閱卷我們發現：中考很多題目并不難，但眾多的考生得分率不高.。這是為什么呢？答案很簡單，平時學習基礎薄弱，復習時沒有緊扣課本. １． 中考數學試題的新穎性、靈活性越來越強. 我們不會把主要精力放在難度較大的綜合題上，因為不是只有通過解決難題才能培養能力。重視基礎知識、基本技能、基本方法的復習. 復習時對知識的發生、發展過程揭示到位. 復習中注意定理、公式推證的過程蘊含著的重要的解題方法和規律，教師充分暴露思維過程，發掘其內在的規律再去做題，利用少而精的習題讓學生“悟”出某些道理.避免學生機械地模仿，生搬硬套，照葫蘆畫瓢，將簡單問題復雜化，從而造成失分.２． 其實近幾年來中考命題事實（07年綿陽的例外）已明確告訴我們：基礎知識、基本技能、基本方法始終是中考數學試題考查的重點，選擇題、填空題以及解答題中的基本常規題已達整份試卷的８０％左右，特別是選擇題、填空題主要是考查基礎知識和基本運算，但其命題的敘述或選擇支往往具有迷惑性，有的選擇支就是學生中常見的錯誤. 如果教師在復習中過于疏忽，或在學習中對基本知識不求甚解，都會導致在考試中判斷錯誤. 事實上，近幾年的中考數學試題對基礎知識的要求更高、更嚴了，只有基礎扎實的考生才能正確地判斷. 另一方面，由于選擇題和填空題中每題的分值都較大，因而正確率的高低直接影響中考的結果。答題的正確率主要取決于基本技能、基本方法的熟練程度及能力的高低。 可見，在切實重視基礎知識的落實中同時應重視基本技能和基本方法的培養。 ３． 中考命題是“依據課標，緊扣課本”的，試卷中的許多題目是以課本中的例題和習題為例加以變化而來的. 因此無論什么復習資料都不能代替教材，只有認真地復習教材中的基礎知識，掌握基本技能，同時對課本的典型題目做一些變式練習，才能靈活掌握雙基，中考中才能正確解答試題。 由于上述原因這就需要在進行雙基復習前，對課本知識進行梳理，我們組上12位老師分成3個小組,分別對三個年級的教材進行分析,嚴格按照課程標準的要求列出知識要點.在備課活動中拿出來討論,最后達成共識.力求準確把握每個考點,做到不遺漏知識,也不盲目拔高.這樣我們在具體章節的操作中就會有的放矢.對于課后典型的題目進行變式,特別注意這些知識和哪些章節的知識可以互相聯系,編制學科內的綜合題。 二、注重數學思想方法的運用 新課標明確提出由原來的基礎知識、基本技能的考察，變為三基，也就是增加了基本的數學思想方法，從這一點說必將成為中考數學永恒的主題. 教材中沒有專門的章節介紹數學思想方法，而是伴隨著基礎知識的學習而展開的. 初中數學思想方法主要有：轉化、分類討論、數形結合、類結歸納、建模、配方、待定系數法、方程與函數、消元法等. 這些數學思想方法都是用來解題的“工具”，不能只知道有關名詞，而應知道其實質和用途。 比如在今天的這節復習課中，就特別注重引導學生在分析二次函數的圖象性質時利用數形結合的思想,運用待定系數法來解決問題。這些只有在平常的教學中不斷積累，讓學生逐步形成自己的解題經驗，達到將數學思想方法靈活運用到解決問題中去。 三、關注社會熱點，強化應用意識，提高應用能力 歷屆中考題中出現了許多新背景（今年的奧運與救災的主題）應用題，這些題目與日常生產、生產實際、社會熱點、人文環境等關系密切，主要考查學生運用數學知識解決實際問題的能力. 因此，在中考數學復習時，老師們用的例題作業當中的情景、信息都要關注生活、科技、生產、社會熱點問題，如過去出現過的：新世紀的交通運輸、市場營銷、環保等. 解應用題的方法和手段也多種多樣，但核心是審題，教會學生透過現象看本質，把實際問題轉化為數學模型，然后運用數學知識和方法加以解決，運用數學建模思想解決問題. 在復習中，運用我們數學組的省級課題研究成果閱讀教學法訓練學生審題能力，引導學生在深入分析的基礎上進行變式，以提高學生們的學習興趣和應變能力，對開放性題目的求解過程就是研究性學習的過程，這類題目變化無窮，進行針對性的訓練. 四、重視思維訓練，增強創新意識 “發展學生思維能力是培養能力的核心. ”培養學生創新意識是初中數學的重要目標. 近年來各地中考題，內涵豐富，立意新穎，發人深思. 如何加強思維訓練，增強創新意識，提高解題能力，將直接影響中考綜合題的求解.綿陽的中考既是畢業又兼顧升學，因而考察學生思維，為學生后繼學習也是至關重要的. 在復習過程中，不斷地提升思維品質，在歸納知識，總結規律概念等方法的過程中，及時矯正學生思維的偏差. 讓學生用已有的數學知識去探究新的數學問題，養成獨立思考，自主探究，歸納猜想，操作論證等良好的學習習慣，使學習過程成為再發現、再創造的過程，使學生的創新意識和實踐能力不斷提高. 五、注重考法研究，把握中考動向 中考復習前，進行考法研究，研究近幾年中考數學命題的走向，研究中考復習策略. 準備請原初三數學老師著重談中考復習體會及中考后的反思；現初三數學教師每人做綿陽06-08這三年的中靠；然后組內老師根據自己的感悟命制一套符合綿陽特征的中考數學試題，利用集體備課會進行研究討論：如何把握中考，定出詳實的計劃.思考如何在平時的教學中進行數學思想方法的滲透,做好集體備課,搞好中考考法研究。 平時考試中，教師模擬中考命題，試題來源于課本改編及自編，注重信息的收集和新題型的探索，著重考查學生基本的數學思想和方法. 每次考完后教師與學生都要及時做總結，這樣既讓教師對中考復習的把握更深，又有利于學生尋找差距，奮力拼爭. 當然,我們也有許多困惑，比如新課教學的時間大大延長，中考階段復習時間如何安排？09年的5月這個考試月（4周內有政治、歷史、物理、化學、實驗操作體育的考試）我們如何保證數學科復習的質量問題？訓練學生的思維具體策略？09年中考試題的難度….還有一些平常教學中的一些具體操作性的問題的解決.我們初三數學備課組是個和諧的集體，熱情的團隊，更是一個喜歡學習的集體,真誠希望與各位專家、同行們互相溝通，互相學習。愿與各位一道攜手并肩，備戰09中考！綿陽市2008年高級中等教育學校招生統一考試數學試卷分析2008年綿陽市高級中等教育學校招生考試數學試題，是以全日制義務教育《數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）為命題依據，以本屆學生使用的《義務教育課程標準實驗教科書·數學》（人民教育出版社出版）為命題范圍，在考查學生高中數學學習所必需的初中“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合運用”的同時，著重考查學生運用數學知識分析和解決簡單實際問題的能力．一、數學評價標準1．數學評價標準的內容（1）充分體現《標準》的評價理念，有利于引導和促進數學教學全面落實《標準》所設立的課程目標，有利于改善學生的數學學習方式、豐富學生的數學學習體驗、提高學生數學學習的效率，有利于高中階段學校的招生．（2）既重視對學生學習數學知識和技能的結果與過程的測試，也重視對學生在數學思考能力和解決問題能力等方面發展狀況的測試，還重視對學生數學認識水平的測試．（3）命題力求面向全體學生，根據學生年齡、個性特點和生活經驗編制試題，使具有不同程度的數學認知特點，不同的數學發展程度的學生都能表現自己的數學學習狀況，全面、客觀、準確地測評學生通過義務教育階段的數學學習所獲得的相應發展．2．確定數學評價標準的依據綿陽市高中階段學校招生考試的目的和依據是：（1）為加強全市初中數學教育工作的指導和管理提供依據；（2）為高中階段學校錄取新生提供依據；（3）為初中數學教學指引正確的方向，特別是引導教師準確把握課程標準中對各個部分內容的要求，嚴格地執行課程標準，以《標準》為準繩進行教學．二、試卷狀況1．試卷結構試卷采用閉卷書面筆試的方式命制，包括卷Ⅰ（選擇題）和卷Ⅱ（非選擇題）．“題型”分客觀性試題和主觀性試題，其中客觀性試題分為選擇題（卷Ⅰ）和填空題．試卷題目共25個，其中第19題設有兩個相近的“小題”，目的是給學生留下充分的思考與探索時間．試題難度為：容易題占60%，中等題占30%，較難題占10%．試題的難易程度原則上按三種題型由易到難安排，總體難度設計為0.60～0.65．其中運動、變換、探索、開放等題目占了較大比例．各類題目在試卷中的位置、分值比例和解答要求如下表 題序號分∕個總分比例要 求選擇題1-123分36分24%“四選一型”的單項選擇題填空題13-184分24分16%直接填寫結果，不必寫出計算推證過程解答題19（1）（2）16分90分60%要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟20-2412分2514分2．命題雙向細目表考查目標、題型選擇題12個填空題6個解答題7個分數合計占比數與式有理數，實數1（3）6（3）8（3）13（4）19（8）19（8）29分19.3%整式的乘除，因式分解，分式，二次根式方程與不等式一元一次方程，一元二次方程，二（三）元一次方程組3（3）22（12）15分10.0%不等式與不等式組函數平面直角坐標系，函數10（3）11（3）21（12）23（12）30分20.0%一次函數反比例函數二次函數圖形的認識與證明點、線、面，角相交線與平行線7（3）12（3）5（3）9（3）14（4）18（4）17（4）25（6）24（8）38分25.3%三角形四邊形，多邊形圓尺規作圖，動手操作投影與視圖圖形的變換軸對稱，平移，旋轉2（3）15（4）25（6）24（4）17分11.3%圖形的相似，銳角三角函數統計概率統計知識4（3）16（4）20（12）19分12.7%概率初步課題學習25（2）2分1.33%合計36分占24%24分占16%90分占60%150分三、試題特點根據綿陽市教育局《綿陽市教育局關于初2008級語文等科目學業考試有關事項的通知》（綿教辦函 [ 2008 ] 25號）的文件要求，以指導性、基礎性、全面性、科學性、主體性為命題原則，在充分考慮全市初中數學教學實際水平的基礎上，堅持了前些年的命題思路，力爭“穩中有變”、“變中創新”．突顯出中考命題對實際教學的導向作用，彰顯了中考的人文精神，為引導和促進學生和諧發展作了有益的嘗試．試題以初中學段的知識與技能為基準，選取的內容有較好的代表性；試題的設計充分考慮了整卷閱讀量的合理性；試卷的語言、圖形、文字能關注學生特點；試題的背景突出公平性；試題的難易呈現一定的坡度，既考慮到了衡量學生是否達到課程標準所規定的畢業水平，又照顧到了升學考試的分流要求．1．重視對數學核心內容的考查初中學段的數學核心內容是現代公民應具備的基本數學素養，是學生今后進一步學習的基礎，更是初中學段數學學習的目標．全卷注重對初中數學基礎知識和方法的考查．考查的內容涉及到負數、絕對值、倒數、零（負）指數、特殊角的三角函數值、實數的運算、科學計數法、分式的性質及運算、方程和不等式、一次函數、反比例函數及二次函數的圖象和性質、平行線的性質、解直角三角形及其應用、三角形的全等和相似、圓的有關性質、統計圖表、概率、對稱及旋轉等主干知識．在選擇題、填空題中突出考查對基礎知識的理解和運用，只須選用適當的方法進行計算或推理，減少了“猜”的因素，突出數學基本功，從而強調中考復習時更關注“三基”的落實．如第7題、第10題、第16題幾乎不需運算，只要依據對概念的正確理解和進行簡單的推理即可迅速得出答案．第7題由∠1 =∠2 可推出l1∥l2，再由 l1∥l2 可推出 ∠3 +∠4 = 180(，而∠3 = 55(，所以∠4 = 125 (．第10題由水面高度的變化與一次函數h = k t + b中k的變化分析出正確答案，體現了對函數圖象的深刻領悟．第16題考查了等可能事件概率的定義，計算十分簡單．2．試題取源于教材，給初中教學以明確的導向中考不僅僅是選拔性考試，更重要的是試題必須體現它對初中數學教學的導向作用，因此2008年試題仍然保持了以往中考試題的特點，試題主要取源于教材，是教材的例題或習題的改編和深化．試卷上題目的序號取自教材何處教材上的原例題、習題考查要求說明2八年級上冊156頁第2題畫出下列軸對稱圖形的對稱軸（圖略）教材的四個圖形很有特色，畫出對稱軸后，再追問一下即可．9九年級下冊125頁第10題根據三視圖描述物體的形狀，試畫出物體的表面展開圖（圖略）逆向考查視圖問題，考查空間圖形的想象力．10八年級上冊50頁第8題均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿．在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規律如圖所示（圖中OABC為一折線），這個容器的形狀是圖中哪一個？（圖略）勻速度的均勻注水，v = sh表明v一定后，s與v成反比．高相同，則圓柱形的底面越大，所需時間越長．經過多次“悟”、“想”、數形結合．14八年級上冊18頁第3-4題下列式子中的y是x的函數嗎?自變量x在什么范圍內取值函數有意義考查分式、根式的意義及邏輯連接詞“且”．16九年級上冊154頁第1題在6張卡片上分別寫有數字1～6的整數，隨機地抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是多少？閱讀題意后，通過列表，列出第一、二次的數字組合情況16種，而滿足能夠整除的情形是5種，由此得出結論．19（2）八年級下冊22頁第2（2）題計算：．這雖然是一道練習題，但它包含了分式的加、減、乘、除、乘方、通分、約分等運算，綜合性強．20八年級上冊76頁第6題一位面粉批發商通過統計前48個星期的面粉銷售量（單位：噸）：（數據略）請對數據適當分組，列出頻數分布表，畫出頻數分布直方圖和頻數折線圖；并分析這位面粉批發商每星期進面粉多少噸比較合適？分析、整理數據是數理統計的基本能力和要求，但限于時間，這里只需把整理好的數據用更直觀的直方圖與折線圖表示，然后用平均數得出決策．23九年級下冊28頁第6題某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間的定價為每天為180元，房間會全部住滿．當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑．如果游客居宿房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用．房價定為多少時，賓館利潤最大？閱讀理解題目含義，逐漸將已知的數量（含設置的量5x）用表格列出，建立二次函數關系式，化簡，整理，變形此二次函數，得解作答．24九年級上冊93頁例題2如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD、BD的長．（圖略）本題的兩個三角形很特殊，一個是直角的，一個是等腰的．運算量、思維量大，內涵豐富．25九年級下冊102頁第10題如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知折痕AE = 5，且．（1）△AFB與△EFC有什么關系？（2）求矩形ABCD的周長．（圖略）這個基本圖形中含有全等，相似，三角函數，勾股定理，四點共圓，面積等．結合運動變化的元素，就可以建立函數，運用函數的思想方法研究問題．3．關注學生繼續學習的能力，強化對數學學習過程的考查試卷中的第10、22、23、25等題需要學生閱讀題目所給出的材料（特別是第25（3）的新知識材料），要求學生能對給出的文字、數據進行綜合分析獲取信息，并在理解的基礎上作出推演，考查學生自己提出觀點及運用數學事實表述觀點的能力，對學生的學習潛能有較好預測效果．全卷還命制了不少開放性和探索性試題．如20（2），21（2），22（2），24（2）的多種解答思路和方法；第25（3）必須對閱讀材料加以理解，然后才能正確運用，它強化了對數學學習過程的考查，這與新課程所倡導的學習方式和教學方式相呼應，引導和促進學生平時改進和完善學習方式．4．強化對數學思想方法的考查，凸顯數學意識要求學生掌握一定的數學思想方法是初中數學教學的重要目標，因此在試題中特別重視數學思想方法的考查，如數形結合的思想方法、函數與方程的思想方法、等價轉化的思想方法等在試題中都有充分的體現．第11題考查了作圖、讀圖與數形結合的能力及圖象法解一元二次不等式．統計是初中數學的重要內容和主干知識．第20題要求學生根據頻數分布表作出頻數分布直方圖和頻數折線圖．考查了學生作圖的能力．同時第（2）問又考查了學生應用圖象解決實際問題的能力．第21題涉及對稱這一重要概念，點與曲線的位置關系，正弦函數的定義．從多個知識點、多角度考查學生數形結合的思想意識和函數與方程的數學思想．第22題是一道以抗震救災為背景的數學應用問題．需要布列方程，通過解方程予以解答．第24題以圓和三角形為載體，把計算與論證有機結合，不便于直接計算的幾何量通過構造方程予以解決，并且兩次使用這一方法，突出了對方程思想的考查．第25題3個小問均涉及布列方程求出相關未知量，充分體現了方程思想在解決問題中的工具作用，很好地考查了學生是否能善于應用數學思想中的方程思想解決問題的自覺意識．七道解答題中有三道與方程思想有關，突出了方程在初中數學中特殊地位．解答題第21題、第23題、第25題的解答過程中都是將函數與方程進行有機結合．應該說，這種將思想方法滲透在題目中進行有效考查是本套試題的重要特點之一．5．重視與生活實際的聯系，著力考查運用數學知識解決問題的能力今年的中考試題，以生活實際為背景的題目一共有9道，計55分，占36.7%．這與當前課程改革中要求加強應用意識，體現數學是來源于生活又服務于生活的理念十分吻合．試題背景現實，公平，常用．第2、4、5、6、10、16、20、22、23題均屬于聯系生活生產實際的應用問題．第20題、第23題屬于經濟生活中的數學問題．第20題由折線圖及平均數21.6幫助決策．第23題是旅客住宿中賓館的利潤最大化問題，需設每天定價為x元（或60 + 5x元）．由利潤等于已住宿的房間數與每個房間的利潤的乘積得出含x的二次函數，再轉化為一元二次函數求最大值，是一個基本的函數模型，求解具有較強的開放性．第22題是工程、行軍問題，時間和效率的要求很高，是一道與現實結合十分緊密的一道好題．文化背景厚重，情義深長，解答并不困難．第1小問只需利用：部分 + 部分 = 整體，列出方程．第2問類似，是一個典型的方程模型．6．力求創新試題，增加新情境或有閱讀研究色彩的探索性問題考查學生的創新意識和學生面對新情景時獨立解決問題的能力是中考這一選拔性考試中必需的方面，同時也是新課程理念的基本要求，因此這次試題十分重視試題的創新，增加了閱讀研究等新情境問題，它要求學生必須對情境加以閱讀并理解，獲得必要的信息才能解答．第3題、第8題，題目十分簡單，但設問新穎．第5題考查兩個圓之間的位置關系，圖案美觀，背景新，具有時代感．第15題考查平移的概念．平移個單位，構思巧妙，只要求作出圖形，考查的落腳點恰到好處．第22題把社會關注、世界注目的“5.12汶川大地震”救援中的急行軍和道路搶通，災情就是命令的現實問題放在數學試卷中，讓考生在解答問題的同時，感受到祖國和人民對災區的關懷，同時命題人也寄望同學們不要忘記困難時期關心、幫助我們的中國人和外國友人、寓意深刻，用心很多，具有較高的人文價值．第23題以災后重建為背景，企業家投資北川，設問是追求最大利潤．這好象有些不妥，但題目一開始就交待企業家劉敏將其全部利潤用于北川的災后重建，這樣的設計別具匠心．第25題是一道探索性問題．以幾何為背景，引入運動觀點．設P點為邊DC上的一動點，DP = x，把重疊部分的面積與x聯系起來．考查學生函數知識的應用能力的運動變化的觀點．第（1）（2）問兩次定量考查，目的是動中有靜，靜中有動，變與不變相互轉換為后面作好鋪墊．第（3）問引入一段閱讀材料，主要考查函數的途徑不同．所以需采用分情況加以研究．考查了學生分類討論的思想．當5＜x＜8時，在Rt△PCF中，有CF =（8－x）tan2(，而S△PCF =· PC · CF =（8－x）tan2(，這就需要消去(，為此巧妙利用（(≠45°），tan( =，把tan2( 與x聯系起來，用到了消元的思想．整個題目有一定的運算量，考查了學生運算能力．在計算重疊部分面積時采用了分割法，層層轉化，所以該題綜合考查了初中階段主要的四大數學思想和學生的運算能力及運用所學知識分析問題的能力，為篩選優秀學生提供了很好的素材．第22題、23題、25題還有另一個特點，就是提供了較大的閱讀量和較多的信息量，需要學生真正理解題意，選擇有用信息，排除干擾，而且只有學生具備了較好的數學應用意識，較強的靈活轉化能力才能迎刃而解，同時，保證了問題情景的新穎性，設問構思的創新性．7．整體設計結構合理，呈現方式簡潔美觀全卷試題搭配合理，結構分明；題目由易到難，有較好的梯度；題目敘述準確，簡潔明了，無歧義，方便學生理解題意；文字、圖形、表格的呈現符合學生的心理特點，使命題者的意圖能準確無誤地被學生理解．全卷入口較低，1－5題分別只考查絕對值、對稱性、不等式、中位數、圓與圓之間的位置關系等一個知識點，有利于學生穩定情緒，正常發揮自己的真實水平．選擇題的前10題幾乎勿需筆算，可直接得出答案．第11題由于圖象過點（－1，0）、（3，0）及（－3，12）可立即判定函數圖象與x軸的兩個交點及圖象開口向上的幾何特征．從而得到正確答案為D．第12題明顯提高了難度，但由于圖形美觀對稱．立即轉化為正多邊形面積的估算．從而得到正確答案C．所以整個選擇題沒什么難題．有利于穩定學生心態，提高了考試的可信度．填空題共6道，其中前4道屬容易題，解答題共7道，其中前3道屬于容易題，中間的兩道題（第22，23題屬于中檔題）這樣安排，進一步保證了學生的正常發揮．