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第二章 函數的概念與性質 第二節(jié) 函數的單調性與最值（講）
第二節(jié) 函數的單調性與最值
一.課標要求，準確定位
1.借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性，掌握求函數單調區(qū)間的基本方法.
2.理解函數最大值、最小值的概念，理解它們的作用和實際意義，會求簡單函數的最值.
3.能夠利用函數的單調性解決有關問題.
二.考情匯總，名師解讀
函數的單調性、最值及其意義在高考中占有較高地位，一直是考試的熱點.單調性經常與奇偶性綜合出題，以小題形式出現的較多；在函數大題中往往都會涉及單調性，特別是與導數結合；單調性和最值是密不可分的，單調性及最值的幾何意義也時常出現，這種題往往有一定的技巧性.
【二級結論】
1.設，.函數單調性定義的等價形式.
①或在區(qū)間上是增函數；
②或在區(qū)間上是減函數.
2.函數f(x)與f(x)＋c(c為常數)具有相同的單調性．
3.k>0時，函數f(x)與kf(x)單調性相同；k<0時，函數f(x)與kf(x)單調性相反．
4.函數y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，的單調性相反．
5.在公共定義域內，增函數＋增函數＝增函數，減函數＋減函數＝減函數．
6.若f(x)，g(x)都是增(減)函數，則當兩者都恒大于零時，f(x)·g(x)是增(減)函數；當兩者都恒小于零時，f(x)·g(x)是減(增)函數．
7.復合函數單調性的判斷方法：若內層函數g(x)與外層函數f(x)單調性相同，則復合函數為增函數；若內層函數g(x)與外層函數f(x)單調性相反，則復合函數為減函數．簡稱“同增異減”．
8.對勾函數單調性：（，）的單調性：
在和上單調遞增，在和上單調遞減．
核心考點1 判斷函數單調性
1．(多選)下列結論錯誤的是（ ）
A．因為，則在上是增函數．
B．函數在上單調遞增，則函數的單調遞增區(qū)間為．
C．若函數在區(qū)間和上均為增函數，則函數在區(qū)間上為增函數．
D．函數的單調遞減區(qū)間是．
2．下列函數中，在區(qū)間上是減函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
核心考點2 求函數單調區(qū)間
4．函數的單調遞減區(qū)間是 .
5．函數的單調遞減區(qū)間為（ ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞）
C．[0，2] D．[0，+∞）
核心考點3 求函數最值
6．函數f (x)＝的最大值為 ．
7．函數在上的最小值為 ，最大值為 .
核心考點4 函數單調性的應用
8．若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是 ．
9．已知函數f (x)＝2 021x－2 021－x＋1，則不等式f (2x－1)＋f (2x)>2的解集為 ．
10．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為 ．
(教材改編題)
11．函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是 ．
核心考點5 最值的應用
12．已知函數，，并且函數的最小值為,則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
13．若函數在區(qū)間上的最大值是4，則實數的值為（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
14．對于，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考向一 具體函數的單調性
15．函數的單調減區(qū)間是 ．
16．已知函數 ，則“ ”是“ 在 上單調遞增”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
17．已知函數的圖象如圖所示，則函數的單調遞增區(qū)間為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考向二 抽象函數的單調性
18．已知函數對于任意，總有，且時，.
(1)求證：在上是奇函數；
(2)求證：在上是減函數；
(3)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【類題通法】
1.判斷函數單調性的四種方法
(1)定義法：按照取值、作差變形、定號、下結論的步驟判斷或證明函數在區(qū)間上的單調性；
(2)圖象法：對于熟悉的基本初等函數(或由基本初等函數構成的分段函數)，可以通過利用圖象來判斷單調性；
(3)導數法：利用求導的方法(如含有ex，ln x的超越函數)判斷函數的單調性；
(4)復合法：針對一些簡單的復合函數，可以利用復合函數的單調性法則(同增異減)來確定單調性．
2.利用定義法證明或判斷函數單調性的步驟
考向一 比大小
(2023·南通模擬)
19．已知函數，若，，，則有（ ）
A． B．
C． D．
考向二 求參數
20．已知函數在區(qū)間上單調遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
21．若函數在單調遞增，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
考向三 解不等式
22．已知函數是定義在區(qū)間上的函數，且在該區(qū)間上單調遞增，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函數，則不等式的解集為 ．
考向四 證明不等式
24．設n是正整數，r為正有理數．
(1)求函數的最小值；
(2)證明：.
