資源簡介

專題1.3 空間向量基本定理【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 空間向量基底的判斷】 1
【題型2 用空間基底表示向量】 2
【題型3 由空間向量基本定理求參數】 3
【題型4 正交分解】 4
【題型5 利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題】 5
【題型6 利用空間向量基本定理求夾角】 7
【題型7 利用空間向量基本定理證明垂直問題】 9
【題型8 利用空間向量基本定理求距離(長度)問題】 10
【知識點1 空間向量基本定理】
1．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．
(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合
相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．
(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
【題型1 空間向量基底的判斷】
【例1】（2023春·河南開封·高二統考期末）若構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間基底的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023春·湖南·高一校聯考期末）已知是空間的一個基底，若，，則下列與，構成一組空間基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023春·內蒙古興安盟·高二校考階段練習）若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023秋·云南大理·高二統考期末）若是空間的一個基底，且向量不能構成空間的一個基底，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 用空間基底表示向量】
【例2】（2023·全國·高二專題練習）在四面體中，，Q是BC的中點，且M為PQ的中點，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點.設，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023春·河南商丘·高二校聯考期中）如圖，在三棱錐中，，，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 由空間向量基本定理求參數】
【例3】（2023秋·貴州貴陽·高二統考期末）如圖，在三棱柱中，M，N分別是和的中點，且，則實數x，y，z的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·高二課時練習）已知為三條不共面的線段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【變式3-2】（2023春·四川綿陽·高二校考階段練習）已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG＝3GG1，若，則為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2023秋·山西呂梁·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，平面，M，N分別為，上的點，且，，若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【知識點2 空間向量的正交分解】
1．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
【題型4 正交分解】
【例4】（2022·全國·高一假期作業）設是單位正交基底，已知向量在基底下的坐標為，其中，，，則向量在基底下的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023春·高二課時練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023秋·河北邯鄲·高二統考期末）已知平面ABC，，，，則空間的一個單位正交基底可以為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2022秋·山西大同·高二校考階段練習）已知向量，，是空間的一個單位正交基底，向量，，是空間的另一個基底，若向量在基底，，下的坐標為，則在，，下的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【知識點3 用空間向量基本定理解決相關的幾何問題】
1．證明平行、共線、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0.
3．求距離(長度)問題
＝( ＝ )．
4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．
【注】用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.
(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.
【題型5 利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題】
【例5】（2022·高二課時練習）A是所在平面外一點，G是的重心，M、E分別是BD、AG的中點，點F在線段AM上，，判斷三點C、E、F是否共線．
【變式5-1】（2023春·高二課時練習）如圖，正方體中，O為上一點，且，BD與AC交于點M.求證：三點共線．
【變式5-2】（2022秋·廣東中山·高二校考階段練習）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別邊AB，BC上的點，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求證：點E，F，G，H四點共面．
【變式5-3】（2023秋·高二課時練習）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足.
(1)判斷三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內.
【題型6 利用空間向量基本定理求夾角】
【例6】（2022秋·湖北省直轄縣級單位·高二校考期中）如圖，正四面體（所有棱長均相等）的棱長為1，E，F，G，H分別是正四面體中各棱的中點，設，，.
(1)用，，表示，并求的長；
(2)求與的夾角.
【變式6-1】（2023秋·上海浦東新·高三校考期末）如圖，在圓柱中，底面直徑AB等于母線．
(1)若AB＝2，求圓柱的側面積；
(2)設AB與CD是底面互相垂直的兩條直徑，求異面直線AC與所成角的大小．
【變式6-2】（2022秋·山東聊城·高二校考階段練習）如圖，在棱長為1的正四面體中，，分別是邊，的中點，點在上，且，設，，．
(1)試用向量，，表示向量；
(2)求．
【變式6-3】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）已知在平行六面體中，，，且.
(1)求的長；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【題型7 利用空間向量基本定理證明垂直問題】
【例7】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．
【變式7-1】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．
(1)用，，表示向量；
(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．
【變式7-2】（2022秋·全國·高二專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證: 這個四面體相對的棱兩兩垂直.
已知：如圖，四面體，分別為棱的中點，且求證 .
【變式7-3】（2022秋·北京順義·高二校考階段練習）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求證：共面；
(3)當為何值時，．
【題型8 利用空間向量基本定理求距離(長度)問題】
【例8】（2023秋·福建三明·高二統考期末）如圖，在四面體ABCD中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知F是線段CD中點，點E滿足，求線段EF的長.
