資源簡介

重難點突破
專題二　函數實際應用題
類型一　購買、銷售問題
1. 我國航天事業發展迅速，2023年5月30日9時31分，神舟十六號載人飛船成功發射．某玩具店抓住商機，先購進了1 000件相關航天模型玩具進行試銷，進價為50元/件．
(1)設每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元，求利潤y(元)關于售價x(元/件)的函數表達式；
(2)當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續購進一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完畢后，資助經費恰好10 000元，請問該商店繼續購進了多少件航天模型玩具？
2. 藍天白云下，青山綠水間，支一頂帳篷，邀親朋好友，聽蟬鳴，聞清風，話家常，好不愜意．某景區為響應文化和旅游部《關于推動露營旅游休閑健康有序發展的指導意見》精神，需要購買A，B兩種型號的帳篷．若購買A種型號帳篷2頂和B種型號帳篷4頂，則需5 200元；若購買A種型號帳篷3頂和B種型號帳篷1頂，則需2 800元．
(1)求每頂A種型號帳篷和每頂B種型號帳篷的價格；
(2)若該景區需要購買A，B兩種型號的帳篷共20頂(兩種型號的帳篷均需購買).購買 A種型號帳篷數量不超過購買B種型號帳篷數量的，為使購買帳篷的總費用最低，應購買A種型號帳篷和B種型號帳篷各多少頂？購買帳篷的總費用最低為多少元？
3. 近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2 920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．
(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？
(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只， 正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
4. 某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元，經過市場調查發現，該文具的每天銷售數量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：
銷售單價x/元 … 12 13 14 …
每天銷售數量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接寫出y與x之間的函數關系式；
(2)若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？
(3)設銷售這種文具每天獲利w(元)，當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
5. 為堅定不移走生態優先、綠色發展之路，使人民群眾更有幸福感，讓大地更加山清水秀，植物園區計劃打包銷售某品種花卉，該品種花卉的銷售單價y(元)與一次性銷售量x(株)(x為正整數)之間滿足如圖所示的函數關系．
(1)當0＜x≤200時，求y與x的函數關系式；
(2)若某零售商在該植物園區一次性批發該品種花卉共支付1 920元，求此次批發數量；
(3)若培養每株該品種花卉需要8元，某零售商一次性批發該品種花卉x(100≤x≤300)株使得園區獲得的利潤為w元，當x為何值時，園區獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
　第5題圖
類型二　跨學科問題
1. 聲音在空氣中的傳播速度v(m/s)與溫度t(℃)之間近似滿足一次函數關系．經試驗得到當溫度為10 ℃時，聲音的傳播速度為337 m/s；當溫度下降至5 ℃時，聲音的傳播速度為334 m/s.
(1)求v與t之間的函數關系式；
(2)某人在距煙花燃放地1 664 m處看煙花，在看見煙花5 s后才聽到聲響，則此時的溫度為多少？(忽略光的傳播時間)
2. 如圖①，小明在測浮力的實驗中，將一正方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入到水里，研究發現從石塊剛接觸水面到恰好完全浸入水中，彈簧測力計的示數F拉力是石塊下降的高度x的一次函數．通過記錄彈簧測力計的示數F拉力與石塊下降的高度x得到如下表：
x/cm 0 2 6 7 8 10 12 …
F/N 4 4 4 3.5 3.25 2.5 2.5 …
　
第2題圖
(1)小明在上表的數據中，發現有一對數據記錄錯誤．請在圖②中，通過描點的方法畫出函數圖象，觀察判斷哪一對是錯誤的，并求出正確的值；
(2)若某一時刻該石塊所受的浮力為0.75 N，求此時石塊下降的高度．(溫馨提示：當石塊位于水面上方時，F拉力＝G重力；當石塊入水后，F拉力＝G重力－F浮力．)
3. 【綜合與實踐】
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”．某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務．
　第3題圖
【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y).其中秤盤質量m0克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．
【方案設計】
目標：設計簡易桿秤．設定m0＝10，M＝50，最大可稱重物質量為1 000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務一：確定l和a的值．
(1)當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
(2)當秤盤放入質量為1 000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
(3)根據(1)和(2)所列方程，求出l和 a的值．
任務二：確定刻線的位置．
(4)根據任務一，求y關于m的函數解析式；
(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
拓展類型　拋物線型問題
1. 農科所在某蔬菜基地試用新型保溫大棚技術．大棚橫截面為拋物線型(如圖所示)，現大棚的管理員需要對其進行加固設計并已知以下兩個素材信息：
素材1：大棚的一端固定在距離地面1米的墻體A處．另一端固定在距離地面2米的對面墻體B處，兩墻體的水平距離為6米，大棚離地面的最高點P與A的水平距離為3.5米．
素材2：為了使大棚更牢固，在此橫截面內豎立若干根與地面垂直的竹竿連接到大棚的邊緣．要求相鄰竹竿之間的水平距離為2米，靠近墻體的竹竿與墻體的水平距離不超過2米．
請你根據以上素材信息，幫助管理員完成以下任務：
(1)任務1：確定大棚形狀：結合素材1，在圖中建立合適的平面直角坐標系，求大棚橫截面所對應的拋物線的函數表達式(不需寫自變量取值范圍)；
(2)任務2：探索加固方案：請你設計一個符合要求的竹竿豎立方案，方案內容包括：
①從何處立第一根竹竿；
②共需多少根竹竿；
③所需竹竿的總長度(寫出計算過程).
