資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2-5 三元一次方程組及其解法
模塊1：學習目標
1. 理解三元一次方程（組）的含義；
2. 會解簡單的三元一次方程組；
3. 會列三元一次方程組解決有關實際問題。
模塊2：知識梳理
1）三元一次方程組：方程中有三個未知數，且未知數的項的次數都是一的方程組。
2）解三元一次方程組的方法和步驟：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
模塊3：核心考點與典例
考點1.三元一次方程組的解
例1．（2023·湖南·長沙市立信中學七年級期末）方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】方法1：將四個選項逐一代入方程檢驗即可得出，選項C符合題意；故選C．
方法2：解：，
由①得④，由②得⑤，
將④⑤代入③得，，解得，
將代入④得，將代入⑤得，
原方程組的解為．故選C．
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，掌握代入消元是解題的關鍵．
變式1．（2023·雞東縣第三中學期中）三元一次方程組的解是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法1：將四個選項逐一代入方程檢驗即可得出，選項A符合題意；故選A．
方法2：觀察方程組的特點，可以讓三個方程相加，得到x+y+z=6．然后將該方程與方程組中的各方程分別相減，可求得．故選A．
【點睛】本題考查解三元一次方程組，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
變式2．（2023·浙江·杭州七年級期中）已知是方程組的解，則的值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把代入方程組，然后把三個方程相加，即可求出答案
【詳解】解：根據題意，
把代入方程組，得，
由①+②+③，得，∴；故選：A
【點睛】本題考查了方程組的解，加減消元法解方程組，解題的關鍵是掌握解方程組的方法進行計算
考點2解三元一次方程組
例1.（2023·成都市課時練習）解方程組，先消去未知數________________比較方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．
【答案】
【分析】根據題意先利用加減消元法消去y，轉化為關于x、z的二元方程組即可解決．
【解析】解：，因為y的系數故先消去未知數y，
①+②得：，②+③得：．
故答案為：，，．
【點睛】本題考查三元方程組，解題的關鍵是三元方程組轉化為二元方程組，學會轉化的數學思想．
變式1.（2023·吉林·長春七年級階段練習）解三元一次方程組，如果消掉未知數z，則應對方程組變形為（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程組z前面的系數都為1，所以直接相減消去
【詳解】得： 得：
方程組變形為，剛好消去z故選：C
【點睛】本題考查對三元一次方程組的消元，善于觀察是解題關鍵．
變式2．（2023·廣東東莞·七年級期末）解三元一次方程組：
【答案】
【分析】先用方程①③消去位置是z，再與方程②結合求解x，y，再求解z，從而可得答案．
【詳解】解：
①－③得－x＋2y＝1④，
④＋②得y＝2，將y＝2代入②得x＝3，
將x＝3，y＝2代入①得z＝1，
所以原方程組的解為．
【點睛】本題考查的是三元一次方程組的解法，掌握利用加減消元法解三元一次方程組的步驟是解本題的關鍵．
變式3．（2023·浙江·八年級課時練習）解下列方程組：
（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先標號利用加減消元法①+②得，（③-②）÷2得，再利用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）先標號用加減消元法先消去z，再解x與y的二元方程組即可．
【詳解】解：（1），
①+②得，
（③-②）÷3得，
④+⑤×2得4x=8，解得x=2，
把x=2代入④得，
把代入②得y=-3，
∴；
（2），
①+③得，
（②+③）÷5×3得，
④-⑤得x=3，把x=3代入④得y=2，
把x=3，y=2代入①得z=5，
∴．
【點睛】本題考查三元一次方程組的解法，掌握三元方程組消元轉化二元方程組來解是解題關鍵．
考點3三元一次方程組的特殊解法（整體構造）
例3.（2023·山東日照·七年級期末）已知方程組，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】將三個方程相加計算即可．
【詳解】因為，將三個方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3，
解得=2，故選B．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的解法，熟練掌握整體思想計算是解題的關鍵．
變式1．（2023·山東威海·七年級期中）已知方程組 那么的值為_______．
【答案】-3
【分析】把三個方程相加得到新的方程，再用新的方程分別減去三個方程得到x，y，z的值最后進行計算即可．
【詳解】解：，將①+②+③，得x+y+z=6④，
由④-①得z=5，由④-②得x=1，由④-③得y=0，
∴=-3．故答案為：-3．
【點睛】本題考查三元一次方程組的計算，解決此題的關鍵是掌握一些基本的三元一次方程組的解法．
變式2．（2023·湖北·七年級期末）已知x，y，z滿足 ，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按照解三元一次方程組的步驟先求出、，后代入式子中進行計算即可解答．
【詳解】解：，
由①+②得： ，∴ ③，
將③代入①，得 ，解得： ，
∴ = =3，故選：B．
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，求代數式的值，熟練掌握解三元一次方程組的方法——代入消元法和加減消元法是解題的關鍵．
考點4三元一次方程組的應用（一）
例4．（2023·重慶秀山·七年級期末）一家水果店購進一批盒裝荔枝、櫻桃和草莓，并全部組合成“荔子初丹”（內裝4盒荔枝）、“櫻有盡有”（內裝8盒櫻桃）、“喜上莓梢”（內裝6盒草莓）三款禮盒進行銷售，其中“荔子初丹”與“喜上莓梢”禮盒的數量之和比“櫻有盡有”禮盒數量的2倍少30套，且所有禮盒全部賣出．第二次該水果店購進與第一次數量分別相同的盒裝荔枝、櫻桃和草莓．也是全部組合成禮盒進行銷售．根據顧客反饋信息，第二次銷售除了第一次的三款禮盒（每款禮盒規格與第一次相同），還組合成“春分”、“夏至”兩款混合水果禮盒若干套．其中每套“春分”禮盒包含：1盒荔枝、4盒櫻桃、5盒草莓；每套“夏至”禮盒包含：1盒荔枝、3盒櫻桃、4盒草莓．若第二次的所有禮盒也全部賣出，且第二次“荔子初丹”禮盒的數量是第一次該種禮盒數量的，第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，“春分”和“夏至”禮盒中所有水果的總盒數比“春分”禮盒中荔枝的盒數多1350盒，則第一次銷售的所有禮盒共有 _____套．
【答案】444
