資源簡介

2008年高考數學試題專題分析(三)
-------數列
九江市同文中學 湯勝晚、瞿芳
指導教師 林健航
從2005年江西高考自主命題開始，省高考命題的專家老師就特別傾向于采用數列問題作為高考卷的第一或第二壓軸題。2008年，在一片高考試題命題的改革聲中，數列題難度降低，位置前移，情景常規，得分提高。文、理科數列試題均以求基本量為突破口，理科輔之于簡單的數論知識，求一個等差數列和一個等比數列的通項；繼之，采用常見的放縮法證明一個學生非常熟悉的數列不等式。可以說，一舉顛覆了以往數列試題的競賽品性和神秘特性。無疑，對我省今后的高考數列復習起到了一定的指導作用。
然而，我們把目光從本省看出去，不難發現，2008年19份理科高考試卷中，共11道數列選擇題，共5道數列填空題，共19道數列部分的解答題。其中選、填題以考察數列的基礎知識為主。解答題中有17道涉及遞推數列（福建卷理科有兩道題涉及數列問題，江蘇卷、江西卷中數列題不涉及遞推），說每卷都有數列問題，數列必出遞推也不為過。不能不感受到高考數學試題中“遞推”之風的強勁。
從2008年高考數學試題（理科）可以看出，數列遞推問題的主要特點在于：
一、遞推含義更廣：從遞推的對象看，有數列前后項與之間的遞推（安徽卷第21題等），也有與的遞推（全國Ⅱ卷2第20題，四川卷第20題，山東卷第20題），與的交叉遞推（遼寧卷第21題）等，北京卷第20題數列間的“復制”式遞推更令人耳目一新，拍案叫絕。
二、遞推形式更新：從遞推的項數看，有兩項間的遞推，也有三項間的遞推，如廣東卷第21題，重慶卷第22題；從遞推的形式看，既有常規的線性形式，如安徽卷第21題，湖北卷第21題、浙江卷第22題、福建卷第19題等，也有分式形式，如山東卷第20題、陜西卷第22題等，還有三角函數形式（湖南卷第18題）、分段遞推形式（上海卷第21題）、積（冪）的形式（重慶卷第22題）等；另外，一般的遞推都是等式形式，福建卷理科第22題還出現了不等式下的遞推。
三、遞推立意更深：20世紀80年代的遞推問題主要是求通項，其題型相對單一、解法相對固定，主要是構造法、不完全歸納法和數學歸納法，能找到一個類型的“公式”，即可以以解法的不變應問題的萬變，不利于對考生進行全面、準確、深入的檢測。以能力立意命題帶來的巨大變化，最明顯的是，考查通性通法的同時，突出考查思維能力，代數推理能力，分析問題以及解決問題的能力的考查，深度檢測學生的數學基礎和能力素質。在能力立意的視角下，問題一般采取一題多問，分步推進，寬進嚴出，層層拔高的形式。題型靈活，從設問形式看，有較常見的求通項（一般已經搭好求解的平臺），求前項和，有證明數列的單調性（全國卷Ⅰ第22題），有界性的證明（全國卷Ⅰ第22題），確定參數存在性，求參數取值范圍（全國卷Ⅱ第20題，湖北卷第9題），證明數列不等式（安徽卷第21題，湖南卷第18題，浙江卷第22題，遼寧卷第21題等等）；原來針對遞推數列的題型化攻略已經失效，沒有人能窮舉出各種遞推關系并找到以不變應萬變的公式，而且尋找通項的定勢思維往往使問題的解決走進死胡同。
四、遞推綜合性更強：在知識的交匯點上命題的理念在數列遞推的背景下也得以充分實現。這些問題都是綜合性問題。與前兩年相比，數列與解析幾何綜合的問題減少，出現更多的新穎綜合形式，如與三角函數綜合（湖南卷第18題），與方程綜合（廣東卷第21題），與函數綜合（全國卷Ⅰ第22題，福建卷第19.22題），與不等式綜合（浙江卷第22題，遼寧卷第21題等），與函數，導數不等式綜合（全國卷第22題，福建卷第19、22題等）等。綜合性的增強既可以較系統的檢測知識、技能的掌握情況，也對解法的靈活性提出了更高的要求，數學歸納法等通性通法仍然發揮重要作用，但解題方法必須靈活多變，函數與方程，化歸與轉化，分類討論等重要數學思想方法要能夠靈活運用，對思維的嚴密性，連續性，創新性等都提出了較高要求。
數列通項是數列的重要組成部分，在每年高考中都有涉及，多數以解答題的形式出現。鑒于其重要性，下面就今年高考數學中有關數列通項的典型考題（與通項無關的部分省略）梳理出來，談談求數列通項的幾種常見的解題方法：
一、觀察法：根據題意得到數列的前幾項，通過觀察猜想出通項公式，然后利用數學歸納法加以證明即可（除要求不需要證明外），如遼寧卷第21題。
二、公式法：根據題意求等差或等比數列的基本量，直接寫出通項公式，如江西卷第19題。
三、利用求數列的通項公式，如全國卷Ⅱ第20題。
四、構造等差或等比數列求通項公式，如山東卷第19題，四川卷第20題。
五、累加法：形如形式的可利用累加法求通項公式，如天津卷第20題。
六、累乘法：形如形式的可利用累乘法求通項公式，如四川延考卷第20題。
七、倒數法：形如形式的可利用兩邊取倒數求通項公式，如陜西卷第22題。
八、對數法：形如形式的可利用兩邊取對數求通項公式，如重慶卷第22題。
九、方程法：通過方程的根與系數的關系建立數列前后項間的關系，然后求解即可，如廣東卷第21題。
十、迭代法：直接根據遞推公式得到從所要求的項依次向前推，直至利用已知項表示出來式子即可，如安徽卷文科第2 1題。
從2008年的高考數學的數列命題，我們還發現，數列和函數、不等式、導數、方程等知識密切地聯系在一起，并且需要我們的學生能夠通觀察特殊表象，猜想出一般結論，再進行嚴格的數學論證，從而培養學生的觀察問題、分析問題、解決問題的能力，培養學生良好的思維品質和探索品位，體驗數學那永恒的探索的美感。
2008年高考數學試題專題分析（一）
——函數、導數與不等式
九江市第一中學 邵學兵
指導教師 林健航
函數、導數與不等式是高中數學中最重要的知識板塊，它是貫穿于高中數學的一條主線，它的知識點多，覆蓋面廣，綜合性強，應用廣泛，與其他知識聯系緊密；導數是研究函數的工具，有了導數，函數顯得更加豐富多彩．本專題在選擇、填空、解答三種題型中都有考題，分值30分以上，占全卷的﹪以上，在高考中占有重要地位．
一、本專題高考試題的特點分析
⑴以“三個二次”為紐帶，在函數、方程、不等式、數列、圓錐曲線等知識交匯處命題，考查分析問題、解決問題的能力；
⑵函數與數列、不等式、導數等知識的交匯，強調基礎知識和綜合能力并重，在知識的交匯處命題，考查學生的思維能力、運算及應用能力，經常以壓軸題出現；
⑶抽象函數和創新題型在近年高考中也是一個熱點，這類題靈活抽象，背景深刻，較難把握解題規律；
⑷解不等式、證明不等式及不等式與函數、導數、三角、數學歸納法、解析幾何、數列等知識的綜合運用是不等式考查的重點，且綜合考查已成為一種趨勢；一般兩種題型：一是以函數為載體的導數、函數性質的綜合題，多為壓軸題；另一種是與幾何問題、數列問題以及平面向量等知識的綜合問題，立意新穎，抽象程度高．
二、本專題在高考試題中的題型分布及分值比例
表一
卷別
科別
題號
分值
本專題考點
全國卷Ⅰ
理
1、2、6、7、9、19
37
函數的定義域、圖像、函數應用、導數的應用、函數單調性、抽象函數
文
1、2、4、8、10、21
37
函數的定義域、圖像、函數應用、導數的應用、函數單調性、抽象函數
全國卷Ⅱ
理
3、4、14、22
27
函數圖像、對數函數的單調性、導數應用（切線）
文
4、5、7、21
27
函數圖像、對數函數的單調性、導數應用（切線）
北京卷
理
2、12、13、14、18
33
反函數的概念、函數單調性、導數定義、函數奇偶性與單調性、函數應用
文
2、5、10、13、14、17
33
解不等式、函數單調性、導數定義、反函數、函數奇偶性與單調性、
上海卷
理
1、4、8、11、19
32
反函數、奇偶性、圖像、解不等式
文
1、4、9、11、19
32
解不等式、反函數、奇偶性、最值、解析式
天津卷
理
3、8、10、21
29
反函數、函數與方程、分段函數、解不等式、導數應用、單調性、極值、函數與不等式
文
3、8、10、21
29
反函數、函數與方程、分段函數、解不等式、
重慶卷
理
4、6、13、20
26
值域與最值、抽象函數、奇偶性、指數與對數、導數應用
文
2、6、7、12、14、19
36
反函數、不等式的性質、指數運算
湖北卷
理
4、7、13、20
27
定義域、函數單調性、函數與方程、值域與最值、函數應用、分段函數
文
6、8、13、15、17
32
奇偶性、周期性、定義域、函數與方程
湖南卷
理
10、13、14、21
28
函數值域、反函數、定義域、單調性、導數應用、函數與不等式
文
2、4、6、15、21
33
函數值域、解不等式、反函數、單調性
江西卷
理
3、6、9、12、22
34
分段函數、圖像、函數與方程、不等式的性質、解不等式、導數應用、不等式證明
文
3、4、12、13、21
31
解不等式、復合函數定義域、單調性、圖像、函數與方程、
遼寧卷
理
6、8、12、13、22
33
導數應用（切線、極值）、單調性、函數與方程、圖像、分段函數的反函數、不等式綜合應用
文
2、4、6、8、13、22
38
函數單調性、奇偶性、導數應用（切線）、函數圖像與平移、反函數
福建卷
理
4、12、19、22
36
奇偶性、導數應用、函數圖像、最值、不等式
文
4、11、21
22
函數圖像、導數應用、奇偶性、
山東卷
理
3、4、16、21
26
復合函數單調性、函數圖像、值域、解不等式、極值、函數與不等式
文
3、4、5、7、12、15、21
41
解不等式、函數圖像、分段函數、復合函數單調性、定義域、對數運算法則、
浙江卷
理
3、15、21
24
二次函數、單調性、最值、不等式的性質、導數應用
