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第二章　 機械振動
2.3　簡諧運動的回復力和能量
1.知道回復力的概念.
2.知道振幅越大，振動的能量越大.
學科素養與目標要求
物理觀念：
科學思維：
科學探究：
1.會根據簡諧運動的回復力特點，判斷及分析常見的簡諧運動.
2.理解簡諧運動的動力學特征.
通過探究，理解簡諧運動中位移、回復力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況.
1.簡諧運動
如果質點所受的力與它偏離平衡位置 的大小成 ，并且總是指向平衡位置，質點的運動就是簡諧運動.
2.回復力
(1)定義：使振動物體回到 的力.
(2)方向：總是指向 .
(3)表達式：F＝ .
一、簡諧運動的回復力
位移
正比
平衡位置
平衡位置
－kx
1.能量轉化
彈簧振子運動的過程就是 和 互相轉化的過程.
(1)在最大位移處， 最大， 為零.
(2)在平衡位置處， 最大， 最小.
2.能量特點
在簡諧運動中，振動系統的機械能 ，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種 的模型.
二、簡諧運動的能量
動能
勢能
勢能
動能
動能
勢能
守恒
理想化
1.判斷下列說法的正誤.
(1)回復力的方向總是與位移的方向相反.(　　)
(2)回復力的方向總是與加速度的方向相反.(　　)
(3)水平彈簧振子運動到平衡位置時，回復力為零，因此能量一定為零.(　　)
(4)回復力的大小與速度大小無關，速度增大時，回復力可能增大，也可能減小.
(　　)
自主探究
√
×
×
×
2.如圖1所示的彈簧振子，O為平衡位置，B、C為最大位移位置，以向右的方向為正方向，則振子從B運動到O的過程中，位移方向為____，大小逐漸______；回復力方向為_____，大小逐漸______；振子速度方向為____，大小逐漸______；動能逐漸______；勢能逐漸______.(選填“正”“負”“增大”或“減小”)
圖1
正
減小
負
減小
負
增大
增大
減小
如圖所示為一個水平方向的彈簧振子模型(水平桿光滑)，O點為振子的平衡位置，A、O間和B、O間距離都是x.
一、簡諧運動的回復力
(1)振子在O點時受到幾個力的作用？分別是什么力？
答案　兩個力.重力、支持力.
應用探究
(2)振子在A、B點時受到哪些力的作用？
(3)除重力、支持力、彈簧彈力外，振子在O、A、B點還受到回復力的作用嗎？回復力有什么特點？
答案　A點：重力、支持力、彈簧向右的彈力；B點：重力、支持力、彈簧向左的彈力.
答案　不受.回復力是指將振動的物體拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果來命名的，不是一種新型的力，所以分析物體的受力時，不分析回復力.
回復力可以由某一個力提供(如彈力)，也可能是幾個力的合力，還可能是某一個力的分力，歸納起來，回復力一定等于物體沿振動方向所受的合力.
1.回復力
(1)回復力的方向總是指向平衡位置，回復力為零的位置就是平衡位置.
(2)回復力的性質
回復力是根據力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供.它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力，分析物體受力時不能再加上回復力.例如：如圖2甲所示，水平方向的彈簧振子，彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈力
和重力的合力充當回復力；如圖丙所
示，m隨M一起振動，m的回復力由靜
摩擦力提供.
探究深化
圖2
2.回復力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系數，其值由振動系統決定，與振幅無關.只有水平彈簧振子，回復力僅由彈力提供，k為勁度系數.
(2)“－”號表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移的方向相反.
3.簡諧運動的加速度
由F＝－kx及牛頓第二定律F＝ma可知：a＝－ x，加速度a與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反.
4.物體做簡諧運動的判斷方法
(1)簡諧運動的回復力滿足F＝－kx；
(2)簡諧運動的振動圖象是正弦曲線.
【典例1】(多選)如圖3所示，彈簧振子在光滑水平桿上的A、B之間做往復運動，下列說法正確的是
A.彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用
B.彈簧振子運動過程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用
C.振子由A向O運動過程中，回復力逐漸增大
D.振子由O向B運動過程中，回復力的方向指向平衡位置
√
圖3
√
解析　彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力，回復力是根據效果命名的力，它是由物體受到的具體的力所提供的，在此情景中彈簧的彈力充當回復力，故A正確，B錯誤；
回復力與位移的大小成正比，由A向O運動過程中位移的大小在減小，故此過程回復力逐漸減小，C錯誤；
回復力總是指向平衡位置，故D正確.
