資源簡介

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專題2-3 解二元一次方程組
模塊1：學習目標
1. 理解消元的數(shù)學思想；
2. 能熟練、正確、靈活使用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組；
3. 會對一些特殊的方程組進行特殊的求解。
模塊2：知識梳理
1）消元法的目的：消去一個未知數(shù)，轉化為方便求解的一元一次方程。
2）代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，轉化為一元一次方程，進而求解這個二元一次方程組的方法。
3）代入消元法的步驟：
①在方程組中選取一個系數(shù)較簡單的方程，將這個方程變形，用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；
②將這個關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，轉換為一元一次方程，并求解該一元一次方程。
③利用已求解的未知數(shù)，代入關系式中，求解出另一個未知數(shù)的解。
4）加減消元法：兩個二元一次方程中，同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相同時，將這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)的方法。
5）加減消元法步驟：
①確定消元對象，并把該對象的系數(shù)化為相等或相反形式；
②將兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，轉化為一元一次方程，并求解；
③將求解出來的值代入任意原方程中，求解出另一個未知數(shù)的值。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 代入消元法
例1．（2023·浙江長興·期中）解方程組，
【答案】
分析：利用帶入消元法消去y，求出x的值，然后將x的值代入①得出y的值，從而得出方程組的解．
【解析】由得： x=-2-4 y， 帶入中解得：y=－1，把x=2代入得：x=2，
∴ 方程組的解為：.
點睛：本題主要考查的是利用帶入消元法求出方程組的解，屬于基礎題型．理解消元的方法是解決這個問題的關鍵．
變式1.（2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將①式代入②式消去去括號即可求得結果．
【詳解】解：將①式代入②式得，
，故選B．
【點睛】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關鍵．
變式2.（2023·遼寧本溪·八年級期中）（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）將②式整理后，利用代入消元法求解即可；
（2）將②式整理后，利用代入消元法求解即可．
【詳解】（1）
解：由②得：③
將③代入①得
將代入③得：
原方程組的解為；
（2）
解：由②得：③
將③代入①得：
將代入③得：
原方程組的解為．
【點睛】本題主要考查用代入消元法解二元一次方程組．掌握代入消元法是解題關鍵．
考點2. 加減消元法
例1．（2023·山東·德州市九年級期中）解方程組：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先運用加減消元法求出y，再利用代入法求出x．
（2）先運用加減消元法求出x，再利用代入法求出y．
（1）
5①-②，得，
解得代入①，得，解得，
所以方程組的解為
（2） 原方程組可化簡為
②+①，得，解得，
②-①，得，解得，
所以方程組的解為
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，有加減和代入法兩種，一般選用加減法解二元一次方程組較簡單，特殊情況用代入法．
變式1．（2020·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）用加減消元法解二元一次方程組時，下列方法中無法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【答案】D
【分析】根據各選項分別計算，即可解答．
【詳解】方程組利用加減消元法變形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合題意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合題意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合題意；D、①﹣②×3無法消元，符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，只有當兩個二元一次方程未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時才可以用加減法消元，系數(shù)相同相減消元，系數(shù)相反相加消元．
變式2．（2023·河南·濮陽市八年級期中）解方程組
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用加減法消元法解二元一次方程組即可；
（2）先整理方程，再利用加減消元法解二元一次方程組即可．
（1）解：，
①×3-②得：-x=-5，解得：x=5，
把x=5代入①得10-y=5，解得：y=5，
∴方程組的解為；
（2）解：整理原方程組得，
②-①得4n=8，解得n=2，
把n=2代入①得2m-2=4，解得m=3，
∴方程組的解為．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，做題關鍵是掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組．
考點3. 同解方程組
例1．（2023·廣東韶關七年級期中）若方程組與有相同的解，則a，b的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】兩個方程組有相同的解，即有一對和的值同時滿足四個方程，所以可以先求出第一個方程組的解，再把求得的解代入第二個方程組中，得到一個新的關于、的方程，并解得，求出、．
【詳解】解：先解，得，
