資源簡介

專題2.1 直線的傾斜角與斜率【九大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求直線的傾斜角】 2
【題型2 求直線的斜率】 2
【題型3 已知直線的傾斜角或斜率求參數】 3
【題型4 直線與線段的相交關系求斜率范圍】 3
【題型5 兩條直線平行的判定】 4
【題型6 由兩直線平行求參數】 5
【題型7 兩條直線垂直的判定】 5
【題型8 由兩直線垂直求參數】 6
【題型9 直線平行、垂直的判定在幾何中的應用】 6
【知識點1 直線的傾斜角與斜率】
1．直線的傾斜角
(1)傾斜角的定義
①當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
②當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.
(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率與傾斜角的對應關系
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點的直線的斜率公式
過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
【注】(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系．
(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據數形結合思想，利用斜率公式求解．
【題型1 求直線的傾斜角】
【例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一?？计谀┲本€的傾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【變式1-1】（2023春·山東青島·高二統考開學考試）已知直線的斜率為,則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023春·江蘇南京·高二?？计谥校┲本€經過，兩點，則直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習）設直線l的斜率為k，且，直線l的傾斜角的取值范圍為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【題型2 求直線的斜率】
【例2】（2023秋·湖南婁底·高二統考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023春·上?！じ叨A段練習）將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角的范圍是，則此直線的斜率k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，設直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 已知直線的傾斜角或斜率求參數】
【例3】（2023春·河南安陽·高二校聯考開學考試）已知點，直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·江蘇連云港·高二統考期末）設為實數，已知過兩點，的直線的斜率為，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式3-2】（2022秋·浙江·高二校聯考期中）已知，，三點共線，則實數（ ）
A．10 B．4 C．－4 D．－10
【變式3-3】（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀┙涍^兩點，的直線的傾斜角是銳角，則實數m的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 直線與線段的相交關系求斜率范圍】
【例4】（2023秋·廣東深圳·高二統考期末）已知、，若直線經過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知，，若直線與線段AB沒有公共點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習）已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2023秋·安徽六安·高二?？计谀┮阎本€和以，為端點的線段相交，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【知識點2 兩條直線平行的判定】
1．兩條直線(不重合)平行的判定
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 兩直線的斜率都不存在
圖示
【題型5 兩條直線平行的判定】
【例5】（2023·高二課時練習）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【變式5-1】（2023秋·江西上饒·高二統考期末）下列與直線平行的直線的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習）是直線與直線平行的（ ）
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要
【變式5-3】（2023秋·高二課時練習）直線l1：(－1)x＋y＝2與直線l2：x＋(＋1)y＝3的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
【題型6 由兩直線平行求參數】
【例6】（2023·江蘇·高二假期作業）已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【變式6-1】（2023秋·高二課時練習）若直線與重合，則m的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式6-2】（2023春·江蘇南通·高二期末）設，則“直線與直線平行”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式6-3】（2023春·河南洛陽·高二統考期末）已知兩條直線：，：，若，則（ ）
A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0
【知識點3 兩條直線垂直的判定】
1．兩條直線垂直的判定
圖示
對應關系 l1⊥l2(兩直線的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率為0 l1⊥l2
【注】判斷兩條直線是否垂直時：
在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與
x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．
【題型7 兩條直線垂直的判定】
【例7】（2023·全國·高三專題練習）直線與直線的位置關系是（ ）
A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合
【變式7-1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根，則l1與l2的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．無法確定
【變式7-2】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）若直線的斜率為，經過點，，則直線和的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合
【變式7-3】（2023春·上海楊浦·高二?？计谥校┫铝懈鹘M直線中，互相垂直的一組是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【題型8 由兩直線垂直求參數】
【例8】（2023春·江西宜春·高二校考期末）若直線與直線垂直，則實數（ ）
A．0 B．1 C． D．
【變式8-1】（2023春·重慶沙坪壩·高一?？计谀┲本€：，則“”是“直線與軸垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式8-2】（2023春·甘肅蘭州·高二?？奸_學考試）已知經過點和點的直線與經過點和點的直線互相垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）若直線與直線垂直，垂足為，則（ ）
A． B．4 C． D．
【題型9 直線平行、垂直的判定在幾何中的應用】
【例9】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習）已知點，，，，試判定四邊形ABCD的形狀．
【變式9-1】（2023秋·高二課時練習）已知的頂點分別為、、，若為直角三角形，求實數m的值．
【變式9-2】（2023·全國·高三對口高考）已知，求點D的坐標，使四邊形ABCD為等腰梯形．
【變式9-3】（2023秋·廣東廣州·高二校考期中）已知四邊形的頂點.