【典例2】如圖4所示，彈簧勁度系數為k，在彈簧下端掛一個重物，質量為m，重物靜止.在豎直方向將重物下拉一段距離(沒超過彈簧彈性限度)，然后無初速度釋放，重物在豎直方向上下振動.(不計空氣阻力)
(1)試分析重物上下振動回復力的來源；
解析　重物在豎直方向上下振動過程中，在豎直方向上受到了重力和彈簧彈力的作用，振動的回復力是重力與彈簧彈力的合力.
圖4
答案　見解析
(2)試證明該重物做簡諧運動.
解析　重物靜止時的位置即為振動的平衡位置，設此時彈簧的伸長量為x0，根據胡克定律和力的平衡有kx0＝mg.設重物振動過程中某一位置偏離平衡位置的位移為x，并取豎直向下為正方向，如圖所示，此時彈簧的形變量為x＋x0，彈簧向上的彈力F彈＝－k(x＋x0)，重物所受合力即回復力F＝mg＋F彈，聯立得F＝－kx.若x>0，則F<0，表
答案　見解析
示重物在平衡位置下方，回復力向上；若x<0，則F>0，表示重物在平衡位置上方，回復力向下，回復力F方向總指向平衡位置.根據重物的受力特點可以判斷重物做簡諧運動.
二、簡諧運動的能量
如圖所示為水平彈簧振子，振子在A、B之間往復運動.
應用探究
(1)從A到B的運動過程中，振子的動能如何變化？彈簧彈性勢能如何變化？振動系統的總機械能是否變化？
答案　振子的動能先增大后減小　彈簧的彈性勢能先減小后增大　總機械能保持不變
(2)如果把振子振動的振幅增大，振子回到平衡位置的動能是否增大？振動系統的機械能是否增大？
答案　振子回到平衡位置的動能增大　系統的機械能增大
(3)實際的振動系統有空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？理想化的彈簧振動系統，忽略空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？
答案　實際的振動系統，能量逐漸減小　理想化的彈簧振動系統，能量不變.
1.簡諧運動中，振動系統的動能和勢能相互轉化，平衡位置處動能最大，勢能最?。蛔畲笪灰铺巹幽転榱悖瑒菽茏畲螅偟臋C械能不變.
2.簡諧運動的機械能由振幅決定，對于同一個振動系統，振幅越大，振動的能量越大.
3.簡諧運動是一種無能量損失的振動，所以其振幅保持不變，又稱為等幅振動.
知識深化
【典例3】如圖5所示，一水平彈簧振子在A、B間做簡諧運動，平衡位置為O，已知振子的質量為M.
圖5
(1)簡諧運動的能量取決于______，振子振動時動能和_________相互轉化，總機械能______.
解析　簡諧運動的能量取決于振幅，振子振動時動能和彈性勢能相互轉化，總機械能守恒.
振幅
彈性勢能
守恒
(2)振子在振動過程中，下列說法中正確的是________.
A.振子在平衡位置，動能最大，彈性勢能最小
B.振子在最大位移處，彈性勢能最大，動能最小
C.振子在向平衡位置運動時，由于振子振幅減小，故總機械能減小
D.在任意時刻，動能與彈性勢能之和保持不變
√
√
√
解析　振子在平衡位置兩側往復運動，在平衡位置處速度達到最大，動能最大，彈性勢能最小，所以A正確；
在最大位移處速度為零，動能為零，此時彈簧的形變量最大，彈性勢能最大，所以B正確；
振幅的大小與振子的位置無關，在任意時刻只有彈簧的彈力做功，所以機械能守恒，所以C錯誤，D正確.
(3)若振子運動到B處時將一質量為m的物體放到M的上面，且m和M無相對滑動而一起運動，下列說法正確的是________.
A.振幅不變 B.振幅減小
C.最大動能不變 D.最大動能減小
解析　振子運動到B點時速度恰為零，此時放上m，系統的總能量即為此時彈簧儲存的彈性勢能，由于簡諧運動中機械能守恒，所以振幅保持不變，選項A正確，B錯誤；
由于機械能守恒，所以最大動能不變，選項C正確，D錯誤.
√
√
三、簡諧運動中各物理量的變化
1.如圖6所示為水平的彈簧振子示意圖，在下表中填上振子運動過程中各物理量的變化情況.