文
3、5、11、21
29
不等式的性質、均值不等式、求函數值
四川卷
理
10、11、22
24
函數的奇偶性、抽象函數、函數周期性、極值、單調性、函數與方程
文
2、5、9、20
27
解不等式、抽象函數、函數周期性、反函數、
安徽卷
理
7、9、11、13、20
31
函數與方程、函數圖像、函數解析式、函數單調性、定義域、函數與不等式
文
6、9、13、20
26
反函數、單調性、最值、定義域
陜西卷
理
6、7、11、21
27
反函數、奇偶性、均值不等式、導數應用（極值）、函數與不等式
文
6、7、11、22
29
函數單調性、最值、反函數、抽象函數、
廣東卷
理
7、14、19
24
導數應用（極值、單調性）、絕對值不等式、最值
文
8、9、10、17
27
不等式的性質、對數函數單調性、極值、
江蘇卷
理
8、11、14、17、20
25
導數應用、單調性、最值、均值不等式、函數應用、分段函數、函數與不等式
文
8、11、14、17、20
25
導數應用、最值、均值不等式
三、本專題的重、難點分析
1.函數、導數與不等式的重點是：
⑴理解函數的有關概念——定義、三要素、表示方法，特別是函數解析式；
⑵掌握函數的單調性和奇偶性的概念、基本的判定方法和步驟，并會運用．應熟練掌握二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數以及形如的函數等一些常見函數的性質，歸納提煉函數性質的應用規律；
⑶理解掌握反函數的概念，明確反函數的意義及一些常見符號的意義，掌握求反函數的方法步驟，理解反函數與原函數的關系等；
⑷理解掌握指數函數、對數函數的概念、圖象及性質，能運用性質熟練地進行大小比較、方程求解等；
⑸掌握導數的概念，會求函數的導數，會用導數的方法判定或證明函數的單調性，會求函數的極值和最值，會用導數解一些實際問題；
⑹理解不等式的性質及其證明，掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的證明，掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式；
⑺掌握簡單不等式的解法，理解不等式．
2.函數、導數與不等式的難點是:
⑴函數、反函數的概念，函數思想、數形結合思想的靈活運用；
⑵培養建立函數模型、解決實際問題的應用意識；
⑶利用放縮法證明不等式，函數、數列、不等式、解析幾何的綜合；
⑷利用導數證明函數單調性進而證明不等式恒成立問題，關鍵是如何構造相關函數，這是近幾年高考壓軸題中的一類較典型的問題．
四、2008年高考數學試題中本專題亮點分析
由表一可以看出，函數、導數、不等式作為高中數學的主干知識，是各套高考數學試卷的重點考查內容之一．體現了函數與方程、分類討論、等價轉化、化歸與遞推、數形結合等數學思想，難度較大．
1．抓綱扣本，對基本知識、基本運算的考查
例1.（全國卷Ⅰ理）函數的定義域為（ C ）
A． B． C． D．
考查點：函數的定義域、解不等式．
分析：由函數定義域的定義得出不等式組，然后解不等式組．關鍵要熟練掌握基本初等函數的定義域．
例2. （江西卷 理）若函數的值域是，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
考查點：函數的值域、形如的函數的性質．
分析：利用換元法把函數轉化為，再利用函數單調性求值域．
例3. （北京卷 理）“函數存在反函數”是“函數在上為增函數”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
考查知識：反函數的定義、存在反函數的條件、充要條件．
分析：函數有反函數的充要條件是此函數一一映射，而函數單調遞增可得函數一一映射，函數一一映射則不一定單調遞增．
例4. （廣東卷 文）設，若，則下列不等式中正確的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考查知識：不等式的性質．
分析：利用性質及．
例5. (湖南卷 文)“”是“”的( )
A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
考查知識：解簡單的絕對值不等式，充要條件．
例6. （山東卷 文）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
考查知識：解分式不等式．
例7. （全國卷Ⅰ理）設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A．2 B． C． D．
考查知識：導數的應用——切線，兩直線垂直的充要條件．
分析:關鍵要會求分式函數的導數，運用兩直線垂直的充要條件列出方程．
例8（天津卷 理）函數（）的反函數是 （ ）
A．（）　　 B.（）
C.（） 　　 D.（）
考查知識：求函數的反函數．
切入點：求反函數的一般步驟．
例9. （全國卷Ⅱ理）函數的圖像關于（ ）
A．軸對稱 B． 直線對稱 C． 坐標原點對稱 D． 直線對稱
考查知識：函數的奇偶性．
2、導數的應用
例10. （全國卷Ⅰ19）已知函數，．
（Ⅰ）討論函數的單調區間；
（Ⅱ）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍．
解：（1）求導：
當時，，，在上遞增
當，求得兩根為
即在遞增，遞減，
遞增
（2），且解得：
考查知識：函數的單調性．
分析：利用導數判斷函數的單調性及恒成立問題的轉化是切入點，會解無理不等式．
另解：（2）由函數在區間內是減函數，得即，又，故不等式可化為，
令，得
又在區間上為減函數，在區間上為增函數，
又
例11．（全國卷Ⅱ理）設函數．
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）如果對任何，都有，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）．
當（）時，，即；
當（）時，，即．
因此在每一個區間（）是增函數，
在每一個區間（）是減函數．
（Ⅱ）令，則
． 故當時，．
又，所以當時，，即．
當時，令，則．
故當時，．因此在上單調增加．
故當時，，即．
于是，當時，．
當時，有．因此，的取值范圍是．
命題意圖：利用導數判斷函數的單調性，并構造函數，從而利用單調性求參數范圍．
思考：因是周期函數，故只需考查在區間成立，又在區間上為增函數，在區間上為減函數，故只需考查在區間滿足，
而根據切線的定義，找出在原點的切線即可，
由（1）知得，因此，的取值范圍是．
當然這樣有點欠完整，但很容易找出正確答案，再行解答即可．
例12．（四川卷理）已知是函數的一個極值點。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）若直線與函數的圖象有3個交點，求的取值范圍。
解：（Ⅰ）因為 所以 因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

當時， 當時，
所以的單調增區間是 的單調減區間是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，且當或時，
所以的極大值為，極小值為
因此
所以在的三個單調區間直線與的圖象各有一個交點，當且僅當
因此，的取值范圍為．
考查知識：函數的單調性，圖像交點．
分析：利用導數判斷函數的單調性，并結合圖象分析直線與的圖象的交點．
例13. （山東卷理）已知函數其中n∈N*,a為常數.
（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；
（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當時，有.
解：（Ⅰ）由已知得函數f(x)的定義域為{x|x＞1}， 當n=2時，
所以
（1）當a＞0時，由f(x)=0得 ＞1，＜1，
此時 .
當x∈（1，x1）時，f′（x）＜0,f(x)單調遞減；
當x∈（x1+∞）時，f′（x）＞0, f(x)單調遞增.
（2）當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)無極值.綜上所述，n=2時，
當a＞0時，f(x)在處取得極小值，極小值為
當a≤0時，f(x)無極值.
（Ⅱ）證法一：因為a=1,所以
當n為偶數時，令
則=1+＞0（）.
所以當x∈[2,+∞]時，g(x)單調遞增，又 g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立，所以成立.
當n為奇數時，
要證,由于＜0，所以只需證,
令 ,則 ≥0（）,
所以 當x∈[2，+∞]時，單調遞增，又h(2)=1＞0，
所以當x≥2時，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命題成立.綜上所述，結論成立.
證法二：當a=1時，
當x≤2，時，對任意的正整數n，恒有≤1，故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.
令
則
當時，≥0，故在上單調遞增，
因此當時，，即成立.
故當時，有.即.