　第1題圖
2. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學借此情境編制了一道數學題，請解答這道題．
如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1 m長．嘉嘉在點A(6，1)處將沙包(看成點)拋出，其運動路線為拋物線C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰在點B(0，c)處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動路線為拋物線C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分．
(1)寫出C1的最高點坐標，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x軸上方1 m的高度上，且到點A水平距離不超過1 m的范圍內可以接到沙包，求符合條件的n的整數值．
　第2題圖
專題二　函數實際應用題
類型一　購買、銷售問題
1. 解：(1)由題意得y＝1 000(x－50)＝1 000x－50 000；
(2)設商店繼續購進了m件航天模型玩具，則總共有(m＋1 000)件航天模型玩具，
由題意得(m＋1 000)(60－50)×20%＝10 000，
解得m＝4 000，
答：該商店繼續購進了4 000件航天模型玩具．
2. 解：(1)設每頂A種型號帳篷的價格為x元，每頂B種型號帳篷的價格為y元，
根據題意得，
解得，
答：每頂A種型號帳篷的價格為600元，每頂B種型號帳篷的價格為1 000元；
(2)設購買A種型號帳篷m頂，則購買B種型號帳篷(20－m)頂，購買帳篷的總費用為w元，
∵A種型號帳篷數量不超過B種型號帳篷數量的，
∴m≤(20－m)，
解得m≤5.
根據題意得w＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000，
m的取值范圍為0∵－400<0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當m＝5時，w有最小值，
w最小＝－400×5＋20 000＝18 000，
20－m＝20－5＝15.
答：為使購買帳篷的總費用最低，應購買A種型號帳篷5頂，購買B種型號帳篷15頂，購買帳篷的總費用最低為18 000元．
3. 解：(1)設甲頭盔的單價是a元，則乙頭盔的單價是(a－11)元，由題意得：
20a＋30(a－11)＝2 920，
解得a＝65，a－11＝65－11＝54.
∴甲頭盔的單價是65元，乙頭盔的單價是54元；
(2)設再次購進甲種頭盔x只，則再次購進乙種頭盔(40－x)只，總費用為w，由題意得：
w＝65x×80%＋(54－6)×(40－x) ＝4x＋1 920，
由x≥(40－x)，解得x≥13，
∵4＞0，且頭盔的數量必須取整數，根據一次函數的性質，當x＝14時，w最小，
∴w的最小值為4×14＋1 920＝1 976.
答：應購買14只甲種頭盔，可使此次購買頭盔的總費用最小，最小費用是1 976元．
4. 解： (1)y＝－2x＋60；
(2)根據題意得(x－10)(－2x＋60)＝192，
解得x1＝18，x2＝22.
又∵10≤x≤19，
∴x＝18.
答：銷售單價應為18元；
(3)由題意得w＝(x－10)(－2x＋60)＝－2x2＋80x－600＝－2(x－20)2＋200，
∵a＝－2＜0，
∴拋物線開口向下．
∵對稱軸為直線x＝20，
∴當10≤x≤19時，w隨x的增大而增大，
∴當x＝19時，w有最大值，w最大＝198.
答：當銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元．
5. 解：(1)當0＜x＜100時，y＝15；
當100≤x≤200時，設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，
由圖象可得，當x＝100時，y＝15，當x＝200時，y＝10，
∴，解得，
∴y與x之間的函數關系式為
y＝；
(2)∵15×100＜1 920＜10×200，
∴100＜x＜200.
根據題意得(－x＋20)x＝1 920，
整理得x2－400x＋38 400＝0，
解得x1＝160，x2＝240(舍去).