前面的題目費時不多．為思考量大的問題提供了時間，整個試卷在填空題的最后兩題．第24，25題第（3）問設計了較難的題目為優秀學生提供了用武之地，體現了選拔性．試題在表述，選材，文化背景上也用了一番心思．如第2題，第5題，第10題，第12題，第24題，第25題的圖形選得對稱、和諧而優美．又如第24題整個題目有一定難度，但文字、題目的表述都十分簡捷和準確．不足兩行字，卻給解題和思考留足了很大的空間．參考答案如評分標準首先給出了指導性意見，從總體上為閱讀老師提供了應遵循的評分原則．每道題目逐題（解答題）給出了規范的第（2）問，第24題求CD等．這樣為閱卷老師提供了方便．同時，題目存在的多種解法和思路也為不同層次的學生提供了自我發揮的空間，有利于優秀學生的脫穎而出．主觀題的評分標準最大跨度為2分，有利于評卷的公平性對今后教學中的規范性也有指導意義．分值的分布對教學也有良好的導向功能．如第19題數和式的運算考查都是最基本的運算法則如恒等變形，數式設計巧妙，運算量不大．只要掌握最基本的算理即可，然而分值卻很大，兩小題共16分．超過了其余所在解答題的分值，又如第21題顯然第（1）問較第（2）問解答簡單．但分值仍占了整個分值的一半．這些給分標準，都在提示教學中要狠抓三基，在選拔中就是選出那些基礎好，基本功扎實的學生到高一級的學校進一步深造．這也是命題人在命題之外再一次在評分標準上體現對“三基”掌握好的學生肯定．三種題型由特殊到一般的求解思路設置，為學生考出信心和水平提供了客觀條件．四、考后數據1．卷Ⅰ各題實測得分情況（%）123456789101112A95.3284.901.305.385.3117.922.266.3773.919.102.9915.56B1.0611.602.1790.745.2272.812.5811.7819.9682.6515.5116.19C2.672.4928.212.5286.143.5592.6524.953.582.2812.5357.52D0.941.0068.281.313.285.642.4256.482.405.7768.539.562．卷Ⅱ抽樣得分情況（114分）題號二19202122232425卷Ⅱ平均得分13.5211.535.685.715.144.532.781.9950.86難度系數0.5630.7210.4730.4760.4280.3780.2320.1420.453．卷Ⅱ各題實測得分情況（%）題號二19202122232425卷Ⅱ平均得分13.2311.45.495.754.874.283.962.6552.17難度系數0.5510.7130.4580.4790.3670.3570.330.2210.4583．全卷實測情況卷Ⅰ卷Ⅱ全卷平均得分27.0152.1779.18難度系數0.7500.4580.528五、教學建議1．以時間為序安排教學．2009年3月中旬－2009年5月上旬進行第一輪復習（兼顧數學競賽）：全面復習 ① 概念的準確理解和實質性領悟；② 基本技能、基本方法的初步或熟練應用；③ 理解或獨立完成課本中的定理說明；④ 能簡要說出各單元題目類型及主要解法．要求是：系統整理知識、優化知識結構．2009年5月中、下旬進行第二輪復習與綜合訓練（切忌大、全、深）．① 一輪復習中的弱點；② 課本的重點；③ 中考命題的重點、熱點（數與式、方程與不等式、函數、概率與統計、等腰三角形）；④ 十套綜合訓練；⑤ 應試策略．要求：專題講座與綜合模擬訓練相結合，做好“五個轉化”，即從單一到綜合；從分割到整體；從記憶到應用；從慢速模仿到快速靈活；從縱向知識到橫向方法．2009年6月1日至考前：教師指導下的學生學習，翻看錯題本或試卷．（1）看糾錯本．檢視自己曾經出現過的失誤，找到自己知識的漏洞，思維方式的偏差，解題規范的疏漏，錯誤集中的點作為訓練重點，有目的的精選一些材料進行訓練，不讓同樣的錯誤在中考中重現．（2）歸納方法升華成經．此時還要熟練的掌握數學方法，以不變應萬變．掌握數學思想方法可從兩個方面入手，一是歸納重要的數學思想方法．例如一個代數問題，可以通過聯想與幾何問題產生溝通，使用數形結合的方法．還要注意典型方法的適用范圍和使用條件，防止形式套用導致錯誤．（3）選做真題．在沖刺階段，大家一定要正確處理研究中考試卷與選做模擬卷的關系．（4）調整狀態，進入考試時間．建議大家在復習時要看練結合．可以把做真題的時間放在與中考數學科同步的時間去做．這樣除了可以保持中考復習所需要的訓練量，還可以調節自己的生物鐘，保證中考時良好的精神狀態．看糾錯本的時候，也要注意不僅僅是用眼去看，必須隨時記錄一些感想、體會，思考自己當初出現問題的原因，必要的時候還要回歸課本，澄清一些概念．中考雖然近在眉睫，但復習仍需貼近課程標準、教材和自己的實際．只有扎實靈活，科學得法，沖刺就能事半功倍，取得理想的效果．2．以內容為序安排教學．數與式、方程與不等式、函數及其圖象、圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、統計與概率、數學專題（探索性、應用性、開放性問題）．不必用趕進度的方法對付學校月考或區市縣的診斷性考試，也不必因要診斷考試而停止原計劃應復習的內容，應始終保持一盤棋的思想．3．復習與應考策略：降低重心、夯實基礎，狠抓落實，追求高效．第一輪的復習教學、應大幅度的降低例、習題的難度，避免特殊技巧的過分招搖；綜合性的練習（含定時練習）兩周一次（小綜合練習一周最多一次）；課前（或上課時5－8分鐘）應有學生自己的讀書、勾劃重點知識方法、基本練、閱讀“說明”“小結”之板塊；例題教學時，應經常引導學生怎樣讀題、抓住關鍵、觀察特征，廣泛聯想，特別是把作教師的在做一個新題目時的思維轉化、八方聯想溝通等思維過程講（展現）出來，并要給學生留有一定的想、演、消化的時間．教師應善于將問題進行演變，前后關聯，以一當十．主要用于訓練學生運算的，教師可和學生一道，多加示范：細心、耐心．用好學生手中已有的數學教輔資料，更新、增刪題目，多研究上一年的中考試題（特別是中考大題的分布情況）和課標中的題型示例，以及這些題目所體現出來的對思維能力的要求．功夫應花在如何提高學生分析問題、解決問題的能力上．拿到一個題目，不是想著套用什么模型、方法，而是怎樣思考，要變解題教學為思維訓練，變最后的模擬練習為找感覺、練靈活、訓悟性．扎扎實實地搞好應用問題的教學．應用問題教學的意義已經成為共識，但應用問題教學的工作還沒有落到實處，由于現行教材中，實際應用問題較多，有些老師在平時教學中認為應用題教學費時間、容量小，常常導致越講越糊涂，學生不易掌握．我建議：根據數學內容兩周搞一次應用題課，師生共同活動，從理解題意，溝通已知與未知等方方面面，深入思考，消除神秘感，久而久之，學生則不會畏難．綿陽市2008年高級中等教育學校招生統一考試數學試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．－2的絕對值等于（ ）．A．2 B．－2 C．±2 D．2．下列軸對稱圖形中，對稱軸條數最多的是（ ）．3．以下所給的數值中，為不等式－2x + 3＜0的解的是（ ）．A．－2 B．－1 C． D．24．某校初三·一班6名女生的體重（單位：kg）為：35 36 38 40 42 42則這組數據的中位數等于（ ）．A．38 B．39 C．40 D．425．2008年8月8日，五環會旗將在“鳥巢”高高飄揚，會旗上的五環（如圖）間的位置關系有（ ）．A．相交或相切 B．相交或內含C．相交或相離 D．相切或相離6．“5·12”汶川大地震使綿陽也遭受了重大損失，社會各界踴躍捐助．據新華社訊，截止到6月22日12時，我國收到社會各界捐款、捐物共計467.4億元．把467.4億元用科學記數法表示為（ ）．A．4.674×1011 元 B．4.674×1010 元C．4.674×109 元 D．4.674×108 元7．已知，如圖，∠1 =∠2 =∠3 = 55°，則∠4的度數等于（ ）．A．115° B．120°C．125° D．135°8．若關于x的多項式x2－px－6含有因式x－3，則實數p的值為（ ）．A．－5 B．5 C．－1 D．19．某幾何體的三視圖如下所示，則該幾何體可以是（ ）．10．均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿．在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規律如圖所示（圖中OABC為一折線），則這個容器的形狀為（ ）．11．二次函數y = ax2 + bx + c的部分對應值如下表：x－3－2－1012345y1250－3－4－30512利用二次函數的圖象可知，當函數值y＜0時，x的取值范圍是（ ）．A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜312．如圖，O是邊長為1的正△ABC的中心，將△ABC繞點O逆時針方向旋轉180°，得△A1B1C1，則△A1B1C1與△ABC重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（ ）．A． B． C． D．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．將答案直接填寫在題中橫線上．13．3×（－）= ．14．函數中，自變量x的取值范圍是 ．15．如圖是由若干個邊長為1的小正方形組成的網格，在圖中作出將五角星ABCDE向其東北方向平移個單位的圖形．16．質地均勻的正四面體骰子的四個面上分別寫有數字2，3，4，5，投擲這個正四面體兩次，則第一次底面上的數字能夠整除第二次底面上的數字的概率是 ．17．如圖，AB是圓O的直徑，弦AC、BD相交于點E，若∠BEC = 60°，C是的中點，則tan∠ACD = ．18．△ABC中，∠C = 90°，AB = 1，tan A =，過AB邊上一點P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于 F，E、F是垂足，則EF的最小值等于 ．三、解答題：本大題共7個小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（本題共2個小題，每小題8分，共16分）（1）計算：（－2－2 +）×－20080÷sin 45°．（2）計算：．20．（本題滿分12分）某面粉批發商通過統計前48個星期的面粉銷售量（單位：噸），對數據適當分組后，列出了如下頻數分布表：銷售量18.5≤x＜19.519.5≤x＜20.520.5≤x＜21.521.5≤x＜22.522.5≤x＜23.523.5≤x＜24.5合計劃記頻數679128648（1）在圖1、圖2中分別畫出頻數分布直方圖和頻數折線圖；（2）試說明這位面粉批發商每星期進面粉多少噸比較合適（精確到0.1噸）？21．（本題滿分12分）已知如圖，點A（m，3）與點B（n，2）關于直線y = x對稱，且都在反比例函數的圖象上，點D的坐標為（0，－2）．（1）求反比例函數的解析式；（2）若過B、D的直線與x軸交于點C，求sin∠DCO的值．22．（本題滿分12分）A、B兩地相距176 km，其間一處因山體滑坡導致連接這兩地的公路受阻．甲、乙兩個工程隊接到指令，要求于早上8時，分別從A、B兩地同時出發趕往滑坡點疏通公路．10時，甲隊趕到立即開始作業，半小時后乙隊趕到，并迅速投入“戰斗”與甲隊共同作業，此時甲隊已完成了工程量的．（1）若滑坡受損公路長1 km，甲隊行進的速度是乙隊的倍多5 km，求甲、乙兩隊趕路的速度；（2）假設下午4點時兩隊就完成公路疏通任務，勝利會師．那么若只由乙工程隊疏通這段公路時，需要多少時間能完成任務？23．（本題滿分12分）青年企業家劉敏準備在北川禹里鄉投資修建一個有30個房間供旅客住宿的旅游度假村，并將其全部利潤用于災后重建．據測算，若每個房間的定價為60元∕天，房間將會住滿；若每個房間的定價每增加5元∕天時，就會有一個房間空閑．度假村對旅客住宿的房間將支出各種費用20元∕天·間（沒住宿的不支出）．問房價每天定為多少時，度假村的利潤最大？24．（本題滿分12分）如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交AB于E，交⊙O于D．求弦AD、CD的長．25．（本題滿分14分）如圖，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，點P在矩形的邊DC上由D向C運動．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形．設DP = x，△ADP和矩形重疊部分（陰影）的面積為y．（1）如圖丁，當點P運動到與C重合時，求重疊部分的面積y；（2）如圖乙，當點P運動到何處時，翻折△ADP后，點D恰好落在BC邊上？這時重疊部分的面積y等于多少？（3）閱讀材料：已知銳角(≠45°，tan2( 是角2( 的正切值，它可以用角( 的正切值tan( 來表示，即 （(≠45°）．根據上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍．（提示：在圖丙中可設∠DAP = ( ）一、填空題1～6．AADBCB 7～12．CDABDC二、填空題13．－1 14．x≥－2且x≠0 15．圖形如右16． 17． 18．三、解答題19．（1）原式=== 0．（2）原式===．20．（1）（2）由頻數折線圖，得（19×6 + 20×7 + 21×9 + 22×12 + 23×8 + 24×6）÷ 48 = 1035 ÷ 48 = 21.5625，所以這位面粉批發商每星期進面粉21.6噸比較合適．21．（1）∵ A（m，3）與B（n，2）關于直線y = x對稱，∴ m = 2，n = 3， 即 A（2，3），B（3，2）．于是由 3 = k∕2，得 k = 6． 因此反比例函數的解析式為．（2）設過B、D的直線的解析式為y = kx + b．∴ 2 = 3k + b，且 －2 = 0 · k + b． 解得k =，b =－2．故直線BD的解析式為 y =x－2．∴ 當y = 0時，解得 x = 1.5．即 C（1.5，0），于是 OC = 1.5，DO = 2．在Rt△OCD中，DC =．∴ sin∠DCO =．說明：過點B作BE⊥y軸于E，則 BE = 3，DE = 4，從而 BD = 5，sin∠DCO = sin∠DBE =．22．（1）甲隊行進了2小時，乙隊行進了2.5小時．設乙隊的速度為x，則甲隊為1.5x + 5．由題意得方程 2.5x +（1.5x + 5）×2 + 1 = 176．整理得 5.5x = 165， 解得 x = 30．∴ 1.5x + 5 = 1.5×30 + 5 = 50．即甲隊趕路的速度為50 km∕h，乙隊趕路的速度為30 km∕h．（2）設若由乙隊單獨施工，需x小時才能完成．則由題意有 6×（）+ 5.5×= 1．解得 x = 11．即乙隊單獨做，需要11小時才能完成任務．23．設每天的房價為60 + 5x元，則有x個房間空閑，已住宿了30－x個房間．于是度假村的利潤 y =（30－x）（60 + 5x）－20（30－x），其中0≤x≤30．∴ y =（30－x）· 5 ·（8 + x）= 5（240 + 22x－x2）=－5（x－11）2 + 1805．因此，當x = 11時，y取得最大值1805元，即每天房價定為115元∕間時，度假村的利潤最大．法二 設每天的房價為x元，利潤y元滿足=（60≤x≤210，是5的倍數）．法三 設房價定為每間增加x元，利潤y元滿足=（0≤x≤150，是5的倍數）．24．∵ AB是直徑，∴ ∠ACB = 90°．在Rt△ABC中，BC == 8（cm）．∵ CD平分∠ACB， ∴ =，進而AD = BD．于是在Rt△ABD中，得 AD = BD =AB = 5（cm）．過E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F、G是垂足，則四邊形CFEG是正方形．設EF = EG = x，由三角形面積公式，得 AC · x +BC · x =AC · BC，即 ×6 · x + 12×8×x = 12×6×8，解得 x =．∴ CE = 2x =．由 △ADE∽△CBE，得 DE : BE = AE : CE = AD : BC，即 DE : BE = AE := 5: 8，解得 AE =，BE = AB－AE = 10－=， ∴ DE =．因此 CD = CE + DE =+= 7（cm）．答：AD、CD的長依次為5cm，7cm．說明：另法一 求CD時還可以作CG⊥AE，垂足為G，連接OD．另法二 過A作AF⊥CD于F，則△ACF是等腰直角三角形．25．（1）由題意可得 ∠DAC =∠D′AC =∠ACE，∴ AE = CE．設 AE = CE = m，則 BE = 10－m．在Rt△ABE中，得 m2 = 82 +（10－m）2，m = 8.2．∴ 重疊部分的面積 y =· CE · AB =×8.2×8 = 32.8（平方單位）．另法 過E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO．（2）由題意可得 △DAP≌△D′AP，∴ AD′ = AD = 10，PD′ = DP = x．在Rt△ABD′ 中，∵ AB = 8，∴ BD′ == 6，于是 CD′ = 4．在Rt△PCD′ 中，由 x2 = 42 +（8－x）2，得 x = 5．此時 y =· AD · DP =×10×5 = 25（平方單位）．表明當DP = 5時，點D恰好落在BC邊上，這時y = 25．另法 由Rt△ABD ′∽Rt△PCD′ 可求得DP．（3）由（2）知，DP = 5是甲、丙兩種情形的分界點．當0≤x≤5時，由圖甲知 y = S△AD′P = S△ADP =· AD · DP = 5x．當5＜x＜8時，如圖丙，設∠DAP = (，則 ∠AEB = 2(，∠FPC = 2(．在Rt△ADP中，得 tan( =．根據閱讀材料，得 tan2( =．在Rt△ABE中，有 BE = AB∕tan2( ==．同理，在Rt△PCF中，有 CF =（8－x）tan2( =．∴ △ABE的面積 S△ABE =· AB · BE =×8×=．△PCF的面積 S△PCF =· PC · CF =（8－x）×=．而直角梯形ABCP的面積為 S梯形ABCP =（PC + AB）×BC =（8－x + 8）×10 = 80－5x．故重疊部分的面積 y = S梯形ABCP－S△ABE－S△PCF= 80－5x－－．經驗證，當x = 8時，y = 32.8適合上式．綜上所述，當0≤x≤5時，y = 5x；當5＜x≤8時，y = 80－5x－－．2008年高級中等教育學校招生統一考試數學試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1． 的倒數等于（ ）．A． B． C． D．2．下列各式中，計算正確的是（ ）．A．5a2－2a2 = 3 B．2a + 3b = 5abC．（2xy2）2 = 4x2y4 D．6mn ÷ 3n = 3m3．下列四個幾何體的三視圖是同一個圖形的是（ ）．4．據報道，“5·12”汶川大地震使得李白紀念館剎那間墻傾屋摧，滿目瘡痍．經過搶救，包括71件頂級國寶在內的4000余件館藏文物（價值約2 010 000 000元）全部從危房中救出，并被安全轉移．將數字2 010 000 000用科學記數法可表示為（ ）．A．2.01×107 B．2.01×108 C．2.01×109 D．2×109 5．在奔馳、寶馬、豐田、三菱等汽車標志圖形中，為中心對稱圖形的是（ ）．6．如圖，△ABC中，延長邊AB、CA構成∠1、∠2，若∠C = 55°，則∠1 +∠2 =（ ）．A．125° B．235°C．250° D．305°7．如圖，把一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，BC交AD于O．給出下列結論：① BC平分∠ABD；② △ABO≌△CDO；③∠AOC = 120°；④ △BOD是等腰三角形．其中正確的結論有（ ）．A．①③ B．②④C．①② D．③④8．綿陽市2008年高級中等教育學校招生統一考試文化筆試科目的滿分值為：筆試科目語文數學英語物理化學滿分值15015015010080若把表中各筆試科目滿分值按比例繪成扇形統計圖，則表示數學學科的扇形的圓心角為（結果保留3個有效數字）（ ）．A．85.7° B．86° C．42.7° D．43°9．若實數m，n滿足2m + 3n = 0 且 4m + n－10 = 0，則過點P（m，n）的反比例函數的解析式為（ ）．A． B． C． D．10．如圖，△ABC中 ，∠C = 90°，∠A = 30°，BD是∠ABC的平分線，設△ABD、△BCD的面積分別為S1、S2，則S1 : S2 =（ ）．A．2 : 1 B．: 1C．3 : 2 D．2 :11．如圖，正方形ABCD中，DE = 2AE，DF = CF，則 sin∠BEF =（ ）．A． B． C． D．12．拋物線與x軸的兩個不同交點是O和A，頂點B在直線y = kx上，若△OAB是等邊三角形，則b =（ ）．