資源簡介

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專題2-1 二元一次方程 +專題2-2二元一次方程組
模塊1：學習目標
1. 認識二元一次方程、二元一次方程組及它們的解的定義；.
2. 會檢驗一組數是不是某個二元一次方程（組）的解。
模塊2：知識梳理
1.二元一次方程：含有兩個未知數，且所含未知數的次數項的次數都是1的方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值（有序數對）
3.檢驗二元一次方程解的方法：將有序數對帶入方程中，若等式都成立，則為方程的解；若有等式不成立，則不是方程的解。
4.將幾個相同未知數的一次方程聯合起來，就組成了二元一次方程組。
注：二元一次方程組不一定都是二元一次方程組合而成，方程個數也不一定是兩個。
5.判斷二元一次方程組的方法：
①方程組中是否一共有兩個未知數;②含未知數的項的次數是否都是1;③是否含有多個方程組成.
6.二元一次方程組的兩個方程公共解叫作二元一次方程組的解。
7.檢驗二元一次方程組解的方法：將有序數對帶入方程中，若方程組等式都成立，則為方程組的解；若有方程不成立，則不是方程的解。
注：方程組中只要有一個方程帶入后不成立，則不是方程的解。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 二元一次方程的定義
例1．（2023·重慶璧山·七年級期中）下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二元一次方程的定義選擇即可．
【詳解】A．方程中含未知數的項的最高次數為2，故該選項不是二元一次方程，不符合題意；
B．方程中含未知數的項的最高次數為2，故該選項不是二元一次方程，不符合題意；
C．不是整式方程，故該選項不是二元一次方程，不符合題意；
D．符合二元一次方程的定義，符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查二元一次方程的定義．掌握含有兩個未知數，且含未知數的項的次數是1的整式方程叫做二元一次方程是解題關鍵．
變式1．（2023·河北·邯鄲市七年級期中）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣y＝1 B．xy+2y＝3 C．π+2x＝5 D．+y＝4
【答案】A
【分析】直接利用二元一次方程的定義（含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程）分析得出答案．
【詳解】解：A、符合二元一次方程的定義，故此選項符合題意；
B、含有未知數的項的最高次數為2，是二元二次方程，故此選項不合題意；
C、是一元一次方程，故此選項不合題意；
D、不是整式方程，故此選項不合題意．故選：A．
【點睛】此題主要考查了二元一次方程的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．
變式2．（2023·廣東·七年級階段練習）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二元一次方程滿足的條件：只含有2個未知數，最高次項的次數是1的整式方程，直接進行判斷．
【詳解】：解：A.該方程的最高次項的次數是2，是二元二次方程，故本選項錯誤；
B.該方程符合二元一次方程的定義，故本選項正確；
C.該方程中含有3個未知數，是三元一次方程，故本選項錯誤；
D.該方程不是整式方程，故本選項錯誤．故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程的定義．二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數；（2）含未知數項的最高次數為一次；（3）方程是整式方程．
考點2. 二元一次方程的解
例1．（2023·山東七年級月考）是下列哪個方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將，分別代入方程計算即可．
【詳解】解：當，時，
A．，故，不是方程的解，故選項A不符合題意；
B．，故，不是方程的解，故選項B不符合題意；
C．，故，不是方程的解，故選項C不符合題意；
D．，故，是方程的解，故選項D符合題意．故選：D．
【點睛】此題考查了二元一次方程的解，正確理解二元一次方程的解即為使方程等號左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．
變式1.（2023·陜西咸陽·八年級校考階段練習）寫出二元一次方程的一組解________．（寫出一組即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】給x一個值，代入二元一次方程，求出y的值，即可得出二元一次方程的一個解．
【詳解】解：令，則，解得：，
∴是二元一次方程的一組解．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解，解題的關鍵是理解二元一次方程解的定義．
變式2．（2023·河南·七年級課時練習）對于二元一次方程，下列說法不正確的是（ ）
A．它有無數多個解 B．它有無數多個整數解
C．它只有一個非負整數解 D．它沒有正整數解
【答案】C
【分析】根據二元一次方程的解的含義，整數解，非負整數解，正整數解的含義逐一判斷即可.
【詳解】解：二元一次方程，它有無數多個解，說法正確，故不符合題意；
它有無數多個整數解，說法正確，故不符合題意；它只有一個非負整數解，說法錯誤，
它的非負整數解為：有兩個，故符合題意；
它沒有正整數解，說法正確，故不符合題意；故選：
【點睛】本題考查的是二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的個數，整數解，非負整數解，正整數解的含義是解題的關鍵.