考向五 求最值/值域
25．已知函數，則（ ）
A．是單調遞增函數 B．是奇函數
C．函數的最大值為 D．
26．若函數，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
考向六 構造函數
27．求方程的解.
【類題通法】
1. 利用單調性比大小：
①對已知函數解析式比較函數值大小的問題，應先將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，再利用函數的單調性解決;
②對沒有給出函數解析式的比較大小問題，需要先構造函數，再求函數的單調區(qū)間，最后利用函數的單調性比較大小.
2. 利用單調性求參：
①直接利用題意條件和單調性帶入求參；
②分段函數求參，每段單調性都符合題意，相鄰兩段自變量臨界點的函數值取到等號；
③復合函數求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數或構造函數法轉化成恒成立或有解問題.
3. 利用單調性證明不等式：一般構造函數來判斷函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.
考向一 單調性法
28．函數y＝在[2，3]上的最小值為（ ）
A．2 B．
C． D．－
考向二 圖象法(數形結合)
29．已知函數，.
(1)求方程的解集；
(2)定義：.已知定義在上的函數，求函數的解析式；
(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標系中，畫出函數的簡圖，并根據圖象寫出函數的單調區(qū)間和最小值.
考向三 換元法
30．求的最小值．
考向四 配湊法(基本不等式法)
31．當時，求函數的最小值.
考向五 導數法
32．求函數的最大值.
【類題通法】
單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值;
圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值;
換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值;
配湊法(基本不等式法)：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值;
導數法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.
考向一 求參問題
33．一次函數，在[﹣2，3]上的最大值是，則實數a的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
34．已知函數有最小值，則a的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
考向二 恒成立問題
35．已知，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C． D．
36．已知函數，當時，不等恒成立，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
37．已知函數，，若，，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考向三 有解問題
38．當時，若關于的不等式有解，則實數的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
39．已知函數，，對于存在的，存在，使，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
40．已知函數，，對于任意，存在有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【類題通法】
恒成立問題和有解問題：
1.單變量恒成立和有解問題，利用分離參數法轉化為求函數的最值．轉化方法：
①；；
②；.
2.雙變量恒成立問題，解題關鍵是轉化為求函數的最值，轉化時要注意全稱量詞與存在量詞對題意的影響．等價轉化如下：
(1)，，成立等價于；
(2)，，恒成立等價于；
(3)，，成立等價于；
(4)，，成立等價于.
【微點解讀】
若分段函數在R上遞增(減)，則函數在每段上都增(減)且相鄰兩段的臨界點處函數值可取到等號“=”.
41．已知函數是R上的單調函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
42．已知函數是R上的增函數，則a的取值范圍為（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【微點解讀】
1．復合函數的單調性的判斷方法
y＝f(g(x))的單調性判斷可用口訣：同增異減．
y＝f(t)和t＝g(x)在單調性相同時，復合后的y＝f(g(x))是單調遞增的，
y＝f(t)和t＝g(x)在單調性不同時，復合后的y＝f(g(x))是單調遞減的．
43．已知函數，則該函數的單調遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
44．函數的單調遞減區(qū)間是
A． B． C． D．
45．已知函數在R上單調遞減，則函數的增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
46．函數在上的最值是（ ）
A．最大值是4，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是4，最小值是 D．最大值是2，最小值是
（吉林省白山市2023屆高三四模）
47．給出下列說法，其中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．若，則的最小值為2
48．某校數學興趣小組在研究函數最值的過程中，獲得如下研究思路：求函數的最大值時，可以在平面直角坐標系中把看成的圖象與直線在相同橫坐標處的“高度差”，借助“高度差”探究其最值.借鑒該小組的研究思路，記在上的最大值為M，當M取最小值時， ， .
49．已知函數，其中m為常數，且．
(1)求m的值；
(2)用定義法證明在R上是減函數．
50．已知.
（1）不等式恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）若不等式有解，求實數a的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABCD
【分析】結合單調性的定義，舉反例說明各結論都為錯誤結論.
