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專題2.7 直線與圓的位置關系【九大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 直線與圓的位置關系的判定】 2
【題型2 根據直線與圓的位置關系求參數】 2
【題型3 圓的切線長及切線方程的求解】 3
【題型4 已知切線求參數】 3
【題型5 求圓的弦長與中點弦】 4
【題型6 已知圓的弦長求方程或參數】 5
【題型7 直線與部分圓的相交問題】 5
【題型8 直線與圓有關的最值問題】 7
【題型9 直線與圓的方程的應用】 7
【知識點1 直線與圓的位置關系及判定】
1．直線與圓的位置關系及判定方法
(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：
位置 相交 相切 相離
交點個數 兩個 一個 零個
圖形
d與r的關系 dr
方程組
解的情況 有兩組不
同的解 僅有一組解 無解
(2)直線與圓的位置關系的判定方法
①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的
實數解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即=0，則直線與圓相切；若無實數解，即<0，則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當dr時，直線與圓相離.
【題型1 直線與圓的位置關系的判定】
【例1】（2023·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【變式1-1】（2023秋·高二課時練習）為圓內異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關系為（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交
【變式1-2】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習）的半徑為7 cm，圓心到直線l的距離為8 cm，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離
C．相切 D．以上均不對
【變式1-3】（2023·全國·模擬預測）已知曲線，直線，則直線與曲線的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【題型2 根據直線與圓的位置關系求參數】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）設平面直線與圓相交，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·北京·高三專題練習）若直線與圓相切，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·廣東茂名·統考二模）已知直線與圓，則“”是“直線與圓相交”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【知識點2 圓的切線及切線方程】
1．圓的切線及切線方程
(1)自一點引圓的切線的條數：
①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；
②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；
③若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.
(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：
①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關系可知切線斜率為，由點斜式方程可求
得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.
②重要結論：
a.經過圓上一點P的切線方程為.
b.經過圓上一點P的切線方程為.
c.經過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為
.
【題型3 圓的切線長及切線方程的求解】
【例3】（2023秋·江西萍鄉·高二統考期末）過圓上一點的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023春·陜西咸陽·高二統考期末）設為原點，點在圓上，若直線與圓相切，則（ ）
A．2 B． C． D．
【變式3-2】（2023春·陜西西安·高一?？计谀┻^點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）已知點在圓 ．上，點，若的最小值為，則過點A且與圓C相切的直線方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【題型4 已知切線求參數】
【例4】（2023春·廣東江門·高二統考期末）若直線與圓相切，則（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【變式4-1】（2023·全國·高三對口高考）“”是“直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-2】（2023秋·四川雅安·高二統考期末）過點P（2，1）的直線l與坐標軸的正半軸交于A，B兩點，當三角形OAB的面積最小時直線l與圓相切，則實數m的值為（ ）
A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7
【變式4-3】（2023春·江西·高二校聯考階段練習）已知圓，直線的方程為，若在直線上存在點，過點作圓的切線，切點分別為點，使得為直角，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【知識點3 圓的弦長】
1．圓的弦長問題
設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：
(1)幾何法
如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.
(2)代數法
將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.
①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.
②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根與系數的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.
【題型5 求圓的弦長與中點弦】
【例5】（2023春·貴州遵義·高二統考期中）已知直線與圓交于兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知圓C：關于直線對稱，則圓C中以為中點的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023春·內蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習）已知直線與圓:相交于兩點,弦的中點為,則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·北京·高三專題練習）已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．6
【題型6 已知圓的弦長求方程或參數】
【例6】（2023春·貴州·高二校聯考期中）已知直線l：與圓O：交于A、B兩點且，則（ ）
A．0 B．±1 C．±2 D．±3
【變式6-1】（2023·廣西玉林·博白縣模擬預測）已知圓：，直線：，則當的值發生變化時，直線被圓所截的弦長的最小值為，則的取值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023秋·高二課時練習）與y軸相切，圓心在直線上，且在直線上截得的弦長為，則此圓的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）直線與圓相交于兩點，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型7 直線與部分圓的相交問題】
【例7】（2023春·新疆烏魯木齊·高二校考開學考試）已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·北京海淀·高三專題練習）已知直線，曲線，則“l與C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式7-2】（2023春·江西宜春·高二校聯考期中）若過點且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點，則實數k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
【變式7-3】（2023春·全國·高二開學考試）直線與曲線恰有兩個交點，則實數取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【知識點4 解與圓有關的最值問題】
1．解與圓有關的最值問題
(1)利用圓的幾何性質求最值的問題
求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.
