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專題2.8 圓與圓的位置關系【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 圓與圓的位置關系的判定】 2
【題型2 由圓與圓的位置關系確定參數】 3
【題型3 兩圓的公切線長】 5
【題型4 兩圓的公切線方程或條數】 8
【題型5 相交圓的公共弦方程】 11
【題型6 兩圓的公共弦長】 12
【題型7 圓系方程及其應用】 15
【知識點1 圓與圓的位置關系及判定】
1．圓與圓的位置關系及判斷方法
(1)圓與圓的位置關系
圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統稱為相離，外切和內切統稱為相切.
(2)圓與圓的位置關系的判定方法
①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：
設兩圓與的圓心距為d，則
d=，兩圓的位置關系表示如下：
位置關系 關系式 圖示 公切線條數
外離 d>r1+r2 四條
外切 d=r1+r2 三條
相交 |r1-r2|內切 d=|r1-r2| 一條
內含 0≤d<|r1-r2| 無
②代數法：聯立兩圓方程，根據方程組解的個數即可作出判斷.
當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當<0時，
兩圓無公共點，包括內含與外離.
【題型1 圓與圓的位置關系的判定】
【例1】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）圓O：與圓C: 的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高二統考階段練習）圓與圓的位置關系為（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓，與圓的半徑分別為2和6，圓心距為4，則這兩圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．外切 C．相交 D．內切
【變式1-3】（2023春·安徽·高二校聯考階段練習）圓與圓的位置關系是（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
【題型2 由圓與圓的位置關系確定參數】
【例2】（2023春·新疆烏魯木齊·高二校考開學考試）已知圓與圓相外切，則m的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習）“a＝3”是“圓與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】（2023秋·北京豐臺·高二統考期末）已知圓和存在公共點，則m的值不可能為（ ）
A．3 B． C．5 D．
【變式2-3】（2023秋·貴州黔東南·高二校考期末）已知圓與圓有兩個交點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【知識點2 兩圓的公切線】
1．兩圓的公切線
(1)兩圓公切線的定義
兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.
(2)兩圓的公切線位置的5種情況
①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；
②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；
③相交時，有2條公切線，都是外公切線；
④內切時，有1條公切線；
⑤內含時，無公切線.
判斷兩圓公切線的條數,實質就是判斷兩圓的位置關系。
(3)求兩圓公切線方程的方法
求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數，然后利用待定系數法，
設公切線的方程為y=kx+b，最后根據相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.
【題型3 兩圓的公切線長】
【例3】（2022·全國·高二專題練習）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022秋·廣東云浮·高二校考期中）已知圓A的方程為，圓的方程為.
(1)判斷圓A與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.
(2)求兩圓的公切線長.
【變式3-2】（2023·高二單元測試）已知圓，
(1)判斷兩圓的位置關系，并求它們的公切線之長；
(2)若動直線與圓交于，，且線段的長度為，求證：存在一個定圓，直線總與之相切.
【變式3-3】（2022秋·吉林長春·高二?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓：，：，及點和.
(1)求圓和圓公切線段的長度；
(2)在圓上是否存在點P，使得？若存在，求點P的個數；若不存在，說明理由.
【題型4 兩圓的公切線方程或條數】
【例4】（2023秋·山東聊城·高二統考期末）已知圓：與圓：相內切，則與的公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022秋·貴州遵義·高二校聯考期末）圓與圓的公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式4-2】（2022秋·全國·高二專題練習）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023·山西·校聯考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【知識點3 兩圓的公共弦】
1．兩圓的公共弦問題
(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法
兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.
設圓:，①
圓:，②
①-②，得，③
若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點
滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.
(2)求兩圓公共弦長的方法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦長.
【題型5 相交圓的公共弦方程】
【例5】（2022秋·高二課時練習）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2023·全國·高一專題練習）已知圓 與圓的公共弦所在直線恒過點，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為．則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2023·河南·統考二模）若圓與圓的公共弦AB的長為1，則直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 兩圓的公共弦長】
【例6】（2023秋·廣東深圳·高三統考期末）圓與圓公共弦長為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2023秋·內蒙古包頭·高二校考期末）圓：與圓：的公共弦的弦長等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【變式6-2】（2021秋·高二課時練習）圓與圓的公共弦長的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【變式6-3】（2022秋·河南·高二校聯考期中）已知圓與圓交于、兩點，且四邊形的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【知識點4 圓系方程及其應用】
1．圓系方程及其應用技巧
具有某些共同性質的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下幾種：
(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.
