資源簡介

專題1.4 空間向量及其運算的坐標表示【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求空間點的坐標】 1
【題型2 空間向量運算的坐標表示】 2
【題型3 空間向量數量積運算的坐標表示】 3
【題型4 根據空間向量的坐標運算求參數】 3
【題型5 空間向量模長的坐標表示】 4
【題型6 空間向量平行的坐標表示】 6
【題型7 空間向量垂直的坐標表示】 7
【題型8 空間向量夾角余弦的坐標表示】 8
【知識點1 空間直角坐標系】
1．空間直角坐標系
(1)空間直角坐標系及相關概念
①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底，以O為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.
②相關概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
(2)右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
2．空間一點的坐標
在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底 {i，j，k}下與向量 對應的有序實數組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
【題型1 求空間點的坐標】
【例1】（2023春·山東青島·高二校聯考期中）空間直角坐標系中，已知，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023秋·陜西寶雞·高二統考期末）已知點，若向量，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023秋·北京懷柔·高二統考期末）若點，點，且，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023·高二單元測試）在空間直角坐標系中，已知點下列敘述中正確的是（ ）
①點關于軸的對稱點是
②點關于平面的對稱點是
③點關于軸的對稱點是
④點關于原點的對稱點是
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【知識點2 空間向量的坐標運算】
1．空間向量的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
2．空間向量的坐標運算
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【題型2 空間向量運算的坐標表示】
【例2】（2023春·全國·高二校聯考開學考試）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量，那么（　　）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習）已知向量,則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022秋·河南信陽·高二校考階段練習）在空間四邊形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），點E，F分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【題型3 空間向量數量積運算的坐標表示】
【例3】（2022·全國·高二專題練習）若，，，則（ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【變式3-1】（2023春·高二課時練習）若，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式3-2】（2023春·山東濟寧·高三校考階段練習）已知棱長為1的正方體的上底面的中心為，則的值為（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【變式3-3】（2022春·廣西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內（不含表面）的一點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 根據空間向量的坐標運算求參數】
【例4】（2022秋·廣東江門·高二校考期中）=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，則實數等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式4-1】（2022秋·廣西南寧·高二校考期中）已知，，且，則的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【變式4-2】（2023秋·北京豐臺·高二校考期末）若向量，滿足條件，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式4-3】（2023秋·河南鄭州·高二校考階段練習）已知點，，，又點在平面內，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【知識點3 用空間向量的坐標運算解決相關的幾何問題】
1．空間向量的平行、垂直及模、夾角
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
當b≠0時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
2．空間兩點間的距離公式
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝||＝.
3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用空間向量的坐標運算可以求得．
【題型5 空間向量模長的坐標表示】
【例5】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且，H為C1G的中點．求||.
【變式5-1】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F，G分別為棱，，的中點.

(1)求線段的長度；
(2)求.
【變式5-2】（2023春·福建龍巖·高二校考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點．
(1)求的距離；
(2)求的值．
【變式5-3】（2022秋·福建·高二校聯考階段練習）已知空間三點，，，．
(1)求以為邊的平行四邊形的面積；
(2)若，且，點是的中點，求的值．
【題型6 空間向量平行的坐標表示】
【例6】（2023春·高二課時練習）已知空間三點，，，設.若，求實數k的值．
【變式6-1】（2022·高二課時練習）已知，且是平行四邊形，求頂點D的坐標．
【變式6-2】（2023春·上海浦東新·高二統考期末）已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求實數的值.
【變式6-3】（2022·高二課時練習）正方體ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【題型7 空間向量垂直的坐標表示】
【例7】（2023春·高二單元測試）已知空間三點， ，設,.若與垂直，求滿足的關系式.
【變式7-1】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習）已知，．
(1)求；
(2)當時，求實數k的值．
【變式7-2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯考期中）已知空間中三點，，，設，.
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量與互相垂直，求的值.
【變式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知，，點，．
(1)求的值．
(2)在線段AB上，是否存在一點E，使得？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（O為坐標原點）
【題型8 空間向量夾角余弦的坐標表示】
【例8】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且．求．
【變式8-1】（2023秋·河南周口·高二統考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【變式8-2】（2023春·高二課時練習）已知空間中的三點，，.