把代入方程組，得，解得，故選：B．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解題的關鍵是先根據已知方程組求出未知數(shù)的值，再把未知數(shù)的值代入另一個方程組中得到新的方程組．
變式1．（2023·山東濟寧·七年級期末）已知方程組和方程組有相同的解，則，的值分別為（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據方程組，求出，再代入和中，得到關于a、b的方程組，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：，
由①+②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
把，代入和中得：
，解得：．故選：A
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，遇到有關二元一次方程組的解的問題時，將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程組中的字母系數(shù)．
考點4. 二元一次方程組的錯解復原
例1．（2023·湖南懷化·七年級期末）在解方程組時，一同學把c看錯而得到，正確的解應是，那么的值是（ ）
A．不能確定 B．－3 C．－1 D．1
【答案】D
【分析】將錯解代入得到a與b的關系式，再由正確解求出c，聯(lián)立方程即可求得a、b進而得出答案．
【詳解】解：將x=-2，y=2代入ax-by=2，可得：-2a-2b=2，
∵正確的解為x=3，y=2，
∴，解得c=-2，聯(lián)立，解得，
∴a+b-c=0-1+2=1，故選：D．
【點睛】本題考查了二元一次方程組，解題關鍵在于分析題意，聯(lián)立方程組，解出答案．
變式1．（2023·河南·安陽市七年級期末）甲乙兩名同學在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為；乙看錯了方程組中的b，而得解為．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)請你根據以上兩種結果，求出原方程組的正確解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6 (2)
【分析】（1）把代入得出關于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出關于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；（2）把代入得出關于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出關于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程組得出關于x，y的方程組，解方程組即可得出原方程組的正確解．
（1）解：把代入，
可得：，解得：，
把代入，
可得：，解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把代入，
可得：，解得：，
把代入，
可得：，解得：，
把，代入原方程組，
可得：，由②得：③，
由①+③，可得：，∴，
把代入①，可得：，解得：，
∴原方程組的解．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，理解二元一次方程組的解，掌握解二元一次方程組的方法是解決問題的關鍵．
考點5. 整體構造法求代數(shù)式的值
例1．（2023·廣東韶關實驗中學七年級期中）關于x、y的二元一次方程組的解滿足，則m的值是______．
【答案】1
【分析】根據題意，得出，即可求解．
【詳解】解： ，得，
∵的解滿足，∴，解得，故答案為：1．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，加減消元法解二元一次方程組，理解題意是解題的關鍵．
變式1．（2023·湖南·長沙市八年級開學考試）已知，滿足方程組，則的值為______．
【答案】2
【分析】利用整體思想的得出結果，之后等式兩邊都除以，即可得出的值．
【詳解】解：，
得，；故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，掌握用整體思想解決問題是解題的關鍵．
變式2．（2023·北京期末）已知：關于x、y的方程組，則x-y的值為( )
A．－1 B．a-1 C．0 D．1
【答案】D
分析：由x、y系數(shù)的特點和所求式子的關系，可確定讓①-②即可求解．
【解析】，① ②，得x y= a+4 3+a=1.故選：D.
點睛：此題考查了解二元一次方程組，一般解法是用含有a的代數(shù)式表示x、y，再計算，但也要注意能簡便的則簡便．此題中注意整體思想的滲透．
考點6. 根據二元一次方程組的特殊解求參數(shù)
例1．（2023·江蘇·揚州市江都區(qū)第三中學七年級階段練習）若方程組無解，則a的值為________
【答案】-6
【分析】根據加減消元法得出，然后根據方程組無解，得到a+6=0，求出即可．
【詳解】解∶，①×3+②，得，
∵方程組無解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案為：-6．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程等知識點的應用，關鍵是根據題意得出一個關于a的方程（a＋6＝0），題目比較典型，有一點難度，是一道容易出錯的題目．
變式1.（2023·貴州·七年級期末）若關于，的方程，，有公共解，則k的值為 ．
【答案】1
【分析】先將x+2y=1和2x-y=7組成二元一次方程組，解得x、y的值后代入kx-y=4即可得到答案．
【詳解】解：由題意得：，解得：，
把代入得：，解得，故答案為：1．
【點睛】本題考查了方程的解，解二元一次方程組，理解方程的解的意義是本題的解題關鍵．
變式2．（2023·浙江·七年級期末）已知關于，的二元一次方程組（是常數(shù)），若不論取什么實數(shù)，代數(shù)式（是常數(shù)）的值始終不變，則______．
【答案】-1
【分析】將方程組中的兩個方程變形后聯(lián)立消掉即可得出結論．
【詳解】解：是常數(shù)），
=10，即，
．故答案為：．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，將方程組中的兩個方程聯(lián)立消掉是解題的關鍵．
考點7. 二元一次方程組的整數(shù)解問題