(2)與圓同心的圓系方程是.
(3)過同一定點(a,b)的圓系方程是.
(4)過直線Ax+By+C=0與圓的交點的圓系方程是
.
(5)過兩圓:和:的交點的圓系方程是
().(其中不含有:
,注意檢驗是否滿足題意,以防漏解).
①當時，l: 為兩圓公共弦所在的直線方程.
②當兩圓相切(內切或外切)時，l為過兩圓公共切點的直線方程.
【題型7 圓系方程及其應用】
【例7】（2022·高二課時練習）求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）過點以及圓與圓交點的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】（2022秋·重慶·高二校聯考階段練習）求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-3】（2022·全國·高二專題練習）若圓的圓心在直線上，且經過兩圓和的交點，則圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．0 B． C．2 D．
專題2.8 圓與圓的位置關系【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 圓與圓的位置關系的判定】 2
【題型2 由圓與圓的位置關系確定參數】 3
【題型3 兩圓的公切線長】 5
【題型4 兩圓的公切線方程或條數】 8
【題型5 相交圓的公共弦方程】 11
【題型6 兩圓的公共弦長】 12
【題型7 圓系方程及其應用】 15
【知識點1 圓與圓的位置關系及判定】
1．圓與圓的位置關系及判斷方法
(1)圓與圓的位置關系
圓與圓有五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含，其中外離和內含統稱為相離，外切和內切統稱為相切.
(2)圓與圓的位置關系的判定方法
①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：
設兩圓與的圓心距為d，則
d=，兩圓的位置關系表示如下：
位置關系 關系式 圖示 公切線條數
外離 d>r1+r2 四條
外切 d=r1+r2 三條
相交 |r1-r2|內切 d=|r1-r2| 一條
內含 0≤d<|r1-r2| 無
②代數法：聯立兩圓方程，根據方程組解的個數即可作出判斷.
當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內切與外切；當<0時，
兩圓無公共點，包括內含與外離.
【題型1 圓與圓的位置關系的判定】
【例1】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）圓O：與圓C: 的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
【解題思路】利用兩圓外切的定義判斷即可.
【解答過程】圓是以為圓心，半徑的圓，
圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，
則，=3，所以兩圓外切，
故選：.
【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高二統考階段練習）圓與圓的位置關系為（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
【解題思路】計算兩圓圓心距離，利用幾何法可判斷兩圓的位置關系.
【解答過程】圓圓心為，半徑為，圓的圓心，半徑為，
則兩圓的圓心距為，而，
則圓與圓的位置關系為內切．
故選：D.
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓，與圓的半徑分別為2和6，圓心距為4，則這兩圓的位置關系是（ ）
A．相離 B．外切 C．相交 D．內切
【解題思路】根據給定條件，利用圓心距與兩圓半徑和差大小關系判斷作答.
【解答過程】依題意，圓與圓的圓心距4等于圓的半徑6減去圓的半徑2,
所以圓內切于圓.
故選：D.
【變式1-3】（2023春·安徽·高二校聯考階段練習）圓與圓的位置關系是（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
【解題思路】先將兩圓化為標準方程，再根據兩圓的位置關系判定即可.
【解答過程】兩圓化為標準形式，可得與圓，
可知半徑，，于是，
而，故兩圓相交，
故選：.
【題型2 由圓與圓的位置關系確定參數】
【例2】（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_學考試）已知圓與圓相外切，則m的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解題思路】由兩圓外切,則兩圓心間的距離等于兩半徑之和可得答案.
【解答過程】由圓可得圓心半徑；
由圓即可得圓心半徑；
因為兩圓外切，所以，即，解得.
故選：D.