考點3. 二元一次方程組的定義
例1．（2023·浙江長興·期中）下到方程組中，屬于二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可．
【解析】解：A、屬于二元一次方程組，符合題意；B、有三個未知數，不屬于二元一次方程組，不符合題意；C、屬于二元二次方程組，不符合題意；
D、屬于二元二次方程組，不符合題意，故選：A．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關鍵．
變式1．（2023·吉林七年級期中）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二元一次方程組的定義求解即可．二元一次方程組：由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組．
【詳解】解：A、中有3個未知數，不是二元一次方程組，不符合題意；
B、未知數x的次數是2，不是二元一次方程組，不符合題意；
C、由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數，故是二元一次方程組，符合題意；
D、中xy的次數是2，不是二元一次方程組，不符合題意．故選：C．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的定義，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程組的定義．二元一次方程組：由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組．
變式2.（2023·浙江·九年級模擬）下列方程組中是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二元一次方程組的定義判斷即可．
【詳解】A、不是整式方程，故此選項錯誤；B、符合二元一次方程組的定義，故此選項正確；
C、含有三個未知數，故此選項錯誤；D、未知數的次數是2，故此選項錯誤；故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個二元一次方程組成的方程組”，細心觀察排除，得出正確答案．
考點4. 二元一次方程組的解
例1．（2023·浙江臺州·七年級期末）方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可．
【詳解】解：②-①得：，
把代入①得，解得：，
∴方程組的解為，故D正確．故選：D．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握解二元一次方程組的一般步驟．
變式1．（2023·廣西河池·七年級期末）下列方程組中，以為解的二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將解代入方程組的方程，判斷是否使方程成立即可．
【詳解】解：將代入中得：，方程左右兩邊相等，
將代入中得：，方程左右兩邊相等，
∴是方程組的解，故選：A．
【點睛】本題考查了方程組的解“二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”．
變式2．（2023·江蘇宿遷·七年級期末）二元一次方程有無數個解，下列各組數值中，不是該方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將選項中的解代入方程中即可判斷是否為正確的解．
【詳解】解：A．，此選項不符合題意；B．，此選項符合題意；
C．，此選項不符合題意；D．，此選項不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組解的問題，解題的關鍵是進行正確的計算．
考點5. 根據二元一次方程的定義求參數
例1．（2023·四川眉山·七年級期末）若是關于x、y的二元一次方程，則k的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根據二元一次方程的定義進行解答即可．
【詳解】解：∵是關于x、y的二元一次方程，
∴，解得：，故C正確．故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，根據二元一次方程的定義列出是解題的關鍵．
變式1．（2023·廣東·江東七年級階段練習）若3－=5是二元一次方程，m+n=______．
【答案】3
【分析】含有兩個未知數，且含未知數的項的次數是1的整式方程是二元一次方程，根據定義得到2m-3=1，2n-1=1，求出m，n即可得到答案．
【詳解】解：由題意的，2m-3=1，2n-1=1，解得m=2，n=1，∴m+n=2+1=3，故答案為：3．
【點睛】此題考查了二元一次方程的定義，熟記定義是解題的關鍵．
變式2．（2023·廣東·九年級期中）若關于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，則m，n的值是（　　）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝－ D．m＝－，n＝
【答案】A
【分析】根據二元一次方程定義可得2m﹣1＝1，n+2＝1，再解即可．
【詳解】解：由題意得：2m﹣1＝1，n+2＝1，解得：m＝1，n＝﹣1，故選：A．
【點睛】此題主要考查了二元一次方程定義，掌握二元一次方程需滿足三個條件是解題的關鍵：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數．③所有未知項的次數都是一次．
考點6. 根據二元一次方程組的定義求參數
例1．（2023·日照市七年級期中）若方程組是二元一次方程組，則a的值為________．
【答案】-3
【分析】根據二元一次方程組的定義得到|a|-2=1且a-3≠0，然后解方程與不等式即可得到滿足條件的a的值．