例1．（2023·福建福州·七年級期中）關于x，y的方程組的解為整數(shù)，則滿足這個條件的整數(shù)k的個數(shù)有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．無數(shù)個
【答案】A
【分析】把k看做常數(shù)，求出方程組的解，再根據方程組解是整數(shù)，求解整數(shù)k 值即可求解．
【詳解】解：，②-①得：(k-3)y=k，∴y=，
把y=代入①，得x=，
∵方程組解是整數(shù)，即和是整數(shù)，k是整數(shù)，
∴k=0，2，4，6，共4個,故選：A．
【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握用加減法解二元一次方程組是解題的關鍵．
變式1．（2023·福建·福州年級期中）方程組有正整數(shù)解，則整數(shù)k的個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用加減法得到，再由方程組有正整數(shù)解，可確定k+2=4或k+2=2或k+2=1，求出k的值即可．
【詳解】解：，①-②得，（k+2）y=6-k，解得，
∵方程組有正整數(shù)解，∴k+2=4或k+2=2或k+2=1，
解得k=2或k=0或k=-1，∴整數(shù)k有3個，故選：B．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的整數(shù)解問題，熟練掌握二元一次方程組的解法，分數(shù)取整數(shù)的條件是解題的關鍵．
考點8. 換元法解二元一次方程組
例1．（2023·山東威海·七年級期末）【材料閱讀】換元法是數(shù)學中很重要，且應用廣泛的解題方法，我們通常把未知量稱為“元” ．所謂換元法，就是在解題時，把某個式子看成整體，用一個新的變量去代替它，從而使得復雜問題簡單化．換元法的實質是問題轉化，關鍵是構造元和設元．
【方法引領】
用換元法解方程組：．
分析：由于方程組中含有式子和，所以可設．
原方程組可化為．
解得 ，即 ．
進而可求得原方程組的解．
……
【問題解決】用換元法解決下列問題：
(1)若關于x，y的方程組的解是，則關于a，b的方程組的解是 ；（直接寫答案）
(2)已知方程組，求x，y的值．
【答案】(1)；(2)x=4，y=3．
【分析】（1）根據題意，利用換元法解決此題．
（2）根據題意，利用換元法解決此題．
（1）解：由題意知，a+b=1，a-b=2．
得．故答案為：
（2）設．
原方程組可化為．解得．即．解得，x=4，y=3．
【點睛】本題考查解二元一次方程組，理解閱讀材料，熟練掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關鍵．
變式1.（2023·山東·鄒城市七年級階段練習）已知方程組的解是，則的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二元一次方程組的解的定義即可求解．
【詳解】解：∵方程組的解是，
∴即的解滿足解得故選D
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解的定義，理解二元一次方程組的解的定義是解題的關鍵．
考點9. 整體代入（加減）消元法解二元一次方程組
例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江市·七年級期中）【閱讀材料】
善于思考的小明在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：
解：將方程變形：，
即，把方程代入得：，所以，
將代入得，所以原方程組的解為．
[解決問題]（1）模仿小明的“整體代換”法解方程組，
（2）已知x，y滿足方程組，求的值．
【答案】（1）原方程組的解為；（2）
【分析】（1）根據題意，利用整體的思想進行解方程組，即可得到答案；
（2）根據題意，利用整體的思想進行解方程組，即可得到答案．
【詳解】解：將方程變形得:
把方程代入得:， 所以
將代入得，所以原方程組的解為；
，把方程變形，得到，
然后把代入，得，∴，∴；
【點睛】本題考查方程組的“整體代入”的解法．整體代入法，就是變形組中的一個方程，使該方程左邊變形為另一個方程的左邊的倍數(shù)加一個未知數(shù)的形式，整體代入，求出一個未知數(shù)，再代入求出另一個未知數(shù)．
變式1.（2023·福建泉州·七年級期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代入”的解法如下：
解：將方程②變形：，即③；
把方程①代入③，得：，所以；
把代入①得，，所以方程組的解為．
請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組
【答案】
【分析】將方程變形為，再整體代入其他一個方程得到，進而得出x的值，再進一步得到y(tǒng)的值．
【詳解】將方程①變形為：③，
將方程③整體代入②中，得，解得：，
將代入③，得，解得：，
∴方程組的解是．
【點睛】本題考查用整體代換法解二元一次方程組，理解示例并正確運用時關鍵．
變式2．（2023·湖北八年級期末）閱讀下列解方程的解法，然后解決有關問題．
解方程組時，如果考慮常規(guī)的消元法（即代入消元法和加減消元法），那將非常麻煩！若用下面的方法非常規(guī)的解法，則輕而易舉
，得，即
，得 ，得
把代入（3）得，即 所以原方組的解是
以上的解法的技巧是根據方程的特點構造了方程（3）．我們把這種解法稱為構造法，請你用構造法解方程組
【答案】
【分析】② ①得出6x＋6y＝6，求出x＋y＝1③，① ③×7求出y＝2，把y＝2代入③求出x即可．
【解析】解：② ①得：6x＋6y＝6，即：x＋y＝1③，
① ③×7得：4y＝8，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝ 1， 所以原方程組的解為：．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組的應用，能根據方程組的特點選擇簡單的方法解方程組是解此題的關鍵．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江·七年級期中）解方程組①②，比較簡便的方法是（　）
A．均用代入消元法 B．均用加減消元法
C．①用代入消元法，②用加減消元法 D．①用加減消元法，②用代入消元法
【答案】C
【分析】根據方程組的特點，選擇加減法或代入法即可．