【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習）“a＝3”是“圓與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】當兩圓外切時，a＝－3或a＝3；當兩圓內切時，a＝1或a＝－1．再利用充分必要條件的定義判斷得解.
【解答過程】解：若圓與圓相切，
當兩圓外切時，，所以a＝－3或a＝3；
當兩圓內切時，，所以a＝1或a＝－1．
當時，圓與圓相切，
所以“a＝3”是“圓與圓相切”的充分條件．
當圓與圓相切時，不一定成立，
所以“a＝3”是“圓與圓相切”的不必要條件．
所以“a＝3”是“圓與圓相切”的充分不必要條件．
故選：A.
【變式2-2】（2023秋·北京豐臺·高二統考期末）已知圓和存在公共點，則m的值不可能為（ ）
A．3 B． C．5 D．
【解題思路】根據圓與圓的位置關系進行求解即可.
【解答過程】因為圓和存在公共點，
所以兩圓相交或者相內切或者相外切，
即，
解得，選項ABC滿足，m的值不能為D.
故選：D.
【變式2-3】（2023秋·貴州黔東南·高二?？计谀┮阎獔A與圓有兩個交點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據兩圓相交的性質直接得出.
【解答過程】由題意知，圓心與圓心，
則圓心距，
因為圓與圓有兩個交點，
則圓與圓相交，
則，
解得．
故選：B.
【知識點2 兩圓的公切線】
1．兩圓的公切線
(1)兩圓公切線的定義
兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內公切線.
(2)兩圓的公切線位置的5種情況
①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；
②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；
③相交時，有2條公切線，都是外公切線；
④內切時，有1條公切線；
⑤內含時，無公切線.
判斷兩圓公切線的條數,實質就是判斷兩圓的位置關系。
(3)求兩圓公切線方程的方法
求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，從而確定公切線的條數，然后利用待定系數法，
設公切線的方程為y=kx+b，最后根據相切的條件，得到關于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.
【題型3 兩圓的公切線長】
【例3】（2022·全國·高二專題練習）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設直線交軸于點，推導出為的中點，為的中點，利用勾股定理可求得.
【解答過程】如下圖所示，設直線交軸于點，
由于直線與圓，圓都相切，切點分別為、，
則，，，
，為的中點，為的中點，，
由勾股定理可得.
故選：C.
【變式3-1】（2022秋·廣東云浮·高二?？计谥校┮阎獔AA的方程為，圓的方程為.
(1)判斷圓A與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.
(2)求兩圓的公切線長.
【解題思路】（1）根據圓心距判斷圓的位置關系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出弦長；
（2）根據公切線的性質，利用圓心距、半徑差、公切線構成的直角三角形求解.
【解答過程】（1）圓A：，圓：，
兩圓心距，
∵，
∴兩圓相交，
將兩圓方程左、右兩邊分別對應相減得：，
此即為過兩圓交點的直線方程.
設兩交點分別為、，則垂直平分線段，
∵A到的距離，
∴.
（2）設公切線切圓A、圓的切點分別為，，則四邊形是直角梯形.
∴，
∴.
【變式3-2】（2023·高二單元測試）已知圓，
(1)判斷兩圓的位置關系，并求它們的公切線之長；
(2)若動直線與圓交于，，且線段的長度為，求證：存在一個定圓，直線總與之相切.
【解題思路】（1）求出兩圓的圓心和半徑，判斷圓心距與半徑之差、半徑之和的關系即可判斷兩圓的位置關系，設直線分別與圓切于，，在直角梯形中即可得公切線長；
（2）利用幾何法求得點到直線的距離為定值，即可得定圓的方程即可求解.
【解答過程】（1）
由圓可得，半徑，
由圓可得，半徑，
，
所以，所以圓相交.
設直線分別與圓切于，，連接，
在直角梯形中，，
所以，即它們的公切線之長為；
（2）
設線段的中點為，則，
因為動直線與圓交于，，且線段的長度為，
所以，
又因為，所以點到直線的距離為，
所以直線總與圓相切，
所以存在一個定圓，直線總與之相切.
【變式3-3】（2022秋·吉林長春·高二?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓：，：，及點和.
