資源簡介

專題1.7 空間向量與立體幾何全章八類必考壓軸題
【人教A版（2019）】
【考點1 空間向量的線性運算】
1．（2023·全國·高三對口高考）（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽合肥·高二校考期末）已知，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·高二課時練習）已知向量，，，則的坐標為 .
4．（2023春·高二課時練習）已知，，求，，．
5．（2023春·高二課時練習）如圖所示，在三棱柱中，是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量.
(1)；
(2)；
(3).
【考點2 空間向量數量積的應用】
1．（2023春·福建泉州·高二校聯考期末）平行六面體的所有棱長均為1，，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·甘肅金昌·高二校考期中）如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江蘇淮安·高二校聯考期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，分別為上的點，且， .
4．（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，在四面體中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.
5．（2023春·江蘇宿遷·高二統考期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA1的長度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：
(1)BD1的長；
(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.
【考點3 空間向量基本定理及其應用】
1．（2023春·安徽池州·高二聯考階段練習）已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江蘇泰州·高二統考期末）已知三棱柱的側棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點M.則（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2022·湖北十堰·高三校考階段練習）如圖，已知空間四邊形，其對角線為，，，分別為，的中點，點在線段上，且，若，則 ．
4．（2023春·江蘇鹽城·高二校考階段練習）如圖，設P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是平行四邊形對角線AC和BD的交點，Q是CD的中點，求下列各式中x，y的值．
(1)；
(2)．
5．（2022·高二課時練習）如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．
(1)證明：、、、四點共面．
(2)若，求．
【考點4 空間線、面平行關系的判定及應用】
1．（2023春·四川成都·高二校聯考期中）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實數的值為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·高二課時練習）在正方體ABCD A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B，AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
3．（2023·全國·高三專題練習）已知兩個不重合的平面與平面ABC，若平面的法向量為，，，則平面和平面ABC的位置關系是 ．
4．（2023·江蘇·高二專題練習）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段A1D上，點Q在線段AC上，線段PQ與直線A1D和AC都垂直，求證：PQ∥BD1.
5．（2023·全國·高二專題練習）在正方體中，點E，F分別是正方形和正方形的中心．求證：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【考點5 空間線、面垂直關系的判定及應用】
1．（2022秋·四川達州·高二統考期末）長方體中，為中點，則下列選項中與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）已知點是正方體的棱的中點，給出以下結論：
①；
②；
③；
④平面
其中正確命題的序號是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2023春·內蒙古呼和浩特·高三統考階段練習）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是 （填寫正確的序號）
4．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，底面，，， ，是的中點．
求證：（1）；（2）平面．
5．（2023秋·湖南婁底·高二校聯考期末）如圖，在三棱柱 中，底面，，，， 為的中點， 為側棱 上的動點．
(1)求證：平面平面；
(2)試判斷直線 與是否能夠垂直．若能垂直，求的長；若不能垂直，請說明理由．
【考點6 利用空間向量研究距離問題】
1．（2023春·江蘇鎮江·高二校考期末）已知正方體的棱長為2，、分別為上底面和側面的中心，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023秋·高二課時練習）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是 ．
4．（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點（不與重合），平面交棱于點.

(1)求證：；
(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.
5．（2023春·高二課時練習）如圖，在長方體中，，E為線段的中點，F為線段的中點．
(1)求點到直線的距離；
(2)求直線到直線的距離；
(3)求點到平面的距離．
【考點7 利用空間向量求空間角】
1．（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）如圖，平行六面體中，，，，，則與所成角的大小為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·浙江·校聯考二模）在平行四邊形中，角，將三角形沿翻折到三角形，使平面平面.記線段的中點為，那么直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角A-PC-B的余弦值為 ．
4．（2023春·浙江寧波·高二統考期末）如圖，正四棱錐的高為，體積為.

(1)求正四棱錐的表面積；
(2)若點為線段的中點，求直線AE與平面所成角的正切值；
(3)求二面角的余弦值.
5．（2023春·河南·高三階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，底面是的中點，.