【詳解】解：方程組①有用x表示y的方程，適合用代入法；方程組②未知數(shù)x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，適合用加減消元法，故選C．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法選擇，解題關鍵是明確適合用代入消元法和加減消元法方程組的特征．
2．（2023·河南淇縣·七年級期中）用加減法解方程組由②-①消去未知數(shù)，所得到的一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】觀察兩方程發(fā)現(xiàn)y的系數(shù)相等，故將兩方程相減消去y即可得到關于x的一元一次方程．
【詳解】解：解方程組，由②-①消去未知數(shù)y，所得到的一元一次方程是2x=9，
故選：A．
【點睛】本題考查解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：加減消元法與代入消元法．
3．（2021·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知二元一次方程組，則的值為（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】把兩個方程相加得3x-3y=6，進而即可求解．
【詳解】解：，①+②得：3x-3y=6，∴x-y=2，故選A．
【點睛】本題主要考查代數(shù)式的值，掌握解二元一次方程組的加減消元法，是解題的關鍵．
4．（2023·河北邯鄲·校聯(lián)考二模）解方程組時，經過下列步驟，能消去末知數(shù)y的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由消去未知數(shù)y，可得方程組中y的未知數(shù)系數(shù)化為絕對值相等，符號相反，可消去y．
【詳解】解：∵消去未知數(shù)y，
解方程組中y的未知數(shù)系數(shù)化為絕對值相等，符號相反，
∴可消去y．故選：D
【點睛】本題考查二元一次方程組加減消元法，關鍵是化某一未知數(shù)系數(shù)化為絕對值相等，系數(shù)相同用減法，系數(shù)相反用加法．
5．（2023·統(tǒng)考二模）我們知道二元一次方程組的解是．現(xiàn)給出另一個二元一次方程組，它的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先仿照已知方程組的解建立一個新的方程組，再解新的方程組即可．
【詳解】解：∵ 的解是 ，
∴由方程組可得：，解得 ．故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，利用了類比的方法，熟練掌握方程組的解法是解答本題的關鍵．
6．（2023·山東淄博·八年級期中）已知關于，的二元一次方程組，的解為，其中“ ”是不小心被墨水涂的，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】將，代入，得，將代入，即可求解．
【詳解】解：將，代入，得，
將代入，得，解得．故選A．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，理解二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．
7．（海南省海口市第十四中學2021-2022學年七年級下學期第一次練習數(shù)學試題）如圖，天秤中的物體a、b、c使天秤處于平衡狀態(tài)，則物體a與物體c的重量關系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
【答案】B
【分析】根據題意即得出，，即可用a和c表示出b，即得出a和c的關系．
【詳解】根據題意可知，，
∴，，∴，∴．故選B．
【點睛】本題考查解二元一次方程中的代入消元．正確的用a和c表示出b是解題關鍵．
8．（2023·河南·漯河市七年級期中）若關于x、y的二元一次方程組與的解相同，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先解方程組，再把方程組的解代入和，求出a、b的值，代入計算即可．
【詳解】解：∵關于x、y的二元一次方程組與的解相同，
∴方程組的解滿足四個方程，解方程組得，，
把分別代入和得，
，，解得，，；
∴，故C正確．故選：C．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程的解和算術平方根，解題關鍵是明確同解方程的意義，熟練掌握解二元一次方程組的步驟．
9．（2023·浙江七年級階段練習）已知關于x，y的方程組 ，給出下列結論：①不論a取何值，方程組總有一組解；②當a＝﹣2時，x，y的值互為相反數(shù)；③x+2y＝3；④當時，a＝2．其中正確的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】利用加減消元法消去a，得：x+2y=3，故①③正確；當a=-2時，代入方程組計算得：x+y=0，故②正確；解出方程組的解，根據條件得x+y=4，把方程組的解代入得a=2，故④正確．
【詳解】解：，①×3+②得：4x+8y=12，∴x+2y=3，
∴不論a取何值，方程組總有一組解，故①③正確；
當a=-2時，方程組為：，①+②得：2x+2y=0，∴x+y=0，
∴x，y的值互為相反數(shù)，故②正確；
，解得：，
∵，∴x+y=4，∴2a+1+1-a=4，∴a=2，故④正確；故選：A．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，②中可以不用求解方程組的解，而是直接求出x+y的值，這樣比較簡便．
10.（2023·廣東·揭陽模擬預測）如果關于，的方程組的解是整數(shù)，那么整數(shù)的值為（　　）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】先將看作已知量，解二元一次方程組，用表示出，再結合，為整數(shù)，得出的整數(shù)解，然后把的整數(shù)解代入，得出的解，再把方程組的整數(shù)解代入，即可得出的值．
【詳解】解：，由，可得：，
∵，為整數(shù)，∴當為時，為整數(shù)，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整數(shù)解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程組的整數(shù)解為，，，，
