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專題2.2 直線的方程（一）：直線方程的幾種形式【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 直線的點斜式方程及辨析】 2
【題型2 直線的斜截式方程及辨析】 2
【題型3 直線的兩點式方程及辨析】 3
【題型4 直線的截距式方程及辨析】 4
【題型5 直線的一般式方程及辨析】 5
【題型6 直線一般式方程與其他形式之間的互化】 6
【題型7 求直線的方向向量】 7
【題型8 根據直線的方向向量求直線方程】 7
【知識點1 直線的點斜式、斜截式方程】
1．直線的點斜式方程
(1)直線的點斜式方程的定義：
設直線l經過一點，斜率為k，則方程叫作直線l的點斜式方程.
(2)點斜式方程的使用方法：
①已知直線的斜率并且經過一個點時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為l上每一個點的橫坐標都等于x1，所以直線方程為x= x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.
2．直線的斜截式方程
(1)直線的斜截式方程的定義：
設直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.
【題型1 直線的點斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）過兩點的直線方程為( )
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）過點，傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）經過點，且斜率為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習）方程表示（ ）
A．通過點的所有直線 B．通過點且不垂直于y軸的所有直線
C．通過點且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點且除去x軸的所有直線
【題型2 直線的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全國·高二專題練習）直線用斜截式表示，下列表達式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022秋·高二校考課時練習）與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（　?。?
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2022秋·重慶南岸·高二校考期中）經過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023秋·江西吉安·高二?？计谥校┡c直線垂直，且在軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【知識點2 直線的兩點式、截距式方程】
1．直線的兩點式方程
(1)直線的兩點式方程的定義：
設直線l經過兩點 ()，則方程叫作直線l的兩點式方程.
(2)兩點式方程的使用方法：
①已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當時，直線方程為 (或).
③當時，直線方程為 (或).
2．直線的截距式方程
(1)直線的截距式方程的定義：
設直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.
(2)直線的截距式方程的適用范圍：
選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示
過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行(或重合)的直線.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.
②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設直線方程為y=kx，利用直線經過的點的
坐標求解k，得到直線方程.
【題型3 直線的兩點式方程及辨析】
【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023秋·浙江溫州·高二統考期末）過兩點，的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校聯考期中）已知直線過點， 則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2022·高二課時練習）已知直線l經過、兩點，點在直線l上，則m的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【題型4 直線的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）經過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式4-1】（2023秋·吉林·高二校聯考期末）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
【變式4-2】（2023·全國·高二專題練習）若直線過點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直線過，且在兩坐標軸上的截距為相反數，那么直線的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【知識點3 直線的一般式方程】
1．直線的一般式方程
(1)直線的一般式方程的定義：
在平面直角坐標系中，任何一個關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.
對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：
當B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當A=0時，它表示垂直于y軸的直線.
當B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.
(2)一般式方程的使用方法：
直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達式，它適用于任何一條直線.
2．辨析直線方程的五種形式
方程形式 直線方程 局限性 選擇條件
點斜式 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知斜率；②已知
一點
斜截式 y=kx+b 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知在y軸上的截距；②已知斜率
兩點式 不能表示與x軸、
y軸垂直的直線 ①已知兩個定點；②已知兩個截距
截距式 不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點的直線 ①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標軸圍成的三角形的面積
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全為0) 表示所有的直線 求直線方程的最后結果均可以化為一般式方程
【題型5 直線的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二課時練習）經過點，且傾斜角為的直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）在直角坐標系中，直線經過（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
【變式5-2】（2023秋·北京西城·高二?？计谀┮阎本€l過點，且與直線垂直，則直線l的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023秋·廣東江門·高二統考期末）直線（不同時為0），則下列選項正確的是（ ）
A．無論取任何值，直線都存在斜率 B．當，且時，直線只與軸相交
C．當，或時，直線與兩條坐標軸都相交 D．當，且，且時，直線是軸所在直線
【題型6 直線一般式方程與其他形式之間的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）經過點且斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┤绻?， ，那么直線不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式6-2】（2023秋·四川雅安·高二統考期末）若直線的傾斜角為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎本€過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【知識點4 方向向量與直線的參數方程】
1．方向向量與直線的參數方程
除了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯系，它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點斜式方程本質上是一致的.
如圖1，設直線l經過點，=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點，則向量與共線.根據向量共線的充要條件，存在唯一的實數t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，實數t是對應點P的參變數，簡稱參數.
由上可知，對于直線l上的任意一點P(x,y)，存在唯一實數t使①成立；反之，對于參數t的每一個確
定的值，由①可以確定直線l上的一個點P(x,y).我們把①稱為直線的參數方程.