【詳解】解：∵方程組是二元一次方程組，∴|a|-2=1且a-3≠0，∴a=-3，故答案為：-3．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
變式1．（2023·成都·七年級）若是關于，的二元一次方程組，則__，__，__．
【答案】 3或2
【分析】二元一次方程組的定義：（1）含有兩個未知數；（2）含有未知數的項的次數都是1，據此列式即可求解．
【詳解】解：是關于，的二元一次方程組，
，或0，，解得：或2，，，答案：3或2，，
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的定義，利用它的定義即可求出代數式的解．
考點7：根據二元一次方程的解求參數
例1．（2023·山東臨沂·七年級期末）已知是關于x，y的二元一次方程的一個解，那么a的值為（ ）
A．3 B．2 C． 2 D． 3
【答案】A
【分析】把代入方程，即可求解．
【詳解】解：∵是關于x，y的二元一次方程的一個解，
∴，解得：．故選：A
【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的一組未知數的值是方程的解是解題的關鍵．
變式1．（2023·吉林市七年級期末）已知是關于，為未知數的方程的解，則______．
【答案】
【分析】利用二元一次方程的解的意義將方程的解代入運算即可．
【詳解】解：是關于，為未知數的方程的解，
，．故答案為：．
【點睛】本題考查二元一次方程的解，利用二元一次方程的解的意義將方程的解代入是解題的關鍵．
變式2．（2023·廣西百色·統考二模）若是方程的一個解，則代數式____．
【答案】3
【分析】把代入方程nx+6y=4得出-2n+6m=4，求出3m-n=2，再代入求出即可．
【詳解】解：∵是方程nx+6y=4的一個解，
∴代入得：-2n+6m=4，∴3m-n=2，∴3m-n+1=2+1=3，故答案為：3．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解和求代數式的值，能求出3m-n=2是解此題的關鍵．
考點8：已知二元一次方程組的解求參數
例1．（2023·河南·七年級階段練習）已知是二元一次方程組的解，則的值為（ ）
A．8 B．5 C．3 D．10
【答案】A
【分析】首先將x，y的值代入方程組得到關于m、n的方程組，解方程組即可求出答案．
【詳解】解：由題意，得，解得，∴，故選：A．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解的定義、二元一次方程組的解法．熟練掌握一元二次方程組的解與二元一次方程的關系是解題的關鍵．
變式1．（2023浙江蕭山·期末）若二元一次方程組的解為，則a+b的值是(　　　)
A．9 B．6 C．3 D．1
【答案】C
【分析】根據二元一次方程組的解及解二元一次方程組即可解答．
【解析】解：將代入方程組得解得：
∴a+b=1+2=3．故選：C．
【點睛】此題主要考查二元一次方程組的解和解二元一次方程組，正確理解二元一次方程組的解和靈活選擇消元法解二元一次方程組是解題關鍵．
考點9：二元一次方程組的整數解問題
例1．（2023·河北昌黎·期末）方程在自然數范圍內的解有（ ）
A．只有1組 B．只有4組 C．無數組 D．以上都不對
【答案】B
【分析】用y表示出x，令y為自然數求出x的值，即可確定出方程的自然數解．
【解析】方程變形得：x＝7－2y，當y＝0時，x＝7；y＝1時，x＝5；y＝2時，x＝3；y＝3時，x＝1，
則方程在自然數范圍內的解為，，，．故選B．
【點睛】此題考查了解二元一次方程，將y看做已知數求出x是解本題的關鍵．
變式1．（2023 宜賓期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整數解有（　　）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【分析】把x看做已知數求出y，即可確定出正整數解．
【答案】解：方程2x+3y＝11，解得：y＝，
當x＝1時，y＝3；x＝4時，y＝1，則方程的正整數解有2組，故選：B．
【點睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看做已知數求出y．
變式2. （2023·湖南邵陽·七年級校考期中）方程的正整數解有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】A
【分析】先將方程化為，再根據均為正整數進行分析即可得．
【詳解】解：方程可化為，
∵，均為正整數，∴，且是的倍數，，且為偶數，
則當時，，即方程的正整數解為，共有1組，故選：A．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握方程的解法是解題關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江·永嘉縣七年級期中）下列方程屬于二元一次方程的是（　　）
A．2x-3=10 B．3＋2y=10 C．xy＋8=0 D．x＋y=2
【答案】D
【分析】根據二元一次方程的定義：含有兩個未知數，且未知數的次數均為1，依次判斷即可．
【詳解】解：A．只有一個未知數，不符合題意；
B．未知數x的次數為2次，不符合題意；
C．含有未知數的項的次數為2次，不符合題意；
D．含有兩個未知數，且次數均為1，符合題意；故選：D．
【點睛】題目主要考查二元一次方程的定義，理解此定義是解題關鍵．
2．（2023·射洪縣七年級期中）下列方程組中是二元一次方程組的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】含有兩個未知數且所含未知數的項的次數是1的整式方程組是二元一次方程組，根據定義解答.
【解析】A、B、C都不是二元一次方程組，D符合二元一次方程組的定義，故選：D.
【點睛】此題考查二元一次方程組的定義，正確理解定義并運用解題是關鍵.