(1)證明：平面平面.
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且，求平面與平面夾角的余弦值.
【考點8 利用空間向量研究存在性問題】
1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得異面直線與所成的角為
C．三棱錐體積的最大值是
D．當點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大
2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為正方形內一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（ ）
A．若平面，則動點的軌跡是一條線段
B．存在點，使得平面
C．當且僅當點落在處時，三棱錐的體積最大
D．若，那么點的軌跡長度為
3．（2023春·江蘇常州·高二統考期中）如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．

(1)求證：；
(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；
(3)線段PA上是否存在點E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
4．（2023秋·湖南株洲·高三校聯考期末）圖1是直角梯形ABCD，，，四邊形ABCE是邊長為4的菱形，并且，以BE為折痕將折起，使點C到達的位置，且，如圖2.
(1)求證：平面平面ABED；
(2)在棱上是否存在點P，使得P到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.
5．（2023·福建福州·福建省校考二模）如圖1，在中，為的中點，為上一點，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當時，證明：平面平面；
(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.
專題1.7 空間向量與立體幾何全章八類必考壓軸題
【人教A版（2019）】
【考點1 空間向量的線性運算】
1．（2023·全國·高三對口高考）（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據向量的線性運算求解即可.
【解答過程】.
故選：C.
2．（2023春·安徽合肥·高二校考期末）已知，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據向量坐標運算即可.
【解答過程】.
故選：B.
3．（2023春·高二課時練習）已知向量，，，則的坐標為 .
【解題思路】直接利用向量的運算法則計算即可.
【解答過程】向量，，，則.
故答案為：.
4．（2023春·高二課時練習）已知，，求，，．
【解題思路】直接根據向量的加減數乘的坐標運算即可得解.
【解答過程】，
，
．
5．（2023春·高二課時練習）如圖所示，在三棱柱中，是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量.
(1)；
(2)；
(3).
【解題思路】（1）（2）（3）利用空間向量的加減法的運算法則和幾何意義化簡．
【解答過程】（1）解：.
（2）解：因為是的中點，所以，又，
所以.
（3）解：
【考點2 空間向量數量積的應用】
1．（2023春·福建泉州·高二校聯考期末）平行六面體的所有棱長均為1，，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由為平行六面體，可知為體對角線，由向量的模長公式即可求得.
【解答過程】
，
故選：B.
2．（2023春·甘肅金昌·高二校考期中）如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據空間向量的基本定理和向量的數量積的定義即可求解.
【解答過程】設，，，
因為向量不共面，故可構成空間的一組基底，
結合，，，，，
所以=0， ，，
則，，
可得
，
，
，
所以，
又因為異面直線所成角的范圍是，
所以與所成角的余弦值為.
故選：B.
3．（2023春·江蘇淮安·高二校聯考期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，分別為上的點，且， .
【解題思路】根據給定條件選定基底向量，并表示出，再利用向量運算即可得解.
【解答過程】在四棱錐中，底面為平行四邊形，連接AC，如圖，，，
則
，
又，，，
則，，
因此，
.
故答案為：.
4．（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，在四面體中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.
【解題思路】（1）根據題意得到，再求解即可.
（2）根據，再平方求解即可.
【解答過程】（1）在四面體中，，，
.
（2）如圖所示：

