資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題2-4 二元一次方程組的應(yīng)用
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題；
2. 掌握解二元一次方程組應(yīng)用題的步驟；
3. 通過實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
模塊2：知識梳理
1）列方程組解應(yīng)用題步驟
（1）列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系。一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：
①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相等。
（2）解應(yīng)用題的一般步驟為：
①讀題：找出題目中的數(shù)量關(guān)系，列寫等量關(guān)系式；
②設(shè)元：以好表達(dá)等量關(guān)系式為原則，設(shè)不知道的量為未知數(shù)；
③列方程：依據(jù)等量關(guān)系式，結(jié)合未知數(shù)列寫方程；
④解答。
2）分析數(shù)量關(guān)系的常用方法
（1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系：將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。
（2）列表分析數(shù)量關(guān)系：當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。該方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。
模塊3：核心考點(diǎn)與典例
考點(diǎn)1二元一次方程組的應(yīng)用--年齡問題
例1.（2023·重慶市松樹橋中學(xué)校七年級階段練習(xí)）7月4日，2020長白山地下森林徒步活動鳴槍開始，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽．下面是兩個孩子與記者的部分對話：
妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．
哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．
根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出現(xiàn)在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？
【答案】現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．
【分析】設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)兩孩子的對話，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，
根據(jù)題意得 解得
答：現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用題目信息，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程解決．
變式1．（2023·成都外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲．”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲．”則甲、乙現(xiàn)在的年齡分別是______．
【答案】42歲，23歲
【分析】設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，根據(jù)甲、乙年齡之間的關(guān)系，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，
依題意，得：，解得：．
答：甲現(xiàn)在42歲，乙現(xiàn)在23歲．故答案為：42歲，23歲．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·江蘇·七年級期末）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．
(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）；(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？
【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲
(2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子
【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．
(1)設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．
．解得：
答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；
(2)（年） （年）
小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2二元一次方程組的應(yīng)用--數(shù)學(xué)文化問題
例2.（2023·陜西商洛·七年級期末）“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一．大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中，就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞和兔關(guān)在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿，問籠中雞和兔各有幾只？（請列二元一次方程組解答此題）
【答案】籠中有23只雞，12只兔
【分析】設(shè)籠中各有x只雞，y只兔，據(jù)：①雞數(shù)+兔數(shù)=35，②雞足+兔足=94，列出方程組求解可得．
【詳解】解：設(shè)籠中各有x只雞，y只兔，根據(jù)題意得：
，解得，∴籠中有23只雞，12只兔
答：籠中有23只雞，12只兔．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程組求解是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·重慶八年級期中）《九章算術(shù)》中記載了一個問題，原文如下：“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？”大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人數(shù)及該物品的價格．小明用二元一次方程組解此問題，若已經(jīng)列出一個方程，則符合題意的另一個方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，可知設(shè)每人出x文，總共y文，再列另一個方程即可．
【詳解】∵，∴設(shè)每人出x文，總共y文，∴另一個方程為，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，正確設(shè)未知數(shù)，靈活列方程是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·北京市七年級期末）程大位，明代商人，珠算發(fā)明家，被稱為珠算之父、卷尺之父．少年時，讀書極為廣博，對數(shù)學(xué)頗感興趣，60歲時完成其杰作《直指算法統(tǒng)宗》（簡稱《算法統(tǒng)宗》）．在《算法統(tǒng)宗》里記載了一道趣題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完．試問大、小和尚各多少人？
下列是四位同學(xué)的解答：
①小明：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)題意可列方程組為
②小麗：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)題意可列方程組為
③小東：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100-x)人，根據(jù)題意可列方程為．
④小華：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100-x)人，根據(jù)題意可列方程為100-3x=．
其中，以上解答一定正確的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列出對應(yīng)的二元一次方程組和一元一次方程組即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，
根據(jù)題意可列方程組為，故①正確，②錯誤；
設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100-x)人，根據(jù)題意可列方程為，故③錯誤，④正確．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組和一元一次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3.二元一次方程組的應(yīng)用--和、差、倍、分問題
例3．（2023·福建·晉江市七年級階段練習(xí)）在當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)技術(shù)部門的指導(dǎo)下，小明家種植的菠蘿喜獲豐收．去年菠蘿的收入結(jié)余12000元，今年菠蘿的收入比去年增加了20%，支出減少了10%，預(yù)計今年結(jié)余比去年多11400元．
(1)今年結(jié)余_____元；(2)若設(shè)去年的收入為x元，支出為y元，則今年的收入為____元，支出為____元；（以上兩空用含x、y的式子表示）(3)列出關(guān)于x、y的方程組．
【答案】(1)23400 (2)1.2x；0.9y(3)
【分析】（1）根據(jù)去年菠蘿的收入結(jié)余12000元，結(jié)余今年預(yù)計比去年多11400元，可以計算出今年的結(jié)余；（2）根據(jù)今年菠蘿的收入比去年增加了20%，支出減少10%，可以表示出今年的收入和支出；（3）根據(jù)題意“去年菠蘿的收入結(jié)余12000元，今年結(jié)余比去年多11400元．”列出相應(yīng)的方程組，即可．
（1）解：根據(jù)題意得：今年的結(jié)余為12000+11400=23400元；故答案為：23400
（2）解：設(shè)去年的收入為x元，支出為y元，則今年的收入為x+20%x=1.2x元，支出為y-10%y=0.9y元；故答案為：1.2x；0.9y
（3）解：根據(jù)題意得：．
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組，利用方程的知識解答．
變式1．（2023·浙江溫州·七年級期中）疫情期間，某單位采購了50包口罩和30瓶消毒液，一共花費(fèi)1633元，其中消毒液的單價比口罩的單價多2元，求口罩的單價和消毒液的單價．設(shè)口罩的單價為x元，消毒液的單價為y元，依題意可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)口罩的單價為x元，消毒液的單價為y元，根據(jù)等量關(guān)系式：消毒液的單價=口罩的單價+2元，50包口罩+30瓶消毒液=1633元，列出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)口罩的單價為x元，消毒液的單價為y元，根據(jù)題意得：
，故B正確．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·浙江金華·七年級期末）浙教版七（下）數(shù)學(xué)書P44中有這樣一個合作學(xué)習(xí)：游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽．每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽是紅色游泳帽的2倍．設(shè)男孩有x人，女孩有y人，可列方程組________．
【答案】
【分析】利用每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色游泳帽是紅色的2倍，進(jìn)而分別得出等式即可．
【詳解】解：設(shè)男孩x人，女孩有y人，根據(jù)題意得：
．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，根據(jù)題目信息找出等量關(guān)系并列出方程組是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4二元一次方程組的應(yīng)用--方案問題
例1．（2023·重慶市七年級期中）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸．