3．（2023·內蒙古·七年級期末）若是關于，的二元一次方程，則，的值分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】根據二元一次方程的定義，從二元一次方程的未知數的個數和次數方面辨別．
【詳解】解：是關于，的二元一次方程，
，，解得，．故選：D
【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：方程中只含有個未知數；含未知數項的最高次數為一次；方程是整式方程．
.3．（2023·貴州萬山·七年級期中）二元一次方程的正整數解有幾個（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】將x看做已知數求出y，即可確定出正整數解的個數．
【詳解】解：由方程2x+y=8， 得到y=8-2x，
當x=1時，y=6；當x=2時，y=4；當x=3時，y=2；則正整數解有3個． 故選B．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看做已知數求出y．
4．（2023·江蘇宿遷·七年級期末）二元一次方程有無數個解，下列各組數值中，不是該方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將選項中的解代入方程中即可判斷是否為正確的解．
【詳解】解：A．，此選項不符合題意；B．，此選項符合題意；
C．，此選項不符合題意；D．，此選項不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組解的問題，解題的關鍵是進行正確的計算．
5．（2023·安徽·合肥市八年級階段練習）下列方程組中，有無數組解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分別求解每一個選項的方程組的解，即可得出答案．
【詳解】解：A、解得：，方程組有唯一一組解，故此選項不符合題意；
B、解得方程組無解，故此選項不符合題意；C、，
①×2②，得0x-0y=0，則x、y可取任何值，所以方程組有無數組解，故此選項符合題意；
D、解得：，方程組有唯一一組解，故此選項不符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，注意二元一次方程組的解的三種情況：①方程組有唯一一組解，②方程組有無數組解，③方程組無解．
6．（2023·重慶市七年級期中）若是方程的一個解，則的值為（ ）
A．1 B．3 C．7 D．4
【答案】C
【分析】把方程的解代入得3a+b=1，從而確定9a+3b=3，整體代入計算即可．
【詳解】解：∵是方程的一個解，
∴3a+b=1，∴9a+3b=3，∴7，故選：C．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程解的定義，即使得二元一次方程左右相等的一組未知數的值，熟練掌握定義，靈活變形計算是解題的關鍵．
7．（2023·北京順義·七年級期末）在下列方程：①，②，③，④中，任選兩個組成二元一次方程組，若是該方程組的解，則選擇的兩個方程是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】C
【分析】先把分別代入四個方程里面看看是不是方程的解即可
【詳解】把代入①得，等式左邊不等于右邊，不成立；
把代入②得，等式左邊等于右邊，成立；
把代入③得，等式左邊不等于右邊，不成立；
把代入④得，等式左邊等于右邊，成立；∴只能由②和④組合故選C
【點睛】此題考查的是方程的公共解，也就是方程組的解，掌握找公共解的技巧是解題的關鍵．
8．（2023春·北京·七年級期末）已知二元一次方程，用含x的代數式表示y，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要用x的代數式表示y，先移項，再將系數化為1即可．
【詳解】解：移項得，，
y的系數化為1得，．故選：B．
【點睛】本題主要考查解二元一次方程，解題時可以參照一元一次方程的解法，把一個未知數當做已知數來處理．
9．（2023春·湖南邵陽·七年級校考期中）方程的正整數解有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】A
【分析】先將方程化為，再根據均為正整數進行分析即可得．
【詳解】解：方程可化為，
∵，均為正整數，∴，且是的倍數，，且為偶數，
則當時，，即方程的正整數解為，共有1組，故選：A．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握方程的解法是解題關鍵．
10．（2023·浙江杭州·模擬預測）課本上有一例題：求方程組的自然數解，是這樣解的：因為x，y為自然數，列表嘗試如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可見只有，符合這個方程組，所以方程組的解為
從上述過程可以看出，這個求方程組解的思路是（ ）
A．先消元，然后轉化為一元一次方程，解這個一元一次方程，即可得方程組的解
B．先列出第一個方程的解，再列出第二個方程的解，然后找出兩個方程的公共解，即為所求的解
C．先列出第一個方程的解，再將這些解順次代入第二個方程進行檢驗，若等式成立，則可得方程組的解
D．先任意給出的一對自然數，假定是解，然后代入兩個方程分別檢驗，兩個都成立，則可得方程組的解
【答案】C
【分析】利用二元一次方程組的解的定義判斷即可．
【詳解】解：從上述過程可以看出，這個求方程組解的思路是，先列出第一個方程的解，再將這些解順次代入第二個方程進行檢驗，若等式成立，則可得方程組的解．故選：C．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及一元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·綿陽市·七年級課時練習）二元一次方程有______個解，有________個正整數解，它們是___________．
【答案】無窮多 4
【分析】將x看做已知數求出y，即可確定出正整數解的個數．
【詳解】解：由方程，得到，
當x=1時，y=8；當x=2時，y=6；當x=3時，y=4；當x=4時，y=2．則正整數解有4個，
故答案為：無窮多；4；．
【點睛】本題考查了解二元一次方程，解題的關鍵是將x看做已知數求出y．
12．（2023·甘肅·七年級期末）若方程是關于的二元一次方程，則的值為______．
【答案】
【分析】根據二元一次方程的定義求解即可．
【詳解】解：由題意，得
且，解得且，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了二元一次方程的定義和利用平方根解方程，二元一次方程的定義：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．
13．（2023·山東·鄒城市七年級階段練習）若是關于a，b的二元一次方程的一個解，則代數式的值是____．
【答案】9
【分析】根據二元一次方程的解的概念將代入中得到一個關于a，b的式子，然后整體代入求值即可．
【詳解】∵是關于的二元一次方程的一個解，
∴ ，， ，故答案為：9．
【點睛】本題主要考查二元一次方程的解的概念和代數式求值，掌握二元一次方程的解的概念和整體代入法是解題的關鍵．
14．（2020·浙江紹興·統考中考真題）若關于x，y的二元一次方程組的解為，則多項式A可以是_____（寫出一個即可）．
【答案】x﹣y（答案不唯一）
【分析】根據方程組的解的定義，應該滿足所寫方程組的每一個方程．因此，可以圍繞列一組算式，然后用x，y代換即可.
