資源簡介

專題1.1 空間向量及其線性運算【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 空間向量概念的理解】 2
【題型2 空間向量的加減運算】 3
【題型3 空間向量的線性運算】 3
【題型4 由空間向量的線性運算求參數】 4
【題型5 向量共線的判定及應用】 6
【題型6 由空間向量共線求參數】 8
【題型7 向量共面的判定及應用】 9
【題型8 由空間向量共面求參數】 10
【知識點1 空間向量的概念】
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作，其模記為|a|或||.
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
【注】(1)空間中點的一個平移就是一個向量；
(2)數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量.
【題型1 空間向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二課時練習）下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．任一空間向量與它的相反向量都不相等
B．不相等的兩個空間向量的模必不相等
C．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小
D．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓
【變式1-2】（2023秋·高二課時練習）給出下列命題：
①若將空間中所有的單位向量的起點移到同一個點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量，滿足，則；③若空間向量，，滿足，，則；④空間中任意兩個單位向量必相等；⑤零向量沒有方向.
其中假命題的個數是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-3】（2023秋·高二課時練習）給出下列命題：
①零向量沒有方向；
②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
③若空間向量滿足，則；
④若空間向量滿足，則；
⑤空間中任意兩個單位向量必相等．
其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【知識點2 空間向量的線性運算】
1．空間向量的線性運算
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＋ ＝
減法 a－b＝－＝
數乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【注】(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并.
(2)向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.
(3)空間向量加法的運算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量.
【題型2 空間向量的加減運算】
【例2】（2023春·高二課時練習）在四面體中，等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023春·江蘇連云港·高二校聯考期中）正方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023春·高二課時練習）在空間四邊形 中，連接 ， ，若 是正三角形，且 為其重心，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）空間四邊形ABCD中，若E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點，則下列各式中成立的是
A．+++ B．++
C．+++ D．++
【題型3 空間向量的線性運算】
【例3】（2023春·高二單元測試）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方體，點E是的中點，點F是的三等分點，且，則等于（ ）．
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023秋·山東威海·高二統考期末）在平行六面體中，點E滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023秋·安徽黃山·高二統考期末）如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點，為的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 由空間向量的線性運算求參數】
【例4】（2023春·湖南長沙·高二校考開學考試）如圖所示，空間四邊形中，，點在上，且為的中點，，則的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023秋·湖南婁底·高二校聯考期末）在三棱柱中，是的中點，是的中點，且，則
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023秋·山東泰安·高二校考期末）如圖所示，在平行六面體中，點E為上底面對角線的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023春·高二課時練習）在平行六面體中，點在上，且，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
【知識點3 共線向量與共面向量】
1．共線向量
(1)空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
規定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.
(3)共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；
②證明三點共線.
【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.
2．共面向量
(1)共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要條件
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①證明四點共面；
②證明線面平行.
【題型5 向量共線的判定及應用】
【例5】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，四邊形ABCD ABEF都是平行四邊形且不共面，M N分別是AC BF的中點，判斷與是否共線？
【變式5-1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在正方體中，E在上，且，F在對角線A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求證：E，F，B三點共線.
【變式5-2】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，已知空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別是，上的點，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.
【變式5-3】（2023春·高二課時練習）如圖，已知為空間的9個點，且，，，，，.
求證：（1）；
（2）.
【題型6 由空間向量共線求參數】
【例6】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校聯考期末）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習）已知是空間的一個基底，若，，若，則（ ）
A． B． C．3 D．
【變式6-3】（2023春·高二課時練習）已知非零向量，，且、、不共面．若，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【題型7 向量共面的判定及應用】
【例7】（2023春·高一課時練習）已知三點不共線，對于平面外的任意一點，判斷在下列各條件下的點與點是否共面．
(1)；
(2)．
【變式7-1】（2023秋·高二課時練習）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.
【變式7-2】（2023春·高二課時練習）已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：
(1)E，F，G，H四點共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【變式7-3】（2023秋·高二課時練習）已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，.
(1)求證：四點共面；
(2)平面平面.
