資源簡介

專題1.2 空間向量的數(shù)量積運算【五大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 空間向量數(shù)量積的計算】 2
【題型2 空間向量的夾角及其應(yīng)用】 2
【題型3 利用空間向量的數(shù)量積求模】 3
【題型4 向量垂直的應(yīng)用】 4
【題型5 投影向量的求解】 5
【知識點1 空間向量的夾角與數(shù)量積】
1．空間向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.
特別地，當〈a，b〉＝時，a⊥b.
2．空間向量的數(shù)量積
定義 已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.
性質(zhì) ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
運算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交換律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空間向量夾角的計算
求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．
4．空間向量數(shù)量積的計算
求空間向量數(shù)量積的步驟：
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．
(3)代入求解．
【題型1 空間向量數(shù)量積的計算】
【例1】（2023秋·高一單元測試）在空間四邊形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不確定
【變式1-1】（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）如圖，各棱長都為的四面體中 ， ，則向量（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023春·陜西西安·高一校考期末）在正三棱錐中，是的中心，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型2 空間向量的夾角及其應(yīng)用】
【例2】（2023春·高二課時練習）若非零向量，滿足， ，則與的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【變式2-1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不對
【變式2-2】（2023春·高二課時練習）空間四邊形中，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023春·高二課時練習）已知，是夾角為60°的兩個單位向量，則與的夾角為（ ）
A．60° B．120°
C．30° D．90°
【題型3 利用空間向量的數(shù)量積求模】
【例3】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量，，中，，，則（ ）
A． B．5 C．6 D．
【變式3-1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知在平行六面體中，向量，，兩兩的夾角均為，且，，，則（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【變式3-2】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長為的正方形，則、兩點間的距離是（ ）