【分析】設第一次銷售的“櫻有盡有”禮盒是x套，“荔子初丹”禮盒是y套，則“喜上莓梢”禮盒是（2x 30 y）套，設第二次銷售的“春分”禮盒是a套，“夏至”禮盒是b套，根據第二次“荔子初丹”禮盒的數量是第一次該種禮盒數量的，得到3y 2a 2b＝0①，根據第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，得到12x 6y 5a 4b＝546②，根據“春分”和“夏至”禮盒中所有水果的總盒數比“春分”禮盒中荔枝的盒數多1350盒，得到9a＋8b＝1350③，聯立3個方程可求x，進一步求出第一次銷售的所有禮盒數量．
【詳解】解：設第一次銷售的“櫻有盡有”禮盒是x套，“荔子初丹”禮盒是y套，則“喜上莓梢”禮盒是（2x 30 y）套，設第二次銷售的“春分”禮盒是a套，“夏至”禮盒是b套，依題意有：
4y＝a＋b＋×4y，即3y 2a 2b＝0①，
6（2x 30 y）＝61×6＋5a＋4b，即12x 6y 5a 4b＝546②，
10a＋8b＝a＋1350，即9a＋8b＝1350③，
②＋③得12x 6y＋4a＋4b＝1896，即6x 3y＋2a＋2b＝948④，
①＋④得6x＝948，解得x＝158，
則x＋2x 30＝3x 30＝474 30＝444
故第一次銷售的所有禮盒共有444套．故答案為：444．
【點睛】本題考查了應用類問題，理解題意，能夠通過所給的量之間的關系列出正確的方程是解題的關鍵。
變式1．（2023·重慶黔江·七年級期末）代數式，當時值為；當時值為；當時值為，則這個代數式是__________．
【答案】
【分析】將x的值代入代數式中，解三元一次方程組即可．
【詳解】解：分別將，，代入得：
解得：故答案為：．
【點睛】本題考查三元一次方程組的解法．利用消元法，把三元變二元，二元變一元是解題的關鍵．
變式2．（2023·重慶·七年級期末）我國的經濟總量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都擁有多種車型．小明家有A、B、C三種車型，已知3輛A型車的載重量與4輛B型車的載重量之和剛好等于2輛C型車的載重量；4 輛B型車的載重量與1輛C型車的載重量之和剛好等于6輛A型車的載重量．現有一批貨物，原計劃用1輛C型車5次可全部運完，由于C型車另有運輸任務，現在安排1輛A型車單獨裝運9次，余下的貨物由1輛B型車單獨裝運剛好可以全部運完，則B型車需單獨裝運____次(每輛車每次都滿載重量)．
【答案】8．
【分析】設每輛A型車滿載重量為a，設每輛B型車滿載重量為b，設每輛C型車滿載重量為c，原計劃用C型車5次可全部運完，由于C型車另有運輸任務，現在安排A型車單獨裝運9次，余下的貨物由B型車單獨裝運剛好可以全部運完，則B型車需單獨裝運x次，根據題意列出方程組解得x便可．
【詳解】解：設每輛A型車滿載重量為a，設每輛B型車滿載重量為b，設每輛C型車滿載重量為c，原計劃用C型車5次可全部運完，由于C型車另有運輸任務，現在安排A型車單獨裝運9次，余下的貨物由B型車單獨裝運剛好可以全部運完，則B型車需單獨裝運x次，根據題意得，
，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，把a＝c代入②，得b＝c，
把a＝c，b＝c，代入③得，3c+cx﹣5c=0，∴cx＝8c，
∵c≠0，∴x＝8．故答案為8．
【點睛】本題考查方程組的應用，解答本題的關鍵在于讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出正確的方程組并求解．
考點5整體思想的方程組中的應用
例5.（2023·四川眉山·七年級期末）感悟思想：
有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：
已知實數x，y滿足①，②，求和的值．
思考：本題常規思路是將①②聯立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，有的問題用常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
體會思想：
(1)已知二元一次方程組，則______，______．
(2)解方程組：
(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
【答案】(1)-1，5(2)(3)30元
【分析】（1）把兩個方程相加可求，相減可求；
（2）把3個方程相加得，分別減三個方程可求解；
（3）設未知數列出方程組，用整體思想求解即可．
（1）解：
①+②得，解得，
①-②得，故答案為：-1，5．
（2）解：，
①+②+③得，，即④，
④-①得，，④-②得，，④-③得，，
方程組的解為．
（3）解：設購買1支鉛筆a元，1塊橡皮b元，1本日記本c元,
根據題意列方程組得，．
①×2-②得，，則；
答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．
【點睛】本題考查了利用整體思想解方程組，解題關鍵是熟練利用整體思想，通過整體運算求解．
變式1．（2023·湖南永州·七年級期末）小李去文具店購買、、三種學習用品各一種，已知一件學習用品比一件學習用品貴4元，一件學習用品比一件學習用品貴3元，那么一件學習用品比一件學習用品貴______元．
【答案】7
【分析】根據題意列方程組，再整體求解．
【詳解】解：設A一件x元、B一件y元、C一件z元，
根據題意得：
，由①+②得：xz=7，
即一件A學習用品比一件C學習用品貴7元，故答案為：7．
【點睛】本題考查了三元一次方程的應用，整體求解是解題的關鍵．
變式2．（2023·江蘇連云港·七年級期末）購買鉛筆7支，作業本3個，中性筆1支共需18元；購買鉛筆10支，作業本4個，中性筆1支共需24元；則購買鉛筆11支，作業木5個，中性筆2支共需（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】設鉛筆的單價為元，作業本的單價為元，中性筆的單價為元，然后根據購買鉛筆7支，作業本3個，中性筆1支共需18元；購買鉛筆10支，作業本4個，中性筆1支共需24元列出方程組求解即可
【詳解】解：設鉛筆的單價為元，作業本的單價為元，中性筆的單價為元，
依題意得， 用①×3-②得：，
購買鉛筆支，作業木個，中性筆支共需元．故選D．
【點睛】本題主要考查了三元一次方程組的應用，正確理解題意列出方程組是解題的關鍵．
變式3．（2023·吉林長春·七年級期末）【閱讀感悟】
有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數、滿足……①，……②，求和的值．
本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形，整體求得代數式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
【解決問題】(1)已知二元一次方程組，求和的值；
(2)初二（3）班組織書法比賽，要購買一些學習用品用于發獎，若買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需33元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需60元，則購買2支鉛筆、2塊橡皮、2本日記本共需多少元？(3)對于實數、，定義新運算：，其中、、是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，求的值．
【答案】(1)(2)購買2支鉛筆、2塊橡皮、2本日記本共需12元．(3)2