(1)求圓和圓公切線段的長度；
(2)在圓上是否存在點P，使得？若存在，求點P的個數；若不存在，說明理由.
【解題思路】（1）將圓化為標準方程，得到圓心和半徑，根據同側異側兩種情況計算公切線段長度得到答案.
（2）存在滿足條件，根據題意化解得到，根據兩圓的位置關系得到答案.
【解答過程】（1）圓：，即， ，
圓：，即， ，，
圓心距為，故兩圓外離，共有4條公切線段，兩兩長度相同，
當兩圓在公切線同側時：.
當兩圓在公切線異側時：.
綜上所述，公切線段長為或.
（2）假設存在滿足條件，即，
化簡得到：，圓心為，半徑.
，故兩圓相交，有兩個交點.
故點P的個數為2.
【題型4 兩圓的公切線方程或條數】
【例4】（2023秋·山東聊城·高二統考期末）已知圓：與圓：相內切，則與的公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由兩圓的位置關系得出，進而聯立兩圓方程得出公切線方程.
【解答過程】圓：的圓心，圓：可化為
，，則其圓心為，半徑為，
因為圓與圓相內切，所以，即，故.
由，可得，
即與的公切線方程為.
故選：D.
【變式4-1】（2022秋·貴州遵義·高二校聯考期末）圓與圓的公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】先判斷圓與圓的位置關系，從而可確定兩圓的公切線條數.
【解答過程】圓的圓心坐標為，半徑為5；
圓的圓心坐標為，半徑為3，
所以兩圓的圓心距為，
因為，所以兩圓相交，
所以兩圓的公切線有2條.
故選：B.
【變式4-2】（2022秋·全國·高二專題練習）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】計算兩圓的圓心和半徑，可得兩圓相離，有四條公切線，兩圓心坐標關于原點對稱，則有兩條切線過原點，另兩條切線與直線平行且相距為1，數形結合可計算四條切線方程，結合選項，即得解
【解答過程】由題意，圓的圓心坐標為，半徑為
圓的圓心坐標為，半徑為
如圖所示，兩圓相離，有四條公切線.
兩圓心坐標關于原點對稱，則有兩條切線過原點，
設切線，則圓心到直線的距離，解得或，
另兩條切線與直線平行且相距為1，又由，
設切線，則，解得，
結合選項，可得D不正確.
故選：D.
【變式4-3】（2023·山西·校聯考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【解題思路】先根據題意求得，從而得到兩圓的圓心和半徑，進而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內切，即可知道公切線只有1條.
【解答過程】圓：的圓心為，半徑為a，
所以圓心到直線的距離為，解得或．
因為，所以.
所以圓：的圓心為，半徑為．
圓：的標準方程為，
圓心坐標為，半徑，
圓心距，所以兩圓相內切．
所以兩圓的公切線只有1條.
故選：B．
【知識點3 兩圓的公共弦】
1．兩圓的公共弦問題
(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法
兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.
設圓:，①
圓:，②
①-②，得，③
若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點
滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.
(2)求兩圓公共弦長的方法
①代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦長.
【題型5 相交圓的公共弦方程】
【例5】（2022秋·高二課時練習）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.
【解答過程】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.
故選：D.
【變式5-1】（2023·全國·高一專題練習）已知圓 與圓的公共弦所在直線恒過點，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】計算公共弦所在直線為，得到，解得答案.
【解答過程】圓 與圓的公共弦所在直線為
，即，故，解得，
故直線過定點.
故選：A.
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為．則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出以、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程．
【解答過程】圓的圓心為，半徑為2，
以、為直徑,則的中點坐標為，，
以為圓心，為直徑的圓的方程為，
因為過點圓的兩條切線切點分別為A，B，
所以是兩圓的公共弦，
將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程為：.
故選：A．
【變式5-3】（2023·河南·統考二模）若圓與圓的公共弦AB的長為1，則直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】將兩圓方程相減得到直線的方程為，然后再根據公共弦的長為即可求解.
【解答過程】將兩圓方程相減可得直線的方程為，
即，
因為圓的圓心為，半徑為，且公共弦的長為，
則到直線的距離為，
所以，解得，
所以直線的方程為，
故選：D.