【詳解】∵關于x，y的二元一次方程組的解為，而1﹣1＝0，
∴多項式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案為：x﹣y（答案不唯一）.
【點睛】此題考查二元一次方程組的定義，二元一次方程組的解，正確理解方程組的解與每個方程的關系是解題的關鍵.
15．（2023·甘肅·七年級期末）若方程是關于的二元一次方程，則的值為______．
【答案】
【分析】根據二元一次方程的定義求解即可．
【詳解】解：由題意，得
且，解得且，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了二元一次方程的定義和利用平方根解方程，二元一次方程的定義：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．
16．（2023·山東·鄒城市七年級階段練習）若是關于a，b的二元一次方程的一個解，則代數式的值是____．
【答案】9
【分析】根據二元一次方程的解的概念將代入中得到一個關于a，b的式子，然后整體代入求值即可．
【詳解】∵是關于的二元一次方程的一個解，
∴ ，， ，故答案為：9．
【點睛】本題主要考查二元一次方程的解的概念和代數式求值，掌握二元一次方程的解的概念和整體代入法是解題的關鍵．
17．（2021·浙江嘉興·統考中考真題）已知二元一次方程，請寫出該方程的一組整數解_____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據題意確定出方程的整數解即可．
【詳解】解：方程的一組整數解為故答案為：（答案不唯一）
【點睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
18．（2023·貴州黔東南·模擬預測）在下列數對中：①；②；③；④，其中是方程的解的是______ ；是方程的解的是______ ；既是方程的解，又是方程的解的是______ 填序號
【答案】 ①③ ③ ③
【分析】把四組值分別代入方程和，然后根據二元一次方程的解的定義進行判斷．
【詳解】解：；；；，∴①③是方程的解；
當，時，，∴①不是方程的解；
當，時，，∴②不是方程的解；
當，時，，∴③是方程的解；
當，時，，∴④不是方程的解．故答案為①③；③；③．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023.浙江七年級專項訓練）哪些是二元一次方程？為什么？
（1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1.
【答案】（3），見解析
【詳解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程．
20．（2023.山東七年級專項訓練）判斷是否為方程組的解．
【答案】是
【分析】把代入原方程組的兩個方程，從而可得答案．
【詳解】解：把代入①，
把代入②，
所以同時滿足方程①與②，所以是二元一次方程組的解，
【點睛】本題考查的是判斷二元一次方程組的解，掌握代入檢驗的方法判斷二元一次方程組的解是解題的關鍵．
21．（2023河南省商丘市七年級期末）已知二元一次方程.（1）直接寫出它所有的整數解；（2）請你寫出一個二元一次方程，使它與已知方程組成的方程組的解為
【答案】（1）；（2）2x+y=0，(不唯一，合理即可).