考查知識：極值，不等式的證明．
分析：利用導數，構造函數，利用函數的單調性證明不等式，難點在于如何構造函數．
3、函數單調性、奇偶性、周期性及其應用
例14.（安徽卷 理）若函數分別是上的奇函數、偶函數，且滿足，則有（ ）
A． B．
C． D．
考查知識：函數奇偶性．
分析：分別求出再求值．
例15. （四川卷 理）設定義在上的函數滿足，若，則( )
Ａ.　　 Ｂ.　　 Ｃ.　　 Ｄ.
考查知識：函數的周期性．
分析：由得出，再推出
，周期為4．
例16. （福建卷 理)函數,若,則的值為
A.3 B.0 C.-1 D.-2
考點：函數的奇偶性．
切入點：構造函數，由已知得，根據奇偶性知，
例17. （四川卷 理）設，其中，則是偶函數的充要條件是( )
Ａ.　 Ｂ.　 　Ｃ.　　Ｄ.
考查知識：三角函數，導數，函數奇偶性．
分析:由三角函數的奇偶性得出，故選擇D．
例18.（北京卷 理）已知函數，對于上的任意，有如下條件：①；②；③．其中能使恒成立的條件序號是____.
考查知識：函數的奇偶性與單調性
分析：由函數為偶函數及在上的單調性知即可得．
4、函數圖象及應用的考查
例19.（北京卷 理）如圖，函數的圖象是折線段，其中的坐標分別為，則________；_______．（用數字作答）
考查知識：導數的定義，函數圖象．
切入點：由定義知由圖像可得
例20. （山東卷 理）函數的圖象是（ ）
考查知識：函數的奇偶性與圖象．
例21.（全國卷Ⅰ 理）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖像可能是（ ）

考查知識：函數的應用與圖象．
切入點：路程的平均變化率的極限即導數（瞬時速度）．
例22.（福建卷 理)已知函數的導函數的圖象如下圖，那么的圖象可能是 （ ）
考查知識：導數圖象，單調性．
分析：關鍵是圖象中的大小決定的切線的斜率的大小，即變化速度．
5、抽象函數與創新題的考查
例23.（重慶卷 理)若定義在上的函數滿足：對任意,有,則下列說法一定正確的是（ ）
A.為奇函數 B.為偶函數 C. 為奇函數 D.為偶函數
考查知識：抽象函數及函數的奇偶性．
切入點：奇偶性的判斷，賦值法得，再令得出．
例24.（陜西卷 理）定義在上的函數滿足（），，則等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
考查知識：抽象函數及函數的奇偶性．
切入點：賦值法．
例25.（遼寧卷理）設是連續的偶函數，且當時是單調函數，則滿足的所有之和為（ ）
A． B． C． D．
考查知識：函數單調性，方程根的分布．
分析：利用單調性轉化為求解．
例26.（湖南卷 理）設［x］表示不超過x的最大整數（如［2］=2, ［］=1）,對于給定的nN*,定義,則當時，函數的值域是( )
A. B. C. D.
考查知識：自定義題型，組合數公式，函數值域．
切入點：由得時，；時，
6.不等式的證明的考查
例27.同例13．
例28. （福建卷 理）已知函數．
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）記在區間（n∈N*）上的最小值為令．
（Ⅲ）如果對一切n，不等式恒成立，求實數c的取值范圍；
（Ⅳ）求證：
解法一：（I）因為，所以函數定義域為,
．
由得，的單調遞增區間為；
由得，的單調遞增區間為.
(II)因為在[0,n]上是減函數，所以，
則
(i)
> 又lim,
因此c<1，即實數c的取值范圍是（-，1）.
（II）由（i）知 因為[]2
所以＜(nN*),
則＜
N*）
解法二：（Ⅱ）因為f(x)在上是減函數，所以
則
（i）因為對n∈N*恒成立.所以對n∈N*恒成立.
則對n∈N*恒成立.
設 n∈N*，則c＜g(n)對n∈N*恒成立.
考慮
因為＝0，
所以內是減函數；則當n∈N*時，g(n)隨n的增大而減小，
又因為＝1.
所以對一切因此c≤1,即實數c的取值范圍是(-∞，1].
(ⅱ) 由(ⅰ)知
下面用數學歸納法證明不等式
①當n=1時，左邊＝，右邊＝，左邊<右邊.不等式成立.
②假設當n=k時,不等式成立.即
當n=k+1時，
即n＝k＋1時，不等式成立
綜合①、②得，不等式成立.
所以
即.
考查知識：本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力．
五、復習建議
1．以綱為綱，以本為本，充分發揮教材的核心作用
高考試題源于課本，這是高考命題的一個基本原則．大多數同學在高考總復習時忽略課本，將教材扔到一邊，每天圍繞教材“埋頭”做題．而許多高考題在課本都有原型．課本是標準，在求活、求新、求變的命題思想指導下，雖不考查單純概念、也不會考查原題，但不少高考題就是課本原題的變形、改造、綜合．故此要抓綱悟本，選擇一些針對性較強的題目進行強化訓練，使學生能很好地理解概念、掌握方法．如江西卷理科21題就是平時練習題的改編，在2008年九江綜合測試卷上也曾兩次出現類似題型。
2．強化三基
很多同學在平時復習中經常出現忽視基礎，愛鉆難題、怪題，好高鶩遠，而一考試則分數偏低．究其根源是基礎不過關，才出現審題不清以及會而不對、對而不全等情況．而三基的落實不能只停留在口頭上，要體現在教學時選取的每個問題、每個練習、每次試卷及錯題的分析上．
3.注重抽象函數知識點的總結與復習，掌握其求解策略
抽象函數題型新穎靈活，在每年高考題中經常出現．主要考點是：與抽象函數相關的值域、定義域、單調性、周期性、圖象的對稱性及與不等式、方程的根的分布等知識的綜合．因此復習時要對其規律作好總結，才能綜合運用相關函數知識，挖掘隱含條件，尋找解題的突破口．
4. 突出理性思維，培養創新意識
教學時，各種數學思想方法要落實到每一章節的復習中去，而不能為了講方法而講方法．只有通過長期的訓練，才能真正的使學生形成良好的思維習慣．小題中章內綜合、跨章節綜合是江西高考題的一大特點，所以只有提高學生的能力和創新意識，才能應對高考中對能力的考察．
5．注重函數、導數與不等式、數列、解析幾何等知識的綜合，注重創新題的考查
函數、導數與不等式在高考中的比重較大，且試題具有一定的綜合性，即體現為知識的綜合，也體現為與數學思想的綜合，對函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化化歸思想都有深入考查．因此在復習時應對函數、導數與不等式及相關的綜合問題應以專題的形式復習．
6．重視思維訓練，提高學生的思維能力
數學高考對能力的考查，以思維能力為核心，全面考查各種能力．強調綜合性、應用性，并切合學生實際，同時要與注重運算能力相結合．同時也要注意實踐能力的培養，高考中經常出現相關應用問題的考查．另外，在講通性通法的同時，也應注意解選擇題、填空題的一些方法、技巧的運用及估算、簡算等一些相關技巧．
總之，函數是高中數學的主線，函數、導數與不等式、數列等相關知識的綜合又是高考中的熱點之一，它們貫穿于各章，涉及面廣，綜合性強．因此復習時一定要梳理清相關知識，并加強訓練，注重綜合問題的類型，使學生對基本問題運用自如，對幾種綜合形式了然于心．
2008年高考數學試題專題分析(二)
──三角函數與平面向量
九江市同文中學 張園和
指導教師 林健航
一、知識結構與考綱要求
三角函數：（1）能靈活運用三角函數的有關公式，對三角函數進行變形與化簡；（2）理解和掌握三角函數的圖像及性質；（3）能用正弦定理、余弦定理解三角形問題。
平面向量：（1）能靈活運用平面向量的數量積解決有關問題；（2）理解和掌握平面向量的幾何運算、坐標運算；（3）理解和掌握平面向量的平行和垂直關系。
培養觀察能力、化歸能力、運算能力以及靈活運用的實踐能力和創新意識，這是該部分內容對學生的能力要求。
高考中，三角函數主要考查學生的運算能力、靈活運用能力。在客觀題中，突出考察基本公式所涉及的運算、三角函數的圖像及基本性質，尤其是對角的范圍及角之間的特殊聯系較為注重。解答題以中等難度題為主，涉及解三角形、向量及簡單運算。三角函數部分，公式較多，易混淆，在運用過程中，要觀察三角函數中函數名稱的差異、角的差異、關系式的差異，確定三角函數變形化簡方向。
平面向量的考察側重平面向量的數量積以及平面向量的平行、垂直關系的坐標運算。向量是數學中的重要概念，并和數一樣，也能運算。但同時，平面向量的工具性不容忽視。以向量的平行、垂直、所成角為載體，與三角、解析幾何、不等式等知識點的綜合仍是我們值得注意的方向。
二、知識類型與特點分析
綜觀2008年全國各套高考數學試題，可以發現對三角函數的考查有以下一些知識類型與特點：
1. 三角函數的性質、圖像及其變換，主要是的性質、圖像及變換。考查三角函數的概念、奇偶性、周期性、單調性、有界性、圖像的平移和對稱等.以選擇題或填空題或解答題形式出現，屬中、低檔題。這些試題對三角函數單一的性質考查較少，一道題所涉及的三角函數性質在兩個或兩個以上，考查的知識點主要來源于教材。
2. 三角變換。主要考查公式的靈活運用、變換能力，一般要運用和角、差角與二倍角公式，尤其是對公式的應用與三角函數性質的綜合考查.以選擇題或填空題或解答題形式出現，屬中檔題.