A． B． C． D．
【變式3-3】（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習）如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是棱的中點，點在棱上，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【題型4 向量垂直的應(yīng)用】
【例4】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數(shù)k的值為（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知長方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023春·上海楊浦·高二校考開學考試）設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，，，點M為BC的中點，則是（ ）
A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
【變式4-3】（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．
(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．
【題型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，．試確定在上的投影向量，并求．
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數(shù)量．
【變式5-2】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐P ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.試確定在直線AB上的投影向量，并求.
【變式5-3】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，．
(1)確定在平面上的投影向量，并求；
(2)確定在上的投影向量，并求．
專題1.2 空間向量的數(shù)量積運算【五大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 空間向量數(shù)量積的計算】 2
【題型2 空間向量的夾角及其應(yīng)用】 4
【題型3 利用空間向量的數(shù)量積求模】 6
【題型4 向量垂直的應(yīng)用】 8
【題型5 投影向量的求解】 11
【知識點1 空間向量的夾角與數(shù)量積】
1．空間向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.
特別地，當〈a，b〉＝時，a⊥b.
2．空間向量的數(shù)量積
定義 已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.
性質(zhì) ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
運算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交換律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空間向量夾角的計算
求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．
4．空間向量數(shù)量積的計算
求空間向量數(shù)量積的步驟：
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．
(3)代入求解．
【題型1 空間向量數(shù)量積的計算】
【例1】（2023秋·高一單元測試）在空間四邊形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不確定
【解題思路】令，利用空間向量的數(shù)量積運算律求解.
【解答過程】令，
則，
，
.
故選：B.
【變式1-1】（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）如圖，各棱長都為的四面體中 ， ，則向量（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由向量的運算可得，，由向量數(shù)量積的定義即可得到答案.
【解答過程】由題得夾角，夾角，夾角均為，
，
，
，
故選：A.
【變式1-2】（2023春·陜西西安·高一校考期末）在正三棱錐中，是的中心，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，由三棱錐是正三棱錐可知，，即可將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合勾股定理即可求解．
【解答過程】為正三棱椎，為的中心，
∴平面，平面，
∴，，
△ABC是等邊三角形，
∴，，
故，
，
則．
故選：D.
【變式1-3】（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出正方體的外接球的半徑，可得出，求出的取值范圍，進而可求得的取值范圍.
【解答過程】設(shè)正方體的外接球的球心為，設(shè)球的半徑為，
則，可得，所以，，
，
當點與正方體的側(cè)面或底面垂直時，的長取最小值，即，
當點與正方體的頂點重合時，的長取最大值，即，
所以，，所以，.
故選：A.
【題型2 空間向量的夾角及其應(yīng)用】
【例2】（2023春·高二課時練習）若非零向量，滿足， ，則與的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解題思路】設(shè)與的夾角為θ，則由，，可得，從而可求得與的夾角
【解答過程】設(shè)與的夾角為θ，
因為，所以，
所以，
因為非零向量，滿足，
所以，
因為，所以，即，
故選：B.
【變式2-1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不對
【解題思路】設(shè)與的夾角為θ，由，得，兩邊平方化簡可得答案
【解答過程】設(shè)與的夾角為θ，
由，得，
兩邊平方，得，
因為，
所以，解得，
故選：D.
【變式2-2】（2023春·高二課時練習）空間四邊形中，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用，以及的數(shù)量積的定義化簡的值，
【解答過程】解：，
所以
所以，
故選：D．
【變式2-3】（2023春·高二課時練習）已知，是夾角為60°的兩個單位向量，則與的夾角為（ ）
A．60° B．120°
C．30° D．90°
【解題思路】先求數(shù)量積，再求向量的模，然后根據(jù)向量夾角公式即可求得．
【解答過程】
所以．
所以．
故選：B.
【題型3 利用空間向量的數(shù)量積求模】
【例3】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量，，中，，，則（ ）
A． B．5 C．6 D．
【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量的模長公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【解答過程】因為，，且，，為單位向量，
則
.
故選：D.
【變式3-1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知在平行六面體中，向量，，兩兩的夾角均為，且，，，則（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【解題思路】利用向量的數(shù)量積公式即可求解.
【解答過程】如圖，平行六面體中，
向量、、兩兩的夾角均為，
且，，，
.
，
故選：A.
【變式3-2】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長為的正方形，則、兩點間的距離是（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】利用二面角的定義可得出，由空間向量的線性運算可得出，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得，即為所求.
【解答過程】因為四邊形、都是邊長為的正方形，則，，
又因為二面角的大小為，即，則，
因為，由圖易知，，
所以，
.
故選：C.
【變式3-3】（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習）如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是棱的中點，點在棱上，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【解題思路】首先在中利用余弦定理求出，然后由空間向量的運算法則可得，變形可得，由二次函數(shù)的知識可得答案.
【解答過程】根據(jù)題意，在中， ，
所以
所以==
則時，取得最小值，
則的最小值為.
故選：B.
【題型4 向量垂直的應(yīng)用】
【例4】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數(shù)k的值為（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【解題思路】由和的數(shù)量積為0，解出k的值.
【解答過程】由題意可得，，，
所以，即2k－12＝0，得k＝6.
故選：B.
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知長方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】當四邊形ADD1A1為正方形時，可證AD1⊥B1C可判斷A；當四邊形ABCD為正方形時，可證AC⊥BD1可判斷B；由長方體的性質(zhì)可證AB⊥AD1，分別可得數(shù)量積為0，可判斷C；可推在△BCD1中，∠BCD1為直角，可判BC與BD1不可能垂直，可得結(jié)論可判斷D.
【解答過程】選項A，當四邊形ADD1A1為正方形時，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時有，故正確；
選項B，當四邊形ABCD為正方形時，可得AC⊥BD，，，
平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時有，故正確；
選項C，由長方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時必有0，故正確；
選項D，由長方體的性質(zhì)可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即，故錯誤.
故選：D.
【變式4-2】（2023春·上海楊浦·高二校考開學考試）設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，，，點M為BC的中點，則是（ ）
A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
【解題思路】由題，可得平面，后由平面，可得答案.
【解答過程】由，，可知.
又平面，平面，，則平面.
因，平面，則平面.
故，即是直角三角形.
故選：C.
【變式4-3】（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)進行求解即可.
【解答過程】設(shè)，
則，
，
，
，
設(shè)，，
所以，
解得，
故選：B.
【知識點2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．
(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．
【題型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，．試確定在上的投影向量，并求．
【解題思路】由題意可知，即可轉(zhuǎn)化為，并化簡利用數(shù)量積公式運算即可求得的值；由投影向量的定義可得在上的投影向量為，化簡運算即可等于.
【解答過程】 平面，，
因為 ．
又，
所以在上的投影向量為：
，
由數(shù)量積的幾何意義可得：．
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數(shù)量．
【解題思路】分析可得，利用投影數(shù)量公式可求得向量在、、方向上的投影數(shù)量.
【解答過程】解：非零向量在非零向量方向上的投影數(shù)量為，
由空間向量的平行六面體法則可得，
在長方體中，，
因此，向量在方向上的投影數(shù)量為，
向量在方向上的投影數(shù)量為，
向量在方向上的投影數(shù)量為.
【變式5-2】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐P ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.試確定在直線AB上的投影向量，并求.
【解題思路】由圖形特征，用，，為基底表示，計算數(shù)量積和投影向量.
【解答過程】因為 ．
又，
所以在上的投影向量為：.
【變式5-3】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，．
(1)確定在平面上的投影向量，并求；
(2)確定在上的投影向量，并求．
【解題思路】（1）根據(jù)平面可得在平面上的投影向量，由空間向量的線性運算以及數(shù)量積的定義計算的值即可求解；
（2）由投影向量的定義可得在上的投影向量，由數(shù)量積的幾何意義可得的值.
【解答過程】（1）因為平面，所以在平面上的投影向量為，
因為平面，面，可得，所以，
因為，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量為：
，
由數(shù)量積的幾何意義可得：.

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