【詳解】對于A，設，則，滿足條件，
由二次函數性質可得在上單調遞減，與結論矛盾，A錯誤；
對于B，設，則函數在上單調遞增，但由一次函數性質可得函數的單調遞增區(qū)間為，B錯誤；
對于C，設函數，
由一次函數性質可得函數在區(qū)間和上均為增函數，
又，故函數在區(qū)間上不是增函數，C錯誤；
當時，函數的函數值為，當時，函數的函數值為，
所以結論函數的單調遞減區(qū)間是錯誤，D錯誤；
故選：ABCD.
2．D
【分析】根據二次函數，冪函數，指數函數，一次函數的單調性即可得出答案.
【詳解】解：對于A，函數在區(qū)間上是增函數，故A不符合題意；
對于B，函數在區(qū)間上是增函數，故B不符合題意；
對于C，函數在區(qū)間上是增函數，故C不符合題意；
對于D，函數在區(qū)間上是減函數，故D符合題意.
故選：D.
3．BC
【解析】易知A，B，C，D四個選項中的函數的定義域均為，先利用定義法求出與的關系從而判斷奇偶性，再根據函數的性質判斷單調性，即可得到結果.
【詳解】解：由題易知A，B，C，D四個選項中的函數的定義域均為，
對于選項A，，
則為奇函數，故A不符合題意；
對于選項B，，即為偶函數，
當時，設，則，
由對勾函數性質可得，當時是增函數，又單調遞增，
所以在上單調遞增，故B符合題意；
對于選項C，，即為偶函數，
由二次函數性質，可知對稱軸為，
則在上單調遞增，故C符合題意；
對于選項D，由余弦函數的性質，可知是偶函數，
但在內有增有減，故D不符合題意；
故選：BC.
【點睛】本題考查由函數解析式判斷函數的奇偶性和單調性，考查利用定義法判斷函數的奇偶性以及利用函數的性質判斷函數的單調性，熟練掌握各函數的基本性質是解題關鍵.
4．
【分析】根據復合函數單調性同增異減來求得正確答案.
【詳解】在上單調遞減，
在上單調遞減，在上單調遞增，
根據復合函數單調性同增異減可知，
函數的單調遞減區(qū)間是.
故答案為：
5．B
【分析】直接根據函數的解析式可得函數的單調區(qū)間，即可得到答案；
【詳解】∵，
∴函數的單調遞減區(qū)間是（–∞，2]，增區(qū)間為[2，+∞），
∴的單調遞減區(qū)間是[2，+∞），
故選：B．
6．2
【分析】求出函數在每一段的最大值，再進行比較，即可得答案；
【詳解】當時，函數為減函數，
所以在處取得最大值為；
當時，易知函數在處取得最大值為.
故函數的最大值為2.
故答案為：2.
【點睛】本題考查分段函數的最值，考查運算求解能力，屬于基礎題.
7．
【分析】根據題意得到在上為單調遞減函數，進而求得函數的最值.
【詳解】由函數，可得函數在上為單調遞減函數，
所以，.
故答案為：；.
8．
【詳解】本題等價于在上單調遞增，對稱軸，
所以，得．即實數的取值范圍是．
點睛：本題考查復合函數的單調性問題．復合函數的單調性遵循“同增異減”的性質．所以本題的單調性問題就等價于在上單調遞增，為開口向上的拋物線單調性判斷，結合圖象即可得到答案．
9．
【分析】由題意可得f (－x)＋f (x)＝2，從而f (2x－1)＋f (2x)>2可化為f (2x－1)>f (－2x)，再由函數的單調性可得答案
【詳解】由題意知，f (－x)＋f (x)＝2，
∴f (2x－1)＋f (2x)>2可化為f (2x－1)>f (－2x)，
因為函數和函數在R上單調遞增，
所以函數f (x)在R上單調遞增，
∴2x－1>－2x，∴x>，
∴原不等式的解集為.
故答案為：
【點睛】此題考查由函數的單調性解不等式，解此題的關鍵是結合已知將f (2x－1)＋f (2x)>2可化為f (2x－1)>f (－2x)，屬于基礎題
10．
【分析】化簡，根據題意得到，即可求解.
【詳解】由函數，
因為在上單調遞增，則滿足，解得，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
11．.
【分析】先求得的單調遞增區(qū)間為，根據題意得到，即可求解.