3. 三角函數的應用。以平面向量、解析幾何等為載體，或者用解三角形來考查學生對三角恒等變形及三角函數性質的應用的綜合能力.特別要注意三角函數在實際問題中的應用和跨知識點的應用，注意三角函數在解答有關函數、向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何等問題時的工具性作用。這類題一般以解答題的形式出現，屬中檔題。
4．平面向量的考查，一般以兩種類型的題目出現：一是選擇或填空題，直接考查向量基礎知識；二是向量與幾何、三角等其它知識結合的綜合題，考查學生靈活運用向量知識解決綜合問題的能力。難度不大，強調思維、邏輯推理能力和數學思想方法的考查。
5. 在一套高考試題中，三角函數一般分別有1個選擇題、1個填空題和1個解答題，或選擇題與填空題1個，解答題1個，分值在17分—22分之間．
6. 在高考試題中，三角題多以低檔或中檔題目為主，一般不會出現較難題，更不會出現難題，因而三角題是高考中的得分點。
三、考情對照
2008年全國高考數學的18套試卷中，有關三角函數與平面向量的題目每套均有，具體分布如下（加陰影部分為平面向量）:
卷 型
題 序
分 值
考 查 知 識 點
理 科
文 科
理 科
文 科
全國卷一
3,8,17
3,8,9,17
20
25
向量的幾何運算;三角函數的圖像變換;三角函數的周期性與奇偶性;三角形中的三角函數問題
全國卷二
8,13,17,22
2,8,13,17
31
24
三角函數的最值;向量共線的條件與向量的坐標運算;三角形中的三角函數;三角函數的符號規律;三角與導數
北京卷
10,15
4,9,10,15
18
28
解三角形;三角函數的概念與倍角公式;向量的數量積;三角函數的化簡與值域
天津卷
3,9,14,17
3,9,14
26
22
三角函數的奇偶性與周期性;三角函數的圖像變換;向量的數量積;三角函數的求值與最值
安徽卷
3,5,17
1,3,5,17
22
27
三角函數的圖像,性質,值域;解三角形;向量的坐標運算
江西卷
6,13,17
6,10,16,17
21
25
三角函數的圖像;奇偶性與周期性;向量的數量積;向量的加減法;三角形中的三角函數問題;三角函數的求值與最值
湖北卷
1,5,12,16
1,5,12,16
27
27
向量的數量積;三角函數圖像及其變換;解三角形;三角函數的化簡,最值與值域
湖南卷
6,7，19
7,11,19
23
23
三角函數的化簡與最值;向量的加減法運算;三角形中的三角函數;向量的數量積與模;三角函數的周期與求值
陜西卷
3,15,17
1,14,15,17
21
25
三角函數的求值;解三角形;向量的概念與運算;三角函數的周期性,奇偶性與最值
四川卷
3,5,10,17
3,5,7,17
27
27
三角函數的化簡,最值;解三角形;三角不等式;三角函數的奇偶性;向量的坐標運算
重慶卷
7,17
4,12,17
18
23
定比分點坐標公式;三角函數的值域;三角形中的三角函數
浙江卷
5,8,9,13
2,5,13,15,17
19
22
三角函數的圖像與周期;三角函數的求值;解三角形;向量的模
福建卷
9,10,17
9,10,17
22
22
三角函數的求值與值域;解三角形;平移;向量與三角
遼寧卷
5,16,17
5,16,17
21
21
向量的加減法運算與坐標運算;三角函數的最值;解三角形
江蘇卷
1,5,13,15
1,5,13,15
30
30
三角函數的概念與求值;三角函的周期;解三角形;向量的數量積
山東卷
5,15,17
5,10,17
21
22
三角函數的圖像,單調性與求值;向量與三角
廣東卷
8,12,16
4,8,16
23
23
三角函數的周期性與奇偶性;三角函數的求值;向量的坐標運算
上海卷
5,6,18
5,18
23
19
三角函數的化簡與最值;三角函數的圖像與性質;向量的數量積與模
海南卷
1,7,8,13,
5,9,11,17
20
27
三角函數的值域與求值;解三角形;向量的數量積;向量共線與垂直的判斷;
四、題型與重(難)點分析
（一）三角函數
三角函數是高中數學的重要內容之一，它具有概念性強、內涵豐富、變化靈活、應用廣泛等顯著特點，不但是聯系代數與幾何的紐帶和橋梁，成為解決高中數學問題的有力工具，而且與其它學科以及高等數學密切相關，是考查學生運算能力、推理能力、應用能力和思維品質的良好載體。因此一直是高考命題的一個熱點。
1、體現三角函數的本質，以三角函數的概念、圖像和性質為載體，重點考查學生對三角函數的基礎知識的掌握情況和運用三角公式對三角函數式進行恒等變形的能力。
這類問題大多以三角函數的概念、圖像和性質為背景，融基本的數學思想和數學方法為一體而構建的，題目的難度不大，可供選擇的解題方法也較多。由于使用不同的方法所花費的時間相差很大，因此，能否發現最佳的解題途徑顯得尤為重要。透過試題的表象，抓住問題的實質，靈活地運用三角函數的性質和三角函數的變形公式對問題進行等價轉化是實現順利解題的關鍵。
例1（四川卷第17題）求函數的最大值與最小值。
解：
由于函數在中的最大值為，最小值為，故當時取得最大值，當時取得最小值。
熟悉基本三角函數的圖像和性質，掌握三角變形公式的靈活運用是實現解題的前提條件，而對三角函數式靈活地進行等價轉化則是實現解題的關鍵所在。
2、以三角函數式的化簡與求值為載體，以三角函數的恒等變形為核心，重點考查學生的邏輯推理能力與運算能力。
這類試題對三角公式的記憶要求并不高，運算量不大，但是有一定的靈活性與技巧性。解決此類問題必須有明確的目標意識，要善于從條件與目標的差異入手，以消除差異達到統一為目的。
例2（湖北卷第16題）已知函數
(Ⅰ)將函數化簡成（，，）的形式；
(Ⅱ)求函數的值域.
本小題直接來源于課本習題，主要考查函數的定義域、值域和三角函數的性質等基本知識，考查三角恒等變換、代數式的化簡變形和運算能力。
解：（Ⅰ）
＝
（Ⅱ）由得
在上為減函數，在上為增函數，又，（當），即，，故g(x)的值域為
要解決該問題，一要注意角的范圍，二要注意分析已知條件與所求之間的差異，從而合理地運用三角恒等變形的方法消除差異。其中，目標意識與轉化思想顯得尤為重要，“盯住目標，分析差異，消除差異”就容易理清解題的思維方向，從而選擇恰當的三角公式進行有目的的三角恒等變形。
3、以三角形為載體，將三角恒等變形公式與正弦定理和余弦定理整合，突出數學思想方法，考查學生思維的靈活性與深刻性。
三角形是研究三角函數的重要載體，在與三角形有關的問題中，正弦定理與余弦定理的應用已然成為高考命題的熱點。解決這類問題，要善于抓住三角形中邊與角之間的關系，學會將問題轉化為三角恒等變形的問題來處理。
例3（江西卷第17題）在中，角所對應的邊分別為，，，求及
解：由得
∴， ∴，∴。
又∴。
由得 , 即，∴
, 。
由正弦定理得:
4、在數列、不等式、平面向量、立體幾何及解析幾何等知識的交匯處命題，突出知識間的相互溝通與相互聯系，考查學生綜合應用知識的能力和理性思維的能力。
在知識的交匯點處命題是高考命題的常用手法，其目的是將不同的知識塊在網絡交匯點處融為一體，有利于考查學生綜合應用所學知識的能力，求解這類問題的必須能抓住問題的實質，對試題提供的信息進行分析、組合、加工，從而尋求出解題方案。在分析和解決問題的過程中，必須注意思維的層次性，學會將問題分層次展開，分層次解決。
例4. （福建卷第17題）已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A為銳角.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求函數的值域.
　　解：（Ⅰ）由題意得。所以
由A為銳角得：
　　(Ⅱ)由（Ⅰ）知所以
　　因為，所以，因此，當時，f(x)有最大值.
　　當時，f(x)有最小值，所以所求函數f(x)的值域是。
本題的特色是將向量與三角函數式的變形以及一元二次函數等內容有機地結合在一起，
體現了數學知識間的聯系性與交匯性。本小題主要考查平面向量的數量積計算、三角函數的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數的最值等基本知識，考查運算能力.