【變式8-1】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且，N是CM的中點，設，，，用、、表示向量，并求BN的長．
【變式8-2】（2022秋·福建廈門·高二校考階段練習）如圖，M、N分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點，P、Q是MN的三等分點（點P靠近點N），若，解答下列問題：
(1)以為基底表示；
(2)若，，，求的值．
【變式8-3】（2022秋·浙江湖州·高二統考期中）如圖，在正四面體中，，為棱的中點，為棱（靠近點）的三等分點，設．
(1)用表示；
(2)求；
(3)求的長．
專題1.3 空間向量基本定理【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 空間向量基底的判斷】 1
【題型2 用空間基底表示向量】 3
【題型3 由空間向量基本定理求參數】 6
【題型4 正交分解】 8
【題型5 利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題】 11
【題型6 利用空間向量基本定理求夾角】 13
【題型7 利用空間向量基本定理證明垂直問題】 16
【題型8 利用空間向量基本定理求距離(長度)問題】 20
【知識點1 空間向量基本定理】
1．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底．
(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合
相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果．
(3)下結論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
【題型1 空間向量基底的判斷】
【例1】（2023春·河南開封·高二統考期末）若構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間基底的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據空間基底的概念逐項判斷，可得出合適的選項.
【解答過程】對于A，，因此向量共面，故不能構成基底，故A錯誤；
對于B，，因此向量共面，故不能構成基底，故B錯誤；
對于C，假設向量共面，則，
即，這與題設矛盾，假設不成立，可以構成基底，故C正確；
對于D，，因此向量共面，故不能構成基底，故D錯誤；
故選：C.
【變式1-1】（2023春·湖南·高一校聯考期末）已知是空間的一個基底，若，，則下列與，構成一組空間基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據構成空間基底的條件對選項進行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】A.設，所以，
整理得，，
因為是空間的一個基底，所以，無解.
所以，與構成一個基底.
B.因為，所以，所以排除B；
C.因為，所以，所以排除C；
D.設，所以，
整理得，，
因為是空間的一個基底，所以，所以，
所以，與不構成一個基底，排除D.
故選：A.
【變式1-2】（2023春·內蒙古興安盟·高二校考階段練習）若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據空間向量共面定理可知BCD選項中的向量共面，無法作為一組基底；假設A中向量共面，可知不存在滿足條件的實數，由此知假設錯誤，則A中向量可以作為基底.
【解答過程】對于A，假設共面，則可設
，方程組無解，不共面，可以作為空間一組基底，A正確；
對于B，，∴共面，不能作為空間一組基底，B錯誤；
對于C，，∴共面，不能作為空間一組基底，C錯誤；
對于D，，共面，不能作為空間一組基底，D錯誤.
故選：A.
【變式1-3】（2023秋·云南大理·高二統考期末）若是空間的一個基底，且向量不能構成空間的一個基底，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可知，向量、、共面，則存在實數、使得，根據空間向量的基本定理可得出關于、、的方程組，即可解得的值.
【解答過程】因為向量，，不能構成空間的一個基底，
所以、、共面，故存在實數、使得，
即，
因為是空間的一個基底，則，解得.
故選：D.
【題型2 用空間基底表示向量】
【例2】（2023·全國·高二專題練習）在四面體中，，Q是BC的中點，且M為PQ的中點，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用基底表示，再利用向量線性運算求解即可.
【解答過程】因為，所以，

因為Q是的中點，所以，
因為M為PQ的中點，所以 ，
故選：A.
【變式2-1】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點.設，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】由空間向量線性運算即可求解.
【解答過程】由題意可得
.
故選：A.
【變式2-2】（2023春·河南商丘·高二校聯考期中）如圖，在三棱錐中，，，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用向量線性運算將用，，表示即可.
【解答過程】如圖：
故選：C.
【變式2-3】（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據空間向量基本定理，用表示出即可.
【解答過程】由題意，因為為與的交點，所以也為與的中點，
因此
.
故選：D.
【題型3 由空間向量基本定理求參數】
【例3】（2023秋·貴州貴陽·高二統考期末）如圖，在三棱柱中，M，N分別是和的中點，且，則實數x，y，z的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意用空間基底向量表示向量，結合空間向量的線性運算求解.
【解答過程】由題意可得：，
故.
故選：A.
【變式3-1】（2023秋·高二課時練習）已知為三條不共面的線段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】直接利用共面向量的基本定理求出結果.
【解答過程】根據向量加法法則可得：，
即，
因為，
所以，，，
所以，，，所以.
故選：B.
【變式3-2】（2023春·四川綿陽·高二校考階段練習）已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG＝3GG1，若，則為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】連接AG1并延長，交BC于點E，利用向量加減、數乘幾何意義用表示出，即可得答案.
【解答過程】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，
，則，
由題設，，
所以.