【題型7 求直線的方向向量】
【例7】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023秋·廣東肇慶·高二統考期末）直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2023秋·北京豐臺·高二統考期末）已知經過，兩點的直線的一個方向向量為，那么（ ）
A． B． C． D．2
【變式7-3】（2022秋·高二課時練習）已知直線，且向量是直線l的一個方向向量，則實數的值為（　?。?br/>A． B． C． D．或
【題型8 根據直線的方向向量求直線方程】
【例8】（2023春·河南開封·高二統考期末）已知直線的一個方向向量為，且經過點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-1】（2022秋·廣東廣州·高二校聯考期中）直線的方向向量為，直線過點且與垂直，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（2022秋·北京·高二校考期末）已知直線：經過定點P，直線經過點P，且的方向向量，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（2023秋·重慶渝中·高二?？计谥校┮阎本€l1的方向向量為＝(1，3)，直線l2的方向向量為＝(－1，k)，若直線l2過點(0，5)，且l1⊥l2，則直線l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
專題2.2 直線的方程（一）：直線方程的幾種形式【八大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 直線的點斜式方程及辨析】 2
【題型2 直線的斜截式方程及辨析】 2
【題型3 直線的兩點式方程及辨析】 5
【題型4 直線的截距式方程及辨析】 6
【題型5 直線的一般式方程及辨析】 8
【題型6 直線一般式方程與其他形式之間的互化】 9
【題型7 求直線的方向向量】 11
【題型8 根據直線的方向向量求直線方程】 12
【知識點1 直線的點斜式、斜截式方程】
1．直線的點斜式方程
(1)直線的點斜式方程的定義：
設直線l經過一點，斜率為k，則方程叫作直線l的點斜式方程.
(2)點斜式方程的使用方法：
①已知直線的斜率并且經過一個點時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為l上每一個點的橫坐標都等于x1，所以直線方程為x= x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.
2．直線的斜截式方程
(1)直線的斜截式方程的定義：
設直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.
【題型1 直線的點斜式方程及辨析】
【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）過兩點的直線方程為( )
A． B．
C． D．
【解題思路】根據斜率公式求得直線的斜率，結合點斜式方程，即可求解.
【解答過程】由兩點，可得過兩點的直線的斜率為，
又由直線的點斜式方程，可得，即.
故選：B.
【變式1-1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）過點，傾斜角為的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用直線的點斜式方程求解作答.
【解答過程】依題意，直線的斜率，
所以直線方程為：，即.
故選：B.
【變式1-2】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┙涍^點，且斜率為的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據點斜式方程求解即可.
【解答過程】解：經過點，且斜率為的直線方程是，整理得.
故選：A.
【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習）方程表示（ ）
A．通過點的所有直線 B．通過點且不垂直于y軸的所有直線
C．通過點且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點且除去x軸的所有直線
【解題思路】根據直線的點斜式方程的知識確定正確答案.
【解答過程】為直線的點斜式方程，只能表示斜率存在的直線，且直線過點．
故選：C.
【題型2 直線的斜截式方程及辨析】
【例2】（2022·全國·高二專題練習）直線用斜截式表示，下列表達式中，最合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】化方程為斜截式即可.
【解答過程】直線用斜截式表示為，
故選：B．
【變式2-1】（2022秋·高二?？颊n時練習）與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（　　）.
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據垂直關系確定所求直線的斜率，設出直線方程后再根據橫截距確定與x軸的交點坐標，進而求得待定系數，確定答案.
【解答過程】因為所求的直線與直線垂直，所以，得.
設所求直線為,又因為所求直線在x軸上的截距為2即過點，
求得,所以所求直線的斜截式方程為，
故選：B.
【變式2-2】（2022秋·重慶南岸·高二?？计谥校┙涍^點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據傾斜角求出斜率，寫出點斜式方程，化為斜截式可得答案.
【解答過程】斜率，
點斜式方程為，
斜截式方程為.
故選：A.
【變式2-3】（2023秋·江西吉安·高二?？计谥校┡c直線垂直，且在軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【解題思路】將直線化為斜截式方程，可得出斜率，從而得與直線垂直的直線斜率，再根據所求直線在軸上的截距為4，即可得出所求直線的斜截式方程.
【解答過程】解：由于直線，即，可知斜率，
則與直線垂直的直線斜率為，
由于所求直線在軸上的截距為4，
則所求直線的斜截式方程是.
故選：A.
【知識點2 直線的兩點式、截距式方程】
1．直線的兩點式方程
(1)直線的兩點式方程的定義：
設直線l經過兩點 ()，則方程叫作直線l的兩點式方程.
(2)兩點式方程的使用方法：
①已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用該公式求直線方程.
②當時，直線方程為 (或).
③當時，直線方程為 (或).
2．直線的截距式方程
(1)直線的截距式方程的定義：
設直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.