(1)求的面積；
(2)當與的夾角為鈍角時，求k的范圍．
【變式8-3】（2023·江蘇·高二專題練習）棱長為2的正方體中，E、F分別是、DB的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．建立適當的空間直角坐標系，解決下列問題：
(1)求證：；
(2)求；
(3)求的長．
專題1.4 空間向量及其運算的坐標表示【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求空間點的坐標】 1
【題型2 空間向量運算的坐標表示】 3
【題型3 空間向量數量積運算的坐標表示】 4
【題型4 根據空間向量的坐標運算求參數】 6
【題型5 空間向量模長的坐標表示】 8
【題型6 空間向量平行的坐標表示】 11
【題型7 空間向量垂直的坐標表示】 13
【題型8 空間向量夾角余弦的坐標表示】 15
【知識點1 空間直角坐標系】
1．空間直角坐標系
(1)空間直角坐標系及相關概念
①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底，以O為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.
②相關概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
(2)右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
2．空間一點的坐標
在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底 {i，j，k}下與向量 對應的有序實數組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
【題型1 求空間點的坐標】
【例1】（2023春·山東青島·高二校聯考期中）空間直角坐標系中，已知，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據空間直角坐標系中點關于yOz平面的對稱點的特征可得答案.
【解答過程】根據空間直角坐標系的對稱性可得關于yOz平面的對稱點的坐標為，
故選：C.
【變式1-1】（2023秋·陜西寶雞·高二統考期末）已知點，若向量，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，表達出，從而列出方程組，求出點的坐標為.
【解答過程】設，則，
因為，所以，解得：，
故點的坐標為.
故選：D.
【變式1-2】（2023秋·北京懷柔·高二統考期末）若點，點，且，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設，根據列方程組即可求解.
【解答過程】設，則，
因為，所以，解得.
故點的坐標為.
故選:A.
【變式1-3】（2023·高二單元測試）在空間直角坐標系中，已知點下列敘述中正確的是（ ）
①點關于軸的對稱點是
②點關于平面的對稱點是
③點關于軸的對稱點是
④點關于原點的對稱點是
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【解題思路】根據空間坐標的對稱性進行判斷即可．
【解答過程】點關于軸的對稱點的坐標是，，，故①錯誤；
點關于平面的對稱點的坐標是，，，則②正確；
點關于軸的對稱點的坐標是，，，則③錯誤；
點關于原點的對稱點的坐標是，，，故④正確，
故正確的命題的序號是②④，
故選：C.
【知識點2 空間向量的坐標運算】
1．空間向量的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
2．空間向量的坐標運算
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【題型2 空間向量運算的坐標表示】
【例2】（2023春·全國·高二校聯考開學考試）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量線性運算的坐標表示得出答案.
【解答過程】，
故選：D.
【變式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量，那么（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】利用向量減法的法則及坐標運算即可求解.
【解答過程】因為，
所以.
故選：D.
【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習）已知向量,則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】推導出,利用向量坐標運算法則直接求解.
【解答過程】∵向量,
∴.
故選:B.
【變式2-3】（2022秋·河南信陽·高二校考階段練習）在空間四邊形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），點E，F分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【解題思路】根據空間向量的加法減法運算及三角形中線的性質求解.
【解答過程】如圖，取中點，連接, 如圖，
則, ,
而,
故選：B.
【題型3 空間向量數量積運算的坐標表示】
【例3】（2022·全國·高二專題練習）若，，，則（ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【解題思路】先求出的坐標表示，再利用向量數量積的坐標表示計算即可
【解答過程】由已知，，
，
∴.
故選：C．
【變式3-1】（2023春·高二課時練習）若，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解題思路】直接利用數量積的坐標運算即可求得.
【解答過程】因為，
所以.
故選：C.
【變式3-2】（2023春·山東濟寧·高三校考階段練習）已知棱長為1的正方體的上底面的中心為，則的值為（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【解題思路】建立空間直角坐標系，利用向量法計算出.
【解答過程】建立如圖所示空間直角坐標系，
，
，
故選：D.