這類問題有利于考查學生綜合應用所學知識分析問題、解決問題的能力，值得我們在復習中予以關注，引起重視。
5、以生產與生活實際中的具體問題為背景，突出三角函數知識的工具性，考查學生應用三角函數的知識分析和解決實際問題的意識和能力。
以三角函數知識為載體考查實際應用在近年來的高考中屢見不鮮。解決這類問題的關鍵是從實際問題的具體情境中，抽象出數學本質，將其轉化為數學問題。
例5. （湖南卷第19題）在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C.
（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;
（II）若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.
解: （I）如圖，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為（海里/小時）。
（II）解法一 如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，
設點B、C的坐標分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC與x軸的交點為D.
由題設有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為。
又點到直線l的距離d=所以船會進入警戒水域.
解法二: 如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==。
從而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15. 過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.
在Rt中，PE=QE·sin
=
所以船會進入警戒水域.
這道題難度不大，但卻充分體現了三角函數知識的廣泛應用性，向我們顯示了越來越重視三角函數的工具作用。解決這樣的實際問題，在掌握了基本的數學知識和方法的前提下，還需要過好三關：一是事理關，即能從冗長的敘述圖表信息中理清思路，讀懂題意；二是文理關，即將文字語言翻譯為數學符號語言，抽象出問題的數學本質；三是數理關，由實際問題向數學問題轉化，建立起問題的數學模型。
(二)平面向量
平面向量是高中數學的重要組成部分.向量具有幾何、代數等多種形式，滲透于高中數學的各個領域中，構成中學數學知識的一個交匯。同時它在物理及其他自然科學領域里有著廣泛的應用，成為聯系多門學科的媒介，具有較強的工具性。因此，平面向量是高考數學的必考重點內容之一。
平面向量的考查，一般以兩種類型的題目出現：一是選擇或填空題，直接考查向量基礎知識；二是向量與幾何、三角等其它知識結合的綜合題，考查學生靈活運用向量知識解決綜合問題的能力。難度不大，強調思維、邏輯推理能力和數學思想方法的考查。
1. 與向量有關的選擇或填空題的特點是重在考查向量的基礎知識、基本運算性質以及邏輯推理、準確計算、思維判斷能力。具體包括：
考查向量基本概念、基本運算性質，設計直接進行計算、真假判斷及充分必要條件判定的命題；
例1（海南卷8）平面向量，共線的充要條件是（ D ）
A. ，方向相同 B. ，兩向量中至少有一個為零向量
C. ， D. 存在不全為零的實數，，
考查向量的四種基本運算及其三種（幾何、基底、坐標）不同形式，設計圖形判定或者直接計算等問題的命題；
例2 （遼寧卷5）已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足，則（ A ）
A． B． C． D．
考查向量的基本關系（共線、垂直、夾角）或給定特殊關系，設計判定相關向量間的關系或者已知其關系確定參數的值或范圍的命題；
例3 （上海卷5）若向量，滿足且與的夾角為，則．
考查平面向量基本定理，設計用基底向量表示某個向量或確定待定向量（基底表示式）中系數間應滿足的關系的命題；
例4（廣東卷8）在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（ B ）
A． B． C． D．
考查定比分點公式,設計比值、向量的起點，分點，終點坐標這四個“基本量”中，知三求一或比值范圍問題；
例5（重慶卷7)若過兩點P1(-1,2),P2(5,6)的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段所成的比的值為A
(A)－ (B) － (C) (D)
考查平移公式，設計圖形平移前、后的方程、平移向量，這三個基本量中“知二求一”的命題；
例6（遼寧卷8）將函數的圖象按向量平移得到函數的圖象，則（ A ）
A． B． C． D．
2. 與向量有關的解答題的考查特點是突出主干知識、思維模式、思維層次、思維容量；立足基礎、強調運用、區分層次、利于選拔。要求考生具有較強的推理能力、運算能力、創新能力。重點考查向量的核心內容；三種（幾何、基底、坐標）表示形式，四種（加、減、數乘、數量積）基本運算，三個基本關系（共線、垂直、夾角）的靈活應用。往往以向量為背景或載體，誘導出函數、三角等綜合問題，突出了向量的媒介作用；常常在其它知識為主體的綜合題中，直接給出含有向量知識的條件、或是解題過程中，需要使用向量的思想和方法，體現了向量滲透作用和工具性。例如：
以向量為載體，通過向量的四種基本運算，設計考查三角函數的性質或解三角形的綜合題。
例7. (福建卷第17題) 已知向量m=(sinA, cosA), n=，m·n＝1，且A為銳角。
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求函數的值域。
突出向量的坐標形式,把向量滲透于解析幾何問題中,設計考查解析幾何知識的綜合題。
例8.（四川卷21）．設橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線。
解：由與，得
，的方程為
設，則
由得： ①
（Ⅰ）由，得
② ③
由①、②、③三式，消去，并求得，故
（Ⅱ）
當且僅當或時，取最小值
此時，
故與共線。
此題重點考察橢圓中的基本量的關系，進而求橢圓待定常數，考察向量的綜合應用。要求考生熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練地進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應用。
五、關于09年高考備考
就我省情況來看, 09年高考中關于三角、向量命題方向仍將是：
(1) 三角函數、平面向量有關知識的運算；
(2) 三角函數的圖像變換；
(3) 向量與三角的綜合運用及解三角形。
(4) 與其它知識的結合，尤其是與解析幾何的結合。
小題大都以考察基本公式、基本性質為主，解答題以基礎題為主，中檔題會有所涉及，壓軸題可能性很小。
雖然高考中的三角函數問題題型豐富，方法靈活，綜合性強，但考題的難度都控制在中檔題的位置上，重在考查學生對基礎知識、基本方法和常用數學思想的應用能力。所以在復習備考的過程中，一要突出基礎知識的復習。要立足課本、抓好基礎.高考的重點是對三角函數的圖象與性質的考查，對基礎知識和基本技能的考查。所以在復習中首先要打好基礎.在考查利用三角公式進行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數的性質及圖象的變換，可見高考在降低對三角函數恒等變形的要求下，加強了對三角函數性質和圖象的考查力度；二要不斷加強通性通法的訓練；三要重視三角函數知識與其它數學知識的聯系；四要注意等價轉化等數學思想方法的滲透；五要關注三角函數知識的實際應用。這樣，我們就能在高考中以不變應萬變，取得好成績。
至于平面向量, 在復習過程中，要抓住“源于課本，高于課本”的指導方針。本章考題大多數是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關鍵。
2008年高考數學試題專題分析(五)
--------概率
九江外國語學校 錢 華
指導教師 林健航
一、江西試題原題及全國高考大綱解讀
第11題：電子鐘一天顯示的時間是00:00到23:59,每一時刻都由四個數字組成,則一天中任一時刻顯示的四個數字之和為23的概率 ( )
A. B. C. D.
第18題: 某柑橘基地因冰雪災害,使得果林嚴重受損,為此有關專家提出兩種拯救果林的方案,每種方案都需分兩年實施;若實施方案一,預計當年可以使柑橘產量為上一年產量的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑橘產量為上一年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別0.5、0.5.若實施方案二,預計當年可以使柑橘產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑橘產量為上一年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實施每種方案,第二年與第一年相互獨立.令表示方案實施兩年后柑橘產量達到災前產量的倍數.
(1)寫出、的分布列;
(2)實施哪種方案,兩年后柑橘產量超過災前產量的概率更大?
(3)不管哪種方案,如果實施兩年后柑橘達不到災前產量,預計可帶來效益10萬元;兩年后柑橘產量恰好達到災前產量,預計可帶來效益15萬元；柑橘產量超過災前產量，預計可帶來效益20萬元；問實施那種方案所帶來的平均效益更大？
考綱：
1.高考對本章知識的要求
【考試內容】
理科
文科
隨機事件的概率；
等可能時間的概率；
互斥事件有一個發生的概率；
相互獨立事件同時發生的概率；
獨立重復試驗；
離散型隨機變量的分布列；
離散型隨機變量的期望值和方差；
抽樣方法，總體分布的估計，正態分布，線性回歸；
隨機事件的概率；
等可能事件的概率；
互斥事件有一個發生的概率；
相互獨立事件同時發生的概率；
獨立重復試驗；
抽樣方法；
總體分布的估計；
總體期望值和方差的估計；
【考試要求】
理科
文科
了解隨機事件的發生存在的規律性和隨機事件概率的意義；
了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率；
了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率；
會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率；
了解離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列；
了解離散型隨機變量的期望值、方差；
會用隨機抽樣，系統抽樣，分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本；
會用樣本頻率分布去估計總體分布；
了解正態分布的意義及主要性質；
了解線性回歸的方法和簡單應用.
1. 了解隨機事件的發生存在的規律性和隨機事件概率的意義；
2. 了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率；
3. 了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率；
4. 會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率；
5. 了解隨機抽樣，了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣；
6. 會用樣本頻率分布估計總體分布；
7. 會用樣本估計總體期望值和方差.

2.大綱解讀
和去年相比，2009年高考大綱在本節無什么變化，試題難度要求可能與往年相當，即“總體難度適當”.考生應仔細研究題型示例，以便更好地理解考試要求和命題結構，把握后面復習的方向和細節.
