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專題2.5 點、線間的對稱關系【六大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 點關于點的對稱問題】 1
【題型2 直線關于點的對稱問題】 3
【題型3 點關于直線的對稱問題】 5
【題型4 直線關于直線的對稱問題】 7
【題型5 光線反射問題】 8
【題型6 將軍飲馬問題】 12
【知識點1 點關于點的對稱】
1．點關于點的對稱
【題型1 點關于點的對稱問題】
【例1】（2023·四川·高二專題練習）若A(4，0)與B點關于點(2，1)對稱，則B點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習）點關于點對稱的點的坐標為 ．
【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關于B點的對稱點C的坐標為 ．
【變式1-3】（2023·江西·高二階段練習（理））已知點關于點的對稱點為，則點到原點的距離是 .
【知識點2 直線關于點的對稱】
1．直線關于點的對稱
【題型2 直線關于點的對稱問題】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·高二課時練習）點在直線上，直線與關于點對稱，則一定在直線上的點為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·全國·高二專題練習）直線與直線關于原點對稱，則的值是
A．， B．，
C．， D．，
【知識點3 直線關于點的對稱】
1．兩點關于某直線對稱
(4)幾種特殊位置的對稱：
點 對稱軸 對稱點坐標
P(a,b) x軸 (a,-b)
y軸 (-a,b)
y=x (b,a)
y=-x (-b,-a)
x=m(m≠0) (2m-a,b)
y=n(n≠0) (a,2n-b)
【題型3 點關于直線的對稱問題】
【例3】（2023·全國·高一專題練習）點關于直線的對稱點Q的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）點關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022秋·高二校考課時練習）已知點A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（　　）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知點A（1，﹣2），B（m，n），關于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【知識點4 直線關于直線的對稱】
【題型4 直線關于直線的對稱問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習）直線關于軸對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）已知直線：與直線關于直線：對稱，直線與直線：垂直，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【題型5 光線反射問題】
【例5】（2023·全國·高三專題練習）一條光線從點射出，傾斜角為，遇軸后反射，則反射光線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2022秋·山東濟南·高二統考期中）一條沿直線傳播的光線經過點和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2022秋·河北邢臺·高二統考階段練習）如圖，已知，，從點射出的光線經直線反射后再射到直線上，最后經直線反射后又回到點，則光線所經過的路程長為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023春·山東東營·高二校考開學考試）已知：，，，，，一束光線從F點出發射到BC上的D點經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上（不含端點），則FD斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 將軍飲馬問題】
【例6】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．5 C． D．
【變式6-1】（2022秋·河北石家莊·高二統考期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最小（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開關兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為 （ ）
A． B． C． D．
專題2.5 點、線間的對稱關系【六大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 點關于點的對稱問題】 1
【題型2 直線關于點的對稱問題】 3
【題型3 點關于直線的對稱問題】 5
【題型4 直線關于直線的對稱問題】 7
【題型5 光線反射問題】 8
【題型6 將軍飲馬問題】 12
【知識點1 點關于點的對稱】
1．點關于點的對稱
【題型1 點關于點的對稱問題】
【例1】（2023·四川·高二專題練習）若A(4，0)與B點關于點(2，1)對稱，則B點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據中點坐標公式即可求解.
【解答過程】解：設，由題知，點和點的中點為，則
解得：，
所以點的坐標為
故選：B.
【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習）點關于點對稱的點的坐標為 ．
【解題思路】由中點坐標公式求解即可
【解答過程】設點關于點對稱的點為，
則點為的中點．
解得．
點關于點對稱的點的坐標為．
故答案為：．
【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關于B點的對稱點C的坐標為 ．
【解題思路】設出A點關于B點的對稱點C的坐標，然后直接代入中點坐標公式計算．
【解答過程】設C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點是A，C的中點，
所以，解得．
所以C的坐標為．
故答案為：.
【變式1-3】（2023·江西·高二階段練習（理））已知點關于點的對稱點為，則點到原點的距離是 .
【解題思路】根據對稱性，結合中點坐標公式、兩點間距離公式進行求解即可.
