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第二章 函數的概念與性質 第四節 二次函數
第四節 二次函數
一.課標要求，準確定位
1.理解并掌握二次函數的定義、圖象及性質．
2.能用二次函數、方程、不等式之間的關系簡單解決問題．
二.考情匯總，名師解讀
高考對二次函數的考查主要體現在兩個方面，一是對二次函數圖象和性質本身的考查，包括單調性、最值、圖象特征等；二是對二次函數與其他知識交匯問題的考查，包括二次函數與導數、函數零點、不等式等知識的交匯.
【二級結論】
1. 二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區間的范圍有關．
2.根與系數的關系
3.二次函數在某種特殊條件下也能具有奇偶性：b=0時，二次函數為偶函數.
核心考點1 二次函數解析式
1．已知二次函數的圖象的頂點坐標為，且過點，則該二次函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函數的圖象經過，兩點，則二次函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
核心考點2 二次函數的圖象
3．如圖，若，，，則拋物線的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函數的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
核心考點3 二次函數單調性的應用
5．已知函數，則函數的最大值為（ ）
A．15 B．10 C．0 D．
6．已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是 ．
7．函數，則恒成立的解集是（ ）
A． B． C． D．
考向一 設一般式
8．已知二次函數滿足，且的最大值是8，求二次函數的解析式．
9．若，那么（ ）
A． B．
C． D．
考向二 設頂點式
10．若二次函數的圖像開口向上且關于直線對稱，并過點，則此二次函數的解析式可能為
A． B．
C． D．
考向三 設零點式
11．已知二次函數的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且在區間上的最大值為12，則函數的解析式為 ．
【類題通法】求二次函數解析式的策略
考向一 二次函數圖象特征
12．已知函數，若，且，則函數的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
13．設函數f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，則(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0
考向二 根據二次函數圖象判斷結論
14．如圖，拋物線的對稱軸是直線，下列結論：（1）；（2）；（3）；（4），正確的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
考向三 根據二次函數圖象解不等式
15．若二次函數的圖像如圖所示，則一元二次不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【類題通法】識別二次函數圖象應學會“三看”
考向一 求參數
16．若函數在區間上是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
考向二 求最值/值域
17．若，則函數的最大值為 ．
18．設，令．
(1)求的解析式
(2)求的值域．
19．已知函數，求在上的最小值；
考向三 恒成立問題
20．已知函數，若在區間上，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 .
【類題通法】
1.二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動．不論哪種類型，解題的關鍵都是對稱軸與區間的位置關系，當含有參數時，要依據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論．
2.二次函數的單調性問題主要依據二次函數圖象的對稱軸進行分類討論求解．
3.由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵
（1）一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數．
（2）兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數是否已分離．這兩個思路的依據是：a≥f（x）等價于a≥f（x）max，a≤f（x）等價于a≤f（x）min.
【微點解讀】與二次函數有關的復合函數，通常是經過變形和換元轉化成二次函數的形式，然后通過二次函數的性質來對復雜的復合函數問題進行快速處理，要注意換元后新元的范圍.
21．已知函數.
(1)若，求在上的值域；
(2)若關于的方程有解，求的取值范圍.
22．已知函數.
(1)當時，求函數的最值及對應的取值；
(2)若，求函數的最大值.
23．已知函數且．
(1)若函數的定義域為R，求實數的取值范圍；
(2)是否存在實數，使得函數在區間，上為增函數，且最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【微點解讀】含絕對值的二次函數，重點在于把絕對值去掉；留意絕對值的位置.含絕對值的二次函數圖象特征：
24．已知為二次函數，且滿足：對稱軸為，．
(1)求函數的解析式，并求圖象的頂點坐標；
(2)在給出的平面直角坐標系中畫出的圖象，并寫出函數的單調區間．
25．設為實數，函數 ，
(1)討論的奇偶性；
(2)求的最小值
26．為實數，函數在區間上的最大值記為. 當 時，的值最小.
27．已知函數在上具有單調性，則實數k的取值范圍為（ ）．
A． B．
C．或 D．或
28．如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結論：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正確的是(　　)
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
29．已知二次函數的值域為，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
30．已知函數．則函數的最大值和最小值之積為
31．已知函數，若，使得，則實數a的取值范圍是 .
32．已知函數．若函數在區間上的最大值為，求a的值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】由題設二次函數的頂點式，再把點代入，求出即可
【詳解】設二次函數的解析式為，
將代入上式，得，
所以.
故選：C
【點睛】本題考查二次函數的解析式求法，屬于基礎題.
2．A
【分析】將點，代入二次函數的解析式中，可求出函數的表達式．
【詳解】解：（1）把點，代入，
得，
解得，
所以這個二次函數的解析式為：，
故選：A.
【點睛】本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式，是基礎題．
3．B
【分析】根據題意結合二次函數的性質分析判斷.