高中內容中的概率與統計，是大學統計學的基礎，起著承上啟下的作用，是每年高考命題的熱點.在解答題中，文科為概率計算，理科多是分布列，數學期望.在選擇填空題中，抽樣方法是熱點（尤其對于文科試題）.
在概率與統計這節中文理科差異比較大.
二、試題特點分析（1-5為江西試題特點，6-7為外地試題特點）
（1）第11題與07年的第9題為相同題型——等可能事件的概率.
（2）第18題與07年的第19題的題型相似，立足基礎、信守兩綱、調整結構、穩重求變。
同時體現常規、適度創新，突出實際應用能力.
（3） 18題的文字較多，信息量大，一般學生在閱讀此題時可能要花較多的時間，從而制
約了此題的得分率.
（4）較全面的考察概率的基礎知識——分布列、兩個典型的概率以及數學期望.
（5）概率的大題，在07年為第19題，08年為第18題，說明概率在高考題中為中檔題，
學生較容易得分，在訓練中應抓住基礎，突出重點，不搞偏題怪題.
（6）全國其他各地對概率的命題在選擇與填空題中除安徽、湖南、重慶考查了正態分布，
天津、湖南考查了抽樣分析，山東、上海考查了方差外，余下的各地都是考查了等可能性事
件的概率.
（7）全國各地在概率的大題上的命題難點、理科仍是分布列問題以及概率與方程不等式的
簡單綜合問題，文科還是考查了兩個重要概率與實際生活知識的綜合，命題沒有大的變動.
三、試題中的題型分布及分值比例
題序
分值
考查的題型及知識點
2008年江西
11
5
選擇題，考查等可能事件的概率
2008年山東
7
5
2008年福建
5
5
2008年遼寧
7
5
2008年上海
7
5
2008年江蘇
2
4
填空題，考查等可能事件的概率
2008年江蘇
6
5
選擇題，考查等可能事件的概率
2008年湖南
15
5
選擇題，考查等可能事件的概率
2008年安徽
10
5
選擇題，考查正態分布
選擇題、正態分布
2008年湖南
4
5
2008年重慶
7
5
2008年江西
18
12
解答題，考查離散型隨機變量的分布列、期望
互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率
2007年江西
19
12
陜西3、重慶5、湖北14、天津11
填空題，考查抽樣分析，
四、試題的知識結構分析
江西試題中文、理科考查了等可能性事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率.理科還考查了“分布列” 、“期望”等.在本題中，互斥事件與相互獨立事件在一題中出現要求學生能清楚的區分出來，期望是以應用型出現的，表現了對知識的應用性和對分布列為常規性的考查.外地的試題中，出現正態分布、抽樣分析、方差等知識的考查，從試題整體上看，選擇填空只考查單一的知識點較多，少有綜合，突出基礎，從第三表格中反映出：等可能性事件的概率考查的概率大，其次為抽樣，再次為正態分布等.大題為中檔題，考查知識每年每卷基本相同.
五、試題的重點分析
試題中文理科重點考察三個重要的概率——“互斥” 、“相互獨立”和“等可能”.
高考對概率與統計部分的考查難度不變，以中檔題或中檔偏易題為主，為學生較易得分題.期望考查解決實際問題的能力、概率、分布列、期望，考查從實際生活中的摸球、擲骰子、撲克牌、體育活動射擊及從生活中建立抽象的數學模型的能力，體現了課本知識與實際問題的結合.全國各地的試題中，基本上以概率題取代了以往的應用題。
解題時要求學生分清概率的模型，分析事件的特征，理解計算某事件的概率，當“互斥事件”“相互獨立事件”在同一題中出現時，更要求學生概念清晰、思維縝密，方可百戰百勝.江西理科的第18題第3問則是現代企業的市場調查、風險投資問題，其實就是期望問題，這種題型在各地的考題中也不同程度的體現出來.
六、試題的難點分析
概率大題的文字多，信息量大，特別是08年江西試題，中檔學生理解此題需花較多的時間，而且過程較瑣碎，要讀懂這些字后再建立相應概率模型，思維又要周全，要做到實屬不易.在計算中還易代錯數據，從而導致整體錯誤.
七、概率的新穎試題分析
近幾年江西省對概率命題難度要求不高，題型單一，沒有與數列、幾何、不等式、向量及函數等知識的綜合，若要加大概率題的難度，以上綜合或許是一種命題改革的方向，在全國各省考題中有出現的跡象，例如，全國卷Ⅱ理科18題和廣東卷17題就是與不等式綜合的一道概率題.
例題：（廣東卷17）隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元.設1件品的利潤（單位：萬元）為.
（1）求的分布列；（2）求1件產品的平均利潤（即的數學期望）；
（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為1％，一等品率提高70％.如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多為多少？
（全國二18）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年內，出險則可以獲得1萬元賠償金，假定在1年內有1萬人購買了這種保險，且每個投保人是否出險相互獨立，已知保險公司在1年內至少支付賠償金1萬元概率為.
（1）求一投保人在1年內出險的概率P；
（2）設保險公司開辦該項險種業務除賠償金外的成本為5萬元，為保證贏利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費.
八、2009年高考備考及教學建議
（1）借助課本，構建主干知識網絡
突出知識結構，區分知識的異同點。數學知識結構的形成和發展，是一個知識積累、梳理的過程。如果說新授課是抓知識點的落實，那么復習課的重點就是注重各部分知識在各自發展過程中的縱橫關系，理清脈絡，抓住起支撐作用的主干，構建知識網絡。以課本知識為出發點，重視教材的基礎作用，緊扣課本上的概念，深刻理解當中的內涵，熟練掌握它在實際生活中的應用。
（2）借助典型習題，落實基礎，提高能力
高考對概率與統計部分的難度要求不高，所以更加突出基礎，要求學生對基本概念要清晰，對于一些基本題型要熟練。變通一些重要的數學例題和習題，落實基礎，訓練技能，提高綜合能力。
（3）關注社會的熱點，重視實際問題的背景
設置情境，考查學生運用概率統計解決實際問題的能力，是高考對本章知識的重點考查。從近三年的全國各地的高考題可以看出，高考題的立意新，并與社會的熱點問題聯系較多，所以要重視數學在生產、生活及科學中的應用，要重視學生創新意識和實踐能力的培養。
2008年高考數學試題專題分析（六）
-----解析幾何
九江市金安中學 宋俊浩
指導教師 林健航
《解析幾何》是一門用代數方法來研究圖形的幾何性質的學科，體現了數形結合的重要數學思想。近年來“解析幾何”一直是數學高考的主體內容，直線、圓與圓錐曲線的命題格局基本穩定，至少為"一小、一大"，20分左右，即一道選擇或填空題，外加一道解答題，那么這部分能否得高分對數學成績是否理想在一定程度上起著決定性的影響.
