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專題2.4 直線的交點坐標與距離公式【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求兩直線的交點坐標】 1
【題型2 經過兩直線交點的直線方程】 2
【題型3 由直線的交點求參數】 3
【題型4 三線能圍成三角形的問題】 3
【題型5 兩點間的距離公式的應用】 4
【題型6 點到直線的距離公式的應用】 5
【題型7 兩條平行直線間的距離公式的應用】 5
【題型8 與距離有關的最值問題】 5
【知識點1 兩條直線的交點坐標】
1．兩條直線的交點坐標
(1)兩條直線的交點坐標
一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相
交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.
(2)兩條直線的位置關系與方程組的解的關系
設兩直線,直線.
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1和l2的公共點個數 一個 無數個 零個
直線l1和l2的位置關系 相交 重合 平行
【題型1 求兩直線的交點坐標】
【例1】（2023·江蘇·高二假期作業）直線與直線的交點坐標是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【變式1-1】（2023·江蘇·高二假期作業）直線2x+y+8=0和直線x+y-1=0的交點坐標是（ ）
A．(-9，-10) B．(-9，10) C．(9，10) D．(9，-10)
【變式1-2】（2023秋·高二課時練習）判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點坐標．
(1)直線；
(2)直線．
【變式1-3】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各對直線的位置關系.若相交，求出交點坐標：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【題型2 經過兩直線交點的直線方程】
【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）過直線與直線的交點，且過原點的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023春·廣東韶關·高二校考期中）經過兩條直線的交點，且直線的一個方向向量的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023秋·廣東廣州·高一校考期中）過兩直線的交點，且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023·全國·高一專題練習）已知直線，，則過和的交點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 由直線的交點求參數】
【例3】（2022秋·廣東廣州·高二校考階段練習）直線與直線相交，則實數k的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．且
【變式3-1】（2022秋·廣東惠州·高二校考期中）已知直線與互相垂直，且交點為，則（ ）
A．24 B．20 C．18 D．10
【變式3-2】（2023·高二課時練習）若直線與直線相交且交點在第二象限內，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·江蘇·高二專題練習）若三條直線，與共有兩個交點，則實數的值為（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【題型4 三線能圍成三角形的問題】
【例4】（2023·高二課時練習）若三條直線，，構成三角形，則的取值范圍是(　　)
A． B．， C． D．，
【變式4-1】（2022·高二課時練習）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構成三角形，則a的取值范圍是（ ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1
【變式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考階段練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數a的取值不可能為（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【變式4-3】（2022秋·浙江金華·高二期中）已知三條直線、和中沒有任何兩條平行，但它們不能構成三角形的三邊，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【知識點2 距離公式】
1．兩點間的距離公式
平面內兩點間的距離公式為.
特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.
2．點到直線的距離公式
(1)定義：
點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.
3．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
4．中點坐標公式
公式：
設平面上兩點，線段的中點為，則.
【題型5 兩點間的距離公式的應用】
【例5】（2023秋·廣西防城港·高二統考期末）已知點，則為（ ）
A．5 B． C． D．4
【變式5-1】（2023秋·高二課時練習）已知點，，且，則的值為
A． B． C．或 D．或
【變式5-2】（2023秋·高二課時練習）已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022·高二課時練習）以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【題型6 點到直線的距離公式的應用】
【例6】（2023·重慶·高二統考學業考試）點(1,1)到直線的距離是（ ）
A．1 B．2 C．
【變式6-1】（2023秋·高二課時練習）已知到直線的距離等于3，則a的值為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）已知實數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023秋·廣東河源·高二校考期末）過點引直線，使，，兩點到直線的距離相等，則直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【題型7 兩條平行直線間的距離公式的應用】
【例7】（2023秋·高二課時練習）兩條平行直線與間的距離為（ ）
A． B．2 C．14 D．
【變式7-1】（2023春·河南駐馬店·高二校考期中）已知，若直線：與直線：平行，則它們之間的距離為（ ）
A． B． C． D．或
【變式7-2】（2023·全國·高三專題練習）與直線的距離等于的直線方程為
A． B．
C．或 D．或
【變式7-3】（2023秋·重慶渝北·高二校考期末）已知直線，互相平行，且之間的距離為，則（ ）
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【題型8 與距離有關的最值問題】
【例8】（2023春·上海寶山·高二校考開學考試）點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式8-1】（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式8-2】（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）在平面直角坐標系中，已知直線：，點，則點A到直線的距離的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2023秋·浙江紹興·高二統考期末）已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．3
專題2.4 直線的交點坐標與距離公式【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求兩直線的交點坐標】 1
【題型2 經過兩直線交點的直線方程】 3
【題型3 由直線的交點求參數】 4
【題型4 三線能圍成三角形的問題】 6
【題型5 兩點間的距離公式的應用】 8
【題型6 點到直線的距離公式的應用】 9
【題型7 兩條平行直線間的距離公式的應用】 11
【題型8 與距離有關的最值問題】 12
【知識點1 兩條直線的交點坐標】
1．兩條直線的交點坐標
(1)兩條直線的交點坐標
一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相
交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.
