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專題2.6 圓的方程【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 1
【題型2 求圓的一般方程】 2
【題型3 二元二次方程表示圓的條件】 3
【題型4 圓過定點問題】 3
【題型5 點與圓的位置關(guān)系】 4
【題型6 圓有關(guān)的軌跡問題】 5
【題型7 與圓有關(guān)的對稱問題】 6
【知識點1 圓的方程】
1．圓的定義
圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心,定長為半徑).
圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程 (r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個字母(待定)，因此
在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3．圓的一般方程
(1)方程叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因
此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.
下列情況比較適用圓的一般方程：
①已知圓上三點，將三點坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；
②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線
方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).
【題型1 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過，，三點的圓的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023春·湖北襄陽·高二校考開學(xué)考試）過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023秋·河北石家莊·高二校考期末）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 求圓的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過原點，，三點，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023春·天津武清·高二校考開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022秋·全國·高二專題練習(xí)）已知，則的外接圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【知識點2 二元二次方程與圓的方程】
1．二元二次方程與圓的方程
(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：
二元二次方程，對比圓的一般方程
，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.
(2)二元二次方程表示圓的條件：
二元二次方程表示圓的條件是
【題型3 二元二次方程表示圓的條件】
【例3】（2023春·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）已知表示的曲線是圓，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023春·河南·高三階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-2】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）方程表示的曲線為（ ）
A．圓 B．圓的右半部分
C．圓 D．圓的上半部分
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示的曲線為圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．
【題型4 圓過定點問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為直線上任意一點，為坐標(biāo)原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·高二課時練習(xí)）點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【變式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考階段練習(xí)）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則其坐標(biāo)為 .
【變式4-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個不同的交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為，則圓經(jīng)過定點的坐標(biāo)為 （其坐標(biāo)與無關(guān)）.
【知識點3 點與圓的位置關(guān)系】
1．點與圓的位置關(guān)系
(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關(guān)系：點在圓上，點在圓內(nèi)，點在圓外.
(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為
.平面內(nèi)一點.
位置關(guān)系 判斷方法
幾何法 代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程) 代數(shù)法(一般方程)
點在圓上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
點在圓內(nèi) |MA|點在圓外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【題型5 點與圓的位置關(guān)系】
【例5】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定
【變式5-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）兩個點、與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點在圓外，點在圓外
B．點在圓內(nèi)，點在圓內(nèi)
C．點在圓外，點在圓內(nèi)
D．點在圓內(nèi)，點在圓外
【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【知識點4 軌跡方程】
1．軌跡方程
求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.
(1)當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關(guān)點法).
(2)求軌跡方程時，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等.
2.求軌跡方程的步驟：
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點M的坐標(biāo)；
(2)列出關(guān)于x,y的方程；
(3)把方程化為最簡形式；
(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；
(5)作答.
【題型6 圓有關(guān)的軌跡問題】
【例6】（2022秋·廣西桂林·高二校考期中）當(dāng)點在圓上運動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2022秋·北京大興·高二統(tǒng)考期中）已知點和點，動點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，則以為斜邊的直角三角形的直角頂點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【知識點5 與圓有關(guān)的對稱問題】
1．與圓有關(guān)的對稱問題
(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱.
(2)圓關(guān)于點對稱
①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點.
(3)圓關(guān)于直線對稱
①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.
【題型7 與圓有關(guān)的對稱問題】
【例7】（2023秋·河南焦作·高二校考期末）圓關(guān)于直線對稱后的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】（2023·北京·校考模擬預(yù)測）點M、N在圓上，且M、N兩點關(guān)于直線對稱，則圓C的半徑（ ）
A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為
【變式7-3】（2022秋·重慶云陽·高二校考期末）已知圓關(guān)于直線對稱，則的最大值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
專題2.6 圓的方程【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 1
【題型2 求圓的一般方程】 3
【題型3 二元二次方程表示圓的條件】 5
【題型4 圓過定點問題】 6
【題型5 點與圓的位置關(guān)系】 8
【題型6 圓有關(guān)的軌跡問題】 10
【題型7 與圓有關(guān)的對稱問題】 11
【知識點1 圓的方程】
1．圓的定義
圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心,定長為半徑).
圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程 (r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個字母(待定)，因此
在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3．圓的一般方程
(1)方程叫做圓的一般方程.
(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因
此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.
下列情況比較適用圓的一般方程：
①已知圓上三點，將三點坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；
②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線
方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).
【題型1 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過，，三點的圓的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)所求的圓的方程為，代入已知點得方程組，求解可得圓的方程.