一、知識結構和考綱要求
本部分內容分為三大部分：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線。教材是從直線的傾斜角和斜率入手，以坐標法為基本方法，系統地研究了直線的各種方程和位置關系，為圓和圓錐曲線的學習做好了基本的知識準備。在“直線”這一章，考綱要求如下：
（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式．掌握直線方　　　　　程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程．　　（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式．能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系．　　（3）了解二元一次不等式表示平面區域．　　（4）了解線性規劃的意義，并會簡單的應用．　　（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標法． 在“曲線和方程”這一節中，要理解動點軌跡方程這一概念，并熟練掌握幾種常見的動點軌跡方程的求法：直接法、定義法、轉移法、參數法。盡管考綱未對這部分內容作明確的要求，但是從近兩年來的考題來看，軌跡方程的求法還是比較常見的，2008年江西卷理科第21題（1）就是運用“轉移法”求重心G的曲線方程。不過，個人認為該題結果應該有條件限制（），參考答案中未有限制條件不知是為何？動點軌跡方程求完之后一般是要考慮動點是否有客觀條件限制。
“圓”這部分內容除了要掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參數方程這些考綱要求的東西，還要掌握有關圓的一些性質定理，了解直線和圓、圓和圓的位置關系；掌握圓的切線方程和弦長的求法。
“圓錐曲線”是解析幾何的核心內容，是中學數學的重點、難點，也是高考命題的熱點之一。課本中首先通過實例說明研究圓錐曲線的意義，接著以曲線與方程的基礎理論為指導，系統地研究了橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程和幾何意義，并通過例題，用焦點、準線和離心率間的關系，給出圓錐曲線的統一定義，揭示了這三種曲線的內在聯系與區別，體現了從“量變到質變”的辯證規律。這部分內容考綱要求如下：
（1）掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，理解橢圓的參數方程．　　（2）掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質．　　（3）掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質．　　（4）了解圓錐曲線的初步應用． 二、試題結構及重難點分析
現今，各地高考試題結構主要集中在六個專題：1、函數、導數、不等式；2平面向量與三角函數；3、數列；4、概率；5、立體幾何；6、解析幾何。2007年和2008年江西卷各專題分值分布情況見表-1和表-2。
從表中不難看出，“解析幾何”是高考的一個重點內容，其所占的比值一般在14%以上，兩年來江西文科卷一直把“解析幾何”作為壓軸題，理科卷則作中高檔難度要求，并且文科所占的分值略比理科要高。從其他各地考卷來看也幾乎如此，可見該部分內容對考生的影響非同一般。
“解析幾何”考查的題型一般都是“兩小一大”即“兩道選擇題和一道解答題”或“一道選擇題、一道填空題和一道解答題”。考察的內容基本上以圓錐曲線為主，其次是圓，單獨考查直線的可能性很小，特別是解答題，幾乎都是以圓錐曲線為載體，綜合考查向量、三角、距離、面積、對稱、不等式應用等。2008年高考試卷中，只有江蘇卷在解答題中純粹考查圓的有關知識，其他各地和全國卷無一不是考查圓錐曲線的相關知識。2008年江西卷解析幾何部分試題分布及考查的知識點見表-3。
表-1
表-2
表-3
選擇題
填空題
解答題
文理相同，第7題
理科15題
文科14題
理科21題
文科22題
2008年江西卷
橢圓的離心率求法。
直線和拋物線的位置關系
雙曲線漸近線及點到直線距離
軌跡方程的求法及三點共線的證明
三點共線的證明及圓和拋物線的位置關系
縱觀近幾年的高考題可以看出對“圓錐曲線”的考查一般分為2至3個層次：一是以考查基本概念、基本性質為主的客觀題，屬容易題，一般是選擇題或填空題；二是以綜合考查軌跡問題、直線與圓錐曲線位置關系為主的中檔題，多以大題形式出現；三是綜合應用平面向量、三角函數、不等式、導數、數列等知識的中高檔題。作為中高檔題的要求其難點主要有兩個：一是綜合性強，二是計算難度大。該類題型一方面要考查考生的知識綜合能力，另一方面還要考查學生的意志品質和心理素質。因此，在高考復習時，這兩方面的訓練都要到位，否則臨考時不是因為綜合性太強而無從下手，就是因計算難度太大無法完成。
三、高考試題的特點分析
近兩年來，“解析幾何”試題具有以下總的特點：
1、突出基礎知識與基本技能的考查。即源于基礎，又高于基礎；穩中有變，但變中又有“定”。“圓錐曲線”最常見的考點就是考查直線和圓錐曲線的位置關系。這類考題基本做法就是聯立直線和曲線方程，運用根與系數的關系和判別式，解決交點、中點、對稱、弦長、面積、向量數量積等相關問題。在2008年高考題中，大多數“圓錐曲線”考題都是是這種類型。全國一、二卷、湖北卷就是聯立直線和曲線方程，利用韋達定理計算弦長和面積；北京、湖南、天津卷運用達定理和兩直線的垂直關系解決由弦的垂直平分線涉及的弦長、面積計算；福建、遼寧、陜西卷根據向量的數量積，運用根與系數的關系列式計算。應該說這類題型都是源于課本直線和圓錐曲線位置關系的習題，但是又高于課本，計算量大，有些問題帶有隱蔽性，需要適當轉化才能化歸為課本習題。
北京卷19題：已知菱形的頂點A、C在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1．
（Ⅰ）當直線過點時，求直線的方程；
（Ⅱ）當時，求菱形面積的最大值．
分析：該題第一問需要根據菱形的性質把問題轉化為弦AC的垂直平分線是BD，根據垂直對稱的特點轉化為常規習題，問題就不難解決了。第二問則需把把面積轉化為求弦AC的長度，利用弦長公式就可列出菱形面積表達式，求出最大值。
福建卷21：如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，值有,求a的取值范圍.
分析：該題需要把轉化為，然后根據根與系數關系列式計算。若是直接用兩點間距離公式計算則計算量會很大。計算量大是解圓錐曲線題的一大特點，若是能改進一些計算方法和參數方程的設法則可以大大簡化計算量。
像北京卷19題：弦長公式
可以簡化為（其中是二次方程的系數，是判別式），這樣就可以免去繁瑣的根與系數關系的運算。
像福建卷21題：直線AB的方程可以設為，免得討論直線AB的斜率存在
和不存在兩種情況，計算量也會有所降低。當然方程也有不足的地方，不能表示與軸平行的直線，在運用該直線方程解題時要引起注意。
例：已知AB是拋物線的焦點弦，且|AB|=,O是拋物線的頂點，求三角形AOB的面積。
分析：方法1：設AB方程為，聯立拋物線方程得：，
由，求得，O到AB的距離，
所以。
方法2：若設AB方程為，聯立拋物線方程得：，
，由，求出，
O到AB的距離，所以，再考慮AB與軸平行的情況也滿足。相比之下方法1運算量小的多，且無需討論，值得推薦。
2、體現出“活題”的命題原則。什么叫做“活”？改變基礎知識的編排順序與配合方式，使題目以全新的面孔出現，這就叫做“活”。
像江西卷理科21題：設點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點.
（1）過點作直線的垂線，垂足為，試求 的重心所在曲線方程.
（2）求證：三點共線。
分析：該題初看與切線有關的軌跡方程，不少考生想先求出切點A的坐標（用參數表示），然后求出N點坐標，再利用重心坐標公式求出G的參數方程，最后消去參數化為普通方程。可實際操作起來非常困難，計算量太大。其實該題第一問是以切線掩人耳目的，仔細分析，不難發現，拋物線上除了右頂點的切線不能與直線相交，其他任何一點的切線都會和直線相交，因此G的軌跡方程完全可以用轉移法求得，設，求得，所以 解得
由 可得，化簡得：
但是當A(1,0)時，求得，很顯然該點是不符合題意的，所以重心G的軌跡方程為：。而這一點在參考答案中未加以說明，不知為何？現在看來，我們稱為常規的題也可以是非常規的形式出現，體現出“活” 的命題原則，這也將是我們今后的命題趨勢。我們應對的策略就是：全面激活、組成系統，在相關問題情境中作出自然、準確、迅速的檢索與選擇，使問題迎刃而解。
3、反映“在知識交匯處命題”的理念。這種“交匯”現已突破“解析幾何”的圈子，而在更加廣闊的天地里馳騁。所以我們應該以整個中學數學知識為背景，全方位地復習、鞏固“雙基”，不能有絲毫的僥幸心理。從2008年各地高考試卷來看，“圓錐曲線”的命題綜合了向量（福建、遼寧、陜西）、三角（重慶）、數列（全國一、山東）、導數（廣東、山東、陜西、江西）、不等式（四川、全國二、遼寧、湖北、北京）等多方面的知識。其中向量、三角、不等式、數列與圓錐曲線的綜合在歷年的高考試卷中也比較常見，導數在圓錐曲線中應用是2008年高考試題中的一個新的亮點。
像江西卷理科21題（2）利用導數很容易求出切線PA、PB的方程，，∵為PA、PB的交點，∴，∴AB方程為：，顯然滿足直線AB的方程，∴A、B、M三點共線。
實際上，二次曲線上任意一點的切線方程可有以變換下公式得出：，，，。
山東卷22題：如圖，設拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為 直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.
分析：（Ⅰ）設，則切線MA、MB的方程為：，∵為MA、MB的交點，∴，
∴，所以A，M，B三點的橫坐標成等差數列。
（Ⅱ）AB方程為：，聯立，得，
∴=，
所以拋物線方程為：或
之前，導數與函數的結合比較多，利用導數討論函數的單調性。實際上導數的幾何意義可以幫助我們求切線的斜率，大大簡化用判別式來求斜率。江西卷的參考答案中沒有用導數求切線方程，而是用判別式來求，運算量非常大，很難在規定的時間內完成。因此我們在2009年的備考中應加強這方面的訓練，提高解題速度。
4、重視數學思想的考查。數學思想，特別是函數方程、等價轉化、分類討論、數形結合等，是數學的靈魂，是解答數學題的最高準則，是我們解題行為的總的指導方針。像江西卷理科、山東卷理科求過兩切點直線AB的方程時，就是利用方程的思想，由兩切線方程組直接得出過切點的直線方程，若不是用這種方法，很難求出過切點的直線方程。
“數形結合”是非常重要的數學思想方法，該方法運用得當，可以非常巧妙地解出用常規方法很難解的題，在高考試卷中不管大題還是小題都不乏該思想方法的應用。
像山東卷22題（Ⅲ）：由，可知C為OBC中線ON的延長線，且ON=NC，若C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，則有OD∥AB，且OD⊥CD，聯立OD和拋物線方程，求得，因為，所以CD∥y軸，因此，只有當AB∥x軸時，才能滿足條件，所以存在適合題意。
5、既重思維，又重計算。在“解析幾何”中這個特點顯得更加明朗與耀眼。思維固然重要，但是繁雜、冗長、令人“厭惡”的推演、計算、變換過程是絕對少不了的。在當今的考試中，有一條新的原則，那就是“考查學生的個性品質”，所以我們說“智商加情商，能力插翅膀”，必須努力克服既輕視計算，而又容易出錯的“眼高手低”的毛病。
四、09高考命題趨勢分析及備考建議
由以上特點，我們認為在未來的高考中，“解析幾何”試題將有以下命題趨勢：
1、單一型的題目將被更多的綜合型題目所取代.即使是選擇或填空題，每道題考查的知識點也可能是兩個、三個或更多個；在單元復習時注重各個單元知識“交匯點”的梳理，形成知識網絡，便于在大腦中迅速、準確的提取。
2、直線與圓錐曲線的位置關系(含各種對稱、圓的切線)的研究與討論仍然是重中之重，求曲線方程、弦長、夾角、面積、最值；證明某種關系、證明定值；求軌跡、求參數的取值范圍；探索型、存在性討論等問題仍將是常見的題型。因此，在復習備考時，還是要加強常規題解法訓練，注重通法通則的應用，像上述提到的問題應做到輕車熟路，快速求得答案。對于繁瑣的計算應在平時的訓練當中注意不斷小結，在什么地方經常容易算錯？有什么方法可以改進？如何選擇適當的參數方程會方便計算？只有平時做好了充分的準備才會在臨考時沉著應對。
3、與平面向量的關系將進一步密切，許多問題會披著“向量”的“外衣”。在復習“向量”單元時，應強調向量的幾何意義。有時候用幾何意義解題，會比用代數方法來的巧妙，可以避免大量繁瑣的計算。
4、三角函數的知識一直是解決“解析幾何”問題的好“幫手”，平時要善于總結在圓錐曲線中常見的三角關系。例如，橢圓和雙曲線上的點與兩個焦點構成的三角形面積有以下關系：橢圓內，雙曲線內，其中為的大小。運用這種關系在解2008年重慶卷理科21題（2）時會方便很多。
重慶卷理科21題：如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若,求點P的坐標.