①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d
為圓心到直線的距離；
②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；
③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.
(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍) 問題
解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標——函數關系式，然后根據函數關系式的特征選
用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
(3)經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.
【題型8 直線與圓有關的最值問題】
【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式8-1】（2023春·北京東城·高三?？茧A段練習）已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【變式8-2】（2023春·四川瀘州·高二?？茧A段練習）已知圓，過直線上一點向圓作切線，切點為，則的面積最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【變式8-3】（2023秋·山西晉城·高二?？计谀┮阎c是圓上的點，點是直線上的點，點是直線上的點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【知識點5 與圓有關的對稱問題】
1．直線與圓的方程的應用
(1)解決實際問題的步驟：
①審題：認真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數據；
②建系：建立適當的平面直角坐標系，通過點的坐標及已知條件，求出幾何模型的方程；
③求解：利用直線、圓的性質等有關知識求解；
④還原：將運算結果還原為對實際問題的解釋.
(2)建系原則
建立適當的平面直角坐標系要把握兩個原則：
①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可
以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標軸.
②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標軸上.
【題型9 直線與圓的方程的應用】
【例9】（2023春·上海靜安·高二?？计谥校┤鐖D是某圓拱橋的一孔圓弧拱的示意圖，該圓弧拱跨度米，每隔5米有一個垂直地面的支柱，中間的支柱米.
(1)建立適當的坐標系求該圓拱橋所在曲線的方程;
(2)求其它支柱的高度（精確到0.01米）．
【變式9-1】（2023秋·湖北·高二校聯考期末）如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓C經過O、A、B三點．
(1)求圓C的標準方程；
(2)若圓C區域內有未知暗礁，現有一船D在O島的南偏西方向距O島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
【變式9-2】（2023秋·云南麗江·高二統考期末）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設立觀測點B，規定經過O、A、B三點的圓以及其內部區域為安全預警區．如圖所示：以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系．
(1)試寫出A，B的坐標，并求兩個觀測點A，B之間的距離；
(2)某日經觀測發現，在該平臺O正南10km C處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預警區？如果不進入，請說明理由；如果進入，則它在安全警示區內會行駛多長時間？
【變式9-3】（2023春·上海浦東新·高二?？茧A段練習）在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設計了一個矩形場地ABCD（如圖），AB的長為9米，AD的長為18米．在AB邊上距離A點6米的F處有一只電子狗，在距離A點3米的E處放置一個機器人．電子狗的運動速度是機器人運動速度的兩倍，如果同時出發，機器人比電子狗早到達或同時到達某點（電子狗和機器人沿各自的直線方向到達某點），那么電子狗將被機器人捕獲，電子狗失敗，這點叫失敗點．
(1)判斷點A是否為失敗點（不用說明理由）；
(2)求在這個矩形場地內電子狗失敗的區域面積S；
(3)若P為矩形場地AD邊上的一動點，當電子狗在線段FP上都能逃脫時，求的取值范圍．
專題2.7 直線與圓的位置關系【九大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 直線與圓的位置關系的判定】 2
【題型2 根據直線與圓的位置關系求參數】 3
【題型3 圓的切線長及切線方程的求解】 5
【題型4 已知切線求參數】 7
【題型5 求圓的弦長與中點弦】 9
【題型6 已知圓的弦長求方程或參數】 11
【題型7 直線與部分圓的相交問題】 12
【題型8 直線與圓有關的最值問題】 15
【題型9 直線與圓的方程的應用】 18
【知識點1 直線與圓的位置關系及判定】
1．直線與圓的位置關系及判定方法
(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下：
位置 相交 相切 相離
交點個數 兩個 一個 零個
圖形
d與r的關系 dr
方程組
解的情況 有兩組不
同的解 僅有一組解 無解
(2)直線與圓的位置關系的判定方法
①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的
實數解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即=0，則直線與圓相切；若無實數解，即<0，則直線與圓相離.