因為，則，
因為F是CD中點，則，
于是.
，
所以.
5．（2023春·江蘇宿遷·高二統考期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA1的長度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：
(1)BD1的長；
(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.
【解題思路】（1）利用向量模的計算公式和向量的數量積的運算即得出BD1的長；
（2）分別求出 的值，代入數量積求夾角公式，即可求得異面直線BD1與AC所成角的余弦值．
【解答過程】（1）∵，
＝24，
∴的長為，
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴＝，
所以直線BD1與AC所成角的余弦值為．
【考點3 空間向量基本定理及其應用】
1．（2023春·安徽池州·高二聯考階段練習）已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，設存在唯一的實數對，使得，結合向量的數乘運算和相等向量的概念計算，即可求解.
【解答過程】由題意，設存在唯一的實數對，使得，
即，
則，
則x=2，，，解得.
故選：D.
2．（2023春·江蘇泰州·高二統考期末）已知三棱柱的側棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點M.則（ ）
A． B．2 C． D．
【解題思路】以為基底表示，利用平方的方法求得.
【解答過程】依題意可知是的中點，
所以
，
所以
.
故選：D.
3．（2022·湖北十堰·高三校考階段練習）如圖，已知空間四邊形，其對角線為，，，分別為，的中點，點在線段上，且，若，則 ．
【解題思路】以為一組基向量，首先，再將逐步地用基向量表示，最后合并整理得出結果.
【解答過程】由，分別為，的中點，點在線段上，
且，
所以
，
則，
故答案為：.
4．（2023春·江蘇鹽城·高二校考階段練習）如圖，設P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是平行四邊形對角線AC和BD的交點，Q是CD的中點，求下列各式中x，y的值．
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）利用向量的三角形法則及其向量相等即可得出．
（2）利用向量的三角形法則及其向量相等即可得出．
【解答過程】（1）解：
．
．
（2）解： ， ．
又 ， ．
從而有．
，．
5．（2022·高二課時練習）如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．
(1)證明：、、、四點共面．
(2)若，求．
【解題思路】（1）在上取一點，使得，連接、，根據平行六面體的性質、，即可得到，即可得證；
（2）結合圖形，根據空間向量線性運算法則計算可得.
【解答過程】（1）證明：在上取一點，使得，連接、，
在平行六面體中，，，，
且，且，
所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，
所以，且，
又且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，
、、、四點共面．
（2）解：因為
，
即，，，
．
【考點4 空間線、面平行關系的判定及應用】
1．（2023春·四川成都·高二校聯考期中）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實數的值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】依題意可得，即可得到，從而得到方程，解得即可.
【解答過程】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，
若直線與平面平行，則，即，即，解得.
故選：C．
2．（2023春·高二課時練習）在正方體ABCD A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B，AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
【解題思路】利用與平面BB1C1C的法向量的數量積為零，從而得到結果.
【解答過程】以C1為原點，C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
令a=2，，則，
平面BB1C1C的法向量為
，又MN平面BB1C1C
∴MN∥平面BB1C1C
故選B.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知兩個不重合的平面與平面ABC，若平面的法向量為，，，則平面和平面ABC的位置關系是 平行 ．
【解題思路】先證明出面ABC，即可證明出平面和平面ABC平行.
【解答過程】因為平面的法向量為，，，
且，所以.
同理可證：.
又,
所以面ABC.
又為面的法向量，
所以面面ABC.
故答案為：平行.
4．（2023·江蘇·高二專題練習）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段A1D上，點Q在線段AC上，線段PQ與直線A1D和AC都垂直，求證：PQ∥BD1.
【解題思路】建立空間直角坐標系，利用向量垂直的坐標運算求出，再根據共線向量證明即可.
【解答過程】證明：以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，設=(a，b，c)，
則即取=(1，1，-1).
易知，
∴ ，
∴，
即PQ∥BD1.
5．（2023·全國·高二專題練習）在正方體中，點E，F分別是正方形和正方形的中心．求證：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【解題思路】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面；
（2）利用向量法證得平面；
（3）利用向量法證得平面平面．
【解答過程】（1）設正方體的邊長為，建立如圖所示空間直角坐標系，
，
，
，
所以，
由于，所以平面.
（2）設平面的法向量為，
則，故可設.
，
，平面，
所以平面.
（3），
設平面的法向量為，
則，故可設.
，
顯然，平面與平面不重合，所以平面平面.
【考點5 空間線、面垂直關系的判定及應用】
1．（2022秋·四川達州·高二統考期末）長方體中，為中點，則下列選項中與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】建立空間直角坐標系，然后利用空間向量逐個分析判斷即可.
【解答過程】如圖，以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
因為為中點，
所以，
所以，
對于A，，則，所以與不垂直，所以A錯誤，
對于B，，則，所以與不垂直，所以B錯誤，
對于C，，則，所以與不垂直，所以C錯誤，
對于D，，則，所以，所以D正確，
故選：D.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知點是正方體的棱的中點，給出以下結論：
①；
②；
③；
④平面
其中正確命題的序號是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解題思路】建立空間直角坐標系,根據空間中兩個向量垂直則數量積為0逐個判定即可.
【解答過程】
設正方體邊長為2,建立如圖空間直角坐標系.則.
對①, ,因為,故①錯誤.
對②, ,因為,故②錯誤.
對③, ,因為,故③正確.
對④,由②有不成立,故平面不成立.故④錯誤.
故選：C.
3．（2023春·內蒙古呼和浩特·高三統考階段練習）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是 ①③ （填寫正確的序號）
【解題思路】建立空間直角坐標系，利用空間向量分析判斷即可.
【解答過程】設正方體的棱長為2，
對于①，如圖建立空間直角坐標系，則，
所以，所以，所以，即，所以①正確，
對于②，如圖建立空間直角坐標系，則，
所以，所以，所以與不垂直，即與不垂直，所以②錯誤，
對于③，如圖建立空間直角坐標系，則，
所以，所以，所以，即，所以③正確，
對于④，如圖建立空間直角坐標系，則，
所以，所以，所以與不垂直，即與不垂直，所以④錯誤，
故答案為：①③.
4．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，底面，，， ，是的中點．
求證：（1）；（2）平面．
【解題思路】方法一：（1）以為坐標原點建立空間直角坐標系，得到、，計算得到，即證明．
（2）先寫出坐標，再求出平面的法向量，驗證可知，即證明平面．
方法二：（1）由底面證明．再結合可證明平面．從而得到．
（2）由底面證明，再結合證明平面，從而得到；
再證明．結合可證平面，得到；最后根據線面垂直的判定即可以證明平面．
【解答過程】方法一 （1）以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，所以，，所以，所以．
（2）由（1），得，，．
設向量是平面的法向量，則，即，取，則，所以，所以，所以平面．
方法二 （1）∵底面，∴．又，，∴平面．∵平面，∴．
（2）∵底面，∴．又，，∴平面，∴．由題可得，由是的中點，∴．
又，，∴平面，∴．∵，，，∴平面．
5．（2023秋·湖南婁底·高二校聯考期末）如圖，在三棱柱 中，底面，，，， 為的中點， 為側棱 上的動點．
(1)求證：平面平面；
(2)試判斷直線 與是否能夠垂直．若能垂直，求的長；若不能垂直，請說明理由．
【解題思路】（1）利用，推出平面，即可證明面面垂直；
（2）建系，寫出的坐標，設，利用直線與能垂直，數量積為零，求出，，不能垂直.
【解答過程】（1）因為在三棱柱 中，底面，，，， 為的中點， 為側棱 上的動點．
所以 ，，
因為，平面
所以平面，
因為平面，
所以平面平面．
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，，，
設，
則，
若直線與能垂直，則，
解得，
因為，
所以直線與不能垂直．
【考點6 利用空間向量研究距離問題】
1．（2023春·江蘇鎮江·高二校考期末）已知正方體的棱長為2，、分別為上底面和側面的中心，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】建立空間直角坐標系，利用向量法得出點到平面的距離.
【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標系