【變式3-3】（2022春·廣西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內（不含表面）的一點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】建立空間直角坐標系，設，由正六邊形的性質可知，再根據空間向量數列積公式，即可求出結果.
【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標系，且，
由正六邊形的性質可得，，
設，其中，
所以，，
所以，所以的取值范圍.
故選：A.
【題型4 根據空間向量的坐標運算求參數】
【例4】（2022秋·廣東江門·高二校考期中）=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，則實數等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】根據向量的數乘運算和向量坐標的相等即可求解.
【解答過程】因為，
所以=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),
所以，
故選：C.
【變式4-1】（2022秋·廣西南寧·高二校考期中）已知，，且，則的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解題思路】根據空間向量數量積的坐標表示得到方程，解得即可.
【解答過程】解：因為，，且，
所以，
解得；
故選：B.
【變式4-2】（2023秋·北京豐臺·高二校考期末）若向量，滿足條件，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題思路】首先通過向量的減法的坐標運算可得，再通過數量積運算即可得解.
【解答過程】根據向量的運算可得：
，
所以
，
所以，
故選：B.
【變式4-3】（2023秋·河南鄭州·高二校考階段練習）已知點，，，又點在平面內，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量的坐標表示求出向量的坐標，再結合空間向量的共面定理即可得出結果.
【解答過程】由題意，得
，
則，
因為P在平面ABC內，并設未知數a，b，
則，
，
即，解得.
故選：B.
【知識點3 用空間向量的坐標運算解決相關的幾何問題】
1．空間向量的平行、垂直及模、夾角
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
當b≠0時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
2．空間兩點間的距離公式
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝||＝.
3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用空間向量的坐標運算可以求得．
【題型5 空間向量模長的坐標表示】
【例5】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且，H為C1G的中點．求||.
【解題思路】利用空間向量法求向量的模長得到結果.
【解答過程】如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，D為坐標原點，
則有 ，，，，，，，，
.
【變式5-1】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F，G分別為棱，，的中點.

(1)求線段的長度；
(2)求.
【解題思路】（1）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出即可；
（2）根據空間向量數量積的坐標表示即可得解.
【解答過程】（1）如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，故，
所以，
即線段的長度為；
（2），
則，
所以.
【變式5-2】（2023春·福建龍巖·高二校考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點．
(1)求的距離；
(2)求的值．
【解題思路】（1）以點C作為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用向量的模長公式計算即可；
（2）利用向量夾角運算公式計算的值；
【解答過程】（1）如圖，以為原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，依題意得，，，．
，∴
∴．
所以的距離為.
（2）依題意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
【變式5-3】（2022秋·福建·高二校聯考階段練習）已知空間三點，，，．
(1)求以為邊的平行四邊形的面積；
(2)若，且，點是的中點，求的值．
【解題思路】（1）寫出的坐標，求出模長和夾角，用平行四邊形的面積公式即可求解；（2）將分解到上，利用向量數量積的性質即可求解.
【解答過程】（1）
，，
，
，
.
（2）點是的中點，
，
，
.
【題型6 空間向量平行的坐標表示】
【例6】（2023春·高二課時練習）已知空間三點，，，設.若，求實數k的值．
【解題思路】求出的坐標，再利用空間向量線性運算的坐標表示，結合向量共線的條件列式計算作答.
【解答過程】三點，，，則，
，因為，
則有，解得，
所以實數k的值是.
【變式6-1】（2022·高二課時練習）已知，且是平行四邊形，求頂點D的坐標．
【解題思路】由平行四邊形的性質可得, 建立方程求解即可.
【解答過程】設，
因為是平行四邊形，
所以,
即，
解得，
故頂點D的坐標為.
【變式6-2】（2023春·上海浦東新·高二統考期末）已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求實數的值.
【解題思路】(1)利用空間向量夾角公式的坐標運算直接求解；(2)根據兩向量的共線定理，利用坐標運算求解.
【解答過程】（1）由已知可得，，
∴.
（2），，
∵，∴存在實數使得，
∴，，，聯立解得.
【變式6-3】（2022·高二課時練習）正方體ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【解題思路】建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，求出的坐標，設點P的坐標為(a，a，1)和Q的坐標為(b，b，0)，結合已知向量共線和向量垂直即可求出未知數的值，從而求出Q的坐標，進而可求出λ.