分析：設， ，
∴，又∵，∴P點坐標為
5、由于導數的介入，拋物線的切線問題將有可能進一步“升溫”。在平時的教學中應加強導數在“圓錐曲線”中的應用。函數、方程與不等式與“解析幾何”問題的有機結合將繼續成為數學高考的“重頭戲”。對情境陌生、背景新穎的原創型試題一方面要有充分的思想準備，但也不必有恐懼心理，相信再新、再“難”的題，它仍扎根于基礎。
2008年高考數學試題專題分析(四)
------立體幾何
九江市三中 聶己未 徐中兵
指導教師 林健航
一、高考試題特點
高考試卷中，立體幾何把考查的立足點放在空間圖形上，突出對空間概念和空間想象能力的考查。立體幾何的基礎是對點、線、面的位置關系的討論和研究，進而討論幾何體。高考命題時，突出空間圖形的特點，側重于直線與直線、直線與平面、兩個平面的位置的關系以及空間角、距離、面積、體積的計算的考查，以便檢測考生立體幾何的知識水平和能力。
二、高考試題中題型分布及分值比例
以下是08考題、考點、分值分布統計表
卷型
題 序
分 值
考查的題型及知識點
全國Ⅰ
11、16、18
5+5+12=22
棱柱的性質、線線角、線面角、二面角、垂直的證明
全國Ⅱ
10、12、16、19
5+5+4+12=26
線線角、球的性質、四棱柱與平行六面體的性質、線面關系、面面關系、二面角
北京卷
8、16
5+14=19
空間想象能力和函數圖象、垂直關系、二面角、點到面的距離
天津卷
4、12、19
5+4+12=21
面面關系、球的性質、線面垂直、異面直線所成的角、二面角
湖北卷
3、18
5+12=17
球的性質、直棱柱、線面角、二面角、線面關系
湖南卷
5、9、17
5+5+12=22
線線、線面、面面的位置關系、球面距離、面面垂直的證明、二面角
浙江卷
10、14、18
5+4+14=23
空間想象能力、球的性質、線面平行、二面角
江西卷
10、16、20
5+4+12=21
空間想象能力、線面垂直、二面角
遼寧卷
11、14、19
5+4+12=21
空間想象能力、球的性質、線面關系、面面關系、解三角形
福建卷
6、15、18
5+4+12=21
線面角、球的性質、線面關系、線線角、點到面的距離
四川卷
8、9、15、19
5+5+4+12=26
球的性質、空間想象能力及最小角定理、四棱柱的性質、四點共面、二面角
安徽卷
4、16、18
5+4+12=21
線線、線面、面面的位置關系、球面距離、線線角、點到面的距離
陜西卷
9、14、19
5+4+12=21
線面角、線面垂直性質、球面距離、面面垂直、二面角
廣東卷
5、15、20
5+5+14=23
三視圖、平面幾何、線面角、線線垂直
山東卷
6、20
5+12=17
三視圖、線線垂直、線面垂直、二面角
寧夏/海南
12、15、18、22
5+5+12+10=32
三視圖、球的性質、線線角、線面角、平面幾何
重慶卷
9、13
5+13=18
球的性質、折疊問題
上海卷
13、16
4+12=16
線面垂直、線面角
三、本專題高考試題結構分析
從上表可以看出：立體幾何均分在21分左右，高考的命題堅持以穩定大局，控制難度，貫徹“說明”要求，同時在創新方面做了一些有益的嘗試。
命題的穩定主要表現在：考查的重點及難點穩定，高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質與判定，線、面間的角與距離的計算作為考查的重點，尤其是以多面體和旋轉體為載體的線面位置關系的論證，年年反復進行考查，在難度上也始終是以中等偏難為主。
在改革創新方面表現在：
全國Ⅱ16題，平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件① ；
充要條件② ．
（寫出你認為正確的兩個充要條件）答案不唯一，使試題更具有開放性和探索性；
北京卷第8題，如圖，動點在正方體的對角線上．過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設，，則函數的圖象大致是（ B ）

把立體幾何的空間想象能力和函數圖象有機的結合，是數形完美的結合；
江西卷16題是多選題，如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P。如果將容器倒置，水面也恰好過點（圖2）。有下列四個命題：
A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半
B．將容器側面水平放置時，水面也恰好過點
C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點
D．若往容器內再注入升水，則容器恰好能裝滿
其中真命題的代號是： B,D （寫出所有真命題的代號）．
將立體幾何與生活實際結合，讓學生學以致用；
江西卷的第20題，如圖，正三棱錐O-ABC的三條側棱
OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2，
E、F分別是AB、AC的中點，H是EF的中點，
過EF的一個平面與側棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A1、B1、C1，已知OA1=.
(1)證明：B1C1平面OAH；(2)求二面角O-A1B1-C1的大小.
只要學生把圖倒置，問題就很容易求解，考查到了學生掌握知識的靈活性。
綜合性、開放性立體幾何題成為命題者的試驗田，這些改革嘗試的目的在于激發學生獨立思考，從數學的角度去發現和提出問題，并加以探索和研究，有利于提高學生的思維能力和創新意識。
四、本專題的熱點
透析高考試題，可以看出本專題的熱點為：
直線和平面平行、垂直的判定與性質；
兩個平面垂直的判定與性質；
異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角；
考查求空間距離及求距離時的等面積（或等體積）轉化的思想方法；
利用空間向量來證明平行和垂直關系（包括線線垂直、平行；線面垂直、平行；面面垂直、平行）及利用空間向量解決求空間角及空間距離問題；
棱柱、棱錐、球的概念和性質，棱柱、棱錐的復現率較高，在迎考中應繼續關注；
尋找截面形狀，多面體的外接球、內切球，計數問題，折疊問題漸成新熱點；
從與新課標的關系看，08年高考命題不同程度體現了三視圖的思想方法，如山東卷第6題、廣東卷第5題、海南卷第12題等等。
五、09高考復習建議
1、回歸課本，抓好基礎落實
系統地掌握每一章節的概念、性質、法則、公式、定理、公理及典型例題，這是高考復習必須做好的第一步,高考題“源于課本,高于課本”，這是一條不變的真理，所以復習時萬萬不能遠離課本，必要時還應對一些課本內容進行深入探究、合理延伸和拓展。
2、注重規范，力求顆粒歸倉
網上閱卷對考生的答題規范提出更高要求，填空題要求：數值準確、形式規范、表達式(數)最簡；解答題要求：語言精練、字跡工整、完整規范。
考生答題時常見問題：如立幾論證中的“跳步”，缺少必要文字說明，忽視分類討論，或討論遺漏或重復等等。這些都是學生的“弱點”，自然也是考試時的“失分點”，平時復習中，我們應該引起足夠的重視。
3、加強計算，提高運算能力
“差之毫厘，繆以千里”，“會而不對，對而不全”，計算能力偏弱，計算合理性不夠，這些在問題解答過程中時有發生，因此平時教學過程中應該加強對計算能力的培養；學會主動尋求合理、簡捷運算途徑；平時訓練應樹立“題不在多，做精則行”的理念。
4、整體把握，培養綜合能力
對于綜合能力的培養，我們堅持整體著眼，局部入手，重點突破，逐步深化原則；適度關注創新題。高考數學考查學生的能力，勢必設計一定的創新題，以增加試題的區分度，平時復習應注重數學建模、直覺思維能力、合情推理能力、策略創造能力的培養。

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