【分析】（1）用看y的式子表示出x，確定出正整數解即可；
（2）根據題中方程組的解列出方程即可．
【詳解】解：（1）方程x+3y=10，解得：x=-3y+10，
當y=1時，x=7；當y=2時，x=4；當y=3時，x=1，
則方程的正整數解為，，；
（2）根據題意得：2x+y=0．
【點睛】此題考查了解二元一次方程，以及二元一次方程的解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
22．（2023.廣西七年級期末）【閱讀理解】我們知道方程2x+3y＝12有無數個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數解．
例如：由2x+3y＝12，得：（x、y為正整數）．
要使為正整數，則為正數可知：x為3的倍數，從而x＝3，代入．
所以2x+3y＝12的正整數解為．(1)【類比探究】請根據材料求出方程3x+2y＝8的正整數解．
(2)【拓展應用】把一根長20米的鋼管截成2米長和3米長兩種規格的鋼管，在不造成浪費的情況下，共有幾種截法？
【答案】(1)(2)共有3種截法
【分析】（1）根據二元一次方程的解得定義求出即可；
（2）設截成2米長的x段，截成3米長的y段，則根據題意得：2x＋3y＝20，其中x、y均為自然數，解該二元一次方程即可．
(1)解：由，得：（x，y為正整數），
要使為正整數，則為整數可知：x為2的倍數，
從而，代入，
所以方程的正整數解為．
（2）解：設截成2米長的鋼管x段，3米長的鋼管y段，
依題意，得：，∴，
又∵x，y均為正整數，
∴，，，∴共有3種截法．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解的應用，能靈活運用知識點求出特殊解是解此題的關鍵．
23．（2023.浙江七年級期末）定義：把（其中，是常數，，是未知數）這樣的方程稱為“優美二元一次方程”．當時，“優美二元一次方程”中的值稱為“優美二元一次方程”的“優美值”．例如：當時，“優美二元一次方程”化為，解得：，故其“優美值”為4．
(1)求“優美二元一次方程”的“優美值”；
(2)若“優美二元一次方程”的“優美值”是﹣3，求的值；
(3)是否存在，使得優美二元一次方程與優美二元一次方程的“優美值”相同？若存在，請求出的值及此時的“優美值”；若不存在，請說明理由．
【答案】(1) (2)(3)
【分析】（1）令，則“優美二元一次方程”化為：，解方程即可求解；
（2）令，則“優美二元一次方程”化為：，將把代入，即可求解；
（3）令，則“優美二元一次方程”化為：，令，則“優美二元一次方程”化為：，根據“優美值”相同，列出關于的一元一次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：令，則“優美二元一次方程”化為：，．
其“優美值”為．
（2）解：令，則“優美二元一次方程”化為：，
把代入，得．
（3）解：令，則“優美二元一次方程”化為：，，
其“優美值”為．
令，則“優美二元一次方程”化為：，，
其“優美值”為．假設“優美值”相同，
∴，∴．∴即“優美值”為．
【點睛】本題考查二元一次方程的解，理解新定義，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關鍵．
24．（2023.重慶市八年級期末）閱讀以下材料，并利用材料知識解決問題．
材料一：如果實數a，b滿足，那么就稱a和b是一組“創意數對”，用有序數對表示．例如：由于，所以是“創意數對”．
材料二：任何一個自然數M都能分解成兩個因數的乘積：，對于M的所有分解，當最小時，我們稱此分解為M的“和值分解”，并記．例如：對于，∵，∴是18的“和值分解”，．
(1)是否存在實數m，使得是“創意數對”？如果存在，請求解出m的值；若不存在，請說明理由；
(2)一個兩位數N的十位數字為x，個位數字為y，若是“創意數對”，請求解的最小值．
【答案】(1)存在，m=2 (2)F(N)的最小值11
【分析】（1）根據“創意數對”列出方程解答便可得出結論；
（2）根據是“創意數對”，得y(x-1)=6-2x，再根據，x、y均為整數，求得x、y的值，進而根據“和值分解”定義，及公式F(M）=A +B求得F（N)的最小值．
(1)存在實數m，使得是“創意數對”，
根據新定義知，2(m-1)=6-2m，解得m=2；
(2)∵是“創意數對”，∴y(x-1)=6-2x，
∵一個兩位數N的十位數字為x，個位數字為y，
∴，x、y均為整數，
∴x=2，y=2或x=3，y=0，∴N=22或30，當N=22時，
∵22=1×22=2×11，，
∴22=2×11是22的“和值分解”，∴F(N)=2+11=13；當N=30時，
∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，，
∴30=5×6是30的“和值分解”，∴F(N)=5+6=11；綜上，F(N)的最小值11．
【點睛】本題主要考查了新定義，涉及一元一次方程及二元一次方程的應用，關鍵是正確理解新定義．
25．（2023.北京市七年級期末）我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數和常數項有聯系，系數和常數項經過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現代數學的高等代數學科將系數和常數項排成一個表的形式，規定：關于x，y的二元一次方程組可以寫成矩陣的形式．例如：可以寫成矩陣的形式．
(1)填空：將寫成矩陣形式為：；
(2)若矩陣所對應的方程組的解為，求a與b的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據題意中的定義將方程組轉換為：，按照定義即可寫出矩陣；
（2）根據矩陣形式寫成方程組的形式，將題目告知的解代入方程組，解得系數a、b．
【詳解】（1）解：整理方程得，，因此矩陣形式為：；
（2）根據矩陣形式得到方程組為： ，
將代入上述方程得，，解得：．
【點睛】本題是二元一次方程組求解題，解題關鍵在于正確理解題意并計算．
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專題2-1 二元一次方程 +專題2-2二元一次方程組
模塊1：學習目標
1. 認識二元一次方程、二元一次方程組及它們的解的定義；.