把方程組的整數(shù)解代入，可得：，，，．故選：B
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，解本題的關鍵是用含m的代數(shù)式表示y．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）二元一次方程組的解為________．
【答案】
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．
【詳解】解：．①+②×2得：7x=14，解得：x=2，
把x=2代入②得：2×2-y=1解得：y=3，
所以，方程組的解為，故答案為：．
【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
12．（河南省商丘市睢縣2021-2022學年七年級下學期期末數(shù)學試題）解方程組適合用_______消元法，解方程組適合用_______消元法．
【答案】 加減 代入
【分析】根據加減消元法適用于未知數(shù)前面系數(shù)不為1的方程組，代入消元法適用于未知數(shù)前系數(shù)是1的方程組，即可進行解答．
【詳解】解:根據題意得：方程組中，-5y和5y符號相反，用加減消元法更合適；
方程組中，用代入法直接將x=4y代入x+5y=9中更合適．
故答案為：加減，代入．
【點睛】本題主要考查了選擇合適的方法解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法和代入消元法適用的情況是解題的關鍵．
13．（2021·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）已知，滿足方程組，則的值為______．
【答案】
【分析】將方程組中的兩個方程相減即可得．
【詳解】解：，由①②得：，則，故答案為：．
【點睛】本題考查了解二元一次方程，熟練掌握方程組的解法是解題關鍵．
14．（2023·廣東清遠·統(tǒng)考一模）若關于，的二元一次方程組的解滿足，則的值為________．
【答案】6
【分析】先消元用 表示出方程組的解，再代入已知條件，即可求得．
【詳解】因為，故可得，
代入，則，則4p=24,解得．故答案為：6．
【點睛】本題考查二元一次方程組的求解，解一元一次方程的應用，屬基礎題，關鍵是能根據題意得出關于p的方程
15．（寧夏銀川2021-2022學年下學期九年級第二次模擬數(shù)學試題）已知，滿足方程組，則的值為______．
【答案】-2
【分析】根據等式的性質方程①與方程②相減即可．
【詳解】解：，得，，即，故答案為：．
【點睛】本題考查二元一次方程組的解，理解等式的性質是解決問題的前提，方程①與方程②相減是解決問題的關鍵．
16．（2023·江蘇·揚州市江都區(qū)七年級階段練習）若方程組無解，則a的值為________
【答案】-6
【分析】根據加減消元法得出，然后根據方程組無解，得到a+6=0，求出即可．
【詳解】解∶，①×3+②，得，
∵方程組無解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案為：-6．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程等知識點的應用，關鍵是根據題意得出一個關于a的方程（a＋6＝0），題目比較典型，有一點難度，是一道容易出錯的題目．
17．（2023·遼寧·興城市七年級期中）某同學在解方程組的過程中，錯把b看成了6，他其余的解題過程沒有出錯，解得此方程組的解為，又已知是關于x，y 的方程y=kx+b的一個解，則b的正確值應該是________
【答案】
【分析】將和b=6代入方程組，解出k的值．然后再把代入y=kx+b中解出b的值．
【詳解】解：依題意將代入y=kx+6，得：2=-k+6，k=4；
將和k=4代入y=kx+b，得1=3×4+b，∴b=-11．故答案為：-11．
【點睛】本題考查的是二元一次方程的解法．先將已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函數(shù)中可解出b的值．運用代入法是解二元一次方程常用的方法．
18．（2023·浙江·七年級期末）已知關于，的二元一次方程組（是常數(shù)），若不論取什么實數(shù)，代數(shù)式（是常數(shù)）的值始終不變，則______．
【答案】-1
【分析】將方程組中的兩個方程變形后聯(lián)立消掉即可得出結論．
【詳解】解：是常數(shù)），
=10，即，
．故答案為：．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，將方程組中的兩個方程聯(lián)立消掉是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·天津七年級期中）解方程組：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用加減消元法解方程即可；（2）利用加減消元法解方程即可．
（1）②－①×2得： 解得
將代入①得：，則方程組的解為．
（2）②+①得：解得
將代入①得：，則方程組的解為．
【點睛】此題考查了解二元一次方程組，熟練利用加減消元法先求出一個未知數(shù)的值是解本題的關鍵．
20．（2023·山東濟南市·八年級期末）解方程組
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據二元一次方程組的代入消元法即可求解．
（2）根據二元一次方程組的加減消元法即可求解．
【詳解】（1）解：把①代入②得：
把代入①得：∴方程組的解是：
（2）解：由①得：2x＋2y＝8 ③
由③－②得：把代入①得：∴方程組的解是：
【點睛】本題考查了解二元一次方程組的方法，靈活運用消元的思路是解題的關鍵．
21．（2023·成都嘉祥外國語學校八年級期末）如圖，小紅和小明兩人共同解方程組
根據以上他們的對話內容，請你求出，的正確值，并計算的值．
【答案】，，0
【分析】根據題意將代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代數(shù)式求值.
【詳解】解：因為小明看錯了方程①中的，所以滿足方程②，
即，解得，因為小紅看錯了方程②中的，所以滿足方程①，
即，解得，所以．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組解的定義，解決本題的關鍵是將已知方程組的解代入方程進行求解.