A．± B．±3 C． D．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．將答案直接填寫在題中橫線上．13．︱－2︱= ．14．若，則實數a的取值范圍是 ． 15．如圖，⊙O的弦AB、CD互相平行，E、F分別是圓周上兩點，則∠BEC +∠AFD = 度．16．拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有數字1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的數字分別為a，b，則a + b =6的概率為 ．17．“5·12”汶川大地震使不少建筑物受損．某地一水塔地震時發生了嚴重沉陷（未傾斜）．如圖，已知地震前，在距該水塔30米的A處測得塔頂B的仰角為60°；地震后，在A處測得塔頂B的仰角為45°，則該水塔沉陷了 米．（精確到0.01，≈1.7321，≈1.4142）18．連接拋物線y = ax2（a≠0）上任意四點所組成的四邊形可能是 （填寫所有正確選項的序號）．① 菱形； ② 有三條邊相等的四邊形； ③ 梯形； ④ 平行四邊形．三、解答題：本大題共7個小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（本題共2個小題，每小題8分，共16分）（1）計算：．（2）化簡：．20．（本題滿分12分）已知反比例函數的圖象有一支在第一象限．（1）求常數m的取值范圍；（2）若它的圖象與函數y = x的圖象一個交點的縱坐標為2，求當－2＜x＜－1時，反比例函數值y的取值范圍．21．（本題滿分12分）某圖書館為了了解讀者的需求情況，某天對讀者借閱的所有圖書進行了分類統計，結果如下：類別少兒類科技類文藝類體育類其他數量（本）208040比例10%25%40%（1）補全上表，并求當天共借閱了多少本圖書？（2）若用一個統計圖描述當天借閱的各類圖書所占比例的情況，你認為最好選用什么統計圖？作出你所選用的統計圖；（3）試根據調查結果，給該圖書館的采購部提一條合理化建議．22．（本題滿分12分）華聯商場預測某品牌襯衫能暢銷市場，先用了8萬元購入這種襯衫，面市后果然供不應求，于是商場又用了17.6萬元購入第二批這種襯衫，所購數量是第一批購入量的2倍，但單價貴了4元．商場銷售這種襯衫時每件定價都是58元，最后剩下的150件按定價的八折銷售，很快售完．試求：（1）第一次購買這種襯衫的單價是多少？（2）在這兩筆生意中，華聯商場共贏利多少元？23．（本題滿分12分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，連結AO并延長交⊙O于C，交PB的延長線于D．（1）找出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論（不再添加輔助線）；（2）若PA = 2 +，∠P = 45(，求圖中陰影部分的面積．24．（本題滿分12分）如圖，在□ABDO中，已知A、D兩點的坐標分別為A（，），D（2，0）．將□ABDO向左平移個單位，得到四邊形A′B′D′O′．拋物線C經過點A′、B′、D′．（1）在圖中作出四邊形A′B′D′O′，并寫出它的四個頂點坐標；（2）在拋物線C上是否存在點P，使△ABP的面積恰好為四邊形A′B′D′O′的面積的一半？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．25．（本題滿分14分）（1）已知△ABC是等腰直角三角形，現分別以它的直角邊BC、斜邊AB為邊向外作正方形BCEF、ABMN，如圖甲，連接MF，延長CB交MF于D．試觀測DF與DM的長度關系，你會發現 ．（2）如果將（1）中的△ABC改為非等腰的直角三角形，其余作法不變，如圖乙，這時D點還具有（1）的結論嗎？請證明你的判斷． （3）如果將（1）中的△ABC改為銳角三角形，仍以其中的兩邊分別向外作正方形，如圖丙，則應在圖中過B點作△ABC的 線，它與MF的交點D恰好也具有（1）的結論．請證明在你的作法下結論的正確性．一、填空題1～6．DCDCBB 7～12．BADACA二、填空題13．2 14．a≥1 15．180 16． 17．21.96 18．②③三、解答題19．（1）原式===．（2）原式===－2a2．20．（1）∵ 反比例函數的圖象有一支在第一象限，∴ m－5＞0，即 m＞5．因此 m的取值范圍為m＞5．（2）由題意可知，反比例函數的圖象經過點（2，2），∴ 2×2 = m－5，得 m = 9，∴．當x =－2時，y =－2；當x =－1時，y =－4．故根據反比例函數圖象知，當－2＜x＜－1時，y的取值范圍是－4＜x＜－2．21．（1）∵ 20 ÷ 10% = 200， ∴ 這天共借了200本．類別少兒類科技類文藝類體育類其他數量（本）2050804010比例10%25%40%20%5%（2）最好選用扇形統計圖，圖如右：（3）建議：可多采購些文藝類書籍．22．（1）設第一批購入的襯衫單價為x元/件，則第一批第二批單價xx + 4總價80000176000數量有 ×2 =．解得 x = 40，此即為第一批購入襯衫的單價．（2）由（1）知，第一批購入了 80000 ÷ 40 = 2000件．在這兩筆生意中，華聯商場共贏利為2000×（58－40）+（2000×2－150）×（58－44）+ 150×（58×0.8－44）= 90260元．答：第一批購入這種襯衫的單價為40元，兩筆生意中華聯商場共贏利90260元．23．（1）△OBD∽△PAD．證明 ∵ PA、PB是⊙O的切線，∴ OA⊥PA，OB⊥PB，∴ ∠OAP =∠OBD = 90°．又∠D =∠D，∴ △OBD∽△PAD．（2） ∵ ∠P = 45°， ∴ ∠DOB = 45°，∴ △OBD、△PAD均是等腰直角三角形，從而 PD =PA，BD = OB．又 ∵ PA = 2 +，PA = PB，∴ BD = OB = PD－PB =PA－PA=（－1）PA=（－1）（2+）=．故 S陰影 = S△OBD－S扇形 ===．24．（1）作出平移后的四邊形A′B′D′O′如右．頂點坐標分別為A′（0，）、B′（2，）、D′（，0）、O′（－，0）．（2）由題意可設拋物線C的解析式為 y = ax2 + bx +，則 解得 a =，b =－2．∴ 拋物線C的解析式為 y =x2－2x +．∵ 四邊形A′B′D′O′是平行四邊形，∴ 它的面積為O′D′×OA′ = 2×= 6．假設存在點P，則△ABP的面積為3．設△ABP的高為h，則 ×AB×h =×2×h = 3，得 h =．即點P到AB的距離為，∴ P點的縱坐標為0或2．∴ 當P的縱坐標為0時，即有 0 =x2－2x +，解得 x1 = x2 =．當P的縱坐標為2時，即有 2=x2－2x +，解得，．因此存在滿足條件的點P，坐標為（，0），（，2），（，2）．25．（1）DF = DM．（2）仍具有（1）的結論，即DF = DM．證明：延長CD，過M作MP⊥CD，交于P，P為垂足．∵ ∠MBP +∠ABC = 90°，∠BAC +∠ABC = 90°，∴ ∠MBP =∠BAC．又 ∠ACB =∠MPB = 90°，AB = BM，∴ △ABC≌△BMP，從而 BC = MP．∵ BC = BF， ∴ BF = MP．又 ∠PDM =∠BDF，∠DPM =∠DBF，∴ △DBF≌△DPM， ∴ DF = DM．（3）高．證明：如圖，延長GD，過M、F作GD的垂線垂足為P、Q．∵ ∠MBP +∠BMP = 90°，∠ABG +∠MBP = 90°， ∴∠BMP =∠ABG．又 ∠MPB =∠AGB = 90°，AB = BM， ∴ △ABG≌△BMP， ∴ MP = BG．同理 △FQB≌△BGC， ∴ FQ = BG，∴ MP = FQ．∵ ∠FDQ =∠MDP，∠FQD =∠MPD = 90°，∴ △FDQ≌△MDP，進而 DF = DM．說明 過F作FH∥BM交BD的延長線于H．通過證明△ABC≌△HFB得HF = AB = BM，進而證明△BDM≌△HFD，得出D是FM的中點．綿陽市2009年中考備考策略建議綿陽市教科所 羅小兵縱觀近幾年的中考數學試題，從總體上看，試題沿著穩步過渡，平穩發展，適當創新的思路在進行，這與綿陽中學數學教學整體是相符合的，是經受住了高考的最后的檢驗的，這表明近幾年的中考試題的導向方向是正確的，這也成為未來命題的一個必須遵循的基本原則．具體地說，試題內容仍將以繼續關注數學的基本核心內容與數學基本能力，關注學生作為公民的數學素養，重視學生數學思想和思想方法的考察，題目的呈現形式與情景設計不斷創新和發展，并注意載體的時代性；運用開放型、應用性、信息型、實驗操作性等新題型設計題目，命題的形式豐富、活潑、多樣，以學生的發展為主，更好的體現人文精神和數學教育價值．根據以上基本特點和試題規律，結合我市中學數學教學的整體實際，現就2009年中考的復習和相應的備考策略提出如下建議，謹供老師們參考．一．總體復習建議：1．以時間為序安排教學．2009年3月中旬－2009年5月上旬進行第一輪復習（兼顧數學競賽）：全面復習 ① 概念的準確理解和實質性領悟；② 基本技能、基本方法的初步或熟練應用；③ 理解或獨立完成課本中的定理說明；④ 能簡要說出各單元題目類型及主要解法．要求是：系統整理知識、優化知識結構．2009年5月中、下旬進行第二輪復習與綜合訓練（切忌大、全、深）．① 一輪復習中的弱點；② 課本的重點；③ 中考命題的重點、熱點（數與式、方程與不等式、函數、概率與統計、等腰三角形）；④ 十套綜合訓練；⑤ 應試策略．要求：專題講座與綜合模擬訓練相結合，做好“五個轉化”，即從單一到綜合；從分割到整體；從記憶到應用；從慢速模仿到快速靈活；從縱向知識到橫向方法．2009年6月1日至考前：教師指導下的學生學習，翻看錯題本或試卷．（1）看糾錯本．檢視自己曾經出現過的失誤，找到自己知識的漏洞，思維方式的偏差，解題規范的疏漏，錯誤集中的點作為訓練重點，有目的的精選一些材料進行訓練，不讓同樣的錯誤在中考中重現．（2）歸納方法升華成經．此時還要熟練的掌握數學方法，以不變應萬變．掌握數學思想方法可從兩個方面入手，一是歸納重要的數學思想方法．例如一個代數問題，可以通過聯想與幾何問題產生溝通，使用數形結合的方法．還要注意典型方法的適用范圍和使用條件，防止形式套用導致錯誤．（3）選做真題．在沖刺階段，大家一定要正確處理研究中考試卷與選做模擬卷的關系．（4）調整狀態，進入考試時間．建議大家在復習時要看練結合．可以把做真題的時間放在與中考數學科同步的時間去做．這樣除了可以保持中考復習所需要的訓練量，還可以調節自己的生物鐘，保證中考時良好的精神狀態．看糾錯本的時候，也要注意不僅僅是用眼去看，必須隨時記錄一些感想、體會，思考自己當初出現問題的原因，必要的時候還要回歸課本，澄清一些概念．中考雖然近在眉睫，但復習仍需貼近課程標準、教材和自己的實際．只有扎實靈活，科學得法，沖刺就能事半功倍，取得理想的效果．2．以內容為序安排教學．數與式、方程與不等式、函數及其圖象、圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、統計與概率、數學專題（探索性、應用性、開放性問題）．不必用趕進度的方法對付學校月考或區市縣的診斷性考試，也不必因要診斷考試而停止原計劃應復習的內容，應始終保持一盤棋的思想．3．復習與應考策略：降低重心、夯實基礎，狠抓落實，追求高效．第一輪的復習教學、應大幅度的降低例、習題的難度，避免特殊技巧的過分招搖；綜合性的練習（含定時練習）兩周一次（小綜合練習一周最多一次）；課前（或上課時5－8分鐘）應有學生自己的讀書、勾劃重點知識方法、基本練、閱讀“說明”“小結”之板塊；例題教學時，應經常引導學生怎樣讀題、抓住關鍵、觀察特征，廣泛聯想，特別是把作教師的在做一個新題目時的思維轉化、八方聯想溝通等思維過程講（展現）出來，并要給學生留有一定的想、演、消化的時間．教師應善于將問題進行演變，前后關聯，以一當十．主要用于訓練學生運算的，教師可和學生一道，多加示范：細心、耐心．用好學生手中已有的數學教輔資料，更新、增刪題目，多研究上一年的中考試題（特別是中考大題的分布情況）和課標中的題型示例，以及這些題目所體現出來的對思維能力的要求．功夫應花在如何提高學生分析問題、解決問題的能力上．拿到一個題目，不是想著套用什么模型、方法，而是怎樣思考，要變解題教學為思維訓練，變最后的模擬練習為找感覺、練靈活、訓悟性．二、備考策略建議：1．重視“雙基”，突出核心內容《課程標準》指出，基礎知識與基本技能是學生數學學習的重點．需要說明的是，現在的基礎知識和基本技能不僅僅包括一般的概念、定理、法則、公式的基本運用，還應包括數與式的運算，解題技巧的選擇等內容，更還要包括根據生活實際對一些數據作出推斷，能應對變化過程中變量之間變化規律的把握與運用．因此在教學中一方面要要求學生熟練掌握基本的概念、定理、法則、公式及其簡單直接運用，還要引導學生學會知識遷移，能利用相關知識解決實際問題，學會解法的優化．例題1．（08年綿陽）（本題共2個小題，每小題8分，共16分）（1）計算：（－2－2 +）×－20080÷sin 45°．（2）計算：．例題2．如圖，已知反比例函數y =的圖象經過點A（1，- 3），一次函數y = kx + b的圖象經過點A與點C（0，- 4），且與反比例函數的圖象相交于另一點B.（1）試確定這兩個函數的表達式；（2）求點B的坐標.例題3．（08年山東威海）汶川大地震發生后，各地人民紛紛捐款捐物支援災區．我市某企業向災區捐助價值94萬元的A，B兩種帳篷共600頂．已知A種帳篷每頂1700元，B種帳篷每頂1300元，問A，B兩種帳篷各多少頂？核心內容，就是那些支撐整座“數學”大廈的主干知識，如數與式的運算，方程與不等式，函數，三角形、四邊形及圖形的基本變換，概率與統計等等，這些就是在新課標下的核心內容，因此幾乎是百考不厭，也在各自部分占了相當大的比例．在復習教學中，要注意把握這些主干內容，多花功夫，狠抓落實，讓學生能在熟練掌握基本知識的基礎上能形成一定數學素養，轉化為較強的解題技能．例題4．（08年山東煙臺）如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2. （1）求證：△BDE≌△BCF； （2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；（3）設△BEF的面積為S，求S的取值范圍.例題5．（07年綿陽）如圖，已知拋物線y = ax2 + bx－3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為．設⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點為E．（1）求m的值及拋物線的解析式；（2）設∠DBC = (，∠CBE = (，求sin（(－(）的值；（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．2．重視思維過程，突出思想方法在復習過程中，我們不僅僅要求學生能記住一些知識（包括公式、法則、定理等），重要的是掌握數學思想方法，如函數思想、方程思想、數形結合思想、化歸思想等，學會用數學眼光去觀察、分析、解決問題．例題6．（08年樂山）如圖是反比例函數的圖象，當－4≤x≤－1時，－4≤y≤－1（1）求該反比例函數的解析式（2）若M、N分別在反比例函數圖象的兩支上，請指出什么情況下線段MN最短（不需證明），并求出線段MN長度的取值范圍例題7．（08年成都）如圖，已知⊙O的半徑為2，以⊙O的弦AB為直徑作⊙M，點C是⊙O優弧 上的一個動點（不與點A、點B重合）.連結AC、BC，分別與⊙M相交于點D、點E，連結DE．若AB=2．（1）求∠C的度數；（2）求DE的長；（3）如果記tan∠ABC=y，=x（0例題8．（08年綿陽）如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交AB于E，交⊙O于D．求弦AD、CD的長．例題9．（07年綿陽）綿陽市“全國文明村”江油白玉村果農王燦收獲枇杷20噸，桃子12噸．現計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水果全部運往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸，一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸．（1）王燦如何安排甲、乙兩種貨車可一次性地運到銷售地？有幾種方案？（2）若甲種貨車每輛要付運輸費300元，乙種貨車每輛要付運輸費240元，則果農王燦應選擇哪種方案，使運輸費最少？最少運費是多少？需要特別說明的是，這些數學思想方法不是靠一兩節課就能幫助學生建立起來的，它的構建應該是一個長期的過程，漸進的過程，呈螺旋式上升的，因此，應在平時的教學中，經常性的有意識的滲透，逐步引導學生學會思考，善于從方法上加以理解、加以運用。3．強調聯系實際，突出問題情景數學應用題是歷年中考必考的題型，可以算作是熱點問題，每年的考試題目涉及的個數約有12個左右，分值比例占了40%左右，因此復習時，要加強這方面題型的訓練，教會學生學會用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，并將其轉化為數學模型．近幾年的數學應用題主要有以下特色：涉及的數學知識并不深奧，也不復雜，無需特殊的解題技巧，涉及的背景材料十分廣泛，涉及到社會生產、生活的方方面面；再就是題目文字冗長，常令學生抓不住要領，不知如何解題．解答的關鍵是要學會運用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，將其轉化為數學模型．近幾年來，常見的應用題類型主要有以下幾種：方程（組）型應用題；不等式（組）型應用題；函數型應用問題；統計型應用問題及統計型應用問題．例題10．（08年樂山）如圖（2），小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落點恰好在離網6米的位置上，則球拍擊球的高度h為A、 B、 1 C、 D、例題11．（08年成都）金泉街道改建工程指揮部，要對某路段工程進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的；若由甲隊先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成.（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元，乙隊每天的施工費用為0.56萬元.工程預算的施工費用為50萬元.為縮短工期以減少對住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程，則工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請給出你的判斷并說明理由.例題12．某地震救援隊探測出某建筑物廢墟下方點 C 處有生命跡象，已知廢墟一側地面上兩探測點A、B 相距 3 米，探測線與地面的夾角分別是30°和 60°（如圖），試確定生命所在點 C 的深度．（結果精確到0.1米，參考數據：）4．加強自主探究，強調動手實踐初中數學中的“探索發現”型試題是指命題中缺少一定的題設或未給出明確的結論，需要經過推斷、補充并加以證明的命題，它不像傳統的解答題或證明題，在條件和結論給出的情景中只需進行由因導果或由果導因的工作，從而定格于“條件——演繹——結論”這樣一個封閉的模式之中，而是必須利用題設大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，或由條件去探索不明確的結論；或由結論去探索未給予的條件；或去探索存在的各種可能性以及發現所形成的客觀規律．通常情景中的“探索發現”型問題可以分為如下類型：1．條件探索型——結論明確，而需探索發現使結論成立的條件的題目．2．結論探索型——給定條件但無明確結論或結論不惟一，而需探索發現與之相應的結論的題目．3．存在探索型——在一定的條件下，需探索發現某種數學關系是否存在的題目．4．規律探索型——在一定的條件狀態下，需探索發現有關數學對象所具有的規律性或不變性的題目．由于題型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：一是利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規律；二是利用反演推理法(反證法)，即假設結論成立，根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致；三是進行類比猜想，即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密的論證．但這些并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應更注重數學思想方法的綜合運用．例題13．