(1)請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸？
(2)目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運(yùn)完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)400元，請你列出所有的運(yùn)輸方案，并指出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為多少元．
【答案】(1)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸(2)共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛；安排A貨車8輛，B貨車2輛費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為4800元
【分析】（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，根據(jù)3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸，列出方程求解即可；
（2）設(shè)安排A貨車輛，B貨車輛，根據(jù)目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，列出方程求解即可．
（1）設(shè)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸．
根據(jù)題意得解得．
答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸．
（2）設(shè)安排A貨車輛，B貨車輛，依題意，得
，即，
又因為均為正整數(shù)，所以或或，
所以共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；
方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛．
方案1所需費(fèi)用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需費(fèi)用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需費(fèi)用：500×2+400×10=5000（元）；
因為4800<4900<5000，所以安排A貨車8輛，B貨車2輛費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為4800元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意列出方程求解．
變式1．（2023·江西宜春·七年級階段練習(xí)）小賢有一張面值為100元的人民幣，需要兌換成面值為5元或10元的零錢，若要求包含兩種面值，則共有___________種兌換方案．
【答案】9
【分析】設(shè)兌換成面值5元的人民幣x張，面值10元的人民幣y張，根據(jù)兌換成零錢的總價值為100元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)，即可得出共有9種兌換方案．
【詳解】解：設(shè)兌換成面值5元的人民幣x張，面值10元的人民幣y張，
依題意得：5x＋10y＝100，∴x＝20 2y．
又∵x，y均為正整數(shù)，
∴或或或或或或或或，
∴共有9種兌換方案．故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·山東·七年級期中）今年疫情期間某物流公司計劃用兩種車型運(yùn)輸救災(zāi)物資，用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運(yùn)11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿．
(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運(yùn)多少噸？
(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案，并把符合要求的租車方案都列出來；
(3)若A型車每輛需租金每次100元，B型車每輛租金每次120元，請從（2）中的方案里選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．
【答案】(1)1輛A型車裝滿物資一次可運(yùn)3噸，1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)4噸
(2)方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車．(3)最省錢的租車方案為租用1輛A型車，7輛B型車，最少租車費(fèi)為940元
【分析】（1）設(shè)1輛A型車裝滿物資一次可運(yùn)x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)y噸，根據(jù)“用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運(yùn)11噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)要一次運(yùn)送31噸貨物，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)即可得出各租車方程；（3）根據(jù)總租金=每輛車的租車費(fèi)用×租車輛數(shù)，分別求出三種租車方案所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．
（1）解：設(shè)1輛A型車裝滿物資一次可運(yùn)x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)y噸，
依題意，得：，解得：．
答：1輛A型車裝滿物資一次可運(yùn)3噸，1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)4噸．
（2）解：依題意，得：3a+4b=31，∴．
又∵a，b均為正整數(shù)，∴或或，
∴該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車．
（3）解：方案1所需租金為100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金為100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金為100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，∴最省錢的租車方案為租用1輛A型車，7輛B型車，最少租車費(fèi)為940元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，分別求出三種租車方案所需費(fèi)用．
考點(diǎn)5二元一次方程組的應(yīng)用--行程問題
例1．（2023·山東·七年級階段練習(xí)）已知A，B兩地相距120千米，甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，其終點(diǎn)分別為B，A兩地，兩車均先以每小時a千米的速度行駛，再以每小時b千米的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時間相等．
(1)若，且甲車行駛的總時間為小時，求a和b的值；
(2)若，且乙車行駛的總時間為小時，求兩車相遇時，離A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分別為60，40；(2)
【分析】（1）由甲車以兩種速度行駛的路程相等且時間為小時及建立方程組求出其解即可；（2）由乙車行駛的時間相等就可以得出兩次的時間分別為小時，由兩段路程之和等于120及建立方程組求出其解即可求出a、b的值，從而得到甲車前一半的時間為，從而得出相遇時甲車還沒行駛到60km，則離A地的路程為相遇時間乘甲車開始的速度即可．
（1）解：∵甲車以兩種速度行駛的路程相等，
∴甲車以兩種速度行駛的路程均為60 km．
∴由題意得：，解得：；即a和b的值分別為60，40；
（2）∵乙車以兩種速度行駛的時間相等，
∴乙車以兩種速度行駛的時間均為小時
∴由題意得：解得：；∴甲車前一半的時間為：，
由于，則乙h時行的路程為：，
∵，∴甲車行駛到一半路程時，甲乙兩車的路程和超過120km，
∴相遇時甲車還沒行駛到60km，
∴相遇時間為：，
則離A地的路程為：．即：兩車相遇時，離A地．
【點(diǎn)睛】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，列二元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時分別運(yùn)用路程相等和時間相等建立方程組是解答本題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·江蘇·無錫七年級階段練習(xí)）甲、乙二人在一個大型環(huán)形場地上從A點(diǎn)同時同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，當(dāng)4分鐘時兩人首次相遇，此時乙還需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場地的周長．
【答案】甲的速度為375米/分，乙的速度為150米/分，環(huán)形場地的周長為900米．
【分析】設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場地的周長為y米，根據(jù)環(huán)形問題的數(shù)量關(guān)系，同時、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝環(huán)形周長建立方程組求出其解即可．
【詳解】解：設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場地的周長為y米，
由題意，得：，解得：，
∴甲的速度為：2.5×150＝375米/分；
答：甲的速度為375米/分，乙的速度為150米/分，環(huán)形場地的周長為900米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答時運(yùn)用環(huán)形問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
變式2．（2023·吉林四平·七年級期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果保持上坡路每小時走3千米，平路每小時走4千米，下坡路每小時走5千米，那么從甲地到乙地需0.9小時，從乙地到甲地需0.7小時。請問從甲地到乙地上坡路與平路各是多少千米？
【答案】從甲地到乙地上坡路長為1.5千米，平路長為1.6千米
【分析】設(shè)從甲地到乙地上坡路長為千米，平路長為千米，根據(jù)題意即可列出二元一次方程組，解方程組，即可求得．
【詳解】設(shè)從甲地到乙地上坡路長為千米，平路長為千米，
根據(jù)題意得：解得
答：從甲地到乙地上坡路長為1.5千米，平路長為1.6千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解決本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)6. 二元一次方程組的應(yīng)用--工程問題
例1.（2023·吉林·七年級階段練習(xí)）一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元；
(2)已知甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需24天，單獨(dú)請哪個組，商店所需費(fèi)用少？
(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨(dú)做；②乙單獨(dú)做；③甲乙合做，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結(jié)論）
【答案】(1)甲組工作一天，商店應(yīng)付300元，乙組工作一天，商店應(yīng)付140元
(2)單獨(dú)請乙組，商店所需費(fèi)用少 (3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【分析】（1）根據(jù)題意建立方程組并求解；
（2）將單獨(dú)請甲乙組的費(fèi)用計算出來，再進(jìn)行比較，得出答案；
（3）將三種方案損失費(fèi)用計算出來進(jìn)行比較，得出答案．
（1）設(shè)甲組工作一天，商店應(yīng)付x元，乙組工作一天，商店應(yīng)付y元，
依題意得：，解得：．
答：甲組工作一天，商店應(yīng)付300元，乙組工作一天，商店應(yīng)付140元．
（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，∴單獨(dú)請乙組，商店所需費(fèi)用少．
（3）選擇①：（300+200）×12＝6000（元）；
選擇②：（140+200）×24＝8160（元）；
選擇③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握方程組的實(shí)際運(yùn)用是本題解題關(guān)鍵．