【分析】（1）分別①-②，①+②即可求得； （2）設每只鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記z元，根據題意得三元一次方程組，①×2-②求得x+y+z=6，即可解決問題．
（3）根據“3*5=16，4*8=30”，即可得出關于a，b，c的三元一次方程組，利用2×①-②即可求出結論．
（1）解：， ①-②得x-y=-1，
①+②得3x+3y=15， ∴x+y=5， 故答案為：-1，5；
（2）設每只鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，
根據題意，得：， ①×2-②，得：x+y+z=6，
∴2x+2y+2z=2×6=12，
答：購買2支鉛筆、2塊橡皮、2本日記本共需12元．
（3）依題意得： ，
由2×①-②可得2a+2b+c=2， 即2*2=2a+2b+c=2．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及整體思想的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·遂寧市七年級期中）解方程組如果要使運算簡便，那么消元時最好應（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常數項
【答案】B
【分析】觀察發現，未知數y的系數具有相同，或互為相反數，從而可確定先消去y．
【詳解】解：觀察未知數的系數特點發現：
未知數y的系數要么相等，要么互為相反數，
所以要使運算簡便，那么消元時最好應先消去y，故選B
【點睛】本題考查的是解方程組，消元的技巧，掌握“根據相同未知數的系數特點進行消元”是解本題的關鍵．
2．（2023·福建福州九年級階段練習）設“■▲●”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，則“？”處應該放“●”（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】設■，▲，●，由題可得，則可求解．
【詳解】解：設■，▲，●，，，
又，，，，故選：C．
【點睛】題目主要考查三元一次方程的應用，理解題意，列出方程得出未知數的關系是解題關鍵．
3．（2023·甘肅·九年級期末）某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之間，店里有一磅秤，但只有能稱50～70公斤重量的秤砣，現要確定各袋面粉的重量，至少要稱（ ）
A．7次 B．6次 C．5次 D．4次
【答案】C
【分析】根據題意，可以拿其中的任意三袋稱一稱，列三元一次方程組求解，另外兩袋分別與已知重量的其中一袋一起稱，即可求出其重量．
【詳解】解：拿出任意三袋，假設它們的重量分別為x千克、y千克、z千克，兩兩一稱，記錄下相應的重量，若分別等于a千克、b千克、c千克．
則有方程組，容易求出x、y、z；
另外兩袋分別與已知重量的其中一袋一起稱，即可求出其重量，所以需要稱5次．故選：C．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的實際應用問題，能夠運用數學知識解決實際生活中的問題，掌握三元一次方程組的解法是解題的關鍵．
4．（2023·浙江·八年級開學考試）一個三位數，百位上的數與十位上的數之差是2，如果交換十位數字與個位數字的位置，那么所得的數就比原來小36，則百位上的數與個位上的數之差為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】設這個三位數的百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，然后根據交換后所得的數就比原來小36，百位上的數與十位上的數之差是2，列出方程組求解即可
【詳解】解：設這個三位數的百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，
∴這個三位數為100a+10b+c，交換后的三位數為100a+10c+b，
∵交換后所得的數就比原來小36，百位上的數與十位上的數之差是2，
∴∴，∴，故選B．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，正確理解題意列出方程組求解是解題的關鍵．
5．（2023·湖北武漢·七年級期末）某商家將藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱搭配為A，B，C三種盲盒各一個，其中A盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優盤，1個迷你音箱；B盒中有2藍牙耳機，4個多接口優盤，2個迷你音箱；C盒中有1個藍牙耳機，3個多接口優盤，2個迷你音箱．經核算，A盒成本為145元，B盒成本為200元（每種盲盒的成本為該盒中藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為（ ）
A．150元 B．155元 C．165元 D．170元
【答案】B
【分析】設1個藍牙耳機的價值為x元，1個多接口優盤的價值為y元，1個迷你音箱的價值為z元，根據A盒的成本為145元，B盒的成本為200元，列出方程組，解之即可．
【詳解】設1個藍牙耳機的價值為x元，1個多接口優盤的價值為y元，1個迷你音箱的價值為z元，
依題意得：，②÷2得：x+2y+z=100③，②-①得：y+z=55④，
③+④得：x+3y+2z=155，即C盒的成本為155元．故選：B．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出三元一次方程組是解題的關鍵．
6．（2023·湖北武漢·七年級期中）《九章算術》是我國古代著名的數學專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對于方程組，將其中數字排成長方形形式，然后執行如下步驟（如圖）；第一步，將第二行的數乘以3，然后不斷地減第一行，直到第二行第一個數變為0；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．其本質就是在消元．那么其中的a，b的值分別是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
【答案】A
【分析】根據題意所給步驟解方程即可求解．
【詳解】解：由②×3，得6x+9y+3z=102④，
由④-①，得3x+7y+2z=63⑤，由⑤-①，得5y+z=24， ∴a=24，
由③×3，得3x+6y+9z=78⑥，由⑥-①，得4y+8z=39，∴b=4，故選：A．
【點睛】本題考查解三元一次方程組，解題的關鍵是根據題干信息將方程組中的數字與圖一一對應．
7．（2023·湖北黃岡·七年級階段練習）購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元；購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元，則購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】設鉛筆的單價是元，作業本的單價是元，圓珠筆的單價是元．購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元，然后根據題意列方程組求出的值即可果．
【詳解】解：設鉛筆的單價是元，作業本的單價是元，圓珠筆的單價是元．購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元．