故選：A.
【變式3-3】（2023秋·山西呂梁·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，平面，M，N分別為，上的點，且，，若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【解題思路】以為基底表示，由此求得，進而求得.
【解答過程】
，
所以.
故選：B.
【知識點2 空間向量的正交分解】
1．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
【題型4 正交分解】
【例4】（2022·全國·高一假期作業）設是單位正交基底，已知向量在基底下的坐標為，其中，，，則向量在基底下的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題設得，結合已知條件求關于的線性表達式，即可知在基底下的坐標.
【解答過程】由題設知：，而，，，
∴，
∴在基底下的坐標是.
故選：B.
【變式4-1】（2023春·高二課時練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，根據空間向量基本定理建立關于的方程，解之即可得解.
【解答過程】解：設
，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐標為.
故選：A.
【變式4-2】（2023秋·河北邯鄲·高二統考期末）已知平面ABC，，，，則空間的一個單位正交基底可以為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據正交基地的定義可知，三個向量兩兩互相垂直，且模長為1.
【解答過程】因為平面ABC，AB、AC都在面ABC內，
所以，.
因為，，，所以，又SA=1，
所以空間的一個單位正交基底可以為.
故選：A.
【變式4-3】（2022秋·山西大同·高二校考階段練習）已知向量，，是空間的一個單位正交基底，向量，，是空間的另一個基底，若向量在基底，，下的坐標為，則在，，下的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】可設向量，，，由此把向量，，分別用坐標表示，列方程組解出x，y，z，即可得到的坐標．
【解答過程】不妨設向量，，；
則向量，，．
設，
即，
∴解得
即在，，下的坐標為．
故選：C．
【知識點3 用空間向量基本定理解決相關的幾何問題】
1．證明平行、共線、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0.
3．求距離(長度)問題
＝( ＝ )．
4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用向量的數量積可以求得．
【注】用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.
(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.
【題型5 利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題】
【例5】（2022·高二課時練習）A是所在平面外一點，G是的重心，M、E分別是BD、AG的中點，點F在線段AM上，，判斷三點C、E、F是否共線．
【解題思路】利用空間向量的基本定理和共線向量定理求解.
【解答過程】解：設，，，
，
，
，
，
因為，
所以，
又因為、有公共點C，
所以C、E、F三點共線．
【變式5-1】（2023春·高二課時練習）如圖，正方體中，O為上一點，且，BD與AC交于點M.求證：三點共線．
【解題思路】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求的關系，即可推理作答.
【解答過程】在正方體中，令，
，BD與AC交于點M，即點M是的中點，
于是
，
，
因此，即，而直線與直線有公共點，
所以三點共線.
【變式5-2】（2022秋·廣東中山·高二校考階段練習）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別邊AB，BC上的點，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求證：點E，F，G，H四點共面．
【解題思路】（1）根據向量的線性運算結合空間向量基本定理運算求解；（2）根據中位線和平行線的性質，結合平行線的傳遞性證明，即可證結論.
【解答過程】（1）
∵
∴
（2）
連接
∵分別是的中點，∴.
又∵，∴，
∴，則四點共面.
【變式5-3】（2023秋·高二課時練習）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足.
(1)判斷三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內.
【解題思路】（1）根據空間向量的線性運算，結合平面向量基本定理證明即可；
（2）根據（1）結合平面向量的基本定理判斷即可.
【解答過程】（1）由題知，
∴，
即，
∴共面.
（2）由（1）知，共面且基線過同一點M，
∴M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內.
【題型6 利用空間向量基本定理求夾角】
【例6】（2022秋·湖北省直轄縣級單位·高二校考期中）如圖，正四面體（所有棱長均相等）的棱長為1，E，F，G，H分別是正四面體中各棱的中點，設，，.
(1)用，，表示，并求的長；
(2)求與的夾角.
【解題思路】（1）根據給定條件，利用空間向量基底表示，再利用向量數量積的運算律求出的長作答.
（2）用空間向量基底表示，再求出與的數量積即可作答.
【解答過程】（1）因分別為棱的中點，而，，，
所以，
因正四面體的棱長為1，則，
所以.
（2）依題意，，
因正四面體的棱長為1，有，
因此，
所以，即與的夾角為.
【變式6-1】（2023秋·上海浦東新·高三校考期末）如圖，在圓柱中，底面直徑AB等于母線．
(1)若AB＝2，求圓柱的側面積；
(2)設AB與CD是底面互相垂直的兩條直徑，求異面直線AC與所成角的大小．
【解題思路】（1）由已知得到底面半徑以及母線的值，代入公式即可求出；
（2）用向量、、來表示出、，進而求出它們的夾角，即可求出結果.