變式1．（2023·廣東潮州·七年級期末）臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)同時工作h共收割水稻，臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)同時工作h共收割水稻，設(shè)臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)每小時收割水稻分別是公頃、公頃，則下列列式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先設(shè)臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)每小時收割水稻分別是公頃、公頃，再根據(jù)“臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)同時工作h共收割水稻”，得到；再根據(jù)“臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)同時工作h共收割水稻”，得到．聯(lián)立方程組，即可得到正確的選項．
【詳解】臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)每小時收割水稻分別是公頃、公頃，
根據(jù)題意得：．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用問題，解本題關(guān)鍵在理解題意，并列出二元一次方程組．
變式2．（2023·河南南陽·七年級期中）我市在創(chuàng)建省級衛(wèi)生文明城市建設(shè)中，對城內(nèi)的部分河道進(jìn)行整治．現(xiàn)有一段長360米的河道整治任務(wù)由甲、乙兩個工程隊先后接力完成．甲工程隊每天整治16米，乙工程隊每天整治24米，共用時20天．求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米？
(1)小明、小華兩位同學(xué)提出的解題思路如下：
①小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后單工程隊整治河道米，乙工程隊整治河道米．
根據(jù)題意，得
②小華同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，表示______，表示______；
則可列方程組為
請你補(bǔ)全小明、小華兩位同學(xué)的解題思路．(2)請從①②中任選一個解題思路，寫出完整的解答過程．
【答案】(1)①；②甲工程隊工作的天數(shù)；乙工程隊工作的天數(shù)；見解析(2)見解析
【分析】（1）小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．根據(jù)甲、乙兩隊共完成120米的整治河道任務(wù)且共同時20天，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組；小華同學(xué)：根據(jù)小華同學(xué)所列的方程組，找出m，n表示的意義；
（2）任選一位同學(xué)的思路，解方程組即可得出結(jié)論．
（1）① 故答案為：；
② m表示甲工程隊工作的天數(shù)；n表示乙工程隊工作的天數(shù)
故答案為：甲工程隊工作的天數(shù)；乙工程隊工作的天數(shù)；
（2）選擇① 解：設(shè)整治任務(wù)完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．則
解得 經(jīng)檢驗，符合題意
答：甲工程隊整治河道240米，乙工程隊整治河道120米．
選擇②解：設(shè)甲工程隊工作的天數(shù)是m天，乙工程隊工作的天數(shù)是n天． 則
解得 經(jīng)檢驗，符合題意
甲整治的河道長度：15×16=240米 ；乙整治的河道長度：5×24=120米
答：甲工程隊整治河道240米，乙工程隊整治河道120米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)7.二元一次方程組的應(yīng)用--銷售、利潤問題
例1．（2023·北京市七年級期中）在新年聯(lián)歡會上，同學(xué)們組織了精彩的猜謎活動，為了獎勵猜對的同學(xué)，老師決定購買筆袋或彩色鉛筆作為獎品，已知個筆袋和筒彩色鉛筆原價共需元；個
筆袋和筒彩色鉛筆原價共需元．(1)求每個筆袋、每筒彩色鉛筆的原價各多少元？(2)時逢新年期間，商店舉行“優(yōu)惠促銷”活動，具體辦法如下：筆袋“九折”優(yōu)惠；彩色鉛筆不超過筒不優(yōu)惠，超出筒的部分“八折”優(yōu)惠．如果買個筆袋需要元，買筒彩色鉛筆需要元．請用含，的代數(shù)式分別表示和；
(3)如果在（2）的條件下一共購買同一種獎品件，請分析買哪種獎品省錢．
【答案】(1)每個筆袋的原價為元，每筒彩色鉛筆的原價為元
(2)，(3)購買彩色鉛筆省錢
【分析】（1）設(shè)每個筆袋的原價為元，每筒彩色鉛筆的原價為元，根據(jù)“個筆袋和筒彩色鉛筆原價共需元；個筆袋和筒彩色鉛筆原價共需元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總價單價數(shù)量，即可用含，的分別求出和的解析式；
（3）代入，求出，的值，比較后即可得出結(jié)論．
（1）解：設(shè)每個筆袋的原價為元，每筒彩色鉛筆的原價為元，
依題意，得：，解得：，
答：每個筆袋的原價為元，每筒彩色鉛筆的原價為元；
（2）解：依題意，得：，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
；
（3）解：當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
，購買彩色鉛筆省錢．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、求函數(shù)解析式以及函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列出函數(shù)解析式；（3）代入，求出，的值．
變式1．（2023·廣東廣州·七年級期末）甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板決定將甲服裝按的利潤率定價，乙服裝按的利潤率定價．在實(shí)際出售時，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店老板共獲利157元．甲、乙兩件服裝的成本各為多少元？
【答案】甲服裝的成本為300元，乙服裝的成本為200元
【分析】設(shè)甲服裝的成本為元，乙服裝的成本為元，則甲服裝的定價為元，乙服裝的定價為元，根據(jù)“甲、乙兩件服裝的成本共500元”和“兩件服裝均按9折出售，這樣商店老板共獲利157元”建立方程組，解方程組即可得．
【詳解】解：設(shè)甲服裝的成本為元，乙服裝的成本為元，則甲服裝的定價為元，乙服裝的定價為元，
由題意得：，解得，
答：甲服裝的成本為300元，乙服裝的成本為200元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系并正確建立方程組是解題關(guān)鍵．
變式2．（2023·重慶·黔江區(qū)七年級期中）重慶某超市有A，B兩種產(chǎn)品進(jìn)行銷售，購買50件A產(chǎn)品，30件B產(chǎn)品，一共花費(fèi)1450元，如果購買60件A產(chǎn)品，10件B產(chǎn)品，則一共花費(fèi)1350元．
(1)請問A、B兩種產(chǎn)品的單價為多少元？(2)五一即將來臨，超市分別針對A、B商品進(jìn)行打折銷售．購買A種商品數(shù)量超過20的每件商品打八折銷售；購買B種品數(shù)超過30的每件商品打六折銷售．小紅去超市購買A，B兩種產(chǎn)品54件，一共花費(fèi)了640元，請問小紅分別購買A、B兩種產(chǎn)品多少件？
【答案】(1)種產(chǎn)品的單價為20元、種產(chǎn)品的單價為15元
(2)小紅購買種產(chǎn)品為22件、種產(chǎn)品的32件或小紅購買種產(chǎn)品為14件、種產(chǎn)品的40件
【分析】（1）設(shè)種產(chǎn)品的單價為元、種產(chǎn)品的單價為元，由題意列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購買種產(chǎn)品為件、種產(chǎn)品的件，由題意列出方程組，解方程組解可．
（1）解：設(shè)種產(chǎn)品的單價為元、種產(chǎn)品的單價為元，
由題意得：，解得．
答：種產(chǎn)品的單價為20元、種產(chǎn)品的單價為15元．
（2）
解：設(shè)購買種產(chǎn)品為件、種產(chǎn)品的件，
①購買種商品數(shù)量超過20件，購買種品數(shù)超過30件，
由題意得：，解得：；
②購買種商品數(shù)量超過20件，購買種品數(shù)不超過30件，
由題意得：，解得：，不合題意舍去，
③購買種商品數(shù)量不超過20件，購買種品數(shù)超過30件，
由題意得：，解得：，
答：小紅購買種產(chǎn)品為22件、種產(chǎn)品的32件或小紅購買種產(chǎn)品為14件、種產(chǎn)品的40件．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答此類應(yīng)用類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，得出等量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為方程解題，難度一般，第二問需要分類討論，注意不要遺漏．
考點(diǎn)8二元一次方程組的應(yīng)用--幾何問題
例1.（2023·江蘇·南京九年級階段練習(xí)）如圖，某校勞動小組計劃利用已有的一堵長為6m的墻，用籬笆圍成一個面積為的矩形勞動基地ABCD，邊AD的長不超過墻的長度，在BC邊上開設(shè)寬為1m的門EF（門不需要消耗籬笆）．設(shè)AB的長為x（m），BC的長為y（m）．
(1)若圍成矩形勞動基地ABCD三邊的籬笆總長為10m，求AB和BC的長度．(2)若AB和BC的長都是整數(shù)（單位：m），且圍成矩形勞動基地ABCD三邊的籬笆總長小于10m，請直接寫出所有滿足條件的圍建方案．
【答案】(1)AB＝4，BC＝3(2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4
【分析】（1）根據(jù)；籬笆總長和門的長表示出AB、BC，列出方程即可．（2）根據(jù)圍成矩形三邊的籬笆總長小于10列出不等式，再由x和y為整數(shù)且xy=12確定出滿足題意的方案．
（1）根據(jù)題意得：，即．
代入得：，整理得：．解得：或．
當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意．則AB=4,BC=3．
（2）根據(jù)題意得：，即．
∵AB，BC為整數(shù)，即x，y為整數(shù)，且．∴當(dāng)y=6時，x=2；當(dāng)y=4時，x=3．
則滿足條件的圍建方案為：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·河北唐山·七年級期中）如圖所示的是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低，兩塊豎放的墻磚比兩塊橫放的墻磚高，則每塊墻磚的截面面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)每塊墻磚的長為x cm，寬為y cm，觀察圖形，根據(jù)長方形墻磚長寬之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可求出x，y的值，再利用長方形的面積計算公式，即可求出每塊墻磚的截面面積．
【詳解】解：設(shè)每塊墻磚的長為x cm，寬為y cm，
由題意得：，解得：，∴xy=45×20=900，
∴每塊墻磚的截面面積是900cm2．故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·浙江溫州市·七年級期末）長方形ABCD可以分割成如圖所示的七個正方形．若，則AD等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，設(shè)DE=x，EF=y，然后由邊長的數(shù)量關(guān)系列出方程組，解方程組求出x、y，即可得到答案．
【詳解】解：如圖：設(shè)DE=x，EF=y，根據(jù)題意，則，
解得：，∴；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確列出方程組進(jìn)行解題．
考點(diǎn)9.二元一次方程組的應(yīng)用--數(shù)字問題
例1．（2023·山東淄博·七年級期中）小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程碑上的數(shù)（單位：公里）如下：
時刻 9：00 9：48 11：00
里程碑上的數(shù) 是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為6 也是一個兩位數(shù)，十位與個位數(shù)字與9：00時所看到的正好互換了 是一個三位數(shù)，比9：00時看到的兩位數(shù)的數(shù)字中間多了個0
如果設(shè)小明9：00時看到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，那么：
(1)小明9：00時看到的兩位數(shù)為______；