則由題意得由得
由得由得．故選：B．
【點睛】本題主要考查了方程組的應用，解答本題的關鍵是列出方程組以及用加減消元法求出方程組的解．
8．（2023·浙江舟山·七年級期末）根據舟山市政府疫情防控要求，所有進入舟山車輛要在金塘服務區下高速，接受防疫檢查．已知金塘收費站出口有編號為①，②，③，④，⑤的五個收費出口，假定各收費出口每小時通過的車流量是不變的，同時開放其中兩個收費出口，統計這兩個出口1小時一共通過的汽車的數量記錄如下
收費出口編號 ①，② ②，③ ③，④ ④，⑤ ⑤，①
通過汽車數量（輛） 80 100 70 130 120
則下列說法錯誤的是：（ ）
A．①出口1小時通過汽車的數量最少；B．⑤出口1小時通過汽車的數量最多；
C．②出口1小時通過汽車的數量是④出口的兩倍：
D．①和④出口1小時通過汽車的數量之和等于③出口1小時通過的汽車數量．
【答案】D
【分析】設金塘收費站出口有編號為①，②，③，④，⑤的五個收費出口每小時通過車的數量分別為a輛、b輛、c輛、d輛、e輛．根據表格中的數據列出方程組并解答．
【詳解】解：設金塘收費站出口有編號為①，②，③，④，⑤的五個收費出口每小時通過車的數量分別為a輛、b輛、c輛、d輛、e輛，
根據題意，得．解得．所以a＜d＜c＜b＜e，b=2d，a+d＞c．
所以①出口1小時通過汽車的數量最少，⑤出口1小時通過汽車的數量最多，②出口1小時通過汽車的數量是④出口的兩倍，①和④出口1小時通過汽車的數量之和大于③出口1小時通過的汽車數量．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查多元一次方程組，解題的關鍵的讀懂題意，找到等量關系，列出方程組．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·上海理工大學附屬初級中學期末）如果三元一次方程組為，那么x+y+z＝______．
【答案】9
【分析】三個方程相加可得結論．
【詳解】解：將三元一次方程組中的三個方程相加得2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9．
故答案為：9．
【點睛】本題考查三元一次方程組，解題的關鍵是學會用整體思想解決問題，屬于中考常考題型．
12．（2023·廣東課時練習）解方程組時先消去未知數_____________比較方便，具體做法如下：先由①+②得方程______________________，再由①+③得方程_________________．
【答案】
【分析】利用解三元一次方程組的基本思想-消元的思想，即運用消元法先消去其中一個未知數，轉化二元一次方程組，然后解這個方程組，本題因為z的系數比較簡單，故選擇先消去z，根據以上思路即可得各空答案．
【解析】解：由①+②得：5x+3y=-4 ④由①+③得：6x+7y=-11 ⑤
故答案為：，5x+3y=-4，6x+7y=-11．
【點睛】本題考查解三元一次方程組，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
13．（2023·廣東·汕頭市七年級期中）方程組的解為________．
【答案】
【分析】根據三元一次方程組的解法求解即可．
【詳解】解：由①得：④，由③得：⑤，
把④和⑤代入到②得：，解得，
把代入④得：，把代入⑤得：，
∴方程組的解為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了解三元一次方程組，熟知解三元一次方程組的方法是解題的關鍵．
14．（2023·重慶·九年級期中）新世紀百貨推出A，B，C三種零食大禮包，每種禮包都由一定數量的堅果、牛肉干和薄脆餅組合搭配構成．三種大禮包的成本分別為禮包中三種零食的成本之和，同種零食的單價相同．已知袋牛肉干和袋薄脆餅的價格相同，一份A禮包包含袋堅果、袋牛肉干和袋薄脆餅，一份B禮包包含袋堅果、袋牛肉干和袋薄脆餅．若一份B，C禮包的成本相同，均比一份A禮包的成本貴，一份C禮包中的零食袋數與一份A禮包中的零食袋數之比為：，且一份C禮包中堅果袋數比牛肉干袋數多，則一份C禮包中的薄脆餅袋數比牛肉干袋數少______袋．
【答案】1
【分析】設牛肉干、薄脆餅價格分別為，，堅果價格為元，根據給出的已知條件找出等量關系進行求解，可得每種零食的價格，令C禮包中牛肉干袋數為，薄脆餅袋數為，堅果袋數為，根據給出的已知條件找出等量關系，再根據、、為正整數，即可得出結果．
【詳解】解：設牛肉干、薄脆餅價格分別為，，堅果價格為元，
由題意得，解得，
則B、C禮包的成本為，
A禮包中零食袋數為袋，C禮包中零食袋數為袋，
令C禮包中牛肉干袋數為，薄脆餅袋數為，堅果袋數為，
則，解得，由知，，由知，
又、、為正整數，，，，，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了三元方程組的應用，解本題要理解題意，通過找出三組等量關系進行求解．
15．（2023·江蘇·揚州市七年級階段練習）山腳下有一池塘，泉水以固定的流量（即單位時間里流入池中的水量相同）不停地向池塘內流淌．現池塘中有一定深度的水，若用一臺A型抽水機抽水，則1小時正好能把池塘中的水抽完若用兩臺A型抽水機抽水，則20分鐘正好把池塘中的水抽完．問若用三臺A型抽水機同時抽，則需要_____分鐘恰好把池塘中的水抽完．
【答案】12
【分析】設池塘中的水有a，泉水每小時的流量是b，一臺A型抽水機每小時抽水量是x，根據一臺A型抽水機1小時后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根據用兩臺A型抽水機則20分鐘正好把池塘中的水抽完，得，用x表示a和b．設若用三臺A型抽水機同時抽，則需要t小時恰好把池塘中的水抽完，再進一步根據3tx=a+bt求解即可．
【詳解】解：設池塘中的水有a，泉水每小時的流量是b，一臺A型抽水機每小時抽水量是x，
根據題意，得，解得：，
設若用三臺A型抽水機同時抽，則需要t小時恰好把池塘中的水抽完，
則，解得：，
∴用三臺A型抽水機同時抽，需要×60=12分鐘恰好把池塘中的水抽完，故答案為：12．
【點睛】本題考查三元一次方程組的應用，解決此題的關鍵是能夠設出輔助未知數，根據題目中的等量關系列方程組求解．
16．（2023·湖北武漢·七年級期末）某校用一筆錢來購買，兩種獎品，若購買24個種獎品和14個種獎品則差30元，若購買20個種獎品和18個種獎品則余20元，那么用這筆錢購買28個種獎品和10個種獎品差_________元．
【答案】80
【分析】設A種獎品的單價為a元，B種獎品的單價為b元，學校拿來購買獎品的錢數為c元，根據“購買24個A種獎品和14個B種獎品則差30元，購買20個A種獎品和18個B種獎品則余20元”，即可得出關于a，b，c的三元一次方程組，用①×2-②，即可求出用這筆錢購買28個A種獎品和10個B種獎品差80元．
【詳解】解：設A種獎品的單價為a元，B種獎品的單價為b元，學校拿來購買獎品的錢數為c元，
依題意得：，①×2-②得：28a+10b=c+80，
∴用這筆錢購買28個A種獎品和10個B種獎品差80元．故答案為：80．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出三元一次方程組是解題的關鍵．
17．（2023·四川巴中·七年級期中）在五四青年節來臨之際，某商家擬推出收費定制個性青年禮品，禮品主要包含三種：高端鋼筆禮盒、學生運動手表和創意水杯，如果定制高端鋼筆禮盒3個、學生運動手表2只和創意水杯5個，需付人民幣315元；如果定制高端鋼筆禮盒2個、學生運動手表1只和創意水杯1個，需付人民幣220元；某人想定制高端鋼筆禮盒4個、學生運動手表3只和創意水杯9個共需付人民幣_______元．