【詳解】由函數，可得函數的單調遞增區(qū)間為，
因為在上單調遞增，可得，解得，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
12．B
【分析】容易求出的對稱軸為，從而得出在上單調遞減，在上單調遞增，從而可根據在上取得最小值得出的取值范圍．
【詳解】解：的對稱軸為，
∵在上的最小值為，
，
∴的取值范圍是．
故選B．
【點睛】本題考查了二次函數的對稱軸，二次函數的單調性，減函數的定義，考查了推理和計算能力，屬于基礎題．
13．B
【解析】分和兩種情況求解，時，在區(qū)間上為增函數，從而可求出其最大值，當時，在區(qū)間上為減函數，從而可求出其最大值，進而可得答案
【詳解】解：當時，在區(qū)間上為增函數，則當時，取得最大值，即，解得；
當時，在區(qū)間上為減函數，則當時，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故選：B
14．B
【解析】分離參數，引入新函數，由新函數是減函數得最小值，從而得參數范圍．
【詳解】由題意在時恒成立，
函數是減函數，∴，∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查不等式恒成立，解題方法是利用分離參數法轉化為求函數的最值．轉化方法：
（1）恒成立，
（2）恒成立，
15．，
【分析】根據絕對值的定義去絕對值，寫成分段函數形式，再根據函數單調性求得單調遞減區(qū)間．
【詳解】去絕對值，得函數
當 時，函數 的單調遞減區(qū)間為
當 時，函數的單調遞減區(qū)間為
綜上，函數 的單調遞減區(qū)間為，
故答案為：，
16．A
【詳解】f′(x)＝x2＋a，當a≥0時，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件．故選A.
17．C
【分析】根據復合函數的單調性結合圖形找出使得函數單調遞減以及滿足的對應的取值范圍即可.
【詳解】因為在上為減函數，所以只要求的單調遞減區(qū)間，且.
由圖可知，使得函數單調遞減且滿足的的取值范圍是.
因此，函數的單調遞增區(qū)間為、.
故選：C.
【點睛】本題考查對數型復合函數單調區(qū)間的求解，在利用復合函數法得出內層函數的單調區(qū)間時，還應注意真數要恒大于零.
18．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)最大值為2，最小值為－2
【分析】（1）根據條件，通過賦值得到，再令即可證明結果；
（2）利用（1）中結果和條件，再利用單調性的定義即可證明結果；
（3）利用（2）中結果，得到在上也是減函數，再利用單調性和條件即可求出結果.
【詳解】（1）因為函數對于任意，總有，
令，得，
令，得，即，
所以在上是奇函數.
（2）在上任取，
則，又因為，
因為時，，所以，得到，
所以在上是減函數.
（3）因為是上的減函數，
所以在上也是減函數，
所以在上的最大值和最小值分別為和，
而，，
所以在上的最大值為2，最小值為－2.
19．A
【分析】根據指數函數和二次函數性質判斷函數的單調性，再根據對數函數、指數函數性質比較的大小后可得結論．
【詳解】因為是增函數，是減函數，
所以在上單調遞增，且.
又在上單調遞增，且，
所以在上單調遞增．
又，，，
即，所以．
故選：A.
20．AC
【解析】根據解析式得到函數關于對稱，再由已知區(qū)間上的單調性可得，即可單調性，即可比較大小.
【詳解】由函數，可知函數關于對稱，且在上單調遞增，易得；
∴，
又在上單調遞減，
∴.
故選：AC.
【點睛】本題主要考查由對數型函數的單調性比較大小，熟記對數函數的性質即可，屬于基礎題型.
21．D
【分析】根據給定條件利用對數型復合函數單調性列式求解作答.
【詳解】函數中，令，函數在上單調遞增，
而函數在上單調遞增，則函數在上單調遞增，且，
因此，，解得，
所以實數a的取值范圍為.
故選：D
22．D
【分析】由已知有，即可求取值范圍.
【詳解】因為函數是定義在區(qū)間上的增函數，滿足，
所以，解得.
故選：D
23．
【分析】利用函數的單調性以及分段函數的性質，化簡不等式得出不等式的解集.
【詳解】構建函數，，可得函數單調遞增，
，，則函數單調遞增，
且，因此函數在上是增函數．
，，
解得，于是不等式的解集為．
故答案為：.