(2)小明9：48時看到的兩位數(shù)為______，11：00時看到的三位數(shù)為______；
(3)請你列二元一次方程求小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)．
【答案】(1)(2)；(3)小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)是15
【分析】（1）根據(jù)數(shù)位的概念用十位數(shù)字的10倍加上個位數(shù)字即是此兩位數(shù)；（2）同樣用數(shù)位的概念進(jìn)行表達(dá)即可，9：48時十位與個位數(shù)字與9：00時所看到的正好互換了，則十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為x，11：00時看到的三位數(shù)百位數(shù)字是x，十位數(shù)字是0，個位數(shù)字是y；（3）分別根據(jù)兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和為6和行駛過程中速度不變兩個等量關(guān)系列出方程，解出方程即可．
（1）∵兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，∴兩位數(shù)可表示為；故答案為；．
（2）∵9：48時看到的兩位數(shù)十位與個位數(shù)字與9：00時所看到的正好互換了
∴十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為x，∴兩位數(shù)可表示為；
∵11：00看到的數(shù)字是一個三位數(shù)，比9：00時看到的兩位數(shù)的數(shù)字中間多了個0，
∴此三位數(shù)百位數(shù)字是x，十位數(shù)字是0，個位數(shù)字是y，
∴11：00時的三位數(shù)可表示為：；故答案為；；．
（3）根據(jù)題意可知行駛速度不變，從9:00到9:48用時48分鐘，到11:00用時120分鐘，列方程如下：，解得：．
∴小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)是15．答：小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)是15．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)位的概念和二元一次方程組的應(yīng)用，理解數(shù)位的概念和表達(dá)方法，找到題中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·湖北武漢·七年級期末）一個兩位數(shù)，若交換其個位數(shù)與十位數(shù)的位置，則所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大63，這樣的兩位數(shù)共有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【分析】設(shè)原兩位數(shù)的個位為x， 十位為y，則這個兩位數(shù)為10y+x， 所以交換其個位數(shù)與十位數(shù)的位置，所得新兩位數(shù)為10x+y，再列方程10x+y 10y x=63， 找出符合條件的正整數(shù)解即可．
【詳解】解：設(shè)原兩位數(shù)的個位為x， 十位為y， 則這個兩位數(shù)為10y+x，
交換其個位數(shù)與十位數(shù)的位置，所得新兩位數(shù)為10x+y， 則10x+y 10y x=63，整理得：x y=7，
又∵x，y為正整數(shù)，且0【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程的正整數(shù)解，理解題意，用代數(shù)式正確的表示出一個兩位數(shù)是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·內(nèi)蒙古·七年級階段練習(xí)）如圖，在的方格內(nèi)，填寫了一些代數(shù)式和數(shù)．
(1)在圖1中各行、各列及對角線上三個數(shù)之和都相等，請你求出，的值；
(2)把滿足（1）的其它6個數(shù)填入圖2中的方格內(nèi)．
【答案】(1)(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“各行、各列及對角線上三個數(shù)之和都相等”，列出方程組求解即可；
（2）根據(jù)計算出的x、y值，求出其它6個數(shù)即可．
（1）解：由已知條件可得，解得：．
（2）解：如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)“各行、各列及對角線上三個數(shù)之和相等”從而列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)10. 二元一次方程組的應(yīng)用之配套問題
例10．（2023·福建福州·七年級期末）某包裝廠承接一批禮品盒制作業(yè)務(wù)，他們以規(guī)格200cm×40cm的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，每張標(biāo)準(zhǔn)板材按照截法一或截法二裁下A型與B型兩種板材．如圖甲（單位：cm）
(1)列出方程（組），求出圖甲中a與b的值．
(2)若將625張標(biāo)準(zhǔn)板材用截法一裁剪，125張標(biāo)準(zhǔn)板材用截法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，剛好可以做成圖乙的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒．求可以做豎式與橫式兩種無蓋禮品盒各多少個？
【答案】(1)圖甲中的值為，的值為
(2)可以做豎式無蓋禮品盒200個，橫式無蓋禮品盒400個
【分析】（1）觀察圈形，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)板材的長度為200cm，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)可以做豎式無蓋禮品盒x個，橫式無蓋禮品盒y個，根據(jù)裁剪的兩種型號的板材正好做成圖乙的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
（1）解：依題意，得：，解得：．
答：圖甲中的值為，的值為．
（2）設(shè)可以做豎式無蓋禮品盒m個，橫式無蓋禮品盒n個，
依題意（圖乙），得：，解得：．
答：可以做豎式無蓋禮品盒200個，橫式無蓋禮品盒400個．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·廣東·七年級課時練習(xí)）有一些蘋果箱，若每個裝蘋果，則剩余蘋果無處裝，若每個裝蘋果．則余20個空箱，這些蘋果箱有（ ）
A．12個 B．60個 C．112個 D．128個
【答案】D
【分析】設(shè)這些蘋果箱有個，蘋果總重量為，則蘋果總數(shù)為或，再列方程組，從而可得答案.
【詳解】解：設(shè)這些蘋果箱有個，蘋果總重量為，則
解得：
方程組的解為： 答：這些蘋果箱有個.故選：
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，得出正確的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
變式2．（2023·天津·七年級期末）有支隊名運(yùn)動員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊人，每支排球隊人，每名運(yùn)動員只能參加一項比賽．設(shè)籃球隊有支參賽，排球隊有參賽，則下面所列方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)籃球隊有支參賽，排球隊有參賽，根據(jù)“支隊名運(yùn)動員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊人，每支排球隊人，”即可列出方程組．
【詳解】解：設(shè)籃球隊有支參賽，排球隊有參賽，根據(jù)題意得：，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·黑龍江·哈爾濱市七年級階段練習(xí)）六年前，A的年齡是B的年齡的3倍，現(xiàn)在A的年齡是B的年齡的2倍，A現(xiàn)在的年齡是(　　)．
A．12歲 B．18歲 C．24歲 D．30歲
【答案】C
【詳解】解：設(shè)A現(xiàn)在的年齡是x歲，B是y歲．根據(jù)題意得：
，解得：．故選C．
2．（2023·廣東·東莞市七年級期中）一種飲料有兩種包裝，5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設(shè)大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)“5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：依題意，得：，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
3.（2023·福建·模擬預(yù)測）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？其意思為：九百九十九文錢買了甜果和苦果共一千個．已知十一文錢可買九個甜果，四文錢可買七個苦果，那么甜果、苦果各買了多少個？買甜果和苦果各需要多少文錢？若設(shè)買甜果個，買苦果個，則下列關(guān)于、的二元一次方程組中符合題意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)買甜果x個，買苦果y個，根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．
【詳解】解：設(shè)買甜果個，買苦果個，由題意可得，，故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
4．（2023·重慶北碚區(qū)·七年級期末）古代《折繩測井》“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？“譯文大致是：“用繩子測水井深度，如果將繩子折成三等分，井外余繩4尺；如果將繩子折成四等分，井外余繩1尺，問繩長、井深各是多少尺？“如果設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意列方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用代數(shù)式表示井深即可得方程．此題中的等量關(guān)系有：①將繩三折測之，繩多四尺；②繩四折測之，繩多一尺．
【詳解】解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意可得故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
5．（2023·山西臨汾·七年級期末）金山銀山不如綠水青山，某地準(zhǔn)備購買一些松樹苗和梭梭樹苗綠化荒山，已知購買棵松樹苗和棵梭梭樹苗需要元，購買棵梭梭樹苗比棵松樹苗少花費(fèi)元，設(shè)每棵松樹苗元，每棵梭梭樹苗元，則列出的方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)“購買棵松樹苗和棵梭梭樹苗需要元，購買棵梭梭樹苗比棵松樹苗少花費(fèi)元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：購買棵松樹苗和棵梭梭樹苗需要元，；
購買棵梭梭樹苗比棵松樹苗少花費(fèi)元，．
所列方程組為．故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·浙江臺州·七年級期末）如圖，用四個完全相同的長方形紙片拼成一個大正方形．若外面的大正方形和里面的小正方形的周長的差和面積的差數(shù)值相等，則下列說法正確的是（ ）
A．長方形紙片的長是2，寬無法確定 B．長方形紙片的寬是2，長無法確定
C．長方形紙片的長和寬之比為 D．條件不足不能求出長方形紙片的長或?qū)?br/>【答案】A
【分析】設(shè)長方形紙片的長為x，寬為y，（x＞y），根據(jù)外面的大正方形和里面的小正方形的周長的差和面積的差數(shù)值相等，列出方程，即可求出，得出答案．
【詳解】解：設(shè)長方形紙片的長為x，寬為y，（x＞y），根據(jù)題意得：
，整理得：，∵，∴，
因此長方形紙片的長是2，寬無法確定，故A正確．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列二元一次方程解決實(shí)際問題，設(shè)出未知數(shù)，找出題目中的等量關(guān)系式，列出方程，是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·巴中八年級期中）某污水處理廠庫池里現(xiàn)有待處理的污水m噸．另有從城區(qū)流入庫池的待處理污水（新流入污水按每小時n噸的定流量增加）．若該廠同時開動2臺機(jī)組，需30小時處理完污水；若同時開動3臺機(jī)組，需15小時處理完污水．若5小時處理完污水，則需同時開動的機(jī)組數(shù)為（ ）
A．6臺 B．7臺 C．8臺 D．9臺
【答案】B