【答案】410
【分析】設定制1個高端鋼筆需要x元，1只學生運動手表需要y元，1個創意水杯需要z元，根據“如果定制高端鋼筆禮盒3個、學生運動手表2只和創意水杯5個，需付人民幣315元；如果定制高端鋼筆禮盒2個、學生運動手表1只和創意水杯1個，需付人民幣220元”，即可得出關于x，y，z的三元一次方程組，即可求解．
【詳解】解：設定制1個高端鋼筆需要x元，1只學生運動手表需要y元，1個創意水杯需要z元，
依題意得：，①×2-②，得4x+3y+9z=410．故答案為：410．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出三元一次方程組是解題的關鍵．
18．（2023·重慶秀山·七年級期末）一家水果店購進一批盒裝荔枝、櫻桃和草莓，并全部組合成“荔子初丹”（內裝4盒荔枝）、“櫻有盡有”（內裝8盒櫻桃）、“喜上莓梢”（內裝6盒草莓）三款禮盒進行銷售，其中“荔子初丹”與“喜上莓梢”禮盒的數量之和比“櫻有盡有”禮盒數量的2倍少30套，且所有禮盒全部賣出．第二次該水果店購進與第一次數量分別相同的盒裝荔枝、櫻桃和草莓．也是全部組合成禮盒進行銷售．根據顧客反饋信息，第二次銷售除了第一次的三款禮盒（每款禮盒規格與第一次相同），還組合成“春分”、“夏至”兩款混合水果禮盒若干套．其中每套“春分”禮盒包含：1盒荔枝、4盒櫻桃、5盒草莓；每套“夏至”禮盒包含：1盒荔枝、3盒櫻桃、4盒草莓．若第二次的所有禮盒也全部賣出，且第二次“荔子初丹”禮盒的數量是第一次該種禮盒數量的，第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，“春分”和“夏至”禮盒中所有水果的總盒數比“春分”禮盒中荔枝的盒數多1350盒，則第一次銷售的所有禮盒共有 _____套．
【答案】444
【分析】設第一次銷售的“櫻有盡有”禮盒是x套，“荔子初丹”禮盒是y套，則“喜上莓梢”禮盒是（2x 30 y）套，設第二次銷售的“春分”禮盒是a套，“夏至”禮盒是b套，根據第二次“荔子初丹”禮盒的數量是第一次該種禮盒數量的，得到3y 2a 2b＝0①，根據第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，得到12x 6y 5a 4b＝546②，根據“春分”和“夏至”禮盒中所有水果的總盒數比“春分”禮盒中荔枝的盒數多1350盒，得到9a＋8b＝1350③，聯立3個方程可求x，進一步求出第一次銷售的所有禮盒數量．
【詳解】解：設第一次銷售的“櫻有盡有”禮盒是x套，“荔子初丹”禮盒是y套，則“喜上莓梢”禮盒是（2x 30 y）套，設第二次銷售的“春分”禮盒是a套，“夏至”禮盒是b套，依題意有：
4y＝a＋b＋×4y，即3y 2a 2b＝0①，
6（2x 30 y）＝61×6＋5a＋4b，即12x 6y 5a 4b＝546②，
10a＋8b＝a＋1350，即9a＋8b＝1350③，
②＋③得12x 6y＋4a＋4b＝1896，即6x 3y＋2a＋2b＝948④，
①＋④得6x＝948，解得x＝158，則x＋2x 30＝3x 30＝474 30＝444
故第一次銷售的所有禮盒共有444套．故答案為：444．
【點睛】本題考查了應用類問題，理解題意，能夠通過所給的量之間的關系列出正確的方程是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·河北·石家莊市七年級階段練習）解方程組：．
【答案】
【分析】利用加減消元法求出解即可．
【詳解】解方程組，
①＋②，得④，
，得⑤，④＋⑤，得，∴，
將代入③，得，∴，
將代入②，得，∴，
∴方程組的解為．
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，利用消元的思想是解題的關鍵，消元包括：代入消元法和加減消元法．
20．（2023·河南南陽·七年級期中）下面所示為教材中三元一次方程組的解題過程，請根據教材提供的做法和有關信息解決問題．
例1 解方程組：
解 由方程②，得．……步驟一④
將④分別代入方程①和③，得……步驟二
整理，得 解這個二元一次方程組，得
代入④，得．所以原方程組的解是
(1)其中的步驟二通過______法消去未知數，將三元一次方程組轉化成了______．
(2)仿照以上思路解方程組，消去字母后得到的二元一次方程組為______．
【答案】(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程組
(2)① 或 或等，答案不唯一
【分析】（1）根據解三元一次方程組的解法進行分析即可；
（2）利用加減消元法進行求解即可．
（1）解方程組： 由方程②，得
將④分別代入方程①和③，得整理，得
故答案為：代入消元（代入） 二元一次方程組
（2）解方程組：
由方程②+①，得3x+3y=9 由方程①+③，得4x+6y=14 由方程③-②得x+3y=5
由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中 任意兩個組合得到均可
故答案為： 或 或等，答案不唯一
【點睛】此題考查了一次方程組的解法，解三元一次方程組，解本題的關鍵是消元．
21．（2023·湖南·雙峰七年級開學考試）一個手機號前三位數中，中間數字是前面數字的三倍；而第一個數字與第三個數字之和是中間數字的兩倍．在后八位數中： 前四位數與后四位數之和是4461；前三位數與后五位數之和是82896．求這個手機號是？
【答案】13517382723
【分析】根據生活常識可知，一個手機號碼是11位數字，前三位數中，中間數字是前面數字的三倍，而第一個數字與第三個數字之和是中間數字的兩倍，第一位數字為1，則第二位數字是3，第三位就是5；再把后8位數分為3位數，1位數，4位數，等量關系為：3位數×10+1位數+4位數=4461；3位數+1位數×10000+4位數=82896，根據各個數的特點，求得整數解即可．
【詳解】解：根據生活經驗可知，我國手機號碼是11位數，1開頭，
因為前三位數中，中間數字是前面數字的三倍；而第一個數字與第三個數字之和是中間數字的兩倍，
所以前三位數字是135．在后八位數中；設前3位數是x，第4位數是y，后4位數是z，則
因為100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，所以y=3，x=173，z=2723，
所以后八位號碼是100000x+10000y+z=17382723答：這個手機號碼是13517382723．
【點睛】本題考查位置原則，考查方程思想的運用，正確列式是關鍵．
22．（2023·湖北·十堰市七年級期中）已知甲、乙、丙三個正整數之和為15，且甲的5倍，乙的8倍，丙的10倍之和為120，設甲，乙，丙三個數分別為x，y，z，求的立方根．
【答案】的立方根為或．
【分析】根據題意列得方程組，兩方程相減消去y得到關于x與z的方程，確定出方程的正整數解即可得到所求．
【詳解】解：由題意得，
①×8-②得：3x-2z=0，即x=z，∴
∵x，y，z都是正整數，∴，即，解得，
∵x，y，z都是正整數，∴z是整數，即z是3的倍數，
∴z-3或6，∴z=3，x=2，y=10或z=6，x=4，y=5；
∴=17或=19∴的立方根為或．
【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用，立方根，利用了消元的思想，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
