資源簡介

2.1 不等式的性質與區間
不等式的性質
性質1 對稱性
性質2 傳遞性
性質3 可加性
性質4 可乘性
性質5 同向可加性
性質6 同向同正可乘性
性質7可乘方性
性質8可開方性
若a＞b＞0，m＞0，則＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　
作差法比較大小關系
區間的概念
定義 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} [a，b]
{x|a＜x＜b} (a，b)
{x|a≤x＜b} [a，b)
{x|a＜x≤b} (a，b]
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x＞a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|x＜a} (－∞，a)
R (－∞，＋∞)
考點1 由已知條件判斷所給不等式是否正確
【例1】已知，為非零實數，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對A、B、C舉反例即可得，對D作差計算即可得.
【詳解】對A：若，則，故錯誤；
對B：若，則，故錯誤；
對C：若，則，，左右同除，有，故錯誤；
對D：由且，為非零實數，則，即，故正確.
故選：D.
【變式1-1】已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據不等式性質結合反例逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當時，雖說，但是，錯誤；
對于B，成立時，不一定成立，比如時，，
此時，錯誤；
對于C，舉反例，當時，滿足，此時，，
則有，錯誤；
對于D，因為，所以，
所以，所以，正確.
故選：D
【變式1-2】己知，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】由不等式性質可判斷選項A，B，C；取特殊值可判斷選項D.
【詳解】對于選項A：當時，若，由不等式性質可知，故選項A 錯誤；
對于選項B：由不等式性質可知若，則成立，故選項B正確；
對于選項C：當時，若，由不等式性質可知，故選項C錯誤；
對于選項D：當時，，故選項D錯誤.
故選：B
【變式1-3】下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】舉反例判斷AB；利用不等式的性質可判斷C；做差可判斷D.
【詳解】對于A，當時，則，故A錯誤；
對于B，若，，則，故B錯誤；
對于C，若，，則，所以，故C錯誤；
對于D，若，，則，所以，
所以，故D正確.
故選：D.
考點2 作差法比較代數式的大小
【例2】若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比較大小即可得出正確選項.
【詳解】因為，所以.，
因為，
且，所以，所以，所以.故.
故選： A
【變式2-1】設，，則、的大小關系是 .
【答案】/
【分析】利用作差法判斷即可.
【詳解】因為，，
所以，當且僅當時取等號，
所以.
故答案為：
【變式2-2】已知：，則大小關系是 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，利用作差法結合不等式性判斷作答.
【詳解】由，得，因此，
顯然，則，
所以大小關系是.
故答案為：
【變式2-3】已知,，則,的大小關系是 ．
【答案】
【分析】利用作差法直接比較大小.
【詳解】解：因為,
所以
所以.
故答案為：.
考點3 區間的表示
【例3】不等式組的解集用區間表示為： ．
【答案】
【分析】先解不等式組，再將結果用區間表示.
【詳解】解：∵不等式組 ，
∴，∴不等式組的解集為．
故答案為：．
【變式3-1】用區間表示集合{x|x>–1且x≠2}= ．
【答案】（–1，2）∪（2，+∞）
【詳解】由已知得該集合中的元素大于-1，且不含元素2，
根據區間表示法的規定可知應為（-1,2）∪（2，+∞）,
故答案為（–1，2）∪（2，+∞）.
考點：區間的表示法．
【變式3-2】用區間表示不等式的解集，該集合為 .
【答案】
【分析】根據一元一次不等式以及區間的知識求得正確答案.
【詳解】由，得，
所以不等式的解集為.
故答案為：
【變式3-3】用區間表示數集{x|2【答案】（2，4]
【分析】根據集合與區間的轉化得到結果.
【詳解】數集{x|2故答案為（2，4]．
【點睛】(1)用區間表示數集的原則有：①數集是連續的；②左小右大；③區間的一端是開或閉不能弄錯；（2）用區間表示數集的方法：區間符號里面的兩個數字(或字母)之間用“，”隔開；（3）用數軸表示區間時，要特別注意實心點與空心點的區別．
考點4 利用不等式求取值范圍
【例4】已知，，求的取值范圍.
【答案】.
【分析】根據給定條件，用表示出，再利用不等式的性質求解作答.
【詳解】令，即，
于是，解得，即，
由，得，而，則，
所以的取值范圍是.
【變式4-1】已知，，分別求，，，的取值范圍．
【答案】詳見解析.
【分析】根據不等式的基本性質和反比例函數特點即可求解.
【詳解】因為，，
所以，
即的取值范圍是．
由，，
得，
所以的取值范圍是．
由，，
得，
所以的取值范圍是．
易知，
而
則，
所以的取值范圍是．
【變式4-2】已知，，求的取值范圍.
【答案】
【分析】先把轉化為，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得.
【詳解】設，則有：
，解得：，所以.
因為，所以，
因為，所以，
所以，
即，
所以的取值范圍為.
【變式4-3】設實數，滿足，，求的最大值．
【答案】
【分析】利用待定系數法，令，求得，然后利用不等式的性質，求得的最大值.
【詳解】令，則，
所以，解得，
所以，
由題意得，
所以，
所以.
故的最大值為.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查利用不等式的性質求最值，屬于中檔題.2.1 不等式的性質與區間
不等式的性質
性質1 對稱性
性質2 傳遞性
性質3 可加性
性質4 可乘性
性質5 同向可加性
性質6 同向同正可乘性
性質7可乘方性
性質8可開方性
若a＞b＞0，m＞0，則＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　
作差法比較大小關系
區間的概念
定義 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} [a，b]
{x|a＜x＜b} (a，b)
{x|a≤x＜b} [a，b)
{x|a＜x≤b} (a，b]
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x＞a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|x＜a} (－∞，a)
R (－∞，＋∞)
考點1 由已知條件判斷所給不等式是否正確
【例1】已知，為非零實數，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】己知，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-3】下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
考點2 作差法比較代數式的大小
【例2】若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】設，，則、的大小關系是 .
【變式2-2】已知：，則大小關系是 ．
【變式2-3】已知,，則,的大小關系是 ．
考點3 區間的表示
【例3】不等式組的解集用區間表示為： ．
【變式3-1】用區間表示集合{x|x>–1且x≠2}= ．
【變式3-2】用區間表示不等式的解集，該集合為 .
【變式3-3】用區間表示數集{x|2考點4 利用不等式求取值范圍
【例4】已知，，求的取值范圍.
【變式4-1】已知，，分別求，，，的取值范圍．
【變式4-2】已知，，求的取值范圍.
【變式4-3】設實數，滿足，，求的最大值．

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