【分析】設(shè)同時開動x臺機(jī)組，每臺機(jī)組每小時處理a噸污水，根據(jù)“如果同時開動2臺機(jī)組要30小時剛好處理完污水，同時開動3臺機(jī)組要15小時剛好處理完污水”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值（用含a的代數(shù)式表示），再由5小時內(nèi)將污水處理完畢，即可得出關(guān)于關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)同時開動x臺機(jī)組，每臺機(jī)組每小時處理a噸污水，
依題意，得，解得：，
∵5ax=30a+5a，∴x=7．答：要同時開動7臺機(jī)組．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是用二元一次方程組來解決實(shí)際問題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·浙江·七年級期末）計算機(jī)的某種運(yùn)算程序如圖，已知輸入3時輸出的運(yùn)算結(jié)果是5，輸入4時輸出的運(yùn)算結(jié)果是7．若輸入的數(shù)是x（x≠0）時輸出的運(yùn)算結(jié)果為P，輸入的數(shù)是3x時輸出的運(yùn)算結(jié)果為Q，則（　　）
A．P：Q＝3 B．Q：P＝3 C．（Q﹣1）：（P﹣1）＝3 D．（Q+1）：（P+1）＝3
【答案】D
【分析】由運(yùn)算程序可得3a+b=5，4a+b=7，求出a、b的值，再表示出P、Q，從而得出關(guān)系．
【詳解】解：∵輸入3時輸出的運(yùn)算結(jié)果是5，輸入4時輸出的運(yùn)算結(jié)果是7．
∴，∴a=2，b=-1，∴P=2x-1，Q=6x-1，∴（Q+1）：（P+1）=（6x）：（2x）=3，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)運(yùn)算程序列出二元一次方程組是解決問題的關(guān)鍵．
9.（2023·重慶江津·七年級階段練習(xí)）甲乙兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的151倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1089．求這兩個兩位數(shù)？如果設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y．則得方程組( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y．根據(jù)題意，列出二元一次方程組即可求解．
【詳解】解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y．根據(jù)題意，得方程組，故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·福建省永春烏石中學(xué)七年級階段練習(xí)）小明要用80元錢買A、B兩種型號的口罩，兩種型號的口罩必須都買，80元錢全部用盡，A型每個6元，B型口罩每個4元，則小明的購買方案有（ ）
A．4種 B．6種 C．8種 D．10種
【答案】B
【分析】設(shè)買A型號的口罩x個，B型號的口罩y個，得，根據(jù)題意列出符合題目的購買方案即可解答；
【詳解】解：設(shè)買A型號的口罩x個，B型號的口罩y個，且x、y均為正整數(shù)，
即有，變形，得，根據(jù)題意，且x、y均為正整數(shù)，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
符合題意，所以小明的購買方案有6種；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求解二元一次方程的正整數(shù)解的知識，正確理解題意，找到兩種口罩的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·重慶大足·七年級期末）今年“五一”勞動節(jié)期間，某手機(jī)專賣店上架了甲、乙兩款手機(jī)．前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比乙款手機(jī)的數(shù)量多50%，后兩天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量少40%，結(jié)果后兩天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量比前三天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量多12%，若后兩天甲、乙兩款手機(jī)的銷售總額比前三天甲、乙兩款手機(jī)的銷售總額多24%，在整個銷售期間甲乙兩款手機(jī)的單價不變，則甲款手機(jī)的單價與乙款手機(jī)的單價的比值為______．
【答案】17：32
【分析】設(shè)前三天售出的乙款手機(jī)的數(shù)量是x，則前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量為1.5x，則后兩天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量是0.6x，后兩天售出的乙款手機(jī)的數(shù)量是2.2x，設(shè)甲款手機(jī)的單價為a，乙款手機(jī)的單價為b，根據(jù)題意列出方程解答即可．
【詳解】設(shè)前三天售出的乙款手機(jī)的數(shù)量是x，則前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量為1.5x，則后兩天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量是0.6x，后兩天售出的乙款手機(jī)的數(shù)量是2.2x，設(shè)甲款手機(jī)的單價為a，乙款手機(jī)的單價為b，依題意有0.6xa + 2.2xb= (1 + 24%) (xa + 1.5xb)，
化簡得0.64a = 0.34b，則a：b=17：32，
故甲款手機(jī)的單價與乙款手機(jī)的單價的比值為17：32，故答案為17 ：32．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·山西呂梁·七年級期末）如圖，在3×3的網(wǎng)格內(nèi)填寫了一些數(shù)和代數(shù)式，已知各行各列及對角線上的三個數(shù)之和都相等，則的值為________．
【答案】0
【分析】根據(jù)“各行各列及對角線上的三個數(shù)之和都相等”可列出相應(yīng)的一元一次方程式組，解出x和y的值，進(jìn)而求出m的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得： ，
各行各列及對角線上的三個數(shù)之和為：4×1﹣3+2＝3，
2+y+m＝3，即2+1+m＝3，解得m＝0．故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，讀懂題意，找出等量關(guān)系，并據(jù)此列出方程組是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·天津市八年級期末）一次越野賽跑中，當(dāng)小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過小剛追上小明，時小剛到達(dá)終點(diǎn)，時小明到達(dá)終點(diǎn)．這次越野賽跑的全程為_______．
【答案】2050
【分析】根據(jù)兩人的全程的距離相同可得出，再由當(dāng)小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過時小剛追上小明，可以得到，解方程求出a、b的值，由此求解即可．
【詳解】解：解：根據(jù)題意，得，解得：
所以m故答案為：2050
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確根據(jù)題意列出方程求解．
14．（2023·江西上饒·七年級期末）一名學(xué)生問老師：“你今年多大了？”老師風(fēng)趣地說“我像你這樣大的時候，你才2歲；你到我這么大時，我已經(jīng)38歲了”，則今年老師的歲數(shù)是 _____．
【答案】26
【分析】設(shè)今年老師的歲數(shù)是x歲，學(xué)生的歲數(shù)是y歲，根據(jù)學(xué)生今年年齡減年齡差等于2，老師今年年齡加年齡差等于38，列出二元一次方程組即可．
【詳解】解：設(shè)今年老師的歲數(shù)是x歲，學(xué)生的歲數(shù)是y歲，
依題意得：， 解得：．故答案為：26．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，準(zhǔn)確抓住數(shù)量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·湖北·九年級專題練習(xí)）某酒店客房部有三人間普通客房，雙人間普通客房，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：三人間150元間，雙人間140元/間．為吸引游客，酒店實(shí)行團(tuán)體入住5折優(yōu)惠措施，一個48人的旅游團(tuán)，優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費(fèi)1380元，則該旅游團(tuán)住了三人間普通客房和雙人間普通客房共_____間．
【答案】19
【分析】設(shè)住了三人間普通客房x間，住雙人間普通客房y間，根據(jù)總?cè)藬?shù)和總費(fèi)用列得方程，求解即可．
【詳解】設(shè)住了三人間普通客房x間，住雙人間普通客房y間，
由題意得，，解得，∴x+y=19，
∴該旅游團(tuán)住了三人間普通客房和雙人間普通客房共19間，故答案為：19．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·江蘇·七年級階段練習(xí)）如圖，正方形由四個相同的大長方形，四個相同的小長方形以及一個小正方形組成，其中四個大長方形的長和寬分別是小長方形長和寬的2倍，若中間小正方形的面積為1，則大正方形的面積是__________．
【答案】16
【分析】設(shè)小長方形的長為a，寬為b，則大長方形的長為2a，寬為2a，根據(jù)圖形中大小長方形長與寬之間的關(guān)系，列出二元一次方程組，進(jìn)行計算即可得．
【詳解】解：設(shè)小長方形的長為a，寬為b，則大長方形的長為2a，寬為2a，
依題意得，解得，，
∴大長方形的邊長為：，∴，故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系列出二元一次方程組并正確求解．
17．（2020·湖南衡陽·中考真題）某班有52名學(xué)生，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍少17人，則女生有__ 名．
【答案】23
【分析】關(guān)系式為：男生人數(shù)+女生人數(shù)=52，男生人數(shù)=2×女生人數(shù)-17．把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．
【解析】設(shè)男生人數(shù)為x人，女生人數(shù)為y人．由此可得方程組．解得，
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．
18．（2023·廣東·豐順縣八年級開學(xué)考試）某校購新書本，共付元，其中科技書每本元，文藝書每本元，則科技書買了_____本，文藝書買了______本．
【答案】
【分析】根據(jù)題意列出二元一次方程組求解．
【詳解】解：設(shè)科技書買了x本，文藝書買了y本，則由題意可得：
，解之可得：，故答案為：180；140．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程組的求解是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·青海·西寧七年級期中）在西寧市青少年禁毒教育活動中，某班男生小明與班上同學(xué)一起到禁毒教育基地參觀，以下是小明和媽媽的對話，請根據(jù)對話內(nèi)容，求小明班上參觀禁毒教育基地的男生和女生的人數(shù)．
【答案】男生34人，女生20人
【分析】設(shè)小明班上參觀禁毒教育基地的男生人數(shù)為x人，女生人數(shù)為y人，根據(jù)“男生人數(shù)+女生人數(shù)=54、男生人數(shù)=1.5×女生人數(shù)+4”列出方程組并解答．
【詳解】設(shè)小明班上參觀禁毒教育基地的男生人數(shù)為x人，女生人數(shù)為y人，
依題意得：，解得，
答：小明班上參觀禁毒教育基地的男生人數(shù)為34人，女生人數(shù)為20人．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．弄清題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
20．（2023·陜西商洛·七年級期末）“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一．大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中，就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞和兔關(guān)在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿，問籠中雞和兔各有幾只？（請列二元一次方程組解答此題）