，，，，，，
設平面的法向量為，，令，得
則點到平面的距離為.
故選：A.
2．（2023秋·高二課時練習）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將平面與平面的距離轉化為點到平面的距離，建立空間直角坐標系，，然后用空間向量求解.
【解答過程】由正方體的性質：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
則兩平面間的距離可轉化為點B到平面的距離．
以為坐標原點，所在的直線分別為軸
建立空間直角坐標系，如圖所示：
由正方體的棱長為1，所以，，，
，，
所以，，
，．
連接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一個法向量為，
則兩平面間的距離：
．
故選：D.
3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是 ．
【解題思路】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出、，進而可計算得出點到直線的距離為.
【解答過程】因為平面，底面為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則點、、，
，，，
所以，，
所以，的中點到直線的距離.
故答案為：.
4．（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點（不與重合），平面交棱于點.

(1)求證：；
(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.
【解題思路】（1）根據線面平行的判定定理推出平面，再根據線面平行的性質定理可得；
（2）取的中點，連，取的中點，連，可證兩兩垂直，
以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，根據題意平面和平面的法向量，再用點面距公式可求出結果.
【解答過程】（1）因為為矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面，又平面平面，AD在面AEFD內，
所以.
（2）取的中點，連，取的中點，連，則，
因為側面為正三角形，所以，
因為平面平面，平面平面 ，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以兩兩垂直，
以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系：
因為,且側面為正三角形，所以，又，
所以，，，，，
設，顯然，
所以，，，
，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，，
則，
取平面的一個法向量為，
則 ，得，解得.
所以，所以， ，
所以點到平面的距離為 .