【解答過程】根據中點坐標公式，得，且．
解得，，所以點P的坐標為，
則點到原點的距離．
故答案為：.
【知識點2 直線關于點的對稱】
1．直線關于點的對稱
【題型2 直線關于點的對稱問題】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據直線關于直線外一點的對稱直線互相平行可知其斜率，再取上一點求其關于點的對稱點，即可求出的方程.
【解答過程】由題意得，故設，
在l上取點，則點關于點的對稱點是，
所以，即，
故直線的方程為.
故選：C.
【變式2-1】（2022·高二課時練習）點在直線上，直線與關于點對稱，則一定在直線上的點為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據兩直線關于點對稱，利用中點公式即可求直線上的對稱點，且該點在直線上.
【解答過程】由題設，關于對稱的點必在上，若該點為，
∴，解得，即一定在直線上.
故選：C.
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結果.
【解答過程】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，
則其關于點對稱的點的坐標為，
因為點在直線上，
所以即.
故選：D.
【變式2-3】（2022·全國·高二專題練習）直線與直線關于原點對稱，則的值是
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），分別代入已知的直線方程，即可求得結論．
【解答過程】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），則
∵點（m，n）是直線ax+3y﹣9＝0上任意一點
∴a＝﹣1，b＝﹣9
故選A．
【知識點3 直線關于點的對稱】
1．兩點關于某直線對稱
(4)幾種特殊位置的對稱：
點 對稱軸 對稱點坐標
P(a,b) x軸 (a,-b)
y軸 (-a,b)
y=x (b,a)
y=-x (-b,-a)
x=m(m≠0) (2m-a,b)
y=n(n≠0) (a,2n-b)
【題型3 點關于直線的對稱問題】
【例3】（2023·全國·高一專題練習）點關于直線的對稱點Q的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】利用中點和斜率來求得點坐標.
【解答過程】設點關于直線的對稱點的坐標為，
則，解得．
所以點Q的坐標為.
故選：A.
【變式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）點關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據點關于線對稱的特點，利用中點坐標公式及兩直線垂直的斜率的關系即可求解.
【解答過程】設點關于直線的對稱點的坐標為，
則，解得.
所以點的坐標為
故選：A.
【變式3-2】（2022秋·高二校考課時練習）已知點A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（　　）.
A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4 D．a=4，b=2
【解題思路】利用點關于直線對稱的性質即可求得結果.
【解答過程】點A，B關于直線對稱，則，
即，　①
且AB中點在已知直線上，
代入得，　②
聯立①②組成的方程組，解得，
故選：D.
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知點A（1，﹣2），B（m，n），關于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（　　）
A．﹣2 B．3 C．5 D．7
【解題思路】先利用線段的中點公式求出線段AB的中點坐標，再把中點坐標代入直線x+2y﹣2＝0，結合斜率關系列方程組，求得，從而求得m+n的值．
【解答過程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）關于直線x+2y﹣2＝0對稱，
∴線段AB的中點C（，）在直線x+2y﹣2＝0上，
∴2+n﹣2＝0．
∴m+2n＝7，
而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4，
解方程組，可得m＝3，n＝2，
∴m+n＝5.
故選：C.
【知識點4 直線關于直線的對稱】
【題型4 直線關于直線的對稱問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習）直線關于軸對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用對稱性質可得原直線上的點關于軸的對稱點，代入對稱點，即可得到答案.
【解答過程】設點是所求直線上任意一點，則關于軸的對稱點為，且在直線上，代入可得，即.
故選：C.
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【解題思路】結合兩平行線間的距離公式求得正確選項.
【解答過程】設對稱直線方程為，
，解得或（舍去）.
所以所求直線方程為.
故選：B.
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意在上任取一點，其關于直線的對稱點在上，代入可求出，然后在上任取一點，其關于直線的對稱點在上，代入可求出.
【解答過程】在上取一點，
則由題意可得其關于直線的對稱點在上，
所以，得，
在上取一點，
則其關于直線的對稱點在上，
所以，得，
綜上，
故選：A.