（2007荊門市）將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設較短直角邊為1．（1）四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由：_____________________．（2）如圖2，將Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由：__________________________．（3）在Rt△BCD沿射線BD方向平移的過程中，當點B的移動距離為______時，四邊形ABC1D1為矩形，其理由是______________________；當點B的移動距離為______時，四邊形ABC1D1為菱形，其理由是______________________．(圖3、圖4用于探究)例題14．（2007年資陽）設a1＝32－12，a2＝52－32，…，an＝(2n＋1)2－(2n－1)2 (n為大于0的自然數)．（1） 探究an是否為8的倍數，并用文字語言表述你所獲得的結論；（2） 若一個數的算術平方根是一個自然數，則稱這個數是“完全平方數”. 試找出a1，a2，…，an，…這一列數中從小到大排列的前4個完全平方數，并指出當n滿足什么條件時，an為完全平方數(不必說明理由) ．例題15．在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）．請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論．（2）在圖2中，若AB＝a，BC＝b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP ？（3）設矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝4，并建立如圖3所示的直角坐標系. 設直線為，當＝60°時，求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點）？為什么？ 5．突出創新開放，培養創新能力培養創新精神和創新能力也是新課改提得很響亮的一項要求，反映在試題上主要是題目的開放性和背景的新穎性上．這類題目往往內容豐富、構思新穎、立意深刻、形式靈活，復習時，引導學生抓住問題本質，了解命題者的意圖，正確解決問題．開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結構的多樣性，它是開放題的目標；思維的多向性，它是開放題的實質；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內涵的發展性，它是開放題的認識．過程開放或結論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵學生多角度、多側面、多層次地思考問題，有助于充分調動學生的潛在能力．例題15．(05年深圳市) 如圖，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母與輔助線，要使△ABC≌△DCB，則還需增加一個條件是___________________．例題16．（07年南京市）已知點P(x，y)位于第二象限，并且y≤x+4，x，y為整數，寫出一個符合上述條件的點P的坐標：____________．例題17．（04年徐州市）如圖，⊙O1與⊙O2相交于點A、B，順次連結O1、A、O2、B四點，得四邊形O1AO2B．（1）根據我們學習矩形、菱形、正方形性質時所獲得的經驗，探求圖中的四邊形有哪些性質?（用文字語言寫出4條性質）性質1．________________________________； 性質2．________________________________；性質3．________________________________；性質4．________________________________．（2）設⊙O1的半徑為R，⊙O2的半徑為r(R＞r)，Ol，O2的距離為d．當d變化時，四邊形O1AO2B的形狀也會發生變化．要使四邊形O1AO2B是凸四邊形（把四邊形的任一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線同一旁的四邊形）．則d的取值范圍是___________________例題18．（06年莆田市）已知矩形ABCD和點P，當點P在邊BC上任一位置（如圖①所示）時，易證得結論：PA2＋PC2＝PB2＋PD2，請你探究：當P點分別在圖②、圖③中的位置時，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數量關系？請你寫出對上述兩種情況的探究結論，并利用圖②證明你的結論． 答：對圖②的探究結論為__________．對圖③的探究結論為_________． 【評析】本題也是一道結論開放題，通過閱讀題目已知條件及要求，不難探究出正確結論，但是說明理由時，有一定的難度．正確作出輔助線，創造使用勾股的條件，是解決問題的關鍵．總之，只要老師們加強研究，善于鉆研，長于思考，牢牢把握以發展學生的數學思維能力為教學核心，以提高學生數學素養為終極目標，利用好手中的教材，對教材中的題目做到人人過手，個個落實，深刻理解課程標準的基本理念，把準課標規定的內容要求，研究歷年我市中考試題及相關評價報告，品味其中透露出的規律和動向，不貪多，不圖快，腳踏實地地立足學生實際，努力提高課堂教學效益，我們相信，明年的勝利一定會屬于你！初中數學競賽大綱（2006年修訂試用稿）中國數學會普及工作委員會制定（2006年8月第14次全國數學普及工作會議討論通過）數學競賽活動對于開發學生智力、開拓視野、促進教學改革、提高教學水平、發現和培養數學人才都有著積極的作用。這項活動也激勵著廣大青少年學習數學的興趣，吸引他們去進行積極的探索，不斷培養和提高他們的創造性思維能力。數學競賽的教育功能顯示出這項活動已成為中學數學教育的一個重要組成部分。為了使全國數學競賽活動持久、健康地發展，中國數學會普及工作委員會于1994年制定了《初中數學競賽大綱》，這份大綱的制定對全國初中數學競賽活動的開展起到了很好的指導作用，使我國初中數學競賽活動日趨規范化和正規化。新的課程標準的實施在一定程度上改變了初中數學課程的體系、內容和要求。同時，隨著國內外數學競賽活動的發展，對競賽活動所涉及的知識內容、思想和方法等方面也有了一些新的要求。為了使新的《初中數學競賽大綱》能夠更好地適應初中數學教育形勢的發展和要求, 經過廣泛征求意見和多次討論, 中國數學會普及工作委員會組織了對《初中數學競賽大綱》的修訂。本大綱是在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿） 》的精神和基礎上制定的。在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿） 》中提到：“……要激發學生的學習潛能，鼓勵學生大膽創新與實踐；……要關注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發展；……” 由于各種不同的因素，學生在數學知識、技能、能力方面和志趣上存在差異，教學中要承認這種差異，區別對待，因材施教，因勢利導。應根據基本要求和通過選學內容，適應學生的各種不同需要；對學有余力的學生，要通過講授選學內容和組織課外活動等多種形式，滿足他們的學習愿望，發展他們的數學才能；鼓勵學生積極參加形式多樣的課外實踐活動。學生的數學學習活動應當是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程，不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。教師要根據學生的不同基礎、不同水平、不同興趣和發展方向給予具體的指導，引導學生主動地從事數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學的思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的基本要求。在競賽中對同樣的知識內容，在理解程度、靈活運用能力以及方法與技巧掌握的熟練程度等方面有更高的要求。“課堂教學為主，課外活動為輔”也是應遵循的原則。因此，本大綱所列的課程標準外的內容充分考慮到學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，重在培養學生的學習興趣、學習習慣和學習方法，使不同程度的學生在數學上都得到相應的發展，并且要貫徹“少而精”的原則，處理好普及與提高的關系。1．數整數及進位制表示法，整除性及其判定。素數和合數，最大公約數與最小公倍數。奇數和偶數，奇偶性分析。帶余除法和利用余數分類。完全平方數。因數分解的表示法，約數個數的計算。有理數的概念及表示法，無理數，實數，有理數和實數四則運算的封閉性。2．代數式綜合除法、余式定理。因式分解。拆項、添項、配方、待定系數法。對稱式和輪換對稱式。整式、分式、根式的恒等變形。恒等式的證明。3．方程和不等式含字母系數的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布。含絕對值的一元一次方程、一元二次方程的解法。含字母系數的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法。含絕對值的一元一次不等式。簡單的多元方程組。簡單的不定方程（組）。4．函數y =︱ax + b︱，y =︱ax2 + bx + c︱及 y = ax2 + b︱x︱+ c的圖象和性質。二次函數在給定區間上的最值，簡單分式函數的最值。含字母系數的二次函數。5．幾何三角形中的邊角之間的不等關系。面積及等積變換。三角形的心（內心、外心、垂心、重心）及其性質。相似形的概念和性質。圓，四點共圓，圓冪定理。四種命題及其關系。6．邏輯推理問題抽屜原理及其簡單應用。簡單的組合問題。簡單的邏輯推理問題，反證法。極端原理的簡單應用。枚舉法及其簡單應用。高中數學競賽大綱（2006年修訂試用稿）中國數學會普及工作委員會制定（2006年8月第14次全國數學普及工作會議討論通過）從1981年中國數學會普及工作委員會舉辦全國高中數學聯賽以來，在“普及的基礎上不斷提高”的方針指引下，全國數學競賽活動方興未艾，每年一次的競賽活動吸引了廣大青少年學生參加。1985年我國又步入國際數學奧林匹克殿堂，加強了數學課外教育的國際交流，20年來我國已躋身于國際數學奧林匹克強國之列。數學競賽活動對于開發學生智力、開拓視野、促進教學改革、提高教學水平、發現和培養數學人才都有著積極的作用。這項活動也激勵著廣大青少年學習數學的興趣，吸引他們去進行積極的探索，不斷培養和提高他們的創造性思維能力。數學競賽的教育功能顯示出這項活動已成為中學數學教育的一個重要組成部分。為了使全國數學競賽活動持久、健康地發展，中國數學會普及工作委員會于1994年制定了《高中數學競賽大綱》。這份大綱的制定對高中數學競賽活動的開展起到了很好的指導作用，使我國高中數學競賽活動日趨規范化和正規化。近年來，課程改革的實踐，在一定程度上改變了我國中學數學課程的體系、內容和要求。同時，隨著國內外數學競賽活動的發展，對競賽試題所涉及的知識、思想和方法等方面也有了一些新的要求。為了使新的《高中數學競賽大綱》能夠更好地適應高中數學教育形勢的發展和要求, 經過廣泛征求意見和多次討論，中國數學會普及工作委員會組織了對《高中數學競賽大綱》的修訂。本大綱是在教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》的精神和基礎上制定的。該教學大綱指出：“要促進每一個學生的發展，既要為所有的學生打好共同基礎，也要注意發展學生的個性和特長；……在課內外教學中宜從學生的實際出發，兼顧學習有困難和學有余力的學生，通過多種途徑和方法，滿足他們的學習需求，發展他們的數學才能。”學生的數學學習活動應當是一個生動活潑、富有個性的過程，不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導閱讀自學、自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性。教師要根據學生的不同基礎、不同水平、不同興趣和發展方向給予具體的指導。教師應引導學生主動地從事數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學的思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。對于學有余力并對數學有濃厚興趣的學生，教師要為他們設置一些選學內容，提供足夠的材料，指導他們閱讀，發展他們的數學才能。教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的基本要求。在競賽中對同樣的知識內容，在理解程度、靈活運用能力以及方法與技巧掌握的熟練程度等方面有更高的要求。“課堂教學為主，課外活動為輔”也是應遵循的原則。因此，本大綱所列的內容充分考慮到學生的實際情況，旨在使不同程度的學生都能在數學上得到相應的發展，同時注重貫徹“少而精”的原則。全國高中數學聯賽全國高中數學聯賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容，但在方法的要求上有所提高。全國高中數學聯賽加試全國高中數學聯賽加試（二試）與國際數學奧林匹克接軌，在知識方面有所擴展；適當增加一些教學大綱之外的內容，所增加的內容是：1．平面幾何幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的幾個特殊點:旁心、費馬點，歐拉線。幾何不等式。幾何極值問題。幾何中的變換：對稱、平移、旋轉。圓的冪和根軸。面積方法，復數方法，向量方法，解析幾何方法。2．代數周期函數，帶絕對值的函數。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數。遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式。第二數學歸納法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數。復數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根。多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數多項式的有理根*，多項式的插值公式*。n次多項式根的個數，根與系數的關系，實系數多項式虛根成對定理。函數迭代，簡單的函數方程*3．初等數論同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余類，二次剩余，不定方程和方程組，高斯函數 [ x ]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法，歐拉定理*，孫子定理*。4．組合問題圓排列，有重復元素的排列與組合，組合恒等式。組合計數，組合幾何。抽屜原理。容斥原理。極端原理。圖論問題。集合的劃分。覆蓋。平面凸集、凸包及應用*。注：有*號的內容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。《數學競賽大綱（2006年修訂試用稿）》修訂說明中國數學會普及工作委員會（2006年8月）為了使全國數學競賽活動持久、健康地開展，中國數學會普及工作委員會于1994年制定了《高中數學競賽大綱》和《初中數學競賽大綱》（以下簡稱大綱），大綱的制定對全國數學競賽活動的開展起到了很好的指導作用，使全國數學聯賽日趨規范化和正規化。近年來，由于中學課程改革的實踐在一定程度上改變了我國中學數學課程的體系、內容和要求；同時，隨著國內外數學競賽活動的發展，對競賽試題所涉及的知識、思想和方法等方面也有了一些新的要求，數學競賽大綱的修訂就被提到中國數學會普及工作委員會的議事日程上來了。2005年9月中國數學會普委會對修訂數學競賽大綱工作做出了部署，要求數學競賽大綱修訂試用稿在一年內完成。為此普委會組織成立了由華中師范大學數學與統計學學院陳傳理教授牽頭的大綱修訂編寫組。2005年9月開始，大綱修訂編寫組召開了多種形式的學術研討會，征求各方面的意見和建議，明確了修訂大綱的方向和重點，編寫出了大綱修訂初稿。2005年12月中國數學會普委會在武漢召開了普委會主任委員會議，審查通過了大綱修訂初稿。2006年1月中國數學會普委會將大綱初稿發至各省、市、自治區數學會普委會，征求各地數學會和基層數學教師對初稿的意見，依靠集體的力量解決修訂中的難點問題，力求加強大綱在實施中的可操作性。在綜合各地數學會提出的意見之后，大綱修訂編寫組于2006年7月制定出了大綱修訂稿。2006年8月下旬中國數學會普委會在浙江省溫州市組織召開了第十四次全國數學普及工作會議。普委會正副主任、專家組成員和各省、市、自治區數學會普及工作委員會負責人等共47人出席了會議。會議期間與會代表對大綱修訂稿進行了認真的討論審議和修改，使大綱更加準確、規范、明了、全面。會議一致通過了《高中數學競賽大綱（2006年修訂試用稿）》和《初中數學競賽大綱（2006年修訂試用稿）》，并決定予以頒布。根據此次會議的意見，這兩個競賽大綱將在2007年數學競賽中試用一年，然后再進一步修訂完善。四川省數學競賽委員會關于四川省參加全國高中數學聯賽的修改意見為了貫徹中國科協關于做好全國五學科競賽組織工作的通知精神，確保全國高中數學聯賽順利進行，進一步做好四川省參加全國高中數學聯賽的各項工作。經四川省數學奧林匹克研討會充分研究，并經四川省數學競賽委員會研究決定，對四川省參加全國高中數學聯賽工作提出如下改進意見：1．為確保全國高中數學聯賽的安全保密工作，自2007年起，四川省只在成都市設立一個考場，全省參賽人數控制在800人以內，參賽學生為預賽的一、二等獎獲得者。2．全國高中數學聯賽四川賽區的預賽即四川省高中數學聯賽于每年5月中旬舉行。由四川省數學競賽委員會組織命題，試題以高中數學教學大綱為準，相當于高考數學試題的中、難度水平，有利于廣大學生拓寬視野，促進素質教育。學生自愿報名參加。全省在同一時間由各市、州統一組織競賽。競賽完后由各市、州集中評卷，將其中10％的優秀試卷上報四川省數學競賽委員會，由四川省數學競賽委員會組織專人復查。從中選出一等獎300名、二等獎500名、三等獎700名，由四川省數學競賽委員會頒發獲獎證書。預賽的一、二等獎獲得者即為參加全國高中數學聯賽的選手。3．全國高中數學聯賽于每年十月中旬舉行，四川省集中統一考試、評卷，然后上報中國數學會審核。四川賽區前40名為一等獎，一等獎者同時獲保送上大學資格，由中國科協頒發證書，第41名至150名為二等獎，第151名至250名為三等獎。二、三等獎由中國數學會頒發證書。4．為表彰獲獎學生的指導老師，除為獲獎學生的指導老師頒發證書外，特為累計培養三名學生入選冬令營的老師頒發中國數學奧林匹克高級教練員證書；為累計培養二十名選手獲省級一等的老師頒發中國數學奧林匹克一級教練員證書；為累計培養三十名二等獎以上的老師頒發中國數學奧林匹克二級教練證書。等級教練員證書由本人申請，提供相關業績資料，經省數學會審批后于每年省數學會年會上頒發。5．各市、州按參加四川省數學競賽學生人數，每人收取3元上繳四川省數學競賽委員會，用于命題、制卷、復查、評獎等。各地組織評卷所需費用可酌情收取8－10元。獲準參加全國高中數學聯賽的選手另繳考務費；個別有困難的參賽學生可申請一定補助。6．四川省數學競賽委員會重申中國科協青發字 [ 2006 ] 028號文件“關于重申做好2006年全國五項學科競賽組織管理工作的通知”精神，確保2007年全國高中數學聯賽的順利進行。 四川省數學競賽委員會 2006年11月同位角、內錯角、同旁內角【教學目標】（1）了解兩條直線和第三條直線相交所成角的位置關系特征，理解同位角、內錯角、同旁內角的概念，能在簡單圖形中識別同位角、內錯角、同旁內角．（2）經歷同位角、內錯角、同旁內角等概念的歸納過程，增強觀察、分析、交流和表達能力．【指導思想】在不完整或背景復雜的“三線八角”圖中識別同位角、內錯角、同旁內角，是學生學習的難點．在學習訓練中，不要出現過于復雜的圖形．【教學建議】（1）關于同位角、內錯角、同旁內角的共同特征，教學時可先讓學生歸納，然后再總結．討論這三類交的共同特征，有利于學生認識它們與鄰補角、對頂角的區別，也是對學生進行學法指導．（2）盡可能利用多媒體或其他教具、學具，把“三線八角”放在生動的圖形中，讓學生在運動中尋找不變的位置關系，提高識別能力．如圖，在同一平面內，直線l與直線a、b分別相交于點P、Q，這樣的情形可以說成“直線a、b被直線l所截”，直線l叫做截線．像這樣的圖形簡稱為“三線八角”圖．圖中的對頂角有幾對？鄰補角有幾對？直線a、b被直線l所截，所得到的八個角中，每兩個角之間的位置關系除了對頂角與鄰補角外，還有其他位置關系嗎？觀察1 ∠1與∠5有怎樣的位置關系？∠1與∠5都在直線l的同旁，又分別處在直線a、b相同一側的位置．