【答案】籠中有23只雞，12只兔
【分析】設(shè)籠中各有x只雞，y只兔，根據(jù)：①雞數(shù)+兔數(shù)=35，②雞足+兔足=94，列出方程組求解可得．
【詳解】解：設(shè)籠中各有x只雞，y只兔，根據(jù)題意得：
，解得，∴籠中有23只雞，12只兔
答：籠中有23只雞，12只兔．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程組求解是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·浙江·七年級期中）工作人員從倉庫領(lǐng)取如圖①中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒若干個，恰好使領(lǐng)取的紙板用完．
(1)若工作人員領(lǐng)取正方形紙板560張，長方形紙板940張，請問利用領(lǐng)取的紙板做了豎式與橫式紙盒各多少個？(2)若工作人員某次領(lǐng)取的正方形紙板數(shù)與長方形紙板數(shù)之比為1：3，請你求出利用這些紙板做出的豎式紙盒與橫式紙盒個數(shù)的比值．
【答案】(1)做成40個豎式紙盒，260個橫式紙盒
(2)豎式紙盒與橫式紙盒個數(shù)的比值為3
【分析】（1）設(shè)做成x個豎式紙盒，y個橫式紙盒，則需要正方形紙板（x+2y）張，需要長方形的紙板（4x+3y）張，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可求解；
（2）由（1）結(jié)合題意可得：，解比例即可求解．
（1）解：設(shè)做成x個豎式紙盒，y個橫式紙盒，
則需要正方形紙板（x+2y）張，需要長方形的紙板（4x+3y）張，
由題意可得：，解得：
答：做成40個豎式紙盒，260個橫式紙盒；
（2）由題意可得：，解得：x＝3y，∴x：y＝3，
答：豎式紙盒與橫式紙盒個數(shù)的比值為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二元一次方程組的解，理解題意，找到等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·山西·七年級期末）某次籃球聯(lián)賽部分積分如下：
隊名 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
據(jù)表格提供的信息解答下列問題：（1）勝一場、負(fù)一場各積多少分？（2）某隊的勝場總積分能等于負(fù)場總積分嗎？若能，試求出勝場數(shù)和負(fù)場數(shù)；若不能，請說明理由．
【答案】（1）勝一場積分，負(fù)一場積分；（2）不能，見解析
【分析】（1）設(shè)勝一場積分，負(fù)一場積分，根據(jù)A、B兩隊的得分情況列方程組，求解；
（2）設(shè)勝場數(shù)是，則負(fù)場數(shù)是，由“勝場總積分等于負(fù)場總積分”，列出方程求解并判斷．
【詳解】解：（1）設(shè)勝一場積分，負(fù)一場積分,
依題意得，解得 答：勝一場積分，負(fù)一場積分．
（2）不能
設(shè)勝場數(shù)是，則負(fù)場數(shù)是．若勝場總積分等于負(fù)場總積分，
依題意可得，解得．
必須為整數(shù)，勝場總積分不能等于負(fù)場總積分．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組和一元一次方程的應(yīng)用，找出數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵．
23．（2023·江蘇·七年級單元測試）A、B兩地相距3千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地，兩人同時出發(fā)，20分鐘后兩人相遇，又經(jīng)過10分鐘，甲所余路程為乙所余路程的2倍．(1)求甲、乙每小時各行多少千米？
(2)在他們出發(fā)后幾分鐘兩人相距1.5千米（直接寫出結(jié)果）？
【答案】(1)甲每小時行4千米，乙每小時行5千米(2)10分鐘或30分鐘
【分析】（1）這是行程問題中的相遇問題，三個基本量：路程、速度、時間．關(guān)系式為：路程=速度×?xí)r間．題中的兩個等量關(guān)系是：20分鐘×甲的速度+20分鐘×乙的速度=3千米，3千米-30分鐘×甲的速度=（3千米-30分鐘×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意單位換算；
（2）先求出兩人一共行駛的路程，再除以速度和即可求解．
（1）解：設(shè)甲每小時行千米．乙每小時行千米．
依題意：解方程組得
答：甲每小時行4千米，乙每小時行5千米．
（2）相遇前：（3-1.5）÷（+）=1.5÷=10（分鐘），
相遇后：（3+1.5）÷（+）=4.5÷=30（分鐘）．
故在他們出發(fā)后10分鐘或30分鐘兩人相距1.5千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，本題是行程問題中的相遇問題，解題關(guān)鍵是如何建立二元一次方程組的模型．
24．（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級期中）隨著新能源汽車需求量的增加，某汽車銷售公司計劃購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售．據(jù)了解，輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價共計萬元；輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價共計萬元．(1)A，B兩種型號的汽車每輛進(jìn)價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃恰好用萬元購進(jìn)以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均需購買），請你寫出所有購買方案．
【答案】(1)A型汽車每輛進(jìn)價萬元，型汽車每輛進(jìn)價萬元
(2)所有購買方案：購進(jìn)7輛A型汽車，5輛型汽車；購進(jìn)4輛A型汽車，10輛型汽車；購進(jìn)1輛A型汽車，15輛型汽車
【分析】（1）設(shè)A型汽車每輛進(jìn)價萬元，型汽車每輛進(jìn)價萬元，根據(jù)“輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價共計萬元；輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價共計萬元”，即可得關(guān)于x、y的一元二次方程組，解之即可；
（2）設(shè)購進(jìn)輛A型汽車和輛型汽車，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，得到關(guān)于a、b的二元一次方程，結(jié)合a、b是正整數(shù)即可得所有購買方案．
（1）解：設(shè)A型汽車每輛進(jìn)價萬元，型汽車每輛進(jìn)價萬元，
由題意知：， 解得：，
答：A型汽車每輛進(jìn)價萬元，型汽車每輛進(jìn)價萬元．
（2）解：設(shè)購進(jìn)輛A型汽車和輛型汽車，
則，，
均為正整數(shù)，∴當(dāng)b=5時，a=7或b=10時，a=4或b=15時，a=1，
∴所有購買方案如下：購進(jìn)7輛A型汽車，5輛型汽車；購進(jìn)4輛A型汽車，10輛型汽車；購進(jìn)1輛A型汽車，15輛型汽車．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用及二元一次方程的正整數(shù)解的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出二元一次方程（組）是解題關(guān)鍵．
25．（2023·福建·七年級期中）杭州某公司準(zhǔn)備安裝完成5700輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，公司準(zhǔn)備招聘一批新工人．生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車？
(2)若公司原有熟練工m人，現(xiàn)招聘n名新工人，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務(wù)，已知工人們安裝的共享單車中不能正常投入運(yùn)營的占5%，求m的值．
【答案】(1)每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車．
(2)m的值為12．
【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)“1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)抽調(diào)m名熟練工人，由工作總量=工作效率×工作時間，即可得出關(guān)于n，m的二元一次方程，再根據(jù)n，m均為正整數(shù)且，即可求出m的值．
（1）解：設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意得：解得：．答：每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車．
（2）（2）根據(jù)題意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得：，∵n，m均為正整數(shù)，且，∴（舍），（舍），，∴m的值為12．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．
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專題2-4 二元一次方程組的應(yīng)用
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題；
2. 掌握解二元一次方程組應(yīng)用題的步驟；
3. 通過實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
模塊2：知識梳理
1）列方程組解應(yīng)用題步驟
（1）列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系。一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：
①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相等。
（2）解應(yīng)用題的一般步驟為：
①讀題：找出題目中的數(shù)量關(guān)系，列寫等量關(guān)系式；
②設(shè)元：以好表達(dá)等量關(guān)系式為原則，設(shè)不知道的量為未知數(shù)；
③列方程：依據(jù)等量關(guān)系式，結(jié)合未知數(shù)列寫方程；
④解答。
2）分析數(shù)量關(guān)系的常用方法
（1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系：將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。
（2）列表分析數(shù)量關(guān)系：當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。該方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。
模塊3：核心考點(diǎn)與典例
考點(diǎn)1二元一次方程組的應(yīng)用--年齡問題
例1.（2023·重慶市松樹橋中學(xué)校七年級階段練習(xí)）7月4日，2020長白山地下森林徒步活動鳴槍開始，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽．下面是兩個孩子與記者的部分對話：
妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．
哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．
根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出現(xiàn)在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？
變式1．（2023·成都外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲．”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲．”則甲、乙現(xiàn)在的年齡分別是______．
變式2．（2023·江蘇·七年級期末）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．
(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）；(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？
考點(diǎn)2二元一次方程組的應(yīng)用--數(shù)學(xué)文化問題