【詳解】若，，，則有：
二次函數開口向下，對稱軸，與y軸的交點位于x軸下方
符合條件的圖象只有選項B
故選：B
4．ACD
【分析】由二次函數性質對選項逐一判斷
【詳解】由題意得，對稱軸，則，故A正確，
當時，，則，故C正確，
當時，，則，故D正確，
當時，，故B錯誤，
故選：ACD
5．A
【分析】根據給定函數的單調性，求出在指定區間上的最大值作答.
【詳解】函數在上單調遞增，則，
所以函數的最大值為15.
故選：A
6．.
【分析】根據一次函數與二次函數的單調性分類討論求解.
【詳解】當時，在區間上單調遞減，符合題意；
當時，函數圖象的對稱軸為直線，
因為f（x）在區間上單調遞減，所以，得，所以；
當時，函數在區間上單調遞減，符合題意．
綜上，實數的取值范圍為.
故答案為：
7．B
【分析】根據原函數表示出，化簡后解不等式；
【詳解】解：由題意得
故
，解得
故選：B
8．
【分析】設，由，且的最大值是8，列出方程組，求得的值，即可求解.
【詳解】設，
因為，且的最大值是8，
則，解得，故所求二次函數為.
【點睛】本題主要考查了二次函數解析式的求解，其中解答中熟記二次函數的解析式的形式，以及二次函數的性質，合理利用待定系數求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
9．C
【分析】利用配湊法求函數解析式．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：C．
【點睛】本題主要考查用配湊法求函數解析式，本題也可用換元法，令，則，∴，從而求出函數解析式．
10．D
【分析】設出二次函數頂點式，根據函數圖像過列方程，由此求得二次函數解析式.
【詳解】本題求二次函數的解析式可能情況，根據四個選項得，所以可設二次函數的解析式為由于點在圖像上，∴，∴，∴.
故選D.
【點睛】本小題主要考查待定系數法求二次函數解析式，考查二次函數頂點式，屬于基礎題.
11．
【分析】根據函數特征設然后判斷并求解從而解得函數解析式.
【詳解】設其對稱軸為直線，又在區間上的最大值為12，
所以，所以
故答案為：
12．D
【分析】根據條件得到，由開口方向和特殊點的函數值得到答案.
【詳解】由且，得，所以函數圖象開口向上，排除A，C；
又，排除B.
故選：D.
13．C
【詳解】試題分析：，∵，∴，∵，且∴，，∴，即：，∴，故答案為C.
考點：一元二次不等式的應用.
14．B
【分析】結合二次函數的圖象與性質求得正確答案.
【詳解】根據圖象可知，（1）錯誤.
圖象與軸有兩個交點，，（2）正確.
當時，，（3）正確.
當時，；當時，.
兩式相加得，而，所以，（4）正確.
所以正確的有個.
故選：B
15．C
【分析】根據圖像求得，進而求得一元二次不等式的解集.
【詳解】由圖像可得當時，，所以二次函數，
由于二次函數圖像過點，
所以，解得，
所以一元二次不等式，
即的解集為.
故選：C
16．A
【分析】先去掉絕對值號，寫成分段函數的形式，然后根據題中函數在區間上是單調函數的信息，分類討論，，的情況下，函數是單調函數，從而求出的范圍.
【詳解】解：
（1）若，當時，在上單調遞減，符合題意；
（2）若，則在上單調遞減，在上單調遞增，
若在上是單調函數，，則；
（3）若，則在上單調遞減，在上單調遞增，
若在上是單調函數，則，所以.
即綜上，的取值范圍是.
故選：A
17．8
【分析】對函數配方后，利用二次函數的性質求解即可.
【詳解】，對稱軸為，
時單調遞增，時單調遞減，
因為，所以時，，所以時，，
所以函數的最大值為，
故答案為：8.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據函數的解析式分段求解即可；
（2）畫出圖形，利用圖像分析即可.
【詳解】（1）當時，，
所以，
當時，
所以，
所以.
（2）如圖所示：
由圖像可知函數的最小值為，最大值為，
故函數的值域為．
19．答案見解析
【分析】根據函數圖象的對稱軸和區間的關系展開討論，結合二次函數的性質求其在上的最小值；
【詳解】函數的圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為，
（i）當時，函數在上單調遞增，
；
（ii）當時，函數在上單調遞減，在上單調遞減
；
（ⅲ）當時，函數在上單調遞減，
.
20．
【分析】由參變量分離法得出對任意的恒成立，利用二次函數的基本性質可求得函數在區間上的最小值，進而可求得實數的取值范圍.
【詳解】要使在區間上，不等式恒成立，
只需恒成立，
設，只需小于在區間上的最小值，
因為，所以當時，，
所以，所以實數的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用二次不等式在區間上恒成立求參數，考查了參變量分離法的應用，考查計算能力，屬于中等題.