23．（2023·湖南·長沙七年級階段練習）兩個小伙伴共帶100只雞蛋去賣，一個帶得多，一個帶得少，但賣了同樣的價錢，一個對另一個說：“如果我有你那么多雞蛋，我能賣15元．”另一個說：“如果我有你那么多雞蛋，只能賣元．”問兩人各有多少雞蛋？希望你有盡可能簡單的解答．
【答案】第一個閨蜜有40個雞蛋，第二個閨蜜有60個雞蛋
【分析】設第一個閨蜜有x個雞蛋，第一個閨蜜雞蛋的單價為a元，第二個閨蜜雞蛋的單價為b元，根據兩個小伙伴賣了同樣的價錢，得到ax= b(100-x)，根據第二個閨蜜雞蛋的單價如果為a元能賣15元，得到a(100-x)=15，根據第一個閨蜜雞蛋的單價如果為b元只能賣元，得到bx=，把三個方程組成方程組解答．
【詳解】解：設第一個閨蜜有x個雞蛋，第一個閨蜜雞蛋的單價為a元、第二個閨蜜雞蛋的單價為b元，則：，解得：，，；100-40=60（個）．
答：第一個閨蜜有40個雞蛋，第二個閨蜜有60個雞蛋．
【點睛】本題主要考查了三元方程組的應用，解決問題的關鍵是熟練掌握總價與單價和數量的關系，根據題中的等量關系列方程組，整體代入消元．
24．（2023·內蒙古·七年級期中）小明到某服裝商場進行社會調查，了解到該商場為了激勵營業員的工作積極性，實行“月總收入＝基本工資+計件獎金”的方法，并獲得如下信息：
營業員 小麗 小華
月銷售件數（件） 200 150
月總收入（元） 1400 1250
假設營業員的月基本工資為x元，銷售每件服裝獎勵y元．
(1)求x、y的值；(2)如果在商場購買甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果購買甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顧客想購買甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】(1)x的值為800，y的值為3
(2)購買一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通過理解題意可知此題存在兩個等量關系，即小麗的基本工資+提成=1400元，小華的基本工資+提成=1250元，列方程組求解即可；
（2）理解題意可知，計算出甲、乙、丙各購買4件共多少錢，即可求解．
（1）解：設營業員的基本工資為x元，買一件的獎勵為y元．
由題意得，解得，
即x的值為800，y的值為3；
（2）解：設一件甲為x元，一件乙為y元，一件丙為z元．
則可列方程組：，將兩等式相加得4x+4y+4z=600，則x+y+z=150，
答：購買一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【點睛】解題關鍵是要讀懂題目的意思，據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．
25．（2023·湖北十堰·七年級期末）在求值問題中，我們經常遇到利用整體思想來解決問題．
例如1：已知：，，求：的值．
解：令……①
……②
①＋②得，所以，
已知，求的值．
解：①×2得：……③
②－③得：．
利用材料中提供的方法，解決下列問題：
(1)已知：關于，的二元一次方程組的解滿足，求的值；(2)某步行街擺放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別，，盆．甲種盆景由15朵紅花、8朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花、6朵黃花和20朵紫花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、7朵黃花和25朵紫花搭配而成．這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，求黃花一共用了多少朵？
【答案】(1)m=﹣16(2)黃花一共用了1330朵
【分析】（1）由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．再根據x﹣y=6，可得到關于m的方程，即可求解；
（2）根據“甲種盆景由15朵紅花、8朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花、6朵黃花和20朵紫花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、7朵黃花和25朵紫花搭配而成．這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，”列出方程組，再由由①+②得：，從而得到，即可求解．
(1)解：，由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．
∵x﹣y=6，∴2﹣m=18，∴m=﹣16．
(2)解：根據題意得：黃花一共用朵，
∵一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，
∴，由①+②得：③，
由③÷5得：，答：黃花一共用了1330朵．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組以及三元一次方程組的應用，利用整體思想來解決問題是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題2-5 三元一次方程組及其解法
模塊1：學習目標
1. 理解三元一次方程（組）的含義；
2. 會解簡單的三元一次方程組；
3. 會列三元一次方程組解決有關實際問題。
模塊2：知識梳理
1）三元一次方程組：方程中有三個未知數，且未知數的項的次數都是一的方程組。
2）解三元一次方程組的方法和步驟：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
模塊3：核心考點與典例
考點1.三元一次方程組的解
例1．（2023·湖南·長沙市立信中學七年級期末）方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·雞東縣第三中學期中）三元一次方程組的解是
A． B． C． D．
變式2．（2023·浙江·杭州七年級期中）已知是方程組的解，則的值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考點2解三元一次方程組
例1.（2023·成都市課時練習）解方程組，先消去未知數________________比較方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．
變式1.（2023·吉林·長春七年級階段練習）解三元一次方程組，如果消掉未知數z，則應對方程組變形為（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
變式2．（2023·廣東東莞·七年級期末）解三元一次方程組：
變式3．（2023·浙江·八年級課時練習）解下列方程組：
（1） （2）
考點3三元一次方程組的特殊解法（整體構造）
例3.（2023·山東日照·七年級期末）已知方程組，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式1．（2023·山東威海·七年級期中）已知方程組 那么的值為_______．
變式2．（2023·湖北·七年級期末）已知x，y，z滿足 ，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考點4三元一次方程組的應用（一）