具有這樣位置關系的一對角叫做同位角（corre ponding angles）．∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8也分別是同位角．觀察2 ∠2與∠8有怎樣的位置關系？∠2與∠8在截線l的兩旁，又在直線a、b之間．具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角（altemate interior angles）．∠3與∠5也是內錯角．觀察3 ∠2與∠5有怎樣的位置關系？∠2與∠5在截線l的同旁，并且這兩個角在直線a、b之間．具有這樣位置關系的一對角叫做同旁內角（interiorangbes on the same side）．∠3與∠8也是同旁內角．“三線八角”圖這一名稱的引入，主要是為了表達的簡便．“三線八角”圖中，兩條直線被第三條直線所截，要強調這條截線．研究“三線八角”圖，主要是為研究平行線做準備，因此要避免人為地故意將“三線八角”圖復雜化，造成學生的學習困難．觀察1、2、3是為形成同位角、內錯角、同旁內角的概念，分別安排的活動．要讓學生通過觀察、分析和交流，對指定的各對角的位置關系特征進行歸納，然后給出概念，再找出其他同類角．“……都在截線l的同旁，又分別在直線a、b相同一側的位置，……”中，“分別”二字絕對不能缺少．同位角、內錯角、同旁內角有以下共同的特征：在每對角中，兩個角的頂點不重合；每個角有一條邊在截線上．例1 如圖，直線a、b被直線l所截，分別指出圖中的同位角、內錯角、同旁內角，并任選一對角說明它們是哪兩條直線被哪一條直線所截得到的？解 同位角有 ∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7，∠6與∠8． 內錯角有 ∠2與∠7、∠3與∠6． 同旁內角有 ∠2與∠3、∠6與∠7．其中∠1與∠3是直線a，b被直線l所截得到的同位角．例題中的圖形簡單明白，主要是幫助學生理解同位角、內錯角、同旁內角的概念和規范表達．練習1．如圖，∠1與∠2是同位角嗎？∠1與∠3呢？2．判斷題：（正確的在括號內填入“√”，錯誤的填入“×”）（1）圖中，∠D與∠5是同位角（ ），∠D與∠ACE是同位角（ ）；（2）圖中，∠1與∠5是內錯角（ ），∠2與∠4是內錯角（ ）；（3）圖中，∠B與∠D是同旁內角（ ），∠2與∠3是同旁內角（ ）．3．（1）指出圖（1）中的同位角、內錯角、同旁內角；（2）指出圖（2）中的同位角，并說明每對同位角是哪兩條直線被哪條直線所截得到的？3．（1）同位角是∠1與∠3，內錯角是∠2與∠4，同旁內角是∠2與∠3．（2）同位角有∠1與∠B，∠2與∠C，∠A與∠3，∠A與∠4；其中∠1與∠B是直線DE、BC被直線AB所截，∠2與∠C是直線DE、BC被直線AC所截，∠A與∠3是直線DE、AC被直線AB所截，∠A與∠4是直線DE、AB被直線AC所截． 圖形運動產生函數 四川省綿陽市教育科學研究所 張繼海 621000【考試原題】如圖，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，點P在矩形的邊DC上由D向C運動．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形．設DP = x，△ADP和矩形重疊部分（陰影）的面積為y．甲 乙 丙 丁（1）如圖丁，當點P運動到與C重合時，求重疊部分的面積y；（2）如圖乙，當點P運動到何處時，翻折△ADP后，點D恰好落在BC邊上？這時重疊部分的面積y等于多少？（3）閱讀材料：已知銳角(≠45°，tan2( 是角2( 的正切值，它可以用角( 的正切值tan( 來表示，即 （(≠45°）．根據上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍．（提示：在圖丙中可設∠DAP = ( ）【2008年綿陽市中考第25題】【編制過程】一、編題目的最初動機在近幾年的中考試題中，以二次函數為紐帶研究函數性態、圖形的相似及探索性問題作為壓軸題的情況比比皆是，結構紛呈，難度各異．若用一次函數或反比例函數來構作壓軸題，其知識容量和寬度有限，無法滲透更多的數學思想方法，當加入一些幾何元素（如三角形，四邊形或圓）時，則問題的編造痕跡重，顯得生硬，有時還會超難超前．為了拓寬命題思路，力求在常規圖形中，加進運動因子（函數變化思想），對運動到不同情況的研究，就會對運動因子的整體屬性有較全面的理解，直至掌握．基于上述這些原因，我們把分段函數作為2008年高中招生考試壓軸題之素材．在幾何圖形、運動變換、面積、相似、全等、勾股定理、閱讀應用等方面著墨，全面考查學生的數學素養和能力．二、編制題目的起點如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC 邊的點F處，已知折痕AE = 5，且．（1）△AFB與△EFC有什么關系？（2）求矩形ABCD的周長．【人教課標版九年級下冊102頁第10題】解析 （1）由題意可得 △ADE≌△AFE，所以AF = AD，EF = DE，(AFE =(D = 90(．∵ F在BC上，∴ (AFB +(EFC = 90(．而在 Rt△ABF中，有 (BAF +(AFB = 90(， ∴ (EFC =(BAF，因此 Rt△AFB∽Rt△EFC．（2）在Rt△EFC中，∵ ，于是得 ．∴ 設CE = 3a，則 EF = 5a，進而 CF = 4a，有 DE = 5a，AB = CD = CE + DE = 8a．由（1）得 ，即 ，得 AF = 10a，于是 AD = 10a，在Rt△ADE中，由 AD2 + DE2 = AE2，，得， ∴ a = 1．故矩形ABCD的周長為 2（AD + CD）= 2×18a = 36（cm）．說明 這個幾何圖形中含有三角形全等與相似，三角函數，勾股定理，四點共圓，面積等關系．三、編制的策略與方法（一）策略1．改變已知條件．如改變給出已知條件的方式、數據．由于考試原題的求解過程中將多次用到直角三角形的邊角關系及根式問題，故將已知條件簡單化、明顯化，直接給出了相鄰兩條邊的長．2．增加活潑因子，將題目條件與結論適當開放．教材上的起點題目，條件確定，圖形唯一，兩個結論及解答也固定有序，為了提高題目的內涵量，增加活潑的因子（運動）．在運動狀態下，翻折成的陰影部分也隨之變化，這樣題目條件就動起來了，圖形，結論（形式）等均多種多樣．3．設置參變數，將幾何問題代數化．幾何圖形的動態變化，很直觀、形象．若設置一些基本的參變量，通過對圖形（點、線、角）位置關系和度量關系的運動變化情況的研究，尋找出這些基本參變數之間的關系（這些關系可能是函數、也可能是方程等），然后用代數方法（函數思想和方程思想）去定量研究基本參變量的內在規律．4．引進閱讀材料，暗示解題指向，提升試題的創新性，避免繁復的根式運算．（二）方法在計算機上畫若干個大小相等的矩形，過點A作直線AP（P是動直線AP與邊DC（或CB）的交點），翻折△ADP（或梯形ADCP），則△ADP（或梯形ADCP）和原矩形產生的重疊部分（陰影）的面積y先由小變大，再由大變小（見問題2）．為了探索出陰影部分的變化規律，先試算了幾種特殊情況（甲、乙、丁）或線段DP = x為自變量的情形（或 ∠DAP = ( 為自變量）．但在丙圖中，若用線段作自變量來求y關于x的函數關系時，要用到較多的根式運算，超過了課程標準的要求，為了克服這一弊端，引進了閱讀材料，將角作為中間量，以降低運算要求．四、問題與克服問題1 在編制題目的起點的基礎上，深化演繹，考查：以AE為直徑畫圓O，求BC被⊙O截得的弦長．設AE的中點為O，連結OD、OF，則OD、OF是兩個全等直角三角形斜邊上的中線，∴ OD = OF = OA = OE，故四點A、D、E、F在以O為圓心，AE為直徑的圓上．顯然OF與BC不垂直（否則F應是BC的中點），所以⊙O與BC還有一個交點，設為G，過O作OK⊥BC，垂足為K，則OK平分FG．易知 ，．∴ BC被⊙O截得的弦長FG = 2FK == 2．本問題在教材起點題目的基礎上有一定的深化，所用的基礎知識與方法增加了，雖然綜合但很常規，題目局限于幾何體系內，且難度顯得不足．問題2 點P在由D→C→B的運動過程中，將生成七種可能的圖形（如下），然后一一研究，分別考查．其中第一、四、六、七等四種情形十分簡單，第三、五等兩種情形頗為麻煩且兩者比較類似．若以此作為考題，有些羅嗦、重復．（一） （二） （三） （四）（五） （六） （七） 問題3 在問題2的基礎上，去掉第五、六、七等三種情形，留下第一至四種圖形，運動產生的圖形過程簡潔清晰，運算、考查內容也不交叉，比較理想．但求解第三種情形時，卻要用到許多的根式變形運算，超過了課標與教材的要求，不利于教學導向．由于人教版教科書安排了28個“閱讀與思考”等豐富多彩的選學內容，這些內容與必學內容相得益彰，既開闊了學生的視野，又增加了教材的彈性和選擇性，所以為避免“超標”的根式運算，我們引進了閱讀材料，暗示解題思路，從而提升了試題的創新性．為防止理解誤差，把tan( 的平方寫成（tan(）2．【得與失】2008年綿陽市中考第25題是一道“幾何搭橋、函數唱戲”的綜合性壓軸題．圖形對稱優美，文字表述簡練，內涵豐富，思維量大，解法多樣．設點P為邊DC上的一動點，DP = x，把重疊部分的面積y與x聯系起來，考查學生函數知識的應用能力．第（1）（2）問兩次定量研究、試算，動中有靜，靜中含動，通過變與不變相互轉換為后面打好鋪墊．第（3）問引入一段閱讀材料，主要考查不同情況下（分類討論的思想）得到不同的函數解析式（分段函數）．當5＜x＜8時，在Rt△PCF中，有CF =（8－x）tan2(，而S△PCF =· PC · CF =（8－x）tan2(，需要消去(，為此合理運用（(≠45°），tan( =，把tan2( 與x聯系起來，用到了消元的思想．整個題目有較大的運算量，考查學生的運算能力．在計算重疊部分的面積時采用了分割法，層層轉化，所以該題綜合考查了初中階段主要的四大數學思想和學生的運算能力及運用所學知識分析問題的能力，為篩選優秀學生提供了很好的素材．該題還有一個特點是提供了較大的閱讀量和信息量（圖文），需要學生認真閱讀理解題意，選擇有用信息，排除干擾，而且只有學生具備了較好的數學應用意識，較強的靈活轉化能力才能迎刃而解，同時，保證了問題情景的新穎性，設問構思的創新性．抽查的情況是，第（1）問得分率為0.328，第（2）問得分率為0.231，第（3）問得分率為0.142．全題實測得分率為0.221，比預設的0.3的難度系數低0.079，基本達到了預期的考查目的．解答了的學生的答卷思路開闊，過程簡明，第（1）、（2）問都有與參考解答不同的情況出現；但不少學生由于時間關系留了空． 不足的是，試題的運算量和書寫量偏大；第（3）問當5＜x＜8時的結論形式復雜，結論形式和結構缺乏可再研究性．（張繼海 四川省綿陽市教育科學研究所 621000 [email protected] 13086405169 0816-2294353）初中數學結構圖實數的概念【教學目標】（1）積極參與問題引導下的思考和操作活動，體驗發現無理數的過程，知道無理數是客觀存在的數．（2）通過對比分析，知道無理數是無限不循環小數；會識別一個數是否是無理數．（3）了解數的范圍從整數到有理數、再到實數的擴展過程，知道實數的分類；體會分類思想．【指導思想】本節設計了一系列問題，引導學生進行探究和思考，逐步展開教學內容，引出有關概念．在教學中，要充分體現“問題驅動”的指導思想．如果把整數看作分母為1的分數，那么有理數就是用兩個整數之比表示的分數：（其中q≠0）．從古埃及到古代中國的數學，都認為任何一個量，總可以有理數來表示．但是，出生于公元前約470年的古希臘數學家希帕斯（Hippasus）發現了一種實際存在的量，卻不能表示為兩個整數之比．當時，希帕斯所在的畢達哥拉斯學派認為這不合常理，是一種怪異，傳說他們把希帕斯扔到大海淹死了．后來人們知道，這是一個偉大的發現，是人類理性智慧的勝利．現在讓我們隨著前人的腳步，通過對下列問題的探索和思考，初步認識實數，同時學習人類理性精神的光輝典范．問題1 面積為2的正方形存在嗎？操作 如圖所示，把邊長為1的兩個正方形，分別沿著它們的一條對角線剪開，得到四個形狀一樣的直角三角形，它們的面積都是；再把這四個直角三角形拼成一個四邊形ABCD．由以上操作可知，四邊形ABCD是面積為2的正方形．問題2 正方形ABCD的邊長怎樣表示？講述古希臘數學家希帕斯發現無理數的故事，說明引入無理數是實際的需要；但發現無理數經過了艱難的歷程，它是人類理性思維和科學精神的偉大勝利．同時強調，現在我們學習無理數，更要學習其中所體現的人類理性精神．問題1 提出面積為2的正方形存在性問題，引起對于數的擴展是實際需要的思考．通過拼圖操作，得到一個面積為2的正方形，真實感受問題思考的現實意義．問題2 通過本問題的討論，說明實際存在這樣的線段，它的長度需要用滿足條件“平方等于2”的數來表示，而且還有類似的情況．使學生感受到引進一類新數的必要性．分析 設正方形ABCD的邊長為x，那么x2 = 2，即x是這樣的一個數，它的平方等于2． 這個數所表示的正方形ABCD的邊長，是現實世界中真實存在的線段的長度．由于這個數和2有關，我們現在用（讀作“根號2”）來表示．同樣，還有面積為3、5等的正方形，其邊長分別用（讀作“根號3”）、（讀作“根號5”）等來表示．問題3 是有理數嗎？前面已經說過有理數就是分數，我們還知道一個分數可以表示為有限小數（包括整數），或者表示為無限循環小數．但是，當年希帕斯發現這個數肯定不能表示為分數．也就是說，不是有理數，那就不能是有限小數，也不能是無限循環小數．于是，只能是“無限不循環小數”．這是一種新的“數”，是我們要研究的對象．說明 不是有理數的理由見閱讀材料．問題4 無限不循環小數還有嗎？事實上，面積為3、5、6、7、8，10等的正方形的邊長都是無限不循環小數，我們熟悉的圓周率( 也是無限不循環小數．此外，我們還可以自已構造一些無限不循環小數．例如：0.101 001 0001 00001 …（它的位數無限，相鄰兩個1之間0的個數依次加1個）；0.123 456 789 101 112 131 415 161 718 192 021 …（連續不斷地依次寫正整數）等．無限不循環小數的個數無窮無盡，我們在后面的學習中將進一步認識．無限不循環小數叫做無理數（irrational number）． 問題2 這里“”的出現先于定義，暫時只作為一個記號，只要求形式地認識、會讀，其含義在后面詳述．對于、、這樣的數，只是讓學生有一個感性認識，此處不深究．問題3 對不是有理數，只要簡單地說明，詳細的推理不作要求，有興趣的學生可參見閱讀材料《無理數的由來》．問題4 把無限不循環小數叫做無理數，是與有理數的意義進行比較后，通過理性思考得到的，無需作更多的解釋．構造無限不循環小數的方法有很多，可以再列舉一些．無理數也有正、負之分．如、(、0.101 001 0001 … 等這樣的數叫做正無理數（有時在這些數的前面加上“+”號）．如－、－(、0.101 001 0001 … 等這樣的數叫做負無理數（這些數前面的“－”號不可省略）．只有符號不同的兩個無理數，如與－，( 與－(，它們互為相反數．有理數和無理數統稱為實數（real number）．實數的分類倒1 將下列各數放人圖中適當的位置：0、－2、、4、3.141 6、、、、(、0.373 773 7773…（它的位數無限且相鄰兩個“3”之間“7”的個數依次加1個）．解 各數放置如下．（略）例1是為幫助學生理解實數系中各類數的概念．題中是一個無限循環小數，學生容易將它歸入無理數范疇．要指出任何分數都是有理數，防止類似的錯誤發生．這里提及相反數，只是針對特殊的數所作的說明．無理數的相反數的概念，在“實數運算”一節有定義．建議將實數的分類方法與有理數的分類方法進行比較．實數的分類能幫助學生更好地認識實數，了解實數系統的框圖表示．在此要幫助學生了解數的分類應遵循的規則，領會分類思想．例2 判斷下列說法是否正確，并說明理由：（1）無限小數都是無理數；（2）無理數都是無限小數．（3）正實數包括正有理數和正無理數．（4）實數可以分為正實數和負實數兩類．解 （1）無限小數包括無限循環小數和無限不循環小數，其中無限循環小數是有理數，所以（1）不正確．（2）無理數是無限不循環小數，當然也是無限小數，所以（2）正確．（3）正實數接有理數和無理數分類，可分為正有理數和正無理效．所以（3）正確．（4）因為零是實數，但它既不是正實數，也不是負實數，而在（4）的實數分類中沒有把零包括在內，所以（4）不正確． 例2是為幫助學生進一步理解實數系中各類數的概念．題中（3）、（4）兩小題，建議與實數的分類作比較分析，容易得出正確結論．在對實數分類時要注意有理數的表示形式，整數可看作分母為1的分數．練習1．回想以前學過的有理數分類方法，考慮實數還可以怎樣分類？2．將“負整數”、“有理數”、“整數”，“分數（分母不為1）”、“無理數”、“自然數”、“實數”分別填入后面合適的框內（p、g是整數）．無理數的由來在2400多年前，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的弟子希帕斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實：以一個正方形的邊為長度單位去量這個正方形的對角線，這一對角線的長度不能用有理數表示．希帕斯的發現，第一次向人們揭示了原來的有理數存在缺陷，說明并不是任意線段的長度都能用有理數來表示，也說明有理數并沒有布滿數軸，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”．這一偉大的發現，引起了人們對一種新的數的研究，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向重視理性分析和論證，推動了公理幾何學與邏輯學的發展，并且孕育了微積分的思想萌芽．這種新的數是無限不循環小數，被稱為無理數．數學家經過長期的堅持不懈的努力，在這一認識的基礎上逐步建立了實數的理論．為什么不可能是一個有理數？現在我們用代數方法來解答這個問題．假設是一個有理數，那么可以得到，其中a，b是整數，a與b互素，且b≠0．這時，就有，于是得 a2 = 2b，則a是2的倍數．再設a = 2m，其中m是整數，就有（2m）2 = 2b，也就是b2 = 2m2．所以b也是2的倍數．可見a與b不是互素的，與前面所假設的a與b互素相矛盾．因此不可能是一個有理數． 此閱讀材料，簡要介紹了無理數的發現過程及其意義，說明了實數理論建立的艱難歷程；還用代數方法證明了不可能是有理數，對課本中提出的問題“是有理數嗎”進行了解答． 關于無理數的發現的有關史料，是對學生進行科學精神和人文精神教育的好素材．因此，不僅要指導學生閱讀這篇材料，而且有條件的學校還應組織有興趣的學生進一步查找相關資料，豐富他們的認識，并采用適當的方式交流學習體會．義務教育初中數學新課標實驗教材的研究與編寫（教科書新整體介紹）（新）課程教材研究所 田載今 李海東為了全面貫徹黨的教育方針，貫徹落實《中共中央國務院關于深化教育改革全面推進素質教育的決定》，培養適應21世紀現代化建設需要的社會主義新人，適應時代發展的需要，為學生的終身發展奠定基礎，課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心聘請中國科學院院士、著名數學家林群先生為主編，與數學教育理論工作者、中學數學教研員和數學教師、數學教材專業研究和編寫工作者共同成立了課題組，依據教育部《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》，編寫義務教育初中數學新課標實驗教材。幾年來，課題組堅持科研領先，進行了大量的理論學習、課程標準研讀、數學教學調研等，積累了許多一手的資料，對我國數學教學的歷史與現狀，國際數學教育的改革與發展情況等進行了深入的研究和討論。在堅持我國數學教育優良傳統的前提下，認真處理好繼承、發展、創新的關系，編寫的人教版義務教育課程標準數學實驗教材已經通過了教育部中小學教材審定委員會審查。現將我們編寫這套教材的一些體會以及編寫教科書中的幾個問題與大家作一個介紹，以便交流、探討。?一、編寫的指導思想?義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧的發展，而教材為學生的學習活動提供了基本線索，是實施課程目標、實施教學的重要資源。因此，如何使教材能適應社會發展的需要，使教材能遵循學生學習數學的心理規律，為學生搭建良好的發展平臺，為教師進行創造性的教學創造條件，是我們重點研究的問題。在編寫教材時，我們遵循了如下的指導思想：?1．以“三個代表”重要思想為指導，遵照鄧小平同志關于教育的“三個面向”的指示，根據《中共中央國務院關于深化教育改革全面推進素質教育的決定》《國務院關于基礎教育改革與發展的決定》的精神，全面貫徹黨的教育方針，大力推進素質教育。?2．貫徹教育部《基礎教育課程改革綱要（試行）》，積極體現《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》的基本理念，依據“標準”規定的教學目標，參照“標準”中的編寫建議，在科學研究的基礎上，從教學改革的實際出發編寫教材。?3．