(1)求斜率與斜率；
(2)求證：四邊形為矩形.
專題2.1 直線的傾斜角與斜率【九大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求直線的傾斜角】 2
【題型2 求直線的斜率】 3
【題型3 已知直線的傾斜角或斜率求參數】 5
【題型4 直線與線段的相交關系求斜率范圍】 6
【題型5 兩條直線平行的判定】 9
【題型6 由兩直線平行求參數】 10
【題型7 兩條直線垂直的判定】 11
【題型8 由兩直線垂直求參數】 13
【題型9 直線平行、垂直的判定在幾何中的應用】 14
【知識點1 直線的傾斜角與斜率】
1．直線的傾斜角
(1)傾斜角的定義
①當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
②當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.
(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率與傾斜角的對應關系
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點的直線的斜率公式
過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
【注】(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系．
(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據數形結合思想，利用斜率公式求解．
【題型1 求直線的傾斜角】
【例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）直線的傾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解題思路】根據傾斜角與斜率之間的關系運算求解.
【解答過程】因為的斜率，
所以其傾斜角為30°.
故選：A.
【變式1-1】（2023春·山東青島·高二統考開學考試）已知直線的斜率為,則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據斜率和傾斜角之間的關系即可得傾斜角.
【解答過程】解:因為斜率為-1,設直線傾斜角為,,
所以,即.
故選:D.
【變式1-2】（2023春·江蘇南京·高二?？计谥校┲本€經過，兩點，則直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設出直線的傾斜角，求出其正切值，即斜率，進而可得出傾斜角.
【解答過程】設直線的傾斜角為，由已知可得直線的斜率，
又，所以傾斜角是，
故選：B.
【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習）設直線l的斜率為k，且，直線l的傾斜角的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據傾斜角與斜率的關系得到，結合正切函數的圖象及，數形結合得到直線l的傾斜角的取值范圍.
【解答過程】由題意得：，
因為，且，，
畫出的圖象如下：
所以
故選：D.
【題型2 求直線的斜率】
【例2】（2023秋·湖南婁底·高二統考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據傾斜角與斜率的關系即可求解.
【解答過程】因為直線的傾斜角是，
所以此直線的斜率是.
故選:C.
【變式2-1】（2023春·上?！じ叨A段練習）將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意知直線的斜率為，設其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.
【解答過程】由知斜率為，設其傾斜角為，則，
將直線繞著原點逆時針旋轉，
則
故新直線的斜率是.
故選：B.
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角的范圍是，則此直線的斜率k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用直線斜率的定義結合正切函數的性質即可計算作答.
【解答過程】當直線的傾斜角時，直線的斜率，因，
則當時，，即，當時，，即，
所以直線的斜率k的取值范圍是.
故選：D.
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，設直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接由斜率的定義判斷即可.
【解答過程】由斜率的定義可知，.
故選：A．
【題型3 已知直線的傾斜角或斜率求參數】
【例3】（2023春·河南安陽·高二校聯考開學考試）已知點，直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據斜率公式列式計算即可.
【解答過程】因為直線的傾斜角為，，
可得直線的斜率為，
可得.
故選：C.
【變式3-1】（2023秋·江蘇連云港·高二統考期末）設為實數，已知過兩點，的直線的斜率為，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】根據斜率公式計算可得.
【解答過程】解：因為過兩點，的直線的斜率為，
所以，解得.
故選：C.
【變式3-2】（2022秋·浙江·高二校聯考期中）已知，，三點共線，則實數（ ）
A．10 B．4 C．－4 D．－10
【解題思路】根據三點共線可得，，寫出斜率相等的表達式即可求出參數的值
【解答過程】由題可得：，
故選：A.
【變式3-3】（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀┙涍^兩點，的直線的傾斜角是銳角，則實數m的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意列出相應的不等式，即可得答案.
【解答過程】由題意經過兩點，的直線的傾斜角是銳角，
可知 ，且 ，
解得 ，即實數m的范圍是，
故選：C.
【題型4 直線與線段的相交關系求斜率范圍】
【例4】（2023秋·廣東深圳·高二統考期末）已知、，若直線經過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】作出圖形，數形結合可得出直線的斜率的取值范圍.
【解答過程】過點作，垂足為點，如圖所示：
設直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，
當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，
此時；
當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：D.