②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當dr時，直線與圓相離.
【題型1 直線與圓的位置關系的判定】
【例1】（2023·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【解題思路】判斷出直線的定點坐標，然后判斷定點與圓的位置關系，進而可得直線與圓的位置關系.
【解答過程】已知直線過定點，
將點代入圓的方程可得，
可知點在圓內，
所以直線與圓相交.
故選：A.
【變式1-1】（2023秋·高二課時練習）為圓內異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關系為（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交
【解題思路】由題意可得，結合圓心到直線的距離判斷與半徑的大小關系，即得答案.
【解答過程】由題意知為圓內異于圓心的一點，
則，
而圓：的圓心到直線的距離為，
故直線與該圓的位置關系為相離，
故選：C.
【變式1-2】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習）的半徑為7 cm，圓心到直線l的距離為8 cm，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離
C．相切 D．以上均不對
【解題思路】根據圓與直線的位置關系即可得答案.
【解答過程】的半徑為，圓心到直線l的距離為，則，所以直線與的位置關系是相離.
故選：B.
【變式1-3】（2023·全國·模擬預測）已知曲線，直線，則直線與曲線的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【解題思路】將圓的一般方程化為標準方程得，再求出直線所過定點，判斷定點與圓的位置關系即可.
【解答過程】即，
故曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓.
因為直線的方程可化為，
所以直線恒過點.因為，故點在圓的內部，
所以直線與圓相交，
故選：C.
【題型2 根據直線與圓的位置關系求參數】
【例2】（2023·全國·高三專題練習）設平面直線與圓相交，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，從而求得的取值范圍.
【解答過程】易知圓的圓心為，半徑為，直線，
因為直線與圓相交，
所以，解得.
故選：C.
【變式2-1】（2023·北京·高三專題練習）若直線與圓相切，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直線與圓相切，由圓心到直線距離等于半徑，求的值.
【解答過程】圓化成標準方程為，則且圓心坐標為，半徑為，
直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑，
即：，解得.
故選：A.
【變式2-2】（2023·廣東茂名·統考二模）已知直線與圓，則“”是“直線與圓相交”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】先利用直線與圓相交可得到，然后利用充分條件、必要條件的定義即可求解
【解答過程】由圓可得圓心，半徑為1，
所以直線與圓相交圓心到直線的距離，解得，
所以“”是“直線與圓相交”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】由直線和圓相切可得，利用基本不等式即可求得答案.
【解答過程】由于直線與圓相切，
故圓心到直線l的距離為，即，
故，當且僅當時取等號，
故選：B.
【知識點2 圓的切線及切線方程】
1．圓的切線及切線方程
(1)自一點引圓的切線的條數：
①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；
②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；
③若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.
(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：
①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關系可知切線斜率為，由點斜式方程可求
得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.
②重要結論：
a.經過圓上一點P的切線方程為.
b.經過圓上一點P的切線方程為.
c.經過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為
.
【題型3 圓的切線長及切線方程的求解】
【例3】（2023秋·江西萍鄉·高二統考期末）過圓上一點的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據圓的一般方程得到圓心，從而得到直線的斜率，進而求出過點的切線斜率，由直線的點斜式方程即可求得切線方程.