正確處理數學、社會、學生三者的關系，適應科技發展的形勢，關注社會進步的需求，更新對數學基礎知識和基本技能的認識，著眼于學生的長遠發展，注重培養理性精神和創新意識, 提高學生發現、提出、分析和解決問題的能力。 ?4．遵循認知規律，努力為學生創造自主探究、合作交流的空間，為教師營造教學創新的氛圍，為師生互動式教學提供豐富的資源。促進現代信息技術與數學課程的整合，改進教材的呈現方式，提高學生學習數學的興趣。?二、教科書特色??這套教科書充分注意體現普及性、基礎性和發展性，不僅考慮數學本身的特點，更注意遵循學生學習數學的規律，讓學生在掌握數學基礎知識的同時，學會數學地思考，學會應用數學知識解決一些實際問題，培養創新精神和實踐能力、形成良好的情感態度與價值觀，為終身發展奠定良好的基礎。在編寫時，我們力求突出以下特點：?（一）使教科書成為反映科學進步、介紹先進文化的鏡子?1．重視科學，關注文化?重視數學的科學價值，同時關注其文化內涵。通過教科書這面鏡子的反射，結合教學內容生動活潑地介紹古今數學的發展，深入淺出地反映數學的作用（工具作用和人文教育作用），使學生逐步地認識數學的科學價值和人文價值，提高科學文化素養。?2．重視基礎，返璞歸真?重視中學數學在數學科學和其他科學中的基礎作用，強調基礎知識和基本方法在實現從算術到代數、從實驗幾何到論證幾何、從常量數學到變量數學、從確定性數學到隨機性數學等重大轉折中的作用。引導學生認識初等數學的本質，返璞歸真，為進一步學習數學和應用數學打好基礎。?3．重視思想，立足發展?重視滲透和揭示基本的數學思想方法，更好地反映數學內部的聯系以及它與相關學科的聯系，注意教科書內容的開放性和多元性，使學生經歷實驗、探索的過程，體驗如何運用數學思想方法分析和解決問題，培養學習數學和應用數學的能力，播撒“尊重科學、熱愛科學、善于思考、勇于創新”的種子，搭建可持續發展的平臺。?（二）突出學生的主體地位，體現學習方式的轉變?1．貼近生活，注重過程?內容素材的選取，要力求貼近學生的生活實際和社會現實；教科書的組織安排，要注重知識的發生發展過程、學生的認知過程和情感體驗過程，為構建豐富的學習環境提供重要資源。?2．發展思維，引導探索?內容的呈現要努力體現數學思維規律，引導學生積極探索，使他們經歷“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動的基本過程，優化思維品質，提高數學思維能力，培養創新精神和實踐能力。?3．精編問題，創設情境?精心選編現實生活和數學發展中的典型問題，創設問題情境，通過分析和解決問題，加深對知識本質的理解，強化知識之間的聯系，領悟和掌握數學思想方法，使問題在教科書中發揮更大的作用。注意問題的基礎性、思想性、開放性、趣味性等。在“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”等欄目下，有針對性地選配習題，為學生提供充分發展的空間。?（三）改進教科書的呈現形式，加強現代信息技術的運用?1．改進呈現形式，激發學習興趣?精心設計教科書的呈現形式，改進欄目設置、版面設計、圖文選配等，用學生喜聞樂見的形式（包括科普小品等）呈現教材內容，適當設問、留白、引導，加大探索空間，安排具有綜合性、探究性、開放性的“數學活動”，激發學生的學習興趣，增強他們對教科書的親近感和認同感。?2．重視信息技術，改進學習手段?重視現代信息技術的發展對數學和數學教育產生的深遠影響，發揮信息技術的力量，有意識地引入計算機（器）、網絡等進行信息處理（包括快速計算、自動制表、智能繪圖、人機交互等），設置“信息技術應用”專欄（選學內容），為學生提供豐富多彩的教育環境和有力的學習工具。?三、體系結構的創新?全套教科書包含了課程標準（實驗稿）規定的“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四個領域的內容，在體系結構的設計上力求反映這些內容之間的聯系與綜合，使它們形成一個有機的整體。?1．“數與代數”領域主要是最基本的數、式、方程（不等式）、函數的內容，在編排方式上有以下特點。?（1）螺旋上升地呈現重要的概念和思想，不斷深化對它們的認識。本套教科書改變了以往代數教科書“先集中出方程，后集中出函數”的做法，而是按照“一次”和“二次”的數量關系，使方程和函數交替出現，即按一次方程（組）、一次函數、二次方程、二次函數的順序螺旋上升。這樣處理，一方面克服直線式發展所產生的不易理解消化的弊病，分階段地不斷地深化對方程和函數的理解；另一方面強化基本概念之間的內在聯系，從函數角度提高對方程等內容的認識，“14.3 用函數觀點看方程（組）與不等式”等就是為此而特意安排的。?（2）聯系實際，體現知識的形成和應用過程，突出建立數學模型的思想。教科書中方程、函數等內容均注意盡可能以實際問題為出發點和歸宿，在分析和解決實際問題的過程中，建立數學模型，討論有關概念和方法，然后再運用所學知識進一步探究新的實際問題，提高對數學內容及其應用的理解，從而體現“實踐—理論—實踐”的認識過程。例如，第3章“一元一次方程”分為以下四節：?3.1? 從算式到方程?3.2? 一元一次方程的討論（1）———移項與合并?3.3? 一元一次方程的討論（2）———去括號與去分母?3.4? 實際問題與一元一次方程?全章改變了“概念——解法——應用”的傳統教材結構，而以實際問題為主要線索，將概念與解法融于對實際問題的分析和解決過程之中。?2．“空間與圖形”的內容包括了“圖形的認識”“圖形與變換”“圖形與坐標”“圖形與證明”等，在編排上，以圖形的認識為主線，將其他內容與它有機的整合，螺旋上升。?（1）加強數形結合思想的滲透，體現各部分知識之間的橫向聯系。例如，為更好地反映數與形之間的內在聯系，提前安排了平面直角坐標系的內容（七年級下學期，第6章），使坐標這種能充分體現數形結合思想的工具能更早更多地得到使用（用坐標方法分析平移變換、對稱變換等的本質特征，處理某些圖形問題，加深對函數及二元一次方程組、不等式等的認識等）。?（2）循序漸進地培養推理能力，作好由實驗幾何到論證幾何的過渡。對于推理能力的培養，按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“符號表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排，使推理論證成為學生通過觀察、探究得到數學結論的自然延續。教科書從七年級開始滲透推理的初步訓練，到七年級下學期的“第7章三角形”中結合三角形內角和開始正式出現證明。對于推理能力的培養不拘泥于形式，不局限于“空間與圖形”，而是結合各領域內容中適宜的內容自然地進行（如在3.4節的問題探究中就已滲透反證法的思想）。（3）從感性到理性，從靜到動提高對圖形的認識能力。學習“空間與圖形”這部分內容的重要目的，是提高對圖形的認識能力。這套教科書按照“從感性直觀認識逐步上升到理性本質認識，從對靜止狀態的認識發展到對運動狀態的認識，從定性描述向定量刻畫過渡”的順序編排這個領域的內容，注意在教科書各處對于“圖形的認識”“圖形與變換”“圖形與坐標”“圖形與證明”把握到適宜程度，并注意這四個方面之間的聯系。例如，在第5章“相交線與平行線”的最后部分，初步介紹了平移；在學習了第6章“平面直角坐標系”之后，又進一步從坐標的角度對平移變換作了描述；在第19章“四邊形”中，對平移的“對應點連線平行且相等”的特征又作了進一步的闡釋；在第22章中的“課題學習圖案設計”中，再將平移與其他幾何變換結合，進行綜合性應用的討論。?3．“統計與概率”的內容在前面學段已有一定基礎，這套教科書（7～9年級）將它分專題編排為三章，依次安排于三個年級，即第10章“數據的收集、整理與描述”,安排于七年級下學期；第20章“數據的分析”，安排于八年級下學期；第24章“概率初步”，安排于九年級上學期。在編寫時，注意突出以下特點：?（1）側重于統計和概率中蘊涵的基本思想。編寫教科書時，改變了以往處理這部分內容時過于偏重計算的做法，而特別注意體現“通過統計數據探究規律”的歸納思想，重視反映統計與概率之間的聯系，通過頻率來估計事件的概率，通過樣本的有關數據對總體的可能性作出估計等。?（2）注重實際，發揮案例的典型性。這部分的四章都注意加強探究性和活動性，各章都安排實踐性較強的“課題學習”，都結合現代社會生活中豐富的實例，發揮典型案例的引導作用，避免脫離實際例子的講述概念與計算。?（3）注意與前面學段的銜接，持續地發展提高。編寫教科書時，注意了有關內容在前面學段已經具備的基礎，明確了在本學段應進一步發展到什么水平，在內容和要求方面體現螺旋式發展上升。?4．“實踐與綜合應用”的內容與前三個領域有密切聯系，又具有綜合性。課程標準將它作為與“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”并列的內容，足見標準對這一領域的重視。“實踐與綜合應用”是新數學課程中一個全新的內容，它為學生進行實踐性、探索性和研究性的學習提供了一種課程渠道。編寫這套教科書時，我們認為既要充分注意這一領域內容對培養創新意識和實踐能力的重要作用，又要認識到在初中階段它與數學基礎知識的關系，要為學習它作必要鋪墊。因此，在這套教科書中，“實踐與綜合應用”不作為獨立的一塊內容，而是同與其最接近的知識內容相結合，教科書在每一冊都安排了1～2個“課題學習”，每一章都安排了2～4“數學活動”。這樣處理，使得“實踐與綜合應用”以多種形式分散編排，能以多種形式進行，化整為零，經常化和生活化。??四、教科書新變化?1．豐富的問題情境?我們生活在一個豐富多彩的世界中，其中存在著大量的問題要用數學知識去解決，在教科書編寫時，我們力求貫徹理論聯系實際的原則，更加強調數學知識的背景（實際的和數學內部的），內容素材的選取力求貼近學生的生活實際和社會現實，并注意把所學到的知識應用到解決實際問題中去。?例如，在教科書的七年級上冊“有理數”一章，數的產生和發展過程、數軸、有理數大小比較、有理數加減法、科學記數法等，都是結合實際問題，從實際需要出發引入的。在“一元一次方程”一章，實際問題情境貫穿于始終，對方程解法的討論也是在解決實際問題的過程中進行的。全章涉及了物理問題、幾何問題、經濟問題、農業問題、生產效率問題、中外名題、體育問題、社會問題等許多實際問題。在“空間與圖形”中，也是充分利用現實世界的物體，通過觀察大量豐富的立體、平面圖形，加強對圖形的直觀認識和感受，從中“發現”幾何圖形，歸納出常見幾何體的基本特征，從而更好地“把握圖形”。統計與現實生活密切相關，學習“數據的收集、整理與描述”，就離不開大量真實的素材，教科書中的素材也涉及到了學生生活的各個方面，如學生的身高、體重、視力、脈搏，保護動物、收集廢電池、丟棄塑料袋等環境保護問題，國內生產總值、平均工資、雨傘銷售等經濟問題等等。?2、關注思維過程的教材呈現?學習方式的轉變是課程改革的重要目標之一，在教材編寫時，我們也是力求改進教材的呈現形式，注意引導學生從身邊的問題說起，并更多地進行數學活動和互相交流，在主動學習、探究學習的過程中獲得知識，培養能力，體會數學思想方法。?對于數學中的概念、法則、性質、公式、公理和定理，教科書設置了許多 “思考”“探究”“歸納”等欄目，讓學生從觀察身邊的事物入手，加深學生對所學內容的印象；通過對問題的思考獲得結論，通過對解決問題的過程的反思加深認識；通過探究解決問題，探求結論；通過討論互相啟發，促進數學思考，擴大和加深對問題的認識；在觀察、思考、探究、討論的基礎上歸納結論，體會特殊到一般的過程。這種處理方式，為學生提供更廣闊的探索和合作交流的空間，讓學生經歷知識的“再發現”過程，在探究活動的過程中發展思維能力，改變學生的學習方式。這不僅符合學生的認知規律，也是數學本身的發展規律所決定的。例如，對于“空間與圖形”領域的內容，本套教科書在內容處理上加強了實驗幾何的成分，對于幾何中的結論，教科書多數是先讓學生通過畫圖、折紙、剪紙或做試驗等活動，探索發現幾何結論，然后再對結論進行說明、解釋或論證，將實驗幾何與論證幾何有機結合。以“對頂角相等”為例，教科書首先設置一個“討論”欄目，讓學生度量兩條相交直線所成的角的大小，通過學生的充分討論，探究發現對頂角相等這個結論，然后再對它進行說理。?3．循序漸進地進行推理訓練，重視培養學生的思維能力?對于推理能力的培養，按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“符號表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排，使推理論證成為學生通過觀察、探究得到數學結論的自然延續。教科書從七年級上冊開始滲透推理的初步訓練，到結合三角形內角和定理正式出現證明，在以后各冊中，對于推理證明的要求一以貫之，逐步培養學生的邏輯思維能力。對于推理能力的培養也不拘泥于形式，不局限于“空間與圖形”，而是結合各領域內容中適宜的內容自然地進行。?4．自然延續正文的練習、習題?教科書對于練習、習題的處理，是按照“使練習、習題成為學生學習正文內容的自然延續”的原則來安排的。例如，“圖形認識初步”中線段延長線的畫法、幾何語言的轉換等內容都是在練習、習題中體現的。練習題的安排，也不是簡單的課時劃分，而是根據內容的需要來安排。?對于習題，改變了以往根據題目難度分為A、B組的方法，而是按照習題功能設置了“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次。“復習鞏固”層次的習題主要是讓學生復習本節（章）所學的基礎知識和基本技能；“綜合運用”層次的習題體現了知識間的相互聯系，是要學生綜合運用本節（章）所學知識去解決問題（包括實際問題和數學內部的問題）；在此基礎上，“拓廣探索”層次的習題綜合性、實踐性更強（不是難度的提高），為學生提供了充分發展的空間，希望所有學生都能上手，不同學生得到不同的發展。?5．豐富多彩的“數學活動”?為了使學生更好地理解所學的數學內容，體會所學知識的應用，教科書在每一章都安排了2～4個具有綜合性、探究性、開放性的“數學活動”，教學時可以結合所學內容或在全章復習時選用。通過這些“數學活動”，學生不僅可以復習、鞏固本章的知識，而且通過這種動手操作、主動思考、合作交流的“做數學”的過程，加深對相應內容的認識，增強動手能力、主動思考的能力，提高運用數學知識解決問題的能力，培養合作精神，使課程標準中“實踐與綜合應用”的內容以多種方式進行，經常化和生活化。?例如，教科書七年級上冊“第4章圖形認識初步”的活動1是要制作火車車廂的模型，火車車廂是學生很熟悉的，它有不同的形狀，不同形狀的車廂主要裝載的貨物不同。要制作這樣的模型，首先要能根據立體圖形畫出它們的展開圖，這對于培養學生的空間想象力，發展空間觀念是很有幫助的。在此基礎上，畫出展開圖，完成設計，最后折疊，粘合，得到模型。這個過程，能充分發揮學生主觀能動性，讓他們在成功的喜悅中體驗數學的價值。再如，“第3章一元一次方程”的活動2是讓學生結合統計報告中的內容，運用一元一次方程求出某些數據，一方面可以鍛煉運用方程解決實際問題的能力，另一方面也引導學生關注新聞報道中隱含的數學問題。根據收集的數據編題并用方程解它們，是要求較高的活動內容，它有較大開放性，有益于提高分析解決問題的能力。?6．開放與實踐相結合的選學內容?為了開闊學生的視野，增加教材的彈性和選擇性，教科書安排了“閱讀與思考”“觀察與猜想”“實驗與探究”“信息技術應用”等豐富多彩選學內容，這些內容與必學內容相得益彰。選學內容中有些是教科書中相關內容的拓展與延伸，例如，從第1章“閱讀與思考用正負數表示加工允許誤差”中了解多生活中正負數表示誤差的內容；第10章的“實驗與探究瓶子中有多少粒豆子”則向我們介紹了生產和科研中常用到的捉—放—捉的統計調查方法。有些內容是數學歷史的介紹，或數學思想的反映，如第2章的“閱讀與思考數字1與字母X的對話”，第7章的“閱讀與思考為什么要證明”等。有些內容是相關內容的應用，如第1章的“觀察與猜想? 翻牌游戲中的數學道理”，第2章的“信息技術應用電子表格與數據計算”，第24章的“實驗與探究設計跑道”，第25章的“閱讀與思考概率與中獎”等。教學時，可適時安排有興趣的學生使用這些材料，加深對相關內容的認識，開闊他們的眼界，增長他們的見識，提高運用知識的能力。?五、教科書體系體例?（一）體系框架（7～9年級）七年級上冊（61）?第1章 有理數（19）?第2章 整式的加減（8）?第3章 一元一次方程（18）?第4章 圖形認識初步（16）七年級下冊（62）?第5章 相交線與平行線（14）?第6章 平面直角坐標系（7）?第7章 三角形（8）?第8章 二元一次方程組（12）?第9章 不等式與不等式組（12）?第10章 數據庫的收集整理與描述（9）八年級上冊（62）?第11章 全等三角形（11）?第12章 軸對稱（13）?第13章 實數（8）?第14章 一次函數（17）第15章整式的乘除與因式分解（13）八年級下冊（61）?第16章 分式（14）?第17章 反比例函數（8）?第18章 勾股定理（8）?第19章 四邊形 （16） ?第20章 數據的分析（15）九年級上冊（62）?第21章 二次根式（9）?第22章 一元二次方程（13）?第23章 旋轉（8）?第24章 圓（17）?第25章 概率初步（15）九年級下冊（48）第26章 二次函數（12）?第27章 相似（13）?第28章 銳角三角函數（12）?第29章 投影與視圖（11）??（二）體例結構?各章基本結構如下：各節結構根據內容需要而確定，基本上包括以下部分：?? ??本套教科書有彩色版、雙色版和黑白版等多種版本，配有教師教學用書以及其他教學參考資料（包括電子音像制品）。?本套教科書的實驗工作得到實驗區廣大師生的大力支持，經過培訓、回訪和專項調查，教科書的編寫者收集了許多有益的反饋意見，其中有些意見已被采納，各冊教科書的局部修訂已經陸續進行。隨著課程改革的不斷深入，本套教科書將在現有基礎上不斷提高質量，教科書的編寫者愿為教材建設作出新貢獻。2007-06-22??原創作品人教版義務教育課程標準實驗教科書數學（7～9年級）各章目錄及課時參考（修訂版）（新）七年級上（61）第1章? 有理數（19）1.1 正數和負數（2）閱讀與思考? 用正負數表示加工允許誤差1.2 有理數（4）1.3 有理數的加減法（4）實驗與探究? 填幻方閱讀與思考? 中國人最先使用負數1.4 有理數的乘除法（4）觀察與猜想? 翻牌游戲中的數學道理1.5 有理數的乘方（3）數學活動小結（2）第2章?????????? 整式的加減（8）2.1 整式（2）閱讀與思考? 數字1與字母X的對話2.2 整式的加減（5）信息技術應用? 電子表格與數據計算數學活動小結（1）第3章? 一元一次方程（18）3.1 從算式到方程（4）閱讀與思考? 方程史話3.2 解一元一次方程（一）——移項與合并（4）實驗與探究? 無線循環小數化分數3.3解一元一次方程（二）——去括號與去分母（4）3.4實際問題與一元一次方程（4）數學活動小結（2）第4章? 圖形認識初步（16）4.1 多姿多彩的圖形（4）閱讀與思考 幾何學的起源4.2 直線、射線、線段（3）閱讀與思考? 長度的測量4.3 角（5）4.4 課題學習：制作長方體形狀的包裝盒（2）數學活動小結（2）七年級下（62）第5章? 相交線與平行線（14）5.1 相交線（4）觀察與猜想? 看圖時的錯覺5.2 平行線及其判定（3）5.3 平行線的性質（3）信息技術應用探索兩條直線的位置關系5.4 平移（2）數學活動小結（2）第6章? 平面直角坐標系（7）6.1 平面直角坐標系（3）閱讀與思考 用經緯度表示地理位置6.2 坐標方法的簡單應用（3）數學活動小結（1）第7章? 三角形（9）7.1 與三角形有關的線段（2）信息技術應用畫圖找規律7.2 與三角形有關的角（3）閱讀與思考 為什么要證明7.3 多邊形及其內角和（2）實驗與探究 多邊形的三角剖分7.4 課題學習? 鑲嵌（1）數學活動小結（1）第8章? 二元一次方程組（12）8.1 二元一次方程組（1）8.2 消元——二元一次方程組的解法（4）8.3 實際問題與二元一次方程組（3）閱讀與思考 一次方程組的古今表示及解法8.4 三元一次方程組（2）數學活動小結（2）第9章? 不等式與不等式組（11）9.1 不等式（4）閱讀與思考 用求差法比較大小9.2 實際問題與一元一次不等式（3）實驗與探究 水位升高還是降低9.3 一元一次不等式組（2）閱讀與思考 用不等關系分析體育比賽數學活動小結（2）第10章? 數據的收集、整理與描述（9）10.1 統計調查（3）實驗與探究? 瓶子中有多少粒豆子10.2 用直方圖描述數據（2）信息技術應用? 利用計算機畫統計圖10.3 課題學習：從數據談節水（2）數學活動小結（2）八年級（上）（62）第11章? 全等三角形（11）11.1 全等三角形（1）11.2 三角形全等的條件（6）閱讀與思考 全等與全等三角形11.3 角的平分線的性質（2）數學活動小結（2）第12章? 軸對稱（13）12.1 軸對稱（3）12.2 軸對稱變換（3）信息技術應用? 探索軸對稱的性質12.3 等腰三角形（5）實驗與探究? 三角形中邊與角之間的不等關系數學活動小結（2）第13章? 實數（8）13.1 平方根（3）13.2 立方根（2）13.3 實數（2）閱讀與思考 為什么說不是有理數數學活動小結（1）第14章? 