圖6
振子的運動 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 減小 增大 減小 增大
回復力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 減小 增大 減小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 減小 增大 減小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 減小 增大 減小
振子的動能 增大 減小 增大 減小
彈簧的勢能 減小 增大 減小 增大
系統總能量 不變 不變 不變 不變
【典例4】如圖7甲所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動.取向右為正方向，振子的位移x與時間t的關系圖象如圖乙所示，下列說法正確的是
A.t＝0.8 s時，振子的速度方向向右
B.t＝0.2 s時， 振子在O點右側6 cm處
C.t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的加速度相同
D.從t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，振子的動能逐漸增大
圖7
√
解析　由題圖乙知，t＝0.8 s時，圖象切線的斜率為負，說明振子的速度為負，即振子的速度方向向左，故A錯誤.
在0～0.4 s內，振子做減速運動，不是勻速運動，所以t＝0.2 s時，振子不在O點右側6 cm處，故B錯誤.
t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的位移大小相等、方向相反，由a＝－ ，知加速度大小相等、方向相反，故C錯誤.
t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，振子的位移減小，正向平衡位置靠近，速度逐漸增大，動能逐漸增大，故D正確.高中物理 教材同步 人教版（2019） 選擇性必修 第一冊 第二章 機械振動 3. 簡諧運動的回復力和能量 學習任務單
課題 簡諧運動的回復力和能量 年級 高二
知識點來源 高中物理 教材同步 人教版（2019） 選擇性必修 第一冊 第二章 機械振動 3. 簡諧運動的回復力和能量
學習目標 物理觀念：1.知道回復力的概念. 2.知道振幅越大，振動的能量越大． 科學思維：1.會根據簡諧運動的回復力特點，判斷及分析常見的簡諧運動. 2.理解簡諧運動的動力學特征． 科學探究：通過探究，理解簡諧運動中位移、回復力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況．
學習重難點 理解簡諧運動的動力學特征、各個物理量的變化情況。
【課前預習】 一、簡諧運動的回復力 1．簡諧運動 如果質點所受的力與它偏離平衡位置 的大小成 ，并且總是指向 ，質點的運動就是簡諧運動． 2．回復力 (1)定義：使振動物體回到 的力． (2)方向：總是指向 ． (3)表達式：F＝ . 二、簡諧運動的能量 1．能量轉化 彈簧振子運動的過程就是 和 互相轉化的過程． (1)在最大位移處， 最大， 為零． (2)在平衡位置處， 最大， 最?。?2．能量特點 在簡諧運動中，振動系統的 ，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種 的模型． 【自主探究】 1．判斷下列說法的正誤． (1)回復力的方向總是與位移的方向相反．(　　) (2)回復力的方向總是與加速度的方向相反．(　　) (3)水平彈簧振子運動到平衡位置時，回復力為零，因此能量一定為零．(　　) (4)回復力的大小與速度大小無關，速度增大時，回復力可能增大，也可能減?。?　　) 2．如圖1所示的彈簧振子，O為平衡位置，B、C為最大位移位置，以向右的方向為正方向，則振子從B運動到O的過程中，位移方向為________，大小逐漸________；回復力方向為________，大小逐漸________；振子速度方向為________，大小逐漸________；動能逐漸________；勢能逐漸________．(選填“正”“負”“增大”或“減小”) 圖1 【探究過程】 一、簡諧運動的回復力 【應用探究】 如圖所示為一個水平方向的彈簧振子模型(水平桿光滑)，O點為振子的平衡位置，A、O間和B、O間距離都是x. (1)振子在O點時受到幾個力的作用？分別是什么力？ (2)振子在A、B點時受到哪些力的作用？ (3)除重力、支持力、彈簧彈力外，振子在O、A、B點還受到回復力的作用嗎？回復力有什么特點？ 【探究過程】 1．回復力 (1)回復力的方向 ， 的平衡位置． (2)回復力的性質 例如：如圖2甲所示，水平方向的彈簧振子， 充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子， 充當回復力；如圖丙所示，m隨M一起振動，m的回復力由 提供． 圖2 2．回復力公式：F＝－kx. (1)k是比例系數，其值由 決定，與 無關．