【解答過程】由得：，
則該圓的圓心為，又是該圓上一點，
則直線的斜率為，
所以過點的切線的斜率，
則過點的切線方程為，即，
故選：B.
【變式3-1】（2023春·陜西咸陽·高二統考期末）設為原點，點在圓上，若直線與圓相切，則（ ）
A．2 B． C． D．
【解題思路】由題意利用勾股定理即可求解．
【解答過程】由圓的方程可得，故，
為原點，在圓上，與圓相切，
則.

故選:A．
【變式3-2】（2023春·陜西西安·高一?？计谀┻^點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．
【解答過程】圓可化為，則圓心，半徑為；

設，切線為、，則，
中，，所以．
故選：C．
【變式3-3】（2023·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）已知點在圓 ．上，點，若的最小值為，則過點A且與圓C相切的直線方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解題思路】首先得到圓心坐標與半徑，根據的最小值為，得到方程求出的值，即可求出圓的方程，再分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出切線方程，即可得解.
【解答過程】由圓方程可得圓心為，半徑，因為的最小值為，所以，
解得，故圓．
若過點的切線斜率存在，
設切線方程為，則，解得，
所以切線方程為，即；
若過點的切線斜率不存在，由圓方程可得，圓過坐標原點，所以切線方程為．
綜上，過點且與圓相切的直線方程為或．
故選：A.
【題型4 已知切線求參數】
【例4】（2023春·廣東江門·高二統考期末）若直線與圓相切，則（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解題思路】求出圓的圓心和半徑，再利用圓的切線性質求解作答.
【解答過程】圓 的圓心，半徑，
依題意，，解得，
所以.
故選：A.
【變式4-1】（2023·全國·高三對口高考）“”是“直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑得到方程，解出值，再根據充分不必要條件的判定即可得到答案.
【解答過程】若直線與圓相切，
則圓心到直線的距離等于半徑，即，，
故前者能推出后者，后者無法推出前者，
故“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式4-2】（2023秋·四川雅安·高二統考期末）過點P（2，1）的直線l與坐標軸的正半軸交于A，B兩點，當三角形OAB的面積最小時直線l與圓相切，則實數m的值為（ ）
A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7
【解題思路】結合基本不等式求得當直線的斜率時，三角形面積最小.結合直線與圓相切，利用點到直線的距離公式求得的值.
【解答過程】因為過點P（2，1）的直線l與坐標軸的正半軸交于A，B兩點，設直線l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，
令y＝0，解得x＝，令x＝0，則y＝1﹣2k，則A（，0），B（0，1﹣2k），
所以＝＝4，當其僅當，即k＝時取等號，
此時直線l的方程為，即x+2y﹣4＝0，
因為直線l與圓相切，
所以，解得m＝0或m＝5．
故選：C.
【變式4-3】（2023春·江西·高二校聯考階段練習）已知圓，直線的方程為，若在直線上存在點，過點作圓的切線，切點分別為點，使得為直角，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由圓的對稱性及切線的性質進行轉化，將問題轉化為點到直線的距離求解.
【解答過程】連接，如圖，
則由圓的對稱性及切線的性質，可得四邊形為正方形，
又，
所以點到直線的距離必須小于或等于，
即，所以，
故選：D.
【知識點3 圓的弦長】
1．圓的弦長問題
設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：
(1)幾何法
如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關系式：.
(2)代數法
將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.
①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.
②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根與系數的關系可得或的關系式，通常把或叫作弦長公式.
【題型5 求圓的弦長與中點弦】
【例5】（2023春·貴州遵義·高二統考期中）已知直線與圓交于兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求圓的圓心和半徑，再用點到直線的距離公式求點到直線的距離，再
利用弦長公式求.
【解答過程】因為圓的圓心為，半徑r=2，
因為到直線的距離，
所以.
故選：B.
【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知圓C：關于直線對稱，則圓C中以為中點的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】圓C：關于直線對稱，即說明直線過圓心，可求出，再由垂徑定理即可求出弦長.
