資源簡介

專題2.3 直線的方程（二）【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求直線方程】 1
【題型2 直線過定點問題】 2
【題型3 求與已知直線垂直的直線方程】 3
【題型4 求與已知直線平行的直線方程】 3
【題型5 根據兩直線平行求參數】 4
【題型6 根據兩直線垂直求參數】 4
【題型7 直線方程的實際應用】 5
【知識點1 求直線方程的一般方法】
1．求直線方程的一般方法
(1)直接法
直線方程形式的選擇方法：
①已知一點常選擇點斜式；
②已知斜率選擇斜截式或點斜式；
③已知在兩坐標軸上的截距用截距式；
④已知兩點用兩點式，應注意兩點橫、縱坐標相等的情況.
(2)待定系數法
先設出直線的方程，再根據已知條件求出未知系數，最后代入直線方程.
利用待定系數法求直線方程的步驟：①設方程；②求系數；③代入方程得直線方程.
若已知直線過定點，則可以利用直線的點斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用點斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).
【題型1 求直線方程】
【例1】（2023·全國·高三專題練習）過點和直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）經過點且傾斜角為的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽·高二校考期末）過點在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式1-3】（2023秋·高一單元測試）經過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【題型2 直線過定點問題】
【例2】（2023·全國·高二專題練習）直線，當變動時，所有直線恒過定點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）不論取任何實數，直線恒過一定點，則該定點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·全國·高三對口高考）以下關于直線的說法中，不正確的是（ ）
A．直線一定不經過原點
B．直線一定不經過第三象限
C．直線一定經過第二象限
D．直線可表示經過點的所有直線
【知識點2 兩條直線的位置關系】
1．兩條直線的位置關系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （當時，記為）
垂直 k1·k2=-1 （當時，記為）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （當時，記為）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （當時，記為）
【題型3 求與已知直線垂直的直線方程】
【例3】（2023春·新疆伊犁·高二校考期中）過點且垂直于直線 的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023秋·高二課時練習）過點，且與原點距離最遠的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2023·高三課時練習）已知，，，則過點且與線段垂直的直線方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2023·吉林·統考模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 求與已知直線平行的直線方程】
【例4】（2023春·天津北辰·高二校考階段練習）過點且平行于直線的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）若直線與互相平行，且過點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023秋·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）與直線平行，且與直線交于軸上的同一點的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2022秋·天津西青·高二校考期中）直線過定點，若直線過點且與平行，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 根據兩直線平行求參數】
【例5】（2023春·河南·高二聯考開學考試）已知直線與平行，則（ ）
A．2 B．3 C． D．2或
【變式5-1】（2023秋·湖北黃岡·高二校考期末），，若，則（ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．3
【變式5-2】（2022·全國·高二專題練習）已知條件：直線與直線平行，條件，則是的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習）已知直線過、兩點，直線的方程為，如果，則值為（ ）
A．-3 B． C． D．3
【題型6 根據兩直線垂直求參數】
【例6】（2023春·貴州·高二校聯考期中）直線與直線垂直，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022秋·湖南長沙·高二校考期中）若直線與互相垂直，則等于（ ）
A． B． C．或 D．
【變式6-2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2022·全國·高一假期作業）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【知識點3 直線方程的實際應用】
1．直線方程的實際應用
利用直線方程解決實際問題，一般先根據實際情況建立直角坐標系，然后分析直線斜率是否存在，從
而能夠為解決問題指明方向，避免解決問題出現盲目性.