22.（2023·江蘇連云港市·）在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得到解為，乙看錯了方程組中的b，而得到解為．（1）求正確的a，b的值；（2）求原方程組的解．
【答案】（1）a=4 b=5（2）x=—2，y=—1.8
分析：（1）把代入方程組的第二個方程，把代入方程組的第一個方程，即可得到一個關于a，b的方程組，即可求解；（2）把a，b的值代入原方程組，然后解方程組即可．
【解析】（1）根據題意得： 解得：
（2）原方程組是： 利用加減消元法解得：.
點睛：本題主要考查了方程組的解的定義，正確解方程組是解題的關鍵．
23．（2023·河北·七年級階段練習）嘉嘉在解方程組時，發(fā)現(xiàn)方程①和②存在一定關系，他的解法如下．
解：將方程②變形，得．
將①代入③，得．
解這個方程，得．
把代入①，得．所以原方程組的解為
嘉嘉的這種解法叫“整體換元法”，請用“整體換元法”完成下列問題．
(1)解方程組
①把方程①代入方程②，則方程②變?yōu)開_____________________；
②原方程組的解為____________________；
(2)解方程組
【答案】(1)①；②(2)原方程組的解為
【分析】（1）結合已知條件，可知把方程①代入方程②，則方程②變?yōu)椋M行求解即可；
（2）利用條件中給出的“整體換元法”，先將①進行變形為，再進行整體換元解方程即可．
（1）解：把方程①代入方程②，則方程②變?yōu)椋獾茫海?br/>將代入①，得，∴原方程組的解為；
（2）由題意可知：①×2得：，
將③代入②，得，解得：，
將代入①，得，∴原方程組的解為．
【點睛】本題主要考查的是二元一次方程解法中的特殊方法：整體換元法，重點在于找出“整體”進行消元，部分題型需要先進行轉化，再進行整體換元．
24．（2023·河南駐馬店·七年級期末）已知關于x，y的方程組．
(1)請直接寫出方程x+2y-6=0的所有正整數(shù)解；
(2)若方程組的解滿足x+y=0，求m的值；
(3)無論實數(shù)m取何值，關于x，y的方程m-2y+mx+4=0總有一個固定的解，請求出這個解．
【答案】(1)方程x+2y-6=0的所有正整數(shù)解為：，(2)m＝﹣(3)固定的解為：
【分析】（1）將x做已知數(shù)求出y，即可確定出方程的正整數(shù)解；
（2）將x+y=0與原方程組中的第一個方程組成新的方程組，可得x、y的值，再代入第二個方程中可得m的值；（3）當含m項為零時，取x=0，代入可得固定的解．
（1）解：方程x+2y-6=0，即x+2y=6，解得：x=6-2y，
當y=1時，x=4；當y=2時，x=2，
方程x+2y-6=0的所有正整數(shù)解為：，；
（2）解：由題意得：，解得，
把代入x-2y+mx+4=0，得-6-12-6m+4=0，解得m=-；
（3）解：∵m-2y+mx+4=0，∴（1+x）m-2y=-4，∴當1+x=0時，即x=-1時，y=2，
即固定的解為：．
【點睛】此題考查了解二元一次方程的整數(shù)解和二元一次方程組的解，熟練掌握運算法則和求方程組的解是本題的關鍵．
25.（2023·重慶黔江·七年級期末）閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得：（、為正整數(shù)）．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為3的倍數(shù)，從而，代入．所以的正整數(shù)解為．
問題：(1)請你直接寫出方程的正整數(shù)解___________．
(2)若為自然數(shù)，則求出滿足條件的正整數(shù)的值．
(3)關于，的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．
【答案】(1)(2)8或5或4或3(3)-4或0或2
【分析】（1）先移項，在把x的系數(shù)化為1，可得，再根據、為正整數(shù)，即可求解；
（2）根據為自然數(shù)，x為正整數(shù)，可得x-2取6或3或2或1，即可求解；
（3）先求出方程組的解為，再根據方程組的解是正整數(shù)，可得4-k=8或4或2或1，從而得到k取-4或0或2或3，即可求解．
（1）解：∵，∴，解得： ，
∵、為正整數(shù)，∴是3的倍數(shù)，且，∴0＜y＜4，∴y=1，
∴方程的正整數(shù)解為；故答案為：
（2）解：∵為自然數(shù)，x為正整數(shù)，∴x-2取6或3或2或1，
∴x取8或5或4或3；
（3）解：解方程組得：，
∵方程組的解是正整數(shù)，∴8是的倍數(shù)， ∴4-k=8或4或2或1，
∴k取-4或0或2或3，
當k=-4時，，符合題意；
當k=0時，，符合題意；
當k=2時，，符合題意；
當k=3時，，不符合題意；
綜上所述，整數(shù)的值為-4或0或2．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，解二元一次方程組，二元一次方程組的解，能得出方程組的解是解（3）的關鍵．
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專題2-3 解二元一次方程組
模塊1：學習目標
1. 理解消元的數(shù)學思想；
2. 能熟練、正確、靈活使用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組；
3. 會對一些特殊的方程組進行特殊的求解。
模塊2：知識梳理
1）消元法的目的：消去一個未知數(shù)，轉化為方便求解的一元一次方程。
2）代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，轉化為一元一次方程，進而求解這個二元一次方程組的方法。
3）代入消元法的步驟：
①在方程組中選取一個系數(shù)較簡單的方程，將這個方程變形，用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；
②將這個關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，轉換為一元一次方程，并求解該一元一次方程。