例4．（2023·重慶秀山·七年級期末）一家水果店購進一批盒裝荔枝、櫻桃和草莓，并全部組合成“荔子初丹”（內裝4盒荔枝）、“櫻有盡有”（內裝8盒櫻桃）、“喜上莓梢”（內裝6盒草莓）三款禮盒進行銷售，其中“荔子初丹”與“喜上莓梢”禮盒的數量之和比“櫻有盡有”禮盒數量的2倍少30套，且所有禮盒全部賣出．第二次該水果店購進與第一次數量分別相同的盒裝荔枝、櫻桃和草莓．也是全部組合成禮盒進行銷售．根據顧客反饋信息，第二次銷售除了第一次的三款禮盒（每款禮盒規格與第一次相同），還組合成“春分”、“夏至”兩款混合水果禮盒若干套．其中每套“春分”禮盒包含：1盒荔枝、4盒櫻桃、5盒草莓；每套“夏至”禮盒包含：1盒荔枝、3盒櫻桃、4盒草莓．若第二次的所有禮盒也全部賣出，且第二次“荔子初丹”禮盒的數量是第一次該種禮盒數量的，第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，“春分”和“夏至”禮盒中所有水果的總盒數比“春分”禮盒中荔枝的盒數多1350盒，則第一次銷售的所有禮盒共有 _____套．
變式1．（2023·重慶黔江·七年級期末）代數式，當時值為；當時值為；當時值為，則這個代數式是__________．
變式2．（2023·重慶·七年級期末）我國的經濟總量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都擁有多種車型．小明家有A、B、C三種車型，已知3輛A型車的載重量與4輛B型車的載重量之和剛好等于2輛C型車的載重量；4 輛B型車的載重量與1輛C型車的載重量之和剛好等于6輛A型車的載重量．現有一批貨物，原計劃用1輛C型車5次可全部運完，由于C型車另有運輸任務，現在安排1輛A型車單獨裝運9次，余下的貨物由1輛B型車單獨裝運剛好可以全部運完，則B型車需單獨裝運____次(每輛車每次都滿載重量)．
考點5整體思想的方程組中的應用
例5.（2023·四川眉山·七年級期末）感悟思想：
有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：
已知實數x，y滿足①，②，求和的值．
思考：本題常規思路是將①②聯立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數式得到答案，有的問題用常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值．
如①-②可得①+②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
體會思想：(1)已知二元一次方程組，則______，______．
(2)解方程組：；(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
變式1．（2023·湖南永州·七年級期末）小李去文具店購買、、三種學習用品各一種，已知一件學習用品比一件學習用品貴4元，一件學習用品比一件學習用品貴3元，那么一件學習用品比一件學習用品貴______元．
變式2．（2023·江蘇連云港·七年級期末）購買鉛筆7支，作業本3個，中性筆1支共需18元；購買鉛筆10支，作業本4個，中性筆1支共需24元；則購買鉛筆11支，作業木5個，中性筆2支共需（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
變式3．（2023·吉林長春·七年級期末）【閱讀感悟】
有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：已知實數、滿足……①，……②，求和的值．
本題常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形，整體求得代數式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．
【解決問題】(1)已知二元一次方程組，求和的值；
(2)初二（3）班組織書法比賽，要購買一些學習用品用于發獎，若買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需33元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需60元，則購買2支鉛筆、2塊橡皮、2本日記本共需多少元？(3)對于實數、，定義新運算：，其中、、是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，求的值．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·遂寧市七年級期中）解方程組如果要使運算簡便，那么消元時最好應（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常數項
2．（2023·福建福州九年級階段練習）設“■▲●”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，則“？”處應該放“●”（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（2023·甘肅·九年級期末）某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之間，店里有一磅秤，但只有能稱50～70公斤重量的秤砣，現要確定各袋面粉的重量，至少要稱（ ）
A．7次 B．6次 C．5次 D．4次
4．（2023·浙江·八年級開學考試）一個三位數，百位上的數與十位上的數之差是2，如果交換十位數字與個位數字的位置，那么所得的數就比原來小36，則百位上的數與個位上的數之差為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2023·湖北武漢·七年級期末）某商家將藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱搭配為A，B，C三種盲盒各一個，其中A盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優盤，1個迷你音箱；B盒中有2藍牙耳機，4個多接口優盤，2個迷你音箱；C盒中有1個藍牙耳機，3個多接口優盤，2個迷你音箱．經核算，A盒成本為145元，B盒成本為200元（每種盲盒的成本為該盒中藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為（ ）
A．150元 B．155元 C．165元 D．170元
6．（2023·湖北武漢·七年級期中）《九章算術》是我國古代著名的數學專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對于方程組，將其中數字排成長方形形式，然后執行如下步驟（如圖）；第一步，將第二行的數乘以3，然后不斷地減第一行，直到第二行第一個數變為0；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．其本質就是在消元．那么其中的a，b的值分別是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
7．（2023·湖北黃岡·七年級階段練習）購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元；購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元，則購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