一次函數（17）14.1 變量與函數（5）信息技術應用 用計算機畫函數圖象14.2 一次函數（5）閱讀與思考 科學家如何測算地球的年齡14.3 用函數觀點看方程（組）與不等式（3）14.4 課題學習選擇方案（2）數學活動小結（2）第15章? 整式的乘除與因式分解（13）15.1整式的乘法（4）15.2 乘法公式（2）閱讀與思考? 楊輝三角15.3 整式的除法（2）15.3 因式分解（3）觀察與猜想 型式子的分解數學活動小結（2）八年級下（61）第16章? 分式（14）16.1 分式（3）16.2 分式的運算（6）閱讀與思考? 容器中的水能倒完嗎？16.3 分式方程（3）數學活動小結（2）第17章? 反比例函數（8）17.1 反比例函數（3）信息技術應用? 探索反比例函數的性質17.2實際問題與反比例函數（4）閱讀與思考 生活中的反比例關系數學活動小結（1）第18章? 勾股定理（8）18.1 勾股定理（4）閱讀與思考? 勾股定理的證明18.2 勾股定理的逆定理（3）閱讀與思考 再談面積證法數學活動小結（1）第19章? 四邊形（16）19.1 平行四邊形（6）閱讀與思考? 平行四邊形法則19.2 特殊的平行四邊形（6）?? 實驗與探究? 巧拼正方形19.3 梯形（2）? 觀察與猜想? 平面直角坐標系中的特殊四邊形數學活動小結（2）第20章? 數據的分析（15）20.1 數據的代表（6）20.2 數據的波動（5）信息技術應用? 用計算機求幾種統計量閱讀與思考? 數據波動的幾種度量20.3? 課題學習? 體質健康測試中的數據分析（2）數學活動小結（2）九年級上（62）第21章? 二次根式（9）21.1 二次根式（2）21.2 二次根式的乘除（2）21.3 二次根式的加減（3）閱讀與思考? 海倫——秦九韶公式數學活動小結（2）第22章? 一元二次方程（13）22.1 一元二次方程（2）22.2 降次——一元二次方程的解法（6）閱讀與思考? 黃金分割數22.3 實際問題與一元二次方程（3）數學活動小結（2）第23章? 旋轉（8）23.1 圖形的旋轉（2）23.2 中心對稱（3）信息技術應用? 探索旋轉的性質23.3? 課題學習? 圖案設計（2）數學活動小結（1）第24章? 圓（17）24.1 圓（5）24.2 與圓有關的位置關系（6）24.3 正多邊形（2）閱讀與思考 圓周率π24.4 弧長及扇形的面積（2）實驗與探究? 設計跑道數學活動小結（2）第25章概率初步（15）25.1? 隨機事件（2）閱讀與思考? 概率論的起源25.2? 簡單事件的概率（6）閱讀與思考? 概率與中獎25.3? 頻率與概率（3）25.4? 課題學習? 鍵盤上字母的排列順序（2）數學活動小結（2）九年級下（48）第26章? 二次函數（12）? 26.1 二次函數（6）? 實驗與探究? 推測植物生長量與溫度的關系 26.2 用函數觀點看一元二次方程（1）? 信息技術應用? 探索二次函數的性質 26.3實際問題與二次函數（3）? 數學活動小結（2）第27章? 相似（13）27.1? 圖形的相似（2）? 27.2? 相似三角形（6）? 閱讀與思考? 奇妙的分形圖形27.3? 位似（3）? 信息技術應用? 探索位似的性質數學活動小結（2）第28章? 銳角三角函數（12）28.1 銳角三角函數（6）28.2 解直角三角形（4）閱讀與思考? 一張古老的三角函數表數學活動小結（2）第29章? 投影與視圖（11）29.1 投影（2）29.2 三視圖（5）閱讀與思考 視圖的產生與應用29.3 課題學習制作立體模型（2）數學活動小結（2）總課時數? 61×5＋3＋48 = 356代數課時數???????? ? ?163幾何課時數?????????? 154統計概率課時數??????? 39初中數學試卷命制細目表考查目標及題型選擇題12個填空題6個解答題7個分數合計數與式有理數實數整式的乘除與因式分解分式二次根式方程與不等式一元一次方程一元二次方程二（三）元一次方程組不等式與不等式組函數平面直角坐標系函數一次函數反比例函數二次函數圖形的認識與證明點、線、面，角相交線與平行線三角形四邊形圓尺規作圖投影與視圖圖形的變換軸對稱圖形的平移圖形的旋轉圖形的相似勾股定理銳角三角函數統計概率統計知識概率初步課題學習合計絕對值與算術平方根一、絕對值1．定義 一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．在數軸上，一個實數的絕對值表示這一實數對應的點到原點的距離，恒有︱a︱≥0．數（式）a的絕對值記作︱a︱，用算式表示，即 2．絕對值的性質（1）︱a︱=︱－a︱（2）－︱a︱≤a ≤︱a︱（3）若︱a︱=︱b︱，則a = ±b（4）若︱a︱+︱b︱= 0，則a = b = 03．解含絕對值的數式的化簡、求值、證明，以及方程、不等式等問題時，基本思路是：根據絕對值的定義，先設法去掉絕對值符號，再進行變形運算解答．有時需要針對題目的具體數值或結構特征，如采用平方法、數形結合或整體思想等特殊策略常常能夠簡捷求解．二、算術平方根1．定義 正數a的正的平方根叫做a的算術平方根；0的算術平方根是0．記作（a≥0）．2．算術平方根的性質（1）當a≥0時，有（2）對任意實數a，有3．算術平方根的實質是它的雙重非負性：a≥0和4．利用=可以將算術平方根問題轉化為絕對值問題，再按照絕對值的意義討論，是處理算術平方根問題的重要方法．這種方法可劃分為三個步驟：（1）運用公式把被開方式配方成一個數（或式）的平方；（2）根據已知條件判定這個代數式的正負性（或分情況討論）；（3）利用上述關系式進行化簡．例1 如果在數軸上表示a，b兩個實數的點的位置如圖所示，那么化簡︱a－b︱+︱a + b︱的結果是（ ）．A．2a B．－2a C．0 D．2b分析 觀察圖形，理理題意，可知a＜0，b＞0，且數a對應的點到原點O 的距離大于數b對應的點到原點O的距離（這點容易被忽視！）．∴ a－b＜0，a + b＜0．故︱a－b︱+︱a + b︱=－（a－b）－（a + b）= －2a，選B．例2 若 x＜－2，則的值為 ．分析 ∵ x＜－2， ∴ 1 + x＜0，x + 2＜0， 于是 ︱1 + x︱=－（1 + x），∴ 分式的分子 =︱1 + 1 + x︱=︱2 + x︱=－（2 + x），故分式的值為－1．例3 若，化簡．分析 注意到a的取值范圍，可得 2a－1≤0．于是 ==︱1－2a︱+︱2a－1︱= 2︱2a－1︱= 2－4a．說明 解答絕對值或二次根式的化簡問題時，基本思路是化根式為絕對值，說明或討論絕對值符號中代數式的正、負脫去絕對值符號．例4 解方程：︱x－︱3x + 1︱︱= 4．分析 這是一個由分類定義的概念給出的絕對值方程，絕對值的概念是分三類定義的，所以本題應分3x + 1＞0，3x + 1 = 0，3x + 1＜0三種情況討論．解 （1）當3x + 1＞0，即時，原方程化為︱x－3x－1︱= 4，∴ 2x + 1 = 4，或 2x + 1 =－4． 解得 ，（舍去）．（2）當 3x + 1 = 0，即時，原方程左邊=，右邊= 4，矛盾，故原方程無解．（3）當3x + 1＜0，即時，原方程化為︱x + 3x + 1︱= 4．∴ 4x + 1 = 4，或 ． 解得 ．綜上所述，原方程的解是，或．例5 設A是銳角三角形ABC的一個內角．試化簡：．分析 首先設法把被開方式配成一個完全平方式利用公式化去根號，于是聯想到 1 = sin2A + cos2A，得 1 + 2sinAcosA = sin2A + cos2A + 2sinAcosA =（sinA + cosA）2；同理1－2sinAcosA =（sinA－cosA）2．因而，原式 =︱sinA + cosA︱+︱sinA－cosA︱．∵ A是銳角三角形ABC的一個內角， ∴ 0(＜A＜90(，因此分兩類討論如下：（1）當0(＜A≤45(時，，，從而 sinA + cosA＞0，sinA－cosA≤0，故原式 = sinA + cosA－（sinA－cosA）= 2 cosA．（2）當45(＜A＜90( 時，，，從而 sinA + cosA＞0，sinA－cosA＞0，故原式 = sinA + cosA + sinA－cosA = 2 sinA．例6 解方程：．分析 由算術平方根的定義知，x首先應滿足x + 3≥0即x≥－3．又2是︱x－2︱的零點，故本題應分－3≤x＜2和x≥2兩類求解．（1）當－3≤x＜2時，原方程化為， 解得（另一根舍去）．（2）當x≥2時，原方程化為，解得 x = 6（另一根x = 1舍去）．說明 本題一開始就挖掘出算術平方根這一隱含條件，簡化了分類．不然解答起來或運算量太大或過程繁雜，均不可取．例7 當a在什么范圍內取值時，方程︱x2－5x︱= a有且只有相異二實數根？分析 數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會導致不同結果．解 （1）當a＜0時，方程顯然無實數根．（2）當a = 0時，原方程變為x2－5x = 0，解之，得 x1 = 0，x2 = 5。此時原方程有且只有相異二實數根．（3）當a＞0時，原方程可化為x2－5x－a = 0， ①和x2－5x + a = 0． ②此時方程①的根的判別式△1 = 25 + 4a＞0，故只須方程②的根的判別式△2 = 25 + 4a＜0，解之，得．綜上所述，a的取值范圍是或a = 0．練習1．若a＞1，化簡的結果是（ ）．A．1－2a *B．2a－1 C．－1 D．12．已知，那么代數式的值為（ ）．A． B．－ C．－ *D．3．滿足︱a－b︱=︱a︱+︱b︱成立的條件是（ ）．A．ab＞0 B．ab＞1 *C．ab≤0 D．ab≤14．已知a、b是實數，且，則ab = ．5．若a＞0，b＜0，則使︱x－a︱+︱x－b︱= a－b 成立的x的取值范圍是 ．6．化簡= ．7．已知關于x方程x2 –2mx + m2 – 4m = 0無實數根，化簡．8．已知（a∈R），化簡．2008年初中畢業生學業數學考試大綱一、命題依據 教育部制訂的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《數學課程標準》）． 二、命題原則1．體現數學課程標準的評價理念，有利于促進數學教學，全面落實《數學課程標準》所設立的課程目標；有利于改變學生的數學學習方式，提高學習效率；有利于高中階段學校綜合有效評價學生數學學習狀況．2．重視對學生學習數學“雙基”的結果與過程的評價，重視對學生數學思考能力和解決問題能力的發展性評價，重視對學生數學認識水平的評價．3．體現義務教育的性質，命題應面向全體學生，關注每個學生的發展．4．試題的考查內容、素材選取、試卷形式對每個學生而言要體現其公平性．制定科學合理的參考答案與評分標準，尊重不同的解答方式和表現形式．5．試題背景具有現實性．試題背景應來自學生所能理解的生活現實，符合學生所具有的數學現實和其他學科現實．6．試卷的有效性．關注學生學習數學結果與過程的考查，加強對學生思維水平與思維特征的考查．中考試卷要有效發揮選擇題、填空題、計算（求解）題、證明題、開放性問題、應用性問題、閱讀分析題、探索性問題及其它各種題型的功能，試題設計必須與其評價的目標相一致．試題的求解思考過程力求體現《數學課程標準》所倡導的數學活動方式，如觀察、實驗、猜測、驗證、推理等等．三、適用范圍 適用于參加2008年初中畢業生學業考試的學生．四、考試范圍 教育部頒發的全日制義務教育數學課程標準（7－9年級）中：數與代數、空間與圖形、統計與概率、課題學習四個部分的內容．五、內容和目標要求1．初中畢業生數學學業考試的主要考查方面包括：基礎知識與基本技能；數學活動過程；數學思考；解決問題能力；對數學的基本認識等．（1）基礎知識與基本技能考查的主要內容了解數產生的意義，理解代數運算的意義、算理，能夠合理地進行基本運算與估算；能夠在實際情境中有效地應用代數運算、代數模型及相關概念解決問題；能夠借助不同的方法探索幾何對象的有關性質；能夠使用不同的方式表達幾何對象的大小、位置與特征；能夠在頭腦里構建幾何對象，進行幾何圖形的分解與組合，能對某些圖形進行簡單的變換；能夠借助數學證明的方法確認數學命題的正確性；正確理解數據的含義，能夠結合實際需要有效地表達數據特征，會根據數據結果作合理的預測；了解概率的涵義，能夠借助概率模型、或通過設計活動解釋一些事件發生的概率．（2）“數學活動過程”考查的主要方面 數學活動過程中所表現出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關知識與方法的理解深度；從事探究與交流的意識、能力和信心等．（3）“數學思考”方面的考查應當關注的主要內容學生在數感與符號感、空間觀念、統計意識、推理能力、應用數學的意識等方面的發展情況，其內容主要包括：能用數來表達和交流信息；能夠使用符號表達數量關系，并借助符號轉換獲得對事物的理解；能夠觀察到現實生活中的基本幾何現象；能夠運用圖形形象來表達問題、借助直觀進行思考與推理；能意識到作一個合理的決策需要借助統計活動去收集信息；面對數據時能對它的來源、處理方法和由此而得到的推測性結論作合理的質疑；面對現實問題時，能主動嘗試從數學角度、用數學思維方法去尋求解決問題的策略；能通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并尋求證明猜想的合理性；能合乎邏輯地與他人交流等等．（4）“解決問題能力”考查的主要方面：能從數學角度提出問題、理解問題、并綜合運用數學知識解決問題；具有一定的解決問題的基本策略．（5）“對數學的基本認識”考查的主要方面：對數學內部統一性的認識（不同數學知識之間的聯系、不同數學方法之間的相似性等）；對數學與現實、或其他學科知識之間聯系的認識等等．2．依據數學課程標準，考試要求的知識技能目標分為四個不同層次：了解（認識）；理解；掌握；靈活運用．具體涵義如下：了解（認識）：能從具體事例中，知道或能舉例說明對象的有關特征（或意義）；能根據對象的特征，從具體情境中辨認出這一對象．理解：能描述對象的特征和由來；能明確闡述此對象與有關對象之間的區別和聯系．掌握：能在理解的基礎上，把對象運用到新的情境中．靈活運用：能綜合運用知識，靈活、合理地選擇與運用有關的方法完成特定的數學任務．數學活動水平的過程性目標分為三個不同層次：經歷（感受）；體驗（體會）；探索．具體涵義如下：經歷（感受）：在特定的數學活動中，獲得一些初步的經驗．體驗（體會）：參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些經驗．探索：主動參與特定的數學活動，通過觀察、實驗、推理等活動發現對象的某些特征或與其它對象的區別和聯系．以下對《數學課程標準》中，數與代數、空間與圖形、統計與概率、課題學習四個領域的具體考試內容與要求分述如下：數與代數（一）數與式1．有理數考試內容：有理數，數軸，相反數，數的絕對值，有理數的加、減、乘、除、乘方，加法運算律，乘法運算律，簡單的混合運算．考試要求：（1）理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數，會比較有理數的大小．（2）理解相反數和絕對值的意義，會求有理數的相反數與絕對值（絕對值符號內不含字母）．（3）理解乘方的意義，掌握有理數的加、減、乘、除、乘方的運算法則、運算律、運算順序以及簡單的有理數的混合運算（以三步為主）．（4）能用有理數的運算律簡化有關運算，能用有理數的運算解決簡單的問題．2．實數考試內容：無理數，實數，平方根，算術平方根，立方根，近似數和有效數字．二次根式，二次根式的加、減、乘、除運算法則，簡單的實數四則運算．考試要求：（1）了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根．（2）了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用立方運算求某些數的立方根，會用科學計算器求平方根和立方根．（3）了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應．（4）能用有理數估計一個無理數的大致范圍．（5）了解近似數與有效數字的概念，會按要求求一個數的近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并按問題的要求對結果取近似值．（6）了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用運算法則進行有關實數的簡單四則運算（不要求分母有理化）．3．代數式考試內容：代數式，代數式的值，合并同類項，去括號．考試要求：（1）理解用字母表示數的意義．（2）能分析簡單問題的數量關系，并用代數式表示．（3）能解析一些簡單代數式的實際背景或幾何意義．（4）會求代數式的值；能根據特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算．（5）掌握合并同類項的方法和去括號的法則，能進行同類項的合并．4．整式與分式考試內容：整式，整式的加減法，整式乘除，整數指數冪，科學記數法．乘法公式．因式分解，提公因式法，公式法．分式、分式的基本性質，約分，通分，分式的加、減、乘、除運算．考試要求：（1）了解整數指數冪的意義和基本性質，會用科學記數法表示數（包括在計算器上表示）．（2）了解整式的概念，會進行簡單的整式加、減運算；會進行簡單的整式乘法運算（其中的多項式相乘僅指一次式相乘）．（3）會推導乘法公式： ； ，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算．（4）會用提公因式法和公式法（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數是正整數）． （5）了解分式的概念，掌握分式的基本性質，會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行簡單的分式加、減、乘、除運算．（二）方程與不等式1．方程與方程組考試內容：方程和方程的解，一元一次方程及其解法，二元一次方程組及其解法，一元二次方程及其解法，可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）．考試要求：（1）能夠根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型．（2）會用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程的解．（3）會解一元一次方程、簡單的二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）．（4）理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數字系數的一元二次方程．（5）能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解的合理性．2．不等式與不等式組考試內容：不等式，不等式的基本性質，不等式的解集，一元一次不等式及其解法，一元一次不等式組及其解法．考試要求：（1）能夠根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義，掌握不等式的基本性質．（2）會解簡單的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集．會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數軸確定解集．（3）能夠根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題．（三）函數1．函數考試內容：平面直角坐標系，常量，變量，函數及其表示法．考試要求：（1）會從具體問題中尋找數量關系和變化規律．（2）了解常量、變量、函數的意義，了解函數的三種表示方法，會用描點法畫出函數的圖象，能舉出函數的實際例子．（3）能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析．（4）能確定簡單的整式、分式和簡單實際問題中的函數的自變量取值范圍，并會求出函數值．（5）能用適當的函數表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系．（6）結合對函數關系的分析，嘗試對變量的變化規律進行初步預測．2．一次函數考試內容：一次函數，一次函數的圖象和性質，二元一次方程組的近似解．考試要求：（1）理解正比例函數、一次函數的意義，會根據已知條件確定一次函數表達式．（2）會畫一次函數的圖象，根據一次函數的圖象和解析式 ，理解其性質（k＞0或k＜0時圖象的變化情況）．（3）能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解．（4）能用一次函數解決實際問題．3．反比例函數考試內容：反比例函數及其圖象．考試要求：（1）理解反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式．（2）能畫出反比例函數的圖象，根據圖象和解析式 理解其性質k＞0或k＜0時圖象的變化情況）．（3）能用反比例函數解決某些實際問題．4．