【題型8 由空間向量共面求參數】
【例8】（2023春·四川綿陽·高二校考階段練習）已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【變式8-1】（2023·全國·高二專題練習）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式8-2】（2023春·高一課時練習）已知三點不共線，是平面外任意一點，若，則四點共面的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2023春·高二課時練習）如圖,平面內的小方格均為正方形,點為平面內的一點,為平面外一點,設,則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
專題1.1 空間向量及其線性運算【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 空間向量概念的理解】 2
【題型2 空間向量的加減運算】 4
【題型3 空間向量的線性運算】 6
【題型4 由空間向量的線性運算求參數】 8
【題型5 向量共線的判定及應用】 11
【題型6 由空間向量共線求參數】 14
【題型7 向量共面的判定及應用】 16
【題型8 由空間向量共面求參數】 18
【知識點1 空間向量的概念】
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作，其模記為|a|或||.
(4)幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 －a
共線向量(平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
【注】(1)空間中點的一個平移就是一個向量；
(2)數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量.
【題型1 空間向量概念的理解】
【例1】（2023春·高二課時練習）下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
【解題思路】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質可判斷BD.
【解答過程】對于A，零向量的相反向量是它本身，A錯誤；
對于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；
對于C，如果，則，C正確；
對于D，兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，D正確.
故選：A.
【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．任一空間向量與它的相反向量都不相等
B．不相等的兩個空間向量的模必不相等
C．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小
D．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓
【解題思路】取零向量可判斷A選項；利用任意一個非零向量與其相反向量可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選項；利用單位向量的概念可判斷D選項.
【解答過程】對于A選項，零向量與它的相反向量相等，A錯；
對于B選項，任意一個非零向量與其相反向量不相等，但它們的模相等，B錯；
對于C選項，同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小，C對；
對于D選項，將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個球，D錯.
故選：C.
【變式1-2】（2023秋·高二課時練習）給出下列命題：
①若將空間中所有的單位向量的起點移到同一個點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量，滿足，則；③若空間向量，，滿足，，則；④空間中任意兩個單位向量必相等；⑤零向量沒有方向.
其中假命題的個數是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據單位向量的模長為可判斷①的真假；根據空間向量的相等的定義，可判斷②③；由單位向量的定義可判斷④的真假；根據零向量的規定可判斷⑤的真假，即可得出結論.
【解答過程】①假命題.若將空間中所有的單位向量的起點移到同一個點，
則它們的終點將構成一個球面，而不是一個圓.
②假命題.根據向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，
而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同.
③真命題.向量的相等具有傳遞性.
④假命題.空間中任意兩個單位向量的模長均為1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命題.零向量的方向是任意的.
故選：D.
【變式1-3】（2023秋·高二課時練習）給出下列命題：
①零向量沒有方向；
②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
③若空間向量滿足，則；
④若空間向量滿足，則；
⑤空間中任意兩個單位向量必相等．
其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【解題思路】根據空間向量的有關定義判斷可得答案.
【解答過程】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；
當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②錯誤；
根據相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；
命題④顯然正確；
對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．
故選：D.
【知識點2 空間向量的線性運算】
1．空間向量的線性運算
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＋ ＝
減法 a－b＝－＝
數乘 當λ>0時，λa＝λ＝； 當λ<0時，λa＝λ＝； 當λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a； 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【注】(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并.
(2)向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.
(3)空間向量加法的運算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量.
【題型2 空間向量的加減運算】
【例2】（2023春·高二課時練習）在四面體中，等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用空間向量線性運算法則化簡.
【解答過程】.
故選：C.
【變式2-1】（2023春·江蘇連云港·高二校聯考期中）正方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據空間向量的線性運算求解即可.
【解答過程】.
故選：C.
【變式2-2】（2023春·高二課時練習）在空間四邊形 中，連接 ， ，若 是正三角形，且 為其重心，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量的加減法運算法則即可求解.
【解答過程】
取的中點為,則,
又因為 為的重心，即上靠近的三等分點，
,
則.
故選:C.