8．（2023·浙江舟山·七年級期末）根據舟山市政府疫情防控要求，所有進入舟山車輛要在金塘服務區下高速，接受防疫檢查．已知金塘收費站出口有編號為①，②，③，④，⑤的五個收費出口，假定各收費出口每小時通過的車流量是不變的，同時開放其中兩個收費出口，統計這兩個出口1小時一共通過的汽車的數量記錄如下
收費出口編號 ①，② ②，③ ③，④ ④，⑤ ⑤，①
通過汽車數量（輛） 80 100 70 130 120
則下列說法錯誤的是：（ ）
A．①出口1小時通過汽車的數量最少；B．⑤出口1小時通過汽車的數量最多；
C．②出口1小時通過汽車的數量是④出口的兩倍：
D．①和④出口1小時通過汽車的數量之和等于③出口1小時通過的汽車數量．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·上海理工大學附屬初級中學期末）如果三元一次方程組為，那么x+y+z＝______．
12．（2023·廣東課時練習）解方程組時先消去未知數_____________比較方便，具體做法如下：先由①+②得方程______________________，再由①+③得方程_________________．
13．（2023·廣東·汕頭市七年級期中）方程組的解為________．
14．（2023·重慶·九年級期中）新世紀百貨推出A，B，C三種零食大禮包，每種禮包都由一定數量的堅果、牛肉干和薄脆餅組合搭配構成．三種大禮包的成本分別為禮包中三種零食的成本之和，同種零食的單價相同．已知袋牛肉干和袋薄脆餅的價格相同，一份A禮包包含袋堅果、袋牛肉干和袋薄脆餅，一份B禮包包含袋堅果、袋牛肉干和袋薄脆餅．若一份B，C禮包的成本相同，均比一份A禮包的成本貴，一份C禮包中的零食袋數與一份A禮包中的零食袋數之比為：，且一份C禮包中堅果袋數比牛肉干袋數多，則一份C禮包中的薄脆餅袋數比牛肉干袋數少______袋．
15．（2023·江蘇·揚州市七年級階段練習）山腳下有一池塘，泉水以固定的流量（即單位時間里流入池中的水量相同）不停地向池塘內流淌．現池塘中有一定深度的水，若用一臺A型抽水機抽水，則1小時正好能把池塘中的水抽完若用兩臺A型抽水機抽水，則20分鐘正好把池塘中的水抽完．問若用三臺A型抽水機同時抽，則需要_____分鐘恰好把池塘中的水抽完．
16．（2023·湖北武漢·七年級期末）某校用一筆錢來購買，兩種獎品，若購買24個種獎品和14個種獎品則差30元，若購買20個種獎品和18個種獎品則余20元，那么用這筆錢購買28個種獎品和10個種獎品差_________元．
17．（2023·四川巴中·七年級期中）在五四青年節來臨之際，某商家擬推出收費定制個性青年禮品，禮品主要包含三種：高端鋼筆禮盒、學生運動手表和創意水杯，如果定制高端鋼筆禮盒3個、學生運動手表2只和創意水杯5個，需付人民幣315元；如果定制高端鋼筆禮盒2個、學生運動手表1只和創意水杯1個，需付人民幣220元；某人想定制高端鋼筆禮盒4個、學生運動手表3只和創意水杯9個共需付人民幣_______元．
18．（2023·重慶秀山·七年級期末）一家水果店購進一批盒裝荔枝、櫻桃和草莓，并全部組合成“荔子初丹”（內裝4盒荔枝）、“櫻有盡有”（內裝8盒櫻桃）、“喜上莓梢”（內裝6盒草莓）三款禮盒進行銷售，其中“荔子初丹”與“喜上莓梢”禮盒的數量之和比“櫻有盡有”禮盒數量的2倍少30套，且所有禮盒全部賣出．第二次該水果店購進與第一次數量分別相同的盒裝荔枝、櫻桃和草莓．也是全部組合成禮盒進行銷售．根據顧客反饋信息，第二次銷售除了第一次的三款禮盒（每款禮盒規格與第一次相同），還組合成“春分”、“夏至”兩款混合水果禮盒若干套．其中每套“春分”禮盒包含：1盒荔枝、4盒櫻桃、5盒草莓；每套“夏至”禮盒包含：1盒荔枝、3盒櫻桃、4盒草莓．若第二次的所有禮盒也全部賣出，且第二次“荔子初丹”禮盒的數量是第一次該種禮盒數量的，第二次“喜上莓梢”禮盒共有61套，“春分”和“夏至”禮盒中所有水果的總盒數比“春分”禮盒中荔枝的盒數多1350盒，則第一次銷售的所有禮盒共有 _____套．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·河北·石家莊市七年級階段練習）解方程組：．
20．（2023·河南南陽·七年級期中）下面所示為教材中三元一次方程組的解題過程，請根據教材提供的做法和有關信息解決問題．
例1 解方程組：
解 由方程②，得．……步驟一④
將④分別代入方程①和③，得……步驟二
整理，得 解這個二元一次方程組，得
代入④，得．所以原方程組的解是
(1)其中的步驟二通過______法消去未知數，將三元一次方程組轉化成了______．
(2)仿照以上思路解方程組，消去字母后得到的二元一次方程組為______．
21．（2023·湖南·雙峰七年級開學考試）一個手機號前三位數中，中間數字是前面數字的三倍；而第一個數字與第三個數字之和是中間數字的兩倍．在后八位數中： 前四位數與后四位數之和是4461；前三位數與后五位數之和是82896．求這個手機號是？
22．（2023·湖北·十堰市七年級期中）已知甲、乙、丙三個正整數之和為15，且甲的5倍，乙的8倍，丙的10倍之和為120，設甲，乙，丙三個數分別為x，y，z，求的立方根．
23．（2023·湖南·長沙七年級階段練習）兩個小伙伴共帶100只雞蛋去賣，一個帶得多，一個帶得少，但賣了同樣的價錢，一個對另一個說：“如果我有你那么多雞蛋，我能賣15元．”另一個說：“如果我有你那么多雞蛋，只能賣元．”問兩人各有多少雞蛋？希望你有盡可能簡單的解答．
24．（2023·內蒙古·七年級期中）小明到某服裝商場進行社會調查，了解到該商場為了激勵營業員的工作積極性，實行“月總收入＝基本工資+計件獎金”的方法，并獲得如下信息：
營業員 小麗 小華
月銷售件數（件） 200 150
月總收入（元） 1400 1250
假設營業員的月基本工資為x元，銷售每件服裝獎勵y元．
(1)求x、y的值；(2)如果在商場購買甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果購買甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顧客想購買甲、乙、丙各一件共需多少元？
25．（2023·湖北十堰·七年級期末）在求值問題中，我們經常遇到利用整體思想來解決問題．
例如1：已知：，，求：的值．
解：令……①
……②
①＋②得，所以，
已知，求的值．
解：①×2得：……③
②－③得：．
利用材料中提供的方法，解決下列問題：
(1)已知：關于，的二元一次方程組的解滿足，求的值；(2)某步行街擺放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別，，盆．甲種盆景由15朵紅花、8朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花、6朵黃花和20朵紫花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、7朵黃花和25朵紫花搭配而成．這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，求黃花一共用了多少朵？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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