例2.（2023·陜西商洛·七年級期末）“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一．大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中，就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞和兔關(guān)在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿，問籠中雞和兔各有幾只？（請列二元一次方程組解答此題）
變式1．（2023·重慶八年級期中）《九章算術(shù)》中記載了一個問題，原文如下：“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？”大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人數(shù)及該物品的價格．小明用二元一次方程組解此問題，若已經(jīng)列出一個方程，則符合題意的另一個方程是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·北京市七年級期末）程大位，明代商人，珠算發(fā)明家，被稱為珠算之父、卷尺之父．少年時，讀書極為廣博，對數(shù)學(xué)頗感興趣，60歲時完成其杰作《直指算法統(tǒng)宗》（簡稱《算法統(tǒng)宗》）．在《算法統(tǒng)宗》里記載了一道趣題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完．試問大、小和尚各多少人？
下列是四位同學(xué)的解答：
①小明：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)題意可列方程組為
②小麗：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)題意可列方程組為
③小東：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100-x)人，根據(jù)題意可列方程為．
④小華：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100-x)人，根據(jù)題意可列方程為100-3x=．
其中，以上解答一定正確的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
考點(diǎn)3.二元一次方程組的應(yīng)用--和、差、倍、分問題
例3．（2023·福建·晉江市七年級階段練習(xí)）在當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)技術(shù)部門的指導(dǎo)下，小明家種植的菠蘿喜獲豐收．去年菠蘿的收入結(jié)余12000元，今年菠蘿的收入比去年增加了20%，支出減少了10%，預(yù)計今年結(jié)余比去年多11400元．
(1)今年結(jié)余_____元；(2)若設(shè)去年的收入為x元，支出為y元，則今年的收入為____元，支出為____元；（以上兩空用含x、y的式子表示）(3)列出關(guān)于x、y的方程組．
變式1．（2023·浙江溫州·七年級期中）疫情期間，某單位采購了50包口罩和30瓶消毒液，一共花費(fèi)1633元，其中消毒液的單價比口罩的單價多2元，求口罩的單價和消毒液的單價．設(shè)口罩的單價為x元，消毒液的單價為y元，依題意可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·浙江金華·七年級期末）浙教版七（下）數(shù)學(xué)書P44中有這樣一個合作學(xué)習(xí)：游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽．每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽是紅色游泳帽的2倍．設(shè)男孩有x人，女孩有y人，可列方程組________．
考點(diǎn)4二元一次方程組的應(yīng)用--方案問題
例1．（2023·重慶市七年級期中）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運(yùn)貨160噸．
(1)請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸？
(2)目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運(yùn)完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)400元，請你列出所有的運(yùn)輸方案，并指出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為多少元．
變式1．（2023·江西宜春·七年級階段練習(xí)）小賢有一張面值為100元的人民幣，需要兌換成面值為5元或10元的零錢，若要求包含兩種面值，則共有___________種兌換方案．
變式2．（2023·山東·七年級期中）今年疫情期間某物流公司計劃用兩種車型運(yùn)輸救災(zāi)物資，用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運(yùn)11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿．
(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運(yùn)多少噸？
(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案，并把符合要求的租車方案都列出來；
(3)若A型車每輛需租金每次100元，B型車每輛租金每次120元，請從（2）中的方案里選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．
考點(diǎn)5二元一次方程組的應(yīng)用--行程問題
例1．（2023·山東·七年級階段練習(xí)）已知A，B兩地相距120千米，甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，其終點(diǎn)分別為B，A兩地，兩車均先以每小時a千米的速度行駛，再以每小時b千米的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時間相等．
(1)若，且甲車行駛的總時間為小時，求a和b的值；(2)若，且乙車行駛的總時間為小時，求兩車相遇時，離A地多少千米？
變式1．（2023·江蘇·無錫七年級階段練習(xí)）甲、乙二人在一個大型環(huán)形場地上從A點(diǎn)同時同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，當(dāng)4分鐘時兩人首次相遇，此時乙還需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場地的周長．
變式2．（2023·吉林四平·七年級期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果保持上坡路每小時走3千米，平路每小時走4千米，下坡路每小時走5千米，那么從甲地到乙地需0.9小時，從乙地到甲地需0.7小時。請問從甲地到乙地上坡路與平路各是多少千米？
考點(diǎn)6. 二元一次方程組的應(yīng)用--工程問題
例1.（2023·吉林·七年級階段練習(xí)）一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元；
(2)已知甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需24天，單獨(dú)請哪個組，商店所需費(fèi)用少？
(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨(dú)做；②乙單獨(dú)做；③甲乙合做，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結(jié)論）
變式1．（2023·廣東潮州·七年級期末）臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)同時工作h共收割水稻，臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)同時工作h共收割水稻，設(shè)臺大收割機(jī)和臺小收割機(jī)每小時收割水稻分別是公頃、公頃，則下列列式正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·河南南陽·七年級期中）我市在創(chuàng)建省級衛(wèi)生文明城市建設(shè)中，對城內(nèi)的部分河道進(jìn)行整治．現(xiàn)有一段長360米的河道整治任務(wù)由甲、乙兩個工程隊先后接力完成．甲工程隊每天整治16米，乙工程隊每天整治24米，共用時20天．求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米？
(1)小明、小華兩位同學(xué)提出的解題思路如下：
①小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后單工程隊整治河道米，乙工程隊整治河道米．
根據(jù)題意，得
②小華同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，表示______，表示______；
則可列方程組為
請你補(bǔ)全小明、小華兩位同學(xué)的解題思路．(2)請從①②中任選一個解題思路，寫出完整的解答過程．
考點(diǎn)7.二元一次方程組的應(yīng)用--銷售、利潤問題
例1．（2023·北京市七年級期中）在新年聯(lián)歡會上，同學(xué)們組織了精彩的猜謎活動，為了獎勵猜對的同學(xué)，老師決定購買筆袋或彩色鉛筆作為獎品，已知個筆袋和筒彩色鉛筆原價共需元；個
筆袋和筒彩色鉛筆原價共需元．(1)求每個筆袋、每筒彩色鉛筆的原價各多少元？(2)時逢新年期間，商店舉行“優(yōu)惠促銷”活動，具體辦法如下：筆袋“九折”優(yōu)惠；彩色鉛筆不超過筒不優(yōu)惠，超出筒的部分“八折”優(yōu)惠．如果買個筆袋需要元，買筒彩色鉛筆需要元．請用含，的代數(shù)式分別表示和；(3)如果在（2）的條件下一共購買同一種獎品件，請分析買哪種獎品省錢．
變式1．（2023·廣東廣州·七年級期末）甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板決定將甲服裝按的利潤率定價，乙服裝按的利潤率定價．在實(shí)際出售時，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店老板共獲利157元．甲、乙兩件服裝的成本各為多少元？
變式2．（2023·重慶·黔江區(qū)七年級期中）重慶某超市有A，B兩種產(chǎn)品進(jìn)行銷售，購買50件A產(chǎn)品，30件B產(chǎn)品，一共花費(fèi)1450元，如果購買60件A產(chǎn)品，10件B產(chǎn)品，則一共花費(fèi)1350元．
(1)請問A、B兩種產(chǎn)品的單價為多少元？(2)五一即將來臨，超市分別針對A、B商品進(jìn)行打折銷售．購買A種商品數(shù)量超過20的每件商品打八折銷售；購買B種品數(shù)超過30的每件商品打六折銷售．小紅去超市購買A，B兩種產(chǎn)品54件，一共花費(fèi)了640元，請問小紅分別購買A、B兩種產(chǎn)品多少件？
考點(diǎn)8二元一次方程組的應(yīng)用--幾何問題
例1.（2023·江蘇·南京九年級階段練習(xí)）如圖，某校勞動小組計劃利用已有的一堵長為6m的墻，用籬笆圍成一個面積為的矩形勞動基地ABCD，邊AD的長不超過墻的長度，在BC邊上開設(shè)寬為1m的門EF（門不需要消耗籬笆）．設(shè)AB的長為x（m），BC的長為y（m）．
(1)若圍成矩形勞動基地ABCD三邊的籬笆總長為10m，求AB和BC的長度．(2)若AB和BC的長都是整數(shù)（單位：m），且圍成矩形勞動基地ABCD三邊的籬笆總長小于10m，請直接寫出所有滿足條件的圍建方案．
變式1．（2023·河北唐山·七年級期中）如圖所示的是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低，兩塊豎放的墻磚比兩塊橫放的墻磚高，則每塊墻磚的截面面積是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·浙江溫州市·七年級期末）長方形ABCD可以分割成如圖所示的七個正方形．若，則AD等于（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)9.二元一次方程組的應(yīng)用--數(shù)字問題
例1．（2023·山東淄博·七年級期中）小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程碑上的數(shù)（單位：公里）如下：
時刻 9：00 9：48 11：00
里程碑上的數(shù) 是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為6 也是一個兩位數(shù)，十位與個位數(shù)字與9：00時所看到的正好互換了 是一個三位數(shù)，比9：00時看到的兩位數(shù)的數(shù)字中間多了個0
如果設(shè)小明9：00時看到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，那么：
(1)小明9：00時看到的兩位數(shù)為______；
(2)小明9：48時看到的兩位數(shù)為______，11：00時看到的三位數(shù)為______；