21．(1)
(2)
【分析】（1），令，則，根據二次函數在區間上的最值求法即可求解；
（2）令，則問題轉化為在上有解，從而得到，求解即可.
【詳解】（1）時，
令，則.
，即，
而的對稱軸為，
所以函數在上單調遞增，
，即.
在上的值域為；
（2）
令，則
有解，
在上有解，
，解得，
的取值范圍為.
22．(1)有，有；
(2)答案見解析
【分析】（1）由題設可得，根據二次函數、正弦函數的性質求最值，寫出對應x值；
（2）由，討論、、分別求出對應最值，即可得結果.
【詳解】（1）由題設，
所以，當，即時，；
當，即時，；
（2）由，
當，即時，
當，即，；
當，即時，
當時，；
當，即時，
當，即時，；
綜上，時；時；時.
23．(1)；
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可得恒成立，再根據，且 ，求得的范圍．
（2）分類討論的范圍，利用二次函數的性質，求得的值．
【詳解】（1）函數且的定義域為R，故恒成立，
，且， ；
（2）令 ，當 時，是二次函數，其對稱軸為 ，當 時，
，有 ，不符合題意，當 時， ，不合題意，
下面只討論 的情況；
①當 時，要使函數在區間，上為增函數，
則函數在，上恒正，且為增函數，
，則必有 ，即 ，并且有 ， ，
，滿足題意；
②當 時，討論與①相同，但 ，不成立；
③當 時，要使函數在區間，上為增函數，
則函數在，上恒正，且為減函數．
，則必有 ，即 ，并且 ，
，滿足題意；
綜上，（1），（2） 當 和 時，存在 使得 在 上為增函數，并且最大值為2.
24．(1),頂點坐標為.
(2)圖象見解析，函數的增區間為：，函數的減區間為：.
【分析】(1)根據已知條件列出方程組即可求解；(2)作出函數圖象可求解.
【詳解】（1）設函數為，
所以解得，所以，
所以，所以頂點坐標為.
（2）圖象如圖所示，
函數的增區間為：，函數的減區間為：.
25．(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
【分析】（1）對實數討論，時，為偶函數，時，為非奇非偶函數
（2）去絕對值，，
然后結合二次函數對數軸以及二次函數的單調性分類討論；
【詳解】（1）時，，，為偶函數；
時，，為非奇非偶函數；
（2）
當，
當，
當；
26．##
【分析】根據二次函數與絕對值函數的性質，分類討論實數，求解在區間上的最大值記為，得到，最后根據解析式求解即可.
【詳解】.
①當時，函數的圖像如圖所示.函數在區間上單調遞增，.

②當時，，在區間上的最大值為.
③當時，函數的圖像如圖所示.

（i）若，即，；
（ii）若，即，；
（iii）若，.
綜上所述，，因此.
故答案為：
27．C
【分析】首先求出二次函數的對稱軸，再結合題意求解即可.
【詳解】函數的對稱軸為，
因為函數在上具有單調性，
所以或，即或.
故選：C
28．B
【分析】根據二次函數的圖像可以得到圖像與軸有兩個不同的交點且開口向下，故判別式為正，，因對稱軸為，故圖像與軸的另一交點為且，從這些信息可判斷出正確結論的序號為①④．
【詳解】因為圖象與軸交于兩點，所以，即，①正確．
對稱軸為，②錯誤．
結合圖象，當時，，即，③錯誤．
由對稱軸為知，.又函數圖象開口向下，所以，所以，即，④正確．故選B．
【點睛】一般地，給定了二次函數的圖像，我們可以從圖像中撲捉下列信息：（1）開口方向；（2）判別式的正負；（3）對稱軸；（4）特殊點的函數值的正負．
29．A
【分析】根據函數值域可推出，利用均值不等式即可求解.
【詳解】因為二次函數的值域為，
所以，
即，，
所以，當且僅當，即時等號成立，
故選：A
30．80
【分析】根據二次函數的性質直接計算可得.
【詳解】因為，所以當時，，當時，，所以最大值和最小值之積為.
故答案為：80
31．
【分析】將“對，使得，”轉化為，再根據二次函數的性質和指數函數的單調性求得最值代入即可解得結果.
【詳解】當時，，
∴當時，，
當時，為增函數，
所以時，取得最大值，
∵對，使得，
∴，
∴，解得.
故答案為：.
32．
【分析】根據對稱軸與區間的位置關系展開討論，結合二次函數的性質求函數在區間上的最大值，列方程求a的值．
【詳解】對稱軸為，當，即時，在上單調遞減，，舍去；
當，即時，，
解得：或（舍去）；
當，即時，在上單調遞增，，
解得：（舍去）；
綜上：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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