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）已知直線：與直線關于直線：對稱，直線與直線：垂直，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【解題思路】利用直線與直線：垂直，求得的斜率，然后求得與的交點坐標，在直線上取點，求出該點關于的對稱點，利用斜率公式求得的值.
【解答過程】解：直線與直線：垂直，則，即，
∵直線：與直線關于直線：對稱，
∵由得得交點坐標，
在直線上取點，設該點關于對稱的點為，則，得，故，解得，
故選：B.
【題型5 光線反射問題】
【例5】（2023·全國·高三專題練習）一條光線從點射出，傾斜角為，遇軸后反射，則反射光線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據對稱關系可求得反射光線斜率和所經過點，利用點斜式可得直線方程.
【解答過程】點關于軸的對稱點為，
又反射光線傾斜角為，斜率，
反射光線所在直線方程為：，即.
故選：C.
【變式5-1】（2022秋·山東濟南·高二統考期中）一條沿直線傳播的光線經過點和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據兩點式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點，再根據反射光線經過入射點的對稱點，結合點關于直線對稱求得對稱點，再利用兩點式即可得解.
【解答過程】入射光線所在的直線方程為，即，
聯立方程組解得即入射點的坐標為．
設P關于直線對稱的點為，
則解得即．
因為反射光線所在直線經過入射點和點，
所以反射光線所在直線的斜率為，
所以反射光線所在的直線方程為，
即．
故選：D.
【變式5-2】（2022秋·河北邢臺·高二統考階段練習）如圖，已知，，從點射出的光線經直線反射后再射到直線上，最后經直線反射后又回到點，則光線所經過的路程長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出關于的對稱點和它關于y軸的對稱點，則就是所求的路程長.
【解答過程】解：直線的方程為，即，
設點關于直線AB的對稱點為，
則，解得，即，
又點關于y軸的對稱點為，
由光的反射規律以及幾何關系可知，光線所經過的路程長．
故選：B.
【變式5-3】（2023春·山東東營·高二校考開學考試）已知：，，，，，一束光線從F點出發射到BC上的D點經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上（不含端點），則FD斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據光線的入射光線和反射光線之間的規律，可先求F點關于直線BC的對稱點P，再求P關于直線AC的對稱點M,由此可確定動點D在直線BC上的變動范圍，進而求的其斜率的取值范圍.
【解答過程】由題意可知：直線 的方程為 ，直線的方程為，如圖：
設關于直線的對稱點為，則,
解得，故，
同理可求關于直線的對稱點為,
連接,交于N，
而MN方程為y=2,聯立得N點坐標為，
連接，分別交于,
方程為：，和直線方程聯立，
解得H點坐標為,
PN的方程為x=2,和直線方程聯立解得，
連接,則之間即為動點D點的變動范圍，
而 ,
故FD斜率的取值范圍是 ，
故選B.
【題型6 將軍飲馬問題】
【例6】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．5 C． D．
【解題思路】設關于的對稱點為，列方程求對稱點坐標，再應用兩點距離公式求“將軍飲馬”的最短總路程.
【解答過程】由關于的對稱點為，
所以，可得，即對稱點為，又
所以“將軍飲馬”的最短總路程為.
故選：D.
【變式6-1】（2022秋·河北石家莊·高二統考期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最小（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將已知變形設出，，則為點分別到點，的距離之和，則，即可根據兩點間距離計算得出答案.
【解答過程】，
，
設，，，
則為點分別到點，的距離之和，
點關于軸的對稱點的坐標為，
連接，
則，
當且僅當，，三點共線時取等號，
故選：B.
【變式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開關兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求點關于直線對稱的點，再根據兩點之間線段最短，即可得解.
【解答過程】
如圖，設關于直線對稱的點為，
則有 ，可得，可得，
依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，
此時，
故選：B.
【變式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為 （ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出點關于直線的對稱點的坐標，數形結合可得出“將軍飲馬”的最短總路程為，利用平面內兩點間的距離公式可求得結果.
【解答過程】點關于直線的對稱點為，如下圖所示：
在直線上任取一點，由對稱性可知，
所以，，
當且僅當點為線段與直線的交點時，等號成立，
故“將軍飲馬”的最短總路程為.
故選：B.

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