【題型7 直線方程的實際應用】
【例7】（2022·高二課時練習）有一根蠟燭點燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點燃21min后，蠟燭長為8.4cm.已知蠟燭長度(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（ ）
A．25min B．35min C．40min D．45min
【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習）我國魏晉時期的數學家劉徽創立了割圓術，也就是用內接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內接正多邊形邊數無限增加時，其周長就越逼近圓周長這種用極限思想解決數學問題的方法是數學史上的一項重大成就，現作出圓的一個內接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為
A． B．
C． D．
【變式7-2】（2022·全國·高二專題練習）為了綠化城市，準備在如圖所示的區域內修建一個矩形的草坪，其中，點Q在上，且，，經測量，，，．
（1）如圖建立直角坐標系，求線段所在直線的方程；
（2）在（1）的基礎上，應如何設計才能使草坪的占地面積最大，確定此時點Q的坐標并求出此最大面積（精確到）
【變式7-3】（2022秋·江蘇揚州·高二校考階段練習）公路AM，AN圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中在該塊土地中P處有一小型建筑，經測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km、現要過點P修建一條直線型公路BC，將三條公路圍成的區域ABC建成一個工業園，如圖．
（1）記，并設，試確定k的取值范圍；
（2）設三角形區域工業園的占地面積為S，試將S表示成k的函數；
（3）為盡量減少耕地占用，如何確定點B的位置，使得該工業園區的面積最小？并求最小面積．
專題2.3 直線的方程（二）【七大題型】
【人教A版（2019）】
【題型1 求直線方程】 1
【題型2 直線過定點問題】 3
【題型3 求與已知直線垂直的直線方程】 4
【題型4 求與已知直線平行的直線方程】 6
【題型5 根據兩直線平行求參數】 7
【題型6 根據兩直線垂直求參數】 9
【題型7 直線方程的實際應用】 10
【知識點1 求直線方程的一般方法】
1．求直線方程的一般方法
(1)直接法
直線方程形式的選擇方法：
①已知一點常選擇點斜式；
②已知斜率選擇斜截式或點斜式；
③已知在兩坐標軸上的截距用截距式；
④已知兩點用兩點式，應注意兩點橫、縱坐標相等的情況.
(2)待定系數法
先設出直線的方程，再根據已知條件求出未知系數，最后代入直線方程.
利用待定系數法求直線方程的步驟：①設方程；②求系數；③代入方程得直線方程.
若已知直線過定點，則可以利用直線的點斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用點斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).
【題型1 求直線方程】
【例1】（2023·全國·高三專題練習）過點和直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先利用斜率公式求得直線的斜率，再利用點斜式即可得解.
【解答過程】因為直線過點和，
所以，
所以直線方程為，即.
故選：A.
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）經過點且傾斜角為的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程；
【解答過程】由傾斜角為知，直線的斜率，
因此，其直線方程為，即，
故選：B.
【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽·高二校考期末）過點在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】按截距為0和不為0分類討論分別求得符合題意的直線方程
【解答過程】當截距時，設直線方程為，
將，代入得，∴方程為
當截距時，過原點和點的直線方程為
又且在兩坐標軸上的截距相等，
∴過點A且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為和
故選：D.
【變式1-3】（2023秋·高一單元測試）經過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【解題思路】由題意設直線為，根據直線與坐標軸所圍成三角形的面積，應用三角形面積公式求參數k，即可確定直線方程.
【解答過程】由題意，直線斜率一定存在，設所求方程為，即.
由，得或.
故所求直線方程為或.
故選：D.
【題型2 直線過定點問題】
【例2】（2023·全國·高二專題練習）直線，當變動時，所有直線恒過定點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】整理所得直線方程為，根據題意，即可求得結果.
【解答過程】把直線方程整理為，
令，故，所以直線恒過定點為.
故選：C.
【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習）直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將直線變形為，由且，即可求出定點．
【解答過程】將變形為：，令且，解得，
所以直線恒過定點.
故選：A.
【變式2-2】（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）不論取任何實數，直線恒過一定點，則該定點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】整理直線方程，根據直線過定點的求法直接求解即可.
【解答過程】直線方程可整理為：，
則由得：，即直線恒過定點.
故選：B.
【變式2-3】（2023·全國·高三對口高考）以下關于直線的說法中，不正確的是（ ）
A．直線一定不經過原點
B．直線一定不經過第三象限
C．直線一定經過第二象限
D．直線可表示經過點的所有直線
【解題思路】首先求出直線過定點坐標，即可判斷A、D，再分、、三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B、C；
【解答過程】對于直線，令，解得，故直線恒過點，
一定不經過原點，故A正確；
當時直線即為，直線過二、三象限，
當時直線即為，
若，則，，直線過一、二、三象限，
若，則，，直線過二、三、四象限，
所以直線一定過二、三象限，故B錯誤，C正確；
因為直線恒過點，所以直線可表示經過點的所有直線，
故選：B.