只有水平彈簧振子，回復力僅由 提供，k為 ． (2)“－”號 ． 3．簡諧運動的加速度 4．物體做簡諧運動的判斷方法 (1)簡諧運動的回復力滿足 ； (2)簡諧運動的振動圖象是 ． 典例1　(多選)如圖3所示，彈簧振子在光滑水平桿上的A、B之間做往復運動，下列說法正確的是(　　) 圖3 A．彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用 B．彈簧振子運動過程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用 C．振子由A向O運動過程中，回復力逐漸增大 D．振子由O向B運動過程中，回復力的方向指向平衡位置 典例2　如圖4所示，彈簧勁度系數為k，在彈簧下端掛一個重物，質量為m，重物靜止．在豎直方向將重物下拉一段距離(沒超過彈簧彈性限度)，然后無初速度釋放，重物在豎直方向上下振動．(不計空氣阻力) (
圖4
) (1)試分析重物上下振動回復力的來源； (2)試證明該重物做簡諧運動． 二、簡諧運動的能量 【應用探究】 如圖所示為水平彈簧振子，振子在A、B之間往復運動． (1)從A到B的運動過程中，振子的動能如何變化？彈簧彈性勢能如何變化？振動系統的總機械能是否變化？ (2)如果把振子振動的振幅增大，振子回到平衡位置的動能是否增大？振動系統的機械能是否增大？ (3)實際的振動系統有空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？理想化的彈簧振動系統，忽略空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？ 【歸納總結】 典例3　如圖5所示，一水平彈簧振子在A、B間做簡諧運動，平衡位置為O，已知振子的質量為M. 圖5 (1)簡諧運動的能量取決于________，振子振動時動能和________相互轉化，總機械能________． (2)振子在振動過程中，下列說法中正確的是________． A．振子在平衡位置，動能最大，彈性勢能最小 B．振子在最大位移處，彈性勢能最大，動能最小 C．振子在向平衡位置運動時，由于振子振幅減小，故總機械能減小 D．在任意時刻，動能與彈性勢能之和保持不變 (3)若振子運動到B處時將一質量為m的物體放到M的上面，且m和M無相對滑動而一起運動，下列說法正確的是________． A．振幅不變 B．振幅減小 C．最大動能不變 D．最大動能減小 三、簡諧運動中各物理量的變化 1．如圖6所示為水平的彈簧振子示意圖，在下表中填上振子運動過程中各物理量的變化情況． 圖6 振子的運動A→OO→A′A′→OO→A位移回復力加速度速度振子的動能彈簧的勢能系統總能量
典例4　如圖7甲所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動．取向右為正方向，振子的位移x與時間t的關系圖象如圖乙所示，下列說法正確的是(　　) 圖7 A．t＝0.8 s時，振子的速度方向向右 B．t＝0.2 s時， 振子在O點右側6 cm處 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的加速度相同 D．從t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，振子的動能逐漸增大 【總結感悟】 11.3《　簡諧運動的回復力和能量》課后鞏固練習 一、選擇題 考點一　簡諧運動的回復力和加速度 1．對于彈簧振子的回復力和位移的關系，下列圖中正確的是(　　) 2．(多選)如圖所示，物體m系在兩彈簧之間，彈簧勁度系數分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然狀態，今向右拉動m，然后釋放，物體在B、C間振動，O為平衡位置(不計阻力)，則下列判斷正確的是(　　) A．m做簡諧運動，OC＝OB B．m做簡諧運動，OC≠OB C．回復力F＝－kx D．回復力F＝－3kx 3．如圖甲所示，一彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，圖乙是彈簧振子做簡諧運動時的位移—時間圖象，則關于彈簧振子的加速度隨時間的變化規律，下列四個圖象中正確的是(　　) 4．(多選)如圖所示，一豎直放置的輕彈簧下端固定在水平地面上，質量為m的小球從彈簧正上方高為h處自由下落到彈簧上端A點，然后壓縮彈簧到最低點C，若小球放在彈簧上可靜止在B點，小球運動過程中空氣阻力忽略不計，則下列說法正確的是(　　) A．B點位于AC連線中點的上方 B．B點位于AC連線中點的下方 C．小球在A點的回復力等于mg D．小球在C點的回復力大于mg 5．如圖所示，A、B兩物體組成彈簧振子，在振動過程中，A、B始終保持相對靜止，下列給定的四幅圖中能正確反映振動過程中物體A所受摩擦力Ff與振子相對平衡位置位移x關系的圖線為(　　) 考點二　簡諧運動的能量 6.如圖所示為某個彈簧振子做簡諧運動的振動圖象，由圖象可知(　　) A．在0.1 s時，由于位移為零，所以振動能量為零 B．在0.2 s時，振子具有最大勢能 C．