【解答過程】圓方程配方得，圓心，，
圓C：關于直線對稱，
可知直線過圓心，即，解得，
故，
則圓心與點的距離的平方為，
則圓C中以為中點的弦長為.
故選：D.
【變式5-2】（2023春·內蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習）已知直線與圓:相交于兩點,弦的中點為,則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由是弦的中點,所以,求出的斜率,進而求得的斜率,根據的中點為,根據點斜式即可寫出直線的方程.
【解答過程】解:由題知,圓:,即圓心,
因為弦的中點為,所以,
因為,所以,即,
因為在上,所以,即.
故選:C.
【變式5-3】（2023·北京·高三專題練習）已知直線與圓相交于M，N兩點.則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．6
【解題思路】先求出圓心和半徑，以及直線的定點，利用圓的幾何特征可得到當時，最小
【解答過程】由圓的方程，可知圓心，半徑，
直線過定點，
因為，則定點在圓內，
則點和圓心連線的長度為，
當圓心到直線距離最大時，弦長最小，此時，
由圓的弦長公式可得，
故選：C.
【題型6 已知圓的弦長求方程或參數】
【例6】（2023春·貴州·高二校聯考期中）已知直線l：與圓O：交于A、B兩點且，則（ ）
A．0 B．±1 C．±2 D．±3
【解題思路】根據點到直線距離公式與圓的垂徑定理求解.
【解答過程】圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離：，
由得，解得.
故選：C.
【變式6-1】（2023·廣西玉林·博白縣模擬預測）已知圓：，直線：，則當的值發生變化時，直線被圓所截的弦長的最小值為，則的取值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由直線過定點，結合圓的對稱性以及勾股定理得出的取值.
【解答過程】直線：恒過點，由于直線被圓所截的弦長的最小值為，即當直線與直線垂直時（為原點），弦長取得最小值，于是，解得.
故選：C.
【變式6-2】（2023秋·高二課時練習）與y軸相切，圓心在直線上，且在直線上截得的弦長為，則此圓的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【解題思路】根據圓心位置以及與y軸相切可設出圓心坐標和半徑，再根據弦長為即可求得圓的方程.
【解答過程】由圓心在直線上，可設圓心坐標為，
又因為與y軸相切，所以半徑，
易知圓心到直線的距離為，
根據直線被圓截得的弦長公式可得，直線被截得的弦長為，
所以，解得；
當時，該圓是以為圓心，為半徑的圓，圓方程為；
當時，該圓是以為圓心，為半徑的圓，圓方程為.
故選：C.
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）直線與圓相交于兩點，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據，由弦長公式得，圓心到直線的距離小于或等于，從而可得關于的不等式，即可求得結論.
【解答過程】圓的圓心為,半徑,
直線的方程化為一般形式為.
，設圓心到直線的距離為，則，
，解得.
故選：D.
【題型7 直線與部分圓的相交問題】
【例7】（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_學考試）已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用直線和圓的位置關系列不等式，由此求得正確答案.
【解答過程】曲線可化為，
即曲線是單位圓的上半部分，
直線過定點，
化為一般式得，設，直線AB的斜率，
則，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D.
【變式7-1】（2023·北京海淀·高三專題練習）已知直線，曲線，則“l與C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】首先得到曲線所表示的圖形為半圓，然后利用幾何法求出直線與圓相切時的值，再將代入直線，利用幾何法檢驗此時是否相切即可.
【解答過程】對曲線，兩邊同平方得，即，其中，
其表示的圖形是以為圓心，半徑為的圓的上半部分，包括軸上的點，
當直線與曲線相切時，則有，或，
顯然由圖形知，則，故充分性成立，
若，則直線的方程為，此時圓心到直線的距離，故此時直線與相切，故必要性成立.
則“與相切”是“”的充分必要條件.
故選：C.