【解答過程】解：設(shè)所求的圓的方程為，因為，，三點在圓上，所以解得于是所求圓的一般方程是.
故選：D.
【變式1-1】（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出圓心坐標(biāo)以及圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解答過程】由題意可知，圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點，
圓的半徑為，
因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A.
【變式1-2】（2023春·湖北襄陽·高二校考開學(xué)考試）過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點A的距離為半徑，可得圓的方程．
【解答過程】因為過點與，
所以線段AB的中點坐標(biāo)為，，
所以線段AB的中垂線的斜率為，
所以線段AB的中垂線的方程為，
又因為圓心在直線上，
所以，解得，
所以圓心為，
所以圓的方程為.
故選：A.
【變式1-3】（2023秋·河北石家莊·高二校考期末）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出直徑兩端點的坐標(biāo)，然后求出半徑，再求出圓的方程即可.
【解答過程】設(shè)直徑的兩個端點分別，
圓心C為點由中點坐標(biāo)公式，得，解得
∴半徑，
∴圓的方程是即
故選：A.
【題型2 求圓的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過原點，，三點，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)圓的方程為 ，
解方程組即得解.
【解答過程】設(shè)圓的方程為 ，
把點，，代入得
，
解得，，，
所以圓的方程是．
故選：D．
【變式2-1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)同圓心,可設(shè)圓的一般式方程為,代入點即可求解.
【解答過程】設(shè)所求圓的方程為，由該圓過點，得m＝4，
所以所求圓的方程為.
故選：B.
【變式2-2】（2023春·天津武清·高二校考開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】先將圓的一般方程寫出，然后利用待定系數(shù)法即可求解.
【解答過程】設(shè)圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)為，
因為圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，
所以，解得，
所以圓的方程為.
故選：C.
【變式2-3】（2022秋·全國·高二專題練習(xí)）已知，則的外接圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)外接圓的方程為：，然后將三點坐標(biāo)代入解方程組求出的值，從而可求出的外接圓的一般方程.
【解答過程】設(shè)外接圓的方程為：，
由題意可得：，解得：，
即的外接圓的方程為：．
故選：C.
【知識點2 二元二次方程與圓的方程】
1．二元二次方程與圓的方程
(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：
二元二次方程，對比圓的一般方程
，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.
(2)二元二次方程表示圓的條件：
二元二次方程表示圓的條件是
【題型3 二元二次方程表示圓的條件】
【例3】（2023春·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）已知表示的曲線是圓，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】方程配方后得，根據(jù)圓的半徑大于0求解.
【解答過程】由方程可得，
所以當(dāng)時表示圓，解得.
故選：C.
【變式3-1】（2023春·河南·高三階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.
【解答過程】因為方程，即表示圓，
等價于0，解得或.
故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式3-2】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）方程表示的曲線為（ ）
A．圓 B．圓的右半部分
C．圓 D．圓的上半部分
【解題思路】平方后可判斷曲線的形狀.
【解答過程】因為，所以，
即，
故方程表示的曲線為圓的上半部分.
故選：D.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示的曲線為圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．
【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，可以求得若方程表示圓，必有，即可求出的取值范圍.
【解答過程】方程表示圓，必有，
即，解可得，或，
故選：B.
【題型4 圓過定點問題】
【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為直線上任意一點，為坐標(biāo)原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點坐標(biāo).
【解答過程】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，
由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點，
由得：，以為直徑的圓恒過定點.
故選：D.
【變式4-1】（2022·高二課時練習(xí)）點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【解題思路】設(shè)點，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標(biāo).
【解答過程】設(shè)點，則線段的中點為，
圓的半徑為，
所以，以為直徑為圓的方程為，
即，即，
由，解得或，
因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標(biāo)為、.
故選：D.
【變式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考階段練習(xí)）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則其坐標(biāo)為 、 .
【解題思路】將圓的方程重新按合并同類項，由此列方程組，解方程組求得定點坐標(biāo).
【解答過程】由由得，故，解得或.
故答案為：、.
【變式4-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個不同的交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為，則圓經(jīng)過定點的坐標(biāo)為 和 （其坐標(biāo)與無關(guān)）.
【解題思路】設(shè)出的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點坐標(biāo)，再設(shè)出圓的一般方程，把三點坐標(biāo)代入圓方程，求出系數(shù)，得圓的方程（含有），分析此方程可得圓所過定點．
【解答過程】二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個不同的交點，記為，易知，滿足，，，，設(shè)圓方程為，則
，
①－②得，，∴，從而，
代入③得，
∴圓方程為，
整理得，
由得或．
∴圓過定點和．
故答案為：和．
【知識點3 點與圓的位置關(guān)系】
1．點與圓的位置關(guān)系
(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關(guān)系：點在圓上，點在圓內(nèi)，點在圓外.