(3)請你列二元一次方程求小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)．
變式1．（2023·湖北武漢·七年級期末）一個兩位數(shù)，若交換其個位數(shù)與十位數(shù)的位置，則所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大63，這樣的兩位數(shù)共有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
變式2．（2023·內(nèi)蒙古·七年級階段練習(xí)）如圖，在的方格內(nèi)，填寫了一些代數(shù)式和數(shù)．
(1)在圖1中各行、各列及對角線上三個數(shù)之和都相等，請你求出，的值；
(2)把滿足（1）的其它6個數(shù)填入圖2中的方格內(nèi)．
考點(diǎn)10. 二元一次方程組的應(yīng)用之配套問題
例1．（2023·福建福州·七年級期末）某包裝廠承接一批禮品盒制作業(yè)務(wù)，他們以規(guī)格200cm×40cm的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，每張標(biāo)準(zhǔn)板材按照截法一或截法二裁下A型與B型兩種板材．如圖甲（單位：cm）
(1)列出方程（組），求出圖甲中a與b的值．(2)若將625張標(biāo)準(zhǔn)板材用截法一裁剪，125張標(biāo)準(zhǔn)板材用截法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，剛好可以做成圖乙的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒．求可以做豎式與橫式兩種無蓋禮品盒各多少個？
變式1．（2023·廣東·七年級課時練習(xí)）有一些蘋果箱，若每個裝蘋果，則剩余蘋果無處裝，若每個裝蘋果．則余20個空箱，這些蘋果箱有（ ）
A．12個 B．60個 C．112個 D．128個
變式2．（2023·天津·七年級期末）有支隊名運(yùn)動員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊人，每支排球隊人，每名運(yùn)動員只能參加一項比賽．設(shè)籃球隊有支參賽，排球隊有參賽，則下面所列方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·黑龍江·哈爾濱市七年級階段練習(xí)）六年前，A的年齡是B的年齡的3倍，現(xiàn)在A的年齡是B的年齡的2倍，A現(xiàn)在的年齡是(　　)．
A．12歲 B．18歲 C．24歲 D．30歲
2．（2023·廣東·東莞市七年級期中）一種飲料有兩種包裝，5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設(shè)大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·福建·模擬預(yù)測）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？其意思為：九百九十九文錢買了甜果和苦果共一千個．已知十一文錢可買九個甜果，四文錢可買七個苦果，那么甜果、苦果各買了多少個？買甜果和苦果各需要多少文錢？若設(shè)買甜果個，買苦果個，則下列關(guān)于、的二元一次方程組中符合題意的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重慶北碚區(qū)·七年級期末）古代《折繩測井》“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？“譯文大致是：“用繩子測水井深度，如果將繩子折成三等分，井外余繩4尺；如果將繩子折成四等分，井外余繩1尺，問繩長、井深各是多少尺？“如果設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意列方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山西臨汾·七年級期末）金山銀山不如綠水青山，某地準(zhǔn)備購買一些松樹苗和梭梭樹苗綠化荒山，已知購買棵松樹苗和棵梭梭樹苗需要元，購買棵梭梭樹苗比棵松樹苗少花費(fèi)元，設(shè)每棵松樹苗元，每棵梭梭樹苗元，則列出的方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江臺州·七年級期末）如圖，用四個完全相同的長方形紙片拼成一個大正方形．若外面的大正方形和里面的小正方形的周長的差和面積的差數(shù)值相等，則下列說法正確的是（ ）
A．長方形紙片的長是2，寬無法確定 B．長方形紙片的寬是2，長無法確定
C．長方形紙片的長和寬之比為 D．條件不足不能求出長方形紙片的長或?qū)?br/>7．（2023·巴中八年級期中）某污水處理廠庫池里現(xiàn)有待處理的污水m噸．另有從城區(qū)流入庫池的待處理污水（新流入污水按每小時n噸的定流量增加）．若該廠同時開動2臺機(jī)組，需30小時處理完污水；若同時開動3臺機(jī)組，需15小時處理完污水．若5小時處理完污水，則需同時開動的機(jī)組數(shù)為（ ）
A．6臺 B．7臺 C．8臺 D．9臺
8．（2022·浙江·七年級期末）計算機(jī)的某種運(yùn)算程序如圖，已知輸入3時輸出的運(yùn)算結(jié)果是5，輸入4時輸出的運(yùn)算結(jié)果是7．若輸入的數(shù)是x（x≠0）時輸出的運(yùn)算結(jié)果為P，輸入的數(shù)是3x時輸出的運(yùn)算結(jié)果為Q，則（　　）
A．P：Q＝3 B．Q：P＝3 C．（Q﹣1）：（P﹣1）＝3 D．（Q+1）：（P+1）＝3
9.（2023·重慶江津·七年級階段練習(xí)）甲乙兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的151倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1089．求這兩個兩位數(shù)？如果設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y．則得方程組( )
A． B．
C． D．
10．（2023·福建省永春烏石中學(xué)七年級階段練習(xí)）小明要用80元錢買A、B兩種型號的口罩，兩種型號的口罩必須都買，80元錢全部用盡，A型每個6元，B型口罩每個4元，則小明的購買方案有（ ）
A．4種 B．6種 C．8種 D．10種
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·重慶大足·七年級期末）今年“五一”勞動節(jié)期間，某手機(jī)專賣店上架了甲、乙兩款手機(jī)．前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比乙款手機(jī)的數(shù)量多50%，后兩天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量比前三天售出的甲款手機(jī)的數(shù)量少40%，結(jié)果后兩天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量比前三天售出的甲乙兩款手機(jī)的總數(shù)量多12%，若后兩天甲、乙兩款手機(jī)的銷售總額比前三天甲、乙兩款手機(jī)的銷售總額多24%，在整個銷售期間甲乙兩款手機(jī)的單價不變，則甲款手機(jī)的單價與乙款手機(jī)的單價的比值為______．
12．（2023·山西呂梁·七年級期末）如圖，在3×3的網(wǎng)格內(nèi)填寫了一些數(shù)和代數(shù)式，已知各行各列及對角線上的三個數(shù)之和都相等，則的值為________．
13．（2023·天津市八年級期末）一次越野賽跑中，當(dāng)小明跑了時，小剛跑了．此后兩人分別以和勻速跑．又過小剛追上小明，時小剛到達(dá)終點(diǎn)，時小明到達(dá)終點(diǎn)．這次越野賽跑的全程為_______．
14．（2023·江西上饒·七年級期末）一名學(xué)生問老師：“你今年多大了？”老師風(fēng)趣地說“我像你這樣大的時候，你才2歲；你到我這么大時，我已經(jīng)38歲了”，則今年老師的歲數(shù)是 _____．
15．（2023·湖北·九年級專題練習(xí)）某酒店客房部有三人間普通客房，雙人間普通客房，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：三人間150元間，雙人間140元/間．為吸引游客，酒店實(shí)行團(tuán)體入住5折優(yōu)惠措施，一個48人的旅游團(tuán)，優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費(fèi)1380元，則該旅游團(tuán)住了三人間普通客房和雙人間普通客房共_____間．
16．（2023·江蘇·七年級階段練習(xí)）如圖，正方形由四個相同的大長方形，四個相同的小長方形以及一個小正方形組成，其中四個大長方形的長和寬分別是小長方形長和寬的2倍，若中間小正方形的面積為1，則大正方形的面積是__________．
17．（2020·湖南衡陽·中考真題）某班有52名學(xué)生，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍少17人，則女生有__ 名．
18．（2023·廣東·豐順縣八年級開學(xué)考試）某校購新書本，共付元，其中科技書每本元，文藝書每本元，則科技書買了_____本，文藝書買了______本．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·青海·西寧七年級期中）在西寧市青少年禁毒教育活動中，某班男生小明與班上同學(xué)一起到禁毒教育基地參觀，以下是小明和媽媽的對話，請根據(jù)對話內(nèi)容，求小明班上參觀禁毒教育基地的男生和女生的人數(shù)．
20．（2023·陜西商洛·七年級期末）“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一．大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中，就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞和兔關(guān)在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94條腿，問籠中雞和兔各有幾只？（請列二元一次方程組解答此題）
21．（2023·浙江·七年級期中）工作人員從倉庫領(lǐng)取如圖①中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒若干個，恰好使領(lǐng)取的紙板用完．
(1)若工作人員領(lǐng)取正方形紙板560張，長方形紙板940張，請問利用領(lǐng)取的紙板做了豎式與橫式紙盒各多少個？(2)若工作人員某次領(lǐng)取的正方形紙板數(shù)與長方形紙板數(shù)之比為1：3，請你求出利用這些紙板做出的豎式紙盒與橫式紙盒個數(shù)的比值．
22．（2023·山西·七年級期末）某次籃球聯(lián)賽部分積分如下：
隊名 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
據(jù)表格提供的信息解答下列問題：（1）勝一場、負(fù)一場各積多少分？（2）某隊的勝場總積分能等于負(fù)場總積分嗎？若能，試求出勝場數(shù)和負(fù)場數(shù)；若不能，請說明理由．
23．（2023·江蘇·七年級單元測試）A、B兩地相距3千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地，兩人同時出發(fā)，20分鐘后兩人相遇，又經(jīng)過10分鐘，甲所余路程為乙所余路程的2倍．(1)求甲、乙每小時各行多少千米？
(2)在他們出發(fā)后幾分鐘兩人相距1.5千米（直接寫出結(jié)果）？
24．（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級期中）隨著新能源汽車需求量的增加，某汽車銷售公司計劃購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售．據(jù)了解，輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價共計萬元；輛A型汽車和輛型汽車的進(jìn)價共計萬元．(1)A，B兩種型號的汽車每輛進(jìn)價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃恰好用萬元購進(jìn)以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均需購買），請你寫出所有購買方案．
25．（2023·福建·七年級期中）杭州某公司準(zhǔn)備安裝完成5700輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，公司準(zhǔn)備招聘一批新工人．生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車？
(2)若公司原有熟練工m人，現(xiàn)招聘n名新工人，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務(wù)，已知工人們安裝的共享單車中不能正常投入運(yùn)營的占5%，求m的值．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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