(2)直線的截距式方程的適用范圍：
選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示
過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行(或重合)的直線.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.
②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設直線方程為y=kx，利用直線經過的點的
坐標求解k，得到直線方程.
【題型3 直線的兩點式方程及辨析】
【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.
【解答過程】由直線的兩點式方程可得，
直線l的方程為，即．
故選：C．
【變式3-1】（2023秋·浙江溫州·高二統考期末）過兩點，的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由兩點式得出直線方程，令，即可解出直線在軸上的截距.
【解答過程】過兩點，的直線的為，
令，解得：，
故選：A.
【變式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校聯考期中）已知直線過點， 則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直接利用兩點式直線方程得，化簡即可.
【解答過程】直線的兩點式方程為：，化簡得，
故選：B.
【變式3-3】（2022·高二課時練習）已知直線l經過、兩點，點在直線l上，則m的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解題思路】根據直線的兩點式方程即可求解.
【解答過程】由題意知不與軸平行，故由直線的兩點式方程可得，解得：，
故選：C.
【題型4 直線的截距式方程及辨析】
【例4】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）經過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據直線過原點和不過原點，即可求解直線方程.
【解答過程】若直線經過原點，則，在坐標軸上的截距均為0，符合題意，
若截距均不為0，則設直線方程為，將代入得，此時直線方程為，
故選：C.
【變式4-1】（2023秋·吉林·高二校聯考期末）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
【解題思路】由題意，分截距為或不為兩種情況，分別設對應的直線方程，代入已知點，可得答案.
【解答過程】顯然，所求直線的斜率存在．
當兩截距均為時，設直線方程為，將點代入得，此時直線方程為；
當兩截距均不為時，設直線方程為，將點代入得，此時直線方程為．
故選：D．
【變式4-2】（2023·全國·高二專題練習）若直線過點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】已知直線的過點點，可通過直線方程的截距式得出其方程為.
【解答過程】由直線過點，則直線的方程為即.
故選：A .
【變式4-3】（2023秋·安徽六安·高二?？计谀┮阎本€過，且在兩坐標軸上的截距為相反數，那么直線的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【解題思路】根據直線在兩坐標軸上的截距為相反數，可以分兩種情況來討論，兩坐標軸上的截距都為0時和兩坐標軸上的截距互為相反數且不等于0時，即可求解.
【解答過程】（1）當坐標軸上的截距都為0時，直線過原點，設直線方程為
把點代入求出，即直線方程為
（2）當坐標軸上的截距互為相反數且不等于0時，設直線方程為，
把點代入求出，即直線方程為
綜上，直線方程為或
故選：A.
【知識點3 直線的一般式方程】
1．直線的一般式方程
(1)直線的一般式方程的定義：
在平面直角坐標系中，任何一個關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.
對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：
當B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當A=0時，它表示垂直于y軸的直線.
當B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.
(2)一般式方程的使用方法：
直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達式，它適用于任何一條直線.
2．辨析直線方程的五種形式
方程形式 直線方程 局限性 選擇條件
點斜式 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知斜率；②已知
一點
斜截式 y=kx+b 不能表示與x軸垂直的直線 ①已知在y軸上的截距；②已知斜率
兩點式 不能表示與x軸、
y軸垂直的直線 ①已知兩個定點；②已知兩個截距
截距式 不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點的直線 ①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標軸圍成的三角形的面積
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不全為0) 表示所有的直線 求直線方程的最后結果均可以化為一般式方程
【題型5 直線的一般式方程及辨析】
【例5】（2023秋·高二課時練習）經過點，且傾斜角為的直線的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程.
【解答過程】由直線的傾斜角為知，直線的斜率，
因此，其直線方程為，即.
故選：A.
【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）在直角坐標系中，直線經過（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
【解題思路】根據直線方程得到其與坐標軸的交點，從而可得出結果.
【解答過程】由，令可得，；令可得；
即直線過點，，
所以直線經過一、二、三象限.
故選：A.
【變式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直線l過點，且與直線垂直，則直線l的一般式方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意設直線方程為，然后將點坐標代入求出，從而可求出直線方程
【解答過程】因為直線與直線垂直，所以設直線方程為，
因為直線過點，所以，得，
所以直線方程為，
故選：B.
【變式5-3】（2023秋·廣東江門·高二統考期末）直線（不同時為0），則下列選項正確的是（ ）
A．無論取任何值，直線都存在斜率 B．當，且時，直線只與軸相交
C．當，或時，直線與兩條坐標軸都相交 D．當，且，且時，直線是軸所在直線
【解題思路】結合直線的方程依次分析各選項即可得答案.
【解答過程】解：對于A選項，當，且時，直線斜率不存在，故錯誤；
對于B選項，當，且，時，直線只與軸相交；當，且，時，直線與軸重合，故錯誤；
對于C選項，當，且時，直線與兩條坐標軸都相交，故錯誤；
對于D選項，當，且，且時，直線方程為，即軸所在直線，故正確.