在0.35 s時，振子具有的能量尚未達到最大值 D．在0.4 s時，振子的動能最大 7．如圖所示，一根用絕緣材料制成的勁度系數為k的輕質彈簧，左端固定，右端與質量為m、帶電荷量為＋q的小球相連，靜止在光滑、絕緣的水平面上．在施加一個場強為E、方向水平向右的勻強電場后，小球開始做簡諧運動．那么(　　) A．小球到達最右端時，彈簧的形變量為 B．小球做簡諧運動的振幅為 C．運動過程中小球的機械能守恒 D．運動過程中小球的電勢能和彈簧的彈性勢能的總量不變 8.如圖所示，質量為M的物塊鉤在水平放置的左端固定的輕質彈簧的右端，構成一彈簧振子，物塊可沿光滑水平面在BC間做簡諧運動，振幅為A.在運動過程中將一質量為m的小物塊輕輕地放在M上，第一次是當M運動到平衡位置O處時放在上面(有機械能損失)，第二次是當M運動到最大位移處C時放在上面，觀察到第一次放后的振幅為A1，第二次放后的振幅為A2，則(　　) A．A1＝A2＝A B．A1a2，E1a2，E1>E2 C．a1E2 二、非選擇題 12．如圖所示，彈簧下面掛一個質量為m的物體，物體在豎直方向做振幅為A的簡諧運動，當物體振動到最高點時，彈簧正好為原長．重力加速度為g，則物體在振動過程中： (1)物體在豎直方向做簡諧運動的過程中物體的機械能是否守恒？________. A．守恒　　B．不守恒　　C．不確定 (2)物體在最高點回復力的大小________在最低點回復力的大小．(選填“大于”“小于”或“等于”) (3)系統的最大彈性勢能等于________． (4)物體在最低點所受彈力等于________． 13．一質點做簡諧運動，其位移和時間關系如圖所示． (1)求t＝0.25×10－2 s時的位移； (2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振動過程中，質點的位移、回復力、速度、動能、勢能如何變化？ (3)在t＝0到8.5×10－2 s時間內，質點通過的路程為多大？ 14．如圖所示，傾角為α的斜面體(斜面光滑且足夠長)固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為L的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊．壓縮彈簧使其長度為L時將物塊由靜止開始釋放(物塊做簡諧運動)，重力加速度為g. (1)求物塊處于平衡位置時彈簧的長度； (2)物塊做簡諧運動的振幅是多少； (3)選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標系，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動．(已知做簡諧運動的物體所受的回復力滿足F＝－kx) 參考答案 1.答案　C 解析　由簡諧運動的回復力公式F＝－kx可知，C正確． 2.答案　AD 解析　當物體位移是x時，物體受到的作用力F＝F1＋F2＝－k1x－k2x＝－3kx，符合簡諧運動的動力學方程，m做簡諧運動，所以OB、OC都是物體做簡諧振動的振幅，OB＝OC，綜上所述，選項A、D正確． 3.答案　C 解析　加速度與位移的關系為a＝－，而x＝Asin ωt，所以a＝－sin ωt，則可知C選項正確． 4.答案　ACD 解析　小球放在彈簧上，可以靜止于B點，知B點為平衡位置，若小球從A點由靜止釋放，平衡位置在A點和最低點的中點，而小球從彈簧的正上方自由下落，最低點需下移，但是平衡位置不變，可知B點位于AC連線中點的上方，故A正確，B錯誤；小球在A點所受彈力為零，則小球在A點所受的合力為mg，即回復力為mg，故C正確；若從A點靜止釋放，到達最低點時，加速度與A點對稱，大小為g，但是C點所處的位置在A點關于平衡位置對稱點的下方，小球在C點的回復力大于mg，故D正確． 5.答案　B 解析　設彈簧的勁度系數為k，振子距平衡位置的位移為x時系統的加速度為a，根據牛頓第二定律有kx＝－(mA＋mB)a，所以當位移為x時，整體的加速度a＝－，隔離對A分析，則摩擦力Ff＝mAa＝－kx，B正確． 6.答案　B 解析　彈簧振子做簡諧運動，振動能量不變，選項A錯；在0.2 s時位移最大，振子具有最大勢能，選項B對；彈簧振子的振動能量不變，在0.35 s時振子具有的能量與其他時刻相同，選項C錯；在0.4 s時振子的位移最大，動能為零，選項D錯． 7.答案　A 解析　小球做簡諧運動的平衡位置是彈簧拉力和電場力平衡的位置，此時彈簧形變量為，小球到達最右端時，彈簧形變量為，A對，B錯．電場力做功，故機械能不守恒，C錯．運動過程中，小球的動能、電勢能和彈簧的彈性勢能的總量不變，D錯． 8.答案　B 解析　振子運動到C點時速度恰為0，此時放上小物塊，系統的總能量即為此時彈簧儲存的彈性勢能，不變，故振幅不變，即A2＝A；振子運動到平衡位置時速度最大，彈簧的彈性勢能為零，放上小物塊后，系統的機械能減小，根據能量守恒定律可得機械能轉化為彈性勢能的總量減小，故彈簧的最大伸長(壓縮)量減小，即振幅減小，所以A1a2，E11 / 14

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