(2)兩條直線的位置關系與方程組的解的關系
設兩直線,直線.
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1和l2的公共點個數 一個 無數個 零個
直線l1和l2的位置關系 相交 重合 平行
【題型1 求兩直線的交點坐標】
【例1】（2023·江蘇·高二假期作業）直線與直線的交點坐標是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【解題思路】解方程組即可得解.
【解答過程】解方程組得，
即直線與直線的交點坐標是(0,2)．
故選：C.
【變式1-1】（2023·江蘇·高二假期作業）直線2x+y+8=0和直線x+y-1=0的交點坐標是（ ）
A．(-9，-10) B．(-9，10) C．(9，10) D．(9，-10)
【解題思路】直接解方程組可得.
【解答過程】解方程組得即交點坐標是(-9，10)，
故選：B.
【變式1-2】（2023秋·高二課時練習）判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點坐標．
(1)直線；
(2)直線．
【解題思路】（1）解方程組，可得交點坐標；根據方程組的解的個數判斷位置關系；
（2）分類討論，解方程組可得答案.
【解答過程】（1）聯立，解得，
所以兩直線相交，交點坐標為.
（2）當時，，，
聯立，方程組有無數組解，故兩直線重合，
當時，，，
聯立，方程組無解，故兩直線平行，
當，聯立，解得，
所以兩直線相交，交點坐標為.
綜上所述：當時，兩直線重合；當時，兩直線平行；當時，兩直線相交，交點坐標為.
【變式1-3】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各對直線的位置關系.若相交，求出交點坐標：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【解題思路】兩個直線方程列方程組求解，方程組有解即得交點坐標，方程組無解則兩直線平行（有無數解，則兩直線重合）．
【解答過程】（1）解方程組得所以直線l1與l2相交，交點坐標為(－1，－1).
（2）解方程組①×2－②，得1＝0，矛盾，方程組無解.
所以直線l1與l2無公共點，即l1//l2.
【題型2 經過兩直線交點的直線方程】
【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）過直線與直線的交點，且過原點的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出直線與直線的交點坐標，然后可得出答案
【解答過程】聯立方程得，即與的交點為
又直線過原點
所以此直線的方程為：
故選：D.
【變式2-1】（2023春·廣東韶關·高二校考期中）經過兩條直線的交點，且直線的一個方向向量的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出兩直線的交點坐標，再利用直線的方向向量求出斜率，利用點斜式求出直線方程.
【解答過程】聯立直線與，，解得：，
所以直線：，：的交點為，
又直線的一個方向向量，所以直線的斜率為，
故該直線方程為：，即
故選：D.
【變式2-2】（2023秋·廣東廣州·高一校考期中）過兩直線的交點，且與直線平行的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出兩直線交點，再由與直線平行得出斜率，由點斜式寫出方程即可求解.
【解答過程】由解得，則直線的交點，
又直線的斜率為，則所求直線方程為，整理得.
故選：C.
【變式2-3】（2023·全國·高一專題練習）已知直線，，則過和的交點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由于所求出直線與直線垂直，所以設所求直線為，然后求出兩直線的交點坐標，代入上式方程可求出，從而可求出直線方程
【解答過程】由于所求出直線與直線垂直，所以設所求直線為，
由，得，即和的交點為，
因為直線過點，
所以，得，
所以所求直線方程為，
故選：D.
【題型3 由直線的交點求參數】
【例3】（2022秋·廣東廣州·高二校考階段練習）直線與直線相交，則實數k的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．且
【解題思路】根據給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.
【解答過程】因直線與直線相交，則，
即，解得且，
所以實數k的值為且.
故選：D.