24．(1)最小值為
(2)證明見解析
【分析】（1）求導后，令導數為0，即可判斷的單調性，從而解；
（2）由（1）可得當且時，有，分別令、即可證明；
【詳解】（1）因為，
所以，
令，解得．
當時，，∴在上單調遞減；
當時，，∴在上單調遞增．
故函數在處取得最小值，其最小值為．
（2）由（1）知，當時，，即，
且等號當且僅當時成立，故當且時，有①.
在①式中，令（這時且），得．
此式兩邊同乘，得，即．②
當時，在①式中，令（這時且），得．
此式兩邊同乘，得，即．③
且當時，③式也成立．
綜合②③兩式得．
25．C
【分析】由函數的解析式判斷函數的單調性，由其自變量區(qū)間知非奇非偶函數，進而可知其最大值及的大小關系.
【詳解】A：由解析式知：是單調遞減函數，錯誤；
B：由，顯然不關于原點對稱，不是奇函數，錯誤；
C：由A知：在上，正確；
D：由A知：，錯誤.
故選：C.
26．C
【解析】利用分離常數法將函數轉化為，再利用二次函數的性質求解.
【詳解】函數，
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以的值域為
故選：C
【點睛】本題主要考查函數值域的求法以及不二次函數的性質的應用，屬于基礎題.
27．
【分析】令，判斷函數的單調性，結合即可得解.
【詳解】令，因為，，
所以函數在上是減函數，
又，故原方程有唯一解.
28．B
【分析】由解析式得函數為遞減函數，根據單調性可求得最小值.
【詳解】y＝在[2，3]上單調遞減，所以x=3時取最小值為，
故選：B.
【點睛】本題考查了利用函數的單調性求最值，屬于基礎題.
29．(1)
(2)
(3)圖象見解析，單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，最小值為1
【分析】（1）根據題意可得，平方即可求解.
(2)由題意比較與的大小，從而可得出答案.
(3)由（2）得到的函數關系，作出函數圖像，根據圖像可得函數的單調區(qū)間和最小值.
【詳解】（1）由，得且，解得，；
所以方程的解集為
（2）由已知得.
（3）函數的圖象如圖實線所示：
函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，其最小值為1.
30．
【分析】利用單調性定義可證得為定義域上的增函數，由此可得.
【詳解】由題意得：的定義域為，
任取，則，
；
，，，
在上為增函數，.
31．
【分析】將函數變形成，再利用重要不等式即可求出結果.
【詳解】因為，所以，
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數的最小值為.
32．
【分析】利用導數研究的單調性，進而求其最大值即可.
【詳解】由題意定義域為，
則，顯然，
令，則，即單調遞減，
又，，即，使，
所以，即，
當時，單調遞增；當時，單調遞減，
所以有最大值，最大值為.
33．D
【分析】根據函數的最值和函數單調性的關系即可求出a的范圍.
【詳解】因為一次函數，在[﹣2，3]上的最大值是，
則函數f（x）在[﹣2，3]上為減函數，則3a﹣2＜0，解得，
故選D．
【點睛】本題考查了一次函數的單調性和最值的關系，考查了轉化與化歸思想，屬于基礎題.
34．C
【分析】先求出時的最小值，然后對于時，討論的單調性和取值情況，結合題目要求進行研究，得到的取值范圍.
【詳解】當時， ，此時；
當時，.
①a=1時，為常函數，此時在R上滿足函數有最小值為，
②a≠1時，函數f（x）此時為單調的一次函數，要滿足在R上有最小值，
需 解得，
綜上，滿足題意的實數a的取值范圍為： ，
故選：C．
35．D
【分析】利用基本不等式求x＋2y的最小值即可.
【詳解】因為，
所以．
當且僅當，即時取等號，
又因為恒成立，
所以，解得．
故選：D.
36．B
【分析】先判斷分段函數的單調性，得到是減函數，把轉化成，
求在上恒成立即可.
【詳解】由題意，當時，是減函數；當時，是減函數，
且，所以函數在上單調遞減.
因為，所以，即在上恒成立，所以，得.
故選：B.
37．A
【分析】本題的關鍵是將已知轉化為在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.