【題型6 兩圓的公共弦長】
【例6】（2023秋·廣東深圳·高三統考期末）圓與圓公共弦長為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】兩圓的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，求出圓的圓心到公共弦的距離，再由
公共弦長公式求出答案即可.
【解答過程】聯立兩個圓的方程，
兩式相減可得公共弦方程，
圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
公共弦長為.
故選:.
【變式6-1】（2023秋·內蒙古包頭·高二?？计谀﹫A：與圓：的公共弦的弦長等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解題思路】計算圓心距確定兩圓相交，得到公共弦為，根據弦長公式即得.
【解答過程】圓：，圓心為，半徑為；
圓：，圓心為，半徑為；
圓心距，，兩圓相交，
聯立兩圓方程，得，
即公共弦所在直線的方程為，
故圓心到公共弦的距離為，
公共弦長為：.
故選：D.
【變式6-2】（2021秋·高二課時練習）圓與圓的公共弦長的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【解題思路】將兩圓轉化成標準方程，根據標準方程得出兩圓圓心均在直線上，再利用幾何關系即可求出結果.
【解答過程】由，得，圓心，半徑；
由，得，圓心，半徑，
所以兩圓圓心均在直線上，半徑分別為1和，

如圖，當兩圓相交且相交弦經過小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時，兩圓公共弦長最大，最大值為小圓的直徑，即最大值為2.
故選：D.
【變式6-3】（2022秋·河南·高二校聯考期中）已知圓與圓交于、兩點，且四邊形的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，分析可知點為的中點，由四邊形的面積為，可得出的長，利用勾股定理可得出關于的等式，解出的值，即可求得.
【解答過程】如下圖所示：
圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
由題意可知，，，，，
所以，，所以，，
設，則為的中點，
故四邊形的面積為，則，
故，所以，，
，又因為，
所以，，解得，因此，.
故選：C.
【知識點4 圓系方程及其應用】
1．圓系方程及其應用技巧
具有某些共同性質的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下幾種：
(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.
(2)與圓同心的圓系方程是.
(3)過同一定點(a,b)的圓系方程是.
(4)過直線Ax+By+C=0與圓的交點的圓系方程是
.
(5)過兩圓:和:的交點的圓系方程是
().(其中不含有:
,注意檢驗是否滿足題意,以防漏解).
①當時，l: 為兩圓公共弦所在的直線方程.
②當兩圓相切(內切或外切)時，l為過兩圓公共切點的直線方程.
【題型7 圓系方程及其應用】
【例7】（2022·高二課時練習）求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先計算出兩圓的交點所在直線，進而求出線段的垂直平分線，與聯立求出圓心坐標，再求出半徑，寫出圓的標準方程，從而求出圓的一般方程.
【解答過程】與相減得：，
將代入得：，
即，
設兩圓和的交點為，
則，，則，
不妨設，
所以線段的中點坐標為，
因為直線的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為-1，
所以線段的垂直平分線為，
與聯立得：，
故圓心坐標為，半徑，
所以圓的方程為，
整理得：
故選：D.
【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）過點以及圓與圓交點的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據過兩圓交點的圓系方程可設所求圓的方程為,把點代入方程,求出即可.
【解答過程】設所求的圓的方程為,
把點代入可得,,
解得,所以所求圓的方程為,
故選:A.
【變式7-2】（2022秋·重慶·高二校聯考階段練習）求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由兩圓方程設出所求圓方程，求出圓心，代入直線即可解出參數，即可確定圓的方程.
【解答過程】設所求圓的方程為，則，
則圓心坐標為，代入直線，可解得.
故所求圓的方程為，即.
故選：A.
【變式7-3】（2022·全國·高二專題練習）若圓的圓心在直線上，且經過兩圓和的交點，則圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．0 B． C．2 D．
【解題思路】求出過兩點的垂直平分線方程，再聯立直線，求得圓心，結合點到直線距離公式即可求解
【解答過程】設兩圓交點為，聯立得或，，
則中點為，過兩點的垂直平分線方程為，
聯立得，故圓心為，
由點到直線距離公式得
故選：C.

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