【解答過程】（1）由已知可得，底面半徑，母線，
所以圓柱的側面積.
（2）由已知可得，兩兩垂直，且相等，
設，則，，.
又， ，
則 .
所以，
又，所以，
所以異面直線AC與所成角的大小為.
【變式6-2】（2022秋·山東聊城·高二校考階段練習）如圖，在棱長為1的正四面體中，，分別是邊，的中點，點在上，且，設，，．
(1)試用向量，，表示向量；
(2)求．
【解題思路】（1）根據平面向量基底運算即可得到結果.
（2）分別求出的值，再結合向量的夾角公式即可求得結果.
【解答過程】（1）
（2）
由題意知，，，，
則，
，
，
所以.
【變式6-3】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）已知在平行六面體中，，，且.
(1)求的長；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【解題思路】（1）用空間的一個基底表示向量，再利用空間向量數量積的運算律求解作答.
（2）利用（1）中信息，結合空間向量的夾角公式計算作答.
【解答過程】（1）在平行六面體中，為空間的一個基底，
因為，，且，
則，
，
所以
.
（2）由（1）知，，則，
又，所以向量與夾角的余弦值.
【題型7 利用空間向量基本定理證明垂直問題】
【例7】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．
【解題思路】取定基底向量，并分別記為，再用基底表示出和，然后借助數量積即可計算作答.
【解答過程】在空間四邊形OABC中，令，則，
令，G是MN的中點，如圖，
則，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
【變式7-1】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．
(1)用，，表示向量；
(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．
【解題思路】（1）根據空間向量線性運算的幾何意義進行求解即可；
（2）設，，用，，表示向量，依題意可得，根據空間向量數量積的運算律求出，即可得解．
【解答過程】（1）解：因為是中點，所以，
所以
；
（2）解：假設存在點，使，設，，
顯然，，
因為，所以，
即，
，，，
即，
解得，所以當時，.
【變式7-2】（2022秋·全國·高二專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證: 這個四面體相對的棱兩兩垂直.
已知：如圖，四面體，分別為棱的中點，且求證 .
【解題思路】設，由空間向量的運算證明，.
【解答過程】證明：設
則
，
，
，
，
，
又
，同理可證，
這個四面體相對的棱兩兩垂直.
【變式7-3】（2022秋·北京順義·高二校考階段練習）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求證：共面；
(3)當為何值時，．
【解題思路】（1）根據空間向量線性運算法則計算可得；
（2）根據空間向量線性運算法則得到，即可證明共面；
（3）設，因為底面為菱形，則當時，，由，即可得出答案.
【解答過程】（1）．
（2）證明：，，
，共面．
（3）當，，
證明：設，
底面為菱形，則當時，，
，，
，
，
．
【題型8 利用空間向量基本定理求距離(長度)問題】
【例8】（2023秋·福建三明·高二統考期末）如圖，在四面體ABCD中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知F是線段CD中點，點E滿足，求線段EF的長.
【解題思路】（1）取為空間的一個基底，表示出，再利用空間向量數量積求解作答.
（2）利用（1）中的信息，利用空間向量數量積計算空間向量的模作答.
【解答過程】（1）在四面體中，設，，，則，，
，，，
.
（2）由（1）知，因為，則，因為F是CD中點，則，如圖，
于是得，
因此
，即有，
所以線段EF的長為.
【變式8-1】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且，N是CM的中點，設，，，用、、表示向量，并求BN的長．
【解題思路】根據題中條件，由向量的線性運算，即可得出；再由向量模的計算公式，結合題中條件，可求出，即得出結果.
【解答過程】解：因為是的中點，底面是正方形，
所以
，
又由題意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的長為.
【變式8-2】（2022秋·福建廈門·高二校考階段練習）如圖，M、N分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點，P、Q是MN的三等分點（點P靠近點N），若，解答下列問題：
(1)以為基底表示；
(2)若，，，求的值．
【解題思路】（1）根據空間向量的線性運算結合圖形計算即可；
（2）根據結合數量積的運算律計算即可.
【解答過程】（1）解：
；
（2）解：
.
【變式8-3】（2022秋·浙江湖州·高二統考期中）如圖，在正四面體中，，為棱的中點，為棱（靠近點）的三等分點，設．
(1)用表示；
(2)求；
(3)求的長．
【解題思路】(1)用向量加法的三角形法表示，最終用基底表示出來.
(2)借助第一問的結論表示出，代入已知條件的長度和角度可求得.
(3)要求的長度，可以先表示出，用基底表示，代入正四面體的長度和角度可以求得.
【解答過程】（1）
（2）
（3）
.

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