【變式7-2】（2023春·江西宜春·高二校聯考期中）若過點且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點，則實數k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
【解題思路】根據半圓的切線性質，結合點到直線距離公式進行求解，然后根據圖象即可求解
【解答過程】如圖，
曲線即表示以O為圓心，2為半徑的上半圓，
因為直線即與半圓相切，所以，解得．
因為所以，
又直線l與曲線有且只有一個交點，所以或，
所以實數k的取值范圍是
故選：B.
【變式7-3】（2023春·全國·高二開學考試）直線與曲線恰有兩個交點，則實數取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件及直線與圓相切的充要條件，結合點到直線的距離公式即可求解.
【解答過程】曲線表示圓在軸的上半部分，
當直線與圓相切時，，解得，
當點在直線上時，，可得,
所以實數取值范圍為.
故選：B.
【知識點4 解與圓有關的最值問題】
1．解與圓有關的最值問題
(1)利用圓的幾何性質求最值的問題
求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.
①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d
為圓心到直線的距離；
②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；
③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.
(2)利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍) 問題
解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標——函數關系式，然后根據函數關系式的特征選
用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
(3)經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.
【題型8 直線與圓有關的最值問題】
【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【解題思路】首先得出切線長的表達式，再以二次函數求值域的方法解之即可.
【解答過程】圓：中，圓心，半徑
設，則，
則,
當時，，
故選：C.
【變式8-1】（2023春·北京東城·高三?？茧A段練習）已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解題思路】根據題意易知當圓心到直線上點的距離最小時，最小，利用點到直線的距離公式計算即可.
【解答過程】圓，圓心，半徑，
設圓心到直線：的距離為，則，
易得，則，
故當圓心到直線上點的距離最小時，即圓心到直線的距離，此時最小，
因為，所以，
故最小值是．
故選：D.
【變式8-2】（2023春·四川瀘州·高二?？茧A段練習）已知圓，過直線上一點向圓作切線，切點為，則的面積最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【解題思路】結合圖形，利用勾股定理可知取得最小值時也最小，從而求得，進而可得的面積最小值.
【解答過程】由圓，得圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離為，
因為
所以當直線與垂直時，取得最小值，此時也最小，
故，
所以，
即的面積最小值為.
故選：B.
【變式8-3】（2023秋·山西晉城·高二校考期末）已知點是圓上的點，點是直線上的點，點是直線上的點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設圓心，記點，作圓關于直線的對稱圓，計算出圓心到直線的距離，結合對稱性可得出的最小值為，即可得解.
【解答過程】設圓心，記點，作圓關于直線的對稱圓，
由對稱性可知，
點到直線的距離為，
故當與直線垂直時，且當為與直線的交點以及點為圓與線段的交點(靠近直線)時，取得最小值，
且.
故選：B.
【知識點5 與圓有關的對稱問題】
1．直線與圓的方程的應用
(1)解決實際問題的步驟：
①審題：認真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數據；
②建系：建立適當的平面直角坐標系，通過點的坐標及已知條件，求出幾何模型的方程；
③求解：利用直線、圓的性質等有關知識求解；
④還原：將運算結果還原為對實際問題的解釋.
(2)建系原則
建立適當的平面直角坐標系要把握兩個原則：
①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可
以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標軸.
②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標軸上.
【題型9 直線與圓的方程的應用】
【例9】（2023春·上海靜安·高二校考期中）如圖是某圓拱橋的一孔圓弧拱的示意圖，該圓弧拱跨度米，每隔5米有一個垂直地面的支柱，中間的支柱米.
(1)建立適當的坐標系求該圓拱橋所在曲線的方程;
(2)求其它支柱的高度（精確到0.01米）．
【解題思路】（1）建立如圖所示的直角坐標系，設圓拱所在圓的方程為，進而待定系數法求解即可；
（2）點的橫坐標代入這個圓的方程并解方程即可得答案.