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知，，若直線與線段AB沒有公共點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】畫出圖象，對進行分類討論，結合圖象求得的取值范圍.
【解答過程】直線過點，
畫出圖象如下圖所示，
，，
由于直線與線段AB沒有公共點，
當時，直線與線段有公共點，不符合題意，
當時，直線的斜率為，
根據圖象可知的取值范圍是，
所以的取值范圍是.
故選：A.
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習）已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接利用兩點間的坐標公式和直線的斜率的關系求出結果．
【解答過程】解：直線過點且斜率為，與連接兩點，的線段有公共點，
由圖，可知，，
當時，直線與線段有交點．
故選：B．
【變式4-3】（2023秋·安徽六安·高二?？计谀┮阎本€和以，為端點的線段相交，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】根據直線方程得到恒過定點，利用坐標得到，，然后結合圖象可得的取值范圍.
【解答過程】直線恒過定點，且，，
由圖可知，或.
故選：C.
【知識點2 兩條直線平行的判定】
1．兩條直線(不重合)平行的判定
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 兩直線的斜率都不存在
圖示
【題型5 兩條直線平行的判定】
【例5】（2023·高二課時練習）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【解題思路】根據直線平行與斜率之間的關系，逐個選項進行判斷即可.
【解答過程】充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當和都垂直于軸時，與仍然平行，但是，此時不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直線與的斜率相等，則直線與平行或重合，故必要性不成立；
綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的既非充分又非必要條件.
故選：D.
【變式5-1】（2023秋·江西上饒·高二統考期末）下列與直線平行的直線的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【解題思路】根據平行直線斜率相等，截距不等可得答案.
【解答過程】直線斜率為，縱截距為，
A選項：直線斜率為，縱截距為，符合；
B選項：直線斜率為，縱截距為，不符合；
C選項：直線斜率為，縱截距為，不符合；
D選項：直線斜率為，縱截距為，不符合；
故選：A.
【變式5-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二校考階段練習）是直線與直線平行的（ ）
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要
【解題思路】結合直線平行的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷
【解答過程】當m=4，則兩直線方程分別為：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，滿足直線平行，
當m=0時，直線方程分別為：， ，兩直線不平行；
當3m - 4=0，即時，直線方程分別為： ，2x+y+3=0，兩直線不平行；
由直線與直線平行，可知兩直線斜率相等，
即 ，解得m=2或m=4；
當m=2時，兩直線重合，故“”是“直線與直線平行”的充要條件.
故選C.
【變式5-3】（2023秋·高二課時練習）直線l1：(－1)x＋y＝2與直線l2：x＋(＋1)y＝3的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
【解題思路】求出兩直線的斜率及縱截距可知：直線的斜率相等，但截距不等，故二者平行．
【解答過程】由題意可得直線l1的斜率為：﹣（﹣1），在y軸的截距為：2
直線l1的斜率為：﹣=﹣=﹣（﹣1），在y軸的截距為：，
∴直線l1：（﹣1）x+y﹣2=0與直線l2：x+（+1）y﹣3=0的位置關系為：平行
故選A.
【題型6 由兩直線平行求參數】
【例6】（2023·江蘇·高二假期作業）已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【解題思路】由兩點的斜率公式表示出直線的斜率，再由兩直線平行斜率相等列出等式，即可解出答案.
【解答過程】由題意可知，，解得．
故選：A.
【變式6-1】（2023秋·高二課時練習）若直線與重合，則m的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解題思路】將化為一般式，由直線平行求參數m即可.
【解答過程】由題設一般式為，與重合，
所以，則.
故選：D.
【變式6-2】（2023春·江蘇南通·高二期末）設，則“直線與直線平行”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．充要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據充分條件和必要條件的定義結合兩直線平行的性質分析判斷即可.
【解答過程】若直線與直線平行，則；
若，則直線與直線平行，
直線與直線平行是的充分必要條件．
故選：B.
【變式6-3】（2023春·河南洛陽·高二統考期末）已知兩條直線：，：，若，則（ ）
A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0
【解題思路】由可得解得或或，代入檢驗即可得出答案.
【解答過程】：，：，
若，則，即
，解得：或或，
當時，：，：，則；
當時，：，：，則；
當時，：，：，則與重合，舍去；
故選：D.
【知識點3 兩條直線垂直的判定】
1．兩條直線垂直的判定
圖示
對應關系 l1⊥l2(兩直線的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率為0 l1⊥l2
【注】判斷兩條直線是否垂直時：
在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與
x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．
【題型7 兩條直線垂直的判定】
【例7】（2023·全國·高三專題練習）直線與直線的位置關系是（ ）
A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合
【解題思路】分和討論，其中時，寫出兩直線斜率，計算其乘積即可判斷.