二次函數考試內容：二次函數及其圖象，一元二次方程的近似解．考試要求：（1）理解二次函數和拋物線的有關概念，能對實際問題情境的分析確定二次函數的表達式．（2）會用描點法畫出二次函數的圖象，能結合圖象認識二次函數的性質．（3）會根據公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求推導和記憶），并能解決簡單的實際問題．（4）會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解．空間與圖形（一）圖形的認識1．點、線、面，角．考試內容：點、線、面、角、角平分線及其性質．考試要求：（1）在實際背景中認識，理解點、線、面、角的概念．（2）會比較角的大小，能估計一個角的大小，會計算角度的和與差，認識度、分、秒，會進行簡單換算．（3）掌握角平分線性質定理及逆定理．2．相交線與平行線考試內容：補角，余角，對頂角，垂線，點到直線的距離，線段垂直平分線及其性質，平行線，平行線之間的距離，兩直線平行的判定及性質．考試要求：（1）了解補角、余角、對頂角的概念，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等．（2）了解垂線、垂線段等概念，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線．了解垂線段最短的性質，理解點到直線距離的意義．（3）知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線．（4）掌握線段垂直平分線性質定理及逆定理．（5）了解平行線的概念及平行線基本性質．（6）掌握兩直線平行的判定及性質．（7）會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線．（8）體會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離．3．三角形考試內容：三角形，三角形的角平分線、中線和高，三角形中位線，全等三角形、全等三角形的判定，等腰三角形的性質及判定．等邊三角形的性質．直角三角形的性質及判定．勾股定理．勾股定理的逆定理．考試要求：（1）了解三角形有關概念（內角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高．（2）掌握三角形中位線定理．（3）了解全等三角形的概念，掌握兩個三角形全等的判定定理．（4）了解等腰三角形、直角三角形、等邊三角形的有關概念，掌握等腰三角形、直角三角形、等邊三角形的性質和判定定理；（5）掌握勾股定理，會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形．4．四邊形考試內容：多邊形，多邊形的內角和與外角和，正多邊形，平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質，平面圖形的鑲嵌．考試要求：（1）了解多邊形的內角和與外角和公式，了解正多邊形的概念．（2）掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質，了解它們之間的關系；了解四邊形的不穩定性．（3）掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關性質和判定定理．（4）了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心）．（5）通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計．5．圓考試內容：圓，弧、弦、圓心角的關系，點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系，圓周角與圓心角的關系，三角形的內心和外心，切線的性質和判定，弧長，扇形的面積，圓錐的側面積、全面積．考試要求：（1）理解圓及其有關概念，了解弧、弦、圓心角的關系，了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系．（2）了解圓的性質，了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征．（3）了解三角形的內心和外心．（4）了解切線的概念、切線與過切點的半徑之間的關系；能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線．（5）會計算弧長及扇形的面積，會計算圓錐的側面積和全面積．6．尺規作圖考試內容：基本作圖，利用基本作圖作三角形，過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓．考試要求：（1）能完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作角的平分線；作線段的垂直平分線．（2）能利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形．（3）能過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓．（4）了解尺規作圖的步驟，對于尺規作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）．7．視圖與投影考試內容：簡單幾何體的三視圖，直棱柱、圓錐的側面展開圖，視點、視角，盲區，投影．考試要求：（1）會畫簡單幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）的示意圖，會判斷簡單物體的三視圖，能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型．（2）了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和制作立體模型．（3）了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關系；知道這種關系在現實生活中的應用（如物體的包裝）．（4）了解并欣賞一些有趣的圖形（如雪花曲線、莫比烏斯帶）．（5）知道物體陰影的形成，并能根據光線的方向辨認實物的陰影（如在陽光或燈光下，觀察手的陰影或人的身影）．（6）了解視點、視角及盲區的含義，能在簡單的平面圖和立體圖中表示．（7）了解中心投影和平行投影．（二）圖形與變換1．圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉．考試內容：軸對稱、平移、旋轉．考試要求：（1）通過具體實例認識軸對稱（或平移、旋轉），探索它們的基本性質；（2）能夠按要求作出簡單平面圖形經過軸對稱（或平移、旋轉）后的圖形，能作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；（3）探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱（或平移、旋轉）的性質及其相關性質．（4）利用軸對稱（或平移、旋轉）及其組合進行圖案設計；認識和欣賞軸對稱（或平移、旋轉）在現實生活中的應用．2．圖形的相似考試內容：比例的基本性質，線段的比，成比例線段，圖形的相似及性質，三角形相似的條件，圖形的位似，銳角三角函數，30(、45(、60(的三角函數值．考試要求：（1）了解比例的基本性質，了解線段的比、成比例線段，通過實例了解黃金分割．（2）通過實例認識圖形的相似，了解相似圖形的性質，知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平方．（3）了解兩個三角形相似的概念，掌握兩個三角形相似的條件．（4）了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小．（5）通過實例了解物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題（如利用相似測量旗桿的高度）． （6）通過實例認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30(、45(、60(的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角．（7）運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題．（三）圖形與坐標考試內容：平面直角坐標系．考試要求：（1）認識并能畫出平面直角坐標系；在給定的直角坐標系中，會根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標．（2）能在方格紙上建立適當的直角坐標系，描述物體的位置．（3）在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化．（4）靈活運用不同的方式確定物體的位置．（四）圖形與證明1．了解證明的含義考試內容：定義、命題、逆命題、定理，定理的證明，反證法．考試要求：（1）理解證明的必要性．（2）通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區分命題的條件（題設）和結論．（3）結合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立．（4）理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的．（5）通過實例，體會反證法的含義．（6）掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據．2．掌握證明的依據考試內容：一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行；若兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等，則這兩個三角形全等；兩個三角形的兩角及其夾邊分別相等，則這兩個三角形全等；兩個三角形的三邊分別相等，則這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊、對應角分別相等．考試要求：運用以上6條“基本事實”作為證明命題的依據．3．利用2中的基本事實證明下列命題考試內容：（1）平行線的性質定理（內錯角相等、同旁內角互補）和判定定理（內錯角相等或同旁內角互補，則兩直線平行）．（2）三角形的內角和定理及推論（三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角）．（3）直角三角形全等的判定定理．（4）角平分線性質定理及逆定理；三角形的三條角平分線交于一點（內心）．（5）垂直平分線性質定理及逆定理；三角形的三邊的垂直平分線交干一點（外心）．（6）三角形中位線定理．（7）等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理．（8）平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理．考試要求：（1）會利用2中的基本事實證明上述命題．（2）會利用上述定理證明新的命題．（3）練習和考試中與證明有關的題目難度，應與上述所列的命題的論證難度相當．4．通過對歐幾里得《原本》的介紹，感受幾何的演繹體系對數學發展和人類文明的價值．統計與概率1．統計考試內容：數據，數據的收集、整理、描述和分析．抽樣，總體，個體，樣本．扇形統計圖．加權平均數，數據的集中程度與離散程度，極差和方差．頻數、頻率，頻數分布，頻數分布表、直方圖、折線圖．樣本估計總體，樣本的平均數、方差，總體的平均數、方差．統計與決策，數據信息，統計在社會生活及科學領域中的應用．考試要求：（1）會收集、整理、描述和分析數據，能用計算器處理較為復雜的統計數據．（2）了解抽樣的必要性，能指出總體、個體、樣本．知道不同的抽樣可能得到不同的結果．（3）會用扇形統計圖表示數據．（4）理解并會計算加權平均數，能根據具體問題，選擇合適的統計量表示數據的集中程度．（5）會探索如何表示一組數據的離散程度，會計算極差與方差，并會用它們表示數據的離散程度．（6）理解頻數、頻率的概念，了解頻數分布的意義和作用．會列頻數分布表，畫頻數分布直方圖和頻數折線圖，并能解決簡單的實際問題．（7）體會用樣本估計總體的思想，能用樣本的平均數、方差來估計總體的平均數和方差．（8）能根據統計結果做出合理的判斷和預測，體會統計對決策的作用，能比較清晰地表達自己的觀點，并進行交流．（9）能根據問題查找相關資料，獲得數據信息，會對日常生活中的某些數據發表自己的看法．（10）能應用統計知識解決在社會生活及科學領域中一些簡單的實際問題．2．概率考試內容：事件、事件的概率，列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件的概率．實驗與事件發生的頻率、大量重復實驗與事件發生概率的估計．運用概率知識解決實際問題．考試要求：（1）在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發生的概率．（2）通過實驗，獲得事件發生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發生概率的估計值．（3）會通過實驗獲得事件發生的概率，并能運用概率知識解決一些實際問題．課題學習考試內容：課題的提出、數學模型、問題解決．數學知識的應用、研究問題的方法．考試要求：（1）結合實際，會提出、探討一些具有挑戰性的研究課題，經歷“問題情境 － 建立模型 － 求解 － 解釋與應用”的基本過程．進而體驗從實際問題抽象出數學問題、建立數學模型，綜合應用已有的知識解決問題的過程．加深理解相關的數學知識，發展思維能力．（2）體驗數學知識之間的內在聯系、初步形成對數學整體性的認識．（3）理解數學知識在實際問題中的應用，初步掌握一些研究問題的方法與經驗．六、考試形式初中畢業生數學學業考試采用閉卷筆試形式，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．各地應重視現代信息技術在數學考試形式改革的作用，有條件的地方應積極利用現代信息技術設計考試形式．七、試卷難度試題按其難度分為容易題、中檔題和稍難題．難度值為0.70以上的試題為容易題，難度值為0.50～0.70之間的試題為中檔題，難度值為0.30～0.50之間的試題為稍難題．試卷的總體難度約為0.60左右．八、試卷結構試卷包含有填空題、選擇題和解答題三種題型．三種題型的占分比例約為：填空題占16%，選擇題占24%，解答題占60%．填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；選擇題是四選一型的單項選擇題；解答題包括計算題、證明題、應用題、作圖題等，解答題應寫出文字說明、演算步驟、推證過程或按題目要求正確作圖．應設計結合現實情境的開放性、探索性問題，杜絕人為編造的繁難計算題和證明題．全卷總題量（含小題）控制在25題，較為適宜．課堂常規評價激勵語聽：1．傾聽是分享成功的好方法，看××同學正在分享著大家的快樂，我相信他已經有了很多收獲！2．他聽得可認真了，會聽的孩子是會學習的孩子！3．××同學聽得最認真，第一個舉起了小手，請你回答！4．你聽得真認真，這可是尊重他人的表現呀！5．你傾聽得真仔細，耳朵真靈，這么細微的地方你都注意到了！說：6．你講得很有道理，如果你能把語速放慢一點，其它同學聽得就更清楚了！7．你的表達特別清楚，讓大家一聽就懂！8．別急，再想想，你一定會說好！9．老師發現你不僅聽得仔細，說得也很好！10．你很有創見，這非常可貴，請再響亮地說一遍！11．你表達得這么清晰流暢，真棒！想：12．我想××同學一定在思考，我們再給他一點時間，好嗎？13．開動你的小腦筋去想，一想說錯了沒關系，老師喜歡肯動腦筋的同學！做：14．不僅自己認真學習，還能提醒同桌同學，真是了不起！15．第×組的××同學可真棒！為自己這組爭得一顆閃亮的星星呢！16．你看，很多小朋友把心里那個膽小鬼打倒，舉起手來了！17．你們瞧，×××可是大家學習的好榜樣呢！看看他是怎么做的！18．第四組的同學個個眼睛睜得大大的、亮亮的，我感受到了你們特別認真，注意力特別集中！19．你坐得真端正！注意力真集中！20．看××同學認真的樣子，老師就知道她是勤奮好學的孩子！21．你很像一個小老師，不僅管好了自己，而且把自己的小組也管理得很好！22．不知是什么力量使你改變這么大，從上課愛吵愛鬧到學會靜靜思考，學會暗暗努力，真為你高興！23．尊重（欣賞）別人，你會得到更多人的尊重（欣賞）！24．要學會欣賞別人，對于“×××”同學的回答，我們該怎么表示？25．你的進步使老師感到特別高興！26．你真行！（真棒、真懂事、真勇敢、真細心、真有耐心、真有毅力、真是好樣的）課堂過程評價激勵語：27．啊！你的課外知識真豐富，都可以成我的老師了！28．連這些都知道，真不愧是班級小博士！29．你知道的真多！知識真豐富！我們大家要向你學習！30．你的眼睛真亮，發現這么多問題！31．能提出這么有價值的問題來，真了不起！32．會提問的孩子，就是聰明的孩子！33．這個問題很有價值，我們可以共同研究一下！34．這種想法別具一格，令人耳目一新，請再說一遍好嗎？35．多么好的想法啊，你真是一個會想的孩子！36．猜測是科學發現的前奏，你們已經邁出了精彩的一步！37．沒關系，大聲地把自己的想法說出來，我知道你能行！38．你真聰明！想出了這么妙的方法，真是個愛動腦筋的小朋友！39．你又想出新方法了，真會動腦筋，能不能講給大家聽一聽？40．你的想法很獨特，老師都佩服你！41．你特別愛動腦筋，常常一鳴驚人，讓大家禁不住要為你鼓掌喝彩！42．你的發言給了我很大的啟發，真謝謝你！43．瞧瞧，誰是火眼金睛，發現得最多、最快？44．你發現了這么重要的方法，老師為你感到驕傲！45．你真愛動腦筋，老師就喜歡你思考的樣子！46．你的回答真是與眾不同啊，很有創造性，老師特欣賞你這點！47．××同學真聰明！想出了這么妙的方法，真是個愛動腦筋的同學！48．你的思維很獨特，你能具體說說自己的想法嗎？49．這么好的想法，為什么不大聲地、自信地表達出來呢？50．你有自己獨特想法，真了不起！51．你的辦法真好！考慮的真全面！52．你很會思考，真像一個小科學家！53．老師很欣賞你實事求是的態度！54．你的記錄很有特色，可以獲得“牛津獎”！55．他的匯報完整、精彩，是我們學習的榜樣！56．誰愿意來為大家做個示范？展示一下自己的本領！57．你真聰明，用以前學過的知識解決了今天的難題！58．你真的很能理解人，而且能和同學合作得非常好！59．科學家總不忘在研究后整理好材料，看，這一組就做到了，而且做得很好！60．你是一個很負責的材料員，每一次實驗后都能把材料整理得整整齊齊！61．你的表現很出色，老師特別欣賞你！62．你這節課的表現給大家留下了深刻的印象！63．你今天進步真大！老師感到特別高興！64．真了不起，大家都為班級里有你這么棒的同學而感到驕傲！65．我們今天的討論很熱烈，參與的人數也多，說得很有質量，我為你們感到驕傲！研究成果評價激勵語：66．你真像位小科學家，有這么多重大發現！67．了不起的發現，再用精彩的方式介紹給大家，大家就更佩服你了！68．你完成的好極了，如果能幫助你的同桌，那就更好啦！69．你是一個很優秀的記錄員，不僅把觀察的內容都詳細地記錄下來，而且還寫得非常端正、清晰！70．真是好樣的，你的作品真的是非常出色！71．哇，你的作品太好了！72．你太厲害了！73．為我們的成功鼓掌！74．你瞧，通過努力，你成功了，祝賀你！75．參與是走向成功的開始，結果并不是最重要的！76．你研究的課題很有價值，請繼續研究！77．這是你們合作成功的果實，老師為這份成果而歡喜！更為你們積極參與的精神而叫好！后續研究評價激勵語：78．心動不如行動，讓我們研究吧！79．你真有毅力，能堅持研究這么久！80．研究碰到困難，別退縮，相信自己，一定能行！81．大家齊心協力，再加把油，勝利一定會屬于你們的！82．堅持到底就是勝利！83．男子漢，再大的困難也不怕！84．別泄氣！還有機會等著你！85．你敢于向困難挑戰，我要向你學習！86．你已經很努力了，別急，自信點！87．只要認真細心，什么也難不倒你！88．你的問題難住了老師，希望大家幫助老師，去查資料，共同解決這個問題，好嗎？89．你很自信，自信是走向成功的開始！90．相信自己，研究就是錯了再試的過程！91．小疑有小進，大疑有大進！92．別放棄，再試幾次！堅持下去準能行！93．繼續努力，相信自己，你會做得更好！94．老師很佩服你的鉆勁兒！95．你很富有創造力，離科學的距離越來越近了。96．努力爭取，老師相信你們是最棒的！97．試一試，相信自己，老師知道你能行！98．今天你又有了新發現，真為你高興！99．你是敢于嘗試的勇士，好極了！100．陽光總在風雨后，沒經歷挫折的風雨，怎能看到成功的彩虹？ 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