【知識點2 兩條直線的位置關系】
1．兩條直線的位置關系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （當時，記為）
垂直 k1·k2=-1 （當時，記為）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （當時，記為）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （當時，記為）
【題型3 求與已知直線垂直的直線方程】
【例3】（2023春·新疆伊犁·高二校考期中）過點且垂直于直線 的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據兩直線垂直關系，設出所求直線方程，代入，即可求解.
【解答過程】設所求的直線方程為，
代入方程解得，
所求的直線方程為.
故選：B.
【變式3-1】（2023秋·高二課時練習）過點，且與原點距離最遠的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據垂直關系可得斜率，由點斜式即可求解.
【解答過程】當直線與垂直時，此時原點到直線的距離最大，
,所以所求直線斜率為，由點斜式可得直線方程為，即，
故選：C.
【變式3-2】（2023·高三課時練習）已知，，，則過點且與線段垂直的直線方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】求出直線的斜率，可得其垂線的斜率，再利用點斜式可求出答案
【解答過程】解：因為，
所以與垂直的直線的斜率為，
所以過點且與線段垂直的直線方程為
，即，
故選：D.
【變式3-3】（2023·吉林·統考模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設邊上的高所在的直線為，求出直線l的斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案.
【解答過程】設邊上的高所在的直線為，
由已知可得，，所以直線l的斜率.
又過，所以的方程為，
整理可得，.
故選：A.
【題型4 求與已知直線平行的直線方程】
【例4】（2023春·天津北辰·高二校考階段練習）過點且平行于直線的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先設出平行于直線的直線系方程，再將點代入方程，進而求得所求直線的方程.
【解答過程】平行于直線的直線方程可設為
又所求直線過點
則，解之得，
則所求直線為
故選：A.
【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）若直線與互相平行，且過點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意設直線的方程為，然后將點代入直線中，可求出的值，從而可得直線的方程
【解答過程】因為直線與互相平行，所以設直線的方程為，
因為直線過點，
所以，得，
所以直線的方程為，
故選：D.
【變式4-2】（2023秋·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）與直線平行，且與直線交于軸上的同一點的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出直線交于軸交點，再設與直線平行的直線方程，代入點的坐標得解.
【解答過程】設直線交于軸于點，令，則，
所求直線與平行，設，把
代入得
所求直線方程為：
故選：C.
【變式4-3】（2022秋·天津西青·高二校考期中）直線過定點，若直線過點且與平行，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據直線方程可求得定點；根據直線平行求得直線斜率；利用點斜式方程求得的方程，整理可得一般式方程.
【解答過程】由得： 直線過定點
又直線的斜率且與直線平行 直線斜率為
直線的方程為：，即：，
故選：.
【題型5 根據兩直線平行求參數】
【例5】（2023春·河南·高二聯考開學考試）已知直線與平行，則（ ）
A．2 B．3 C． D．2或
【解題思路】由直線平行的條件求解即可.
【解答過程】因為，所以，解得或．當時，與重合．故．
故選：A.
【變式5-1】（2023秋·湖北黃岡·高二校考期末），，若，則（ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．3
【解題思路】利用直線平行的性質求解即可.
【解答過程】因為，，，
當，即時，，此時與不平行；
當，即時，有，解得，
經檢驗，當時，，
所以.
故選：D.
【變式5-2】（2022·全國·高二專題練習）已知條件：直線與直線平行，條件，則是的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】先求出兩條直線平行時對應的的值，再判斷兩者之間的條件關系.
【解答過程】若直線與直線平行，則，故.
當時，為，
此時直線與直線平行.
當時，為，
此時直線與直線平行.
故若直線與直線平行，則，推不出，
若，則直線與直線平行.
故是的必要不充分條件.
故選：C.
【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習）已知直線過、兩點，直線的方程為，如果，則值為（ ）
A．-3 B． C． D．3
【解題思路】先求直線斜率，再根據兩直線平行列式求得值.
【解答過程】因為直線過、兩點，所以直線斜率為，
因為直線的方程為，所以直線斜率為，
因為，所以
故選：D.
【題型6 根據兩直線垂直求參數】
【例6】（2023春·貴州·高二校聯考期中）直線與直線垂直，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用平面內兩直線垂直，得，解之即可．
【解答過程】因為直線與直線垂直，
所以，解得.
故選：B.