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）空間四邊形ABCD中，若E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點，則下列各式中成立的是
A．+++ B．++
C．+++ D．++
【解題思路】根據空間向量的加減法運算法則即可求解.
【解答過程】畫出圖形，如圖所示，
∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點，∴，，
對于A，+++=++=++=；
對于B，++++（）=+=；
對于C，+++=+++=+=2；
對于D，++=++=++=．
故選B．
【題型3 空間向量的線性運算】
【例3】（2023春·高二單元測試）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】根據空間向量的線性運算逐一分析各個選項即可得出答案.
【解答過程】對于A，；
對于B，；
對于C，；
對于D，.
故選：A.
【變式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方體，點E是的中點，點F是的三等分點，且，則等于（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】作圖分析，根據空間向量的線性運算可得，，，，，，代入化簡即可得出答案．
【解答過程】如圖所示，
由于，故，，，
，，，
∴
，
故選：D．
【變式3-2】（2023秋·山東威海·高二統考期末）在平行六面體中，點E滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用向量的線性運算全部轉化為用作為起點的向量來表示，然后整理即可.
【解答過程】由得，
整理得.
故選：A.
【變式3-3】（2023秋·安徽黃山·高二統考期末）如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點，為的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據向量的數乘及加、減運算求解即可.
【解答過程】解：由題意可得：
.
故選：A.
【題型4 由空間向量的線性運算求參數】
【例4】（2023春·湖南長沙·高二校考開學考試）如圖所示，空間四邊形中，，點在上，且為的中點，，則的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用空間向量的線性運算求解即可.
【解答過程】，
所以，
故選：.
【變式4-1】（2023秋·湖南婁底·高二校聯考期末）在三棱柱中，是的中點，是的中點，且，則
A． B．
C． D．
【解題思路】根據向量加法的多邊形法則可得， 從而可求α，β，
【解答過程】根據向量加法的多邊形法則以及已知可得，
，
∴α=，β=﹣1，
故選A．
【變式4-2】（2023秋·山東泰安·高二校考期末）如圖所示，在平行六面體中，點E為上底面對角線的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據空間向量的線性運算即可求解.
【解答過程】根據題意，得；
故選：A.
【變式4-3】（2023春·高二課時練習）在平行六面體中，點在上，且，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
【解題思路】根據空間向量的加法、減法、數乘運算即可求解.
【解答過程】
如圖，
,
所以，
所以，
故選:C.
【知識點3 共線向量與共面向量】
1．共線向量
(1)空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
規定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.
(3)共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；
②證明三點共線.
【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.
2．共面向量
(1)共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
(2)向量共面的充要條件
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的用途：
①證明四點共面；
②證明線面平行.
【題型5 向量共線的判定及應用】
【例5】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，四邊形ABCD ABEF都是平行四邊形且不共面，M N分別是AC BF的中點，判斷與是否共線？
【解題思路】利用空間向量的線性運算，結合空間向量的共線定理，即可判斷.
【解答過程】因為M N分別是AC BF的中點，而四邊形ABCD ABEF都是平行四邊形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即與共線.
【變式5-1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在正方體中，E在上，且，F在對角線A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求證：E，F，B三點共線.
【解題思路】（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得 ，由此可得證.
【解答過程】解：（1）因為， ，
所以，
所以；
（2）
，
又與相交于B，所以E，F，B三點共線.
【變式5-2】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，已知空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別是，上的點，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.
【解題思路】根據題意得出，利用空間向量共線定理證明即可.
【解答過程】證明：連接.
點E，H分別是邊，的中點，且，，
，
且.
又不在上，四邊形是梯形.
【變式5-3】（2023春·高二課時練習）如圖，已知為空間的9個點，且，，，，，.
求證：（1）；
（2）.
【解題思路】（1）由題意，，轉化，代入結合題干條件運算即得證；
（2）由題意，，又，運算即得證
【解答過程】證明：（1）
∴.
（2）.
【題型6 由空間向量共線求參數】
【例6】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據A，C，D三點共線，可得，則存在唯一實數，使得，再根據空間向量共線定理即可得解.