③利用已求解的未知數(shù)，代入關系式中，求解出另一個未知數(shù)的解。
4）加減消元法：兩個二元一次方程中，同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相同時，將這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)的方法。
5）加減消元法步驟：
①確定消元對象，并把該對象的系數(shù)化為相等或相反形式；
②將兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，轉化為一元一次方程，并求解；
③將求解出來的值代入任意原方程中，求解出另一個未知數(shù)的值。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 代入消元法
例1．（2023·浙江長興·期中）解方程組，
變式1.（2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·遼寧本溪·八年級期中）（1） （2）
考點2. 加減消元法
例1．（2023·山東·德州市九年級期中）解方程組：
(1) (2)
變式1．（2020·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）用加減消元法解二元一次方程組時，下列方法中無法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
變式2．（2023·河南·濮陽市八年級期中）解方程組
(1) (2)
考點3. 同解方程組
例1．（2023·廣東韶關七年級期中）若方程組與有相同的解，則a，b的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
變式1．（2023·山東濟寧·七年級期末）已知方程組和方程組有相同的解，則，的值分別為（　　　）
A． B． C． D．
考點4. 二元一次方程組的錯解復原
例1．（2023·湖南懷化·七年級期末）在解方程組時，一同學把c看錯而得到，正確的解應是，那么的值是（ ）
A．不能確定 B．－3 C．－1 D．1
變式1．（2023·河南·安陽市七年級期末）甲乙兩名同學在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為；乙看錯了方程組中的b，而得解為．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)請你根據以上兩種結果，求出原方程組的正確解．
考點5. 整體構造法求代數(shù)式的值
例1．（2023·廣東韶關實驗中學七年級期中）關于x、y的二元一次方程組的解滿足，則m的值是______．
變式1．（2023·湖南·長沙市八年級開學考試）已知，滿足方程組，則的值為______．
變式2．（2023·北京期末）已知：關于x、y的方程組，則x-y的值為( )
A．－1 B．a-1 C．0 D．1
考點6. 根據二元一次方程組的特殊解求參數(shù)
例1．（2023·江蘇·揚州市江都區(qū)第三中學七年級階段練習）若方程組無解，則a的值為________
變式1.（2023·貴州·七年級期末）若關于，的方程，，有公共解，則k的值為 ．
變式2．（2023·浙江·七年級期末）已知關于，的二元一次方程組（是常數(shù)），若不論取什么實數(shù)，代數(shù)式（是常數(shù)）的值始終不變，則______．
考點7. 二元一次方程組的整數(shù)解問題
例1．（2023·福建福州·七年級期中）關于x，y的方程組的解為整數(shù)，則滿足這個條件的整數(shù)k的個數(shù)有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．無數(shù)個
變式1．（2023·福建·福州年級期中）方程組有正整數(shù)解，則整數(shù)k的個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考點8. 換元法解二元一次方程組
例1．（2023·山東威海·七年級期末）【材料閱讀】換元法是數(shù)學中很重要，且應用廣泛的解題方法，我們通常把未知量稱為“元” ．所謂換元法，就是在解題時，把某個式子看成整體，用一個新的變量去代替它，從而使得復雜問題簡單化．換元法的實質是問題轉化，關鍵是構造元和設元．
【方法引領】
用換元法解方程組：．
分析：由于方程組中含有式子和，所以可設．
原方程組可化為．
解得 ，即 ．
進而可求得原方程組的解．……
【問題解決】用換元法解決下列問題：
(1)若關于x，y的方程組的解是，則關于a，b的方程組的解是 ；（直接寫答案）
(2)已知方程組，求x，y的值．
變式1.（2023·山東·鄒城市七年級階段練習）已知方程組的解是，則的解是（ ）
A． B． C． D．
考點9. 整體代入（加減）消元法解二元一次方程組
例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江市·七年級期中）【閱讀材料】
善于思考的小明在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：
解：將方程變形：，
即，把方程代入得：，所以，
將代入得，所以原方程組的解為．
[解決問題]（1）模仿小明的“整體代換”法解方程組，
（2）已知x，y滿足方程組，求的值．
變式1.（2023·福建泉州·七年級期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代入”的解法如下：
解：將方程②變形：，即③；
把方程①代入③，得：，所以；
把代入①得，，所以方程組的解為．
請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組
變式2．（2023·湖北八年級期末）閱讀下列解方程的解法，然后解決有關問題．
解方程組時，如果考慮常規(guī)的消元法（即代入消元法和加減消元法），那將非常麻煩！若用下面的方法非常規(guī)的解法，則輕而易舉
，得，即
，得 ，得