【解答過程】當時，直線，直線，此時兩直線垂直，
當時，直線的斜率，直線的斜率，
因為，則兩直線垂直，
綜上兩直線位置關系是垂直，
故選：A.
【變式7-1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根，則l1與l2的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．無法確定
【解題思路】由韋達定理可知，由此可作出判斷.
【解答過程】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有兩相異實根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在．設兩根為x1，x2，則k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．
故選：B.
【變式7-2】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）若直線的斜率為，經過點，，則直線和的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合
【解題思路】根據直線斜率公式，結合兩直線位置關系與斜率的關系進行判斷即可.
【解答過程】因為直線經過點，，
所以直線的斜率為：，
又因為，
所以兩直線垂直，
故選：B.
【變式7-3】（2023春·上海楊浦·高二?？计谥校┫铝懈鹘M直線中，互相垂直的一組是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【解題思路】分別求出兩直線的斜率，根據斜率之積為兩直線垂直，即可判斷.
【解答過程】對于A：直線的斜率為，直線的斜率為，
故兩直線平行，故A錯誤；
對于B：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積不為，即兩直線不垂直，故B錯誤；
對于C：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積不為，即兩直線不垂直，故C錯誤；
對于D：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積為，即兩直線垂直，故D正確；
故選：D.
【題型8 由兩直線垂直求參數】
【例8】（2023春·江西宜春·高二?？计谀┤糁本€與直線垂直，則實數（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解題思路】根據已知條件，結合直線垂直的性質，即可求解．
【解答過程】直線與直線垂直，
則，解得．
故選：．
【變式8-1】（2023春·重慶沙坪壩·高一?？计谀┲本€：，則“”是“直線與軸垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由直線與軸垂直，可得直線的斜率不存在，進而得到，解出的值，再根據充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.
【解答過程】由直線與軸垂直，得直線的斜率不存在，
可得，解得，
所以“”是“直線與軸垂直”的充要條件.
故選：C.
【變式8-2】（2023春·甘肅蘭州·高二校考開學考試）已知經過點和點的直線與經過點和點的直線互相垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【解題思路】求出直線的斜率為，分、兩種情況討論，在時，由兩直線斜率之積為可求得實數的值；在時，直接驗證.綜合可得結果.
【解答過程】直線的斜率．
①當時，直線的斜率．
因為，所以，即，解得．
②當時，、，此時直線為軸，
又、，則直線為軸，顯然．
綜上可知，或.
故選：C.
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）若直線與直線垂直，垂足為，則（ ）
A． B．4 C． D．
【解題思路】根據垂直關系可求，再根據點在直線上可求，，從而可得正確的選項.
【解答過程】因為與直線垂直，故即，
因為垂足為，故，故，
故，
故選：D.
【題型9 直線平行、垂直的判定在幾何中的應用】
【例9】（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習）已知點，，，，試判定四邊形ABCD的形狀．
【解題思路】求出四邊斜率，然后再判斷形狀．
【解答過程】由斜率公式可得：
，
與BC不平行
又，
，
故四邊形ABCD是直角梯形．
【變式9-1】（2023秋·高二課時練習）已知的頂點分別為、、，若為直角三角形，求實數m的值．
【解題思路】根據直角頂點分類討論，由垂直關系列式求解
【解答過程】①若為直角，則，所以，即，解得；
②若為直角，則，所以，即，
解得；
③若為直角，則，所以，即，
解得．
綜上，m的值為，，2或3．
【變式9-2】（2023·全國·高三對口高考）已知，求點D的坐標，使四邊形ABCD為等腰梯形．
【解題思路】根據D的位置分類討論，再根據等腰與兩底平行列方程組解得結果.
【解答過程】設．
若，即在位置，則
即
解方程組，得．
若，即在位置，則即解方程組，得．
故點的坐標為或．
【變式9-3】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谥校┮阎倪呅蔚捻旤c.
(1)求斜率與斜率；
(2)求證：四邊形為矩形.
【解題思路】（1）利用斜率公式求解即可；
（2）利用直線平行與垂直的性質依次證得，，，從而得證.
【解答過程】（1）因為，
所以，即.
（2）因為，所以.
又因為，所以，
所以四邊形為平行四邊形，
又因為，所以，
所以四邊形為矩形.

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