5．（2023春·高二課時練習）如圖，在長方體中，，E為線段的中點，F為線段的中點．
(1)求點到直線的距離；
(2)求直線到直線的距離；
(3)求點到平面的距離．
【解題思路】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用空間點到直線距離公式進行計算；
（2）在第一問的基礎上，得到，從而利用空間點到直線距離公式求出直線到直線的距離；
（3）求出平面的法向量，利用點到平面的距離公式求出答案.
【解答過程】（1）建立如圖所示以為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，
則，
，
，
設點到直線的距離為，
∴
則點到直線的距離為．
（2），故
，
設直線到直線的距離為，則即為F到直線的距離；
∴
則直線到直線的距離為．
（3）設平面的法向量為，
由，
令，則，所以
設點到平面的距離為，
∴，
則點到平面的距離為．
【考點7 利用空間向量求空間角】
1．（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）如圖，平行六面體中，，，，，則與所成角的大小為（ ）

A． B． C． D．
【解題思路】設，表示出，，計算，即可求得答案.
【解答過程】設，則，
三向量的夾角皆為，
由題意可得，，
故
，
即，所以與所成角的大小為，
故選：C.
2．（2023·浙江·校聯考二模）在平行四邊形中，角，將三角形沿翻折到三角形，使平面平面.記線段的中點為，那么直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由余弦定理，則，，，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法解決線面角問題.
【解答過程】，由余弦定理，，
則，，，
平面平面，，，
以為原點，所在直線為軸，平面內垂直于的直線為軸，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
，
設平面的一個法向量為，則有，
令，有，，即，
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故選：A.
3．（2023·全國·高三專題練習）《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角A-PC-B的余弦值為 ．
【解題思路】建立空間直角坐標系，分別計算平面APC與平面PBC的法向量，然后利用公式計算即可.
【解答過程】依據題意建立如圖所示的空間直角坐標系：
，，，，
所以，，，.
設平面APC的法向量為
，∴
不妨設，則，
設平面PBC的法向量為
，∴
不妨設，則，，
設為，則.
故答案為：.
4．（2023春·浙江寧波·高二統考期末）如圖，正四棱錐的高為，體積為.

(1)求正四棱錐的表面積；
(2)若點為線段的中點，求直線AE與平面所成角的正切值；
(3)求二面角的余弦值.
【解題思路】（1）先由棱錐的體積公式求得底面邊長，再利用正四棱錐的性質求得，從而求得，進而求得該正四棱錐的表面積；
（2）結合（1）中結論建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角余弦的坐標表示，結合三角函數的基本關系式即可得解；
（3）分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.
【解答過程】（1）連接，連接，如圖，

因為在正四棱錐中，底面是正方形，則，且是與的中點，底面，
因為正四棱錐的高為，體積為，則，
，設底面邊長為，則，
所以由得，解得，
因為底面，底面，故，
在中，，則，同理，
所以在中，，則，
同理：，
所以正四棱錐的表面積為.
（2）由（1）可得，以為原點，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，
則，
因為點為線段的中點，所以，則，
易知平面的一個法向量為，
設直線AE與平面所成角為，則，
所以，
故，，
所以直線AE與平面所成角的正切值為.
（3）由（2）知，
設平面的一個法向量為，則，
取，則，故，
設平面的一個法向量為，則，
取，則，故，
設二面角為，則由圖形可知，
所以，
所以二面角的余弦值為.
5．（2023春·河南·高三階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，底面是的中點，.