【變式3-1】（2022秋·廣東惠州·高二校考期中）已知直線與互相垂直，且交點為，則（ ）
A．24 B．20 C．18 D．10
【解題思路】首先根據兩條直線垂直求，再根據兩條直線過交點，代入后分別求.
【解答過程】因為兩直線互相垂直，所以，得，直線為，代入交點，得，，再將交點代入直線，即，得，
所以.
故選：C.
【變式3-2】（2023·高二課時練習）若直線與直線相交且交點在第二象限內，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據直線相交求k的取值范圍，再聯立方程求出交點坐標列式求解即可.
【解答過程】若直線與直線平行或重合，則，解得，
若直線與直線相交，可得且，則有：
聯立方程，解得，即交點坐標，
由題意可得：，解得；
綜上所述：k的取值范圍為.
故選：C.
【變式3-3】（2022·江蘇·高二專題練習）若三條直線，與共有兩個交點，則實數的值為（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【解題思路】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，利用直線平行即求.
【解答過程】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，
∵直線和直線不平行，
∴直線和直線平行或直線和直線平行，
∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，
∴或.
故選：C.
【題型4 三線能圍成三角形的問題】
【例4】（2023·高二課時練習）若三條直線，，構成三角形，則的取值范圍是(　　)
A． B．， C． D．，
【解題思路】由題意可得，三條直線中任意兩條不平行，且三條直線不共點，由此求得的范圍．
【解答過程】解：三條直線，，構成三角形，
故三條直線中任意兩條不平行，且三條直線不共點．
而直線和交于原點，無論為何值，直線總不經過原點，
因此，要滿足三條直線構成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，
所以，
故選：A．
【變式4-1】（2022·高二課時練習）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構成三角形，則a的取值范圍是（ ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1
【解題思路】由三條直線兩兩不平行，且不交于同一點可得．
【解答過程】已知三條直線能構成三角形，首先不平行，
若，則三條直線圍成三角形，
若，則，，解得，
時，由，得，代入得，或，因此
綜上：且．
故選：C．
【變式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考階段練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數a的取值不可能為（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【解題思路】分析可得直線一定相交，聯立兩方程，求得交點坐標為，當時，直線為，分析可得不滿足題意，當時，當直線l3分別與直線l1、l2平行時，以及過直線交點時，均滿足題意，分別求解，即可得答案.
【解答過程】因為直線l1的斜率為3，直線l2的斜率為，所以直線一定相交，交點坐標是方程組的解，解得交點坐標為：.
當時，直線與x軸垂直，方程為：不經過點，所以三條直線能構成三角形；
當時，直線的斜率為：.
當直線l1與直線l3的斜率相等時，即，此時這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；
當直線l2與直線l3的斜率相等時，即，此時這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；
當直線l3過直線交點時，三條直線不能構成三角形，即有，所以實數a的取值不可能為1.
故選：A.
【變式4-3】（2022秋·浙江金華·高二期中）已知三條直線、和中沒有任何兩條平行，但它們不能構成三角形的三邊，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由三條直線過同一點，求得，并判斷不重合即得．
【解答過程】由已知得三條直線必過同一個點，則聯立，解得這兩條直線的交點為，
代入可得，此時沒有兩條直線重合．
故選：A.
【知識點2 距離公式】
1．兩點間的距離公式
平面內兩點間的距離公式為.
特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.
2．點到直線的距離公式
(1)定義：
點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.
3．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
4．中點坐標公式
公式：
設平面上兩點，線段的中點為，則.
【題型5 兩點間的距離公式的應用】
【例5】（2023秋·廣西防城港·高二統考期末）已知點，則為（ ）
A．5 B． C． D．4
【解題思路】由距離公式求解.
【解答過程】.
故選：A.
【變式5-1】（2023秋·高二課時練習）已知點，，且，則的值為
A． B． C．或 D．或
【解題思路】利用兩點間距離公式構造方程求得結果.
【解答過程】由題意知：，解得：或
故選：.
【變式5-2】（2023秋·高二課時練習）已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，因為，由兩點間的距離公式求解即可.
【解答過程】因為點C在x軸上，設點，則，
所以，
化簡可得：，所以.
故選：D.
【變式5-3】（2022·高二課時練習）以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【解題思路】計算出，由此確定三角形的形狀.
【解答過程】，
，
，
，
所以三角形是直角三角形.
故選：C.