【詳解】由得，，當時，，
∴在單調遞減，∴是函數的最小值，
當時，為增函數，∴是函數的最小值，
又∵，都，使得，
可得在的最小值不小于在的最小值，
即，解得，
故選：A．
38．A
【分析】本題首先可根據題意得出當時不等式有解，然后令，求出當時的取值范圍，即可得出結果.
【詳解】不等式有解即不等式有解，
令，
當時，，
因為當時不等式有解，
所以，實數的取值范圍是，
故選：A.
【點睛】方法點睛：本題考查根據不等式有解求參數，可通過構造函數并通過求函數的值域的方式求解，考查二次函數的值域的求法，考查推理能力，是中檔題.
39．A
【分析】條件可轉化為，，，，再分別求列不等式可求的取值范圍.
【詳解】因為對于存在，存在，使，
所以，，，
又，，
顯然在上單調遞減，則，
當時，，即在上單調遞增，
則，
由解得：，
所以實數的取值范圍為.
故選：A.
40．B
【分析】使，據此求解即可.
【詳解】對于任意，存在有等價于.
由，函數單調遞增，可得
，，對稱軸為，
時，，
，
解得.
故選：B
41．B
【分析】可知分段函數在R上單調遞增，只需要每段函數單調遞增且在臨界點處的函數值左邊小于等于右邊，列出不等式即可．
【詳解】可知函數在R上單調遞增，
所以；
對稱軸，即；
臨界點處，即；
綜上所述：
故選：B
42．B
【分析】依題意可得函數在各段均是增函數且在斷點的左側的函數值不大于斷點右側的函數值，即可得到不等式組，解得即可；
【詳解】解：因為且在上單調遞增，
所以，解得，即
故選：B
43．D
【分析】求出的定義域，結合復合函數的單調性求解即可
【詳解】由，解得或，所以函數的定義域為
可看作是由，復合而成的，
的單調遞增區(qū)間為，
在上單調遞增，
由復合函數的單調性的判定知， 函數的單調遞減區(qū)間為
故選：D
44．D
【分析】利用復合函數的單調性確定函數f（x）的單調遞減區(qū)間．
【詳解】設t＝x2﹣2x﹣3，則函數在（﹣∞，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增．
因為函數在定義域上為減函數，
所以由復合函數的單調性性質可知，此函數的單調遞減區(qū)間是（1，+∞）．
故選D．
【點睛】本題主要考查了復合函數的單調性以及單調區(qū)間的求法．復合函數的單調性，一要注意先確定函數的定義域，二要利用復合函數與內層函數和外層函數單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據是“同增異減”．
45．C
【分析】由單調遞減得，結合的解析式，根據二次函數的性質即可求單調遞增區(qū)間.
【詳解】由函數在上單調遞減可知，
∴開口向下，對稱軸為，
∴在上單調遞增.
故選：C
46．A
【分析】利用導數研究函數的單調性，再求出端點處的函數值以及極值進行比較.
【詳解】因為，所以，
由有：或，由有：，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
所以在上的最大值是4，最小值是，故B，C，D錯誤.
故選：A.
47．AC
【分析】A、B利用二倍角余弦、正切公式求值判斷；C、D根據的區(qū)間單調性求最小值即可判斷.
【詳解】A：，正確；
B：因為，所以或，錯誤；
令，易知在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，的最小值為2，當時，的最小值為，C正確，D錯誤.
故選：AC
48． 0 ##
【分析】看成的圖象與直線在相同橫坐標處的“高度差”，畫出圖象，分類討論，即可得出答案.
【詳解】看成的圖象與直線在相同橫坐標處的“高度差”，
則表示恒過的一條直線，圖象如下圖，
，，分別表示，和，
由圖可得，若或時，;
若時，若或，則點，一定不同時在直線上，
此時；
只有當，時，M取最小值.
故答案為：0；.
49．(1)1；
(2)證明見解析.
【分析】(1)將代入函數解析式直接計算即可；
(2)利用定義法直接證明函數的單調性即可.
【詳解】（1）由題意得，
，
解得；
（2）由(1)知，，所以R，
R，且，
則，
因為，所以，所以，
故，即，
所以函數在R上是減函數.
50．（1）；（2）.
【分析】(1)令，求出在上的最小值即可；
(2)令，求出在上的最大值即可.
【詳解】令，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以實數a的取值范圍是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以實數a的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁
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