【解答過程】由，，
得，
因為A，C，D三點共線，所以，
則存在唯一實數，使得，
則，解得.
故選：C.
【變式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校聯考期末）如果空間向量不共線，且，那么的值分別是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據向量的相等,可得方程，即可求得答案.
【解答過程】由題意可知空間向量不共線，且，即，
則，即，
故選：C.
【變式6-2】（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習）已知是空間的一個基底，若，，若，則（ ）
A． B． C．3 D．
【解題思路】由，可得存在實數，使，然后將代入化簡可求得結果
【解答過程】，，
因為，所以存在實數，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故選：C.
【變式6-3】（2023春·高二課時練習）已知非零向量，，且、、不共面．若，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】先由向量平行，得到，利用系數對應相等構建關系，即求得x，y，即得結果.
【解答過程】且，∴，即，
又、、不共面，∴，解得，，.
故選：B.
【題型7 向量共面的判定及應用】
【例7】（2023春·高一課時練習）已知三點不共線，對于平面外的任意一點，判斷在下列各條件下的點與點是否共面．
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）根據空間向量的共面定理及推論，即可求解；
（2）根據空間向量的共面定理及推論，即可求解；
【解答過程】（1）解：因為三點不共線，可得三點共面，
對于平面外的任意一點，若，
即，
又因為，根據空間向量的共面定理，可得點與共面.
（2）解：因為三點不共線，可得三點共面，
對于平面外的任意一點，若，此時，
根據空間向量的共面定理，可得點與不共面．
【變式7-1】（2023秋·高二課時練習）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.
【解題思路】由空間向量基本定理可得答案.
【解答過程】由是不共面向量，得與不共線，
設，則，
所以，解得，所以，
所以這三個向量共面.
【變式7-2】（2023春·高二課時練習）已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：
(1)E，F，G，H四點共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【解題思路】（1）要證E，F，G，H四點共面，只需證明向量，，共面，結合向量的線性運算及共面向量定理證明即可；
（2）由向量共線結合線面平行的判定定理證明．
【解答過程】（1）如圖，連接EG，BG．
因為＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要條件可知，向量，，共面，
又，，過同一點E，從而E，F，G，H四點共面．
（2）因為＝－＝－＝(－)＝，
又E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD，
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH．
【變式7-3】（2023秋·高二課時練習）已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，.
(1)求證：四點共面；
(2)平面平面.
【解題思路】（1）根據向量的線性運算可得,由空間向量,可判斷向量共面,進而可得點共面.（2）根據向量共線可得直線與直線平行,進而可證明線面平行,進而可證明面面平行.
【解答過程】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，
∴、、、四點共面；
（2）∵，∴
又因為平面,平面,所以平面
又∵，∴，
平面,平面,平面，
又，平面
所以，平面平面.
【題型8 由空間向量共面求參數】
【例8】（2023春·四川綿陽·高二校考階段練習）已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【解題思路】由題設條件推得，再由四點共面可求得
【解答過程】因為，
所以由
得，
即，
因為為空間任意一點，滿足任意三點不共線，且四點共面，
所以，故.
故選：A.
【變式8-1】（2023·全國·高二專題練習）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】根據共面向量的性質，結合配方法進行求解即可.
【解答過程】因為，點在確定的平面內，
所以，即，所以，
所以當時，的有最小值2．
故選：D.
【變式8-2】（2023春·高一課時練習）已知三點不共線，是平面外任意一點，若，則四點共面的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量共面定理，結合向量運算，整理可得系數的方程組，求得參數，可得答案.
【解答過程】四點共面的充要條件是，，整理可得，
由，則，解得，
故選：A.
【變式8-3】（2023春·高二課時練習）如圖,平面內的小方格均為正方形,點為平面內的一點,為平面外一點,設,則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解題思路】先將寫為,再根據平面向量基本定理,將寫為,代入中,利用向量的加減,化為的形式,跟題中對比相等,即可得出結果.
【解答過程】由題知，
四點共面,
根據平面向量基本定理,
不妨設,，
則
,
，
,
.
故選:B.

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