(1)證明：平面平面.
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且，求平面與平面夾角的余弦值.
【解題思路】（1）由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到線線垂直，進而得到線面垂直，證明出面面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，設出點的坐標，利用線面角的大小列出方程，求出，從而利用空間向量求出面面角的余弦值
【解答過程】（1）因為底面平面，所以.
因為，所以.
又，
所以，
則，故.
因為，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）取中點，連接，
因為底面是直角梯形，，，，，
所以，
因為底面，平面，所以，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
設，則，
.
設平面的法向量為，
則，解得，
令，得，故.
因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
解得或（舍去），則，
則.
設平面的法向量為，
則，
令，則，得.
，
故平面與平面夾角的余弦值為.
【考點8 利用空間向量研究存在性問題】
1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得異面直線與所成的角為
C．三棱錐體積的最大值是
D．當點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大
【解題思路】以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設，根據向量垂直的坐標表示和異面直線所成角的向量求法可確定是否有解，從而知AB正誤；利用體積橋可知，設，可求得的最大值，由此可求得體積的最大值，知C錯誤；利用向量法求二面角余弦關于參數m的表達式，結合二次函數、余弦函數的性質判斷二面角的變化情況，判斷D.
【解答過程】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
設，則；
，，，，，，，；
對于A，假設存在點，使得，
則，又，
，解得：，
即點與重合時，，A正確；
對于B，假設存在點，使得異面直線與所成的角為，
，，
，方程無解；
不存在點，使得異面直線與所成的角為，B錯誤；
對于C，連接；
設，
，
當，即點與點重合時，取得最大值；
又點到平面的距離，
，C錯誤；
對于D，由上分析知：，，
若是面的法向量，則，
令，則，
而面的法向量，
所以，令，
則，而，
由從到的過程，由小變大，則由大變小，即由小變大，
所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，
故二面角先變小后變大，D正確.
故選：AD.
2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為正方形內一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（ ）
A．若平面，則動點的軌跡是一條線段
B．存在點，使得平面
C．當且僅當點落在處時，三棱錐的體積最大
D．若，那么點的軌跡長度為
【解題思路】選項A：利用面面平行證明線面平行，得到動點軌跡；選項B：利用向量法證明線面垂直，判斷動點是否存在；選項C：利用向量法求點到平面距離，計算棱錐體積；選項D:利用方程判斷軌跡形狀并求軌跡長度.
【解答過程】取、中點、，連接、、、，
由且知是平行四邊形，∴，
∵平面，平面，平面，同理可得平面，
∵，平面，
∴平面平面，則Q點的軌跡為線段EF，A選項正確；
如圖，建立空間直角坐標系，
則，，，設，，，
則，，.
設為平面的一個法向量，
則即得取，則.
若平面，則，即存在，使得，則，解得，故不存在點使得平面，B選項錯誤；
的面積為定值，∴當且僅當到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大.
，
①，，則當時，有最大值1；
②，，則當時，有最大值；
綜上，當，即和重合時，三棱錐的體積最大，C選項正確；
平面，∴，，
∴，點的軌跡是半徑為，圓心角為的圓弧，軌跡長度為，D選項正確.
故選：ACD.
3．（2023春·江蘇常州·高二統考期中）如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．

(1)求證：；
(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；
(3)線段PA上是否存在點E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【解題思路】（1）取AB的中點為O，利用線面垂直的判定、性質推理作答.
（2）以O為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦作答.
（3）確定點E的位置，利用空間位置關系的向量證明推理判斷作答.
【解答過程】（1）取AB的中點為O，連接DO，PO，由，得，
又四邊形ABCD為直角梯形，且，，，，
則四邊形OBCD為正方形，，又，平面POD，
因此平面POD，又平面POD，
所以.

（2）且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，
則平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP兩兩垂直，
以點O為原點，OD、OA、OP分別為x、y、z軸的空間直角坐標系，
由等腰直角，，，得，
則，
即，平面PAB的一個法向量為，設直線PC與平面PAB所成的角為，
因此，即，
所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為.
（3）線段PA上存在點E，且當時，使得平面EBD.
由，得，則，，
設平面EBD的法向量為，則，令，得，
又，則，而平面EBD，因此平面EBD，
所以點E滿足時，有平面EBD．
4．（2023秋·湖南株洲·高三校聯考期末）圖1是直角梯形ABCD，，，四邊形ABCE是邊長為4的菱形，并且，以BE為折痕將折起，使點C到達的位置，且，如圖2.
(1)求證：平面平面ABED；
(2)在棱上是否存在點P，使得P到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.
【解題思路】（1）作出輔助線，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，從而證明出線面垂直，面面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解出點P的坐標，從而得到線面角.
【解答過程】（1）取BE的中點F，連接AF，，
因為四邊形ABCE是邊長為4的菱形，并且，
所以均為等邊三角形，
故⊥BE，⊥BE，且，
因為，所以，
由勾股定理逆定理得：AF⊥，
又因為，平面ABE，
所以⊥平面ABED，
因為平面，
所以平面平面ABED；
（2）以F為坐標原點，FA所在直線為x軸，FB所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則，
設，，，
故，
解得：，
故，
設平面的法向量為，
則，
故，
令，則，故，
其中
則，
解得：或（舍去），
則，
設直線與平面所成角為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為.
5．（2023·福建福州·福建省校考二模）如圖1，在中，為的中點，為上一點，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當時，證明：平面平面；
(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）根據線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.
【解答過程】（1）由已知，有，且，
平面，所以平面，
因為平面，所以.
在Rt中，，
所以.
因為，所以.
且，平面，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）由（1），
所以為二面角的平面角，，
因為為的中點，
所以，， ，，，
如圖，以為坐標原點，分別以為軸 軸正方向建立空間直角坐標系.

則.
設，
則,.
設平面的一個法向量，
由，得，
令，則，所以.
因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
解得或（舍）.
因此，當點為中點時，直線與平面所成角的正弦值為.

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