2. 會檢驗一組數是不是某個二元一次方程（組）的解。
模塊2：知識梳理
1.二元一次方程：含有兩個未知數，且所含未知數的次數項的次數都是1的方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值（有序數對）
3.檢驗二元一次方程解的方法：將有序數對帶入方程中，若等式都成立，則為方程的解；若有等式不成立，則不是方程的解。
4.將幾個相同未知數的一次方程聯合起來，就組成了二元一次方程組。
注：二元一次方程組不一定都是二元一次方程組合而成，方程個數也不一定是兩個。
5.判斷二元一次方程組的方法：
①方程組中是否一共有兩個未知數;②含未知數的項的次數是否都是1;③是否含有多個方程組成.
6.二元一次方程組的兩個方程公共解叫作二元一次方程組的解。
7.檢驗二元一次方程組解的方法：將有序數對帶入方程中，若方程組等式都成立，則為方程組的解；若有方程不成立，則不是方程的解。
注：方程組中只要有一個方程帶入后不成立，則不是方程的解。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 二元一次方程的定義
例1．（2023·重慶璧山·七年級期中）下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·河北·邯鄲市七年級期中）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣y＝1 B．xy+2y＝3 C．π+2x＝5 D．+y＝4
變式2．（2023·廣東·七年級階段練習）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
考點2. 二元一次方程的解
例1．（2023·山東七年級月考）是下列哪個方程的解（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023·陜西咸陽·八年級校考階段練習）寫出二元一次方程的一組解________．（寫出一組即可）
變式2．（2023·河南·七年級課時練習）對于二元一次方程，下列說法不正確的是（ ）
A．它有無數多個解 B．它有無數多個整數解
C．它只有一個非負整數解 D．它沒有正整數解
考點3. 二元一次方程組的定義
例1．（2023·浙江長興·期中）下到方程組中，屬于二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·吉林七年級期中）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·浙江·九年級模擬）下列方程組中是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
考點4. 二元一次方程組的解
例1．（2023·浙江臺州·七年級期末）方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·廣西河池·七年級期末）下列方程組中，以為解的二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·江蘇宿遷·七年級期末）二元一次方程有無數個解，下列各組數值中，不是該方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
考點5. 根據二元一次方程的定義求參數
例1．（2023·四川眉山·七年級期末）若是關于x、y的二元一次方程，則k的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
變式1．（2023·廣東·江東七年級階段練習）若3－=5是二元一次方程，m+n=______．
變式2．（2023·廣東·九年級期中）若關于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，則m，n的值是（　　）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝－ D．m＝－，n＝
考點6. 根據二元一次方程組的定義求參數
例1．（2023·日照市七年級期中）若方程組是二元一次方程組，則a的值為________．
變式1．（2023·成都·七年級）若是關于，的二元一次方程組，則____ ，____，____．
考點7：根據二元一次方程的解求參數
例1．（2023·山東臨沂·七年級期末）已知是關于x，y的二元一次方程的一個解，那么a的值為（ ）
A．3 B．2 C． 2 D． 3
變式1．（2023·吉林市七年級期末）已知是關于，為未知數的方程的解，則______．
變式2．（2023·廣西百色·統考二模）若是方程的一個解，則代數式____．
考點8：已知二元一次方程組的解求參數
例1．（2023·河南·七年級階段練習）已知是二元一次方程組的解，則的值為（ ）
A．8 B．5 C．3 D．10
變式1．（2023浙江蕭山·期末）若二元一次方程組的解為，則a+b的值是(　　　)
A．9 B．6 C．3 D．1
考點9：二元一次方程組的整數解問題
例1．（2023·河北昌黎·期末）方程在自然數范圍內的解有（ ）
A．只有1組 B．只有4組 C．無數組 D．以上都不對
變式1．（2023 宜賓期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整數解有（　　）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
變式2. （2023·湖南邵陽·七年級校考期中）方程的正整數解有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江·永嘉縣七年級期中）下列方程屬于二元一次方程的是（　　）
A．2x-3=10 B．3＋2y=10 C．xy＋8=0 D．x＋y=2
2．（2023·射洪縣七年級期中）下列方程組中是二元一次方程組的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·內蒙古·七年級期末）若是關于，的二元一次方程，則，的值分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