【解答過程】（1）解：建立如圖所示的坐標系，
設該圓拱所在圓的方程為，
由于圓心在軸上，所以，那么方程即為.
因為都在圓上，
所以它們的坐標都是這個圓的方程的解，
于是有方程組，解得
所以，這個圓的方程是 ．
（2）解：由題知點的橫坐標為.
所以，把點的橫坐標代入這個圓的方程，得，
所以，
因為的縱坐標，故應取正值，
所以，（米）．
所以，支柱的高度約為3.11米.
【變式9-1】（2023秋·湖北·高二校聯考期末）如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓C經過O、A、B三點．
(1)求圓C的標準方程；
(2)若圓C區域內有未知暗礁，現有一船D在O島的南偏西方向距O島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
【解題思路】（1）由圖中坐標系得坐標，設出圓的一般方程，代入三點坐標求解，然后把一般方程配方得標準方程；
（2）先求出航行方向所在直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得．
【解答過程】（1）如圖所示，，
設過O、A、B三點的圓C的方程為，
得：，解得，
故所以圓C的方程為，
圓心為，半徑，
（2）該船初始位置為點D，則，
且該船航線所在直線l的斜率為,
故該船航行方向為直線，
由于圓心C到直線l的距離，
故該船沒有觸礁的危險.
【變式9-2】（2023秋·云南麗江·高二統考期末）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設立觀測點B，規定經過O、A、B三點的圓以及其內部區域為安全預警區．如圖所示：以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系．
(1)試寫出A，B的坐標，并求兩個觀測點A，B之間的距離；
(2)某日經觀測發現，在該平臺O正南10km C處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預警區？如果不進入，請說明理由；如果進入，則它在安全警示區內會行駛多長時間？
【解題思路】（1）先求出A，B的坐標，再由距離公式得出A，B之間的距離；
（2）由三點的坐標列出方程組得出經過三點的圓的方程，設輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長，進而得出安全警示區內行駛時長.
【解答過程】（1）由題意得，∴；
（2）設圓的方程為，
因為該圓經過三點，∴，得到.
所以該圓的方程為：，
化成標準方程為：.
設輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，
圓心（6，8）到直線的距離，
所以直線與圓相交，即輪船會駛入安全預警區.
直線與圓截得的弦長為 ，行駛時長小時.
即在安全警示區內行駛時長為半小時.
【變式9-3】（2023春·上海浦東新·高二?？茧A段練習）在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設計了一個矩形場地ABCD（如圖），AB的長為9米，AD的長為18米．在AB邊上距離A點6米的F處有一只電子狗，在距離A點3米的E處放置一個機器人．電子狗的運動速度是機器人運動速度的兩倍，如果同時出發，機器人比電子狗早到達或同時到達某點（電子狗和機器人沿各自的直線方向到達某點），那么電子狗將被機器人捕獲，電子狗失敗，這點叫失敗點．
(1)判斷點A是否為失敗點（不用說明理由）；
(2)求在這個矩形場地內電子狗失敗的區域面積S；
(3)若P為矩形場地AD邊上的一動點，當電子狗在線段FP上都能逃脫時，求的取值范圍．
【解題思路】（1）直接根據失敗點的概念即可判斷；
（2）建立直角坐標系，求出點的軌跡為圓，進而得面積；
（3）根據臨界位置為當線段FP與（2）中圓相切時，即可得結果.
【解答過程】（1）由于，，即機器人和電子狗同時到達點A，
故A是失敗點
（2）建立以A點為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸的直角坐標系，如圖，，
設機器人的速度為v，則電子狗的速度為2v，電子狗失敗的區域內任意點，
可得，即，，
即失敗點組成的區域為以為圓心，2為半徑的半圓及其內部，
所以電子狗失敗的區域面積（米2）
（3）當線段FP與（2）中圓相切時，即，所以，
因為電子狗在線段FP上都能逃脫時，所以
又因為，所以的取值范圍是．

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