(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為
.平面內(nèi)一點.
位置關(guān)系 判斷方法
幾何法 代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程) 代數(shù)法(一般方程)
點在圓上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
點在圓內(nèi) |MA|點在圓外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【題型5 點與圓的位置關(guān)系】
【例5】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定
【解題思路】計算到圓心的距離和半徑作比較即可.
【解答過程】圓的圓心為，半徑，，
故點在圓內(nèi).
故選：B.
【變式5-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用點與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【解答過程】由題意可得，解得.
故選：A.
【變式5-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）兩個點、與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點在圓外，點在圓外
B．點在圓內(nèi)，點在圓內(nèi)
C．點在圓外，點在圓內(nèi)
D．點在圓內(nèi)，點在圓外
【解題思路】本題可將點、代入方程左邊，通過得出的值與的大小關(guān)系即可判斷出結(jié)果.
【解答過程】將代入方程左邊得，
則點在圓內(nèi)，
將代入方程左邊得，
則點在圓外，
故選：D.
【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由方程表示圓的條件以及點到圓心的距離大于半徑求解即可
【解答過程】圓，
則圓，圓心，半徑，
點在圓的外部，
，即，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【知識點4 軌跡方程】
1．軌跡方程
求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.
(1)當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關(guān)點法).
(2)求軌跡方程時，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等.
2.求軌跡方程的步驟：
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點M的坐標(biāo)；
(2)列出關(guān)于x,y的方程；
(3)把方程化為最簡形式；
(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；
(5)作答.
【題型6 圓有關(guān)的軌跡問題】
【例6】（2022秋·廣西桂林·高二校考期中）當(dāng)點在圓上運動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)點，的中點的坐標(biāo)為，根據(jù)已知中點關(guān)系建立關(guān)系式，利用變換代入化簡即可.
【解答過程】設(shè)點，的中點的坐標(biāo)為，
，由中點坐標(biāo)公式可得，可得，
又點在圓，則，即.
因此，線段的中點的軌跡方程為.
故選：C.
【變式6-1】（2022秋·北京大興·高二統(tǒng)考期中）已知點和點，動點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)兩點間的距離公式列式求解即可.
【解答過程】解：因為點和點，動點，
所以，
又因為其滿足，
所以，整理得：
所以點的軌跡方程為.
故選：D.
【變式6-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，則以為斜邊的直角三角形的直角頂點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)，根據(jù)即得.
【解答過程】設(shè)，由條件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，
即，所以，
因為為直角三角形的直角頂點，
所以，故所求軌跡方程為．
故選：C.
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接設(shè)，根據(jù)兩點間距離公式代入運算整理．
【解答過程】∵，即
設(shè)，則，整理得
故選：B．
【知識點5 與圓有關(guān)的對稱問題】
1．與圓有關(guān)的對稱問題
(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱.
(2)圓關(guān)于點對稱
①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點.
(3)圓關(guān)于直線對稱
①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.
②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.
【題型7 與圓有關(guān)的對稱問題】
【例7】（2023秋·河南焦作·高二校考期末）圓關(guān)于直線對稱后的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題可得圓心關(guān)于直線的對稱點，半徑不變，進(jìn)而即得.
【解答過程】圓的圓心 半徑為 ，由得，
設(shè)圓心關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，則
，解得,
所以對稱圓的方程為.
故選：A.
【變式7-1】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線的對稱點，即可得到結(jié)果.
【解答過程】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A.
【變式7-2】（2023·北京·校考模擬預(yù)測）點M、N在圓上，且M、N兩點關(guān)于直線對稱，則圓C的半徑（ ）
A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為
【解題思路】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑的表達(dá)式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【解答過程】由，得，
所以圓心為，半徑為，
由題意可得直線經(jīng)過圓心 ，
故有，即，
所以半徑為，
當(dāng)時，圓C的半徑的最小值為.
故選：C.
【變式7-3】（2022秋·重慶云陽·高二校考期末）已知圓關(guān)于直線對稱，則的最大值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解題思路】由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，由基本不等式即可求出的最大值.
【解答過程】解：由題意
在圓中，
∴圓心為，半徑為1
在直線中，
圓關(guān)于該直線對稱
∴直線過圓心，
∴，即：
∵
解得：
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
∴的最大值為.
故選：D.

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