把代入（3）得，即 所以原方組的解是
以上的解法的技巧是根據方程的特點構造了方程（3）．我們把這種解法稱為構造法，請你用構造法解方程組
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·浙江·七年級期中）解方程組①②，比較簡便的方法是（　）
A．均用代入消元法 B．均用加減消元法
C．①用代入消元法，②用加減消元法 D．①用加減消元法，②用代入消元法
2．（2023·河南淇縣·七年級期中）用加減法解方程組由②-①消去未知數(shù)，所得到的一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知二元一次方程組，則的值為（ ）
A．2 B．6 C． D．
4．（2023·河北邯鄲·校聯(lián)考二模）解方程組時，經過下列步驟，能消去末知數(shù)y的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·統(tǒng)考二模）我們知道二元一次方程組的解是．現(xiàn)給出另一個二元一次方程組，它的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山東淄博·八年級期中）已知關于，的二元一次方程組，的解為，其中“ ”是不小心被墨水涂的，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（海南省海口市第十四中學2021-2022學年七年級下學期第一次練習數(shù)學試題）如圖，天秤中的物體a、b、c使天秤處于平衡狀態(tài)，則物體a與物體c的重量關系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
8．（2023·河南·漯河市七年級期中）若關于x、y的二元一次方程組與的解相同，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2023·浙江七年級階段練習）已知關于x，y的方程組 ，給出下列結論：①不論a取何值，方程組總有一組解；②當a＝﹣2時，x，y的值互為相反數(shù)；③x+2y＝3；④當時，a＝2．其中正確的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
10.（2023·廣東·揭陽模擬預測）如果關于，的方程組的解是整數(shù)，那么整數(shù)的值為（　　）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）二元一次方程組的解為________．
12．（河南省商丘市睢縣2021-2022學年七年級下學期期末數(shù)學試題）解方程組適合用_______消元法，解方程組適合用_______消元法．
13．（2021·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）已知，滿足方程組，則的值為______．
14．（2023·廣東清遠·統(tǒng)考一模）若關于，的二元一次方程組的解滿足，則的值為________．
15．（寧夏銀川2021-2022學年下學期九年級第二次模擬數(shù)學試題）已知，滿足方程組，則的值為______．
16．（2023·江蘇·揚州市江都區(qū)七年級階段練習）若方程組無解，則a的值為________
17．（2023·遼寧·興城市七年級期中）某同學在解方程組的過程中，錯把b看成了6，他其余的解題過程沒有出錯，解得此方程組的解為，又已知是關于x，y 的方程y=kx+b的一個解，則b的正確值應該是________
18．（2023·浙江·七年級期末）已知關于，的二元一次方程組（是常數(shù)），若不論取什么實數(shù)，代數(shù)式（是常數(shù)）的值始終不變，則______．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·天津七年級期中）解方程組：
(1)； (2)．
20．（2023·山東濟南市·八年級期末）解方程組
（1） （2）
21．（2023·成都嘉祥外國語學校八年級期末）如圖，小紅和小明兩人共同解方程組
根據以上他們的對話內容，請你求出，的正確值，并計算的值．
22.（2023·江蘇連云港市·）在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得到解為，乙看錯了方程組中的b，而得到解為．（1）求正確的a，b的值；（2）求原方程組的解．
23．（2023·河北·七年級階段練習）嘉嘉在解方程組時，發(fā)現(xiàn)方程①和②存在一定關系，他的解法如下．
解：將方程②變形，得．
將①代入③，得．
解這個方程，得．
把代入①，得．所以原方程組的解為
嘉嘉的這種解法叫“整體換元法”，請用“整體換元法”完成下列問題．
(1)解方程組
①把方程①代入方程②，則方程②變?yōu)開_____________________；
②原方程組的解為____________________；
(2)解方程組
24．（2023·河南駐馬店·七年級期末）已知關于x，y的方程組．
(1)請直接寫出方程x+2y-6=0的所有正整數(shù)解；(2)若方程組的解滿足x+y=0，求m的值；
(3)無論實數(shù)m取何值，關于x，y的方程m-2y+mx+4=0總有一個固定的解，請求出這個解．
25.（2023·重慶黔江·七年級期末）閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得：（、為正整數(shù)）．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為3的倍數(shù)，從而，代入．所以的正整數(shù)解為．
問題：(1)請你直接寫出方程的正整數(shù)解___________．
(2)若為自然數(shù)，則求出滿足條件的正整數(shù)的值．
(3)關于，的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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