【變式6-1】（2022秋·湖南長沙·高二校考期中）若直線與互相垂直，則等于（ ）
A． B． C．或 D．
【解題思路】根據兩條直線互相垂直列關于的方程求解.
【解答過程】因為直線與互相垂直，
所以，化簡得，
解得或.
故選：C.
【變式6-2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由兩直線垂直得，進而根據垂足是兩條直線的交點代入計算即可得答案.
【解答過程】由兩直線垂直得，解得，
所以原直線直線可寫為，
又因為垂足為同時滿足兩直線方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故選:D.
【變式6-3】（2022·全國·高一假期作業）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解題思路】根據得到，再將化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結果.
【解答過程】因為，所以，即，
因為，所以，
所以 ，
當且僅當時，等號成立.
故選：D.
【知識點3 直線方程的實際應用】
1．直線方程的實際應用
利用直線方程解決實際問題，一般先根據實際情況建立直角坐標系，然后分析直線斜率是否存在，從
而能夠為解決問題指明方向，避免解決問題出現盲目性.
【題型7 直線方程的實際應用】
【例7】（2022·高二課時練習）有一根蠟燭點燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點燃21min后，蠟燭長為8.4cm.已知蠟燭長度(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（ ）
A．25min B．35min C．40min D．45min
【解題思路】根據已知條件可知直線方程的斜率及所過的點，進而得到直線方程，再求蠟燭從點燃到燃盡所耗時間即可.
【解答過程】由題意知：蠟燭長度(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程，過兩點，故其斜率，
∴直線方程為，
∴當蠟燭燃盡時，有，即，
故選：B.
【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習）我國魏晉時期的數學家劉徽創立了割圓術，也就是用內接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內接正多邊形邊數無限增加時，其周長就越逼近圓周長這種用極限思想解決數學問題的方法是數學史上的一項重大成就，現作出圓的一個內接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意求解題中所給的直線方程，對比選項，利用排除法即可求得最終結果.
【解答過程】如圖所示可知，
所以直線AB，BC，CD的方程分別為：
整理為一般式即：
分別對應題中的ABD選項.
故選C.
【變式7-2】（2022·全國·高二專題練習）為了綠化城市，準備在如圖所示的區域內修建一個矩形的草坪，其中，點Q在上，且，，經測量，，，．
（1）如圖建立直角坐標系，求線段所在直線的方程；
（2）在（1）的基礎上，應如何設計才能使草坪的占地面積最大，確定此時點Q的坐標并求出此最大面積（精確到）
【解題思路】（1）根據題意可得，根據直線的截距式方程即可求解.
（2）設，可得，展開配方即可求解.
【解答過程】（1）由題意得，
所以線段所在直線的方程為，即；
（2）設，則草坪的占地面積
故當時，，此時．
【變式7-3】（2022秋·江蘇揚州·高二校考階段練習）公路AM，AN圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中在該塊土地中P處有一小型建筑，經測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km、現要過點P修建一條直線型公路BC，將三條公路圍成的區域ABC建成一個工業園，如圖．
（1）記，并設，試確定k的取值范圍；
（2）設三角形區域工業園的占地面積為S，試將S表示成k的函數；
（3）為盡量減少耕地占用，如何確定點B的位置，使得該工業園區的面積最小？并求最小面積．
【解題思路】（1）由傾斜角的范圍得出斜率范圍；
（2）以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系，得到直線AN的方程是，
設點，根據點P到直線的距離公式得到P點坐標，顯然直線BC的斜率存在，
設直線BC的方程為，求出B點坐標，由直線聯立，得到C點坐標，表示出的面積為S，建立關于k的函數關系式．
（3）由（2）得由解得S的范圍，得出結果．
【解答過程】（1）由題意得，所以，
即．
（2）以點A為原點，AM所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則由已知得AN所在直線的方程為，即．
根據已知設P點坐標為，由點P到公路AN的距離為得．
解得或當時，點P不在指定區域，故舍去，所以．
所以公路BC所在直線的方程為．
令，得，即．
將代入得，，
即
所以．
（3）由（2）得．
有解得舍或．
當時，，滿足條件．
故面積的最小值為15，此時．
綜上所述，當點B距離點A5km時，該工業園區的面積最小，最小面積為．

展開更多......

收起↑