【題型6 點到直線的距離公式的應用】
【例6】（2023·重慶·高二統考學業考試）點(1,1)到直線的距離是（ ）
A．1 B．2 C．
【解題思路】直接利用點到直線的距離公式得到答案.
【解答過程】，
故選：A.
【變式6-1】（2023秋·高二課時練習）已知到直線的距離等于3，則a的值為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【解題思路】由距離公式，解方程得出a的值.
【解答過程】由距離公式可得，，即解得或.
故選：C.
【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）已知實數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意設直線：，點，利用點到直線的距離公式得點A到直線的距離為，由直線的斜率不存在得，由得，化簡即可求解.
【解答過程】根據題意，設直線：恒過原點，點，
那么點到直線的距離為：，
因為，所以，且直線的斜率，
當直線的斜率不存在時，，所以，
當時，，
所以，即，
因為，所以.
故選：A.
【變式6-3】（2023秋·廣東河源·高二校考期末）過點引直線，使，，兩點到直線的距離相等，則直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】考慮直線斜率不存在和直線斜率存在，由點到直線距離公式列出方程，求出直線斜率，得到直線方程.
【解答過程】若直線斜率不存在，即，此時，兩點到直線的距離分別為3和5，故距離不相等，舍去；
若直線斜率存在時，設直線方程為，
由得：或，
故直線方程為或，
整理得或.
故選：D.
【題型7 兩條平行直線間的距離公式的應用】
【例7】（2023秋·高二課時練習）兩條平行直線與間的距離為（ ）
A． B．2 C．14 D．
【解題思路】由距離公式求解即可.
【解答過程】由距離公式可知，所求距離為.
故選：D.
【變式7-1】（2023春·河南駐馬店·高二校考期中）已知，若直線：與直線：平行，則它們之間的距離為（ ）
A． B． C． D．或
【解題思路】根據題意結合兩直線平行求得，再代入兩平行線間距離公式運算求解.
【解答過程】若直線：與直線：平行，則，解得或，
當時，直線：與直線：平行；
當時，直線：與直線：平行；
綜上所述：若直線與直線平行，則或.
∵，則，此時直線：，直線：，
故直線、之間的距離.
故選：A.
【變式7-2】（2023·全國·高三專題練習）與直線的距離等于的直線方程為
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】本題考查平行直線間的距離公式．
【解答過程】設直線方程為，兩平行直線間的距離為，解得c=0或-2．
直線的方程為 或
故選C．
【變式7-3】（2023秋·重慶渝北·高二校考期末）已知直線，互相平行，且之間的距離為，則（ ）
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【解題思路】先根據兩直線平行由系數的關系求出參數，然后由平行線間的距離公式求出參數，最后由即可求出答案.
【解答過程】由可得，解得，
則直線的方程為，
由，即，解得或，
故或，即.
故選：A.
【題型8 與距離有關的最值問題】
【例8】（2023春·上海寶山·高二校考開學考試）點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
【解題思路】由題意，求得直線所過定點，由兩點之間距離公式，可得答案.
【解答過程】由直線，整理可得，
令，解得，
點到直線距離的最大值為點到定點的距離，則，
故選：D.
【變式8-1】（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】求出恒過的定點，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.
【解答過程】，由，
解得，故過定點．
，由，
解得，故過定點，
故，距離的最大值為．
此時，，則，，
解得，故．
故選：C．
【變式8-2】（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）在平面直角坐標系中，已知直線：，點，則點A到直線的距離的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可確定直線：，則直線過原點，且斜率為，由此可確定點到直線l的距離大于1，再確定當l與垂直時，點A到直線l的距離最大，即可求得答案.
【解答過程】由題意直線：，則直線過原點，且斜率為，

當直線l無限靠近于y軸時，點到直線l的距離無限接近于1，
故點到直線l的距離大于1，
當l與垂直時，點A到直線l的距離最大，最大值為，
故點A到直線的距離的取值范圍為，
故選：B.
【變式8-3】（2023秋·浙江紹興·高二統考期末）已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【解題思路】利用兩點間距離公式及線段和的性質求解.
【解答過程】如圖，設，， ， ，
表示點與之間的距離；
表示點與之間的距離；
表示點與之間的距離；
表示點與之間的距離；
所以
，
其中是以1為邊長的正方形內任意一點，
，；
故，
當且僅當時，，等號成立，所以原式的最小值為.
故選：B.

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