.3．（2023·貴州萬山·七年級期中）二元一次方程的正整數解有幾個（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
4．（2023·江蘇宿遷·七年級期末）二元一次方程有無數個解，下列各組數值中，不是該方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽·合肥市八年級階段練習）下列方程組中，有無數組解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·重慶市七年級期中）若是方程的一個解，則的值為（ ）
A．1 B．3 C．7 D．4
7．（2023·北京順義·七年級期末）在下列方程：①，②，③，④中，任選兩個組成二元一次方程組，若是該方程組的解，則選擇的兩個方程是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
8．（2023春·北京·七年級期末）已知二元一次方程，用含x的代數式表示y，正確的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023春·湖南邵陽·七年級校考期中）方程的正整數解有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
10．（2023·浙江杭州·模擬預測）課本上有一例題：求方程組的自然數解，是這樣解的：因為x，y為自然數，列表嘗試如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可見只有，符合這個方程組，所以方程組的解為
從上述過程可以看出，這個求方程組解的思路是（ ）
A．先消元，然后轉化為一元一次方程，解這個一元一次方程，即可得方程組的解
B．先列出第一個方程的解，再列出第二個方程的解，然后找出兩個方程的公共解，即為所求的解
C．先列出第一個方程的解，再將這些解順次代入第二個方程進行檢驗，若等式成立，則可得方程組的解
D．先任意給出的一對自然數，假定是解，然后代入兩個方程分別檢驗，兩個都成立，則可得方程組的解
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·綿陽市·七年級課時練習）二元一次方程有______個解，有________個正整數解，它們是___________．
12．（2023·甘肅·七年級期末）若方程是關于的二元一次方程，則的值為______．
13．（2023·山東·鄒城市七年級階段練習）若是關于a，b的二元一次方程的一個解，則代數式的值是____．
14．（2020·浙江紹興·統考中考真題）若關于x，y的二元一次方程組的解為，則多項式A可以是_____（寫出一個即可）．
15．（2023·甘肅·七年級期末）若方程是關于的二元一次方程，則的值為______．
16．（2023·山東·鄒城市七年級階段練習）若是關于a，b的二元一次方程的一個解，則代數式的值是____．
17．（2021·浙江嘉興·統考中考真題）已知二元一次方程，請寫出該方程的一組整數解_____．
18．（2023·貴州黔東南·模擬預測）在下列數對中：①；②；③；④，其中是方程的解的是______ ；是方程的解的是______ ；既是方程的解，又是方程的解的是______ 填序號
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023.浙江七年級專項訓練）哪些是二元一次方程？為什么？
（1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1.
20．（2023.山東七年級專項訓練）判斷是否為方程組的解．
21．（2023河南省商丘市七年級期末）已知二元一次方程.（1）直接寫出它所有的整數解；（2）請你寫出一個二元一次方程，使它與已知方程組成的方程組的解為
22．（2023.廣西七年級期末）【閱讀理解】我們知道方程2x+3y＝12有無數個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數解．
例如：由2x+3y＝12，得：（x、y為正整數）．
要使為正整數，則為正數可知：x為3的倍數，從而x＝3，代入．
所以2x+3y＝12的正整數解為．(1)【類比探究】請根據材料求出方程3x+2y＝8的正整數解．
(2)【拓展應用】把一根長20米的鋼管截成2米長和3米長兩種規格的鋼管，在不造成浪費的情況下，共有幾種截法？
23．（2023.浙江七年級期末）定義：把（其中，是常數，，是未知數）這樣的方程稱為“優美二元一次方程”．當時，“優美二元一次方程”中的值稱為“優美二元一次方程”的“優美值”．例如：當時，“優美二元一次方程”化為，解得：，故其“優美值”為4．
(1)求“優美二元一次方程”的“優美值”；
(2)若“優美二元一次方程”的“優美值”是﹣3，求的值；
(3)是否存在，使得優美二元一次方程與優美二元一次方程的“優美值”相同？若存在，請求出的值及此時的“優美值”；若不存在，請說明理由．
24．（2023.重慶市八年級期末）閱讀以下材料，并利用材料知識解決問題．
材料一：如果實數a，b滿足，那么就稱a和b是一組“創意數對”，用有序數對表示．例如：由于，所以是“創意數對”．
材料二：任何一個自然數M都能分解成兩個因數的乘積：，對于M的所有分解，當最小時，我們稱此分解為M的“和值分解”，并記．例如：對于，∵，∴是18的“和值分解”，．
(1)是否存在實數m，使得是“創意數對”？如果存在，請求解出m的值；若不存在，請說明理由；
(2)一個兩位數N的十位數字為x，個位數字為y，若是“創意數對”，請求解的最小值．
25．（2023.北京市七年級期末）我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數和常數項有聯系，系數和常數項經過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現代數學的高等代數學科將系數和常數項排成一個表的形式，規定：關于x，y的二元一次方程組可以寫成矩陣的形式．例如：可以寫成矩陣的形式．
(1)填空：將寫成矩陣形式為：；
(2)若矩陣所對應的方程組的解為，求a與b的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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