【解答過程】以D為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，
建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由題意，可設點P的坐標為(a，a，1)，
因為3＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得，
所以點P的坐標為.由題意可設點Q的坐標為(b，b，0)，因為PQ⊥AE，
所以＝0，所以·＝0，即，解得 ，
所以點Q的坐標為，因為，所以＝λ，
所以，故λ＝－4.
【題型7 空間向量垂直的坐標表示】
【例7】（2023春·高二單元測試）已知空間三點， ，設,.若與垂直，求滿足的關系式.
【解題思路】根據空間向量垂直的坐標表示可求出結果.
【解答過程】,，
，，，
，
所以，
所以，即.
【變式7-1】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習）已知，．
(1)求；
(2)當時，求實數k的值．
【解題思路】（1）根據空間向量的運算，先求出，，然后計算數量積；
（2）根據空間向量的運算，先求出，，根據垂直關系可知它們數量積為，據此計算.
【解答過程】（1）因為，，
所以，，
所以
（2）因為，，
所以，由（1），
因為，所以，
所以，解得.
【變式7-2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯考期中）已知空間中三點，，，設，.
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量與互相垂直，求的值.
【解題思路】（1）由可得存在非零實數，使得，根據向量的坐標運算結合，即可求解；
（2）根據向量垂直的條件即可解答.
【解答過程】（1）∵，，，
∴，
又，且，
∴存在非零實數，使得，
∴，
∴，
∴或；
（2），，
∴，
∵向量與互相垂直，
∴，解得，
故.
【變式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知，，點，．
(1)求的值．
(2)在線段AB上，是否存在一點E，使得？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（O為坐標原點）
【解題思路】（1）利用空間向量的線性運算及模的運算公式即可得解；
（2）利用空間向量共線定理得到關于的關系式，再由空間向量垂直的坐標表示求得，從而得到點E的坐標.
【解答過程】（1）因為，，
所以，
則.
（2）假設線段AB上存在一點E，使得，則設，
因為，，所以，
又因為，
所以，
因為，，
所以，解得，滿足，
所以，即，
所以線段AB上存在一點E，使得，且.
【題型8 空間向量夾角余弦的坐標表示】
【例8】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且．求．
【解題思路】利用空間向量法求兩個向量所成角的余弦值.
【解答過程】如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，D為坐標原點，
則有 ，，，，，，，，
所以，，.
所以.
【變式8-1】（2023秋·河南周口·高二統考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【解題思路】（1）由向量的模長坐標公式，可得答案；
（2）根據向量數量積的公式，結合模長公式，再由夾角公式，可得答案.
【解答過程】（1）因為，所以.
（2）因為，所以，
又因為，所以
故與夾角的余弦值為.
【變式8-2】（2023春·高二課時練習）已知空間中的三點，，.
(1)求的面積；
(2)當與的夾角為鈍角時，求k的范圍．
【解題思路】（1）應用向量坐標表示有，，由向量夾角的坐標運算可得，再求其正弦值，應用三角形面積公式求面積；
（2）向量坐標表示得，，它們的夾角為鈍角，即，即可求參數范圍，注意排除向量反向共線的情況.
【解答過程】（1）由題設，，則，
所以，故在中，
故的面積為.
（2）由（1）知：，，且它們夾角為鈍角，
所以，即，
所以，可得，
當它們反向共線，即且時，有，無解，
綜上，.
【變式8-3】（2023·江蘇·高二專題練習）棱長為2的正方體中，E、F分別是、DB的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．建立適當的空間直角坐標系，解決下列問題：
(1)求證：；
(2)求；
(3)求的長．
【解題思路】（1）以D為坐標原點建立空間直角坐標系，首先求出相應點的坐標，再證明即可；
（2）求出的坐標，再根據即可求得答案；
（3）轉化為求即可.
【解答過程】（1）解：如圖，以為原點， 分別為軸，建立空間直角坐標系，
則,
因為，
所以，
所以，
故；
（2）解：因為，所以
因為，且,
所以；
（3）解：因為是的中點，所以
又因為，
所以,
.
即.

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