故選：D.
【題型6 直線一般式方程與其他形式之間的互化】
【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）經過點且斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】寫出點斜式，再化為一般式即可.
【解答過程】由點斜式得，即.
故選：A.
【變式6-1】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┤绻?， ，那么直線不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】直線變換為，確定，，得到直線不經過的象限.
【解答過程】由可得，，
因為，，故，.
故直線不經過第四象限.
故選：D.
【變式6-2】（2023秋·四川雅安·高二統考期末）若直線的傾斜角為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將直線方程化為點斜式方程，再根據斜率與傾斜角的關系求解即可.
【解答過程】解：由題知，故將直線方程化為點斜式方程得，
因為直線的傾斜角為，
所以直線的斜率為，即，解得.
故選：A.
【變式6-3】（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎本€過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】當截距為0時，設出直線的點斜式；當截距不為0時，設出直線的截距式，進而將點代入方程解出參數，最后得到答案.
【解答過程】當直線在兩坐標軸上的截距都為0時，設直線的方程為，
把點代入方程，得，即，所以直線的方程為；
當直線在兩坐標軸上的截距都不為0時，設直線的方程為，
把點代入方程，得，即，所以直線的方程為．
故選：D．
【知識點4 方向向量與直線的參數方程】
1．方向向量與直線的參數方程
除了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯系，它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點斜式方程本質上是一致的.
如圖1，設直線l經過點，=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點，則向量與共線.根據向量共線的充要條件，存在唯一的實數t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，實數t是對應點P的參變數，簡稱參數.
由上可知，對于直線l上的任意一點P(x,y)，存在唯一實數t使①成立；反之，對于參數t的每一個確
定的值，由①可以確定直線l上的一個點P(x,y).我們把①稱為直線的參數方程.
【題型7 求直線的方向向量】
【例7】（2023·上海·高二專題練習）直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】在直線上任取兩個不重合的點，可得出直線的一個方向向量.
【解答過程】在直線上取點、，
故直線的一個方向向量為.
故選：A.
【變式7-1】（2023秋·廣東肇慶·高二統考期末）直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接根據方向向量的定義解答即可.
【解答過程】明顯，
直線即為，
所以直線的一個方向向量是.
故選：D.
【變式7-2】（2023秋·北京豐臺·高二統考期末）已知經過，兩點的直線的一個方向向量為，那么（ ）
A． B． C． D．2
【解題思路】根據直線的方向向量與斜率的關系求解.
【解答過程】由題意，解得：.
故選：A.
【變式7-3】（2022秋·高二課時練習）已知直線，且向量是直線l的一個方向向量，則實數的值為（　?。?br/>A． B． C． D．或
【解題思路】根據題意得到直線的一個方向向量為，再結合已知條件，利用向量共線求解即可.
【解答過程】因為直線，直線的一個方向向量為，
又因為向量是直線l的一個方向向量，
所以，解得或.
故選：D.
【題型8 根據直線的方向向量求直線方程】
【例8】（2023春·河南開封·高二統考期末）已知直線的一個方向向量為，且經過點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由直線的方向向量求出直線的斜率，再由點斜式求出直線方程.
【解答過程】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，
又直線經過點，所以直線的方程為，即.
故選：D.
【變式8-1】（2022秋·廣東廣州·高二校聯考期中）直線的方向向量為，直線過點且與垂直，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先由直線的方向向量求得，再利用直線垂直的性質求得，從而利用點斜式即可求得直線的方程.
【解答過程】因為直線的方向向量為，所以，
又因為直線與垂直，所以，故，
所以由直線過點可得，直線的方程為，即.
故選：A.
【變式8-2】（2022秋·北京·高二?？计谀┮阎本€：經過定點P，直線經過點P，且的方向向量，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】直線方程變為，可得定點 .根據的方向向量，可得斜率為，代入點斜式方程，化簡為一般式即可.
【解答過程】可變形為，
解得，即點坐標為.
因為，所以直線的斜率為，又過點 ，
代入點斜式方程可得，整理可得.
故選：A.
【變式8-3】（2023秋·重慶渝中·高二?？计谥校┮阎本€l1的方向向量為＝(1，3)，直線l2的方向向量為＝(－1，k)，若直線l2過點(0，5)，且l1⊥l2，則直線l2的方程是（ ）
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
【解題思路】根據l1⊥l2，求得l2的斜率即可.
【解答過程】k1＝3，k2＝－k，又l1⊥l2，
∴3×(－k)＝－1.
∴k＝，
∴l2的斜率為－，
∴l2：x＋3y－15＝0.
故選：B.

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