答：此次批發該品種花卉數量為160株；
(3)當100≤x≤200時，
w＝x·(－x＋20－8)＝－(x－120)2＋720，
∵－＜0，
∴當x＝120時，w有最大值，w最大＝720；
當200≤x≤300時，w＝(10－8)x＝2x，
∵2＞0，
∴w隨x的增大而增大，
∴當x＝300時，w有最大值，w最大＝2×300＝600.
∵720＞600，
∴當x＝120時，w最大＝720.
答：當x為120時，該植物園區獲得的利潤最大，最大利潤為720元．
類型二　跨學科問題
1. 解：(1)設v與t之間的函數關系式為v＝kt＋b(k≠0)，
根據題意可得，
解得，
∴v與t之間的函數關系式為v＝0.6t＋331；
(2)∵看煙花處距煙花燃放地1 664 m，看見煙花5 s后才聽到聲響，
∴此時聲音在空氣中的傳播速度v＝1 664÷5＝332.8(m/s)，
將v＝332.8代入v＝0.6t＋331中，解得t＝3，
答：此時的溫度為3 ℃.
2. 解：(1)畫出函數圖象如解圖，由解圖可知，當x＝7時，點不在直線上，
∴x＝7時的數據是錯誤的．
由題意可知，當6≤x≤10時，記錄彈簧測力計的示數F拉力/N是石塊下降的高度x/cm的一次函數，
設F拉力/N與x/cm的函數解析式為F拉力＝kx＋b(k≠0)，
將點(6，4)，(10，2.5)代入得，解得，
∴F拉力＝－x＋(6≤x≤10)，
∴當x＝7時，F拉力＝3.625 N；
第2題解圖
(2)由題意知，此時石塊已入水，且彈簧測力計的示數是石塊下降的高度的一次函數，
∵石塊所受浮力為0.75 N，G重力＝4 N，
∴F拉力＝G重力－F浮力＝4－0.75＝3.25 N，
∴x＝8，
答：該石塊下降的高度為8 cm.
3. 解：(1)根據題意，得m＝0，y＝0，
將m＝0，y＝0，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得10l＝50a ，
∴l＝5a；
(2)根據題意，得m＝1 000，y＝50，
將m＝1 000，y＝50，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得(10＋1 000)l＝50(a＋50)，
∴101l＝5a＋250；
(3)聯立(1)，(2)中的兩個方程，
得，
解得；
(4)把l＝2.5，a＝0.5 代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得2.5(10＋m)＝50(0.5＋y)，
化簡，得y＝，
∴y關于m的函數解析式為y＝；
(5)由(4)知y＝，
將m＝100代入解析式y＝ ，
得y＝5，
將m＝200代入解析式y＝，
得y＝10，∵10－5＝5(厘米)，
答：從零刻度線開始，每隔100克質量在秤桿上找到對應刻度線，相鄰刻度線間的距離為5厘米．
拓展類型　拋物線型問題
1. 解：(1)建立平面直角坐標系如解圖(答案不唯一)，
由已知可得A(0，1)，B(6，2)，頂點P的橫坐標為3.5，
設大棚橫截面所對應的拋物線的函數表達式為y＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝－＝3.5，
將點B代入到拋物線的函數表達式中，得36a＋6b＋1＝2
聯立可得，
解得，
∴大棚橫截面所對應的拋物線的函數表達式為y＝－x2＋x＋1；
第1題解圖
(2)符合要求的方案(答案不唯一)：
從距左側墻體2米處立第一根竹竿，距左側墻體4米處立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
當x＝2時，y＝－x2＋x＋1＝－×4＋×2＋1＝，
當x＝4時，y＝－x2＋x＋1＝－×16＋×4＋1＝3，
＋3＝.
答：所需竹竿總長度為米．
2. 解：(1)∵拋物線y＝a(x－3)2＋2的頂點坐標為(3，2)，
∴C1的最高點坐標為(3，2)，
將A(6，1)代入拋物線y＝a(x－3)2＋2中，
得1＝a(6－3)2＋2，
解得a＝－，
∴拋物線C1：y＝－(x－3)2＋2.
將B(0，c)代入拋物線y＝－(x－3)2＋2中，
得c＝－(0－3)2＋2＝1；
(2)將c＝1代入拋物線y＝－x2＋x＋c＋1中，
得y＝－x2＋x＋2.
根據題意，可知嘉嘉恰好在(5，1)和(7，1)兩個點間能接到沙包．
將(5，1)代入拋物線y＝－x2＋x＋2中，
得1＝－×52＋×5＋2，解得n＝；
將(7，1)代入拋物線y＝－x2＋x＋2中，
得1＝－×72＋×7＋2，解得n＝，
∴≤n≤，
∴n的整數值為4和5，
答：符合條件的n的整數值為4和5.

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